2019版优化探究文数练习：第二章第四节二次函数的再研究与幂函数含解析
近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数课后作业文(2021年整理)
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2.4 二次函数与幂函数［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．（2017·江西九江七校联考)幂函数f（x）＝(m2－4m＋4）x m 2－6m＋8在（0，＋∞）上为增函数，则m的值为（）A．1或3 B．1C．3 D．2答案B解析由题意知m2－4m＋4＝1且m2－6m＋8>0⇒m＝1,故选B。
2．(2018·吉林期末)如果函数f（x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4）上是单调递增的,则实数a的取值范围是（）A．a>－错误!B．a≥－错误!C．－错误!≤a〈0 D．－错误!≤a≤0答案D解析①当a＝0时，函数f（x）＝2x－3为一次函数，是递增函数;②当a〉0时,二次函数开口向上，先减后增，在区间(－∞，4）上不可能是单调递增的，故不符合；③当a〈0时,函数开口向下,先增后减，函数对称轴－错误!≥4，解得a≥－错误!，又a〈0，故－错误!≤a<0。
综合得－错误!≤a≤0.故选D.3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x），那么( ）A．f（－2)<f(0)〈f（2）B．f(0）〈f(－2)<f（2)C．f（2）〈f(0)〈f(－2）D．f（0)<f（2）〈f(－2）答案D解析由f（1＋x)＝f(－x)知f（x）图象关于x＝错误!对称，又抛物线开口向上，结合图象可知f（0)<f（2）<f（－2）．故选D。
二次函数与幂函数典型例题(含答案)
二次函数与幂函数1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质. 基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R .(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－b2a ，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a .①当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上递增，当x ＝－b2a 时，f (x )min ＝4ac －b 24a ；②当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上递减，当x ＝－b2a 时，f (x )max ＝4ac －b 24a .③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋h (a ≠0)； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．幂函数 (1)幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)幂函数的图象两种方法二次函数y ＝f (x )对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内x 1，x 2，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22；(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数)． 两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax 2＋bx ＋c ＞0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0；(2)ax 2＋bx ＋c ＜0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.双基自测1．下列函数中是幂函数的是( )．A ．y ＝2x 2B ．y ＝1x 2C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝－1x2．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( )． A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25 D ．f (1)＞253．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )． A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．函数 的图象是( )．5．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________.考向一 求二次函数的解析式【例1】►已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．求f (x )与g (x )的解析式．【训练1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．考向二 幂函数的图象和性质【例2】►幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )．A ．－1＜m ＜3B ．0C ．1D ．2【训练2】 已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.考向三 二次函数的图象与性质【例3】►已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，求f (x )在区间[0,2]上的最值． [审题视点] 先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．【训练3】 已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )，m ，n 是f (x )的零点，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 从小到大的顺序是________．考向四 有关二次函数的综合问题【例4】►设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，求实数a 的取值范围．【训练4】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】►已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．二次函数与幂函数1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质.基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R .(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－b2a ，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a .①当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上递增，当x ＝－b2a 时，f (x )min ＝4ac －b 24a ；②当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上递减，当x ＝－b2a 时，f (x )max ＝4ac －b 24a .③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋h (a ≠0)； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．幂函数 (1)幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)幂函数的图象两种方法二次函数y ＝f (x )对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内x 1，x 2，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22；(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数)．两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax 2＋bx ＋c ＞0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0；(2)ax 2＋bx ＋c ＜0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是( )． A ．y ＝2x 2 B ．y ＝1x 2 C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝－1x解析 A ，C ，D 均不符合幂函数的定义． 答案 B2．(2011·九江模拟)已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( )． A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25D ．f (1)＞25 解析 对称轴x ＝m8≤－2，∴m ≤－16， ∴f (1)＝9－m ≥25. 答案 A3．(2011·福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 依题意判别式Δ＝m 2－4＞0，解得m ＞2或m ＜－2. 答案 C4．(2011·陕西)函数 的图象是( )．解析 由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A ，D ；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C. 答案 B5．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________. 解析 由f (3＋x )＝f (3－x )，知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，应有x 1＋x 22＝3⇒x 1＋x 2＝6.答案 6考向一 求二次函数的解析式【例1】►已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．求f (x )与g (x )的解析式．[审题视点] 采用待定系数法求f (x )，再由f (x )与g (x )的图象关于原点对称，求g (x )． 解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋n ＝3，－m2＝－1，解得：⎩⎨⎧m ＝2，n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x .设函数y ＝f (x )图象上的任意一点A (x 0，y 0)，该点关于原点的对称点为B (x ，y )，则x 0＝－x ，y 0＝－y .∵点A (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图象上，∴y 0＝x 20＋2x 0，∴－y ＝x 2－2x ，∴y ＝－x 2＋2x ，即g (x )＝－x 2＋2x .二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．【训练1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．解 法一 利用二次函数的一般式． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 利用二次函数的顶点式． 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)， ∵f (2)＝f (－1)．∴此二次函数的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意，函数有最大值8，即n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解之得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.考向二 幂函数的图象和性质【例2】►幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3 B ．0 C ．1D ．2[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解析 由m 2－2m －3＜0，得－1＜m ＜3， 又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2. ∵m 2－2m －3为偶数， 经验证m ＝1符合题意． 答案 C根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．【训练2】 已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.解析 由题意，设y ＝f (x )＝x α，，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1.答案 ±1考向三 二次函数的图象与性质【例3】►已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，求f (x )在区间[0,2]上的最值． [审题视点] 先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论． 解 函数f (x )＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2的对称轴是直线x ＝a ， (1)若a ＜0，f (x )在区间[0,2]上单调递增， 当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝1； 当x ＝2时，f (x )max ＝f (2)＝5－4a ； (2)若0≤a ＜1，则当x ＝a 时，f (x )min ＝f (a )＝1－a 2； 当x ＝2时，f (x )max ＝f (2)＝5－4a ； (3)若1≤a ＜2，则当x ＝a 时，f (x )min ＝f (a )＝1－a 2； 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝1；(4)若a ≥2，则f (x )在区间[0,2]上单调递减， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝1； 当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝5－4a .解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)的形式，得顶点(m ，n )或对称轴方程x ＝m ，分三个类型： ①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动．【训练3】 已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )，m ，n 是f (x )的零点，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 从小到大的顺序是________．解析 由于f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )的图象是开口向下的抛物线，因为f (a )＝f (b )＝1＞0，f (m )＝f (n )＝0，可得a ∈(m ，n )，b ∈(m ，n )，所以m ＜a ＜b ＜n .答案 m ＜a ＜b ＜n考向四 有关二次函数的综合问题【例4】►设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，求实数a 的取值范围．[审题视点] 通过讨论开口方向和对称轴位置求解． 解 当a ＞0时，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＋2－1a .∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，f (1)＝a －2＋2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧1＜1a ＜4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2－1a＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥4，f (4)＝16a －8＋2≥0，∴⎩⎨⎧a ≥1，a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ 14＜a ＜1，a ＞12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤14，a ≥38.∴a ≥1或12＜a ＜1或∅，即a ＞12；当a ＜0时，⎩⎨⎧f (1)＝a －2＋2≥0，f (4)＝16a －8＋2≥0，解得a ∈∅；当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，f (1)＝0，f (4)＝－6， ∴不合题意．综上可得，实数a 的取值范围是a ＞12.含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．【训练4】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0， ∴⎩⎨⎧ a ＞0，(a －1)2≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0. (2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，∴k －22≤－2，或k －22≥2，解得k ≤－2，或k ≥6.所以k 的取值范围为k ≤－2，或k ≥6.规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】 对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．求二次函数f (x )的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论． [解答示范] ∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ， ∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .(1分) ①当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，x ＝a 2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；(7分)③当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．【试一试】 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。
高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究课时跟踪训练含解析北师大版必修1
二次函数性质的再研究[A 组 学业达标]1．设点(3,1)及(1,3)为二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋b 的图像上的两个点，则( )A ．a ＝12，b ＝52B ．a ＝12，b ＝－52C ．a ＝－12，b ＝52D ．a ＝－12，b ＝－52 解析：由题知⎩⎨⎧ f (3)＝9a －6a ＋b ＝1，f (1)＝a －2a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－12，b ＝52.答案：C2．若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )解析：由一次函数特点知a ＜0，b ＜0，所以对二次函数y ＝ax 2＋bx 而言，开口向下，且对称轴x ＝－b 2a ＜0在y 轴的左边，故C 选项正确．答案：C3．(2019·天津市七校高一模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax 在x ∈[－2,1]上有最小值－1，则a 的值为( )A ．－1或1B 、54C 、54或－ 1D 、54或1或－1解析：函数的对称轴是x ＝－a ，当函数的最小值是－1时，有⎩⎨⎧ －a ≤－2，f (－2)＝4－4a ＝－1或⎩⎨⎧ －2＜－a ＜1，f (－a )＝－a 2＝－1或⎩⎨⎧－a ≥1，f (1)＝1＋2a ＝－1，解得a ＝±1，故选A 、 答案：A 4．(2019·天津一中高一模拟)已知二次函数f (x )＝x 2－2x －4在区间[－2，a ]上的最小值为－5，最大值为4，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－2,4]C ．[1,4]D ．[1，＋∞)解析：在f (x )＝x 2－2x －4中，f (－2)＝f (4)＝4，f (1)＝－5，所以当y ∈[－5,4]时，a ∈[1,4]．答案：C5．若函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，故由题知，a ≤1或a ≥2、答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)6．若顶点坐标为(2，－2)的二次函数f (x )的图像与g (x )＝－3(x ＋1)2的图像开口大小相同，方向相反，则二次函数f (x )的解析式为________．解析：由题意可得函数f (x )的顶点式f (x )＝3(x －2)2－2，即f (x )＝3x 2－12x ＋10、 答案：f (x )＝3x 2－12x ＋107．已知二次函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，a ]，且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________．解析：结合函数图像(图略)由题意知，[2，a ]⊆(－∞，3]，∴2＜a ≤3、 答案：(2,3]8．已知二次函数y ＝12x 2＋2x ＋1、(1)写出函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值，并指出它可由y ＝x 2的图像怎样变化得到;(2)求函数图像与y 轴、x 轴的交点;(3)作出函数的图像;(4)求函数的单调区间;(5)观察图像：当x 为何值时，y ＞0？当x 为何值时，y ＝0？当x 为何值时，y ＜0?解析：(1)∵y＝12x 2＋2x ＋1＝12(x ＋2)2－1，∴函数图像的开口向上，顶点坐标是(－2，－1)，对称轴是直线x ＝－2、∵a ＝12＞0，函数没有最大值，有最小值，当x ＝－2时，y min ＝－1、(2)令x ＝0，则y ＝1，∴函数图像与y 轴交于(0,1)．令y ＝0，则12x 2＋2x ＋1＝0，解得x 1＝－2－2，x 2＝－2＋2、∴函数图像与x 轴交于点(－2－2，0)，(－2＋2，0)．(3)∴函数图像如图：(4)由图像可知，函数的单调递减区间是(－∞，－2]，单调递增区间是[－2，＋∞)．(5)由图像知，当x ＜－2－2或x ＞－2＋2时，y ＞0;当x＝－2－2或x ＝－2＋2时，y ＝0;当－2－2＜x ＜－2＋2时，y ＜0、9．已知二次函数f (x )的图像的对称轴是直线x ＝1，且f (1)＝4，f (4)＝－5、(1)求函数f (x )的解析式，并画出f (x )的图像;(2)根据图像写出函数f (x )的单调区间，并指明在该区间上的单调性;(3)当函数f (x )在区间(－∞，m ]上是增函数时，求实数m 的取值范围．解析：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a ＝1，a ＋b ＋c ＝4，16a ＋4b ＋c ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝2，c ＝3，所以函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，f (x )的图像如图所示．(2)由图像可得函数f(x)的单调区间是(－∞，1]和[1，＋∞)，其中函数f(x)在区间(－∞，1]上是递增的，在区间[1，＋∞)上是递减的．(3)由(2)知函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数，那么(－∞，m]⊆(－∞，1]，则有m≤1、[B组能力提升]10．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为() A．0或1 B．1C．2 D．以上都不对解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2，对称轴为x＝a，开口方向向上，所以f(x)在[0，a]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)max＝f(0)＝a＋2＝3，f(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2、故a＝1、答案：B11．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．[－2,2] B．[1,2] C．[0,2] D．[－2，2]解析：要求函数y＝2－－x2＋4x的值域，只需求t＝－x2＋4x(x∈[0,4])的值域即可．设二次函数f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(x∈[0,4])，所以f(x)的值域是[0,4]．因为t＝f(x)，所以t的值域是[0,2]．所以－t的值域是[－2,0]．故函数y＝2－－x2＋4x的值域是[0,2]．故选C、答案：C12．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是________．解析：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由(x－1)2＋2＝3，得x＝0或x＝2、作出函数图像如图所示，由图像知，m的取值范围是1≤m≤2、答案：[1,2]13．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为________．解析：由题意知，f(x)在区间[1,5]上为减函数．∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2＋2－(a－1)2，∴－(a－1)≥5，即a≤－4、答案：(－∞，－4]14．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知：这种服装每天的销售量t(t＞0，t∈N)(件)与每件的销售价x(x＞42，x∈N)(元)之间可以看成是一次函数关系t＝－3x＋204、(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售所得与购进这些服装所花费金额的差);(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？解析：(1)由题意得，每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式为y＝(x－42)(－3x＋204)＝－3x2＋330x－8 568(42＜x＜68，x∈N)．(2)由(1)得y＝－3(x－55)2＋507(42＜x＜68，x∈N)，则当x＝55时，y max＝507、即当每件的销售价定为55元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为507元．15．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数;(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在区间[－4,2]上是递减的，在区间[2,6]上是递增的，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35、f(6)＝15，故f(x)的最大值是35、(2)∵函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，∴要使f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4、故实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝⎩⎨⎧ x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－4，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．。
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第四节二次函数的再研究与幂函数含解析
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第四节二次函数的再研究与幂函数含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练α1 2 ，则 k ＋ α＝ ()1．已知幂函数 f(x)＝k ·x 的图像过点 2， 2 1 B ．1A. 23C.2D ．21 2 1 α2 1分析：由幂函数的定义知 k ＝1.又 f 2 ＝ 2 ，因此 2＝2 ，解得 α＝2，进而 k 3＋ α＝ 2.答案： C2．已知幂函数 f(x)＝x n，n ∈{ －2，－ 1,1,3} 的图像对于 y 轴对称，则以下选项正确的是 ()A ． f(－ 2)>f(1)B ．f(－2)<f(1)C ． f(2)＝ f(1)D ．f(－2)>f(－1)分析：因为幂函数 f(x)＝x n 的图像对于 y 轴对称，可知 f(x)＝x n 为偶函数，因此 n ＝－ 2，即 f(x)＝ x－2，则有 f(－ 2)＝f(2)＝14，f(－1)＝f(1)＝1，因此 f( －2)<f(－1)，应选 B. 答案： B3．若幂函数 y ＝ (m 2－ 3m ＋ 3) ·xm 2－m － 2 的图像可是原点，则 m 的取值是 ()A ．－ 1≤ m ≤2B ．m ＝1 或 m ＝2C ． m ＝ 2D ．m ＝1分析：由幂函数性质可知 m 2－＋＝，∴＝ 2 或 ＝ 又幂函数图像可是原3m 3 1 mm 1.点，∴m 2－m － 2≤ 0，即－ 1≤m ≤2，∴m ＝2 或 m ＝1.答案： B4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，假如 a ＞ b ＞c ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0，则它的图像是 ()。
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§2.3二次函数与幂函数.pdf
, 重点考查等价转化和数形结合的思想 . 以二次函数为 , 关键是抓住函数图象的对称轴 ; 幂函数问题主要是
五年高考
考点一 二次函数
1.(2016 浙江 ,6,5 分 ) 已知函数 f(x)=x 2+bx, 则 “b<0” 是“ f(f(x)) 的最小值与 f(x) 的最小值相等 ”的 (
)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
??+2
??+2
所以 -3 ≤b<0. 故 b 的取值范围是 [-3,9-4 √5].
7.(2015 广东 ,21,14 分) 设 a 为实数 , 函数 f(x)=(x-a) (1) 若 f(0) ≤ 1, 求 a 的取值范围 ; (2) 讨论 f(x) 的单调性 ;
2+|x-a|-a(a-1).
(3) 当 a≥ 2 时, 讨论 f(x)+ 4??在区间 (0,+ ∞）内的零点个数 .
??2 -(2a + 1)x + 2a, {
x ≤ a,
??2 -(2a -1)x,x > a,
则 f '(x)= { 2??-(2??+ 1), x ≤ a, 2??-(2??-1),x > a.
当 x ≤a 时, f '(x)=2x-(2a+1)=2(x-a)-1<0, 所以 f(x) 在区间 (- ∞ ,a] 上单调递减 ; 当 x>a 时, f '(x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+1>0, 所以 f(x) 在区间 (a,+ ∞）上单调递增 .
考点 1. 二次函数
2. 幂函数
高三一轮复习讲义第2章第4节二次函数与幂函数及答案
二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)2.幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．【知识拓展】1．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0. 2．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．()(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．() (4)函数122y x =是幂函数．()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．() (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．()1．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3C ．a ＜－3 D ．a ≤－32．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )3．幂函数()21023a a f x x －＋＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．64．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________．5．(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减．题型一求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有 f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．思维升华求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.题型二二次函数的图象和性质 命题点1二次函数的单调性例2函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3]C ．[－2,0] D ．[－3,0] 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.命题点2二次函数的最值例3已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值．命题点3二次函数中的恒成立问题例4(1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．思维升华(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值．题型三幂函数的图象和性质例5(1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 (2)若11222(21)(1)m m m >＋＋－，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2幂函数的图象经过点(4,2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D ．f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )3．分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．52．幂函数24m my x－＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)4．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是( ) A ．[0,4] B ．[32，4]C ．[32，＋∞) D ．[32，3]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1C ．2 D ．－26．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2) D ．与a 值有关7．已知幂函数()12f x x －＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．8．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________________．9．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．*10.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．12．已知幂函数()21()m m f x x －＋＝(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．13．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)2.幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．【知识拓展】1．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0. 2．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.(×)(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．(×)(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(√) (4)函数122y x =是幂函数．(×)(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．(×)1．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是() A ．a ≥3 B ．a ≤3C ．a ＜－3 D ．a ≤－3 答案D解析函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是()答案D解析由a ＋b ＋c ＝0和a >b >c 知a >0，c <0， 由c <0，排除A ，B ，又a >0，排除C.3．幂函数()21023a a f x x －＋＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于()A ．3B ．4C ．5D ．6 答案C解析因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，()2(5)2a f x x －－＝(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.4．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案[1,2]解析如图，由图象可知m 的取值范围是[1,2]．5．(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减． 答案12y x-=(0，＋∞)解析设f (x )＝x a ，则2a ＝22， ∴a ＝－12，即幂函数的解析式为12y x -=，单调减区间为(0，＋∞)．题型一求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案x 2＋2x解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有 f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1，∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.思维升华求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.答案(1)x 2＋2x ＋1(2)－2x 2＋4解析(1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ，由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称，∴－a ＝－(－2a b)，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]，∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.题型二二次函数的图象和性质命题点1二次函数的单调性例2函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是()A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]答案D解析当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a， 由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，3－a 2a≤－1， 解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.答案－3解析由题意知a <0，又3－a 2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点2二次函数的最值例3已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值．解(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a. ①当0<1a≤1，即a ≥1时， f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在[0，1a ]上单调递减，在[1a，1]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a. ②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]的右侧， ∴f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1. 命题点3二次函数中的恒成立问题例4(1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．答案(1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析(1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1.由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．(2)2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 思维升华(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．答案⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立， 又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. (2)已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值．解∵函数f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝－1.综上，当－2<a ≤1时，f (x )min ＝a 2－2a ，当a >1时，f (x )min ＝－1.题型三幂函数的图象和性质例5(1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于() A.12B ．1 C.32D ．2 (2)若11222(21)(1)m m m >＋＋－，则实数m 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2 答案(1)C(2)D解析(1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)因为函数12y x =的定义域为[0，＋∞)且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12； 解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12； 解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2，综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. 思维升华(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象经过点(4,2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是()A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D ．f (1a )<f (a )<f (1b)<f (b ) 答案C解析设幂函数为f (x )＝x α，将(4,2)代入得α＝12， 所以12(),f x x 该函数在(0，＋∞)上为增函数，又0<a <b <1，所以1a >1b >1，即a <b <1b <1a ，所以f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)．3．分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．思想方法指导已知函数f (x )的最值，而f (x )图象的对称轴确定，要讨论a 的符号．规范解答解f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .[1分](1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；[3分](2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；[6分] (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.[9分]综上可知，a 的值为38或－3.[10分]1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为()A ．－3B ．13C ．7D ．5答案B解析函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，∴m ＝－8，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.2．幂函数24m m y x －＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3答案C解析∵24m m y x －＝(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ，∴m 2－4m 为偶数，因此m ＝2.3．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是()A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案C解析由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.4．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是() A ．[0,4]B ．[32，4]C ．[32，＋∞) D ．[32，3] 答案D解析二次函数图象的对称轴为x ＝32且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈[32，3]． 5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于()A ．－1B ．1C ．2D ．－2答案B解析∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点处取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 6．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为()A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关答案C解析该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x ＝14， 又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0，则14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 7．已知幂函数()12f x x－＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________． 答案(3,5)解析∵幂函数()12f x x －＝单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5.8．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x－2的大小关系是________________．答案h (x )>g (x )>f (x ) 解析如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．9．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案(－∞，－5]解析方法一∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－(x ＋4x)对x ∈(1,2)恒成立， 令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数． ∴4<y <5，∴－5<－(x ＋4x)<－4，∴m ≤－5. 方法二设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5. *10.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案[0,2]解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)， x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝(x －a 2)2＋a －a 24， x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝(x ＋a 2)2－a －a 24. ①当a 2>1，即a >2时，f (x )在[1，a 2)上单调递减，在(a 2，＋∞)上单调递增，不合题意； ②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意； ③当a 2<0，即a <0时，不符合题意． 综上，a 的取值范围是[0,2]．11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]．∵f (x )的对称轴为x ＝1，∴当x ＝1时，f (x )取最小值1；当x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的对称轴为x ＝－a ，∵f (x )在[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5.故实数a 的取值范围为a ≤－5或a ≥5.12．已知幂函数()21()m m f x x －＋＝(m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数，所以函数()21()m m f x x －＋＝(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数． (2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)，21()2m m－＋，即211()222m m－＋＝，所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.又因为m∈N*，所以m＝1，12(),f x x=又因为f(2－a)>f(a－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a≥0，a－1≥0，2－a＞a－1，解得1≤a＜32，故函数f(x)的图象经过点(2，2)时，m＝1.满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，32)．13．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)．(1)当－a2<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤73，故此时a不存在；(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f⎝⎛⎭⎫－a2＝3－a－a24≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4，综上得－7≤a≤2.。
2019版同步优化探究理数练习：第二章 第四节 二次函数的再研究与幂函数 Word版含解析-数学备课大师
课时作业 A 组——基础对点练1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k＋α＝32. 答案：C2．已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1,1,3}的图像关于y 轴对称，则下列选项正确的是( ) A ．f (－2)>f (1) B ．f (－2)<f (1) C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)>f (－1)解析：由于幂函数f (x )＝x n 的图像关于y 轴对称，可知f (x )＝x n 为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，则有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)<f (－1)，故选B. 答案：B3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图像不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图像不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1. 答案：B4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像是( )解析：∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，∴y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上．选D. 答案：D5．设函数f(x)＝x2－x＋a(a＞0)．若f(m)＜0，则f(m－1)的值为() A．正数B．负数C．非负数D．正数、负数和零都有可能解析：函数f(x)＝x2－x＋a图像的对称轴为直线x＝12，图像开口向上，且f(0)＝f(1)＝a＞0.所以当f(m)＜0时，必有0＜m＜1，而－1＜m－1＜0，所以f(m－1)＞0.答案：A6．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是()A．f(m)＜f(0)B．f(m)＝f(0)C．f(m)＞f(0)D．f(m)与f(0)大小不确定解析：因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1.当m ＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m＜0，所以f(m)＜f(0)．答案：A7．已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是()A．[1,2] B．(0,1]C．(0,2] D．[1，＋∞)解析：作出函数的图像如图所示，从图中可以看出当1≤m≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.答案：A8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )解析：因为a >0，所以f (x )＝x a 在(0，＋∞)上为增函数，故A 错．在B 中，由f (x )的图像知a >1，由g (x )的图像知0<a <1，矛盾，故B 错．在C 中，由f (x )的图像知0<a <1，由g (x )的图像知a >1，矛盾，故C 错．在D 中，由f (x )的图像知0<a <1，由g (x )的图像知0<a <1，相符，故选D. 答案：D9．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案：B10．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)解析：设x >0，则－x <0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，并且函数f (x )是R 上的单调递增函数，所以当f (2－x 2)>f (x )时，满足2－x 2>x ，解得－2<x <1，故选D. 答案：D11．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：由已知得⎩⎨⎧16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，9a ＋3b ＋c ＝0.7，解得⎩⎨⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B. 答案：B12．已知y ＝f (x )是奇函数，且满足f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ，则当x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值为( ) A ．－1 B ．－13 C ．－19D.19解析：设x ∈[－4，－2]，则x ＋4∈[0,2]．∵y ＝f (x )是奇函数，∴由f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，可得f (x ＋2)＝－3f (－x )＝3f (x )，∴f (x ＋4)＝3f (x ＋2)，故有f (x )＝13f (x ＋2)＝f (x ＋4)9.故f (x )＝19f (x ＋4)＝19[(x ＋4)2－2(x ＋4)]＝19(x 2＋6x ＋8)＝(x ＋3)2－19.∴当x ＝－3时，函数f (x )取得最小值为－19.故选C. 答案：C13．设函数则使得f (x )≤4成立的x 的取值范围是 ．解析：f (x )的图像如图所示，要使f (x )≤4只需∴x ≤64.答案：(－∞，64]14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是 ．解析：如图，画出f (x )的图像，由图像易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1. 答案：(－3,1)15．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是 ．解析：函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，∴f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7. 答案：[7，＋∞)16．若x ＞1，x a －1＜1，则a 的取值范围是 ． 解析：因为x ＞1，x a －1＜1，所以a －1＜0，解得a ＜1. 答案：a ＜1B 组——能力提升练1．(2018·福州市质检)已知函数f (x )＝x 2－πx ，α，β，γ∈(0，π)，且sin α＝13， tan β＝54，cos γ＝－13，则( ) A ．f (α)＞f (β)＞f (γ) B ．f (α)＞f (γ)＞f (β) C ．f (β)＞f (α)＞f (γ)D ．f (β)＞f (γ)＞f (α)解析：因为sin α＝13，tan β＝54，cos γ＝－13，且α，β，γ∈(0，π)，所以0＜α＜π6或 5π6＜α＜π，π4＜β＜π3，π2＜γ＜2π3，因为函数f (x )＝x 2－πx 的图像的对称轴为x ＝π2，其图像如图所示，由图易知，f (α)＞f (β)＞f (γ)，故选A. 答案：A2．(2018·衡阳模拟)已知a 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，a ]，都有f (x )∈[－a ，a ]，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．(0，＋∞)D ．(0,2]解析：当0<a <1时，f (0)＝a ，f (a )≥－a ，即a 2－2a ＋a ≥－a ，因此0<a <1；当a ≥1时，f (0)＝a ，f (1)≥－a ，f (a )≤a ，即1－2＋a ≥－a ，a 2－2a ＋a ≤a ，因此1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为0<a ≤2.故选D. 答案：D3．函数f (x )＝(m 2－m －1)·x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解析：∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A. 答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,3) B ．[－3，－1] C ．[－3,3)D ．[－1,1)解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，所以g (x )＝⎩⎨⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a .又g (x )有三个不同的零点，则方程3－x ＝0，x >a 有一个解，解得x ＝3，所以a <3，方程x 2＋4x ＋3＝0，x ≤a 有两个不同的解，解得x ＝－1或x ＝－3，又因为x ≤a ，所以a ≥－1.故a 的取值范围为[－1,3)． 答案：A5．幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A ．1或3B ．1C ．3D ．2解析：由题意知⎩⎨⎧m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.故选B.答案：B6．下列选项正确的是( )A ．0.20.2>0.30.2C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3>0.93.1解析：A 中，∵函数y ＝x 0.2在(0，＋∞)上为增函数，0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2；B 中，∵函数y ＝在(0，＋∞)上为减函数，∴；C 中，∵0.8－1＝1.25，y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2；D 中，1.70.3>1,0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1.故选D. 答案：B7．已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋c ，f ′(0)<0，且f (x )∈[0，＋∞)，则f (－1)f ′(0)的最大值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－52D ．－32解析：由题意得f ′(x )＝2ax －b ，因为f ′(0)<0，所以b >0.由f (x )∈[0，＋∞)得⎩⎨⎧a >0Δ＝b 2－4ac ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04ac b2≥1，所以c >0，a ＋c b >0，f (－1)f ′(0)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋c b ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c b 2＝a 2＋c 2＋2ac b 2≥4acb 2≥1，所以a ＋c b ≥1，当且仅当a ＝c ＝b 2时，等号成立，所以f (－1)f ′(0)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋cb ≤－2. 答案：D8．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)的定义域和值域分别为A ，B ，若集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }对应的平面区域是正方形区域，则实数a ，b ，c 满足( ) A ．|a |＝4B ．a ＝－4且b 2＋16c ＞0C ．a ＜0且b 2＋4ac ≤0D ．以上说法都不对解析：由题意可知a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.设y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于两点(x 1,0)，(x 2,0)， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，f (x )的定义域为[x 1，x 2]， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4ca ＝b 2－4ac －a.由题意可知4ac －b 24a ＝b 2－4ac－a ，解得a ＝－4.∴实数a ，b ，c 满足a ＝－4，b 2＋16c ＞0，故选B. 答案：B9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或－3 C ．2或－3D ．－1或2解析：函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图像的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0<a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在(a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52，∵0<a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a >1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2. 答案：D10．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值 D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上解析：由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A 、B 正确，则有⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a . 由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错．而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错，与题意不符，故A 、B 中有一个错误，C 、D 都正确．若A 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8， ②4ac －b 24a ＝3， ③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649＝0，又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649＝0无整数解，故A错．若B 、C 、D 正确，则有⎩⎨⎧2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x 2－10x ＋8，此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A.答案：A11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是 ．解析：f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.答案：[2,3]12．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是 ．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴⎩⎨⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，∴⎩⎨⎧ b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域(图略)，可知14<b －2a －1<1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图像上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1x ，x ＞0， 则|P A |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2. 令t ＝x ＋1x ，则由x ＞0，得t ≥2.所以|P A |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2，由|P A |取得最小值得⎩⎨⎧ a ≤222－4a ＋2a 2－2＝(22)2或⎩⎨⎧a ＞2a 2－2＝(22)2， 解得a ＝－1或a ＝10.答案：－1，1014．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是 ．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2， 故当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2。
第04讲 幂函数与二次函数 (精讲+精练)(教师版)
第04讲幂函数与二次函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：幂函数的定义①求幂函数的值②求幂函数的解析式③由幂函数求参数高频考点二：幂函数的值域高频考点三：幂函数图象①判断幂函数图象②幂函数图象过定点问题高频考点四：幂函数单调性①判断幂函数的单调性②由幂函数单调性求参数③由幂函数单调性解不等式高频考点五：幂函数的奇偶性高频考点六：二次函数①二次函数值域问题;②求二次函数解析式③由二次函数单调性（区间）求参数④根据二次函数最值（值域）求参数⑤动轴定范围，定轴动范围的最值问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第04讲幂函数与二次函数（精练）1、幂函数（1）幂函数定义一般地，形如()f x x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．（2）五种常见幂函数R RR {|0}x x ≥ {|0}x x ≠（3）幂函数性质（高频考点）幂函数()f x x α=，在(0,)x ∈+∞①当0α>时，()f x x α=在(0,)+∞单调递增； ②当0α<时，()f x x α=在(0,)+∞单调递减；2、二次函数形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数.一、判断题1．（2021·全国·高一课时练习）若0a b <<)*2,n n N >≥∈．( )【答案】正确由题设，0a b ->->，而1*(2,)n y x n n N =≥∈在(0,)+∞上递增， ∴)*2,n n N ≥∈，正确.故答案为：正确2．（2021·全国·高一课时练习）若0a b <<，则33a b --<．( ) 【答案】错误∵3y x -=在(,0)-∞上递减，又0a b <<， ∴33a b -->，题设结论错误. 故答案为：错误 二、单选题1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）若函数()22f x x kx =-+在[]2,1--上是增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[4,)-+∞ C ．(,4]-∞- D ．(,2]-∞由题意得：242kk ≤-⇒≤-， 故选：C2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）若函数2()21f x x mx =+-在区间[)1,-+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],4∞- B ．[)4,+∞ C ．[)2,+∞ D ．(),2-∞-【答案】B因为函数2()21f x x mx =+-在区间[)1,-+∞上单调递增，则14m-≤-，解得4m ≥. 故选：B.3．（2022·云南玉溪·高一期末）幂函数22m m y x +-=()03,m m Z ≤≤∈的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是增函数，则m 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．2和3【答案】D因为03m ≤≤，m Z ∈， 所以当0m =时，2yx ，由幂函数性质得，在(0,)+∞上是减函数；所以当1m =时，0y x =，由幂函数性质得，在(0,)+∞上是常函数；所以当2m =时，4y x =，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在(0,)+∞上是增函数； 所以当3m =时，10y x =，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在(0,)+∞上是增函数； 故选：D.4．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数()f x 的图象经过点15,5⎛⎫⎪⎝⎭，则()8f 的值等于（ ）A ．14B ．4C ．8D ．18【答案】D设幂函数()f x x α=，幂函数()f x 的图象经过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1555f α==，解得1α=-，所以()1f x x -=，则()11888f -==． 故选：D.5．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数()()2222m f x m m x -=--⋅是幂函数，且在()0,∞+上递增，则实数m =（ ）A ．－1B ．－1或3C ．3D ．2【答案】C由题意知：2221m m --=，即()()130m m +-=，解得1m =-或3m =，∴当1m =-时，23m -=-，则()3f x x -=在()0,∞+上单调递减，不合题意;当3m =时，21m -=，则()f x x =在()0,∞+上单调递增，符合题意, ∴3m =, 故选：C高频考点一：幂函数的定义①求幂函数的值1．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数()f x 的图象经过点15,5⎛⎫⎪⎝⎭，则()8f 的值等于（ ）A ．14B ．4C ．8D ．18【答案】D设幂函数()f x x α=，幂函数()f x 的图象经过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1555f α==，解得1α=-，所以()1f x x -=，则()11888f -==． 故选：D.2．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）幂函数()y f x =的图象经过点(14,2)，则1()4f =____.【答案】2 设()f x x α=，则211(4)4222ααf -====， 所以12α=-，故12()f x x -=，所以1211()244f -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：23．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点18,2⎛⎫⎪⎝⎭，则127f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________ 【答案】3设幂函数()nf x x =，则182n =，则13n =-， 则()13f x x -=，则()1133311332727f ---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：3②求幂函数的解析式1．（2022·上海市控江中学高一期末）若幂函数()213m y m x +=-是严格增函数，则实数m =______.【答案】2因为()213m y m x +=-是幂函数，所以231m -=， 解得2m =±，又因为()213m y m x +=-是严格增函数所以10,1m m +>>-，2m ∴= 故答案为：22．（2022·北京·高一期末）幂函数()y f x =的图象恒过点_________，若幂函数()y f x =的图象过点()2,4，则此函数的解析式是____________． 【答案】 (1,1) 2()f x x =由幂函数的性质知：在第一象限恒过(1,1)，设幂函数()n f x x =，则24n =，即2n =，故2()f x x =. 故答案为：(1,1)，2()f x x =.3．（2022·辽宁辽阳·高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点()2,16-，则()f x =______，()()131f x f x +≤-的解集为______.【答案】 4x (][),01,-∞+∞依题意，设()f x x α=，则()()2216f α-=-=，解得4α=，于是得()4f x x =，显然()f x 是偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，而(1)(31)(|1|)(|31|)f x f x f x f x +≤-⇔+≤-， 即有131x x +≤-，解得0x ≤或1≥x ， 所以(1)(31)f x f x +≤-的解集为(][),01,-∞+∞.故答案为：4x ；(][),01,-∞+∞③由幂函数求参数1．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减，则()4f =（ ）A ．2B ．16C ．12D ．116【答案】D由题意得231110m m ⎧-=⎨<⎩，解得2m =-，所以()2f x x -=，故()1416f =, 故选：D2．（2022·贵州毕节·高一期末）若幂函数()122()44a f x a a x -=--在(0,)+∞上单调递增，则=a （ ） A ．1 B ．6C ．2D ．1-【答案】D∵幂函数()122()44a f x a a x-=--在(0,)+∞上单调递增，∴2441102⎧--=⎪⎨->⎪⎩a a a ，解得1a =-，故选：D ．3．（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）幂函数()()212m f x m x -=-在()0,+∞上单调递增，则m =______．由题意得22110m m ⎧-=⎨->⎩，解得m ．高频考点二：幂函数的值域1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，值域是R 的幂函数是（ ） A ．13y x = B ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23y x =D ．23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A由题意可得选项B 、D 的函数为指数函数，故排除B 、D ；对于A：函数13y x ==R ，所以值域为R ，满足条件；对于C：函数23y x ==R ，在第一象限内单调递增，又20x ≥，所以值域为[)0+∞，，不满足条件； 故选：A2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（ ） A ．(),0-∞ B ．()(),00,-∞⋃+∞ C ．()0,∞+D ．[)0,+∞【答案】D幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)， 84α∴=，解得23α=， 23(0)f x x ∴==，∴()f x 的值域是[)0,+∞.故选：D.3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）下列函数是偶函数且值域为[)0,∞+的是（ ）①y x =；②3y x =；③||2x y =；④2y x x =+ .A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【答案】C对于①，y x =是偶函数，且值域为[)0,∞+； 对于②，3y x =是奇函数，值域为R ；对于③，2xy =是偶函数，值域为[)1,+∞；对于④，2y x x =+是偶函数，且值域为[)0,∞+，所以符合题意的有①④ 故选：C.4．（2022·广东·广州六中高一期末）幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（ ） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C设()af x x =，代入点(得2a =12a ∴=， ()12f x x ∴=则12y x x =-，令12t x =，0t ≥22111244t t t y ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭∴=-函数()y x f x =-的值域是1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C.5．（2021·河北·石家庄市第九中学高一期中）若幂函数()f x 的图象过点14,16⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的值域为____________．【答案】()0,+∞设()f x x α=，因为幂函数()f x 的图象过点14,16⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以214416α-==所以2α=-，所以()221()0,f x x x -==∈+∞ 故答案为：()0,+∞高频考点三：幂函数图象①判断幂函数图象1．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =【答案】D根据函数图象可得：①对应的幂函数y x α=在[)0,∞+上单调递增，且增长速度越来越慢，故()0,1α∈，故D 选项符合要求. 故选：D2．（2022·全国·高一）图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【答案】D由幂函数y x α=在第一象限内的图象，结合幂函数的性质， 可得：图中C 1对应的0α<，C 2对应的01α<<，C 3对应的1α>，结合选项知，指数α的值依次可以是11,,32-．故选：D.3．（2022·湖南·高一课时练习）结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？ (2)写出每个函数的定义域、值域； (3)写出每个函数的单调区间； (4)从图中你发现了什么？ 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. (1)数形结合可知，2y x =的图象关于y 轴对称，故其为偶函数； 31,,y x y x y x===的图象关于原点对称，故都为奇函数. (2)数形结合可知：y =[)0,+∞，值域为[)0,+∞； 3,y x y x ==的定义域都是R ，值域也是R ；1y x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，值域也为()(),00,-∞⋃+∞； 2y x =的定义域为R ，值域为[)0,+∞.(3)数形结合可知：y =[)0,+∞，无单调减区间； 3,y x y x ==的单调增区间是：R ，无单调减区间；1y x=的单调减区间是：(),0-∞和()0,+∞，无单调增区间； 2y x =的单调减区间是(),0-∞，单调增区间是()0,+∞.(4)数形结合可知：幂函数均恒过()1,1点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y x α=，当0α>，其一定在()0,+∞是单调增函数；当0α<，在()0,+∞是单调减函数.②幂函数图象过定点问题1．（2022·北京·高三专题练习）已知函数1()2x a f x a x -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为____________. 【答案】()1,41x =时，(1)1124f =++=，所以函数图象恒过定点(1,4)．故答案为：(1,4)．2．（2021·全国·高一专题练习）函数()()110y x αα=-+<恒过定点______． 【答案】()2,2当11x -=，即2x =时，2y =，∴函数恒过定点()2,2. 故答案为：()2,2.3．（2021·全国·高一课时练习）函数32y x α=-的图象过定点________． 【答案】()1,1幂函数y x α=的图象过()1,1，将1x =代入32y x α=-，可得3121y =⨯-=， 所以函数32y x α=-的图象过定点()1,1. 故答案为：()1,1.4．（2021·上海·高一专题练习）幂函数()f x 的图象过点(，则函数()()()31,0g x af x a R a =-+∈≠的图象经过定点__________． 【答案】()3,1因为幂函数()f x x α=过点(，可解得12α=， 所以()12f x x =， 故12()(3)1g x a x =-+， 当3x =时，(3)011g a =⨯+=， 故()g x 恒过定点(3,1). 故答案为()3,15．（2021·全国·高一课时练习）若R a ∈，函数()()13f x x α=-+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为______． 【答案】()2,4因为()f x x α=过定点(1,1)，将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得：()()13f x x α=-+， 所以()()13f x x α=-+过定点()2,4.故答案为()2,4.高频考点四：幂函数单调性①判断幂函数的单调性1．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））下列函数是偶函数，且在区间(),0∞-上为增函数的是（ ） A ．2yxB ．2y x =+C ．2x y =D ．31y x =-【答案】A A 选项：221yf xxx，()()()2211f x f x x x -===-，为偶函数，在(),0∞-上单调递增，故A 选项正确； B 选项：()2y g x x ==+，()()22g x x x g x -=-+=+=，为偶函数，0x <时，2y x =-+，在(),0∞-上单调递减，故B 选项错误；C 选项：()2xy h x ==，()22xxh x --==，为偶函数，0x <时，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，在(),0∞-上单调递减，故C 选项错误；D 选项：()31y s x x ==-，()()()3311s x x x s x -=--=--≠，且()()s x s x -≠-，为非奇非偶函数，且在R 上单调递增，故D 选项错误； 故选：A.2．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()22my m m x =+幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数m =（ ）A ．12 B ．1- C ．12或1- D ．12-【答案】A因为函数()22my m m x =+为幂函数，则221m m +=，即2210m m +-=，解得12m =或1-. 若1m =-，函数解析式为1y x=，该函数在定义域上不单调，舍去；若12m =，函数解析式为y =[)0,∞+上为增函数，合乎题意. 综上所述，12m =. 故选：A.3．（多选）（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（ ） A ．cos y x = B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．23y x =【答案】BDA ：cos y x =在()0,+∞上不单调，不符合；B ：()1||1()f x x x f x -=-+=+=且R x ∈是偶函数，1,01,0x x y x x -+≤⎧=⎨+>⎩在()0,+∞上单调递增，符合；C ：21y x =-+在()0,+∞上递减，不符合；D ：2233()()()f x x x f x -=-===且R x ∈是偶函数，且在()0,+∞上单调递增，符合. 故选：BD4．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知幂函数()()213m f x m x -=-在()0,∞+内是单调递减函数，则实数m =______． 【答案】2-由题意得，函数()f x 为幂函数且在()0,∞+内是单调递减，所以23110m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =-．故答案为：2-.5．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数()()24Z m mf x x m -+=∈的图象关于y 轴对称，且在区间()0,+∞上是严格增函数． (1)求m 的值；(2)求满足不等式()()211f a f a -<+的实数a 的取值范围． 【答案】(1)2m =(2)02a << (1)解：因为幂函数()24mmf x x -+=在区间()0,+∞上是严格增函数，所以240m m -+>，解得04m <<， 又因为m ∈Z ，所以1m =或2m =或3m =，当1m =或3m =时，()3f x x =为奇函数，图象关于原点对称（舍）； 当2m =时，()4f x x =为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；综上所述，2m =. (2)解：由（1）得()4f x x =为偶函数，且在区间()0,+∞上是严格增函数，则由()()211f a f a -<+得|21||1|a a -<+，即22(21)(1)a a -<+，即220a a -<，解得02a <<， 所以满足()()211f a f a -<+的实数a 的取值范围为02a <<.②由幂函数单调性求参数1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）已知幂函数()()22222mm f m x m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则()f m 的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-【答案】C由函数()f x 为幂函数知，2221m m --=，解得3m =或1m =-.∵()f x 在()0,∞+上是减函数，而当3m =时，220m m +->，在()0,∞+是增函数，不符合题意， 当1m =-时，220m m +-<，符合题意，∴1m =-，()2f x x -=，∴()1f m =. 故选：C.2．（2022·江苏省天一中学高一期末）“1n =”是“幂函数()()22333nnf x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A由题意，当1n =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，故充分性成立； 若幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，则2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，解得1n =或2n =故必要性不成立因此“1n =”是“幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A3．（2022·广西百色·高一期末）已知幂函数()()2221mm f x m m x+-=-+在()0,∞+上单调递减，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-【答案】A由题意，幂函数()()2221m m f x m m x+-=-+，可得211m m -+=，解得0m =或1m =，当0m =时，可得()2f x x -=，可得()f x 在()0,∞+上单调递减，符合题意； 当1m =时，可得()0f x x =，可得()f x 在()0,∞+上无单调性，不符合题意，综上可得，实数m 的值为0. 故选：A.4．（2022·河南平顶山·高一期末）已知幂函数()()22af x a a x =+在其定义域上是增函数，则实数=a ___________．【答案】12因为()f x 为幂函数，所以221a a +=，解得1a =-或12a =， 又()f x 在其定义域上是增函数， 所以0a >，所以12a =. 故答案为：125．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知幂函数()()224mf x m m x =-++在()0,∞+上单调递减，则实数m =__________． 【答案】1-根据幂函数的定义知2241m m -++=，即2230m m --=， 解得3m =或1m =-，又()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以1m =-． 故答案为：1-.③由幂函数单调性解不等式1．（2022·全国·高三专题练习）“1122(1)(32)a a +<-”是“223a -<<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A因为12y x =定义域为[)0,∞+，且为增函数，又1122(1)(32)a a +<-，所以13210320a aa a +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，解得：213a -≤<，因为223 123a a ⇒-≤<-<<，而 223a -<<⇒213a -≤<，故“1122(1)(32)a a +<-”是“223a -<<”的充分不必要条件. 故选：A2．（2022·北京·高三专题练习）若11(1)(32)m m --+<-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2332m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，B ．(1)m ∈--∞，C ．23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭∞，， D ．m ∈∅【答案】C因为幂函数1y x -=在(),0-∞和()0,∞+上都是单调递减的，所以，由11(1)(32)m m --+<-可得10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320132m m m m+<⎧⎪-<⎨⎪+<-⎩或10320m m +<⎧⎨->⎩ 解得2332m <<或1m <-，即实数m 的取值范围为23(1)32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，. 故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【答案】C解：因为幂函数()(1)n f x a x =-的图像过点(2,8)，所以1128n a -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =，由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <． 故b 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C.4．（2022·重庆巫山·高一期末）若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______ 【答案】(],2-∞由题意，不妨设()f x x α=，因为幂函数()f x 过点()2,8，则(2)28f α==，解得3α=，故()3f x x =为定义在R 上的奇函数，且()f x 为增函数，因为()()310f a f a -+-≤，则()()31(1)f a f a f a -≤--=-， 故31a a -≤-，解得2a ≤， 从而实数a 的取值范围是(],2-∞. 故答案为：(],2-∞.5．（2022·湖北武汉·高一期末）已知幂函数()()()2157m f x m m x m R +=-+∈为奇函数．(1)求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()()21f a f a ->，求代数式41a a +-的最小值． 【答案】(1)18(2)5(1)由题知，2571m m -+=，解得2m =或3m =， 又函数为奇函数，则2m =，3()f x x =， 3111()228f ⎛⎫== ⎪⎝⎭(2)由（1）知，函数单增，()()21f a f a ->等价于21a a ->，解得1a >，44111511a a a a +=-++≥=--，当且仅当3a =时，等号成立. 因此，代数式的最小值为5.6．（2022·全国·高一）已知幂函数2223*(2 2)()m m y k k x m --=--⋅∈N 的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数.（1）求m 和k 的值；（2）求满足33(1)(32)mma a --+<-的a 的取值范围.【答案】（1）1k =-或3k =；1m =；（2）233,,322⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1m =，再根据幂函数的单调性即可求解. （1）函数为幂函数，2221k k ∴--=， 即2230k k --=，解得1k =-或3k =， 函数在(0,)+∞上是减函数2230m m ∴--<，解得13m -<<，又函数图象关于y 轴对称，所以函数为偶函数，*m N ∈，当0m =时，3y x -=，函数不是偶函数，舍去；当1m =时，4y x -=，函数为偶函数，满足条件； 当2m =时，3y x -=，函数不是偶函数，舍去； 综上所述，1m =. （2）由（1）可知1m =，因为13y x -=在(),0-∞，()0,∞+上单调递减， 所以1133(1)(32)a a --+<-等价于1320a a +>->或3210a a -<+<或3201a a -<<+， 解得2332a <<或32a >. 故a 的取值范围为233,,322⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭高频考点五：幂函数的奇偶性1．（2022·辽宁·育明高中高一期末）下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（ ） A ．2yxB ．e e x x y -=+C ．lg y x =D ．23y x =【答案】D 2yx 的值域为()0,∞+，不符合题意，A 选项错误.lg y x =的定义域为()0,∞+，是非奇非偶函数，不符合题意，C 选项错误.令()23f x x =，其定义域为R ，()()()2233f x x x f x =-=-=，所以()f x 是偶函数， 且230x ≥，即()f x 的值域为[)0,∞+，符合题意，D 选项正确. 故选：D2．（2022·四川雅安·高一期末）已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1或2【答案】C幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，2331a a ∴-+=，且1a +为偶数，则实数1a =， 故选：C3．（多选）（2022·广西钦州·高一期末）若函数()2231()69mm f x m m x-+=-+是幂函数且为奇函数，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BD因为函数2231()(69)m m f x m m x -+=-+是幂函数，所以2691m m -+=， 解得：2m =或4m =，当2m =时，函数11()f x x x-==，此时函数()f x 为奇函数，满足题意； 当4m =时，函数5()f x x =，此时函数()f x 为奇函数，满足题意， 故选：BD.4．（2022·黑龙江绥化·高一期末）已知幂函数f (x )是奇函数且在(0,)+∞上是减函数，请写出f (x )的一个表达式________． 【答案】3()-=f x x因为幂函数()f x x α=是奇函数且在(0,)+∞上是减函数， 所以α为负数且为奇数，所以f (x )的一个表达式可以是3()-=f x x （答案不唯一）， 故答案为：3()-=f x x （答案不唯一）5．（2022·四川·宁南中学高一开学考试）已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞内是减函数，则()f x 的解析式为________． 【答案】4()f x x -=因幂函数223()m m f x x --=在区间(0,)+∞内是减函数，则有2230m m --<，解得13m -<<，而m Z ∈，于是得{0,1,2}m ∈，又()f x 的图象关于y 轴对称，则函数()f x 为偶函数，即幂指数223m m --为偶数，而0m =或2m =时2233m m --=-是奇数，1m =时2234m m --=-为偶数， 所以1m =，()f x 的解析式为4()f x x -=. 故答案为：4()f x x -=高频考点六：二次函数①二次函数值域问题1．（多选）（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）设函数()21f x x mx =-+，[]0,2m ∈，若存在[],0,1a b ∈，a b ≤，使()()2f a f b =，则m 的可能取值是（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】CD注意240m =-≤，所以()f x 恒非负， 且对称轴[]0,12mx =∈.固定b ，只需当[]0,x b ∈时()()()max min 2f x f b f x ≥≥，因此只需存在[]0,1b ∈使()()02f f b ≥，故()022m f f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，解得m ⎤∈⎦. 故选：CD2．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______ 【答案】80因为22()25(1)4f x x x x =-+=-+，所以当1x =时，min ()(1)4f x f ==，当5x =时，2max ()(5)(51)420f x f ==-+=，所以最大值和最小值之积为42080⨯=. 故答案为：803．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数2()35,()2x f x x x g x a =-++=+，若12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x <，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】34a >-当[0,2]x ∈时，22329()3524f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴当32x =时，max 329()24f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 当[2,3]x ∈时，()2xg x a =+为增函数， 所以3x =时，()g x 取得最大值(3)8g a =+， ∵对12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x <， ∴max max ()()f x g x <， ∴2984a <+，解得34a >-. 故答案为：34a >-.4．（2022·湖南·高一课时练习）求函数242y x x =-+-在区间[]0,3上的最大值和最小值． 【答案】()max 2f x =，()min 2f x =- ()224222y x x x =-+-=--+，二次函数的开口向下，对称轴为2x =，且[0,3]x ∈ 所以函数在[]0,2单调递增，在(]2,3上单调递减， 所以()()max 22f x f ==，()()min 02f x f ==-②求二次函数解析式1．（2022·河南安阳·高一期末（文））已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求()f x 在区间[]1,2-上的值域.【答案】(1)()222f x x x =-+(2)[]1,5(1)解：由()02f =可得2c =，()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++，由()()121f x f x x +-=-得221ax a b x ++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以()222f x x x =-+.(2)解：由（1）可得：()()222211f x x x x =-+=-+， 则()f x 的图象的对称轴方程为1x =，()11f =， 又因为()15f -=，()22f =，所以，()f x 在区间[]1,2-上的值域为[]1,5.2．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++有最小值3-，且函数的零点为1-和2，求该二次函数的表达式． 【答案】2448()333f x x x =-- 因为二次函数的零点为1-和2， 所以设二次函数为()(1)(2)f x a x x =+-， 因为二次函数2y ax bx c =++有最小值3-， 所以1302f a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，，所以1112322a ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得43a =，所以二次函数为24448()(1)(2)3333f x x x x x =+-=--3．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数()2143y m x x =-+-的图象开口向下，与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点．(1)求m 的取值范围；(2)当221210x x +=时，求该二次函数的表达式．【答案】(1)713m <<; (2)24 3.y x x =-+- (1)抛物线开口向下,与.x 轴有两个交点，10,1612(1)0.m m -<⎧∴⎨+->⎩71.3m ∴<<(2)12,x x 是方程()21430m x x -+-=的两根，121243,.11x x x x m m-∴-+==-- 又222121212()2,x x x x x x +=+-246()10.11m m-∴+=-- 25760.m m ∴--= 35m ∴=-或2m =71,3m <<2m ∴=所求函数的表达式为24 3.y x x =-+-4．（2022·河南·信阳高中高一期末（文））已知()f x 为二次函数，且()()21124f x f x x x ++-=-．(1)求()f x 的表达式；【答案】(1)()221f x x x =--(1)设()()20f x ax bx c a =++≠，因为()()21124f x f x x x ++-=-，所以()()()()222111124a x b x c a x b x c x x +++++-+-+=- 整理的，22222224ax bx a c x x +++=-故有2224220a b a c =⎧⎪=-⎨⎪+=⎩，即121a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以()221f x x x =--.5．（2022·山西·高一期末）已知()f x 是二次函数，且满足()()13f x f x -=+，()01f =，()10f =. (1)求函数()f x 的解析式； 【答案】(1)()214133f x x x =-+.(1)解：设()()20f x ax bx c a =++≠，因为()()13f x f x -=+，所以函数()f x 关于2x =对称， 所以22ba-=， 又()01f =，()10f =，所以2210b ac a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩，解得13431a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以()214133f x x x =-+；③由二次函数单调性（区间）求参数1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<=⎨≥⎩，若函数()f x 在R 上为减函数，则实数a的取值范围为（ ） A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B解：因为函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<=⎨≥⎩在R 上为减函数，所以()213112011312a a a a +⎧≥⎪⎪<<⎨⎪-++≥⎪⎩，解得1132a ≤≤，所以实数a 的取值范围为11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B.2．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若函数()210f x x mx =-+在()2,1-上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．(),2-∞【答案】B由于函数()210f x x mx =-+是开口向上，对称轴为2m x =， 所函数()f x 的单调递减区间为,2m ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，又函数()210f x x mx =-+在()2,1-上是减函数，所以()2,1,2m ⎛⎤-⊆-∞ ⎥⎝⎦，所以12m ≥，所以[)2,m ∈+∞.故选;B.3．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）若函数2()21f x ax x =+-在区间(),6-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】1,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当0a =时，函数()21f x x =-在R 上单调递增，即()f x 在(),6-∞上递增，则0a =，当0a ≠时，函数()f x 是二次函数，又()f x 在(),6-∞上单调递增，由二次函数性质知，0a <， 则有160a a ⎧-≥⎪⎨⎪<⎩，解得106a -≤<，所以实数a 的取值范围是1,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．（2022·广东揭阳·高二期末）若函数22y x mx =-的递增区间是[)1,+∞，则实数m =______. 【答案】1因为二次函数22y x mx =-开口向上，对称轴为x m =，故其单调增区间为[),m +∞， 又由题可知：其递增区间是[)1,+∞，故1m =. 故答案为：1.5．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()221f x x ax =+-在区间(],1-∞上单调递减，求实数a 的取值范围．【答案】(,1]-∞-二次函数()221f x x ax =+-的对称轴为：x a =-， 因为函数()221f x x ax =+-在区间(],1-∞上单调递减，所以11a a ≤-⇒≤-，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞-.④根据二次函数最值（值域）求参数1．（2022·北京·人大附中高三开学考试）已知二次函数2()2(R)f x ax x c x =++∈的值域为[0,)+∞，则14c a+的最小值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】A因为二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,)+∞，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，即1ac =，0,0a c >>，所以144c a +≥，当且仅当14c a =，即1,22c a ==时等号成立，故选：A2．（2022·山西运城·高一期末）已知二次函数()()2f x ax x c x =-+∈R 的值域为[)0,∞+，则41a c+的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．10D ．8【答案】D由题意知0a >，140ac ∆=-=， ∴14ac =且0c >，∴418a c +≥=， 当且仅当41a c =，即1a =，14c =时取等号. 故选：D.3．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____. 【答案】[]1,3函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]， 当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]． 故答案为：[1，3]4．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值． 【答案】(1)(1,1)(5,7)-⋃ (2)0,2t a ==或2,2t a == (1)当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ， 所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． (2)(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥， 若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥， 所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．5．（2022·重庆·高一期末）已知函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈．(1)若()f x 在[]0,1上的值域为[]4,6，求a 的值； 【答案】(1)3a =． (1)解：因为函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈，对称轴2ax =，且()09f a =-，()1102f a =-，21924a f a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当02a<时，函数()f x 在0,1上单调递增，所以()()0416f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即941026a a -=⎧⎨-=⎩，此时无解； 当>12a时，函数()f x 在0,1上单调递减，所以 ()()0614f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即961024a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =； 当012a ≤≤，即02a ≤≤时，函数()f x 在2ax =取得最小值，所以42a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21944a a --+=，方程在02a ≤≤上无解，综上得：3a =；⑤动轴定范围，定轴动范围的最值问题1．（2022·浙江金华第一中学高一期末）己知函数()()213f x x a x =--+，(1)求()f x 在[]1,1-上的最小值； 【答案】(1)答案见解析 (1)解：（1）由()23f x x ax a =-++，抛物线开口向上，对称轴为2a x =， ()f x 在[]1,1x ∈-上的最小值需考虑对称轴2ax =与区间[]1,1-的位置关系. （i ）当12a≤-时，()()min 11324f x f a a a =-=+++=+； （ii ）当112a -<<时，()222min 332424a aa a f x f a a ⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭； （ⅲ）当12a≥时，()()min 1134f x f a a ==-++= 2．（2022·广东·高一期末）已知函数2()2221,=-+++∈R f x x ax a a ．若函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为12，求a 的值．【答案】2a =-()f x 对称轴为2a x =，当12a <-，即2a <-时，()f x 在[1,1]-上单调递减，()max 1()112f x f =-=-≠，舍去；当112a -≤≤，即22a -≤≤时，22max 1()21222a a f x f a a ⎛⎫==-+++= ⎪⎝⎭，解得：2a =-22a =--（舍去）；当12a >，即2a >时，()f x 在[1,1]-上单调递增，()max 1()1412f x f a ==-=，解得：328a =<（舍去）；综上：2a =-3．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知二次函数()f x 满足()19f =-，且不等式()30f x x +<的解集为()1,4-． (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()f x 在[]0,x t ∈时的值域为[]13,4--，求t 的取值范围，【答案】(1)()264f x x x =--(2)[]3,6解：因为()f x 为二次函数，所以()30f x x +<为一元二次不等式， 故可设()()()314f x x a x x +=+-，所以()()2314f x ax a x a =-+-，由()19f =-，得639a --=-，所以1a =，所以()264f x x x =--；(2)解：因为()()2264313f x x x x =--=--， 所以当3x =时，()f x 取最小值13-， 又由()4f x =-，得0x =或6x =，所以结合()f x 的对称性，可知[]30,t ∈，且6t ≤， 所以36t ≤≤所以t 的取值范围为[]3,64．（2022·山东·广饶一中高一开学考试）已知函数()223f x x ax =--.(1)若1a =，求不等式()0f x ≥的解集；(2)已知()f x 在[)3,+∞上单调递增，求a 的取值范围； (3)求()f x 在[]1,2-上的最小值.【答案】(1)(,1][3,)-∞-+∞(2)(,3]-∞(3)()2min 22,13,1214,2a a f x a a a a -<-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩(1)解：当1a =时，函数()223f x x x =--，不等式()0f x ≥，即223(1)(3)0x x x x --=+-≥，解得1x ≤-或3x ≥， 即不等式()0f x ≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞. (2)解：由函数()223f x x ax =--，可得()f x 的图象开口向上，且对称轴为x a =，要使得()f x 在[)3,+∞上单调递增，则满足3a ≤， 所以a 的取值范围为(,3]-∞. (3)解：由函数()223f x x ax =--，可得()f x 的图象开口向上，且对称轴为x a =，当1a <-时，函数()f x 在[]1,2-上单调递增，所以()f x 最小值为()122f a -=-； 当12a -≤≤时，函数()f x 在[]1,a -递减，在[],2a 上递增，所以()f x 最小值为()23f a a =--；当2a >时，函数()f x 在[]1,2-上单调递减，所以()f x 最小值为()214f a =-， 综上可得，()f x 在[]1,2-上的最小值为()2min22,13,1214,2a a f x a a a a -<-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩. 5．（2022·全国·高三专题练习（理））设2()44,[,1](),f x x x x t t t R =--∈+∈求函数()f x 的最小值()g t 的解析式. 【答案】()[]()2227,,1()8,1,244,2,t t t g t t t t t ⎧--∈-∞⎪=-∈⎨⎪--∈+∞⎩22()44(2)8f x x x x =--=--，[,1]x t t ∈+，函数图像的对称轴为直线2x =， ∴当[,1]2t t ∈+时，即12t 时， ()(2)8g t f ∴==-.当12t +<，即1t <时，()f x 在[,1]t t +上是减函数， ∴2()(1)27g t f t t t =+=--.当2t >时，()f x 在[,1]t t +上是增函数， ∴2()()44g t f t t t ==--.综上：()[]()2227,,1()8,1,244,2,t t t g t t t t t ⎧--∈-∞⎪=-∈⎨⎪--∈+∞⎩.1．（2021·山东·高考真题）关于函数22y x x =-+，以下表达错误的选项是（ ） A ．函数的最大值是1B ．函数图象的对称轴是直线1x =C ．函数的单调递减区间是[)1,-+∞D ．函数图象过点()2,0【答案】C()22211y x x x =-+=--+，最大值是1，A 正确；对称轴是直线1x =，B 正确； 单调递减区间是[)1,+∞，故C 错误；令2x =的22220y =-+⨯=，故()2,0在函数图象上，故D 正确， 故选：C2．（2021·湖南·高考真题）函数2()41f x x x =--的单调递减区间是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)2,-+∞C ．(],2-∞D ．(],4-∞【答案】C函数2()41f x x x =--的对称轴为2x =，开口向上，所以函数2()41f x x x =--的单调递减区间是(],2-∞， 故选：C.3．（2020·江苏·高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4-23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数245y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值5，最小值1，则m 得取值范围是 A ．[0,1] B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[2,4]【答案】D函数22()45(2)1f x x x x =-+=-+的对称轴为2x =，此时，函数取得最小值为1， 当0x =或4x =时，函数值等于5．又2()45f x x x =-+在区间[0，]m 上的最大值为5，最小值为1，∴实数m 的取值范围是[2，4]，故选D ．2．（2022·全国·高三专题练习（文））如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (0)<f (2)<f (－2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (2)<f (0)<f (－2) D ．f (－2)<f (0)<f (2)【答案】A由()()1f x f x +=-知函数()f x 图象的对称轴为12x =，而抛物线的开口向上，且11022-=，13222-=，15222--=，根据到对称轴的距离远的函数值较大得()()()220f f f ->>．故选A.3．（2022·全国·高三专题练习）设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭则“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的（ ） A ．充分不必要件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C由11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，由()f x x α=的图像经过()1,1--，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=为奇函数. 又当()f x x α=为奇函数时，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=的图象经过()1,1--.所以“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的充要条件故选：C4．（2022·北京·高三专题练习）已知点(2,4)在幂函数()f x 图像上，则()f x 的表达式为（ ）A ．()2x f x =B ．2()f x x =C ．3()2x f x =D ．()f x =【答案】B设()f x x α=，由条件可知()224f α==，所以=2α，所以()2f x x =，故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③ D ．①③【答案】B因为图象与x 轴交于两点，所以240b ac ->，即24b ac >，①正确． 对称轴为1,1,202bx a b a=--=--=，②错误． 结合图象，当1x =-时，0y >，即0a b c -+>，③错误．由对称轴为1x =-知，2b a =.又函数图象开口向下，所以0a <，所以52a a <，即5a b <，④正确．故选B ．6．（2022·全国·高三专题练习）幂函数()()22222mf x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意； 当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =. 故选：B.7．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()()22231aa f x a a xa --=+-∈R 的图象在()0,∞+上单调递减，则实数a。
二次函数性质的再研究函数高一数学总结练习含答案北京海淀
§4二次函数性质的再研究1.二次函数的图像变换(1)二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由函数y=x2的图像上各点的纵坐标变为原来的a倍得到.若a>0,则二次函数y=ax2的图像开口向上;若a<0,则二次函数y=ax2的图像开口向下,即a决定了二次函数图像的开口方向和在同一坐标系中的开口大小.|a|越小,在同一坐标系中二次函数y=ax2图像的开口越大;|a|越大,在同一坐标系中二次函数y=ax2图像的开口越小.(2)二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0),a决定了二次函数图像的开口大小及方向;h决定了二次函数图像的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图像的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),通过配方可以得到它的恒等形式y=a(x+b2a )2+4ac-b24a,从而可知,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像可以由二次函数y=x2的图像经过变换得出.2.二次函数的性质(1)当a>0时,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像开口向上,顶点坐标为①,对称轴为直线②; f(x)在(-∞,-b2a ]上是减少的,在[-b2a,+∞)上是增加的;当x=-b2a时,函数f(x)取得最小值4ac-b24a.(2)当a<0时,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像开口向下,顶点坐标为(-b2a ,4ac-b24a),对称轴为直线x=-b2a ;f(x)在(-∞,-b2a]上是增加的,在[-b2a,+∞)上是减少的;当x=-b2a时,函数f(x)取得最大值4ac-b24a.上述性质可以分别通过图a和图b直观地表示出来.图a图b一、二次函数在闭区间上的最值问题1.(2014河北邯郸模拟,★☆☆)若f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上有最大值2,则a的取值集合是.思路点拨根据二次函数图像的顶点横坐标是否在区间[0,1]上分情况讨论.2.(2010广东,文20,14分,★★☆)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).(1)求f(-1), f(2.5)的值;(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性;(3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.思路点拨根据已知区间上函数的解析式f(x)=x(x-2)和关系式f(x)=kf(x+2)进行转化,然后分情况进行讨论.二、二次函数的应用3.(2012陕西,理13,5分,★☆☆)下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.思路点拨建立坐标系求出抛物线方程,然后求出水面与抛物线交点处的坐标即可.4.(2014河南安阳模拟,★★☆)已知某商品的价格每上涨x%,销售的数量就减少mx%,其中m为大于0的常数.(1)若m=1,则当该商品的价格上涨多少时,就能使销售的总金额最大?2(2)求能使销售的总金额持续增加的m的取值范围.思路点拨(1)销售的总金额等于销售总量乘以销售价格,在原有的基础上价格上涨、销量减少,把这个规律找出来,即可建立销售的总金额与价格上涨之间的函数关系式,利用求函数最值的方法解决问题;(2)问题等价于求函数的单调递增区间.一、选择题1.二次函数y=x2-4x图像的对称轴的方程是( )A.x=-2B.x=-4C.x=2D.x=42.将函数y=x2-2x的图像向右平移2个单位,再向下平移1个单位后所得图像对应的函数解析式为( )A.y=x2+6x+7B.y=x2-6x+7C.y=x2+2x-1D.y=x2-2x+13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点坐标为(0,11),则( )A.a=1,b=-4,c=-11B.a=3,b=12,c=11C.a=3,b=-6,c=11D.a=3,b=-12,c=114.已知反比例函数y=k的图像如下图所示,则二次函数y=2kx2-x+k2的图像大致为( )x二、填空题5.将函数y=x2+m的图像向下平移2个单位长度,得到函数y=x2-1的图像,则实数m= .6.设函数f(x)=x2+bx+c,若f(-4)=f(0), f(-2)=-2,则f(x)= .7.如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(1,1)上是增加的,则f(2)的取值范围是.2三、解答题8.二次函数的图像经过点(1,0),(2,3),其图像的对称轴为直线x=3,求这个二次函数的解析式.9.已知函数f(x)=ax 2-2ax+3-b(a>0)在[1,3]上有最大值5和最小值2,求a 、b 的值.10.已知f(x)=-4x 2+4ax-4a-a 2在区间[0,1]内有一最大值-5,求a 的值.11.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图像(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 (万元)与销售时间 (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系).根据图像提供的信息,解答下列问题:(1)已知图像上的三个点的坐标为(1,-32),(2,-2)和(5,52),求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元.一、选择题1.(2015山东烟台期中,★☆☆)若f(x)=x2-2(a-1)x+2在(-∞,3]上是减函数,则a的取值范围是( )A.a>4B.a<4C.a≥4D.a≤42.(2015广东汕头金山中学期末,★☆☆)若函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞,1]内递减,在(1,+∞)内递增,则a的值是( )A.1B.3C.5D.-13.(2013山东泰安模拟,★★☆)已知二次函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m+1)的值为( )A.正数B.负数C.0D.符号与a有关二、填空题4.(2015山西忻州一中期中,★★☆)已知函数f(x)=4x2-kx-8在[4,10]上具有单调性,则实数k的取值范围是.5.(2015浙江瑞安四校联考,★★☆)若二次函数f(x)=ax2+4(a+1)x-3在[2,+∞)上递减,则a的取值范围是.三、解答题6.(2015山西大学附中月考,★★☆)已知函数f(x)=3x2-6x-5.(1)设g(x)=f(x)-2x2+mx,其中m∈R,求g(x)在[1,3]上的最小值;(2)已知对任意的a∈[1,2],关于x的不等式f(x)≤x2-(2a+6)x+a+b在区间[1,3]上恒成立,求实数b的取值范围.7.(2014江西赣州期末,★☆☆)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图像恒在函数y=2x+m的图像的上方,求实数m的取值范围.知识清单①(-b2a ,4ac -b 24a) ②x=-b2a链接高考1.答案 {-1,2}解析 f(x)=-(x-a)2+a 2-a+1,x∈[0,1]. (1)当a<0时, f(x)max =f(0)=1-a=2,得a=-1. (2)当0≤a≤1时, f(x)max =f(a)=a 2-a+1=2,解得a=1±√52∉[0,1],故方程a 2-a+1=2在[0,1]上无解.(3)当a>1时, f(x)max =f(1)=a=2,得 a=2. 综上,a 的取值集合为{-1,2}.2.解析 (1)由已知得f(-1)=kf(1)=-k, f(0.5)=kf(2.5),∴f(2.5)=1k f(0.5)=1k (0.5-2)×0.5=-34k . (2)∵对任意实数x,均有f(x)=kf(x+2), ∴f(x -2)=kf(x),∴f(x)=1k f(x-2),当-2≤x<0时,0≤x+2<2, f(x)=kf(x+2)=kx(x+2); 当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0, f(x)=kf(x+2)=k 2(x+2)·(x+4);当2≤x≤3时,0≤x -2≤1, f(x)=1k f(x-2)=1k (x-2)(x-4).故f(x)={ k 2(x +2)(x +4), -3≤x <-2,kx (x +2),-2≤x <0,x (x -2),0≤x <2,1k(x -2)(x -4),2≤x ≤3.∵k<0,∴f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数. (3)由函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,f(x)在x=-3或x=1处取得最小值 f(-3)=-k 2或f(1)=-1,而在x=-1或x=3处取得最大值f(-1)=-k 或 f(3)=-1k .故有①k<-1时, f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k 2,在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.②k=-1时, f(x)在x=-3与x=1处取得最小值f(-3)=f(1)=-1,在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1. ③-1<k<0时, f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-1,在x=3处取得最大值f(3)=-1k .3.答案 2√6解析 如下图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为y=ax 2(a≠0).由题意将A(2,-2)代入y=ax 2,得a=-12,故y=-12x 2.设B(x,-3)(x>0),将其代入y=-12x 2中,得x=√6,故所求水面宽为2√6米.4.解析 设该商品现在的定价为a 元,卖出的数量为b 个,销售的总金额为y 元. 由题设得,当价格上涨x%时,y=a(1+x%)·b(1-mx%), 即y=ab10 000[-mx 2+100(1-m)x+10 000](0≤x <100m),(1)当m=12时,y=ab20 000[-(x-50)2+22 500],当x=50时,y 取最大值,y max =98ab, 即当该商品的价格上涨50%时,销售的总金额最大. (2)二次函数y=ab10 000[-mx 2+100(1-m)x+10 000]在(-∞,50(1-m )m] 上递增,在[50(1-m )m,+∞)上递减.又x∈[0,100m),则由题意可知,在[0,100m)上存在一个区间,使该二次函数在此区间上是增函数,所以50(1-m )m>0,即0<m<1,故所求m 的取值范围是(0,1).基础过关一、选择题1.C 利用配方法把二次函数变形为y=(x-2)2-4,所以该函数图像的对称轴的方程为x=2.故选C. 2.B ∵y=x 2-2x=(x-1)2-1, ∴平移后y=(x-3)2-2=x 2-6x+7.3.D 由题意知{-b2a =2,4a +2b +c =-1,c =11,解得{a =3,b =-12,c =11.故选D.4.D 根据已知及反比例函数图像的性质知k<0,故二次函数的图像开口向下,对称轴x=14k <0,故只能是选项D 中的图像.二、填空题 5.答案 1解析 由题意知,将函数y=x 2-1的图像向上平移2个单位长度,可得到函数y=x 2+m 的图像,则m=1. 6.答案 x 2+4x+2解析 ∵f(-4)=f(0), f(-2)=-2, ∴{-b2=-4+02,(-2)2-2b +c =-2,解得b=4,c=2, ∴f(x)=x 2+4x+2. 7.答案 [7,+∞)解析 易知函数f(x)图像的对称轴方程是x=a -12,且图像开口向上,由于该函数在区间(12,1)上是增加的,故只要a -12≤12即可,解得a≤2,所以f(2)=11-2a≥11-2×2=7.故f(2)的取值范围是[7,+∞).三、解答题8.解析 设所求函数的解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0), 由已知得{a +b +c =0,4a +2b +c =3,-b2a =3,解得{a =-1,b =6,c =-5,所以所求函数的解析式为y=-x 2+6x-5.9.解析 依题意知, f(x)图像的对称轴为直线x=1,又a>0,故[1,3]是f(x)的递增区间, 所以f(x)max =f(3)=5,即3a-b+3=5; f(x)min =f(1)=2,即-a-b+3=2.所以{3a -b =2,-a -b =-1,解得a=34,b=14.10.解析 依题意知, f(x)图像的对称轴为直线x=a2.(1)当a2<0,即a<0时,区间[0,1]是 f(x)的递减区间,则 f(x)max =f(0)=-4a-a 2=-5,得a=-5或a=1,而a<0,故a=-5;(2)当a 2>1,即a>2时,区间[0,1]是 f(x)的递增区间,则 f(x)max =f(1)=-4-a 2=-5,得a=1或a=-1,而a>2,故a>2不满足题意;(3)当0≤a2≤1,即0≤a≤2时,f(x)max =f (a2)=-4a=-5,得a=54,符合0≤a≤2.综上,a=-5或54.11.解析 (1)设s 与t 之间的函数关系式为s=at 2+bt+c(a≠0). 由题意得{a +b +c =-32,4a +2b +c =-2,25a +5b +c =52.解得{a =12,b =-2,c =0,所以所求函数关系式为s=12t 2-2t.(2)把s=30代入s=12t 2-2t,得30=12t 2-2t,解得t 1=10,t 2=-6(舍),即截止到10月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入s=12t 2-2t,得s=12×72-2×7=212=10.5,把t=8代入s=12t 2-2t,得s=12×82-2×8=16,16-10.5=5.5,即第8个月公司所获利润为5.5万元.三年模拟一、选择题1.C 由已知及二次函数的性质得,--2(a -1)2≥3,解得a≥4.2.C 由题意知--(a -1)2×2=1,解得a=5.3.A 由f(m)<0,知m 2+m+a<0,又a>0,∴m 2+m<-a<0,∴-1<m<0,∴0<m+1<1.易知函数f(x)图像的对称轴为直线x=-12,∴f(x)在(0,+∞)上递增.又∵f(0)=a>0, ∴f(m+1)>0. 二、填空题4.答案 k≤32或k≥80解析 ∵函数f(x)=4x 2-kx-8在[4,10]上具有单调性, ∴k 8≤4或k8≥10,即k≤32或k≥80. 5.答案 a≤-12解析 ∵二次函数f(x)=ax 2+4(a+1)x-3在[2,+∞)上递减,∴{a <0,-4(a+1)2a ≤2,解得a≤-12.11 三、解答题6.解析 (1)由已知得,g(x)=x 2+(m-6)x-5.①当-m -62<1,即m>4时,g(x)min =g(1)=m-10;②当-m -62>3,即m<0时,g(x)min =g(3)=3m-14;③当1≤-m -62≤3,即0≤m≤4时,g(x)min =g (-m -62)=-14m 2+3m-14.综上可得,g(x)min ={3m -14,m <0,-14m 2+3m -14,0≤m ≤4,m -10,m >4.(2)原命题等价于对任意的a∈[1,2],x∈[1,3],恒有b≥2x 2+2ax-a-5. 设h(x)=2x 2+2ax-a-5,x∈[1,3],∵a∈[1,2],∴-a 2∈[-1,-12],对于函数h(x)=2x 2+2ax-a-5(x∈[1,3]),可知h(x)max =h(3)=5a+13,设p(a)=5a+13,∵5>0,a∈[1,2],∴p(a)max =p(2)=23.则满足题意的b 的取值范围为b≥23.7.解析 (1)设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),由f(0)=1可知c=1,由f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x,可知{2a =2,a +b =0,∴{a =1,b =-1,∴f(x)=x 2-x+1.(2)由题意可得f(x)>2x+m 在x∈[-1,1]上恒成立,即x 2-x+1>2x+m 在x∈[-1,1]上恒成立,即x 2-3x+1>m 在x∈[-1,1]上恒成立,而函数y=x 2-3x+1=(x -32)2-54在[-1,1]上递减,且其最小值为-1,∴m<-1.。
高考数学总复习：第二篇 第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数
二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个 二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次” 的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体．因此，有关二 次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路 的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成
立)问题是高考命题的热点．
(2)ax
2
三种形式
二次函数表达式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h， k))； (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函
数与x轴的两个交点的横坐标)．
抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考
要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－
a≥6，即a≤－6或a≥4.
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且
x2＋2x＋3，x∈0，6]， f(x)＝ 2 x －2x＋3，x∈[－6，0]，
在
b x∈－∞，－2a上
单调性
递减
b 在 x∈－2a，＋∞上单调
单调递增 在
b x∈ －2a，＋∞ 上
递增
单调递减
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
奇2 b 4ac－b －2a， 4a
④当a>2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1，
所以函数的值域为[3－4a，－1]．
抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章 第八节 幂函数与二次函数
一、填空题1．设α∈{－1,1，12}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．解析：在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝中，只有y ＝x 符合题意．答案：12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．解析：借助图象可知当x ＝1时f (x )min ＝－1，当x ＝－1或x ＝3时f (x )max ＝3，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3，当b ＝3时，－1≤a ≤1，故2≤b －a ≤4. 答案：[2,4]3．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2) ＝3，则f (12)的值等于________． 解析：依题意设f (x )＝x α(α∈R)，则有4α2α＝3，即2α＝3，得α＝log 23，则f (x )＝x log 23，答案：134．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．解析：由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤32，x －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x <－1或x >32，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2.答案：(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34 5．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：∵x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4，∴m <－(x ＋4x )对x ∈(1,2)恒成立．又∵4<x ＋4x <5，∴－5<－(x ＋4x )<－4，∴m ≤－5.答案：(－∞，－5]6．已知函数f (x )＝x 12，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是________．解析：由2x －1<3x 得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，3x >0，2x －1<3x ，∴x ≥12.答案：[12，＋∞)7．已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )>0的解集是(0,4)，且f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12，则f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x )>0的解集是(0,4)可知f (0)＝f (4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12可知f (2)＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝0，f (4)＝0，f (2)＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝－3x 2＋12x .答案：f (x )＝－3x 2＋12x8．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β. ∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1<m <2＋12，即m ∈(2，52)．答案：(2，52)9．已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是[1，＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 4a (c ＋1)－(－4)24a ＝1，a >0，化简得1c ＝a 4且a >0，于是1a ＋9c ＝1a ＋9a 4≥21a ×9a 4＝3，当且仅当1a ＝9a 4，即a ＝23时取等号．答案：3二、解答题10．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z)满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q 满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q )处取得．①当q >0时， 而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.解得q＝2.②当q<0时，g(x)max＝g(－1)＝2－3q＝178，g(x)min＝4q2＋14q＝－4，q不存在．综上所述，存在q＝2满足题意．11．设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c<b<1)，f(1)＝0，方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c≤－1且b≥0；(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负并加以证明．解析：(1)证明：f(1)＝0⇒1＋2b＋c＝0⇒b＝－c＋1 2.又c<b<1，故c<－c＋12<1⇒－3<c<－13.方程f(x)＋1＝0有实根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有实根，故Δ＝4b2－4(c＋1)≥0，即(c＋1)2－4(c＋1)≥0⇒c≥3或c≤－1.又c<b<1，得－3<c≤－1，由b＝－c＋12知b≥0.(2)f(x)＝x2＋2bx＋c＝x2－(c＋1)x＋c＝(x－c)(x－1)，f(m)＝－1<0，∴c<m<1，∴c －4<m－4<－3<c，∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)>0，∴f(m－4)的符号为正．12．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A＝{x|f(x)＝x}．(1)若A＝{1,2}，且f(0)＝2，求M和m的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值． 解析：(1)由f (0)＝2可知c ＝2，又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－b a 2＝c a ，解得a ＝1，b ＝－2. ∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1； 当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝1－b a 1＝c a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－2ac ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a ，又a ≥1，故1－12a ∈[12，1)，∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f (2a －12a )＝1－14a .g (a )＝M ＋m ＝9a －14a －1.又g (a )在区间[1，＋∞)上是单调递增的，∴当a ＝1时，g (a )min ＝314.。
精选2019届高考数学北师大版一轮复习讲义：第4讲二次函数的再研究与幂函数
§2.4二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图像和性质2.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常量．(2)常见的5种幂函数的图像(3)常见的5种幂函数的性质知识拓展1．幂函数的图像和性质(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．2．若f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0时恒有f(x)>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0时，恒有f(x)<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b]的最值一定是4ac －b24a.( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中，a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ ) (4)函数y ＝122x 是幂函数．( × )(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (6)当n<0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( × ) 题组二 教材改编2．已知幂函数f(x)＝k·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k·⎝ ⎛⎭⎪⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．已知函数f(x)＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内是减少的，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3答案 D解析 函数f(x)＝x 2＋4ax 的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内是减少的可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D. 题组三 易错自纠 4．幂函数f(x)＝21023a a x－＋(a ∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2， f(x)＝2(5)2a x －－(a ∈Z)为偶函数， 且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )答案 D解析 由a ＋b ＋c ＝0和a>b>c 知，a>0，c<0， 由c<0，排除A ，B ，又a>0，排除C.6．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图像的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上是减少的，∴y min ＝2－6＋3＝－1.题型一 求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________． 答案 f(x)＝12x 2－2x ＋1解析 依题意可设f(x)＝a(x －2)2－1， 又其图像过点(0,1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12，∴f(x)＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1.(2)已知二次函数f(x)与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f(x)＝ax(x ＋2)， 所以f(x)＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f(x)＝x 2＋2x. 思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R ，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ， 由已知f(x)＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f(x)＝x 2＋2x ＋1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y 轴对称，∴－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a b ，即b ＝－2，∴f(x)＝－2x 2＋2a 2，又f(x)的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f(x)＝－2x 2＋4.题型二 二次函数的图像和性质命题点1 二次函数的图像典例两个二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 与g(x)＝bx 2＋ax ＋c 的图像可能是( )答案 D解析 函数f(x)图像的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g(x)图像的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b 2a 与－a2b同号，故两个函数图像的对称轴应该在y 轴的同侧．只有D 满足． 命题点2 二次函数的单调性典例函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是减少的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析 当a ＝0时，f(x)＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f(x)的对称轴为x ＝3－a 2a， 由f(x)在[－1，＋∞)上是减少的知⎩⎪⎨⎪⎧a<0，3－a2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． 引申探究若函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点3 二次函数的最值典例已知函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解 f(x)＝a(x ＋1)2＋1－a.(1)当a ＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a ＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a ＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f(x)＝(x ＋a)2＋1－a 2，∴f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a.(1)当－a ＜12即a ＞－12时，f(x)max ＝f(2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f(x)max ＝f(－1)＝2－2a ，综上，f(x)max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f(x)＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－1)解析 f(x)>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m>0， 令g(x)＝x 2－3x ＋1－m ，要使g(x)＝x 2－3x ＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上是减少的， ∴g(x)min ＝g(1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．(2)已知a 是实数，函数f(x)＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a<32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，∴a<12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.思维升华解决二次函数图像与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )答案 D解析 由A ，C ，D 知，f(0)＝c ＜0，从而由abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f(0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝－b2a＜0，B 错误．(2)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)， 所以f(x)min ＝1.又f(x)＝(x －a)2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f(x)min ＝f(a)＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f(x)＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意得a ＞2x －2x 2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.题型三 幂函数的图像和性质1．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数答案 A解析 设f(x)＝x α，由已知得⎝⎛⎭⎪⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f(x)＝x －1，易知该函数为奇函数． 2．若四个幂函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c，y ＝x d在同一坐标系中的图像如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c答案 B解析 由幂函数的图像可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近x 轴，由题图知a ＞b ＞c ＞d ，故选B.3．若a<0，则0.5a，5a，5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a<5－a<5aD ．5a<5－a<0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15a ，因为a<0时，函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减少的，且15<0.5<5，所以5a <0.5a <5－a.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例 (12分)设函数f(x)＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f(x)的最小值．思想方法指导研究二次函数的性质，可以结合图像进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图像的影响，进行分类讨论． 规范解答解 f(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图像的对称轴为x ＝1.[2分] 当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f(t ＋1)＝t 2＋1；[5分]当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；[8分]当t ＞1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值为f(t)＝t 2－2t ＋2.[11分] 综上可知，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.[12分]1．若函数f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上( ) A ．先减少后增加 B ．先增加后减少 C ．是减少的 D ．是增加的答案 D2．(2018·江西九江七校联考)若幂函数f(x)＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3 D ．2答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8＞0， 解得m ＝1.3．已知函数f(x)＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1－20a<0，得a>120. 4．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案 C解析 由题意可知函数f(x)的图像开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图像观察可知0≤a ≤4.5．已知二次函数f(x)＝2ax 2－ax ＋1(a<0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f(x 1)与f(x 2)的大小关系为( ) A ．f(x 1)＝f(x 2) B ．f(x 1)>f(x 2) C ．f(x 1)<f(x 2) D ．与a 值有关答案 C解析 该二次函数的图像开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0， ∴当x 1，x 2在对称轴的两侧时， 14－x 1>x 2－14，故f(x 1)<f(x 2)． 当x 1，x 2都在对称轴的左侧时， 由单调性知f(x 1)<f(x 2)． 综上，f(x 1)<f(x 2)．6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)答案 A解析 不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ， 令f(x)＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a ＜－2. 7．已知P ＝322－，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．(用“>”连接) 答案 P ＞R ＞Q 解析 P ＝322－＝⎝⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q. 8．已知幂函数f(x)＝12x －，若f(a ＋1)<f(10－2a)，则a 的取值范围为________．答案 (3,5)解析 ∵幂函数f(x)＝12x－是减少的，定义域为(0，＋∞)，∴由f(a ＋1)<f(10－2a)，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a>0，a ＋1>10－2a ，解得3<a<5.9．对于任意实数x ，函数f(x)＝(5－a)x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是__________． 答案 (－4,4)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a>0，Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)<0，解得－4<a<4.10．若f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (0,1]解析 由f(x)＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g(x)＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a>0， 故0<a ≤1.11．已知函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 答案 －1或2解析 f(x)＝－(x －a)2＋a 2－a ＋1， 当a ≥1时，f(x)max ＝f(1)＝a ＝2，即a ＝2；当0<a<1时，f(x)max ＝f(a)＝a 2－a ＋1＝2，此时无解； 当a<0时，f(x)max ＝f(0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1.综上，a ＝－1或a ＝2.12．已知函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f(x)＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]， ∴f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f(x)max ＝f(3)＝15， ∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f(x)max ＝f(3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f(x)max ＝f(－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.13．已知函数f(x)＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由题意知f(x)＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24， f(x)min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx ≥－b 24， 则f(f(x))＝f(t)＝t 2＋bt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋b 22－b 24， 当b ＜0时，f(f(x))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”； 当b ＝0时，f(f(x))＝x 4的最小值为0，f(x)的最小值也为0，所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b ＜0”，选A.14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx<－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立， 即m<－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立， 令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x 在x ∈(1,2)上是减函数．∴4<y<5，∴－5<－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5. 方法二 设f(x)＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f(x)<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15．若函数f(x)＝x 2－a|x －1|在[0，＋∞)上是增加的，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)，当x ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 2－ax ＋a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a －a 24， 当x ∈(－∞，1)时，f(x)＝x 2＋ax －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a －a 24. ①当a 2>1，即a>2时，f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上是减少的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上是增加的，不合题意； ②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意； ③当a 2<0，即a<0时，不符合题意． 综上，a 的取值范围是[0,2]．16．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )，x>0，－f (x )，x<0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f(x)＝(x ＋1)2.∴F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2，x>0，－(x ＋1)2，x<0.∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得，f(x)＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立． 又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。
北师大文科数学高考总复习教师用书：二次函数的再研究与幂函数 含答案
第4讲二次函数的再研究与幂函数最新考纲 1.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；2.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝1x的图像，了解它们的变化情况．知识梳理1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a 单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图像关于x＝－b2a对称(1)幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．(2)常见的5种幂函数的图像(3)常见的5种幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数y＝2是幂函数．()(2)当n>0时，幂函数y＝x n在(0，＋∞)上是增函数．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2不是幂函数，(1)错．(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错．(4)对称轴x＝－b2a，当－b2a小于a或大于b时，最值不是4ac－b24a，故(4)错．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．(2016·全国Ⅲ卷)已知则() A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析 因为又y ＝在(0，＋∞)上是增函数，所以c >a >b . 答案 A3．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6解析 由f (1)＝f (2)＝0知方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为1,2，则p ＝－3，q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2，∴f (－1)＝6. 答案 C4．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图像不经过原点，则实数m 的值为________． 解析 由⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合． 答案 1或25．(教材改编)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 二次函数f (x )图像的对称轴是x ＝1－a ，由题意知1－a ≥3，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2]考点一 幂函数的图像和性质【例1】 (1)(2017·西安诊断测试)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2(2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.(2)因为函数y ＝的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎨⎧2m＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1＜m ＜2，即5－12≤m <2. 答案 (1)C (2)D规律方法 (1)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、单调性；(2)α的正负：当α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；当α<0时，图像不过原点，过(1,1)，在第一象限的图像下降．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．【训练1】 (1)幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图像是( )(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析 (1)设f (x )＝x α(α∈R )，则4α＝2， ∴α＝12，因此f (x )＝，根据图像的特征，C 正确．(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n 在(0，＋∞)上是减函数， ∴⎩⎨⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x －2的图像关于y 轴对称，故n ＝1. 答案 (1)C (2)B考点二 二次函数的图像与性质【例2】 (2017·兰州调研)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4， 故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(3)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，x >0， 其图像如图所示，又∵x ∈[－4,6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数．规律方法解决二次函数图像与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.【训练2】(1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()(2)(2017·武汉模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析(1)由A，C，D知，f(0)＝c<0，从而由abc>0，所以ab<0，所以对称轴x＝－b2a>0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)＝c>0，所以ab>0，所以x＝－b2a<0，B错误．(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.答案(1)D(2)－2x2＋4考点三二次函数的应用(多维探究)命题角度一二次函数的恒成立问题【例3－1】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．解(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1)． 命题角度二 二次函数的零点问题【例3－2】 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析 由f (x )＝f (2－x )知函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图像也关于直线x ＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x ＝1对称． 不妨设x 1<x 2<…<x m ，则x 1＋x m2＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 2＋x m －1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，又∑i ＝1mx i ＝x m ＋x m －1＋…＋x i ，所以2∑i ＝1mx i ＝(x 1＋x m )＋(x 2＋x m －1)＋…＋(x m ＋x 1)＝2m ，所以∑i ＝1mxi ＝m .答案 B规律方法 (1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .(3)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图像的直观性实施数形转化． 【训练3】 (1)(2016·九江模拟)已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3,1]，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围为________．(2)(2017·枣庄一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )恰有4个零点，则m 的取值范围是________． 解析 (1)因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对称轴x ＝－(a －2)，对x ∈[－3,1]，f (x )＞0恒成立， 所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得：⎩⎨⎧ －(a －2)＜－3，f (－3)＞0，或⎩⎨⎧ －3≤－(a －2)≤1，Δ＜0，或⎩⎨⎧－(a －2)＞1，f (1)＞0， 解得a ∈∅或1≤a ＜4或－12＜a ＜1， 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4.(2)函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )恰有4个零点可化为函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝m 恰有4个交点，作函数y ＝f (x )与y ＝m 的图像如图所示，故m 的取值范围是(－1,0)． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4 (2)(－1,0)[思想方法]1．幂函数y ＝x α(α∈R )图像的特征α>0时，图像过原点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图像不过原点，经过(1,1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立．2．求二次函数的解析式就是确定函数式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中a ，b ，c 的值．应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值．3．二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图像和性质，可直观地解决与不等式有关的问题．4．二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图像以及所给区间与对称轴的关系确定．[易错防范]1．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为()A．1,3 B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1,1,3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1,3.答案 A2．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图像应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－b2a＝2，所以4a＋b＝0.答案 A3．在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1a的图像可能是()解析 若a <0，由y ＝x a 的图像知排除C ，D 选项，由y ＝ax ＋1a 的图像知应选B ；若a >0，y ＝x a 的图像知排除A ，B 选项，但y ＝ax ＋1a 的图像均不适合，综上选B. 答案 B4．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案 B5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2. 答案 A 二、填空题 6．已知P ＝，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．解析 P ＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223>⎝ ⎛⎭⎪⎫123>⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P >R >Q .答案 P >R >Q7．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0， 故0<a ≤1.答案 (0,1]8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．解析 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.∴m －n 的最小值是1.答案 1三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)的图像经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 幂函数f (x )的图像经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即＝2(m 2＋m )－1. ∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N ＋，∴m ＝1.∴f (x )＝，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24. 又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．答案 A12．(2017·合肥期中测试)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解析 依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎨⎧ m 2－m －1＝1，4m 9－m 5－1>0，解得m ＝2，则f (x )＝x 2 015. ∴函数f (x )＝x 2 015在R 上是奇函数，且为增函数．由a ＋b >0，得a >－b ，∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0.答案 A13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______．解析作出函数y ＝f (x )的图像如图．则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．答案 (0,1)14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0].。
高考一轮(理)数学训练：第2章 第4节 课时分层训练7 二次函数的再研究与幂函数 Word版含解析
课时分层训练(七) 二次函数的再研究与幂函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：57962047】A.12 B ．1 C.32 D ．2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图像的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图像不过原点，则m 的取值是( )【导学号：57962048】A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图像不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )【导学号：57962049】A ．－1B ．1C ．2D ．－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0， 所以f (x )在[2,3]上递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]7．已知P ＝2-32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．P ＞R ＞Q [P ＝2-32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1， 由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3， 又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围.【导学号：57962050】[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； 8分②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－13或－1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)·x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围.【导学号：57962051】[解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的递增区间为[－1，＋∞)，递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1). 12分。
考点3.3 二次函数与幂函数(解析版)
§3.3 二次函数与幂函数【基础集训】考点一二次函数的图象与性质1.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为( )A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,2)【答案】 A2.已知abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )【答案】 D考点二幂函数3的图象大致是( )3.函数y=√x2【答案】 C4.函数f(x)=(m2-m-1)·x m2-2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为( )A.2B.3C.4D.5 【答案】 A5.已知幂函数f(x)的图象过点(2,√2),则f(4)的值为 . 【答案】 2综合篇知能转换【综合集训】考法一 求二次函数在闭区间上的最值(值域)1.二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2), f(0)=3, f(2)=1,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m 的取值范围是( )A.(0,+∞)B.[2,+∞)C.(0,2]D.[2,4] 【答案】 D2.已知函数f(t)=log 2(2-t)+√t -1的定义域为D. (1)求D;(2)若函数g(x)=x 2+2mx-m 2在D 上存在最小值2,求实数m 的值. 【解析】 (1)由题意知{2−t >0,t -1≥0,解得1≤t<2,故D=[1,2).(2)g(x)=x 2+2mx-m 2=(x+m)2-2m 2,此二次函数图象的对称轴为直线x=-m. ①当-m ≥2,即m ≤-2时,g(x)在[1,2)上单调递减,不存在最小值;②当1<-m<2,即-2<m<-1时,g(x)在[1,-m)上单调递减,在(-m,2)上单调递增,此时g(x)min =g(-m)=-2m 2≠2,m 值不存在;③当-m ≤1,即m ≥-1时,g(x)在[1,2)上单调递增, 此时g(x)min =g(1)=1+2m-m 2=2,解得m=1.综上,m=1. 考法二 一元二次方程根的分布3.已知一元二次方程x 2+mx+3=0(m ∈Z)有两个实数根x 1,x 2,且0<x 1<2<x 2<4,则m 的值为( )A.-4B.-5C.-6D.-7 【答案】 A4.方程x 2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( )A.(-235,+∞) B.(1,+∞)C.[-235,1] D.(-∞,-235)【答案】 C5.已知方程x 2+2(a+2)x+a 2-1=0.(1)当该方程有两个负根时,求实数a 的取值范围;(2)当该方程有一个正根和一个负根时,求实数a 的取值范围. 【解析】 由题意知,Δ=4(a+2)2-4(a 2-1)=16a+20. (1)∵方程x 2+2(a+2)x+a 2-1=0有两个负根, ∴{Δ=16a +20≥0,x 1+x 2=−2(a +2)<0,x 1x 2=a 2-1>0,解得{a ≥−54,a >−2,a >1或a <−1,即a>1或-54≤a<-1.,-1)∪(1,+∞).∴实数a的取值范围是[-54(2)∵方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有一个正根和一个负根,∴f(0)=a2-1<0,解得-1<a<1,∴实数a的取值范围是(-1,1).考法三幂函数的图象及性质的应用6.已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=0.3-0.2,则( )A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<b<c【答案】 A7.若幂函数y=x-1,y=x m与y=x n在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为( )A.-1<m<0<n<1B.-1<n<0<mC.-1<m<0<nD.-1<n<0<m<1【答案】 D)在幂函数f(x)=(a-1)x b的图象上,则函数f(x)是( )8.已知点(a,12A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数【答案】 A9.幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x a,y=x b的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么a-1b =( )A.0B.1C.12 D.2【答案】 A考点一 二次函数的图象与性质1.若函数f(x)=x 2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a 有关,且与b 有关 B.与a 有关,但与b 无关 C.与a 无关,且与b 无关 D.与a 无关,但与b 有关 【答案】 B2.如果函数f(x)=12(m-2)x 2+(n-8)x+1(m ≥0,n ≥0)在区间[12,2]上单调递减,那么mn 的最大值为( )A.16B.18C.25D.812 【答案】 B3.已知a ∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t ∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 .【答案】43考点二幂函数4.已知α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3}.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= .【答案】-1巩固训练题组考点一二次函数的图象与性质1.对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数··),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上【答案】 A2.√(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为( )A.9B.92C.3 D.3√22【答案】 B3.对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,3a -4b+5c的最小值为.【答案】-24.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b 满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.【解析】 (1)证明:由f(x)=(x +a 2)2+b-a 24,得图象的对称轴为直线x=-a2.由|a|≥2,得|-a2|≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a ≥2时,由f(1)-f(-1)=2a ≥4, 得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2. 当a ≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a ≥4, 得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2. 综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3, 由|a|+|b|={|a +b|,ab ≥0,|a -b|,ab <0,得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3, |f(x)|=|x 2+2x-1|,此时易知|f(x)|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3. 考点二 幂函数5.在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x 的图象可能是( )【答案】 D6.若f(x)=x 23-x-12,则满足f(x)<0的x的取值范围是.【答案】(0,1)模拟测试一、单项选择题(每题5分,共35分)1.已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m-2)x n的图象上,设a=f(m-13),b=f(ln13),c=f(√22),则a,b,c的大小关系为( )A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c【答案】 A2.若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是( )A.(-14,+∞) B.[-14,+∞)C.[-14,0) D.[-14,0]【答案】 D3.函数y=1-|x-x2|的图象大致是( )【答案】 C4.已知函数y=x2-4x+5在闭区间[0,m]上有最大值5,最小值1,则m的取值范围是( )A.[0,1]B.[1,2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】 D5.如图的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图象.已知n 分别取±2,±12四个值,与曲线C 1,C 2,C 3,C 4相应的n 依次为( )A.2,12,-12,-2 B.2,12,-2,-12C.-12,-2,2,12D.-2,-12,12,2【答案】 A6.已知f(x)=ax 2+(b-a)x+c-b(其中a>b>c 且a ≠0),若a+b+c=0,x 1、x 2为f(x)的两个零点,则|x 1-x 2|的取值范围为( ) A.(32,2√3) B.(2,2√3) C.(1,2) D.(1,2√3) 【答案】 A7.已知函数f(x)=(m 2-m-1)x 4m9-m 5-1是幂函数,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0,若a,b ∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于 D.无法判断 【答案】 A二、多项选择题(每题5分,共15分)8.(改编题)已知点(2,12)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是( ) A.奇函数B.偶函数C.定义域内每个区间内的单调减函数D.定义域内每个区间内的单调增函数【答案】AC9.(改编题)已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对任意x∈R都有f(1+x)=f(1-x)成立,则( )A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称B.c=3C.b=2D.f(x)=x2-2x+3【答案】ABCD10.(改编题)幂函数y=f(x)的图象经过点(3,√3),则( )A.f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数B.f(x)是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数C.f(x)=x 1 2D.f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数【答案】BC三、填空题(每题5分,共15分)11.若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是. 【答案】(-∞,-1]12.已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22),则log2 f(2)的值为.【答案】 1213.对于问题:当x>0时,均有[(a-1)x-1](x 2-ax-1)≥0,求实数 a 的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.甲:解含参不等式,其解集包含正实数集;乙:研究函数y=[(a-1)x-1](x 2-ax-1);丙:分别研究两个函数y 1=(a-1)x-1与y 2=x 2-ax-1;丁:尝试能否参变量分离研究最值问题.你可以选择其中的想法,也可以用自己的想法,可以得出正确的答案为 .【答案】 32四、解答题(共25分)14.已知二次函数f(x)满足f(x)=f(-4-x), f(0)=3,若x 1,x 2是f(x)的两个零点,且|x 1-x 2|=2.(1)求f(x)的解析式;(2)若x>0,求g(x)=x f(x)的最大值.【解析】 (1)∵二次函数满足f(x)=f(-4-x),∴f(x)图象的对称轴为x=-2,∵x 1,x 2是f(x)的两个零点,且|x 1-x 2|=2,∴{x 1=−3,x 2=−1或{x 1=−1,x 2=−3,设f(x)=a(x+3)(x+1)(a ≠0).由f(0)=3a=3得a=1,∴f(x)=x 2+4x+3.(2)由(1)得g(x)=x f(x)=x x 2+4x+3=1x+3x +4,∵x>0,∴1x+3x +4≤4+2√3=1-√32. 当且仅当x=3x ,即x=√3时等号成立. ∴g(x)的最大值是1-√32.15.已知函数g(x)=x 2-(m-1)x+m-7.(1)若函数g(x)在[2,4]上具有单调性,求实数m 的取值范围;(2)若在区间[-1,1]上,函数y=g(x)的图象恒在y=2x-9的图象上方,求实数m 的取值范围.【解析】 (1)g(x)图象的对称轴为x=m -12,因为函数g(x)在[2,4]上具有单调性,所以有m -12≤2或m -12≥4,所以实数m 的取值范围是m ≤5或m ≥9.(2)因为在区间[-1,1]上,函数y=g(x)的图象恒在y=2x-9的图象上方,则x 2-(m-1)x+m-7>2x-9在[-1,1]上恒成立,即x 2-(m+1)x+m+2>0在[-1,1]上恒成立,令f(x)=x 2-(m+1)x+m+2,x ∈[-1,1],则f(x)min >0,当m+12≤-1,即m ≤-3时, f(x)min =f(-1)=2m+4>0,解得m>-2,无解;当-1<m+12<1,即-3<m<1时, f(x)min =f (m+12)=-m 24+12m+74>0,此时1-2√2<m<1; 当m+12≥1,即m ≥1时, f(x)min =f(1)=2>0,此时m ≥1.综上,实数m 的取值范围是m>1-2√2.思路分析 (1)求出函数图象的对称轴,根据二次函数的单调性求出m 的范围即可;(2)问题转化为x2-(m+1)x+m+2>0对任意x∈[-1,1]恒成立,令f(x)=x2-(m+1)x+m+2,求出函数图象的对称轴,通过讨论对称轴的范围,求出m的范围即可.。
高考数学(理)专题辅导：7 二次函数的再研究与幂函数 Word版含解析
课时分层训练(七) 二次函数的再研究与幂函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：57962047】A.12 B ．1 C.32 D ．2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图像的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图像不过原点，则m 的取值是( )【导学号：57962048】A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图像不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )【导学号：57962049】A ．－1B ．1C ．2D ．－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0， 所以f (x )在[2,3]上递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]7．已知P ＝2-32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．P ＞R ＞Q [P ＝2-32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1， 由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3， 又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围.【导学号：57962050】[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； 8分②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－13或－1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)·x4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围.【导学号：57962051】[解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的递增区间为[－1，＋∞)，递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1). 12分。
2019版高考数学 九 2.6幂函数与二次函数
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课时分层作业九幂函数与二次函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.函数y=的图象是( )【解析】选B.由幂函数y=xα,若0<α<1,在第一象限内过(1,1),排除A,D,又其图象上凸,则排除C.2.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为( )A.m=2B.m=-1C.m=-1或m=2D.m≠【解题指南】首先利用幂函数的定义,确定m的范围,其次再依据幂函数的性质,在第一象限是减函数,确定指数小于零.【解析】选A.依题意y=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,故m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.又因为函数在(0,+∞)上是减函数,所以-5m-3<0,即m>-,故m=-1舍去,所以m=2.【巧思妙解】选A.(特殊值验证法),验证m=-1,2时,是否满足题意即可.当m=2时,函数化为y=x-13符合题意,而m=-1时,y=x2不符合题意,故排除B,C,D.3.幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为 ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.因为y=(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,所以m2-4m<0,即0<m<4.又因为函数的图象关于y轴对称,且m∈Z,所以m2-4m为偶数,因此m=2.4.函数y=x2+ax+6在上是增函数,则a的取值范围为( )A.(-∞,-5]B.(-∞,5]C.[-5,+∞)D.[5,+∞)【解析】选C.因为y=x2+ax+6在上是增函数,由题意得-≤,所以a≥-5.【变式备选】已知函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞,6)内单调递减,则a的取值范围是( )A.a≥3B.a≤3C.a<-3D.a≤-3【解析】选D.函数f(x)是抛物线,对称轴是x=-2a,所以f(x)的减区间为(-∞,-2a).因为f(x)在(-∞,6)内单调递减,所以-2a≥6,所以a≤-3.5.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)是( )A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数【解析】选 D.设幂函数f(x)=xα,则f(3)=3α=,解得α=,则f(x)==,是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.6.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 ( )【解析】选D.由A,C,D知,f(0)=c<0.因为abc>0,所以ab<0,所以对称轴x=->0,知A,C错误,D符合要求.由B知f(0)=c>0,所以ab>0,所以x=-<0,B错误.【变式备选】对数函数y=log a x(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x 在同一坐标系内的图象可能是 ( )【解析】选A.若0<a<1,则y=log a x单调递减,y=(a-1)x2-x开口向下,其图象的对称轴在y轴左侧,排除C,D;若a>1,则y=log a x单调递增,y=(a-1)x2-x开口向上,其图象的对称轴在y轴右侧,排除B.7.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是 ( )A.[0,4]B.C. D.【解析】选 D.二次函数图象的对称轴为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,如图所示:由图得m∈.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·兰州模拟)已知函数f(x)=,且f(2x-1)<f(3x),则x的取值范围是________.【解析】f(x)=在[0,+∞)上是增函数,f(2x-1)<f(3x),则0≤2x-1<3x,所以x≥.答案:x≥9.(2018·宿州模拟)二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为________.【解析】依题意可设f(x)=a(x-2)2-1,又其图象过点(0,1),所以4a-1=1,所以a=,所以f(x)=(x-2)2-1.答案:f(x)=(x-2)2-110.若f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,则a=________.【解题指南】已知的二次函数对称轴随参数a的变化而变化,根据对称轴在已知区间的左侧、内部、右侧,利用函数的单调性和最值点分类求解.【解析】对称轴x=.当<0,即a<0时,f(x)在[0,1]上是减函数,则f(x)max =f(0)=-4a-a2=-5,解得a=1或a=-5,而a<0,所以a=-5;当>1,即a>2时,f(x)在[0,1]上是增函数,则f(x)max =f(1)=-4-a2=-5,得a=1或a=-1,而a>2,即a不存在;当0≤≤1,即0≤a≤2时,则f(x)max =f=-4a=-5,a=,满足0≤a ≤2.综上所述a=-5或.答案:-5或1.(5分)(2018·黄冈模拟)已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如表,则不等式f(|x|)≤2的解集是 ( )A.{x|-4≤x≤4}B.{x|0≤x≤4}C.{x|-≤x≤}D.{x|0<x≤}【解析】选A.由题意知=,所以α=,所以f(x)=,由|x≤2,得|x|≤4,故-4≤x≤4.2.(5分)(2018·宝鸡模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则 ( )A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<0【解析】选C.因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.3.(5分)(2018·湛江模拟)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围为________.【解析】由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈,故当m∈时,函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.答案:4.(12分)已知幂函数f(x)=(m∈N*).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性.(2)若该函数f(x)的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.【解析】(1)因为m2+m=m(m+1)(m∈N*),而m与m+1中必有一个为偶数,所以m2+m为偶数,所以函数f(x)=(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函数.(2)因为函数f(x)的图象经过点(2,),所以=,即=,所以m2+m=2,解得m=1或m=-2.又因为m∈N*,所以m=1,f(x)=.又因为f(2-a)>f(a-1),所以解得1≤a<,故函数f(x)的图象经过点(2,)时,m=1.满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围为.5.(13分)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式.(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.【解析】 (1)由f(0)=1,得c=1,所以f(x)=ax2+bx+1.又f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x.所以所以因此,所求解析式为f(x)=x2-x+1.(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在区间[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在区间[-1,1]上的最小值大于0即可.因为g(x)=x2-3x+1-m在区间[-1,1]上单调递减,所以g(x)min =g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).【变式备选】已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.(1)求a,b的值.(2)若b<1,g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,求m的取值范围.【解析】 (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a.当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,故⇒⇒当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,故⇒⇒(2)因为b<1,所以a=1,b=0,即f(x)=x2-2x+2.g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,因为g(x)在[2,4]上单调,所以≤2或≥4.海阔天空专属文档（翔子专享）所以m≤2或m≥6.关闭Word文档返回原板块海阔天空专属文档（翔子专享）。
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解析：作出函数的图像如图所示，从图中可以看出当 1≤m≤2 时，函数 f(x)＝x2－2x＋4 在区间[0，m](m＞0) 上的最大值为 4，最小值为 3.故选 A.
答案：A 8．在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax 的图像可能是( )
解析：因为 a>0，所以 f(x)＝xa 在(0，＋∞)上为增函数，故 A 错．在 B 中，由 f(x)的图像知 a>1，由 g(x)的图 像知 0<a<1，矛盾，故 B 错．在 C 中，由 f(x)的图像知 0<a<1，由 g(x)的图像知 a>1，矛盾，故 C 错．在 D 中，由 f(x)的图像知 0<a<1，由 g(x)的图像知 0<a<1，相符，故选 D. 答案：D 9．若函数 f(x)＝x2－ax－a 在区间[0,2]上的最大值为 1，则实数 a 等于( )
－ －m
是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是(
)
域不是[－6,6]， 不合题意； 当 m＝－1 时， 函数 f(x)＝x3 在定义域[－2,2]上单调递增， 又 m＜0， 所以 f(m)＜f(0)． 答案：A 7．已知函数 f(x)＝x2－2x＋4 在区间[0，m](m＞0)上的最大值为 4，最小值为 3，则实数 m 的取值范围是( A．[1,2] C．(0,2] B．(0,1] D．[1，＋∞) )
的单调递增函数，所以当 f(2－x2)>f(x)时，满足 2－x2>x，解得－2<x<1，故选 D. 答案：D 11．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c(a，b，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据 上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
－
)
解析：由于幂函数 f(x)＝xn 的图像关于 y 轴对称，可知 f(x)＝xn 为偶函数，所以 n＝－2，即 f(x)＝x 2，则有 f(－ 1 2)＝f(2)＝ ，f(－1)＝f(1)＝1，所以 f(－2)<f(－1)，故选 B. 4 答案：B 3．若幂函数 y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2 的图像不过原点，则 m 的取值是( A．－1≤m≤2 C．m＝2 B．m＝1 或 m＝2 D． m＝ 1 )
2
答案：B 12．已知 y＝f(x)是奇函数，且满足 f(x＋2)＋3f(－x)＝0，当 x∈[0,2]时，f(x)＝x2－2x，则当 x∈[－4，－2]时， f(x)的最小值为( A．－1 C．－ 1 9 ) B．－ D. 1 9 1 3
解析：设 x∈[－4，－2]，则 x＋4∈[0,2]．∵y＝f(x)是奇函数，∴由 f(x＋2)＋3f(－x)＝0，可得 f(x＋2)＝－3f(－ fx＋4 1 1 1 1 x)＝3f(x)，∴f(x＋4)＝3f(x＋2)，故有 f(x)＝ f(x＋2)＝ .故 f(x)＝ f(x＋4)＝ [(x＋4)2－2(x＋4)]＝ (x2＋6x 3 9 9 9 9 ＋8)＝ x＋32－1 1 .∴当 x＝－3 时，函数 f(x)取得最小值为－ .故选 C. 9 9
1 解析：函数 f(x)＝x2－x＋a 图像的对称轴为直线 x＝ ，图像开口向上，且 f(0)＝f(1)＝a＞0.所以当 f(m)＜0 时， 2 必有 0＜m＜1，而－1＜m－1＜0，所以 f(m－1)＞0. 答案：A 6．已知函数 f(x)＝x2 A．f(m)＜f(0) B．f(m)＝f(0) C．f(m)＞f(0) D．f(m)与 f(0)大小不确定 解析：因为函数 f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得 m＝3 或－1.当 m＝3 时，函数 f(x)＝x 1，定义
解析：由幂函数性质可知 m2－3m＋3＝1，∴m＝2 或 m＝1.又幂函数图像不过原点，∴m2－m－2≤0，即－ 1≤m≤2，∴m＝2 或 m＝1. 答案：B 4．已知函数 y＝ax2＋bx＋c，如果 a＞b＞c，且 a＋b＋c＝0，则它的图像是( )
解析：∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0， ∴y＝ax2＋bx＋c 的开口向上，且与 y 轴的交点(0，c)在负半轴上．选 D. 答案：D 5．设函数 f(x)＝x2－x＋a(a＞0)．若 f(m)＜0，则 f(m－1)的值为( A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、负数和零都有可能 )
A．－1 C．2
B．1 D．－2
解析：∵函数 f(x)＝x2－ax＝－a，f(2)＝4－3a， ∴ －a≥4－3a， －a＝1， 或 －a≤4－3a， 4－3a＝1， 解得 a＝1.
答案：B 10．已知 g(x)是 R 上的奇函数，当 x<0 时，g(x)＝－ln(1－x)，函数 f(x)＝ 实数 x 的取值范围是( A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(1,2) D．(－2,1) 解析：设 x>0，则－x<0，所以 g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，所以 f(x)＝ x3，x≤0， ln1＋x，x>0， 并且函数 f(x)是 R 上 ) x3，x≤0， gx，x>0， 若 f(2－x2)>f(x)，则
A．3.50 分钟 C．4.00 分钟 16a＋4b＋c＝0.8， 解析：由已知得 25a＋5b＋c＝0.5， 9a＋3b＋c＝0.7， a＝－0.2， 解得 b＝1.5， c＝－2，
B．3.75 分钟 D．4.25 分钟
15 1 t－ 2 13 15 ∴p＝－0.2t ＋1.5t－2＝－ 4 ＋ ，∴当 t＝ ＝3.75 时 p 最大，即最佳加工时间为 3.75 分钟．故选 B. 5 16 4
课时作业 A 组——基础对点练 1 2 ， 1．已知幂函数 f(x)＝k·xα的图像过点 2 2 ，则 k＋α＝( A. C. 1 2 B．1 D． 2 )
3 2
1 1 2 2 1 3 解析：由幂函数的定义知 k＝1.又 f 2 ＝ ，所以 2 α＝ ，解得α＝ ，从而 k＋α＝ . 2 2 2 2 答案：C 2．已知幂函数 f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图像关于 y 轴对称，则下列选项正确的是( A．f(－2)>f(1) C．f(2)＝f(1) B．f(－2)<f(1) D．f(－2)>f(－1)