21.2.3因式分解法详解
21.2.3 因式分解法
因式分解，得 r 5 2r r 5 2r 0
于是得 r1 5( 2 1), r2 5( 2 1) （舍去）.
答：小圆形场地的半径是 （ 5 2 1）m
概念
因
式
分
原理
解
法
步骤
将方程左边因式分解，右边=0 因式分解的常用方法有： ma+mb+mc=m(a+b+c)； a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
如果a ·b=0，那么 a=0或b=0
右化零 左分解 两因式 各求解
谢 谢 观 看！
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法来解 方程①？
21.2.3 因式分解法
10x-4.9x2 =0
因式分解
x(10-4.9x) =0
两个因式乘积为 0，说明什么？
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
x =0 或 10-4.9x=0 降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
(3)3 x2 6 x 3 解：化为一般式为
x2－2x+1 = 0.
因式分解，得
x 12 0
有 x－1= 0 或 x－1= 0， x1 = x2 = 1.
可以试用多种 方法解本例中的几 个方程.
21.2.3 因式分解法
基本思路
将二次方程化为一次方程，即降次
直接开平 方法
用平方根的意义直接进行降次
因式分解法的基本步骤： 一移——方程的右边=0; 二分——方程的左边因式分解; 三化——方程化为两个一元一次方程; 四解—因式分解法
21.2.3 因式分解法 公开课课件
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
三、巩固练习 教材第14页 练习1，2. 四、课堂小结 本节课要掌握： (1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二 次方程及其应用． (2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0， 再分别使各一次因式等于0. 五、作业布置 教材第17页 习题6，8，10，11.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略 (方程一边为 0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( ) A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7
21.2.3 因式分解法
.运用公式法
2.运用因式分解法解一元二次方程的步骤:
先因式分解,使方程化为两个
的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等
一次式
于 ,从而实现降次.进而求解方程.
0
类型一:用提公因式法解一元二次方程 例1 解方程x2+5x=0.
解:x(x+5)=0, ∴x=0或x+5=0, ∴x1=0,x2=-5.
1.方程2x2-6x=0的解为( )C
(A)x=0
(B)x=3
(C)x1=0,x2=3
(D)x1=0,x2=-3
2.方程2x(x-4)=4(x-4)的根是( )
(A)x=4
(B)x=2
D
(C)x1=4,x2=-2
(D)x1=4,x2=2
3.若方程x2-5x=0的两根为x1,x2(x1<x2),则x2-x1= .
4
(3)x1= 5 ,x2=- 5 .
2
2
(4)m1= 1 ,m2=- 1 .
2
4
点击进入 课后训练
类型二:用运用公式法解一元二次方程 例2 解方程x2+6x=-9.
【思路点拨】 (1)将方程化为一般形式:ax2+bx+c=0. (2)把方程转化成(mx+n)2=0或(mx+n)(mx-n)=0的形式. 解:x2+6x+9=0, (x+3)2=0, ∴x+3=0, ∴x1=x2=-3.
【规律总结】 运用因式分解法解一元二次方程实际上就是运用因式分解把一元二 次方程转化为两个一元一次方程来解.
4.用因式分解法解方程x2-kx+16=0时,得到的两根均为5整数,则k的值可以是
21.2.3 因式分解法 课件(共21张PPT)
( + )( − )
−
( − )( + )
情境引入
对于方程 − = ，除了可以用配方法或公式法求
解，还可以怎样求解呢？
观察和分析小亮的解法，你认为他的解法有没有道理？
小亮的思考及解法
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程，因此，
可将方程的左边分解因式.于是，得( − ) = .
那么这两个因式中至少有一个等于0;
（3）用因式分解法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边
化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时，如果能用因式分解法进行解题，那么它是
首选.
知识点2：换元法解一元二次方程（难点）
1. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使
0,解得y₁=2,y₂=-1(不合题意,舍去),∴|x|=2,∴x₁=2,x₂=-2.
变式：已知(x+y-3) (x+y+4)=-10, 求x+y的值.
解：整理，得( − ) = ，
直接开平方，得 − = 或 −
= −，
解得 = ， = −.
（） + − = .
解： = , = , = −,
− = + = > ,
所以 =
−±
= − ± ，
21.2.3 因式分解法
1.通过阅读课本 ， 学生会用因式分解法解某些简单的数字系
数的一元二次方程，提高了学生的运算能力．
2.通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生
分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二
次方程转化为两个一元一次方程的转化思想．
初中数学教学课件：21.2.3 因式分解法(人教版九年级上)
2.解下列方程: （1）（x+2)(x-4)=0 【解析】(1) (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0
x 2 0或x 4 0
x1 2，x 2 4.
24x2x 1 32x 1 0，
2x 14x - 3 0,
2x 1 0或4x 3 0.
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0
∴x1= -5,x2=5.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例 题
【例1】用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2). 【解析】
解 : 1 5x 2 4x 0,
x5x 4 0.
2 x 2 x x 2 0, x 21 x 0.
1.x1 5; x2 2.
x 2 (5 2 ) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0 2.x1 5; x2 3.
3. x 2 (3 2)x 18 0
4. (4 x 2) x(2 x 1)
2
3.x1 3; x2
b b 2 4ac (a 0, b 2 4ac 0) 公式法 x 2a
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
第21章 21.2.3 因式分解法
17．小明给出解方程x2－|x|－2＝0的过程： 解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0.解得x1＝2，x2＝－1(不合题 意，舍去)； (2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝ －2. ∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2 请参照小明的解题过程，解方程x2－|x－1|－1＝0.
产生漏根．.
16．用适当的方法解方程： (1)x2－3x＋1＝0； 解：x1＝3＋2 5，x2＝3－2 5(公式法) (2)(x－1)2＝3； 解：x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3(直接开平方法) (3)4x2－12x＋9＝0； 解：x1＝x2＝23(因式分解法) (4)x2－2x＝4. 解：x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5(配方法)
会用因式分解法解一元二次方程． 【例2】用因式分解法解一元二次方程： (1)3x2－5x＝0； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0； (3)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0. 【思路分析】 (1)方程的左边可用提公因式分解因式；(2)方程的左边可用 平方差公式分解因式；(3)方程的左边可用完全平方公式分解因式． 【规范解答】 (1)因式分解， 得x(3x－5)＝0，于是得x＝0， 或3x－5＝0 x1＝0，x2＝35
解：(1)当x－1≥0时，原方程化为x2－x＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)， x2＝1； (2)当x－1＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)， x2＝－2，∴原方程的根是x1＝1，x2＝－2.
(4)3(t－1)2＋2t＝2 解：t1＝1，t2＝13
8．方程x2－5x＝0的解是1＝x2＝0
C．x1＝0，x2＝5
D．x1＝－5，x2＝0
9．方程(1－x)2＋1＝x的根是( C )
21.2.3因式分解法解一元二次方程(教案)
1.教学重点
-重点一：一元二次方程标准形式的掌握，即ax² + bx + c = 0（a, b, c为常数，且a≠0）。通过讲解和示例，使学生理解方程各部分的数学意义。
-举例：方程x² + 3x - 4 = 0中，a=1，b=3，c=-4，强调a≠0的条件。
-重点二：因式分解法的应用，包括提取公因式、十字相乘等方法，以及如何将一元二次方程转化为因式分解的形式。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解法解一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了因式分解法解一元二次方程，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
2.提高学生的数学建模素养，通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题转化为数学问题，并运用数学知识进行解决；
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用判别式Δ分析一元二次方程的根的性质，增强对数学问题的深入理解；
4.增强学生的数学抽象思维，让学生掌握一元二次方程的一般形式，并能够将其与因式分解法有效结合。
4.通过例题和练习，熟练运用因式分解法求解一元二次方程，并能解决实际问题。
本节课将结合教材内容，针对以上要点进行深入讲解和练习。
二、核心素养目标
《21.2.3因式分解法解一元二次方程》的核心素养目标如下：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用因式分解法进行一元二次方程的求解，理解数学知识之间的内在联系；
关于小组讨论，我发现学生们在讨论因式分解法在实际生活中的应用时，思维比较局限，难以提出具有创新性的观点。在今后的教学中，我会引导学生多关注生活，发现生活中的数学问题，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
《 解一元二次方程之因式分解法》九年级初三数学上册PPT课件(第21.2.3 课时)
老师：XXX
时间：20XX.4
Trend Design
第二十一章 一元二次方程
前言
学习目标
1.会用因式分解法解一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解
决问题的多样性。
重点难点
重点：运用因式分解法求解一元二次方程。
难点：灵活应用各种因式分解法解一元二次方程。
回顾
.
课堂测试
2.若代数式3x2+1的值等于76，则x的值为 ±5
.
3.对于方程x2=m-3,若方程有两个不相等的实数根,则
m ＞3 ;若方程有两个相等的实数根，则m =3 ;若方程无
实数根，则m ＜3
.
课堂测试
4.用直接开平方法解下列方程：
⑴2x2-50=0；
⑵4x2+12x+9=1.
解：⑴移项，得2x2= 50 .
子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?
根据平方根的意义，得x=±5,
60个面 即x1=5, x2=﹣5.
可以验证，x1=5, x2=﹣5，
是方程①的两个根
设正方体的棱长为x dm，
则一个正方体的表面积为6x2 dm2，
10×6x2=1 500
整理，得x2=25
①
因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
①移项,使一元二次方程等式右边为0;
②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积;
③赋值，分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;
④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解.
思考
2)解：移项、合并同类项，
人教版九年级上 21.2.3 因式分解法(包含答案)
21.2.3因式分解法知识要点：1.把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法．2.因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式、完全平方公式以及十字相乘法等；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程，即可得到原方程的解1．方程x （x +2）＝﹣x （x +2）的根是（ ）A ．x 1＝0，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝﹣2C ．x ＝0D ．x ＝2 【答案】B2．若实数x ，y 满足()()2222x y 3x y -30+++=，则22x y +的值为( )A ．3或-3B ．3C ．-3D ．1 【答案】B3．方程)1)(14()1)(13(--=-+x x x x 的解是（ ） A ．121,0x x ==B ．121,2x x =-=C ．121,2x x ==D ．无解【答案】C 4．方程20x x -=的根是（ ）A ．1x =B ．120x x ==C ．121x x ==D ．10x =，21x =【答案】D 5．已知2x =-是关于x 的一元二次方程22502x x a --=的一个根，则a 的值为（ ） A ．3± B ．3- C ．3D ．1或1- 【答案】A6．若关于 x 的方程 250x x k -+= 的一个根是0，则另一个根是（）A ．1B ．－1C ．5D ．12【答案】C7．一元二次方程 (1)x x x -= 的解是（ ）A ．1或－1B ．2C ．0或2D ．0【答案】C8．2(3)5(3)x x x --- 因式分解结果为（ ）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x --【答案】D9．将4个数 a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义 a bad bc c d =-，上述记号就叫做2阶行列式．若11611x x x x +-=-+，则x 的值为（ ）.A ．BC ．2±D ．2【答案】A10．三角形一边长为 10，另两边长是方程 214480x x -+= 的两实根，则这是一个（ ）. A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】A11．若(x 2＋y 2)2－5(x 2＋y 2)－6＝0，则x 2＋y 2＝_____________．【答案】612．一小球以15 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h ＝15t －5t 2，则小球经过____s 达到10 m 高．【答案】1或213．已知2215500(0)x xy y xy -+=≠，则x y 的值是_____________． 【答案】5或1014．对于实数a ，b ，我们定义一种运算“※”为：a ※b=a 2-ab ，例如：1※3=12-1×3.若x ※4=0，则_____【答案】x=0或4.15．解方程：(1)(2)4x x -+=【答案】x 1=2，x 2=-3．16．若2222()(2)80x y x y ++--=，求22xy +的值．【答案】417．用因式分解法解下列方程：（1）23(5)2(5)x x -=-；（补全解题过程） 解：原方程可变形为23(5)2(5)0x x ---=，分解因式，得______________________________．∴50x -=，或1330x -=．∴15=x ，2133x =． （2）24410x x -+=．【答案】（1）(5)(133)0x x --=；（2）1212x x ==。
(人教版数学)初中9年级上册-同步练习-21.2.3 因式分解法-九年级数学人教版(上)(解析版)
第二十一章一元二次方程21.2.3因式分解法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程x2=2x的根是A．x=2 B．x=﹣2C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣2【答案】C【名师点睛】此题考查用因式分解法解一元二次方程.因式分解法只适用于一些可以整理为2个一次项的积等于0的方程.2．一元二次方程x2−3x＝0的解为A．x＝0 B．x＝3C．x1＝x2＝−3 D．x1＝0 ，x2＝3.【答案】D【解析】x=0或x−3=0所以故选D．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．3．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为A．6 B．8C．10 D．8或10【答案】C【解析】，或，，，当2为腰，4为底时，，不符合三角形三边的关系，等腰三角形的底为2，腰为4，这个等腰三角形的周长，故选C．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.4．一元二次方程x2+3x=0的根为A．﹣3 B．3C．0，3 D．0，﹣3【答案】D【名师点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，能利用因式分解法进行求解的一元二次方程左侧能进行因式分解，右侧为0，熟练掌握是解题的关键.5．一元二次方程3x2– 2x＝0的解是A．23x=B．x=0C．x1=23-，x2=0 D．x1=23，x2=0【答案】D【解析】x（3x−2）=0，x=0或3x−2=0，所以x1=0，x2=23．故选D．【名师点睛】解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．6．关于x的一元二次方程x2−2x−3=0的根是A．x1=1,x2=3 B．x1=−1,x2=3C．x1=1,x2=−3D．x1=−1,x2=−3【答案】B二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是_____．【答案】x1=3，x2=9【解析】（x﹣3）（x﹣9）=0，x﹣3=0，x﹣9=0，x1=3，x2=9，故答案为：x1=3，x2=9.8．方程x2＋x＝0的根为__________．【答案】x 1＝−1，x2＝0【解析】故答案为：9．若实数a、b满足(a+b)(a+b−2)−8=0，则a+b=_________．【答案】−2或4．【解析】设t=a+b，则由原方程得到：t（t−2）−8=0，整理得：（t+2）（t−4）=0，解得t=−2或t=4，即a+b=−2或a+b=4．故答案是：−2或4．10．用换元法解方程+=，设y =，那么原方程化为关于y 的整式方程是__． 【答案】26520y y -+=【解析】原式=， ∵， ∴原式=，化为整式方程为26520y y -+=. 【名师点睛】本题主要考查的是换元法的应用，属于基础题型．换元法的关键就是把某个式子看成一个整体，然后用另外一个字母来替换它．11．一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是_____．【答案】2或﹣1【名师点睛】考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程的公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．12．我们知道方程x 2﹣2x +1=0的解是x 1=x 2=1，则给出的另一个方程（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）+1=0的解是_____．【答案】x 1=x 2=2【解析】∵方程x 2﹣2x +1=0的解是x 1=x 2=1，∴方程（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）+1=0的解满足：x −1=1,∴x 1=x 2=2.【名师点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，认真观察所给两个方程的特点，合理换元是解答本题的突破点.13．关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根的值为3，则另一个根的值是_____．【答案】−2【解析】由题意把3x =代入方程260x mx +-=得：9360m +-=，解得： 1m =-，∴原方程为： 260x x --=，解此方程得： 1232x x ==-，，∴原方程的另一根为：−2.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．解方程：（2x+1）2=（2﹣x）2．【答案】x1=﹣3，x2=【名师点睛】此题考查用公式法和因式分解法解一元二次方程.公式法适用于所有的方程，因式分解法只适用于一些可以整理为2个一次项的积等于0的方程.15．根据要求，解答下列问题：（1）①方程x2﹣x﹣2=0的解为；②方程x2﹣2x﹣3=0的解为；③方程x2﹣3x﹣4=0的解为；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x﹣10=0的解为；②请用配方法解方程x2﹣9x﹣10=0，以验证猜想结论的正确性．（3）应用：关于x的方程的解为x1=﹣1，x2=n+1．【答案】①x1=﹣1，x2=2；②x1=﹣1，x2=3；③x1=﹣1，x2=4；（2）①x1=﹣1，x2=10；②x1=﹣1，x2=10；（3）x2﹣nx﹣（n+1）=0【解析】①∵x2﹣x﹣2=0，∴(x+1)(x−2)=0,∴x1=﹣1，x2=2；②∵x2﹣2x﹣3=0，∴(x+1)(x−3)=0,∴x1=﹣1，x2=3；③∵x2﹣3x﹣4=0，∴(x+1)(x−4)=0,∴x1=﹣1，x2=4；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x﹣10=0的解为x1=﹣1，x2=10；②x2﹣9x﹣10=0，移项，得x2﹣9x=10，配方，得x2﹣9x+814=10+814，即（x﹣92）2=1214，开方，得x﹣92=112.x1=﹣1，x2=10；（3）应用：关于x的方程x2﹣nx﹣（n+1）=0的解为x1=﹣1，x2=n+1．【名师点睛】本题考查了用因式分解法和配方法解一元二次方程，数字类探索与规律，掌握因式分解法是解（1）的关键，掌握配方法是解（2）的关键，观察出二次项系数、一次项系数、常数项与两根之间的关系是解（3）的关键.。
21.2.3因式分解法解(教案)
举例：如分解x^2 + 5x + 6，通过十字相乘法得到(x + 2)(x + 3)。
2.教学难点
（1）正确识别公因式：学生在提取公因式时容易出错，如漏掉常数项的公因数、找错公因数等。
举例：如分解3x^2 + 6x + 9时，正确找出公因数3。
3.培养数学抽象思维能力：通过因式分解的学习，引导学生从具体问题中提炼出数学模型，培养数学抽象思维能力。
4.提升数学建模能力：鼓励学生运用因式分解解决实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力。
5.培养合作交流意识：在小组讨论和合作完成练习过程中，培养学生的团队协作能力和交流沟通能力，共同提高。
21.2.3因式分解法解（教案）
一、教学内容
21.2.3因式分解法
1.理解因式分解的概念；
2.学会提取公因式的方法；
3.掌握运用公式法进行因式分解；
4.能够运用十字相乘法进行因式分解；
5.解决实际问题，运用因式分解简化计算。
本节课我们将通过以下内容展开教学：
（1）例题解析：提取公因式法；
（2）公式法：平方差公式、完全平方公式；
（3）十字相乘法：掌握其步骤及应用；
（4）巩固练习：选取典型题目，让学生独立完成，检验学习效果；
（5）拓展提高：运用因式分解解决实际问题，提升学生的应用能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过因式分解的学习，使学生能够理解和掌握数学概念之间的逻辑关系，提高解题过程中的逻辑推理水平。
2.增强数学运算能力：使学生掌握因式分解的基本方法，灵活运用提取公因式、公式法和十字相乘法，提高数学运算的速度和准确性。
21.2.3用因式分解法解一元二次方程_课件_1
(
)
1、如何用因式分解法解一元二次方程？ 2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤？ 3、解一元二次方程有几种方法，他们之间的联 系与区别是什么？
作业：书P14练习
1.解下列方程： . 2
(1) x x 0,
提公因式：x( x 1) 0， 所以有x 0或x 1 0 即x1 0，x2 1.
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
我思
我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
2
(a1x c1 )(a2 x c2 )
a2
c1 c2
(4)3x 7 x 2 0
2
例2 解下列方程
(1)2 y 3 y 2 0 (2)3x 10x 8 0
2
2
(3)4x 31x 45 0
2
(4) 3x 22x 24 0
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢 ? 4 x 2 12 x 9 ? . 3x 2 7 x 4 ?. 观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6);
初三数学上册(人教版)《21.2.3 因式分解法》课件
∴y－5＝0 或 y＋3＝0.
∴y1＝5，y2＝－3.
(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0； (6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.
(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0.
∴x－3＝0 或 4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝14.
(6)移项，得 4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0. ∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0. ∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0.
∴11x－8＝0 或 x＋12＝0.∴x1＝181，x2＝－12.
巩固练习
2.用适当的方法解下列方程：
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平 方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解 法叫做因式分解法．
【提示】 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边 等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的方法; 3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.
(2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y；
择顺序是：直接开平方法 →因式分解法→公式法→ 配方法．
(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；
(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.
(2)x2－6x－19＝0；
解：(1)(1－x)2＝ 9，∴(x－1)2＝3，x－1＝± 3. ∴x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3. (2)移项，得 x2－6x＝19. 配方，得 x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28. ∴x－3＝±2 7.∴x1＝3＋2 7，x2＝3－2 7.
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作 业
这节课就到这里，下课！
பைடு நூலகம்
例题讲解
例3 解下列方程 （ 1） x( x 2) x 2 0 ；
1 3 2 （ 2） 5 x 2 x x 2 x 4 4
2
例题讲解 （1） x( x 2) x 2 0 ； 解：因式分解，得
( x 2)( x 1) 0
于是
x 2 0, 或x 1 0 x1 2, x2 1
知识回顾
1.什么叫因式分解？
2.因式分解的方法有几种？
知识回顾
3、已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 4、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
问题探究
例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直 上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m）为
10x 4.9x ．
x x 0,
2
注：如果一元二次方程有实数根， 那么一定有两个实数根.
解下列方程
(1)3 x( x 2) 5( x 2) 2 (3)(3 x 1) 5 0
(1)3 x( x 2) 5( x 2)
解：移项，得 3 x( x 2) 5( x 2) 0
(4) x x
2
x1 0, x2 1
(4) x x
2
解：方程的两边同时除以x，得 x 1. 原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个 不等于零的数，所得的方程与原 方程 同解。
(4) x x
2
解： (1)当x 0时，左边 0 0，右边 0.
2
请利用配方法或公式法解这个方程
问题探究
10 x 4.9 x 0.
2
仔细观察方程特征，除配方法或公 式法，你能找到更简单的解法吗？
x(10 4.9 x) 0.
总结归纳
利用因式分解使方程化为两个一次式乘积 等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0， 从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．
（ 1）用 因 式 分 解 法 ， 即 用 提 取 公 因 式 法 、 • 十 字 相 乘 法 等 解 一 元 二 次方程及其应用． （ 2） 三 种 方 法 （ 配 方 法 、 公 式 法 、 因 式 分 解 法 ） 的 联 系 与 区 别 ： 联 系 ：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一 次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到． ③ 配 方 法 、公 式 法 适 用 于 所 有 一 元 二 次 方 程 ，因 式 分 解 法 适 用 于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根． ③ 因 式 分 解 法 要 使 方 程 一 边 为 两 个 一 次 因 式 相 乘 ，另 一 边 为 0， • 再 分 别 使 各 一 次 因 式 等 于 0。
1.方程右边化为 零 2.将方程左边分解成两个 一次因式 的乘 积 3.至少 有一个 因式为零，得到两个一 元一次方程 4.两个 一元一次方程的解 就是原方程的 解
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？ x1 0, x2 2 (1) x( x 2) 0
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3 2 1 (3)(3x 2)(2 x 1) 0 x1 , x2 3 2
( x 2) (3 x 5) 0
x+2=0或3x－5=0
5 3
∴ x1=-2 , x2=
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－
)= 0 5
3x+1+ 5 =0或3x+1－
5
=0
１ 5 １ 5 ∴ x1= , x2= 3 3
课堂小结
2
你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？
问题探究
例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直 上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位： m）为
10 x 4.9 x 2 ．
你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？
列出方程
10 x 4.9 x 0.
例题讲解
1 3 2 （ 2） 5 x 2 x x 2 x 4 4 解：移项，合并同类项，得
2
因式分解，得
4x 1 0
2
于是
(2 x 1)(2 x 1) 0 2 x 1 0,2 x 1 0
1 1 x1 , x2 2 2
用因式分解法解一元二次方程的步骤
2
左边 右边， x 0是原方程的解； (2)当x 0时, 方程的两边同除以x，得 x 1 原方程的解为x1 0, x2 1.
(4) x x
2
解：移项，得
x( x 1) 0
x 0, 或x 1 0
原方程的解为 : x1 0, x2 1.