2021年春季沪教版数学必修二--第8讲 正切函数图像及其性质(练习)教师版

第8讲 正切函数图像及其性质（练习）

夯实基础

一、单选题

1．（2019·上海静安区·高一期末）关于x 的三角方程1

sin 3

x =在[)0,2π的解集为（ ）

A ．1arcsin 3⎧

⎫⎨⎬⎩⎭

B ．1arcsin 3π⎧

⎫-⎨⎬⎩

⎭

C ．11arcsin ,arcsin 3

3π⎧

⎫-⎨⎬⎩

⎭

D ．11arcsin ,arcsin 3

3⎧⎫-⎨⎬⎩

⎭

【答案】C

【分析】由正弦函数的单调性可得方程1

sin 3

x =

在[0，2π）上的解集． 【详解】∵1

sin 3

x =

，x ∈[0，2π）， ∴x ＝arcsin

13，或1-arcsin 3

x π=， ∴方程的解集为：{arcsin 13，1

-arcsin 3

π}． 故选：C ．

【点睛】本题考查三角方程的解法，属基础题．

2．（2017·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z

B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z

C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z

D ．(){

}

|π1arctan 2,k

x x k k =+-∈Z 【答案】C

【分析】利用反三角函数的定义以及正切函数的周期为k π，即可得到原方程的解. 【详解】由tan 2x =，

根据正切函数图像以及周期可知：arctan 2x k π=+， 故选：C

【点睛】本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质，需熟记正切函数的图像与性质，属于基础题.

3．（2016·上海市七宝中学高一期中）函数sin y x =与tan y x =的图象在[]2,2ππ-上的交点有（ ） A ．3个 B ．5个

C ．7个

D ．9个

【答案】B

【分析】在[]2,2x ππ∈-上解出方程sin tan x x =，得出方程解的个数即可. 【详解】当[]2,2x ππ∈-时，解方程sin tan x x =，得sin sin cos x

x x

=

，整理得()sin cos 10x x -=，得sin 0x =或cos 1x =.

解方程()sin 022x x ππ=-≤≤，解得2x π=-、π-、0、π或2π. 解方程()cos 122x x ππ=-≤≤，解得2x π=-、0、2π.

因此，方程sin tan x x =在[]2,2x ππ∈-上的解有5个. 故选：B.

【点睛】本题考查正切函数与正弦函数图象的交点个数，可以利用图形法解决，也转化为方程根的个数来处理，考查计算能力，属于中等题.

4．（2015·上海杨浦区·复旦附中高一期末）不等式tan 2x <的解集是（ ）

A ．|arctan 2,3x k x k k Z π

ππ⎧⎫

-<<+∈⎨⎬⎩

⎭

B ．

2|arctan 2,3x k x k k Z πππ⎧⎫

+<<+∈⎨⎬⎩⎭

C ．|22arctan 2,3x k x k k Z π

ππ⎧

⎫

-<<+∈⎨⎬⎩

⎭

D ．

2|2arctan 22,3x k x k k Z πππ⎧⎫

+<<+∈⎨

⎬⎩⎭

【答案】A

【分析】根据正切函数的图像，结合tan 3π⎛⎫

-

= ⎪⎝⎭

【详解】因为tan 2x <<，tan 3π⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

所以结合正切函数的图像可得arctan 2,3

k x k k Z π

ππ-

<<+∈

即tan 2x <<的解集是|arctan 2,3x k x k k Z π

ππ⎧⎫

-

<<+∈⎨⎬⎩

⎭

故选：A

【点睛】解三角不等式的方法：1.利用单位圆，2.利用三角函数的图像

二、填空题

5．（2019·上海长宁区·高一期末）函数arcsin y x =的值域是______.

【答案】,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

【分析】根据反正弦函数定义得结果

【详解】由反正弦函数定义得函数arcsin y x =的值域是,22ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

【点睛】本题考查反正弦函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题

6．（2019·上海市控江中学高一期末）函数()arcsin 2y x =-的定义域________． 【答案】[]1,3.

【分析】根据反正弦函数的定义得出121x -≤-≤，解出x 可得出所求函数的定义域. 【详解】由反正弦的定义可得121x -≤-≤，解得13x ≤≤， 因此，函数()arcsin 2y x =-的定义域为[]1,3，故答案为：[]1,3.

【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

7．（2019·上海市大同中学高一期中）求值：arccos0=________ 【答案】

2

π

【分析】设arccos0=x,x ∈[0,]π，直接利用反三角函数求解.