典型二元二次方程与应用题
典型二元二次方程与应用题
典型二元二次方程与应用题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二元二次方程组解法与应用题教学目标1.理解二元二次方程的概念2.能正确地把方程整理成二元二次方程的一般形式,知道各项名称和各项系数3.理解二元二次方程解的概念,会解二元二次方程组4.会列代数方程(组)解简单的应用题教学重难点1.熟练运用“消元”、“降次”的数学思想方法解二元二次方程，从而提高分析问题和解决问题的能力2.熟练掌握数学符号语言与文字的互译以及数量关系的分析,会建立数学模型3.理解应用题中的现实问题,会分辨,排除不符题意的解知识梳理二元二次方程和方程组仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.关于x,y 的二元二次方程的一般形式是: 22ax bxy cy dx ey f 0+++++=(a,b,c,d,e,f 为常数)其中,22ax ,bxy,cy 叫做这个方程的二次项,a,b,c 分别叫做二次项系数; dx,ey 叫做这个方程的一次项,d,e 分别叫做一次项系数;f 叫做这个方程的常数项.使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程或两个二元二次方程组成的方程组是二元二次方程组方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法应用题在实际问题中,经常会遇到一个(多个)未知量得问题,我们可以列方程(组)来求解. 通过列方程来解某些实际问题,应注意检验,不仅要检验求得的解是否适合方程,还要检验所得得解是否符合实际意义.二元二次方程与方程组1.将y 2x 1=-代入方程22y 2x 2-=后,整理成关于x 的整式方程是__01422=--x x ___2.已知22m 2x y 5x 4y 20⎧+=⎪⎨+=⎪⎩是关于x,y 的二元二次方程组,则m= 或13.将方程22x 2xy 3y 0+-=分解为两个二元一次方程为_x+3y=0__与__x-y=0___4.二元二次方程组(x 2y)(2x y)0(x 3y 1)(2x y 1)0--=⎧⎨-++-=⎩的解有___4_____组.5.已知03x y =⎧⎨=⎩和11x y =-⎧⎨=⎩是二元二次方程220x y dx ey +++=的两个解,则d=____2____, e=___0____6.下列不是二元二次方程组的是（ D ）A. 2235024x y x xy y --=⎧⎨-+=⎩B. 211x y -=⎧⎪=C. 03x y xy +=⎧⎨=⎩D. 222x y ⎧-=⎪=7.若方程组2y 2x k y 4x =+⎧⎨=⎩有实数解,则k 的取值范围是 ( C ) A. 1k 2≥ B. k 2≥ C. 1k 2≤ D. k 2≤8.解下列方程(代入法)(1)2x y 4x 2xy 3=+⎧⎨+=⎩ (2)22x 2y 1x 4y 5-=⎧⎨-=⎩(3)xy 6x y 5=-⎧⎨+=⎩ (4)x y 11xy 18-=⎧⎨=-⎩(5)22x y 13x y 5⎧+=⎨+=⎩ (6)22x 4y x 3y 102x y 10⎧-++-=⎨--=⎩(7)2y 2x 3y x =+⎧⎨=⎩ (8)2x 2y 1x 2y 50-=⎧⎨+-=⎩9.解下列方程(因式分解法)(1)22x 3xy 10y 0xy 2x 5y 100⎧--=⎨--+=⎩ (2)2222x y 0x 4xy 4y 9⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(3)2222x 5xy 6y 0x 6xy 9y 1⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ (4)222x 2xy y 1(x y)3(x y)100⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩(5)22x y 0xy 2(x y)30⎧-=⎨+++=⎩ (6)222x 2xy y 9(x y)3(x y)100⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩(7)222x y 1(x y)2(x y)30⎧-=⎪⎨----=⎪⎩ (8)2222x y 2(x y)x xy y 1⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩10.求满足条件22x 2xy 3y 0--=的x,y 的值11.若方程组 2y 4x 2y 10y x a ⎧--+=⎨=+⎩无实数解,求a 的取值范围;12.若方程组 2x 2ay 5y x 6a⎧+=⎨-=⎩ 有正整数解,求a 的值13.已知关于x,y 的方程组22x y 2x 0kx y k 0⎧+-=⎨--=⎩,求证:不论k 取何值,方程组总有2组不同的实数解能力训练解下列方程(1)22x y13xy6⎧+=⎨=-⎩(2)22x xy y19xy6⎧++=⎨=⎩(3)222x2xy y2xy y4⎧--=⎪⎨+=⎪⎩(4)2222x5xy6y284x3xy y7⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩(5)22222x2xy4y x19x xy2y y9⎧+++=⎪⎨++-=⎪⎩(6)222x15xy3y2x9y985xy y3y21⎧--++=⎪⎨+-=-⎪⎩应用题1.师徒两人检修一条煤气管道,师傅单独完成需要10个小时,徒弟单独完成需要15个小时.师傅先开始检修,1小时后,让徒弟一起参加,还需要多少时间可以完成2.一艘轮船航行于两码头之间,逆水需10小时,顺水需6小时,已知该船在静水中每小时航行12千米,求水流速度和两码头之间的路程.3.一块长方形铁皮的长是宽的2倍,四角各截去一个正方形,制成高是5cm,容积是500立方厘米的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽.4.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额带到万元.求3月份到5月份营业额的平均月增长率20%5.直角三角形的周长为2+斜边上的中线长为1.求这个直角三角形的三条边长课后作业1.下列方程组中,没有实数解的是 ( )A. 22x y 5x y 13+=⎧⎨+=⎩B. x y 5xy 7+=-⎧⎨=⎩C. 22x y 5x y 17+=-⎧⎨+=⎩ D. x y 5xy 6+=⎧⎨=-⎩2.若222(23105)0x y y --++=,则x=______y=_______3.解下列方程(1)222x y 5x y 5+=⎧⎨+=⎩(2)x y 7xy 12+=⎧⎨=⎩(3)x y1xy12-=⎧⎨=⎩(4)2222x5xy6y0x y5⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩(5)2222x2xy y1 x3xy2y0⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩4.已知方程组2y nxy2x m⎧=⎨=+⎩(其中m,n均不为零)只有一组实数解.(1)试确定mn的值;(2)若n=4,试解这个方程组5.当m为何值时,方程组2644030y x ymx y⎧--+=⎨-+=⎩只有一组解,并求出此解.6.已知方程组22x y axy b⎧+=⎨=⎩的一组解是11x3y2=⎧⎨=-⎩,求它的其余解7.一件上衣原价每件500元,第一次降价后,销售甚慢,第二次降价的百分率是第一次的2倍,结果以每件240元的价格迅速售出,求每次降价的百分率.8.一个水池有甲乙两根进水管,单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时.若甲管先开放10小时,然后乙管加入注水,6小时可把水池注满,求单独开放甲管需几小时注满水池9.学校原有长方形操场的面积为4000平方米,调整校园布局时,一边增长了10米,另一边减少了10米,操场面积增加了200平方米,求原有操场两边的长.。
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)引言二元二次方程是一个常见的数学问题，解决这类问题可以帮助我们进一步理解二次方程的性质和求解方法。
本文将介绍四种不同的方法来解决二元二次方程，并提供相应的练题，以帮助读者巩固所学的知识。
方法一：代入法代入法是一种简单直接的解法，通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而求得未知数的值。
以下是一个代入法的例子：例题：求解方程组\begin{align*}3x^2-4y^2&=5 \\x+y&=3\end{align*}解法：1. 将第二个方程中的 $x$ 替换为 $3-y$，得到新的方程 $3(3-y)^2-4y^2=5$。
2. 将该方程整理并解得 $y=1$。
3. 将 $y=1$ 代入第二个方程，解得 $x=2$。
因此，该方程组的解为 $x=2$，$y=1$。
练题：1. 求解方程组\begin{align*}2x^2-3y^2&=4 \\x+y&=2\end{align*}2. 求解方程组\begin{align*}4x^2-5y^2&=8 \\2x+y&=3\end{align*}方法二：消元法消元法是另一种常用的解法，通过将两个方程相加或相减，并适当选择系数，使得其中一个未知数的系数相同而相消，从而求解另一个未知数。
以下是一个消元法的例子：例题：求解方程组\begin{align*}2x^2-3y^2&=4 \\5x-2y&=1\end{align*}解法：1. 将第二个方程乘以 2，得到 $10x-4y=2$。
2. 将第一个方程乘以 5，得到 $10x^2-15y^2=20$。
3. 将第三步的方程与第二步的方程相减，得到$15y^2-4y=18$。
4. 解方程 $15y^2-4y=18$，得到 $y=2$。
5. 将 $y=2$ 代入第一个方程，解得 $x=1$。
因此，该方程组的解为 $x=1$，$y=2$。
(专题精选)初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题及答案解析
（专题精选）初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题及答案解析一、选择题1．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm 、16cm 、20cm.【解析】【分析】设两直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩， 经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12a b ⎧⎨⎩cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962ab2．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①②由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．3．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩即可． 【详解】由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，x 3y 3∴-=，解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．4．解方程组：【答案】，．【解析】【分析】先由①得x=4+y ，将x=4+y 代入②，得到关于y 的一元二次方程，解出y 的值，再将y 的值代入x=4+y 求出x 的值即可.解：由①得：x =4+y ③，把③代入②得：（4+y ）2-2y 2=（4+y ）y ，解得：y 1=4，y 2=-2，代入③得：当y 1=4时，x 1=8，当y 2=-2时，x 2=2， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，. 【点睛】本题考查了解高次方程.5．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】 先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=． 原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．6．22x -y -3x 10y ⎧=⎨++=⎩，①，② 【答案】x 1y -2=⎧⎨=⎩【分析】根据解二元二次方程组的步骤求解即可.【详解】解：由方程①得：()()x y x-y -3+⋅=，③由方程②得：x y -1+=，④联解③④得x-y=3，⑤联解④⑤得x 1y -2=⎧⎨=⎩所以原方程组的解为x 1y -2=⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.7．解方程组：226021x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩【答案】2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．【详解】原方程组变形为(3)(2)021x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩， ∴3021x y x y +=⎧⎨+=⎩或2021x y x y -=⎧⎨+=⎩∴原方程组的解为2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．8．解方程组：⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2{1x y ==-；（2）3{45x y z ===【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.（1）2{1x y ==- ； (2) 3{45x y z ===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.9．解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩.【答案】1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解.【详解】由方程①，得x ＝3y③，将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，整理，得y 2＝2，解这个方程，得y 1，y 2④，将④代入③，得x 1＝，2x ＝﹣所以，原方程组的解是11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.10．解方程组：2241226x y x y ⎧-=⎨+=⎩①②． 【答案】41x y =⎧⎨=⎩． 【解析】【分析】将①分解因式可得(2)(2)12x y x y -+=，再将将②代入③后得22x y -=，然后与②组成可得【详解】解：由①得(2)(2)12x y x y -+=．③将②代入③，得22x y -=．④得方程组2226x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得41x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是41x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．11．解方程组：222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ 【答案】121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】 先由②得x ＋y ＝0或x−2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩，然后解这两个方程组即可．【详解】 222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩， 由②得：（x ＋y ）（x−2y ）＝0，x ＋y ＝0或x−2y ＝0，原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩， 解得：12121412x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，. 【点睛】此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．12．解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．【详解】解：由（2）得（x−y ）（x−2y ）＝0．∴x −y ＝0或x−2y ＝0，原方程组可化为2120x y x y +=⎧⎨-=⎩，21220x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解这两个方程组，得原方程组的解为：1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．13．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①② 由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝，把1x ＝③，得1413y ＝﹣（把1x ③，得2413y ＝﹣（所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.14．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①②将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．15．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ （2）217,11 1.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y =+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-， 所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．16．解方程组：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩ 【答案】1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将第1个方程变形为x ＋2y ＝3，x ＋2y ＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①②方程①可变形为()229x y +=得：23x y +=，23x y +=-它们与方程②分别组成方程组，得； 230x y x y +=⎧⎨+=⎩或230x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 所以，原方程组的解是1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．17．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩ 【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分别求出对应的x 的值即可；（2）设1A x y =+，1B x y=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．【详解】解：（1）由1x y -=得：1x y =+，将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()221120y y y y +-+-=，整理得：2201y y --=，解得：1y =或12y =-， 将1y =代入1x y -=得：2x =， 将12y =-代入1x y -=得：12x =， 故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （2）设1A x y =+，1B x y=-， 则原方程组变为：5121526A B A B +=⎧⎨-=⎩， 解得：656A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是方程组的解． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．18．解方程:22310x y x y ⎧-=-⎨++=⎩ 【答案】12x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y ，代入方程1，得到一个关于y 的一元二次方程，求出y 值，进而求x ．【详解】解：()()2231102x y x y ⎧-=-⎪⎨++=⎪⎩ 由（2）得：1x y =--（3）把（3）代入（1）：22(1)3y y ---=-∴2y =-∴1x =原方程组的解是12x y =⎧⎨=-⎩【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．19．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC的值．【答案】（1）见解析;（2）6 ; （3）57. 【解析】【分析】 （1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得EC BC =CH CD，即可推出CE•CD=CH•BC ； （2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出6，即可解决问题．（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴EC CH BC CD=，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12（180°﹣∠BAC）=90°+12BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AEH=∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AE EH HF FB=，∴FH2=6，∴HE=HF=6，∴EF=26．（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，∴HM=HN=52，53，∵∴∵S △HCF ：S △HCE =FH ：EH=FC ：EC ， ∴x（）：， 又∵x 2=y 2+（52）2， 解得∴CF=7， ∵∠CEF=∠B ，∠ECF=∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ， ∴EC CF BC AC=，∴AC CF BC EC ===57． 【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．20．解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩【答案】1131x y =⎧⎨=⎩ 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．【详解】解：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由①得：x 3y 0-= 或 x y 0+=原方程组化为：302x yx y-=⎧⎨-=⎩或2x yx y+=⎧⎨-=⎩解得：113 1x y =⎧⎨=⎩或2211xy=⎧⎨=-⎩∴原方程组的解为113 1x y =⎧⎨=⎩或2211xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．。
二元二次方程解法技巧专项训练以及题型分类
二元二次方程解法技巧专项训练以及题型分类二元二次方程是数学中常见且有趣的问题之一。
解决这类方程的技巧可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将介绍二元二次方程的解法技巧，并对常见的题型进行分类。
一、解法技巧解决二元二次方程的关键是找到方程的解集。
下面是一些常用的解法技巧：1. 因式分解法：将方程进行因式分解，然后令每个因式等于零，求出变量的值，进而得到解集。
例如，对于方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$，我们可以将其因式分解为 $(x - 2)(x - 3) = 0$，然后得到解集 $x =2$ 或 $x = 3$。
因式分解法：将方程进行因式分解，然后令每个因式等于零，求出变量的值，进而得到解集。
例如，对于方程 $x^2 -5x + 6 = 0$，我们可以将其因式分解为 $(x - 2)(x - 3) = 0$，然后得到解集 $x = 2$ 或 $x = 3$。
2. 配方法：当方程无法直接因式分解时，可以通过配方法来求解。
配方法的关键是找到一个合适的公式将方程转化为完全平方。
例如，对于方程 $x^2 - 4x + 4 = 0$，我们可以通过配方法将其变形为 $(x - 2)^2 = 0$，进而得到解集 $x = 2$。
配方法：当方程无法直接因式分解时，可以通过配方法来求解。
配方法的关键是找到一个合适的公式将方程转化为完全平方。
例如，对于方程 $x^2 - 4x + 4= 0$，我们可以通过配方法将其变形为 $(x - 2)^2 = 0$，进而得到解集 $x = 2$。
3. 求解公式法：对于一般形式的二元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，我们可以利用求解公式来求解。
根据求解公式，解集可以表示为 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
利用这个公式，我们可以求得方程的解集。
求解公式法：对于一般形式的二元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，我们可以利用求解公式来求解。
小学二元二次方程练习题
小学二元二次方程练习题一、填空题1. 已知方程组 $\begin{cases} x+y=5 \\ xy=4 \end{cases}$，则 $x^2 + y^2$ 的值为______。
2. 在方程组 $\begin{cases} x+y=6 \\ xy=8 \end{cases}$ 中，$x^2 y^2$ 的值为______。
3. 若方程组 $\begin{cases} x+y=7 \\ xy=9 \end{cases}$，则$x^3 + y^3$ 的值为______。
4. 已知方程组 $\begin{cases} x+y=8 \\ xy=10 \end{cases}$，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值为______。
二、选择题1. 方程组 $\begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases}$ 的解为（）。
A. $x=1, y=2$B. $x=2, y=1$C. $x=3, y=0$D. $x=0, y=3$2. 方程组 $\begin{cases} x+y=4 \\ xy=3 \end{cases}$ 的解为（）。
A. $x=1, y=3$B. $x=3, y=1$C. $x=2, y=2$D. $x=4, y=0$3. 方程组 $\begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases}$ 的解为（）。
A. $x=2, y=3$B. $x=3, y=2$C. $x=4, y=1$D. $x=5, y=0$三、解答题1. 解方程组 $\begin{cases} x+y=4 \\ xy=3 \end{cases}$。
2. 解方程组 $\begin{cases} x+y=5 \\ xy=4 \end{cases}$。
3. 解方程组 $\begin{cases} x+y=6 \\ xy=5 \end{cases}$。
4. 解方程组 $\begin{cases} x+y=7 \\ xy=6 \end{cases}$。
二次方程,二次函数应用题
一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
二）增长率问题1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
三）定价问题1.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？2、商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？1.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是。
2.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了是元钱四）3.如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551㎡。
二元二次方程例题
二元二次方程例题（原创实用版）目录1.二元二次方程的定义与特点2.解二元二次方程的常用方法3.例题解析正文一、二元二次方程的定义与特点二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，通常写成 ax + bxy + cy = d 的形式，其中 a、b、c、d 为已知系数，x、y 为未知数。
二元二次方程的解可以是实数、复数或无解，具体取决于判别式的值。
二元二次方程的特点如下：1.含有两个未知数；2.未知数的最高次数为二次；3.通常有四个解，可以是实数、复数或无解。
二、解二元二次方程的常用方法解二元二次方程有多种方法，常见的有以下几种：1.替换法：通过代入法或消元法将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后代入原方程求解。
2.配方法：将二元二次方程化为两个一元二次方程，分别求解后再通过解的和或差求得另一个未知数。
3.韦达定理：对于二次方程 ax + bxy + cy = d，根据韦达定理，有x1 + x2 = -b/a，x1x2 = c/a。
利用这两个关系式，可以求得一个未知数，再代入原方程求解另一个未知数。
4.判别式法：根据判别式Δ = b - 4ac 的值判断方程的解的情况，然后根据具体情况选择合适的方法求解。
三、例题解析例题：解方程组 x + 2xy + y - 3x - 2y + 2 = 0。
解：1.将方程组写成二元二次方程的标准形式：x + 2xy + y - 3x - 2y +2 = 0。
2.根据韦达定理，有 x1 + x2 = -2，x1x2 = 2。
3.利用 x1 + x2 = -2，解得 x1 = -2 - x2。
4.将 x1 代入 x1x2 = 2，得 (-2 - x2)x2 = 2，解得 x2 = -1 或 x2 = 2。
5.当 x2 = -1 时，x1 = -2 - (-1) = -1；当 x2 = 2 时，x1 = -2 - 2 = -4。
6.综上，方程组的解为 (-1, -1) 或 (-4, 2)。
二元二次方程应用题(一)
二元二次方程应用题(一)二元二次方程的应用题飞行轨迹问题•问题描述：某飞机在空中作直线运动，运动轨迹满足二元二次方程。
已知该飞机在起飞后2秒时位于坐标(0,0)，8秒时位于坐标(10,10)，求该飞机的运动轨迹方程。
•解题思路：设飞机的运动轨迹方程为y=ax^2+bx+c，根据已知条件可得到三个方程：1)4a+2b+c=0 （起飞后2秒时位于坐标(0,0)）2)64a+8b+c=10 （8秒时位于坐标(10,10)）3)a≠0 （飞机作直线运动）解上述方程组即可得到飞机的运动轨迹方程。
炮弹射击问题•问题描述：一颗炮弹以抛物线的形式射出，炮弹的运动轨迹满足二元二次方程。
已知炮弹的射程为1000米，射程中心为原点，炮弹在射程末端的高度为200米，求该炮弹的运动轨迹方程。
•解题思路：设炮弹的运动轨迹方程为y=ax^2+bx+c，根据已知条件可得到三个方程：1)0=a(500)^2+b(500)+c （射程中心为原点）2)200=a(1000)^2+b(1000)+c （射程末端的高度为200米）3)a≠0 （炮弹以抛物线的形式射出）解上述方程组即可得到炮弹的运动轨迹方程。
平抛运动问题•问题描述：一个物体以抛物线的形式在空中做平抛运动，物体的运动轨迹满足二元二次方程。
已知物体在水平方向上的位移为100米，最高点的高度为50米，求该物体的运动轨迹方程。
•解题思路：设物体的运动轨迹方程为y=ax^2+bx+c，根据已知条件可得到三个方程：1)0=a(50)^2+b(50)+c （最高点的高度为50米）2)0=a(-50)^2+b(-50)+c （水平方向上的位移为100米）3)a≠0 （物体以抛物线的形式做平抛运动）解上述方程组即可得到物体的运动轨迹方程。
以上是三个关于二元二次方程的应用题。
通过解题思路，我们可以根据已知条件建立方程组，然后解方程组得到所需的运动轨迹方程。
这些问题涉及实际生活中的运动轨迹，对于理解和应用二元二次方程有一定的帮助。
八年级数学下册期中期末专题05 二元二次方程组与列方程(组)解应用题(考点串讲)(解析版)
专题05 二元二次方程组与列方程（组）解应用题【考点剖析】 1.二元二次方程22(1)(2)(3)0(,,,,,(,42)2,ax bxy cy dx ey f a b c d f b c e a ⎧⎪⎪⎪+++++=⎨⎪⎪⎪⎩定义：仅含有未知数，并且含的最高次数是的方程；理解：；含有两个未知数；含有最高次数是.一般形式：是常数，且至少有一个不为零)解：能使二元二次方程左右两边两个未知数的项整式整式方程未知数的项一的值相等的的值.对未知数①②③ 2.二元二次方程组2(1)(2)⎧⎪⎨⎪⎩定义：仅含有，各方程是，并且含有的 最高次数是的；二元二次方程组的解:方程组中所含各方两个未知数整式方程未知数的项程的解.方程组公共 3.二元二次方程组的解法⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩基本思想二元二次方程组的解法题型一基本题型题型二(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组⎧⎨⎩；二元二次方二方程程.元一次即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.方法：代入消元法；一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.(3)题型二：解方程组⎧⎨⎩二元二次方程；二元二次方程.（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩审题；；；一般：解方程；；作答列解决问题设元列方程步骤检验一元二次方程高次方程分式方程；列方程组解应用题列简单的解决问题；列解决问题列解决问题列解决问题无理方程方程组①②③④⑤⑥.【典例分析】例题1（金山2018期中3）下列方程中，有实数解的是（ ） A.111x x x =--； B.220x +=；10=； D.220x y +=.【答案】D ；【解析】A 、解得1x =是增根，因此A 无实数根；B 、无实数根；C 、无实数根；D 、方程的解为00x y =⎧⎨=⎩；因此答案选D.例题2 （杨浦2019期中9）将方程组：22225601x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 转化成两个二元一次方程组分别是和 . 【答案】22222030,11x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩； 【解析】22225601x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩①②，由①得(2)(3)0x y x y --=，所以2030x y x y -=-=或，故原方程组可化为22222030,11x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩. 例题3（青浦2018期末20）解方程组：22860x y x xy y +=-⎧⎨+-=⎩. 【答案】16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或；【解析】解：22860x y x xy y +=-⎧⎨+-=⎩①②，由②，得（x+3y ）（x ﹣2y ）＝0，即x+3y ＝0或x ﹣2y ＝0，所以原方程组可转化为：883020x y x y x y x y +=-+=-⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩或，解方程组，得16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或.所以原方程组的解为：16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或. 例题4 (奉贤2018期末19)解方程组：2242x y x y xy-=⎧⎨-=⎩. 【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 【解析】解：2242x y x y xy -=⎧⎨-=⎩①②由①得：x =4+y ③，把③代入②得：22(4)2(4)y y y y +-=+，解得：y 1=4，y 2=-2，代入③得：当y 1=4时，x 1=8，当y 2=-2时，x 2=2，所以原方程组的解为：121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩． 例题5（金山2018期中24）为改善生态环境，某村计划在荒坡上种1000棵树. 由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【答案】40棵；【解析】解：设有的计划每天种x 棵，根据题意得：10001000510x x -=+，去分母整理，得： 21020000x x +-=， 解得1240,50x x ==-，经检验：1240,50x x ==-都是原方程的根，但50x =-不合题意，舍去. 答：原计划每天种树40棵. 【真题训练】 一、选择题1.（松江2018期中16）下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A.12x y x y +=⎧⎨-=⎩；B.22231310xy x y⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩； C.21x y xy -=⎧⎨=⎩； D.313x y xy y x ⎧+=⎨=-⎩.【答案】C ；【解析】根据“二元二次方程组”定义满足三个条件：含两个未知数，最高次数是2次，整式方程；故A 、B 、D 不是，C 是二元二次方程组；因此答案选C.2. （黄浦2018期中5）方程组222x y x y k⎧-=⎨-=⎩有实数解，则k 的取值范围是（ ）A.3k ≥；B.3k =；C.3k <；D.3k ≤. 【答案】D ；【解析】解：222x y x y k ⎧-=⎨-=⎩①②，由②得，y=2x-k ③，把③代入①，得x 2-（2x-k ）=2，∴△=4-4（k-2）≥0，解得k≤3，故选：D ．3. （浦东2018期中5）在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为121222,44x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，试写出这样的一个方程组题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是（ ）A.68x y xy +=⎧⎨=⎩； B. 26x y y x +=-⎧⎨=⎩； C.22220y x x y =⎧⎨+=⎩； D. 22820xy x y =⎧⎨+=⎩【答案】C【解析】解：A 、第二个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； B 、第一个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； C 、两个解都是方程组的解，方程组也满足由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项符合题意； D 、方程组不是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项不符合题意； 故选：C ．4．（静安2018期末4）某校计划修建一条500米长的跑道，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修x 米，那么根据题意可列出方程（ ） A.500500215x x -=+； B. 500500215x x -=+； C. 500500215x x -=-； D. 500500215x x-=-. 【答案】A ；【解答】解：设原计划每天修x 米，则实际每天修（x+15）米．由题意，知原计划用的时间为500x天，实际用的时间为：50015x +天，故所列方程为：500500215x x -=+．故选：A ．二、填空题5.（崇明2018期中17）已知22(4)0x y -+=，则2x y += .【答案】16；【解析】由已知22(4)0x y -+=可得：x=4，y=0，因此224016x y +=+=.6．（浦东四署2018期中11）将二元二次方程2221x xy y -+=化为二个二元一次方程为 ． 【答案】1,x y -=1x y -=-；【解析】由2221x xy y -+=得2()10x y --=即(1)(1)0x y x y ---+=，所以1,x y -=1x y -=-. 7. （松江2019期中11）已知12x y =⎧⎨=⎩是二元二次方程2221ax y -=的一个解，那么的值是_____________．【答案】9【解析】解：将12x y =⎧⎨=⎩代入方程2221ax y -=得，a ﹣8=1，解得a=9.故答案为：9.8.（松江2018期中11）某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，依题决可列方程： . 【答案】2180(1%)300x +=；【解析】180元的商品连续两次提价x%后为2180(1%)x +，故得方程2180(1%)300x +=.9.（松江2018期中12）某花木园，计划在园中载96棵桂花树，开工后每天比计划多种2棵，结果提前4天完成任务. 设实际每天载x 棵桂花树，则可列出方程为 . 【答案】969642x x-=-； 【解析】原计划时间为：962x -，实际上所用时间为96x，因为实际提前4天完成，故得方程为：969642x x -=-.10．（浦东四署2018期中14）李强同学借了一本书共280页，要在两周的借期内读完，当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.求他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则可列方程为________________ 【答案】140140+=1421x x +； 【解析】依题李强读前一半时间为140x ，读后一半的时间为14021x +，故140140+=1421x x +. 11．（青浦2018期末16）某学校准备用2400元购买一批学习用品，已知甲种学习用品的单价比乙种学习用品的单价少2元，若用这些钱全部购买甲种学习用品比全部购买乙种学习用品可多买200件，问：这两种学习用品的单价分别是多少元？若设乙种学习用品的单价为x 元，那么根据题意可列方程 ．【答案】240024002002x x-=-; 【解析】解：设乙种学习用品的单价为x 元，则甲种学习用品单价为（x ﹣2）元，根据题意，得240024002002x x -=-．故答案为240024002002x x-=-． 12．（静安2018期末13）某厂去年1月份的产值为144万元，3月份下降到100万元，求这两个月平均每月产值降低的百分率．如果设平均每月产值降低的百分率是x ，那么列出的方程是 ． 【答案】2144(1)100x -=；【解答】．解：设平均每月产值降低的百分率是x ，则2月份的产值为144(1)x -万元，3月份的产值为2144(1)x -万元，根据题意，得2144(1)100x -=．故答案为2144(1)100x -=．三、解答题13.（崇明2018期中23）2223230x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①②【答案】111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 【解析】解：由②得：(3)()0x y x y -+=即300x y x y -=+=或，原方程组可变为：2323300x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解之得111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩.故原方程组的解为111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 14.（松江2018期中23）解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②.【答案】121231,11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩；【解析】解：由②得：2x y =+③，将③代入①得：22(2)2(2)30y y y +-+-=，整理得：21y =，解得11y y ==-或，将1y =代入②得3x =，将1y =-代入②得1x =. 所以原方程组的解为121231,11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩. （此题也可以将①分解成两个二元一次方程，然后与②联立得两个二元一次方程组去求解，过程略）15.（浦东一署2018期中23）解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩.【答案】312412342222,,,2222x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩； 【解析】解：由原方程组变形得：222200,88x y x y x y x y +=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩，解得121222,22x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，343422,22x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩．故原方程组的解为：312412342222,,,2222x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩.16.（浦东四署2019期中22）解方程组：221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩. 【答案】121240,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩①②，把①代入②得：224(1)4(1)4x x x x -+++=， 整理得240x x +=，解得40x x =-=或，当4x =-时，3y =-；当0x =时，1y =，所以原方程组的解为121240,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.17. （松江2019期中22）解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②.【答案】121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩； 【解析】解：由①得2030x y x y -=-=或，所以原方程组可化为：20301212x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，解这两个方程组得：121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ . 所以原方程组的解为121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩. 18．（普陀2018期末21）解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩.【答案】1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩【解析】解：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩①②由方程①，得3x y =，将3x y =代入②，得22(3)20y y +=，整理，得22y =，解这个方程，得12y y ==，将1y 代入3x y =，得1x =，将2y =代入3x y =，得2x =-1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩．19．（静安2018期末20）解方程组：2222320344x xy y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②.【答案】34121234x x x x y y y y ⎧⎧==⎪⎪⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎪⎪⎩⎩【解答】解：2222320344x xy y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②由①，得（x ﹣y ）（x ﹣2y ）＝0，∴x ﹣y ＝0，x ﹣2y ＝0故原方程组可以变为2222020344344x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，解这两个方程组得1212x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3434x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩所以原方程组的解为：34121234x x x x y y y y ⎧⎧==⎪⎪⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎪⎪⎩⎩20.（嘉定2019期末20）解方程组222,20x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①②【答案】121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：由②得：(2)()0x y x y -+=，得200x y x y -=+=或，所以原方程可以化为：22020x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩或，解之得121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.所以原方程组的解为121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.21．（长宁2019期末20）解方程组：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩． 【答案】121241,21x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩①②，由②得：（x +y ）（x ﹣2y ）＝0，x +y ＝0或x ﹣2y ＝0，原方程组可变形为：22200x y x y x y x y -=--=-⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解得原方程的解：121241,21x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩．22.（松江2018期中25）迎新晚会需要气球3000个，八一班同学自愿承担吹气球的工作. 后来，有10名同学因排练节目没有参加吹气球，这样，其他同学平均每人吹的气球比原计划多15个，问这个班有多少名同学？【答案】50名；【解析】解：设这个班有x 名同学，根据题意，得300030001510x x =--，整理得：21020000x x --=，解得1250,40x x ==-，经检验：1250,40x x ==-都是原方程的根，但240x =-不符合题意，舍去. 答：这个班有50名同学.23. （黄浦2018期中23）某厂接到一份订单，某运动会开幕式需要720面彩旗，后来由于情况紧急，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前2天完成生产任务，该厂迅速增加人员，实际每天比原计划多生产36面彩旗．请问该厂实际每天生产多少面彩旗？ 提示：本题可以设该厂实际每天生产x 面彩旗，（直接设元），也可设实际完成生产任务需要x 天（间接设元），也可以同时设两个未知数列方程组，其中有些方法的运算量较小，请同学们在比较中体会． 【答案】108顶；【解析】解：设该厂实际需要x 天完成生产任务，由题意列方程得：-=36，解得：x 1=8，x 2=-6（不合题意，舍去），经检验，x =8是原方程的根，则720×（1+20%）÷8=108（顶）．答：该厂实际每天生产帐篷108顶．24.（浦东四署2018期中24）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料？ 【答案】甲、乙两店分别进了10箱和15箱饮料；【解析】解：设甲店进了x 箱饮料，则乙店进了（25 - x ）箱饮料． 根据题意，得100010003501025x x+-=-．两边同乘以x （25 - x ），并整理，得226025000x x -+=，解得10250x x ==或，经检验，10250x x ==或是原方程的解．但当x = 250时，25 –x = -225 < 0，不合题意，所以，取x = 10． 于是，25 –x = 15． 答：甲、乙两店分别进了10箱和15箱饮料．25. （松江2019期中24）小王开车从甲地到乙地，去时走A 线路，全程约100千米，返回时走B 路线，全程约60千米.小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟.若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度. 【答案】80千米/小时；【解析】解：设小王开车返回时的平均速度为x 千米/小时，10060152060x x -=+，去分母整理得：214048000x x -+=，解得6080x x ==或，经检验：6080x x ==或都是原方程的根，但是60x =，不符合题意，应舍去.答： 小王开车返回时的平均速度是80千米/小时.26．（普陀2018期末23）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次又用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？ 【答案】10；【解析】解：设第一次买了x 本资料，根据题意，得：120240420x x -=+，整理得：x 2+50x ﹣600＝0． 解得：x 1＝﹣60，x 2＝10，经检验：它们都是方程的根，但x 1＝﹣60不符合题意，舍去，答：第一次买了10本资料．27. (奉贤2018期末22)中国的高铁技术已经然走在了世界前列，2018年的“复兴号”高铁列车较“和谐号”速度增加每小时70公里．上海火车站到北京站铁路距离约为1400公里，如果选择“复兴号”高铁，全程可以少用1小时，求上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间． 【答案】4；【解析】 解：设复兴号用时x 小时，则和谐号用时（x +1）小时，根据题意得：=70+，解得：x =4或x =-5（舍去）答：上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间为4小时．28.（嘉定2019期末22）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的效野公园. 已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园. 问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？ 【答案】10千米/小时，8千米/小时； 【解析】设甲平均每小时行驶x 千米，则20200.52x x-=-，化简为：22800x x --= 解得：128,10x x =-=，经12-8,10x x ==检验：不符合题意，舍去是原方程的解.答：甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米.29．（长宁2019期末23）小王开车从甲地到乙地，去时走A 线路，全程约100千米，返回时走B 线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度．【答案】80千米/小时；【解析】解：设小王开车返回时的平均速度为x 千米/小时（x ≥70），则小王开车去时的平均速度为（x +20）千米/小时，根据题意得：10060152060x x -=+，解得：x ＝80或x ＝60（舍去），经检验：x ＝80是原方程的解．答：小王开车返回时的平均速度为80千米/小时．。
二元二次方程组解应用题
学科教师辅导讲义（学生）
4、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
5、某玩具工厂广告称：“本厂工人工作时间：每天工作8小时，每月工作25天；
小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？
13、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？
14、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？
15、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的
，求这两个水桶的容量。
16、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走110米，丙每分钟走125米，若丙遇到乙后10分钟又遇到甲，求A、B两地之间的距离。
初二-二元二次方程组解法与应用题(两份)
初二-二元二次方程组解法与应用题(两份)二元二次方程组解法与应用题【知识梳理】一、二元二次方程和方程组1、仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.2、关于x,y的二元二次方程的一般形式是:22+++++=(a,b,c,d,e,f为常数)其ax bxy cy dx ey f0中,22ax,bxy,cy叫做这个方程的二次项,a,b,c分别叫做二次项系数; dx,ey叫做这个方程的一次项,d,e 分别叫做一次项系数;f叫做这个方程的常数项.3、使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解4、由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程或两个二元二次方程组成的方程组是二元二次方程组5、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解6、解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.A. 2235024x y x xy y --=⎧⎨-+=⎩ B.2121x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩C. 03x y xy +=⎧⎨=⎩ D.222x y x y ⎧-=⎪+=【精解名题】一、用代入法解下列方程 (1)2x y 4x 2xy 3=+⎧⎨+=⎩(2)22x 2y 1x 4y 5-=⎧⎨-=⎩(3)xy 6x y 5=-⎧⎨+=⎩(4)x y 11xy 18-=⎧⎨=-⎩(5)22x y 13x y 5⎧+=⎨+=⎩(6)22x 4y x 3y 102x y 10⎧-++-=⎨--=⎩(7)2y 2x 3y x=+⎧⎨=⎩(8)2x 2y 1x 2y 50-=⎧⎨+-=⎩二、用因式分解法解下列方程 (1)22x 3xy 10y 0xy 2x 5y 100⎧--=⎨--+=⎩(2)2222x y 0x 4xy 4y 9⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(3)2222x 5xy 6y 0x 6xy 9y 1⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩(4)222x 2xy y 1(x y)3(x y)100⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩(5)22x y 0xy 2(x y)30⎧-=⎨+++=⎩(6)222x 2xy y 9(x y)3(x y)100⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩(7)222x y 1(x y)2(x y)30⎧-=⎪⎨----=⎪⎩(8)2222x y 2(x y)x xy y 1⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩三、列方程（组）解应用题1. 某商场今年2月份的营业额为400万圆,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额带到633.6万元.求3月份到5月份营业额的平均月增长率2. 师徒两人检修一条煤气管道,师傅单独完成需要10个小时,徒弟单独完成需要15个小时.师傅先开始检修,1小时后,让徒弟一起参加,还需要多少时间可以完成?3. 某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程。
二元二次方程应用题
二元二次方程应用题（20道）1.一辆火车从站点A出发，以每小时60公里的速度行驶，另一辆火车从站点B出发，以每小时80公里的速度行驶。
两辆火车从彼此相距600公里的地方同时出发。
多少小时后两辆火车会相遇？2.一块矩形田地的长度比宽度多6米，其面积为504平方米。
求该田地的长度和宽度各是多少米？3.一辆汽车和一辆摩托车同时从相同的地点出发，以不同的速度向北行驶。
汽车的速度是摩托车速度的2倍，摩托车的速度是30公里/小时。
如果两车相遇时，汽车行驶了4小时，求汽车的速度。
4.某商店销售两种类型的电视机。
第一种电视机售价2000元，第二种电视机售价1500元。
某天共售出10台电视机，总销售额为18000元。
求销售了多少台第一种电视机和第二种电视机？5.一辆船从A地向B地驶去，船的速度是每小时30公里。
一辆摩托车从B地向A地驶去，速度是每小时50公里。
两车同时出发，相距200公里。
多少小时后两车会相遇？6.某数的十位与个位的数字之和是8，如果将十位与个位数字对调后所得数比原数大18，求原数是多少？7.一家工厂生产两种类型的产品，甲产品每单位售价12元，乙产品每单位售价8元。
某天共售出1500单位产品，总销售额为16000元。
求售出了多少单位的甲产品和乙产品？8.某项投资分为A、B两种方式，A方式的年收益率为8%，B方式的年收益率为6%。
已知总投资额为5000元，投资一年后，两种方式共获得利息320元。
求分别以A方式和B 方式投资的金额各是多少？9.一架飞机从A地向B地起飞，速度是每小时400公里。
另一架飞机从B地向A地起飞，速度是每小时500公里。
两架飞机同时起飞，相距3000公里。
多少小时后两架飞机会相遇？10.一辆卡车和一辆小轿车同时从相同的地点出发，沿同一路线向南行驶。
卡车的速度是小轿车速度的1.5倍，小轿车的速度是每小时80公里。
如果两车相遇时，卡车行驶了5小时，求卡车的速度。
11.某数的十位与个位数字之和是12，如果将十位与个位数字对调后所得数比原数小54，求原数是多少？12.一台搅拌机生产甲、乙两种产品。
中考数学《二元二次方程组》精选例题
2 013中考数学[二元二次方程组精]例题知识考点：了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组。
精典例题：【例1】解下列方程组：1、⎩⎨⎧=+--=-01101222x y x y x ； 2、⎩⎨⎧==+67xy y x ； 3、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+023102222y xy x y x 分析：（1）（2）题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；（2）题也可用根与系数的关系求解。
（3）为Ⅱ型方程组，应将02322=+-y xy x 分解为0=-y x 或02=-y x 与1022=+y x 配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。
答案：（1）⎩⎨⎧-==1011y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22122y x ； （2）⎩⎨⎧==1611y x ，⎩⎨⎧==6122y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧==5511y x ， ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=5522y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==22233y x ，⎩⎨⎧-=-=22244y x 【例2】已知方程组⎩⎨⎧+==+--201242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。
分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。
略解：由②代入①并整理得：01)42(22=+-+x k x k⎪⎩⎪⎨⎧>+-=--=∆≠016164)42(0222k k k k 即⎩⎨⎧<≠10k k ∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。
【例3】方程组⎩⎨⎧=+=+52932y x y x 的两组解是⎩⎨⎧==1111βαy x ，⎩⎨⎧==2222βαy x 不解方程组，求1221βαβα+的值。
分析：将x y -=5代入①得x 的一元二次方程，1α、2α是两根，可用根与系数的关系，将115αβ-=，225αβ-=代入1221βαβα+后，用根与系数的关系即可求值。
二元二次方程和方程组及其解法
21.5-21.6二元二次方程和方程组及其解法知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理一、二元二次方程1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点：（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.二、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.22ax bxy cy dx ey f o +++++=22,,ax bxy cy ,dx ey三、二元二次方程组的解法1.代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解这个一元二次方程，求得未知数的值； ④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值； ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法 (1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. (2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.典型例题例题1．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C例题2．下列方程组中，属于二元二次方程组的为（ ）A．2x yx y+=ìí-=îB．123234x yx yì+=ïïíï-=-ïîC．11xx yì+=ïí+=ïîD．324xxy=ìí=î【答案】D【解析】根据一元一次方程组的定义对A进行判断；根据整式方程组的定义对B、C进行判断；根据二元二次方程组的定义对D进行判断．解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A 选项不正确；B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确；D、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确．例题3．已知：方程组îíì-==+)2(1)1(122x y y x ，把（2）代入（1），得到正确的方程是（ ）x 2+2（1﹣x ）=1B ．x 2+2（x ﹣1）=1C ．x 2+（1﹣x ）2=0D ．x 2+（1﹣x ）2=1【答案】D【解析】运用代入消元法解方程组即可．解：把（2）代入（1）得x 2+（1﹣x ）2=1四个答案中只有D 合题意．故选D ．例题4．二元二次方程组îíì=-=+1522y x y x 的一个解是（ ）îíì-=-=21y xB ．îíì=-=21y xC ．îíì-==21y xD ．îíì==21y x 【答案】A【解析】用代入法即可解答，把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=求解即可．解：把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=5，整理得，2y 2+2y ﹣4=0解得y 1=﹣2，y 2=1，分别代入②得当y 1=﹣2时，x 1=﹣1，当，y 2=1时，x 2=2，故原方程组的解为îíì-=-=2111y x ，îíì==1222y x ．故选A ．例题5．方程组 îíì-=--=-12122x y x y x 的实数解个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】把方程①变形成x=y+1，代入②即可求得y 的值，进而求得方程组的解，从而判断．解：îíì-=--=-）（）（2121122x y x y x 由①得：x=y+1代入方程②得：2（y+1）2﹣y 2﹣（y+1）=﹣1即：y 2+3y+2=0解得：y 1=﹣1，y 2=﹣2把y=﹣1代入①得：x=0把y=﹣2代入①得：x=﹣1则方程组的解是：îíì-==10y x ，和îíì-=-=21y x 只两个解．故选C ．例题6．方程组îíì==+022xy y x 的解是（ ）îíì==0011y x ，ïîïíì==12122y x B ．îíì==2011y x ，îíì==0122y x C ．îíì==2011y x ，îíì=-=0122y x D ．îíì-==2011y x ，îíì==0122y x 【答案】B 【解析】由①得出y=2﹣2x ③，把③代入②得出x （2﹣2x ）=0，求出x ，把x 的值分别代入③求出y 即可．解：îíì==+）（20)1(22xy y x ，由①得：y=2﹣2x ③，把③代入②得：x （2﹣2x ）=0，x=0，2﹣2x=0，解得：x 1=0，x 2=1，把x 1=0，x 2=1分别代入③得：y 1=2，y 2=0，即原方程组的解为：îíì==2011y x ，îíì==0122y x ．故选B ．例题7．方程ïîïíì+-=-++=+yx a y x y x a y x 2)(2)(22有解但无不同的解时，a=（ ）A ．1 B ．0 C ．﹣21 D ．﹣1【答案】D【解析】由题意知，原方程组有解，并且有相同的解，由一元二次方程根的判别式可以知道△=0，将原方程组转化成一元二次方程就利用△=0就可以求出a=的值．解：ïîïíì+-=-++=+)2(2)()1(2)(22y x a y x y x a y x 由①﹣②，得4xy=2x4xy ﹣2x=02x （2y ﹣1）=0∴x=0或y=21（与条件不符合，∵y=21时方程①、②不相等）∴当x=0时y 2=a+2y∴y 2﹣2y ﹣a=0∴△=（﹣2）2﹣4（﹣a ）=0∴4+4a=0∴a=﹣1．故D 答案正确．故选D ．例题8．方程组ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x 在实数范围内（ ）1.有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解【答案】D【解析】根据题意，分析分别就a 、当x≥0、y≥0时；b 、当x≥0、y≤0时；c 、当x≤0、y≥0时；当x≤0、y≤0时四种情况，去掉决定值符号，分解因式联立方程，利用根据与系数的关系即是否符号题意，来判断方程组的解．解：a 、当x≥0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=+-=+-)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或 x=y+5 ③当x=﹣y 时，解得x=0，y=0，当x=y+5时，②③联立得y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．b 、当x≥0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=++=--)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或x=y+5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x 当x=y+5时，②③联立得 y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．c 、当x≤0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y+5）=0，即x=﹣y 或x=y ﹣5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2﹣3y=0解得 îíì==00y x 或îíì=-=33y x ，当x=y ﹣5时，②③联立得 y 2﹣5y+5=0∵△=25﹣20=5＞0，∴方程有两解．d 、当x≤0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=-+=-+)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x ﹣y ）=0⇒（x ﹣y ）（x+y ﹣5）=0，即x=y 或x=﹣y+5③当x=y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x （不合题意，舍去）当x=﹣y+5时，②③联立得 y 2+5y ﹣5=0∵△=25+20=45＞0，∴方程有两解．综上所述，方程有7个解．故选D ．例题9．已知，实数x ，y ，z 满足，则x 4+y 4+z 4=（ ）A ．4B ．C ．D ．以上都不对【答案】C【解析】根据已知条件先求出xy+xz+yz=，再求出xyz=，根据完全平方公式即可求解．解：∵，∴由（1）代入上式得：xy+xz+yz=（4），而x 3+y 3+z 3﹣3xyz=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2﹣xy ﹣xz ﹣yz ），把（3）（4）代入上式得：xyz=（5），由（4）平方得：；把（5）代入上式得：，∴．故选C ．一、单选题1．下列方程中，判断中错误的是（）A ．方程20316x x x +-=+是分式方程B ．方程3210xy x ++=是二元二次方程C 20+=是无理方程D ．方程()()226x x +-=-是一元二次方程【答案】C逐一进行判断即可．A. 方程20316x x x +-=+是分式方程，正确，故该选项不符合题意； B. 方程3210xy x ++=是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；C.20+=是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；D. 方程()()226x x +-=-是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．2．下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A ．12x y x y +=ìí-=îB ．22231310x y x y ì-=ïïíï+=ïîC ．21x y xy -=ìí=îD ．313x y xy y xì+=í=-î【答案】C【解析】根据二元二次方程组的定义依次判断即可.A 、是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；B 、是分式方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；C 、是二元二次方程组，故本选项符合题意；D 、是二元三次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；故选：C.此题考查二元二次方程组的定义，熟记定义是解题的关键.3．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C【点睛】本题考查了对二元二次方程的定义的应用，解题的关键是掌握二元二次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是二元二次方程.4．解方程组2222129x y x xy y ì-=í++=î①②的可行方法是（ ）A ．将①式分解因式B ．将②式分解因式C ．将①②式分解因式D ．加减消元【答案】C【解析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先因式分解组中的两个二元二次方程，再解答即可．解：∵因式分解①得： ()()1x y x y +-=，因式分解②得：()29x y +=∴3x y +=或3x y +=-，将3x y +=或3x y +=-代入()()1x y x y +-=中得到13x y -=或13x y -=-，得到方程组313x y x y +=ìïí-=ïî或313x y x y +=-ìïí-=-ïî，解得：115343x y ì=ïïíï=ïî，225343x y ì=-ïïíï=-ïî故答案为：C ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是根据二元二次方程组的特点，进行因式分解．5．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，则（ ）A ．m ≥14-B ．m ＞14-C ．14-＜m ＜14D ．以上答案都不对【答案】B【解析】将y=x²与y=x+m 函数联立，根据解的个数求解即可．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，两个方程消去y 得，20x x m --=，需要△＞0，即1+4m ＞0，所以m ＞14-,故选B.【点睛】本题考查了二元二次方程，用到的知识点是加减消元法解方程组，根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是根据根的判别式求出m 的值．6．方程组2211x y ì=í=î的实数解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据平方根的性质，正数的平方根有两个，互为相反数即可求解.解：解21x =得1x =±，解21y =得1y =±，∴方程组的解为：11111111x x x x y y y y ===-=-ììììíííí==-==-îîîî，，，，故选D.【点睛】本题考查解二元二次方程组，二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二•一”型和“二•二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型．“二•一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二•二”型是由两个二元二次方程组成的方程．7．二元二次方程组的解是A．B．C．D．【答案】C本题可将选项中的四组答案代入检验看是否符合二元二次方程组．也可根据第一个式子，得出与的关系，代入第二个式子求解依题意得=3-∴y=（3-）=-10-2+3+10=02-3-10=0（-5）（+2）=0=5，2=-21∴方程的解为：，故选C8．已知下列四对数值不是方程的解是（）：A．B．C．D．【答案】A【解析】将各选项代入方程进行验证即可．解：A、当x=-5，y=-2时，左边=(-5)²+(-2)² =29≠13，左边≠右边，故A错误；B、当x=-2，y=3时，左边=(-2)²+3² =13，左边=右边，故B正确；C、当x=2，y=3时，左边=2²+3² =13，左边=右边，故C正确；D、当x=-3，y=2时，左边=(-3)²+2² =13，左边=右边，故D正确；【点睛】本题考查了二元二次方程的解的定义，掌握二元二次方程的解得定义是解题的关键．9．方程组20230x y x x y +=ìí++-=î的解的情况是（ ）A ．有两组相同的实数解B ．有两组不同的实数解C ．没有实数解D ．不能确定【答案】B【解析】首先运用代入法，将方程组进行变形，然后利用根的判别式即可判定.20230x y x x y +=ìí++-=î①②将①代入②，得2230x -=240423240b ac =-=+´´=△＞故方程有两组不同的实数解，故选：B.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.10．如果14x y =ìí=î 是方程组x y a xy b +=ìí=î的一组解，那么这个方程组的另一组解是（ ）A ．41x y =ìí=îB ．14x y =-ìí=-îC ．41x y =-ìí=-îD ．41x y =ìí=-î【答案】A将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î求得54a b =ìí=î，再解方程组54x y xy +=ìí=î即可得解.将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î中得：1414a b +=ìí´=î，解得：54a b =ìí=î，则方程组变形为：54x y xy +=ìí=î，由x+y=5得：x=5-y ，将x=5-y 代入方程xy=4中可得：y 2-5y+4=0，解得y=4或y=1，将y=1代入xy=4中可得：x=4，所以方程的另一组解为：41x y =ìí=î．故选A ．【点睛】本题考查了高次方程，二元一次方程组的解法，熟记解二元一次方程的解法是解题的关键．11．方程组2220x y m y x ì-=í-=î有四组不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．14m <-B ．14m >-C ．104m -<>D ．14m >-，且0m ¹【答案】D首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解.2220x y m y x ì-=í-=î①②由②，得2x y =③将③代入①，得420y y m --=∵方程组有四组不同的实数解，∴()()224141140b ac m m =-=--´´-=+△＞且0m ¹∴14m >-，且0m ¹故选：D.【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式.12．二元二次方程组22220,4 2.x xy y x y ì+-=í+=-î的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，然后用代入消元法求解即可．2222042x xy y x y ì+-=í+=-î①②，由①得(x-y)(x+2y)=0，∴x-y=0或x+2y=0，∴原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，由③得x=y ，把x=y 代入④得y 2+4y=-2，解得，∴1122x y ì=-ïí=-ïî2222x y ì=-+ïí=-ïî；由⑤得x=-2y ，把x=-2y 代入⑥得4y 2+4y+2=0，即2y 2+2y+1=0，∆=4-8=-4＜0，∴此时方程无实数根，综上可知，方程组有两组解：1122x y ì=--ïí=-ïî，2222x y ì=-+ïí=-ïî．故选B ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键．二、填空题13．12x y =ìí=-î_______方程组22245x y x y -=ìí-=î的解（填“是”或“不是”）．【答案】不是【解析】把12x y =ìí=-î代入原方程组的两个方程即可得到答案．解：把12x y =ìí=-î代入原方程组22245x y x y -=ìí-=î中的225x y -=中，方程左边＝221(2)143--=-=-¹右边，所以12x y =ìí=-î不是原方程组的解．故答案为：不是．【点睛】本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．14．像22121x y x y ì+=-í+=î这样的二元二次方程组，是由一个________方程和一个_________方程组成，可以用________法解这个方程．【答案】二元二次二元一次 代入 【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解.由题意，得该方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解，故答案为：二元二次；二元一次；代入.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.15．已知12x y =ìí=-î是方程组x y m x y n +=ìí×=î的一个解，那么这个方程组的另一个解是__________.【答案】21x y =-ìí=î.【解析】将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，所以原方程组是12x y xy +=-ìí=-î，再解此方程组即可.解：将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，∴原方程组是12x y xy +=-ìí=-î①②，由①，得x=-y-1③，把③代入②式，化简得y 2+y-2=0，解之，得y 1= -2，y 2= 1．把y 1=-2代入x=-y-1，得x 1=1，把y 2=1代入x=-y-1，得x 2=-2．∴原方程组的解为：121212,21x x y y ==-ììíí=-=îî.故答案为：21x y =-ìí=î.【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．解方程组24221x y xy +=ìí=-î①② 的解为_______________【答案】121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî【解析】由①得出x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，求出y 1 = 72 ，y 2 = - 32，分别代入③，求出x 即可．解： 24221x y xy +=ìí=-î①②由①得：x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，解得：y 1 =72 ，y 2 = - 32 ， 把y 1 = 72代入③得：x 1 =-3， 把y 2 =- 32代入③得：x 2 =7， 即原方程组的解是 121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî .【点睛】本题考查了解高次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把二元变成一元．17．解方程组224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î的解为_______________【答案】21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【解析】首先把方程②变形为y=1132x -，然后利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．解：224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î①②，由②得:y=1132x -③ 把③代入①得:x 2-4(113)2x x -+4(1132x -)2+x-2(113)2x --2=0. 整理得:4x 2-21x+27=0∴x 1=3 x 2=94. 把x=3代入③ 得:y=1把x=94代入④ 得:y=178. ∴原方程组的解为: 21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．18．二元二次方程()()23320x y +-=有__________个解．【答案】无数【解析】根据()()23320x y +-=可得230x +=或320y -=，从而得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，确定方程有无数个解．解：∵()()23320x y +-=∴230x +=或320y -=∴32x =-或23y =，当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，∴方程有无数个解，故答案为：无数．【点睛】本题考查了方程的因式分解解法，解题的关键是得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数．19．解方程组224915235x y x y ì-=í-=î时，采用“_________”的方法，将二元二次方程224915x y -=化为_________方程，这是一种“__________”的策略．【答案】因式分解二元一次 消元降次【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，其中二元二次方程可以进行因式分解化为二元一次方程，这是采用了“消元降次”的策略.由题意，得该方程组可采用因式分解的方法，将二元二次方程224915x y -=化为二元一次方程，这是一种消元降次策略，故答案为：因式分解；二元一次；消元降次.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．如果222461461,461a a b c b b c a c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î，那么a b c ++的值为_________________．【答案】32-【解析】方程组的三个方程轮循环对称，可把组中的三个方程相加，利用完全平方公式和非负数的和先求出a 、b 、c 的值，再计算a b c ++．解：222461461461a a b c b b a c c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î①②③①+②+③，得222461461461a a b b c c b c a c a b ++++++++=+++++，整理，得2224414414410a ab bc c ++++++++=所以222(441)(441)(441)0a ab bc c ++++++++=即222(21)(21)(21)0a b c +++++=因为2(21)0a +…，2(21)0b +…，2(21)0c +…，所以210a +=，210b +=，210c +=所以12a =-，12b =-，12c =-，所以32a b c ++=-．故答案为：32-【点睛】本题考查了完全平方公式、非负数的和等知识点．观察题目，发现三个方程的特点是解决本题的关键．三、解答题21．解方程组：22449(1)6(2)x xy y x y ì++=í-=î．【答案】33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î【解析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解．解：224496x xy y x y ì++=í-=î①②，由方程①可得x +2y ＝﹣3或x +2y ＝3，则方程组可变为236x y x y +=-ìí-=î或236x y x y +=ìí-=î，解得33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î．【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．22．解方程组：222220560x y x xy y ì+=í-+=î．【答案】1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî【解析】由22560x xy y -+=得()()230x y x y --=，从而得到20x y -=或30x y -=，即2x y =或3x y =；再将2x y =或3x y =分别代入到2220x y +=，通过求解即可得到答案．由22560x xy y -+=得：()()230x y x y --=∴20x y -=或30x y -=∴2x y =或3x y=将2x y =代入2220x y +=，得：22420y y +=∴2y =±∴1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î将3x y =代入2220x y +=，得：22920y y +=∴y =∴33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî∴方程组的解是：1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî．【点睛】本题考查了二元二次方程、因式分解、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解、二元二次方程的性质，从而完成求解．23．解方程组：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②【答案】11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î【解析】解①，用含y 的代数式表示x ，然后代入②求出y ，再求出方程组的解．解：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②，由①，得()0x x y +=，所以0x =或x y =-．把0x =代入②，得226y =，解得y =．把x y =-代入②，得222326y y y ++=，整理，得21y =，所以1y =±．所以1x =-或1．故原方程组的解为：11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î．【点睛】本题考查了高次方程组的解法．变形①用代入法把二元二次方程组转化为一元二次方程，是解决本题的关键．24．2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î【答案】112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î【解析】根据二元二次方程组的解法进行求解即可．解：2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î①②，由①得：23x y x y=ìí=î，当x=2y 时，代入②可得：25920y y --=，解得：121,25y y =-=，∴122,45x x =-=；当x=3y 时，代入②可得：210820y y --=，解得：341,15y y =-=，∴343,35x x =-=，综上所述：方程组的解为112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查二元二次方程方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．25．解方程组：22312230x y x xy y +=ìí--=î【答案】1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【解析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．解：22312230x y x xy y +=ìí--=î①②由②得()()30x y x y -+=30x y -=或0x y +=原方程组可化为31230x y x y +=ìí-=î；3120x y x y +=ìí+=î解得1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î所以原方程组的解是1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【点睛】本题考查高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．26．解下列方程（组）（1）33(2019)(2018)1x x -+-=；（2）22222293,19293,19293.192x y xy z yz x z ì=ï+ïï=í+ïï=ï+î【答案】（1）2019或2018；（2）111(,,)333或(0,0,0)【解析】（1）运用换元法的思想令2019,2018m x n x =-=-，联立方程组可得m 和n 的等式，再利用完全平方公式的变形即可得出答案；（2）根据条件易得x=0,y=0,z=0时方程成立，当,,x y z 不为0时，把三个方程相加222111(1)(1)(1)0333x y z-+-+-=，然后根据平方数的非负性可得三个式子分别为零，即可求出结果．解：（1）令2019,2018m x n x =-=-;则3311m n m n +=ìí+=î;∴222()31-+=+-=m mn n m n mn ;∴0mn =即0m =或n=0;∴2019x =或2018；（2）易知(,,)(0,0,0)x y z = 为一组解;若,,x y z 不为0;则222121,93121,93121.93x y yz zx ì+=ïïï+=íïï+=ïî相加得222111(1)(1)(1)0333x y z -+-+-=;∴111(,,)(,,333x y z =;综上：111(,,)(,,333x y z =或()0,0,0.【点睛】本题主要考查方程的解法，灵活利用换元法、乘法公式变形及分类讨论思想是解题的重要环节．27．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ì+=í-+=î（2）217,11 1.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）112512x y ì=ïïíï=ïî【解析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î再分别解这两个方程组可得答案．（2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案．解：（1）因为222220560x y x xy y ì+=í-+=î把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î因为222020x y x y ì+=í-=î把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =ìí=î 或42x y =-ìí=-î同理解222030x y x y ì+=í-=î得方程组的解是x y ì=ïí=ïî或x y ì=ïí=ïî所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）因为217,111.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î①②所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入②得：13x y -=-，所以1213x y x y ì+=ïïíï-=-ïî，解得：112512x y ì=ïïíï=ïî 经检验112512x y ì=ïïíï=ïî是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ì=ïïíï=ïî【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．28．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元【解析】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；（3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费1.4m元，租用乙种货车(n)1-辆，根据总费用=每辆车所需费用´租用该种车的辆数，即可得出关于m，n的二元二次方程组，解之即可得出结论．解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，依题意，得：2313 5628 x yx y+=ìí+=î，解得：23 xy=ìí=î．答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．（2）设租用a 辆甲种货车，b 辆乙种货车，依题意，得：2320a b +=，3102a b \=-．a Q ，b 均为非负整数，b \为偶数，\当0b =时，10a =；当2b =时，7a =；当4b =时，4a =；当6b =时，1a =．\共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．（3）设甲种货车每辆需运费m 元，租用甲种货车n 辆，则乙种货车每辆需运费1.4m 元，租用乙种货车(n )1-辆，依题意，得：8001.4(1)980mn m n =ìí-=î，解得：1008m n =ìí=î，1.4140m \=．答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．。
二元二次方程组经典例题
二元二次方程组经典例题二元二次方程组，这听起来是不是有点高大上？它就像你生活中的小麻烦，随时可能出现，得好好处理一下。
想象一下，某天你在街上遇到一个老朋友，聊着聊着，你们说到买房子的事。
老朋友说他想买个房子，结果发现，房子的价格和面积都是变量，就像那二元二次方程中的x和y。
于是，你俩一拍即合，决定用数学来解决这个“买房危机”。
你可能会觉得，哎呀，数学我最怕了。
可别着急，二元二次方程组其实并不复杂。
比如，有一个方程叫做y = ax² + bx + c，听上去很深奥，其实就像是你做饭时加的调料。
a、b、c分别代表了不同的调料，不同的比例，最后的味道才会不同。
我们把这些方程组结合起来，就能找到解决问题的钥匙。
想象一下，你和朋友一起决定，先写下两个方程，一个是房子的价格，另一个是面积。
然后你们就像侦探一样，开始破解这个数学谜题。
解方程就像解密游戏，先找到一个方程，弄明白它的意思，再去寻找另一个方程。
然后，就可以代入、消元，简简单单，就能找到x和y的值。
就好像打开了一扇门，瞬间看到光明的未来，房子终于在眼前了。
这里面有个小技巧，就是代入法和消元法。
就好比你跟朋友讨论，谁要去买零食，最后决定一个人去，那另一个人就可以省力。
你先算出一个变量，再把它代入另一个方程，哇，仿佛像在游戏中找到了一条捷径。
结果出来的那个x和y，就是你们的最终目标，房子的价格和面积都找到了。
做二元二次方程组的时候，咱们得注意一个事情，就是可能会有多个解。
就像生活中，我们可能有很多选择。
每个选择都有好坏之分，而方程的解也是如此。
有时候解出来的结果会让你眉头紧锁，有时候又会让你眉开眼笑。
选择就像一个游戏，有时候你得冒险，有时候你得稳妥，要做出最优的选择。
再说了，解二元二次方程的过程中，最重要的就是保持心态平和。
遇到困难，不要慌，深呼吸，理清思路。
就像一场马拉松，绝对不能中途放弃。
即使再复杂的方程，最终都能化为简单的答案。
人生不也如此吗？总会有难题，但只要你用心去解，总能找到属于自己的方向。
初中数学方程与不等式之二元二次方程组专项训练及解析答案
初中数学方程与不等式之二元二次方程组专项训练及解析答案一、选择题1．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元【解析】【分析】根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．【详解】解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.根据题意 ，可列方程组()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩解得：1212800800,2020x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩(舍去)， 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．2．解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩【答案】113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】将原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，所以有3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．【详解】原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝， 原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝， 解这四个方程组为：113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩.3．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩【答案】1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩由②得，()224x y -= ③，把①代入③，得()2214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，即：()224x +=，所以，x+2=2或x+2=-2所以，x 1=-4,x 2=0,把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.所以，方程组的解是 1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.4．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1•k 2＝﹣1．解决问题：①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m的值是____；②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值．【答案】（1）y ＝﹣12x 2+12x+1；（2）①-12；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（35. 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标；（3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值【详解】解：（1）将A ，B 点坐标代入，得10(1)11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 抛物线的解析式为y ＝211x x 122-++； （2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得2m＝﹣1，即m＝﹣12；故答案为﹣12；②AB的解析式为1122 y x=+当PA⊥AB时，PA的解析式为y＝﹣2x﹣2，联立PA与抛物线，得21112222y x xy x⎧=++⎪⎨⎪=--⎩，解得1xy=-⎧⎨=⎩（舍），614xy=⎧⎨=-⎩，即P（6，﹣14）；当PB⊥AB时，PB的解析式为y＝﹣2x+3，联立PB与抛物线，得21112223y x xy x⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩（舍）45xy=⎧⎨=-⎩，即P（4，﹣5），综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）如图：，∵M（t，﹣12t2+12t+1），Q（t，12t+12），∴MQ＝﹣12t2+12S△MAB＝12MQ|x B﹣x A|＝12（﹣12t 2+12）×2 ＝﹣12t 2+12， 当t ＝0时，S 取最大值12，即M （0，1）． 由勾股定理，得AB设M 到AB 的距离为h ，由三角形的面积，得h． 点M 到直线AB． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键5．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.【详解】解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，解这个方程，得121,4x x ==，把11x =代入（3），得13y =，把24x =代入（3），得29y =，所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩..【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.6．22x -y -3x 10y ⎧=⎨++=⎩，①，② 【答案】x 1y -2=⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】根据解二元二次方程组的步骤求解即可.【详解】解：由方程①得：()()x y x-y -3+⋅=，③由方程②得：x y -1+=，④联解③④得x-y=3，⑤联解④⑤得x 1y -2=⎧⎨=⎩所以原方程组的解为x 1y -2=⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.7．解方程组：226021x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩【答案】2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．【详解】原方程组变形为(3)(2)021x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩，∴3021x y x y +=⎧⎨+=⎩或2021x y x y -=⎧⎨+=⎩∴原方程组的解为2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．8．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．【详解】由②得：()()30x y x y -+=；所以，0x y -=或30x y +=；整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩； 解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．9．k 为何值时，方程组2216x y x y k ⎧+=⎨-=⎩只有唯一解？ 【答案】k=±.【解析】【分析】将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.【详解】2216(1)(2)x y x y k ⎧+=⎨-=⎩ 由（2）得， y=x-k （3）将（3）代入（1）得，2222160x kx k -+-=，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即22(2)42(16)0k k --⨯⨯-=，解得，k=42±.所以当k=42±时，方程组2216x y x y k⎧+=⎨-=⎩只有唯一解. 【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．10．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？【答案】甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.【解析】试题分析：根据题意，设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件，然后根据根据题目中的两种工作方式列出方程组，解答即可.试题解析：设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件.根据题意，得解这个方程组，得 答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.11．解方程组：222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】先由②得x ＋y ＝0或x−2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩，然后解这两个方程组即可．【详解】222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩， 由②得：（x ＋y ）（x−2y ）＝0， x ＋y ＝0或x−2y ＝0，原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩， 解得：12121412x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，. 【点睛】此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．12．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①② 由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝，把1x ＝③，得1413y ＝﹣（把1x ③，得2413y ＝﹣（所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.13．解方程组： 2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩． 【答案】1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩【解析】【分析】根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可【详解】2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，2x ﹣3y ＝±4，即原方程组化为23234x y x y -=⎧⎨-=⎩和23234x y x y -=⎧⎨-=-⎩， 解得： 1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 即原方程组的解为：1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩． 【点睛】本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组14．已知正比例函数()()249m n y m n xm -=++-的图像经过第二、四象限，求这个正比例函数的解析式.【答案】19y x =-【解析】【分析】根据正比例函数的定义可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可求出m 、n 的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可.【详解】解：∵该函数为正比例函数，∴2190m n m -=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩或34m n =-⎧⎨=-⎩， ∵该函数图像经过第二、四象限，∴40m n +<，∴34m n =-⎧⎨=-⎩， ∴函数解析式为：19y x =-.【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键.15．（1）解方程组：221104100x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩【答案】（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.【详解】（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①②由②410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --= 解得：3y =或139y = 将3y =代入②12100-+=，解得：x =将139y =代入②1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② +①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.16．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩ 【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①② 将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．17．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②． 【答案】110{1x y ==-，2243{13x y =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．18．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC的值．【答案】（1）见解析;（2）26 ; （3）5 7 .【解析】【分析】（1）只要证明△ECH∽△BCD，可得ECBC=CHCD，即可推出CE•CD=CH•BC；（2）如图2中，连接AH．只要证明△AEH∽△HFB，可得AEHF=EHFB，推出FH2=6，推出HE=HF=6，即可解决问题．（3）只要证明△ECF∽△BCA，求出CF即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴EC CH BC CD，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12（180°﹣∠BAC）=90°+12BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AEH=∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AE EH HF FB=，∴FH2=6，∴HE=HF=6，∴EF=26．（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，∴HM=HN=52，53，∵3∴3322213EM HM+∵S△HCF：S△HCE=FH：EH=FC：EC，∴x13（53）：3，又∵x2=y2+（52）2，解得5333∴203∵∠CEF=∠B，∠ECF=∠ACB，∴△ECF∽△BCA，∴EC CF BC AC=，∴203743AC CFBC EC===57．【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．19．解方程： 【答案】【解析】 解：原方程组即为···································· （2分）由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分） 解得，························································ （2分） 代人得20．某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.【答案】四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%【解析】【分析】设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可.【详解】解：设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.根据题意 ，可列方程组()()()()2251232513254y x y x ⎧+=+⎪⎨+++⨯=⎪⎩ 解得：x=12,y=0.2答：四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%.【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系.。
二元二次方程应用题
二元二次方程应用题一、引言二元二次方程是高中数学中的重要内容，它可以应用于各种实际问题的建模与求解。
在本文中，我们将深入探讨二元二次方程的应用，通过实例分析，了解如何将问题转化为数学模型，并运用二元二次方程求解。
二、音速与距离的关系2.1 实际问题描述假设飞行器以音速v飞行，并向下方发射一枚炮弹，炮弹经过t秒后击中地面。
已知飞行器与地面的垂直距离h为1000米，请问飞行器在何处放置才能使炮弹击中目标？2.2 建立模型我们可以根据物体运动的基本原理，构建如下模型： 1. 飞行器沿垂直方向上升的距离为vt，其中v为飞行器的速度，t为炮弹下落的时间。
2. 炮弹在垂直方向上自由落体运动，其下落距离为gt^2/2，其中g为重力加速度。
根据题意可知，飞行器与地面的垂直距离h为1000米。
根据模型，我们可以得到以下方程： vt = gt^2/2 + h2.3 求解二元二次方程将飞行器的速度v代入方程，我们可以得到二元二次方程： gt^2/2 - vt + h = 0解此方程可以得到炮弹下落的时间t。
2.4 实例分析假设飞行器的速度v为300米/秒，重力加速度g为10米/秒^2。
代入方程，我们可以得到： 5t^2 - 300t + 1000 = 0解此方程可以得到两个解，分别为t = 14.8秒和t = 3.2秒。
即炮弹在14.8秒和3.2秒时击中地面。
三、面积和周长的关系3.1 实际问题描述假设有一面积为S的矩形花坛，其宽度为x米，长度为y米。
我们知道花坛的面积与周长有一定的关系，请问如何选择长度和宽度，才能使花坛的周长最小？3.2 建立模型我们可以根据矩形的性质，构建如下模型： 1. 矩形的面积S为宽度和长度的乘积，即S = xy。
2. 矩形的周长C为宽度和长度的两倍之和，即C = 2(x + y)。
根据题意可知，花坛的面积S为已知量。
根据模型，我们可以得到以下方程： xy = S3.3 求解二元二次方程将花坛的面积S代入方程，我们可以得到二元二次方程： xy = S3.4 实例分析假设花坛的面积S为50平方米。
二元二次方程组练习题及答案
二元二次方程组练习题及答案班级姓名学号一、选择题：1.下列方程中不一定是一元二次方程的是A.x2=B.ax2+bx+c=0C.=x+52?2下列方程中,常数项为零的是A.x2+x=1B.2x2-x-12=12；C.2=3D.2=x+23.一元二次方程2x2-3x+1=0化为2=b的形式,正确的是2223x?2?073?13??? A. ?x???16; B.2?x???;C.?162???3?1?;D.以上都不对 x????4?16?4.关于x的一元二次方程?a?1?x2?x?a2?1?0的一个根是0，则a值为A、1B、?1C、1或?1D、15.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为A.11B.1C.17或1D.196.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2?8x?7?0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是AB、C、 D、9x2?5x?67.使分式的值等于零的x是 x?1A.6B.-1或C.-1D.-68.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是777A.k>-B.k≥- 且k≠0C.k≥- D.k> 且k≠04449.已知方程x2?x?2，则下列说中，正确的是方程两根和是1方程两根积是2方程两根和是?1 方程两根积比两根和大210.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为A.2002=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1++2]=1000二、填空题:11.用______法解方程32=2x-4比较简便.12.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.213.x2?3x?_____?14.若一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为-1,则a、b、c的关系是______.15.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______.16.一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0的所有实数根的和等于____.17.已知x2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.11?219.已知x1，x2是方程x?2x?1?0的两个根，则x1x2等于__________.20.关于x的二次方程x2?mx?n?0有两个相等实根，则符合条件的一组m,n的实数值可以是m?，n?.三、用适当方法解方程：21.2?x2?522.x2??3?0四、列方程解应用题：23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
上海市八年级第二学期数学专题05 二元二次方程组与列方程(组)解应用题(真题测试)(解析版)
上海市八年级第二学期数学专题05 二元二次方程组与列方程（组）解应用题【真题测试】 一、选择题1. （黄浦2018期中3）下列方程组中，属于二元二次方程组的为（ ） A.02x y x y +=⎧⎨-=⎩； B.123224x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩；C.21x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩； D.324x xy =⎧⎨=⎩.【答案】D ；【解析】解：A 、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A 选项不正确； B 、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B 选项不正确； C 、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C 选项不正确； D 、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D 选项正确． 故选：D ．2. （浦东2018期中3）由方程组2210(1)(1)40x y x y --=⎧⎨-+++=⎩消去y 后化简得到的方程是（ ） A.22260x x --=； B. 22250x x ++=； C. 2250x +=； D. 22250x x -+= 【答案】D 【解析】解：2210(1)(1)40x y x y --=⎧⎨-+++=⎩①②，由①，得x=y+1③，将③代入②，得（x-1）2+x 2+4=0，化简，得2x 2-2x+5=0，故选：D ．3. （杨浦2019期中16）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（ ）A ．⎩⎨⎧=-+=2232x xy x y B.⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+102122y x x y xy c.⎩⎨⎧-=-=+135y x y x D.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=53132y x x y【答案】A ；【解析】A 、二元二次方程组，符合题意；B 、含分式方程，故不符合题意；C 、二元一次方程组，不符合题意；D 、含无理方程，不符合题意；因此答案选A.4.（浦东四署2019期末4）某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x 千米/小时，下列所列方程正确的是（ ） A.350350130x x -=-； B. 350350130x x -=-； C. 350350130x x -=+； D. 350350130x x-=+. 【答案】C ；【解析】提速前所用时间为：350x，提速后所用时间为：35030x +，依题可得：350350130x x -=+. 二、填空题5.（浦东四署2019期中9）方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩的根是 .【答案】121224,111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 【解析】2235x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，则①+②得2280x x +-=，解得24x x ==-或，当2x =时，1y =；当4x =-时，11y =-；故原方程组的解为121224,111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩. 6．（普陀2018期末9）把方程x 2+4xy ﹣5y 2＝0化为两个二元一次方程，它们是 和 ． 【答案】x +5y ＝0和 x ﹣y ＝0；【解析】解：∵x 2+4xy ﹣5y 2＝0，∴（x +5y ）（x ﹣y ）＝0，∴x +5y ＝0或x ﹣y ＝0. 7. （浦东2018期末7）如果21x y =⎧⎨=-⎩是方程22mx y xy +=的一个解，那么m=______．【答案】34-； 【解析】解：把方程的解21x y =⎧⎨=-⎩代入方程22mx y xy +=，可得4m+1=-2，∴4m=-3，解得m=34-.8. (奉贤2018期末12)某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的100元涨到了179元，设平均每次涨价的百分比为x ，那么可列方程：______ 【答案】100（1+x ）2=179；【解析】解：设平均每次涨价的百分比为x ，那么可列方程： 100（1+x ）2=179． 故答案为：100（1+x ）2=179． 9.（浦东一署2018期中14）一项工程．乙队先单独做2天后，再由甲乙两队合作10天就能完成．已知乙队单独完成此工程比甲单独完成此工程少用5天．设甲队单独完成此工程需要x 天，那么根据题意可列出方程______． 【答案】121015x x+=- 【解析】解：设甲队单独完成此项工程需x 天，则乙队单独完成此项工程需（x-5）天． 由题意，得121015x x +=-，故答案为：121015x x+=-．10.（浦东四署2019期中13）一列高铁与一列动车组在全长约为1318千米的京沪高速铁路上运行，已知高铁列车比动车列车平均速度每小时快105千米，且高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，如果设高铁的平均速度是x 千米/小时，则根据题意可列方程： .【答案】131813183105x x-=-；【解析】高铁所用时间为1318x ，动车所用时间1318105x -，因为高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，故得131813183105x x-=-.11.（崇明2018期中20）甲、乙二人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完成，若两人合作，则8天可以完成，设甲单独工作x 天完成，列方程得 .【答案】88112x x +=+； 【解析】甲的工作效率为1x ，乙的工作效率为112x +，因为合作8天完成，故得88112x x +=+.12．（闵行2018期末13）一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，那么根据题意，列出的方程为 ． 【答案】220(120%)(1)11.56x --=；【解析】解：设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，有题意，得：220(120%)(1)11.56x --=． 三、解答题13.（金山2018期中21）解方程组：22312230x y x xy y +=⎧⎨--=⎩①②. 【答案】121266,26x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩； 【解析】解：由②得：(3)()0x y x y -+=，即300x y x y -=+=或，所以原方程组可化为：312312300x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解得：121266,26x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，所以原方程组的解为121266,26x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩.14. （黄浦2018期中20）解方程组：231437xy y y x ⎧-=⎨-=⎩①②.【答案】32x y =-⎧⎨=-⎩；【解析】解：由②得：y =7+3x ③，把③代入①得：3x （7+3x ）-（7+3x ）2=14，解得：x =-3，把x =-3代入③得：y =-2，所以原方程组的解为32x y =-⎧⎨=-⎩.15．（浦东四署2018期中21）解方程组：225602x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①②【答案】121234,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩；【解析】解法1：由①得：(2)(3)0x y x y ++=，2030x y x y ∴+=+=或，故原方程组可化为203022x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，分别解这两个方程组，得121243,21x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩. 解法2：由②得2y x =-③，把③代入①得225(2)6(2)0x x x x +-+-=，整理，得27120x x -+=，解得1234x x ==，，当13x =时，11y =-；当24x =时，22y =-；所以原方程组的解为121234,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩.16. （杨浦2019期中22）解方程组：2223441x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①②. 【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩； 【解析】解：由方程②得：21x y -=±，因此原方程组可以化成新的方程组：23232121x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩或，解这两个方程组得：2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，所以原方程组的解为：2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩.17. （浦东2018期末20）解方程组：223820x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩.【答案】16282x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或；【解析】解：∵x2+xy-2y2=（x+2y ）（x-y ），∴原方程组可化为：3838200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩或，解这两个方程组得原方程组的解为：16282x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或．18. (长宁2018期末20)解方程组：22211x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②.【答案】2112312,012x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩； 【解析】解：由②得x =y +1③， 把③代入①得：22(1)(1)21y y y y +-+-=，整理得：220y y -=，解得102y y ==或，将0y =代入③得1x =，将12y =代入③得32x =，故得2112312,012x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，故原方程组的解为2112312,012x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩. 19．（闵行2018期末20）解方程组：2224490x xy y x xy ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩.【答案】0303,,,1.53 1.53x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩；【解析】解：2224490x xy y x xy ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩①②， 由①得：2(2)9x y +=，23x y ∴+=±；由②得：00x x y =+=或；所以原方程组可化为：23232323,,,0000x y x y x y x y x x y x x y +=+=+=-+=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=+==+=⎩⎩⎩⎩，解之得：0303,,,1.53 1.53x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩.所以原方程组的解为：0303,,,1.53 1.53x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩．20.（静安2019期末21）解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩①②. 【答案与解析】解：由①得：300x y x y -=+=或，原方程组化为22223033x y x y x xy y x xy y -=+=⎧⎧⎨⎨-+=-+=⎩⎩或， 解这两个方程组得原方程组的解为：1234341232132111,,,11212177x x x x y y y y ⎧⎧==-⎪⎪=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩.21.（浦东四署2019期末21）解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩.【答案】121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩； 【解析】解：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②，由①得20x y -=或x-3y=0，所以原方程组可化为：20301212x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，解方程组得：121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，所以原方程组的角为121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩.22. （黄浦2018期中22）某校青年老师准备捐款3600元为敬老院的老年人购买一台电脑，这笔钱大家平均承担．实际捐款时又多了2名教师，因为购买电脑所需的总费用不变，于是每人少捐90元．问共有多少人参加捐款？原计划每人捐款多少元？． 【答案】10人，450元；【解析】解：设实际共有x 人参加捐款，那么原来有（x -2）人参加捐款，实际每人捐款（元），原计划每人捐款（元），依据题意，得，即，两边同乘以x （x -2），再整理，得 x 2-2x -80=0，解得 x 1=10，x 2=-8，经检验，x 1=10，x 2=-8都是原方程的根，但人数不能为负数，所以取x =10，当x =10时，（元），答：共有10人参加捐款，原计划每人捐款450元．23. （黄浦2018期中25）如图，x 轴表示一条东西方向的道路，y 轴表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O 点处同时出发，小丽沿着x 轴以4千米时的速度由西向东前进，小明沿着y 轴以5千米/时的速度由南向北前进．有一颗百年古树位于图中的P 点处，古树与x 轴、y 轴的距离分别是3千米和2千米．问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？（2）离开路口经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？【答案】（1）149；（2）1110；【解析】解：（1）设离开路口后经过x小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．由题意P（2，3）．A（4x，0），B（0，5x），∵PA=PB，∴（2-4x）2+32=22+（3-5x）2，解得149x=或（舍弃），答：经过149小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．（2）设离开路口经过y小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上．作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F．∵B，P，A共线，∴∠BPE=∠PAF，∴tan∠BPE=tan∠PAF，∴533242yy-=-，解得：1110y=或（舍去），答：离开路口经过1110小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上24. （杨浦2019期中26）甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米/小时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再提速。
[数学]-21.5-21.6 二元二次方程和方程组及其解法-2020-2021学年八年级数学第二学期
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21.5-21.6二元二次方程和方程组及其解法知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理一、二元二次方程1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程. 要点：（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.二、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.三、二元二次方程组的解法22ax bxy cy dx ey f o +++++=22,,ax bxy cy ,dx ey1.代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得未知数的值；④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.典型例题例题1．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 例题2．下列方程组中，属于二元二次方程组的为（ ）A ．02x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．123234x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩C．11x x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ D ．324x xy =⎧⎨=⎩ 例题3．已知：方程组⎩⎨⎧-==+)2(1)1(122x y y x ，把（2）代入（1），得到正确的方程是（ ）x 2+2（1﹣x ）=1 B ．x 2+2（x ﹣1）=1 C ．x 2+（1﹣x ）2=0 D ．x 2+（1﹣x ）2=1例题4．二元二次方程组⎩⎨⎧=-=+1522y x y x 的一个解是（ ）⎩⎨⎧-=-=21y x B ．⎩⎨⎧=-=21y x C ．⎩⎨⎧-==21y xD ．⎩⎨⎧==21y x 例题5．方程组 ⎩⎨⎧-=--=-12122x y x y x 的实数解个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4例题6．方程组⎩⎨⎧==+022xy y x 的解是（ ） ⎩⎨⎧==0011y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==12122y x B ．⎩⎨⎧==2011y x ，⎩⎨⎧==0122y x C ．⎩⎨⎧==2011y x ，⎩⎨⎧=-=0122y x D ．⎩⎨⎧-==2011y x ，⎩⎨⎧==0122y x 例题7．方程⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++=+yx a y x y x a y x 2)(2)(22有解但无不同的解时，a=（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣21 D ．﹣1 例题8．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0||||40||||422x y y y x x 在实数范围内（ ） 1. 有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解例题9．已知，实数x ，y ，z 满足，则x 4+y 4+z 4=（ ）A ．4B ．C ．D ．以上都不对一、单选题1．下列方程中，判断中错误的是（ ）A ．方程20316x x x +-=+是分式方程B ．方程3210xy x ++=是二元二次方程C．方程23270x x +-=是无理方程 D ．方程()()226x x +-=-是一元二次方程2．下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ） A ．12x y x y +=⎧⎨-=⎩ B ．22231310x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ C ．21x y xy -=⎧⎨=⎩ D ．313x y xy y x ⎧+=⎨=-⎩3．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．解方程组2222129x y x xy y ⎧-=⎨++=⎩①②的可行方法是（ ） A ．将①式分解因式B ．将②式分解因式C ．将①②式分解因式D ．加减消元5．方程组2y x y x m⎧=⎨=+⎩有两组不同的实数解，则（ ）A ．m ≥14-B ．m ＞14-C ．14-＜m ＜14D ．以上答案都不对6．方程组2211x y ⎧=⎨=⎩的实数解的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．二元二次方程组的解是A ．B ．C ．D ．8．已知下列四对数值不是方程的解是（ ）： A ． B ． C ． D ．9．方程组20230x y x x y +=⎧⎨++-=⎩的解的情况是（ ） A ．有两组相同的实数解 B ．有两组不同的实数解C ．没有实数解D ．不能确定10．如果14xy=⎧⎨=⎩是方程组x y axy b+=⎧⎨=⎩的一组解，那么这个方程组的另一组解是（）A．41xy=⎧⎨=⎩B．14xy=-⎧⎨=-⎩C．41xy=-⎧⎨=-⎩D．41xy=⎧⎨=-⎩11．方程组2220x y my x⎧-=⎨-=⎩有四组不同的实数解，则m的取值范围是（）A．14m<-B．14m>-C．14m-<>D．14m>-，且0m≠12．二元二次方程组22220,4 2.x xy yx y⎧+-=⎨+=-⎩的解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题13．12xy=⎧⎨=-⎩_______方程组22245x yx y-=⎧⎨-=⎩的解（填“是”或“不是”）．14．像22121x yx y⎧+=-⎨+=⎩这样的二元二次方程组，是由一个________方程和一个_________方程组成，可以用________法解这个方程．15．已知12xy=⎧⎨=-⎩是方程组x y mx y n+=⎧⎨⋅=⎩的一个解，那么这个方程组的另一个解是__________.16．解方程组24221x yxy+=⎧⎨=-⎩①②的解为_______________17．解方程组224422032110x xy y x yx y⎧-++--=⎨+-=⎩的解为_______________18．二元二次方程()()23320x y +-=有__________个解．19．解方程组224915235x y x y ⎧-=⎨-=⎩时，采用“_________”的方法，将二元二次方程224915x y -=化为_________方程，这是一种“__________”的策略．20．如果222461461,461a a b c b b c a c c a b ⎧++=+⎪++=+⎨⎪++=+⎩，那么a b c ++的值为_________________．三、解答题21．解方程组：22449(1)6(2)x xy y x y ⎧++=⎨-=⎩． 22．解方程组：222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩． 23．解方程组：2220326x xy x xy y ⎧+=⎨-+=⎩①②24．2222560112x xy y x x y y ⎧-+=⎨++-=⎩25．解方程组：22312230x y x xy y +=⎧⎨--=⎩ 26．解下列方程（组）（1）33(2019)(2018)1x x -+-=；。
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二元二次方程组解法与应用题
教学目标
1.理解二元二次方程的概念
2.能正确地把方程整理成二元二次方程的一般形式,知道各项名称和各项系数
3.理解二元二次方程解的概念,会解二元二次方程组
4.会列代数方程(组)解简单的应用题
教学重难点
1.熟练运用“消元”、“降次”的数学思想方法解二元二次方程，从而提高分析问题和解决问题的能力
2.熟练掌握数学符号语言与文字的互译以及数量关系的分析,会建立数学模型
3.理解应用题中的现实问题,会分辨,排除不符题意的解
知识梳理
二元二次方程和方程组
仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.
关于x,y 的二元二次方程的一般形式是: 22
ax bxy cy dx ey f 0+++++=(a,b,c,d,e,f 为常数)其中,2
2
ax ,bxy,cy 叫做这个方程的二次项,a,b,c 分别叫做二次项系数; dx,ey 叫做这个方程的一次项,d,e 分别叫做一次项系数;f 叫做这个方程的常数项.
使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解
由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程或两个二元二次方程组成的方程组是二元二次方程组
方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解
解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.
对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法
应用题
在实际问题中,经常会遇到一个(多个)未知量得问题,我们可以列方程(组)来求解.
通过列方程来解某些实际问题,应注意检验,不仅要检验求得的解是否适合方程,还要检验所得得解是否符合实际意义.
二元二次方程与方程组
1.将y 2x 1=-代入方程22
y 2x 2-=后,整理成关于x 的整式方程是__01422
=--x x ___
2.已知22m 2
x y 5x 4y 20
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩是关于x,y 的二元二次方程组,则m= 0.5或1
3.将方程2
2
x 2xy 3y 0+-=分解为两个二元一次方程为_x+3y=0__与__x-y=0___
4.二元二次方程组(x 2y)(2x y)0
(x 3y 1)(2x y 1)0
--=⎧⎨-++-=⎩的解有___4_____组.
5.已知03
x y =⎧⎨
=⎩和11
x y =-⎧⎨
=⎩是二元二次方程22
0x y dx ey +++=的两个解,则d=____2____,
e=___0____
6.下列不是二元二次方程组的是（ D ） A. 22
350
24
x y x xy y --=⎧⎨
-+=⎩
B. 2
1
1
x y -=⎧⎪= C. 03x y xy +=⎧⎨=⎩
D. 22
2
x y ⎧-=⎪=
7.若方程组2y 2x k y 4x =+⎧⎨=⎩有实数解,则k 的取值范围是 ( C )
A. 1k 2≥
B. k 2≥
C. 1
k 2
≤ D. k 2≤
8.解下列方程(代入法)
(1)2x y 4x 2xy 3=+⎧⎨+=⎩ (2)22
x 2y 1x 4y 5
-=⎧⎨-=⎩ (3)xy 6x y 5=-⎧⎨+=⎩ (4)x y 11
xy 18-=⎧⎨=-⎩
(5)22x y 13x y 5⎧+=⎨+=⎩ (6)22x 4y x 3y 102x y 10
⎧-++-=⎨--=⎩
(7)2
y 2x 3y x =+⎧⎨=⎩ (8)2x 2y 1x 2y 50
-=⎧⎨+-=⎩
9.解下列方程(因式分解法)
(1)22x 3xy 10y 0xy 2x 5y 100⎧--=⎨--+=⎩ (2)2222
x y 0
x 4xy 4y 9
⎧-=⎪⎨++=⎪⎩
(3)2222x 5xy 6y 0x 6xy 9y 1⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ (4)222
x 2xy y 1(x y)3(x y)100
⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩
(5)22x y 0xy 2(x y)30⎧-=⎨+++=⎩ (6)222
x 2xy y 9
(x y)3(x y)100
⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩
(7)22
2
x y 1
(x y)2(x y)30
⎧-=⎪⎨----=⎪⎩ (8)2222x y 2(x y)x xy y 1⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩
10.求满足条件2
2
x 2xy 3y 0--=的x,y 的值
11.若方程组
2
y4x2y10
y x a
⎧--+=
⎨
=+
⎩
无实数解,求a的取值范围;
12.若方程组
2
x2ay5
y x6a
⎧+=
⎨
-=
⎩
有正整数解,求a的值
13.已知关于x,y的方程组
22
x y2x0
kx y k0
⎧+-=
⎨
--=
⎩
,求证:不论k取何值,方程组总有2组不同的
实数解
能力训练解下列方程
(1)
22
x y13
xy6
⎧+=
⎨
=-
⎩
(2)
22
x xy y19
xy6
⎧++=
⎨
=
⎩
(3)
22
2
x2xy y2
xy y4
⎧--=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
(4)
22
22
x5xy6y28
4x3xy y7
⎧-+=
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
(5)
22
22
2x2xy4y x19
x xy2y y9
⎧+++=
⎪
⎨
++-=
⎪⎩
(6)
22
2
x15xy3y2x9y98
5xy y3y21
⎧--++=
⎪
⎨
+-=-
⎪⎩
应用题
1.师徒两人检修一条煤气管道,师傅单独完成需要10个小时,徒弟单独完成需要15个小时.师傅先开始检修,1小时后,让徒弟一起参加,还需要多少时间可以完成?
2.一艘轮船航行于两码头之间,逆水需10小时,顺水需6小时,已知该船在静水中每小时航行12千米,求水流速度和两码头之间的路程.
3.一块长方形铁皮的长是宽的2倍,四角各截去一个正方形,制成高是5cm,容积是500立方厘米的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽.
4.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额带到633.6万元.求3月份到5月份营业额的平均月增长率
20%
5.直角三角形的周长为2+斜边上的中线长为1.求这个直角三角形的三条边长
课后作业
1.下列方程组中,没有实数解的是 ( )
A. 22x y 5x y 13+=⎧⎨+=⎩
B. x y 5xy 7+=-⎧⎨=⎩
C. 22
x y 5x y 17
+=-⎧⎨+=⎩ D. x y 5xy 6+=⎧⎨=-⎩
2.
若2
2
2
(23105)0x y y --++=,则x=______y=_______
3.解下列方程
(1)22
2x y 5x y 5
+=⎧⎨+=⎩ (2)x y 7xy 12+=⎧⎨=⎩
(3)x y 1xy 12-=⎧⎨=⎩ (4)2222
x 5xy 6y 0
x y 5
⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩
(5)2222
x 2xy y 1x 3xy 2y 0
⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩
4.已知方程组2y nx
y 2x m ⎧=⎨=+⎩ (其中m,n 均不为零)只有一组实数解.
(1)试确定m
n
的值;(2)若n=4,试解这个方程组
5.当m 为何值时,方程组26440
30y x y mx y ⎧--+=⎨-+=⎩
只有一组解,并求出此解.
6.已知方程组22x y a xy b
⎧+=⎨=⎩的一组解是11x 3
y 2=⎧⎨=-⎩,求它的其余解
7.一件上衣原价每件500元,第一次降价后,销售甚慢,第二次降价的百分率是第一次的2倍,结果以每件240元的价格迅速售出,求每次降价的百分率.
8.一个水池有甲乙两根进水管,单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时.若甲管先开放10小时,然后乙管加入注水,6小时可把水池注满,求单独开放甲管需几小时注满水池
9.学校原有长方形操场的面积为4000平方米,调整校园布局时,一边增长了10米,另一边减少了10米,操场面积增加了200平方米,求原有操场两边的长.。