函数性质综合(讲义)

函数性质综合（讲义）

➢知识点睛

一、函数的奇偶性

1.设函数y=f (x)的定义域为I，对∀x∈I，

（1）若_____________，则函数y=f (x)就叫做_________；

（2）若_____________，则函数y=f (x)就叫做_________．

若函数y=f (x)是奇函数或者偶函数，那么我们就说函数y=f (x)具有奇偶性．说明：奇偶函数的定义域关于原点对称．

2.奇偶函数的性质

（1）奇函数图象关于_____对称，偶函数图象关于_____对称．

（2）若f (x)是奇函数，则f (x)在关于原点对称的区间上单调性_________；

若f (x)是偶函数，则f (x)在关于原点对称的区间上单调性__________．

（3）若奇函数的定义域I包含数0，则必有____________．

3.判断函数奇偶性的方法

（1）分析函数定义域是否关于原点对称；

（2）利用函数奇偶性定义，结合题目特征，可通过赋值、变形等，找出f (-x)与f (x)满足的关系，从而判断其奇偶性．

二、复合函数

1.定义：若函数y=()

f x，y=g(x)，则称函数(())

y f g x

=为复合函数，其中()

f x为外层函数，g(x)为内层函数．

2.复合函数定义域的求法：

①若y=()

f x的定义域为[a，b]，则复合函数(())

y f g x

=的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；

②若(())

y f g x

=的定义域为[a，b]，则函数y=()

f x的定义域即为x∈[a，b]

时，g(x)的取值范围．

3.复合函数的单调性

口诀：同增异减．

已知函数(())

y f g x

=，则求其单调区间的一般步骤如下：

（1）确定定义域；

（2）将复合函数(())

y f g x

=分解成：()

y f u

=，()

u g x

=；

（3）分别确定这两个函数的单调区间．

➢精讲精练

1.下列函数：①

1

()

1

f x

x

=

+

；②

21

()

x

f x

x

+

=；③()1

f x x

=+；④3

()

f x x

=（-1

≤x ≤2）．其中属于奇函数的是（ ）

A ．①③

B ．②③④

C ．②

D ．①② 2. 函数x x x f +=2)(是（ ） A ．偶函数

B ．奇函数

C ．既奇且偶函数

D ．非奇非偶函数

3. 函数()||f x x x px =+，x ∈R 是（ ）

A ．偶函数

B ．奇函数

C ．非奇非偶函数

D ．与p 有关 4. 判断下列函数的奇偶性．

①x x x f 1)(3+

=； ②()f x =

③x x x f 2112)(-+-=；

④x x x f +=4)(.

A ．函数(())f g x 是奇函数

B ．函数(())g f x 是奇函数

C ．函数()()f x g x +是奇函数

D ．函数()()f x g x 是奇函数

7. （1）定义域为2[324]a a --，上的函数f (x )是奇函数，则a =_________． （2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为[a -1，2a ]，则a =_________，b =________．

8. （1）若1()41

x f x a =++是奇函数，则a =_________．

（2）若1()21

x f x a =+-是奇函数，则a =_________． （3）若f (x )=(m -1)x 2+2mx +3是偶函数，则m=_________．

9. 若f (x )是定义在(-∞，+∞)上的奇函数，且f (x )在[0，+∞)上为增函数，则f (-2)，

f (-π)，f (3)的大小顺序是（ ）

A ．f (-π) < f (-2) < f (3)

B ．f (3) < f (-2) < f (-π)

C ．f (-π) < f (3) < f (-2)

D ．f (-2) < f (3) < f (-π)

10. 函数y=f (x )是R 上的偶函数，且在(-∞，0]上为增函数．若

f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．a ≤2

B ．a ≥-2

C ．-2≤a ≤2

D ．a ≤-2或a ≥2

11. 如果奇函数y =f (x )在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7，

-3]上是（ ）

A ．增函数且有最小值-5

B ．增函数且有最大值-5

C ．减函数且有最小值-5

D ．减函数且有最大值-5

12. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()5f x x x =-，则在R 上f (x )

的表达式为（ ）

A ．()(5)f x x x =--

B ．()(5)f x x x =-

C ．()(5)f x x x =-

D ．()(5)f x x x =-