人教版九年级数学上册第23章《旋转》同步练习题
人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》练习题(附答案)
人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》练习题一、单选题1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.下列图形中，只是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6.如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（）A. ①B. ②C. ③D. ④7.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.8.下列图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转46°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C 上，则∠ACB的大小为（）A. 23°B. 44°C. 46°D. 54°10.下列图形，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.11.将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为(a,b)，则点A′的坐标为（）A. (−a,−b)B. (a,−b)C. (−a,b)D. (a,b)12.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A. 平行四边形B. 线段C. 等边三角形D. 抛物线13.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.14.道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（）A. B. C. D.15.下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.二、填空题16.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝6，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为________.17.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2．将△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，则AC边的中点D与其对应点D1的距离是________．18.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为________．19.已知点A（﹣2，3）与A1关于点P（0，2）成中心对称，A1的坐标是________ ．20.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为________度．21.一个长方形绕它的一条边旋转一周形成的几何体为________，将一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的几何体为________．22.如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中̂，则图中阴影部分的面积为________．点C的运动路径为CC′23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC绕着点C逆时针旋转后得到的△A′B′C的斜边A′B′经过点A，那么∠ACA'的度数是________ 度．24.如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为________．25.如图，已知半⊙O的直径AB＝8，将半⊙O绕A点逆时针旋转，使点B落在点B'处，AB'与半⊙O交于点C，若图中阴影部分的面积是8π，则弧BC的长为________．26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC.点D是△ABC内的一点，将△ACD以点C为中心顺时针旋转90°得到△BCE，若点A、D、E共线，则∠AEB的度数为________.27.如图，如果边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正方形ABCD的外部的边如图位置开始顺时针连续滚动，当它滚动4次时，点P所经过的路程是________．28.如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为________．29.点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为________．30.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45后，得到△COD，如果∠AOB=15，则∠AOD的度数是________.三、解答题31.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．∠ABC(0°＜∠CBE＜32.(1)如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝121∠ABC)，以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转，得到△BE′A(点C与点A重合，点E到点E′处)连接2DE′.求证：DE′＝DE.∠ABC(0°＜∠CBE (2)如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12＜∠45°)．求证：DE2＝AD2＋EC2.33.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．①若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；②若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；③将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．34.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（﹣3，5），C（﹣4，1）．①把△ABC向右平移2个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；②把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．35.如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．36.如图，按要求涂阴影：（1）将图形①平移到图形②；（2）将图形②沿图中虚线翻折到图形③；（3）将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④．37.以给出的图形“○,○,△,△, =”(两个相同的圆、两个相同的等边三角形、两条线段)为构件,各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形或中心对称图形.举例:如图,左框中是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗?请在右框中画出与之不同的图形.38.在平面直角坐标系中，∆ABC的顶点坐标是A（-7,1）、B（1,1）、C（1,7），线段DE的端点坐标是D（7，-1）、E（-1，-7）（1）试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合将线段AC先向______（上，下）平移_______个单位，再向_______（左，右）平移_______个单位；（2）将∆ABC绕坐标原点逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；（3）画出（2）中的∆DEF，并和∆ABC 同时绕坐标原点O逆时针旋转90o，画出旋转后的图形.39.如图，已知反比例函数y=m（m是常数，m≠0），一次函数y＝ax＋b（a、b为常数，a≠0），其中一x次函数与x轴，y轴的交点分别是A（－4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO＝√17（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．40.已知|2﹣m|+（n+3）2=0，点P1、P2分别是点P（m，n）关于y轴和原点的对称点，求点P1、P2的坐标．四、综合题41.在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．42.将□OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点C（-6，0），点A在第一象限，OA=2，∠A=60°，AB 与y轴交于点N.（1）如图①，求点A的坐标：（2）如图②，将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转得到平行四边形OA'B'C'，当点A的对应点A'落在y 轴正半轴上时，求旋转角及点B的对应点B'的坐标：（3）将平行四边形OABC绕点A旋转得到平行四边形DAEF，使点B的对应点E落在直线OA上，请在图③中画出旋转后的图形，并直接写出OE、AB、BC之间的关系.43.在数学课上，老师要求学生探究如下问题：（1）如图1，在等边三角形ABC内有一点P，PA＝2，PB＝√3，PC＝1，试求∠BPC的度数．李明同学一时没有思路，当他认真分析题目信息后，发现以PA、PB、PC的长为边的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A．连接PP'，易得△P′PB 是正三角形，△P′PA是直角三角形，则得∠BPC＝________；（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，PA＝√5，PB＝√2，PC＝1，试求∠BPC的度数．（3）在图3中，若在正方形ABCD内有另一点Q，QA＝a，QB＝b，QC＝c（a＞b，a＞c），试猜想当a，b，c满足什么条件时，∠BQC的度数与第（2）问中∠BPC的度数相等，请直接写出结论．44.如图1，四边形ABCD是边长为3√2的正方形，矩形AEFG中AE=4，∠AFE=30°。
人教版九年级数学上册第二十三章 旋转 练习试题(含答案)
第二十三章旋转类型之一中心对称与中心对称图形1．在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )图12．如图2，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P(1.2，1.4)平移后的对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°后的对应点为P2，则点P2的坐标为( )图2A．(2.8，3.6) B．(－2.8，－3.6)C．(3.8，2.6) D．(－3.8，－2.6)类型之二与旋转有关的作图问题3．如图3，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为( )图3图44．如图5，画出△ABC绕点O顺时针旋转60°后得到的△A′B′C′.图55．如图6，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C；(2)平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．图6类型之三与旋转有关的计算或证明6．如图7，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，其中点A，B 的对应点分别是点A′，B′，则点A′的坐标是( )图7A．(－1，3) B．(4，0)C．(3，－3) D．(5，－1)7.如图8，将斜边长为4的三角尺放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角尺绕点O顺时针旋转120°，则点P的对应点的坐标是( )图8A．(3，－1) B．(1，－3)C．(2 3，－2) D．(2，－2 3)8．如图9，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，再将△DBC绕点C逆时针旋转60°得到△FEC，延长BD交EF于点H，已知∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，AC＝1，则四边形CDHF的面积为( )图9A.312B.36C.33D.329如图10，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是________．图1010．已知：如图11，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm，将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D ＝________ cm.图1111. 如图12，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C 在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为________．图1212．如图13，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.(1)求∠PCQ的度数；(2)当AB＝4，AP∶PC＝1∶3时，求PQ的长；(3)当点P在线段AC上运动时(P不与点A重合)，请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．图13类型之四数学活动13．[问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图14①，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.并且量得AB＝2 cm，AC＝4 cm.操作发现：(1)将图①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，判断四边形ACEC′的形状，并给出证明；(2)创新小组将图①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图③所示的△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论．图141．C2．A [解析] 根据图形中点A与其平移后的对应点A1的坐标，可知△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，所以点P(1.2，1.4)平移后对应点P1的坐标为(－2.8，－3.6)，则其关于原点成中心对称的点P2的坐标为(2.8，3.6)．3．A [解析] 选项A是原阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后得到的；选项B是原阴影三角形绕点A顺时针(或逆时针)旋转180°后得到的；选项C不能由原阴影三角形绕点A 旋转一定的角度得到；选项D是原阴影三角形绕点A顺时针旋转270°后得到的．4．解：如图所示，△A′B′C′即为所求．5．解：(1)如图所示，△A1B1C即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．(3)旋转中心是直线B1B2和A1A2的交点，由图可知旋转中心的坐标是(0，－2)．6．D [解析] 如图，将点A绕点P按顺时针方向旋转90°得到点A′，则点A′的坐标为(5，－1)．7．B [解析] 设斜边长为4的三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转120°后得到△A ′OB ′，点P 到了点P ′的位置，如图所示．由旋转知∠BOB ′＝120°，∴∠2＝120°－90°＝30°＝∠3，∴A ′B ′∥x 轴， ∴OC ⊥A ′B ′，且∠1＝30°.过点P ′作P ′D ⊥x 轴于点D ，得矩形OCP ′D.在Rt △A ′OC 中，OA ′＝12A ′B ′＝2，A ′C ＝12OA ′＝1，∴OC ＝22－12＝3， ∴P ′D ＝OC ＝ 3. ∵A ′P ′＝12A ′B ′＝2，∴P ′C ＝2－1＝1. ∵点P ′在第四象限，∴点P 的对应点P ′的坐标是(1，－3)．故选B. 8．C [解析] ∵∠ABC ＝30°，∠BAC ＝90°， AC ＝1， ∴BC ＝2AC ＝2， ∴AB ＝BC 2－AC 2＝ 3.由翻折、旋转的性质，知AC ＝CD ＝CF ＝1，∠ACB ＝∠BCD ＝∠FCE ＝60°，∴∠ACF ＝180°，即A ，C ，F 三点共线，CE ＝CB ＝2，EF ＝BD ＝AB ＝3，∠E ＝∠ABC ＝30°，∴DE ＝2－1＝1. 在Rt △DEH 中，DH ＝33DE ＝33， ∴S 四边形CDHF ＝S △CEF －S △DEH ＝12×1×3－12×1×33＝33.9．60°10．1.5 [解析] ∵D 为AB 的中点，∴OD ＝12AB ＝12×32＋42＝2.5(cm)．由题意可得：OB 1＝OB ＝4 cm ，∴B 1D ＝OB 1－OD ＝4－2.5＝1.5(cm)．11．(6，－6) [解析] 作B ′H ⊥x 轴于点H ，连接OB ，OB ′，如图．∵四边形OABC 为菱形，∴OB 平分∠AOC ，∴∠COB ＝30°.∵菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至第四象限OA ′B ′C ′的位置，∴∠BOB ′＝75°，OB ′＝OB ＝2 3，∴∠COB ′＝∠BOB ′－∠COB ＝45°， ∴△OB ′H 为等腰直角三角形，∴OH ＝B ′H ＝22OB ′＝6，∴点B ′的坐标为(6，－6)．12．解：(1)由题意知，△ABP ≌△CBQ ，∴∠A ＝∠ACB ＝∠BCQ ＝45°， ∴∠PCQ ＝∠ACB ＋∠BCQ ＝90°.(2)∵AB ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC ＝4 2. 又∵AP ∶PC ＝1∶3，∴AP ＝2，PC ＝3 2， ∴PQ ＝PC 2＋CQ 2＝2 5.(3)存在2PB 2＝PA 2＋PC 2.证明如下：由于△BPQ 是等腰直角三角形， ∴PQ ＝2PB.∵PA ＝CQ ，∴PQ 2＝PC 2＋CQ 2＝PA 2＋PC 2，故有2PB 2＝PA 2＋PC 2. 13．解：(1)四边形ACEC ′是菱形．证明：在题图①中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ∥CD ，∠ACD ＝∠BAC. 在题图②中，由旋转知，AC ′＝AC ，∠AC ′D ＝∠BAC. ∵∠CAC ′＝∠BAC ，∴∠CAC ′＝∠AC ′D ，∴AC ∥C ′E. 又∵AC ′∥CE ，∴四边形ACEC ′是平行四边形． 又∵AC ＝AC ′，∴▱ACEC ′是菱形． (2)证明：∵F 是CC ′的中点，∴CF ＝FC ′. 又∵FG ＝AF ，∴四边形ACGC ′是平行四边形．∵在Rt△ABC和Rt△AC′D中，∠BAC＋∠ACB＝90°，∠ACB＝∠DAC′，∴∠BAC＋∠DAC′＝90°.又∵B，A，D三点在同一条直线上，∴∠CAC′＝90°，∴▱ACGC′是矩形．又∵AC＝AC′，∴矩形ACGC′是正方形．。
2024-2025学年人教新版九年级上册数学《第23章+旋转》单元测试卷
2024-2025学年人教新版九年级上册数学《第23章旋转》单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．如图，若点M是等边△ABC的边BC上一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，连接MN，则下列结论：①∠BMN＝30°；②MN＝AM；③BN∥AM，其中正确的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个2．把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（）A．30°B．45°C．60°D．72°3．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，1）5．我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图，三个完全相同的四边形组成的图案绕点O旋转可以和原图形重合，则旋转角可以是（）A．60°B．90°C．120°D．150°7．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．8．李明家有一个时钟，假期间，某天上午他8点整出门锻炼，回家时发现时针刚好旋转了60°，那么李明回家的时间是（）A．9点整B．9点半C．10点整D．10点半9．如图，已知点A（﹣1，0），B（0，2），A与A′关于y轴对称，连结A′B，现将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B′的坐标为（）A．（3，1）B．（2，1）C．（4，1）D．（3，2）10．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（）A．点G B．点H C．点M D．点N二．填空题（共10小题，满分30分）11．在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有个．12．在平面直角坐标系中，若点A（a，3）与点B（﹣1，b）于原点对称，则a+b＝．13．时钟从下午3时到晚上9时，时针沿顺时针方向旋转了度．14．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB＝6，AP ＝3，BC＝8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为．15．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，已知A（﹣1，3），B（﹣4，4），C（﹣2，1）．（1）画△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1；（2）若第二象限存在点D，使点A、B、C、D构成平行四边形，则D的坐标为．16．如图，在平面直角坐标系中有一个航空母舰的简图．若将该图案各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，则所得到的新图案是由原图案向平移3个单位长度得到的．17．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为．18．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度α°（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α最小是度．19．如图，小刚利用计算机绘制了一个树叶图案，曲线C1为抛物线的一部分，顶点为A，曲线C2与曲线C1关于直线y＝﹣x对称，点B为点A的对称点，则点B的坐标为．20．如图，O是△ABC内的点，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BOC＝130°，将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ADC，连接OD．设∠AOB为α，当△COD为等腰三角形时，α为．三．解答题（共6小题，满分60分）21．如图，这是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，求BB'的长．22．已知点M（3m﹣2，2m+1），解答下列问题：（1）若点M与（﹣7，﹣7）关于原点对称，求点m的值；（2）若点N（3，9），且直线MN平行于x轴，求点M的坐标．23．如图，在五边形ABCDE中，∠EAB＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∠ABC＝α，AE+CD＝DE．（1）将△ABE绕点B顺时针旋转α，画出旋转后的△BCM，并证明D、C、M三点在一条直线上；（2）求证：△EBD≌△MBD．24．如图3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．25．如图，在△ABC中，AB＝BC，点O是AC边上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得到△ACD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果∠ABC＝30°，BC＝2，求菱形ABCD的面积．26．如图，已知△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°；（1）请说明∠EAB＝∠FAC的理由；（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；（3）求∠AMB的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】C二．填空题（共10小题）11．【答案】见试题解答内容12．【答案】﹣2．13．【答案】180．14．【答案】．15．【答案】（1）见解答．（2）（﹣5，2）或（﹣3，6）．16．【答案】左．17．【答案】见试题解答内容18．【答案】60．19．【答案】（﹣2，0）．20．【答案】85°或115°或145°．三．解答题（共6小题）21．【答案】4．22．【答案】（1）m＝3；（2）M（10，9）．23．【答案】（1）画图见解析，证明见解析；（2）见解析．24．【答案】见解析．25．【答案】（1）略；（2）2．26．【答案】见试题解答内容。
人教版九年级数学上册第二十三章旋转必刷常考题附答案
人教版九年级数学上册第二十三章旋转必刷常考题附答案一．选择题（共5小题）1．如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，那么∠AOB'的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°2．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）3．如图，AC、BD为四边形ABCD的对角线，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB（点C、D的对应点分别为点E、B），若点C、B、E在一条直线上，则下列说法错误的是（）A．∠ABC+∠ADC＝180°B．∠BCD＝120°C．AC＝BC+CD D．AE＝BD4．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，若点B′恰好落在BC边上，AB′＝CB′，则∠C′的度数为（）A．18°B．20°C．22°D．24°5．如图所示，已知点A（﹣1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2021次，点A 依次落在点A1，A2，A3，…，A2021的位置，则A2021的坐标是（）A．（3038，1）B．（3032，1）C．（2021，0）D．（2021，1）二．填空题（共5小题）6．如图，这个正六边形是由Rt△ABC绕点O经过多次旋转变换得到，则∠ABC＝．7．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE＝2，AF＝2，BF＝4，将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为．8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，延长CB交B′C′于点D，若∠BAB ′＝40°，则∠C′DC的度数是°．9．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是．10．如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE＝2，将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF、FC，则线段FC的长度是．三．解答题（共5小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．（1）证明：△CFD≌△ABC；（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．12．如图，四边形ABCD是矩形，以点B为中心，顺时针旋转矩形ABCD得到矩形GBEF，点A，D，C的对应点分别为点G，F，E，点D恰好在FG的延长线上，BG与CD相交于点H，求证：DH＝BH．13．如图，是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D；（1）请用圆规画出点D→D1→D→D经过的路径；（2）所画图形是对称图形；（3）写出所画图形围成的面积．（结果保留π）14．如图1，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．（1）求证：DF＝DE；（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2+EC2．15．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B在y轴正半轴上，且∠BAO＝60°，点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（1）如图1，A'B'恰好经过点A时，①求此时旋转角α的度数；②求出此时点B'的坐标；（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，猜测AA'与BB'的位置关系，并说明理由．2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之旋转参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，那么∠AOB'的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°，故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°是解题关键．2．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；模型思想；应用意识．【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标之间的关系，即纵横坐标均互为相反数，可得答案．【解答】解：点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标为（﹣3，1），故选：C．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的两个点坐标之间的关系是得出正确答案的前提．3．如图，AC、BD为四边形ABCD的对角线，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB（点C、D的对应点分别为点E、B），若点C、B、E在一条直线上，则下列说法错误的是（）A．∠ABC+∠ADC＝180°B．∠BCD＝120°C．AC＝BC+CD D．AE＝BD【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】由旋转的性质可得出∠ADC＝∠ABE，AC＝AE，AD＝AB，∠ACD＝∠AEB，∠CAE＝∠DAB＝60°，得出△CAE和△DAB都是等边三角形，可判断A，B，C选项正确，则可得出结论．【解答】解：∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，故选项正确，不符合题意，∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB，∴AC＝AE，AD＝AB，∠ACD＝∠AEB，∠CAE＝∠DAB＝60°，∴△CAE和△DAB都是等边三角形，∴∠ACD＝∠AEB＝60°，∠ACE＝60°，∴∠BCD＝120°，故B选项正确，不符合题意；∵△ACE为等边三角形，∴AC＝CE＝BE+BC，又∵BE＝CD，∴AC＝CD+BC，故C选项正确，不符合题意，∵BD＝AB，AB≠AE，∴AE≠BD，故D选项错误，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，若点B′恰好落在BC边上，AB′＝CB′，则∠C′的度数为（）A．18°B．20°C．22°D．24°【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】根据图形的旋转性质，得AB＝AB′，已知AB′＝CB′，结合等腰三角形的性质及三角形的外角性质，得∠B、∠C的关系为解决问题的关键．【解答】解：∵AB′＝CB′，∴∠C＝CAB′，∴∠AB′B＝∠C+∠CAB′＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，∴∠C＝∠C′，AB＝AB′，∴∠B＝∠AB′B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴C＝24°，∴∠C′＝∠C＝24°，故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及图形的旋转性质．5．如图所示，已知点A（﹣1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2021次，点A 依次落在点A1，A2，A3，…，A2021的位置，则A2021的坐标是（）A．（3038，1）B．（3032，1）C．（2021，0）D．（2021，1）【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．【专题】规律型；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】分析A1，A2，A3，A4，A5点坐标，找到规律求解．【解答】解：根据图形分析，从A开始旋转，当旋转到A4，时，A回到矩形的起始位置，4次一循环．A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），A4（5，2），A5（8，1），A6（9，0），A7（9，0），A8（11，2），A9（14，1），A10（15，0），A11（15，0），A12（17，2），A4n+1（6n+2，1），A4n+2（6n+3，0），A4n+3（6n+3，0），A4n+4（6n+5，0），当A2021时，即4n+1＝2021，解得n＝505，∴横坐标为6n+2＝6×505+2＝3032，纵坐标为1，则A2021的坐标（3032，1），故选：B．【点评】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．二．填空题（共5小题）6．如图，这个正六边形是由Rt△ABC绕点O经过多次旋转变换得到，则∠ABC＝30°．【考点】多边形内角与外角；旋转对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】依据多边形内角和公式求得正六边形每个角的度数，再根据角的和差关系进行计算即可．【解答】解：由旋转可得，该多边形是正六边形，∴该正六边形每个角为＝120°，∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30°．【点评】本题主要考查了旋转对称图形，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．7．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE＝2，AF＝2，BF＝4，将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为2．【考点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】连接FH，由正方形的性质得出∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，由旋转的性质得出EF＝EH，证明Rt△EBF≌Rt△HCE（HL），得出∠EFB＝∠HEC，证出∠FEH＝90°，由勾股定理可得出答案．【解答】解：连接FH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，∵AF＝2，BF＝4，∴AB＝6，∵BE＝2，∴CE＝4，∴BF＝CE，∵将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，∴EF＝EH，在Rt△EBF和Rt△HCE中，，∴Rt△EBF≌Rt△HCE（HL），∴∠EFB＝∠HEC，∵∠EFB+∠BEF＝90°，∴∠BEF+∠CEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∵BF＝4，BE＝2，∴EF＝＝＝2，∴FH＝EF＝2．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质，勾股定理．8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，延长CB交B′C′于点D，若∠BAB′＝40°，则∠C′DC的度数是40°．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由旋转的性质得到∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，进而推出∠CAC′＝40°，根据三角形内角和定理证得∠C′DC＝∠CAC′，即可求得∠C'DC的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，∴△ABC≌△AB'C'，∴∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，∵∠BAB'＝40°，∴∠CAC′＝40°，∵∠C'DC＝180°﹣∠DEC′﹣∠C′，∠CAC′＝180°﹣C﹣∠AEC，∠DEC′＝∠AEC，∠C′DC＝∠CAC′＝40°，故答案为：40．【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键．9．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是4．【考点】正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题；旋转的性质．【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明∴△AED≌△GFE （AAS），确定F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF＝45°，从而确定C'点在AB的延长线上，当D，F，C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，求出DC'＝4即可．【解答】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∴∠EDA＝∠FEG，在△AED与△GFE中，，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，∵EG＝DA，FG＝AE，∴AE＝BG，∴BG＝FG，∴∠FBG＝45°，∴∠CBF＝45°，∴BF是∠CBC'的角平分线，即F点在∠CBC'的角平分线上运动，∴C'点在AB的延长线上，当DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，∴DC'＝＝＝4，故答案为4．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．10．如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE＝2，将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF、FC，则线段FC的长度是2．【考点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】过点F作FH⊥CD于H，如图，利用正方形的性质得DA＝CD，∠D＝90°，再根据旋转的性质得EA＝EF，∠AEF＝90°，接着证明△ADE≌△EHF得到DE＝FH＝2，AD＝EH，所以EH＝DC，则DE＝CH＝2，然后利用勾股定理计算FC的长．【解答】解：过点F作FH⊥于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝CD，∠D＝90°，∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴EA＝EF，∠AEF＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠FEH+∠AED＝90°，∴∠EAD＝∠FEH，在△ADE和△EHF中，，∴△ADE≌△EHF（AAS），∴DE＝FH＝2，AD＝EH，∴EH＝DC，即DE+CE＝CH+EC，∴DE＝CH＝2，在Rt△CFH中，FC＝＝＝2，【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．三．解答题（共5小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．（1）证明：△CFD≌△ABC；（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定；旋转的性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．【分析】（1）由旋转的性质可得CB＝CE，AB＝DE＝BF，由“SSS”可证△ABC≌△CFD；（2）延长BF交CE于点G，可证BF∥ED，由一组对边平行且相等可证四边形BEDF 是平行四边形．【解答】证明：（1）∵点F是边AC中点，∴CF＝AC，∵∠BCA＝30°，∴BA＝AC，∠A＝60°，∴AB＝CF，∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△CFD中，，∴△ABC≌△CFD（SAS）；（2）延长BF交CE于点G，由（1）得，FC＝BF，∴∠BCF＝∠FBC＝30°，∵∠BCE＝60°，∴∠BCE+∠CBG＝∠BGE＝90°，∵∠DEC＝∠ABC＝90°∴∠BGE＝∠DEC，∴BF∥ED，∵，AB＝DE，∴BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．12．如图，四边形ABCD是矩形，以点B为中心，顺时针旋转矩形ABCD得到矩形GBEF，点A，D，C的对应点分别为点G，F，E，点D恰好在FG的延长线上，BG与CD相交于点H，求证：DH＝BH．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】证明Rt△BDA≌Rt△BDG，得到∠ABD＝∠GBD，再利用矩形性质求解．【解答】证明：∵旋转矩形ABCD得到矩形GBEF，∴AB＝BG，∠A＝∠DGB＝90°，在Rt△BDA和Rt△BDG中，，∴Rt△BDA≌Rt△BDG（HL），∴∠ABD＝∠GBD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABD＝∠BDH，∴∠BDH＝∠HBD，∴DH＝BH．【点评】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、解题关键是证明Rt△BDA≌Rt△BGA，得到∠ABD＝∠GBD，再利用矩形性质求解．13．如图，是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D；（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是轴对称图形；（3）写出所画图形围成的面积．（结果保留π）【考点】作图﹣旋转变换．【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据轴对称图形的定义判断即可．S+S﹣S矩形，利用扇形的面积公式（3）根据所画图形的面积＝S计算可得．【解答】解：（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示．（2）所画图形是轴对称图形；故答案为：轴．S+S﹣S矩形（3）所画图形的面积＝S半圆+＝•π•42+×2﹣4×8＝8π+4π+4π﹣32＝16π﹣32．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．如图1，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．（1）求证：DF＝DE；（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2+EC2．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）先根据∠DBE＝∠ABC可知∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE＝BF，∠ABF＝∠CBE，故可得出∠DBF＝∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBF，故可得出结论；（2）把△CBE逆时针旋转90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠FAB＝∠BCE＝45°，所以∠DAF＝90°，由（1）证DE＝DF，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC，∴∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，∵△ABF由△CBE旋转而成，∴BE＝BF，∠ABF＝∠CBE，∴∠DBF＝∠DBE，在△DBE与△DBF中，，∴△DBE≌△DBF（SAS），∴DF＝DE；（2）证明：∵将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCE＝45°，∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合，∴AF＝EC，∴∠FAB＝∠BCE＝45°，∴∠DAF＝90°，在Rt△ADF中，DF2＝AF2+AD2，∵AF＝EC，∴DF2＝EC2+AD2，同（1）可得DE＝DF，∴DE2＝AD2+EC2．【点评】本题考查的是图形的旋转及勾股定理，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．15．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B在y轴正半轴上，且∠BAO＝60°，点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（1）如图1，A'B'恰好经过点时，①求此时旋转角α的度数；②求出此时点B'的坐标；（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，猜测AA'与BB'的位置关系，并说明理由．【考点】含30度角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】（1）①根据旋转的性质得到OA＝OA'，∠A'＝∠BAO＝60°，推出△OAA'是等边三角形，于是得到α＝∠AOA'＝60°；②如图1，过B'作B'C⊥x轴于C，根据三角形的内角和定理得到∠OBA＝30，根据勾股定理得到，求得，得到，于是得到答案；（2）如图2，等腰三角形的性质得到，推出∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°，由垂直的定义得到结论．【解答】解：（1）①由旋转得：OA＝OA'，∠A'＝∠BAO＝60°，∴△OAA'是等边三角形，∴α＝∠AOA'＝60°；②如图1，过B'作B'C⊥x轴于C，∵∠BAO＝60°，∴∠OBA＝30°，在Rt△OAB中，∠OBA＝30°，∴AB＝2OA＝4，∴，∴，又∵∠AOA'＝60°，∴∠B'OC＝90°﹣∠AOA'＝30°，∵∠B'CO＝90°，∴，∴，∴；（2）AA'⊥BB'，理由：如图2，∵∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，∴，∵∠BOA'＝90°﹣α，四边形OBPA'的内角和为360°，∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°，即AA'⊥BB'．【点评】主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，四边形内角和定理，解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质．考点卡片1．规律型：点的坐标规律型：点的坐标．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从4．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．5．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．7．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．8．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．9．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．10．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．11．轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．12．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．13．旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（214．关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．15．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．16．作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等。
【3套】人教版九年级数学上册第23章旋转单元练习卷含答案
人教版九年级数学上册第23章旋转单元练习卷含答案一、单选题1.已知点与点关于坐标原点对称，则实数a、b的值是A. ，B. ，C. ，D. ，2.观察下图，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（）A. B. C. D.3.将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（）A. B. C. D.4.如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接EF，则△AEF的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A. 106°B. 146°C. 148°D. 156°6.如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是( )A. B. C. D.7.如图的四个图形中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 48.已知点P1（a，3）与P2（﹣5，﹣3）关于原点对称，则a的值为（）A. 5B. 3C. 4D. -5二、填空题9.在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，这称为一次变换，已知点A的坐标为（﹣1，0），则点A经过连续2016次这样的变换得到的点A2016的坐标是________．10.我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．（1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．________②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．________（2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是________ ．（写出所有正确结论的序号）①正三角形②正方形③正六边形④正八边形11.在下列图案中可以用平移得到的是________（填代号）．12.如图是奥迪汽车的车牌标志，右边的三个圆环可以看作是左边的圆环经过________得到的．13.将一个自然数旋转180°后，可以发现一个有趣的现象，有的自然数旋转后还是自然数．例如，808，旋转180°后仍是808．又如169旋转180°后是691．而有的旋转180°后就不是自然数了，如37．试写一个五位数，使旋转180°后仍等于本身的五位数________．（数字不得完全相同）14.如图，在平面直角坐标系中，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是________.15.若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2，则点A关于原点对称的点的坐标为________ ．三、解答题16.如图，在直角坐标系中，已知△ABC各顶点坐标分别为A（0，1），B（3，﹣1），C（2，2），试作出与△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标．17.找出图中的旋转中心，说出旋转多少度能与原图形重合？并说出它是否是中心对称图形．18.如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）．（1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）四、作图题19.如图，阴影部分是由4个小正方形组成的一个直角图形，请用三种方法分别在下图方格内添涂黑一个小正方形，使涂黑后整个图形的阴影部分成为轴对称图，并画出其对称轴．答案一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】点与点关于坐标原点对称，实数a、b的值是：，．故答案为：D【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，就可求出a、b的值。
2023-2024学年九年级上学期数学第23章《旋转》测试卷及答案解析
第1页（共18页）2023-2024学年九年级上学期数学第23章《旋转》测试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列图案中，属于中心对称图形有()
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个2．观察如图所示的图形，下列对该图形描述正确的是()A ．它是轴对称图形，不是中心对称图形
B ．它是中心对称图形，不是轴对称图形
C ．它是轴对称图形，又是中心对称图形
D ．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
3．若P 与(1,3)A 关于原点对称，则点P 落在(
)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限
4．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，
将其绕点A 逆时针旋转得到ADE ∆，若60B ∠=︒，则EAD ∠的度数为()
A ．20︒
B ．30︒
C ．40︒
D ．50︒
5．如图，在平面直角坐标系中，若ABC ∆与△111A B C 关于E 点成中心对称，点A ，B ，C 的对应点分别为1A ，1B ，1C ，则对称中心E 点的坐标是(
)。
九年级数学上册第二十三章旋转23.1图形的旋转同步测试含解析新版新人教版(含答案)
九年级数学上册第二十三章旋转：23.1 图形的旋转一、选择题（共18小题）1．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°2．如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E 的位置，则∠1+∠2=（）A．90° B．100°C．110°D．120°3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（）A．15° B．60° C．45° D．75°4．如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，再将线段AB向下平移3个单位得到线段A2B2，线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形面积为（）A．B．15 C．3 D．5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（）A．21° B．45° C．42° D．24°6．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连结AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，点E落在DC上的点F处，AF的延长线交BC延长线于点G．若AB=3，AE=，则CG的长是（）A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．27．如图，△ABC中，∠C=67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．56° B．50° C．46° D．40°8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55° B．60° C．65° D．80°9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B．C． D．π10．如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA（）A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB．6πC．3πD．1.5π12．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70° B．65° C．60° D．55°13．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是914．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C．D．115．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10° B．20° C．7.5°D．15°16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30° B．60° C．90° D．150°17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2 B．π C．π D．π﹣218．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B． +1 C．D．﹣1二、填空题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是．20．如图，在△ABC中，∠B=50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，使得AB′⊥BC，连接CC′，则∠AC′C=度．21．如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为．22．如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是．23．如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为．24．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE= ．三、解答题（共6小题）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．26．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．27．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．28．已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．29．在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．小明做了如下操作：将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF是平行四边形．30．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．2016年人教版九年级数学上册同步测试：23.1 图形的旋转参考答案与试题解析一、选择题（共18小题）1．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【考点】旋转的性质；平移的性质．【分析】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C 是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【解答】解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6﹣4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．故选：B．【点评】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．2．如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E 的位置，则∠1+∠2=（）A．90° B．100°C．110°D．120°【考点】旋转的性质．【分析】由旋转的性质可知AC=EC，BC=DC，∠BCD=∠ACE=40°，在△BCD中，由内角和定理求∠1，根据外角定理可求∠2．【解答】解：在△BCD中，∠BCD=∠ACE=40°，BC=CD，∴△BCD为等腰三角形，∴∠1=（180°﹣40°）=70°，∵∠BEC为△ACE的外角，∴∠2+∠DEC=∠ACE+∠A，而∠DEC与∠A为对应角，∴∠2=∠ACE=40°，∴∠1+∠2=70°+40°=110°，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质的运用．旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心的连线相等，且夹角为旋转角．3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（）A．15° B．60° C．45° D．75°【考点】旋转的性质．【分析】根据∠AOD=∠DOB﹣∠AOB求解．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，∴∠BOD=60°，∵∠AOB=15°，∴∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=60°﹣15°=45°．故选：C．【点评】本题考查了图形的旋转的性质，解题的关键是一个旋转图形的对应点的连线所夹的角相等，都等于旋转角．4．如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，再将线段AB向下平移3个单位得到线段A2B2，线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形面积为（）A．B．15 C．3 D．【考点】旋转的性质；平移的性质．【专题】网格型．【分析】首先作出线段A1B1和A2B2，确定线段AB，A1B1，A2B2的中点，作出三角形，利用三角形的面积公式求解．【解答】解：三角形的面积是：×3×5=．故选A．【点评】本题考查了图形的旋转以及平移作图，以及三角形的面积公式，正确作出线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形是关键．5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（）A．21° B．45° C．42° D．24°【考点】旋转的性质．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质求出∠BOB′的度数，结合∠AOB=21°，即可解决问题．【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠BOB′=45°，∵∠AOB=21°，∴∠AOB′=45°﹣21°=24°，故选D．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是灵活运用、解题的关键．6．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连结AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，点E落在DC上的点F处，AF的延长线交BC延长线于点G．若AB=3，AE=，则CG的长是（）A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2【考点】旋转的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】先根据正方形的性质得AB=AD=CD=3，再根据旋转的性质得AF=AE=，则可根据勾股定理计算出DF=2，所以CF=CD﹣DF=1，然后证明△CGF∽△DAF，再利用相似比可计算出CG．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=3，∵△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，∴AF=AE=，在Rt△ADF中，∵AD=3，AF=，∴DF==2，∴CF=CD﹣DF=3﹣2=1，∵AD∥CG，∴△CGF∽△DAF，∴=，即=，∴CGF=1.5．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．7．如图，△ABC中，∠C=67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．56° B．50° C．46° D．40°【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用旋转的性质以及等腰三角形的性质得出∠AC′C=∠AC′B′=67°，进而得出∠B′C′B 的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，∴AC′=AC，∴∠C=∠AC′C=67°，∴∠AC′B=180°﹣67°=113°，∵∠AC′C=∠AC′B′=67°，∴∠B′C′B=∠AC′B﹣∠AC′B′=113°﹣67°=46°．故选：C．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠AC′C=∠AC′B′=67°是解题关键．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55° B．60° C．65° D．80°【考点】旋转的性质．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB1是等边三角形，即可得出旋转角度．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△ABB1是等边三角形是解题关键．9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B．C． D．π【考点】旋转的性质；弧长的计算．【专题】几何图形问题．【分析】利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出∠BCB′=60°，再利用弧长公式求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，∴cos30°=，∴BC=ABcos30°=2×=，∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，∴∠BCB′=60°，∴点B转过的路径长为： =π．故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关键．10．如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA（）A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】因为四边形ABCD为正方形，所以∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，则△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，据此可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，∴△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、旋转方向、旋转角．11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB．6πC．3πD．1.5π【考点】旋转的性质；弧长的计算．【专题】计算题．【分析】根据弧长公式列式计算即可得解．【解答】解：的长==1.5π．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．12．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．13．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是9【考点】旋转的性质；平行线的判定；等边三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】首先由旋转的性质可知∠EBD=∠ABC=∠C=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，∴AE∥BC，故选项A正确；∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，∵∠EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，故选项C正确；∴DE=BD=4，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，∴结论错误的是B，故选：B．【点评】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．14．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C．D．1【考点】旋转的性质．【分析】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC﹣BD计算即可得解．【解答】解：∵∠B=60°，∴∠C=90°﹣60°=30°，∵AC=，∴AB=AC•tan30°=×=1，∴BC=2AB=2，由旋转的性质得，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．15．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10° B．20° C．7.5°D．15°【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．【解答】解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，∴∠BCE1=15°，∴∠BCD1=60°﹣15°=45°，∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△D1CB中，，∴△ABC≌△D1CB（SAS），∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1=45°﹣30°=15°．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30° B．60° C．90° D．150°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△A′AC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2 B．π C．π D．π﹣2【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S阴影=S扇+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．形ABA′【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2OA=2OB=AC=2，∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，∴BA′=AB，∴BA′=2OB，∴∠OA′B=30°，∴∠A′BA=60°，即旋转角为60°，S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′，=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，=﹣，=π﹣π，=π．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．18．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B． +1 C．D．﹣1【考点】旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．【解答】解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC， =，∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG=∠DCF．∴A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO===，OM=AC=1，则BM=BO﹣OM=﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．二、填空题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是．【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．【专题】计算题．【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2AC=2，BC=AC=，根据互余得到∠CAB=60°，再根据旋转的性质得到AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC=，∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，则∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，接着在Rt△AC′D中，利用∠C′AD=30°可得C′D=AC′=，所以B′D=B′C′﹣C′D=，然后根据三角形面积公式、扇形面积公式和图中阴影部分的面积=S扇形BAB′﹣S△ADB′进行计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，AB=2AC=2，BC=AC=，∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，∴AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC=，∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，∴∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，在Rt△AC′D中，∵∠C′AD=30°，∴C′D=AC′=，∴B′D=B′C′﹣C′D=﹣=，∴图中阴影部分的面积=S扇形BAB′﹣S△ADB′=﹣××1=．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了扇形面积的计算和含30度的直角三角形三边的关系．20．如图，在△ABC中，∠B=50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，使得AB′⊥BC，连接CC′，则∠AC′C=70 度．【考点】旋转的性质．【分析】首先证明∠CAC′=40°然后证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠AC′C=70°即可解决问题．【解答】解：∵∠B=50°，AB′⊥BC，∴∠B′AB=40°，∴旋转角为40°，∴∠CAC′=40°，由题意得：AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C；∴∠AC′C=70°，故答案为70．【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．21．如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2﹣．【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．【解答】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，DE==2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D 的长是解题关键．22．如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是2π．【考点】旋转的性质．【分析】首先计算出圆的面积，根据图示可得阴影部分面积为半圆的面积，进而可得答案．【解答】解：∵AB=4，∴BO=2，∴圆的面积为：π×22=4π，∴阴影部分的面积是：×4π=2π，故答案为：2π．【点评】此题主要考查了旋转的性质，关键是掌握圆的面积公式．23．如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为 6 ．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得出△CAD∽△B′A′C，再利用相似三角形的性质得出AD的长，进而得出BD的长．【解答】解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，∴AC=CA′=4，AB=B′A′=2，∠A=∠CA′B′，∵CB′∥AB，∴∠B′CA′=∠D，∴△CAD∽△B′A′C，∴=，∴=，解得AD=8，∴BD=AD﹣AB=8﹣2=6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△CAD∽△B′A′C 是解题关键．24．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE= 28 ．【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用旋转的性质得出∠B=∠BDE=45°，BD=4，进而由S四边形ACDE=S△ACB﹣S△BDE求出即可．【解答】解：由题意可得：∠B=∠BDE=45°，BD=4，则∠DEB=90°，∴BE=DE=2，∴S△BDE=×2×2=4，∵S△ACB=×AC×BC=32，∴S四边形ACDE=S△ACB﹣S△BDE=28．故答案为：28．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出S△BDE是解题关键．三、解答题（共6小题）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；（2）四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．26．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【考点】旋转的性质；正方形的判定；平移的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG的位置关系是垂直；（2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形．【解答】（1）解：FG⊥ED．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，∵CG∥EB，∴∠BCG=∠CBE=90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB=BE，∴四边形CBEG是正方形．【点评】此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．27．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得=为定值．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°；（2）∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，∴∠PDM=∠CDN，∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD，在△DPM和△DCN中，，∴△DPM∽△DCN，∴=，∵=tan∠ACD=tan30°=，∴的值不随着α的变化而变化，是定值．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．28．已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．。
人教版九年级数学上册 第23章 练习题(含答案)
人教版九年级数学上册23.1图形的旋转一．选择题（共6小题）1．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（）A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD2．香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（）和原图案重合．A．72°B．60°C．36°D．18°3．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（）A．10°B．30°C．40°D．70°4．如图，△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是（）A．点A B．点B C．点O D．无法确定5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转（）度．A．60B．90C．120D．150二．填空题（共6小题）7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得△ADE，若∠BAC＝20°，则∠BAE的度数是．8．如图，△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°得到△ADE，则∠AED的度数为°．9．如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转度，会和原图案重合．10．时钟的时针不停地旋转，从上午6时到上午10时，时针旋转的旋转角是度．11．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，连接BB'．若AC＝1，AB＝3，则BC′＝．12．将一副三角板按图所示的方式叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，则α与β之间的数量关系是．三．解答题（共3小题）13．如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．（1）指出旋转中心；（2）若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数；（3）若AB＝5，CD＝3，则AE的长是多少？为什么？14．如图，P是等边三角形ABC内一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10，若将△P AC绕点A 逆时针旋转后，得到△P′AB．求：（1）PP′的长度；（2）∠APB的度数．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．求证：△BCD≌△FCE．参考答案一．选择题（共6小题）1．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（）A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD【解答】解：∵△ABC绕点A旋转至△ADE，∴旋转角为∠BAD或∠CAE，故选：A．2．香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（）和原图案重合．A．72°B．60°C．36°D．18°【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5＝72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°，故选：A．3．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（）A．10°B．30°C．40°D．70°【解答】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝70°，∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，∴旋转角为∠AOC＝70°，故选：D．4．如图，△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是（）A．点A B．点B C．点O D．无法确定【解答】解：由题意得△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是点O．故选：C．5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：如图，∵点A（﹣2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，∴A′的坐标是（2，﹣3），即点A′在第四象限，故选：D．6．如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转（）度．A．60B．90C．120D．150【解答】解：根据图形可得出：这是一个由基本图形绕着中心连续旋转3次，每次旋转120度角形成的图案．故选：C．二．填空题（共6小题）7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得△ADE，若∠BAC＝20°，则∠BAE的度数是30°．【解答】解：由题意可得，∠CAE＝50°，∵∠BAC＝20°，∴∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．8．如图，△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°得到△ADE，则∠AED的度数为30°．【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED＝30°，故答案为：30°．9．如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转60度，会和原图案重合．【解答】解：∵360°÷6＝60°，∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．故答案为：60．10．时钟的时针不停地旋转，从上午6时到上午10时，时针旋转的旋转角是120度．【解答】解：∵时针从上午的6时到10时共旋转了4个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角＝30°×4＝120°．故答案为：120．11．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，连接BB'．若AC＝1，AB＝3，则BC′＝2．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，∴AC′＝AC＝1，∴BC′＝AB﹣AC′＝3﹣1＝2．故答案为2．12．将一副三角板按图所示的方式叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，则α与β之间的数量关系是α+β＝180°．【解答】解：∵使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，∴∠BOC＝∠AOD，∵∠BOC+∠AOC＝90°，∴∠AOD+∠AOC＝90°，∵α+β＝∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠BOC+∠AOC+∠AOD＝180°，∴α+β＝180°，故答案为：α+β＝180°．三．解答题（共3小题）13．如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．（1）指出旋转中心；（2）若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数；（3）若AB＝5，CD＝3，则AE的长是多少？为什么？【解答】解：（1）旋转中心为点A；（2）∵∠B＝21°，∠ACB＝26°，∴∠BAC＝180°﹣21°﹣26°＝133°，∴旋转的度数为133°；（3）由旋转性质知：AE＝AC，AD＝AB，∴AE＝AB﹣CD＝2．14．如图，P是等边三角形ABC内一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10，若将△P AC绕点A 逆时针旋转后，得到△P′AB．求：（1）PP′的长度；（2）∠APB的度数．【解答】解：（1）∵△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴∠P AP′＝60°，P′A＝P A＝6，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝P A＝6；（2）∵△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴P′B＝PC＝10，∵△APP′是等边三角形，∴∠APP′＝60°，∵PB2+PP′2＝82+62＝100，P′B2＝102＝100，∴PB2+PP′2＝P′B2，∴△P′PB是直角三角形，∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．求证：△BCD≌△FCE．【解答】证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．人教版九年级数学上册23.2.1中心对称一．选择题（共6小题）1．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′2．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组3．如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，ED是△ABC的中位线，E′D′是△A′B′C′的中位线，已知BC＝4，则E′D′＝（）A．2B．3C．4D．1.54．如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（）A．点C B．点D C．线段BC的中点D．线段FC的中点5．已知下列命题，其中正确的个数是（）（1）关于中心对称的两个图形一定不全等；（2）关于中心对称的两个图形是全等形；（3）两个全等的图形一定关于中心对称．A．0个B．1个C．2个D．3个6．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（）A．AO＝BO B．BO＝EOC．点A关于点O的对称点是点D D．点D在BO的延长线上二．填空题（共6小题）7．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过，并且被平分．8．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为．9．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，则线段AB与DE的大小关系是．10．如图，△ABC绕点A旋转180°，得到△A′B′C′，A为旋转中心，则△ABC与△A′B′C′关于点中心对称；若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长为．11．与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是．12．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A 与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它们的对应点N的坐标是．三．解答题（共3小题）13．如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．14．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．15．如图，矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称．求证：四边形ACA'C'是菱形．参考答案一．选择题（共6小题）1．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′【解答】解：观察图形可知，A、点A与点A′是对称点，故本选项正确；B、BO＝B′O，故本选项正确；C、AB∥A′B′，故本选项正确；D、∠ACB＝∠A′C′B′，故本选项错误．故选：D．2．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．故选：C．3．如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，ED是△ABC的中位线，E′D′是△A′B′C′的中位线，已知BC＝4，则E′D′＝（）A．2B．3C．4D．1.5【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′成中心对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴B′C′＝BC＝4，∵E′D′是△A′B′C′的中位线，∴E′D′＝B′C′＝×4＝2．故选：A．4．如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（）A．点C B．点DC．线段BC的中点D．线段FC的中点【解答】解：∵此图形是中心对称图形，∴对称中心是线段FC的中点．故选：D．5．已知下列命题，其中正确的个数是（）（1）关于中心对称的两个图形一定不全等；（2）关于中心对称的两个图形是全等形；（3）两个全等的图形一定关于中心对称．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：关于中心对称的两个图形一定全等，两个全等的图形不一定关于中心对称．故只有（2）说法正确，故选：B．6．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（）A．AO＝BOB．BO＝EOC．点A关于点O的对称点是点DD．点D在BO的延长线上【解答】解：A、AO＝OE，错误；B、BO＝DO，错误；C、点A关于点O的对称点是点E，错误；D、点D在BO的延长线上，正确；故选：D．二．填空题（共6小题）7．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．【解答】解：根据中心对称的性质，得对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．8．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为4．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，根据中心对称的性质得到BB′＝2AB＝4．故答案为：4．9．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，则线段AB与DE的大小关系是AB＝DE．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴AB＝DE故答案为：AB＝DE．10．如图，△ABC绕点A旋转180°，得到△A′B′C′，A为旋转中心，则△ABC与△A′B′C′关于点A中心对称；若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长为．【解答】解：∵如图，△ABC绕点A旋转180°，得到△A′B′C′，A为旋转中心，∴△ABC与△A′B′C′关于点A中心对称；∵在直角△ABC中，∠B＝30°，BC＝1，∴AB＝＝＝∴BB′＝2AB＝．故答案是：A；．11．与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269．【解答】答：5269．12．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A 与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它们的对应点N的坐标是（﹣x，﹣y）．【解答】解：由图可知两三角形关于点O成中心对称，关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数，故点N的坐标是（﹣x，﹣y）．三．解答题（共3小题）13．如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．【解答】解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，则点O即为对称中点．14．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．【解答】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8；（3）∵在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜8，∴1＜AD＜4．15．如图，矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称．求证：四边形ACA'C'是菱形．【解答】解：∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′关于点D成中心对称，∴∠ADC＝90°，CD＝CD′，DA＝DA′，∴四边形ACA'C'是平行四边形，AA′⊥CC′，∴四边形ACA'C'是菱形．人教版九年级数学上册23.2.2中心对称图形一．选择题（共6小题）1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列所述图形中，仅是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．菱形4．下列图形中（不考虑颜色），不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A1B1C1是中心对称图形．则对称中心的坐标是（）A．（1，1）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（1，﹣2）二．填空题（共6小题）7．在平面内将一个图形绕某一定点旋转度，图形的这种变化叫做中心对称．8．下列4种图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有个．9．下列图形中，其中是中心对称图形有个．①圆；②平行四边形；③长方形；④等腰三角形．10．如图，△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，已知AO＝4cm，那么AA1＝cm．11．图甲所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙，则旋转的牌是．12．如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在处（填写区域对应的序号）．三．解答题（共3小题）13．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．14．下列这些是电子屏上显示的数字．（1）仔细观察后回答下列问题：①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是；②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是；③既是轴对称又是中心对称图形的数字是；④能成中心对称的两个数字是；⑤能成轴对称的两个数字是．（2）小丽站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是．15．（1）指出下列旋转对称图形的最小旋转角，并在图中标明它的旋转中心O．（2）在上述几个图形中有没有中心对称图形？具体指明是哪几个？解：图形A的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形B的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形C的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形D的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形E的最小旋转角是度，它中心对称图形．参考答案一．选择题（共6小题）1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；C、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．3．下列所述图形中，仅是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．菱形【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；C、矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；D、菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确．故选：B．4．下列图形中（不考虑颜色），不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．5．有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：C．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A1B1C1是中心对称图形．则对称中心的坐标是（）A．（1，1）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（1，﹣2）【解答】解：对称中心的坐标是（1，﹣1），故选：C．二．填空题（共6小题）7．在平面内将一个图形绕某一定点旋转180度，图形的这种变化叫做中心对称．【解答】解：在平面内将一个图形绕某一定点旋转180度，图形的这种变化叫做中心对称．故答案为180．8．下列4种图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有1个．【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第二个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第三个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形．故答案为：1．9．下列图形中，其中是中心对称图形有3个．①圆；②平行四边形；③长方形；④等腰三角形．【解答】解：①圆；②平行四边形；③长方形是中心对称图形，共3个，故答案为：3．10．如图，△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，已知AO＝4cm，那么AA1＝8cm．【解答】解：∵△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，AO＝4cm，∴OA1＝OA＝4cm，∴AA1＝OA+OA1＝8cm，故答案为：8．11．图甲所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙，则旋转的牌是方块5．【解答】解：方块5旋转180°后得到图乙，故答案为：方块5．12．如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在②处（填写区域对应的序号）．【解答】解：把正方形添加在②处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，故答案为：②．三．解答题（共3小题）13．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．【解答】解：连接BB′，找BB′中点O或者连接BB′、CC′，交点为对称中心O．如图所示：14．下列这些是电子屏上显示的数字．（1）仔细观察后回答下列问题：①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是2和5；②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是3；③既是轴对称又是中心对称图形的数字是1，8，0；④能成中心对称的两个数字是6和9；⑤能成轴对称的两个数字是2和5．（2）小丽站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是21：01．【解答】解：（1）①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是2和5；②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是3；③既是轴对称又是中心对称图形的数字是1，8，0；④能成中心对称的两个数字是6和9；⑤能成轴对称的两个数字是2和5．故答案为：2和5；3；1，8，0；6和9；2和5．（2）从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是21：01，故答案为：21：01．15．（1）指出下列旋转对称图形的最小旋转角，并在图中标明它的旋转中心O．（2）在上述几个图形中有没有中心对称图形？具体指明是哪几个？解：图形A的最小旋转角是60度，它是中心对称图形．图形B的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形C的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形D的最小旋转角是120度，它不是中心对称图形．图形E的最小旋转角是90度，它是中心对称图形．【解答】解：（1）如图所示，（2）图形A的最小旋转角是60度，它是中心对称图形．图形B的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形C的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形D的最小旋转角是120度，它不是中心对称图形．图形E的最小旋转角是90度，它是中心对称图形．故答案为：60，是；72，不是；72，不是；120，不是；90，是．人教版九年级数学上册23.2.3关于原点对称的点的坐标一．选择题（共6小题）1．点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）2．点P（5，﹣3）关于原点对称的点P'的横坐标是（）A．5B．﹣5C．D．﹣3．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（）A．x＝﹣1，y＝2B．x＝﹣1，y＝8C．x＝﹣1，y＝﹣2D．x＝1，y＝8 4．点P（m，2）关于原点O的对称点为P'（﹣3，n），则m、n的值为（）A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝﹣2C．m＝﹣3，n＝2D．m＝﹣3，n＝﹣2 5．已知A点坐标为（﹣4，5），将点A向右平移5个单位，再向下平移8个单位，得到点A1，再作点A1关于原点的对称点A2，则A2坐标为（）A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（9，8）D．（﹣9，﹣8）6．若点P（a+1，a﹣2）关于原点对称的点位于第二象限，则a的取值范围表示正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）7．点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．8．若点A（3，5）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则n的值为．9．如果点P（x，y）关于原点的对称点为（2，3），则x+y＝．10．在平面直角坐标中，点A（2，3）关于x轴的对称点是；关于y轴的对称点是；关于原点的对称点是．11．已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是．12．在平面直角坐标系中，点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点在第象限．三．解答题（共3小题）13．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D 关于原点对称．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．14．如图，已知M（3，4），点N是点M关于原点的对称点，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，求△MNP的面积．15．如图，左右两幅图案关于y轴对称，右图案中的左右眼睛的坐标分别是（2，3），（4，3），嘴角左右端点的坐标分别是（2，1），（4，1）．（1）试确定左图案中的左右眼睛和嘴角左右端点的坐标；（2）从对称的角度来考虑，说一说你是怎样得到的；（3）直接写出右图案中的嘴角左右端点关于原点的对称点的坐标．参考答案一．选择题（共6小题）1．点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）【解答】解：点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）．故选：C．2．点P（5，﹣3）关于原点对称的点P'的横坐标是（）A．5B．﹣5C．D．﹣【解答】解：点P（5，﹣3）关于原点对称的点P'的横坐标是：﹣5．故选：B．3．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（）A．x＝﹣1，y＝2B．x＝﹣1，y＝8C．x＝﹣1，y＝﹣2D．x＝1，y＝8【解答】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，解得：x＝﹣1，y＝2，故选：A．4．点P（m，2）关于原点O的对称点为P'（﹣3，n），则m、n的值为（）A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝﹣2C．m＝﹣3，n＝2D．m＝﹣3，n＝﹣2【解答】解：∵点P（m，2）关于原点O的对称点为P'（﹣3，n），∴m、n的值为：m＝3，n＝﹣2，故选：B．5．已知A点坐标为（﹣4，5），将点A向右平移5个单位，再向下平移8个单位，得到点A1，再作点A1关于原点的对称点A2，则A2坐标为（）A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（9，8）D．（﹣9，﹣8）【解答】解：∵A点坐标为（﹣4，5），将点A向右平移5个单位，再向下平移8个单位，得到点A1，∴点A1的坐标为：（1，﹣3），∵点A1关于原点的对称点A2，∴A2坐标为（﹣1，3）．故选：A．6．若点P（a+1，a﹣2）关于原点对称的点位于第二象限，则a的取值范围表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（a+1，a﹣2）关于原点的对称的点在第二象限，∴点P在第四象限，∴a+1＞0，a﹣2＜0，解得：﹣1＜a＜2，∴a的取值范围表示正确的是C．故选：C．二．填空题（共6小题）7．点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．【解答】解：M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．8．若点A（3，5）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则n的值为﹣5．【解答】解：由点A（3，5）与点B（﹣3，n）关于原点对称，可得n＝﹣5．故答案为：﹣5．9．如果点P（x，y）关于原点的对称点为（2，3），则x+y＝﹣5．【解答】解：∵点P（x，y）关于原点的对称点为（2，3），∴x＝﹣2，y＝﹣3；∴x+y＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案是：﹣5．10．在平面直角坐标中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（2，﹣3）；关于y轴的对称点是（﹣2，3）；关于原点的对称点是（﹣2，﹣3）．【解答】解：在平面直角坐标中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（2，﹣3）；关于y 轴的对称点是（﹣2，3）；关于原点的对称点是（﹣2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）；（﹣2，3）；（﹣2，﹣3）．11．已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是a＜2．【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，，解得：a＜2．∴故答案为：a＜2．12．在平面直角坐标系中，点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点在第二象限．【解答】解：点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点为（﹣m2﹣1，3），∵﹣m2﹣1＜0，∴（﹣m2﹣1，3）在第二象限．故答案为：二．三．解答题（共3小题）13．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D 关于原点对称．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，解得a＝1，b＝﹣1，∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，∴点D（﹣3，1）；（2）如图所示：四边形ADBC的面积为：．14．如图，已知M（3，4），点N是点M关于原点的对称点，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，求△MNP的面积．【解答】解：如图所示：∵点N是点M关于原点的对称点，M（3，4），∴N（﹣3，﹣4），∴过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，∴△MNP的面积：6×8＝24．15．如图，左右两幅图案关于y轴对称，右图案中的左右眼睛的坐标分别是（2，3），（4，3），嘴角左右端点的坐标分别是（2，1），（4，1）．（1）试确定左图案中的左右眼睛和嘴角左右端点的坐标；（2）从对称的角度来考虑，说一说你是怎样得到的；（3）直接写出右图案中的嘴角左右端点关于原点的对称点的坐标．【解答】解：（1）左图案中的左眼睛坐标为（﹣4，3），右眼睛坐标为（﹣2，3），嘴角的左端点坐标为（﹣4，1），右端点坐标为（﹣2，1）．（2）关于y轴对称的两个图形横坐标互为相反数，纵坐标不变；（3）（﹣2，﹣1），（﹣4，﹣1）．。
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十三章 旋转》同步练习题附答案
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十三章旋转》同步练习题附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是( )2.点A(4，3)经过某种图形变化后得到点B(﹣3，4)，这种图形变化可以是( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.绕原点逆时针旋转90°D.绕原点顺时针旋转90°3.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( )A.10°B.20°C.50°D.70°4.将正六边形绕其对称中心旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是 ( )A.120°B.60°C.45°D.30°5.如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，则正确的变换是( )A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°6.如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为( )A.(2，23)B.(－2，4)C.(－2，22)D.(－2，23)7.如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为( )A.4B.5C.6D.78.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣1，3)，以原点O为中心，将点A 顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为( )A.(0，﹣2)B.(1，﹣3)C.(2，0)D.( 3，﹣1)9.如图,在正方形ABCD中,AB＝3,点M在CD的边上,且DM＝1,△AEM与△ADM关于AM 所在的直线对称,将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为( )A.3B.2 3C.13D.1510.一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）A.75cm2B. (25+253) cm2C.(25+8133) cm2 D. (25+16233) cm211.如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O 旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE.给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE =S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.412.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M 是BC的中点,P是A′B′的中点,连接PM.若BC＝2,∠BAC＝30°,则线段PM的最大值是( )A.4B.3C.2D.1二、填空题13.在平面直角坐标系中，点P(2，3)与点P′(2a＋b，a＋2b)关于原点对称，则a－b的值为________.14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，点B落在点D处，连接BD，那么线段BD的长为cm.15.如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为 .16.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是 .17.有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形是图(填①、②、③、④)18.如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α(0°＜α＜120°且α≠60°)，作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD.有下列结论：①AD=CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD面积的最大值为3a2；其中正确的是 .(把你认为正确结论的序号都填上).三、解答题19.如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，连接AF、BE.(1)求证：四边形ABEF是平行四边形；(2)当∠ABC为多少度时，四边形ABEF为矩形？请说明理由.20.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A、B的对应点分别是点D、E，请直接画出旋转后的三角形简图(不要求尺规作图)，并求点A与点D之间的距离.21.已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.(1)如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由.22.如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm，点D从点O出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，当D不与A点重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)点D运动时间为t，当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．23.已知，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点H为CD上任意一点(不与C、D重合)，过点H作CD的垂线，交BD于点E，连接AE.(1)如图1，线段EH、CH、AE之间的数量关系是；(2)如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时.求证：AE＋EH＝CH.24.如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连接CP，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E.(1)如图1，猜想∠QEP＝°(2)如图2、3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；(3)如图3，若∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长.答案1.D2.C.3.B.4.B5.B6.D.7.B8.D9.C10.C11.C12.B13.答案为：1.14.答案为： 5.15.答案为：π.16.答案为：.17.答案为：②.18.答案为：①③④.19.证明：(1)∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC ∴△ABC≌△EFC∴CA＝CE，CB＝CF∴四边形ABEF是平行四边形；(2)解：当∠ABC＝60°时，四边形ABEF为矩形理由是：∵∠ABC＝60°，AB＝AC∴△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC∵CA＝CE，CB＝CF∴AE＝BF∵四边形ABEF是平行四边形∴四边形ABEF是矩形.20.解：如图∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4∴AC＝3∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°，点A，B的对应点分别是点D，E ∴AC＝CD＝3，∠ACD＝90°∴AD＝3 2.21.解：(1)AE＝DB，AE⊥DB证明：∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC在Rt△BCD和Rt△ACE中∴Rt△BCD≌Rt△ACE∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC∵∠BCD＝90°∴∠DHE＝90°∴AE⊥DB；(2)DE＝AF，DE⊥AF证明：设DE与AF交于N，由题意得，BE＝AD∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC∴∠EBD＝∠ADF在△EBD和△ADF中∴△EBD≌△ADF∴DE＝AF，∠E＝∠FAD∵∠E＝45°，∠EDC＝45°∴∠FAD＝45°∴∠AND＝90°，即DE⊥AF.22.解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE ∴∠DCE＝60°，DC＝EC∴△CDE是等边三角形；(2)存在，当6＜t＜10时由旋转的性质得，BE＝AD∴C＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE△DBE由(1)知，△CDE是等边三角形∴DE＝CD∴C＝CD＋4△DBE由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小此时，CD＝2 3 cm∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝23＋4(cm)；(3)存在．①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t<6时由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE<60°∴∠BED＝90°由(1)可知，△CDE是等边三角形∴∠DEC＝60°∴∠CEB＝30°.∵∠CEB＝∠CDA∴∠CDA＝30°.∵∠CAB＝60°∴∠ACD＝∠ADC＝30°∴DA＝CA＝4∴OD＝OA－DA＝6－4＝2∴t＝2÷1＝2 s；③当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°∴此时不存在；④当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°又由(1)知∠CDE＝60°∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC而∠BDC＞0°∴∠BDE＞60°∴∠BDE＝90°，∠BCD＝30°∴BD＝BC＝4∴OD＝14 cm∴t＝14÷1＝14 s综上所述：当t＝2或14 s时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形．23.解：(1)EH2＋CH2＝AE2如图1，过E作EM⊥AD于M∵四边形ABCD是菱形∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE∵EH⊥CD∴∠DME＝∠DHE＝90°在△DME与△DHE中∴△DME≌△DHE∴EM＝EH，DM＝DH∴AM＝CH在Rt△AME中，AE2＝AM2＋EM2∴AE2＝EH2＋CH2；故答案为：EH2＋CH2＝AE2；(2)如图2，∵菱形ABCD，∠ADC＝60°∴∠BDC＝∠BDA＝30°，DA＝DC∵EH⊥CD∴∠DEH＝60°在CH上截取HG，使HG＝EH∵DH⊥EG，∴ED＝DG又∵∠DEG＝60°∴△DEG是等边三角形∴∠EDG＝60°∵∠EDG＝∠ADC＝60°∴∠EDG﹣∠ADG＝∠ADC﹣∠ADG∴∠ADE＝∠CDG在△DAE与△DCG中∴△DAE≌△DCG∴AE＝GC∵CH＝CG＋GH∴CH＝AE＋EH.24.解：(1)∠QEP＝60°；证明：如图1，QE与CP的交点记为M∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°则△CQB和△CPA中∴△CQB≌△CPA(SAS)∴∠CQB＝∠CPA在△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ∴∠QEP＝∠QCP＝60°.故答案为：60；(2)∠QEP＝60°.以∠DAC是锐角为例.证明：如图2∵△ABC是等边三角形∴AC＝BC，∠ACB＝60°∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ ∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°∴∠ACB＋∠BCP＝∠BCP＋∠PCQ即∠ACP＝∠BCQ在△ACP和△BCQ中∴△ACP≌△BCQ(SAS)∴∠APC＝∠Q∵∠BOP＝∠COQ∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；(3)作CH⊥AD于H，如图3与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ∴AP＝BQ∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°∴△ACH为等腰直角三角形∴AH＝CH＝22AC＝3 2在Rt△PHC中，PH＝3CH＝3 6 ∴PA＝PH﹣AH＝36﹣3 2∴BQ＝36﹣3 2.。
人教版九年级数学上册第23章第1节《图形的旋转》课后练习题(附答案)
人教版九年级数学上册第23章第1节《图形的旋转》课后练习题（附答案） 第1课时1.填空：如图，钟表的时针在不停地旋转，从3时到5时，时针的旋转中心是点 ， 旋转角等于 °，点B的对应点是点 .2.填空：如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心是点 ，旋转角是∠ ，点A 的对应点是点 .3.如图，扎西坐在旋转的秋千上，请在图中画出点A ，B ，C 的对应点A ′，B ′，C ′.第2课时（一）基本训练，巩固旧知1.填空：把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O 叫做旋转 ，转动的角叫做旋转 .如果图形上的点P 经过旋转变为点P ′，那么这两个点叫做旋转的 .2.填空： EDA C B(1)如图，△ABC 绕点A 旋转得到△ADE ，旋转中心 是点 ，点B 的对应点是点 ，点C的对应点是点 ，∠ 等于于旋转角；(2)如图，△ABC 绕点O 旋转得到△DEF ，旋转中心是点 ，点A 的对应点是点 ，点B 的对应点是点 ，点C 的对应点是点 ，∠ 等于于旋转角.3.利用“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”，画出下图中的旋转角，并用量角器量出旋转角的度数.4.如图，四边形ABCD 是正方形，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，利用图形旋转的性质，画出旋转后的图形.（先让生做4题，然后师出示旋转后的图形，并利用性质解释点D 转到了点B ，点E 转到了点F ）第3课时（一）基本训练，巩固旧知 O .F E D A B C E D CB A1.填空：图形旋转的性质是：(1)旋转前后的图形 ； (2)对应点到旋转中心的距离 ；(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 .2.如图，以点O 为中心，把点P 顺时针旋转45°.3.如图，以点O 为中心，把线段AB 逆时针旋转90°.4.如图，以点O 为中心，把△ABC 顺时针旋转120°.5.如图，以点B 为中心，把△ABC 旋转180°.B AC B AC .O A B O ..O P .。
人教版初中数学九年级上册同步测试 第23章 旋转(共14页)附答案
人教版初中数学九年级上册同步测试第23章旋转（共14页）附答案人教版初中数学九年级上册同步测试第23章旋转（共14页）附答案第二3章轮换测试1图形的旋转学习要求1．通过实例认识图形的旋转变换，理解旋转的含义；通过探索它的基本特征，理解旋转变换的基本性质．2.能够根据需要制作简单的平面图形和旋转图形课堂学习检测一、填空1．在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换叫做旋转．这个点o叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的．2.如果图形上的点P在旋转后变为点P'，则这两个点称为_____3．如图，△aob旋转到△a′ob′的位置．若∠aoa′=90°，则旋转中心是点______．旋转角是______．点a的对应点是______．线段ab的对应线段是______．∠b的对应角是______．∠bob′=______．3.标题图4．如图，△abc绕着点o旋转到△def的位置，则旋转中心是______．旋转角是______．ao=______，ab=______，∠acb=∠______．4.标题图5．如图，正三角形abc绕其中心o至少旋转______度，可与其自身重合．5.标题图6．一个平行四边形abcd，如果绕其对角线的交点o旋转，至少要旋转______度，才可与其自身重合．7.时钟的移动可视为一种旋转现象。
当分针以匀速旋转时，其旋转中心是时钟旋转轴的轴，该时钟在45分钟后旋转8．旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______．二、多项选择题9．下图中，不是旋转对称图形的是()．10.下面有四条陈述，其中正确陈述的数量为（）①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；② 当图形旋转时，图形上的每个点围绕旋转中心旋转相同的角度；③ 当图形旋转时，对应点与旋转中心之间的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化a．1个b．2个c．3个d．4个11.如图所示，围绕O点顺时针旋转钻石aboc，获得钻石dfoe，非旋转角度为()．答。
九年级数学上册第二十三章《旋转》同步练习(共5套新人教版)
九年级数学上册第二十三章《旋转》同步练习（共5套新人教版）第二十三章旋转 23.1 图形的旋转第1课时图形的旋转及性质知识要点基础练知识点1 旋转的相关概念1.下列现象属于旋转的是(C) A.摩托车在急刹车时向前滑动 B.飞机起飞后冲向空中的过程 C.幸运大转盘转动的过程 D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车2.在下面四幅图案中,可通过左边图案逆时针旋转90°得到的是(D)3.如图,△ABC是等腰直角三角形,D是AB上一点,△CBD经旋转后到达△CAE的位置,则旋转中心是点C ;旋转角度是90°;点B的对应点是点A ;点D的对应点是点E ;线段CB的对应线段是CA ;∠B的对应角是∠CAE. 知识点2 旋转的性质4.下列说法正确的是(B) A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小 B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置,不改变图形的形状和大小 C.图形可以向某方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到5.如图,在△ABC中,∠A=75°,∠B=50°,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,点A的对应点A'落在AB边上,则∠BCA'的度数为(B) A.20° B.25° C.30° D.35°6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=,△ABF是△ADE的旋转图形. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转了多少度? (3)AF的长度是多少? (4)如果连接EF,那么△AEF是怎样的三角形? 解:(1)旋转中心是A点. (2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的,∴B是D的对应点,∴∠DAB=90°就是旋转角. (3)∵AD=1,DE=,∴AE=. ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点, ∴AF=. (4)∵∠EAF=90°(与旋转角相等)且AF=AE, ∴△EAF是等腰直角三角形. 综合能力提升练7.如图,将△ABC绕点C顺时针方向旋转30°,得△A'B'C,若AC⊥A'B',则∠A等于(C) A.30° B.40° C.60° D.50° 8.如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'的位置,此时AC'的中点恰好与D点重合,AB'交CD 于点E.若AB=6,则△AE C的面积为(D) A.2 B.1.5 C.3 D.4 9.如图,△ABC是边长为10的等边三角形,D是BC的中点,E是直线AD上的一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF.则在点E的运动过程中,DF的最小值是 2.5 . 10.如图,已知A,B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,NB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M,N两点重合成一点C,构成△ABC,若△ABC为直角三角形,则AB= . 11.(毕节中考)如图,已知在△ABC 中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE 交于点F. (1)求证:△AEC≌△ADB; (2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长. 解:(1)由旋转的性质得AB=AD,AE=AC,∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD, 又∵AB=AC,AD=AE,∴△AEC≌△ADB(SAS).(2)BF=BD-DF=2-2. 12.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE. (2)当直线MN绕点C 旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE. (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明. 解:(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°, 又AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE. 在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB,∴AD=CE,DC=BE,∴DE=DC+CE=BE+AD. (2)在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB,∴AD=CE,DC=EB,∴DE=CE-CD=AD-BE. (3)DE=BE-AD.易证得△ADC≌△CEB,∴AD=CE,DC=EB, ∴DE=CD-CE=BE-AD. 拓展探究突破练 13.如图,在正方形ABCD和正方形DEFG中,点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕点D顺时针转60°,得到正方形DE'F'G',此时点G'在AC上,连接CE',则CE'+CG'=(A) A. B.+1 C. D. 14.【探索新知】如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线OC是∠AOB 的“巧分线”. (1)一个角的平分线这个角的“巧分线”;(填“是”或“不是”) (2)如图2,若∠MPN=α,且射线PQ是∠MPN的“巧分线”,则∠MPQ=;(用含α的代数式表示出所有可能的结果) 【深入研究】如图2,若∠MPN=60°,且射线PQ绕点P从PN位置开始,以每秒10°的速度逆时针旋转,当PQ与PN成180°时停止旋转,旋转的时间为t秒. (3)当t为何值时,射线PM是∠QPN的“巧分线”; (4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止,请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值. 解:(1)是. (2)α或α或α. (3)依题意有①10t=60+×60,解得t=9;②10t=2×60,解得t=12;③10t=60+2×60,解得t=18.故当t 为9或12或18时,射线PM是∠QPN的“巧分线”. (4)依题意有①10t=(5t+60),解得t=2.4;②10t=(5t+60),解得t=4;③10t=(5t+60),解得t=6.故当t为2.4或4或6时,射线PQ是∠MPN的“巧分线”.。
人教版九年级数学上第23章《旋转》同步练习题含答案
人教版九年级数学上第23章《旋转》同步练习题含答案选择题1．如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（）A．125°B．130°C．135°D．140°2．在直角坐标平面内的机器人同意指令“[a，A]”（a≥0，0°＜A＜1 80°）后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向正前方沿直线行走a个单位长度．若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后位置的坐标为（）A．（-1，3）B．（-1，3-）C．（3-，1）-，-1）D．（33．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）4．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N 的坐标分不是（）A.M（1，-3），N（-1，-3）B．M（-1，-3），N（-1，3）C.M（-1，-3），N（1，-3）D．M（-1，3），N（1，-3）5．下列四个圆形图案中，分不以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．6．下列图形是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 7．在平面直角坐标系中，点A （-2，1）与点B 关于原点对称，则点B的坐标为（ ） A ．（-2，1） B ．（2，-1） C ．（2，1） D ．（-2，-1）8．如图，观看图形，找出规律，确定第四个图形是（ ） D C B A (4)(3)(2)(1)填空题9．如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O 旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A 在丙位置中的对应点A ′的坐标为 ．10．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从4这点开始跳，则经2015次跳后它停在数 对应的点上．11．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°得到矩形A ′B ′C ′D ′，则点B 通过的路径与BA ，AC ′，C ′B ′所围成封闭图形的面积是 （结果保留π）．12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt △AB C 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 （结果保留π）．13．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB=30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．14．如图，等腰直角△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点O 分斜边AB 为BO ：OA=1：3，将△BOC 绕C 点顺时针方向旋转到△AQC 的位置，则∠AQC= ．15．（2015湘潭）如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，若线段AB=3，则BE= ．16．如图，已知钝角△ABC ，∠A=35°，OC 为边AB 上的中线，将△AOC 绕着点O 顺时针旋转，点C 落在BC 边上的点'C 处，点A 落在点'A 处,连结'BA ，如果点A 、C 、'A 在同一直线上，那么∠''C BA 的度数为．解答题17．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．（1）求证：AM=AN ；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF 是什么样的专门四边形？并讲明理由．O ABC18．如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分不为A （-2，-1），B （-3，-3），C （-1，-3）,（1）、画出△ABC 向右平移三个单位的对应图形△111C B A ,并写出1A 的坐标；（2）、画出△ABC 关于原点O 对称的△222C B A ，并写出2A 的坐标；x yO B A C如图，已知△ABC19．AC 的长等于20．若将△ABC 向右平移2个单位得到△A'B'C'，则A 点的对应点A 的坐标是21．写出点A 、B 的坐标：A （ ， ）、B （ ， ）.22．△ABC 的面积为______________平方单位．23．将△ABC 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A ＇B ＇C ＇，在右图中作出平移后的图形，并写出A ＇、B ＇、C ＇的坐标.参考答案1．C.2．C ．3．B ．4．C ．5．A6．B7．B ．8．C9．（3，﹣1）．10．2．11．2512π+．12．．13．70．14．105°．15．3．16．20°17．（1）证明见解析；（2）平行四边形ABPF 是菱形．理由见解析．18．（1）作图见解析；（2）作图见解析.19．1020．(1，2)21．()()341,2， B A - 22．523．()()()3,14,60,4-'''C B A 。
人教版 九年级数学上册 第23章 旋转 同步训练(含答案)
人教版九年级数学第23章旋转同步训练一、选择题1. 如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变换得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是()A．①④B．②③C．②④D．③④2. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)3. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，OB＝1 cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是()A．4 cm B．3 cmC．2 3 cm D．(4－3)cm4. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB 边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是()A．(－1，2) B．(1，4)C．(3，2) D．(－1，0)5. 在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是()A．2 B．3 C．4 D．56. 若点P(－a，a－3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则a满足() A．a＞3 B．0＜a≤3C．a＜0 D．a＜0或a＞37. 如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.P是半圆AC的中点，连接BP交AC于点D.若半圆所在圆的圆心为O，点D，E关于圆心O对称，则图两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是()A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1＝S2D．不确定二、填空题8. 如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心点O至少经过______次旋转而得到，每一次旋转______度．9. 王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称．如果王老师家距学校2千米，那么他们两家相距________千米．10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是由△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______.11. 开放题翔宇教育集团的标志图案(图①)由“翔宇”拼音首写字母“X，Y”构成．“X”的造型是4只伸向四方的箭头，体现“培育走向世界的现代中国人”的办学宗旨，象征集团培养的学子鸾翔宇内，志在四方；“教”字中红色的“人”字突出集团全力育“人”，增加了图案的美感．(1)图②“中国印·舞动的北京”是北京奥运会会徽，以中国印为主体表现形式，借中国书法之灵感，一个向前奔跑、舞动着迎接胜利的运动人的造型形似现代“________”字的神韵，在挥毫间体现“新奥运”的理念．(2)图③是北京奥运会志愿者标志，仔细观察，请你简要说出其中的一个含义：_____________________________________________________________________ ___.(3)请你在图④中以圆为背景，为母校设计一个校徽，并简述其中所蕴含的两个含义：①______________________________；②______________________________．12. 一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．13. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.14. 分类讨论如图，点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，3)，点D的坐标为(3，－1)．小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_________．教师详解详析三、解答题15. 如图，△ABO与△CDO关于点O中心对称，点E，F在线段AC上，且AF ＝CE.求证：DF＝BE.16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE 交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．17. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD ＝30，DM＝10.(1)在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．人教版九年级数学第23章旋转同步训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] 先将△ABC绕着B′C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B′C′的中点旋转180°，即可得到△A′B′C′；先将△ABC沿着B′C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B′C′的垂直平分线翻折，即可得到△A′B′C′.故选D.2. 【答案】A[解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.3. 【答案】B[解析] ∵旋转前、后的两个图形是全等图形，AB＝4 cm，OB＝1 cm，∴A′B′＝AB＝4 cm，OB′＝OB＝1 cm.在△OB′B中，∵∠B′＝60°，OB′＝OB，∴△OB′B是等边三角形，∴BB′＝OB＝1 cm，∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm)．4. 【答案】C5. 【答案】B[解析] 线段、矩形、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B.6. 【答案】C[解析] 点P(－a，a－3)关于原点对称的点的坐标为(a，3－a)．∵点(a ，3－a )在第二象限内，∴⎩⎨⎧a <0，3－a >0，解得a ＜0.7. 【答案】C[解析] ∵P 是半圆AC 的中点，∴半圆关于直线OP 对称，且点D ，E 关于圆心O 对称，因而S 1，S 2在直径AC 上面的部分面积相等．∵OD ＝OE ，∴CD ＝AE .∵△CDB 的底边CD 与△AEB 的底边AE 相等，高相同，∴它们的面积相等，∴S 1＝S 2.二、填空题8. 【答案】4 729. 【答案】4[解析] ∵王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称，∴王老师、杨老师两家到学校的距离相等． ∵王老师家距学校2千米， ∴他们两家相距4千米． 故答案为4.10. 【答案】将△OCD 绕点C 顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度即可得到△AOB(答案不唯一)[解析] 观察图形可知，将△OCD 绕点C 顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度可得到△AOB(答案不唯一)，注意是顺时针旋转还是逆时针旋转．11. 【答案】(1)京(2)心心相扣的心形，象征志愿者与运动员及奥林匹克大家庭和所有宾客心连着心，用心服务、奉献爱心，为奥林匹克运动增添光彩(答案不唯一，合理即可) (3)略12. 【答案】15°或60° [解析] 分情况讨论：①若DE ⊥BC ，设此时直线AD 与BC 交于点F ，则∠BFA ＝90°－45°＝45°， ∴∠BAD ＝180°－60°－45°＝75°，∴α＝90°－∠BAD ＝15°； ②若AD ⊥BC ，则∠BAD ＝30°，∴α＝90°－∠BAD ＝60°. 故答案为15°或60°.13. 【答案】13 [解析] ∵α＋β＝∠B ，∴∠EAF ＝∠BAC ＋∠B ＝90°，∴△AEF是直角三角形，且AE ＝AB ＝3，AF ＝AC ＝2，∴EF ＝AE 2＋AF 2＝13.14. 【答案】(4，4)或(1，1)[解析] (1)若点A 和点D 、点B 和点C 分别为对应点，如图①，分别作线段AD ，BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P 1(4，4)即为旋转中心；(2)若点A 和点C 、点B 和点D 分别为对应点，如图②，分别作线段AC ，BD 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P 2(1，1)即为旋转中心．综上所述，旋转中心的坐标是(4，4)或(1，1)．三、解答题15. 【答案】证明：∵△ABO 与△CDO 关于点O 中心对称， ∴BO ＝DO ，AO ＝CO.∵AF ＝CE ，∴AO －AF ＝CO －CE ， 即FO ＝EO.在△FOD 和△EOB 中，⎩⎨⎧FO ＝EO ，∠FOD ＝∠EOB ，DO ＝BO ，∴△FOD ≌△EOB(SAS)， ∴DF ＝BE.16. 【答案】解：(1)证明：由题意可知，CD ＝CE ，∠DCE ＝90°. ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 与△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．(2)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°. ∵△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ，∠CBE ＝∠A ＝45°. ∵AD ＝BF ，∴BE ＝BF ， ∴∠BEF ＝12×(180°－45°)＝67.5°.17. 【答案】解：(1)①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，AM ＝AD ＋DM ＝40或AM ＝AD －DM ＝20.②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD 不能为直角． 当∠AMD 为直角时，AM 2＝AD 2－DM 2＝302－102＝800，∵AM>0， ∴AM ＝20 2.当∠ADM ＝90°时，AM 2＝AD 2＋DM 2＝302＋102＝1000，∵AM>0， ∴AM ＝10 10.综上所述，满足条件的AM 的长为20 2或10 10. (2)如图，连接CD 1，由题意得，∠D 1AD 2＝90°，AD 1＝AD 2＝30， ∴∠AD 2D 1＝45°，D 1D 2＝30 2. ∵∠AD 2C ＝135°，∴∠CD 2D 1＝∠AD 2C －∠AD 2D 1＝90°， ∴CD 1＝（30 2）2＋602＝30 6. ∵∠BAC ＝∠D 1AD 2＝90°，∴∠BAC －∠CAD 2＝∠D 1AD 2－∠CAD 2， ∴∠BAD 2＝∠CAD 1.又∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，∴BD2＝CD1＝30 6.。
人教版初中九年级数学上册第二十三章《旋转》经典测试题(含答案解析)
一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．圆D ．五角星2．以原点为中心，将点P （3，4）旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二或第四象限 3．如图所示，把ABC 绕C 点旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若90A DC '∠=︒，则A ∠等于（ ）A ．35︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒4．如图，正方形ABCD 内一点P ，5AB =，2BP =，把ABP △绕点B 顺时针旋转90°得到CBP '，则PP '的长为（ ）A ．22B ．23C ．3D ．32 5．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（ ）A 32B 2-1C ．0．5D 51-6．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 7．若点P(－m ，m －3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m 满足( ) A ．m ＞3 B ．0＜m≤3 C ．m ＜0 D ．m ＜0或m ＞3 8．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．菱形10．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种 11．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．矩形或菱形 12．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 14．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 15．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．如图所示，在直角坐标系中，点()0,6A ，点()3,4P 将AOP 绕点O 顺时针方向旋转，使OA 边落在x 轴上，则PP '=_______________．17．已知点(,2)A m m 在直线3y x 上，则点A 关于原点对称点B 的坐标为______． 18．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E 在CD 边上，1DE =，把ADE 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE '△，连接EE '，则线段EE '的长为______．19．如图，在平面直角坐标系中有一个等边OBA △，其中A 点坐标为()1,0，将OBA △绕顶点A 顺时针旋转120︒，得到11AO B ；将得到的11AO B 绕顶点B 顺时针旋转120︒，得到112B AO ；然后再将得到的112B AO 绕顶点2O 顺时针旋转120︒，得到222O B A …按照此规律，继续旋转下去，则2014A 点的坐标为________．20．如图，点E 在正方形ABCD 的边CB 上，将DCE 绕点D 顺时针旋转90˚到ADF 的位置，连接EF ，过点D 作EF 的垂线，垂足为点H ，于AB 交于点G ，若4AG =，3BG =，则BE 的长为___________．21．如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A 'B 'C '，此时A ′B ′⊥AC 于D ，已知∠A ＝50°，则∠B ′CB 的度数是_____°．22．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的面积为20cm 2，则阴影部分的面积为_____cm 2．23．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．24．如图，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A 1BC 1，则阴影部分的面积为________．25．如图，正方形ABCD 的边长为2，BE 平分∠DBC 交CD 于点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，延长BE 交DF 于G ，则BF 的长为_____．26．若点()3,5B n +与点()4,A m 关于原点O 中心对称，则m n +=______________．三、解答题27．如图，四边形ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE ，如图所示，如果AF=4，AB=7，求：（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求DE 的长度；（3）BE 与DF 的位置关系如何？28．如图1，等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若8AD =，20AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．29．如图，在一个1010⨯的正方形网格中有一个,ABC ABC ∆∆的顶点都在格点上．（1）在网格中画出ABC ∆向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的111A B C ∆． （2）在网格中画出ABC ∆关于点P 成中心对称得到的222A B C ∆．（3）若可将111A B C ∆绕点О旋转得到222A B C ∆，请在正方形网格中标出点O ，连接12A A 和12B B ，请直接写出四边形2211A B A B 的面积．30．如图，已知ABC 和A B C ''''''△及点O ．（1）画出ABC 关于点O 对称的A B C '''；（2）若A B C ''''''△与A B C '''关于点O '对称，请确定点O '的位置．。
人教版初中九年级数学上册第二十三章《旋转》习题(含答案解析)
一、选择题1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，OAB 绕点O 逆时针旋转80°到OCD 的位置，已知45AOB ∠=︒，则AOD ∠等于（ ）A ．45°B ．35°C ．25°D ．15°3．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（ ）A ．AE CF =B ．EPF 为等腰直角三角形C ．EP AP =D ．2ABC AEPF S S =四边形4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．如图所示，ABC 中，65C =︒∠，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转后，得到AB C ''∆，且C '在边BC 上，则B C B ''∠的度数是（ ）A ．46°B ．48°C ．50°D ．52°6．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（ ）A ．78B ．1C ．45D ．237．如图，在△ABC 中，以C 为中心，将△ABC 顺时针旋转34°得到△DEC ，边ED ，AC 相交于点F ，若∠A ＝30°，则∠EFC 的度数为（ ）A ．60°B ．64°C ．66°D ．68°8．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．310．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，则点A 在△D′E′B 的（ ）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能11．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是( )A．22B．4 C．23D．不能确定12．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（）A．B．C．D．13．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．14．如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（）A．顺时针B．逆时针C．顺时针或逆时针D．不能确定15．如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤△AOE 与△COF成中心对称.其中正确的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题16．有两个直角三角板，其中45E ∠=︒，30C ∠=︒，按图①的方式叠放，先将ABC 固定，再将AED 绕顶点A 顺时针旋转，使//BC DE （如图②所示），则旋转角BAD ∠的度数为______．17．若点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，则ab ＝_____．18．如图所示，在直角坐标系中，点()0,6A ，点()3,4P 将AOP 绕点O 顺时针方向旋转，使OA 边落在x 轴上，则PP '=_______________．19．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转90︒至ABF 的位置，若2DE =，则FC =________．20．如图，在ABC 中，4AB =， 5.8BC =，60B ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为________．21．在平面直角坐标系中，点()4,6P -与点()4,1Q m -+关于原点对称，那么m =______．22．如图，在等边△ABC 中，AC=10，点O 在AC 上，且AO=4，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋 转60º得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是________．23．如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕30角的顶点B 顺时计旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则BCD ∠的度数为______．24．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B 、C 、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n°后（0＜n ＜180），如果EF ⊥AB ，那么n 的值是_______．25．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.26．如图，在边长为1的正方形网格中，()1,7A ，()5,5B ，()7,5C ，()5,1D .线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.三、解答题27．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点C 的坐标为(2,4) ．（1）以原点O 为旋转中心，画出把ABC 逆时针旋转90°的图形111A B C △； （2）在（1）的条件下，求出经过111A B C 、、三点的抛物线的解析式．28．（1）（操作发现）如图1，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°，得°到△ADE ，连接BD ，则∠ABD=_______度． （2）（类比探究）如图27的等边三角形ABC 内有一点P ，∠APC=90°°，∠BPC=120°，求△APC的面积．29．点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使65BOC ∠=︒，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，求MOC ∠的度数；（2）如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是MOB ∠的角平分线，求旋转角BON ∠的度数，CON ∠的度数；（3）将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图3时，5NOC ∠=︒，求AOM ∠．30．如图，△ABC 中A （2-，3），B （3-，1），C （1-，2）．（1）将△ABC 绕原点O 顺时针旋转180°，在坐标系中画出旋转后的△A 1B 1C 1； （2）写出的△A 1B 1C 1的顶点B 1的坐标 ．。
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九级数学上册第23章《旋转》同步练习
一、选择题
1．正三角形、正方形、等腰直角三角形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．正三角形 B．正方形
C．等腰直角三角形 D．平行四边形
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（）A.33 B.﹣33 C.﹣7 D.7
3．点p（5，-3）关于原点对称的点的坐标是（）
A．（3，-5） B．（-5，-3） C．（-5，3） D．（-3，5）
4．下列四个图案中，属于中心对称图形的是（）
A． B． C． D.
5．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（）
A． B． C． D．
6．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，连接AA′，若∠1=22°，则∠B的度数是（）．
A．67° B．62° C．82° D．72°
7．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
8．下列说法中错误的是（）．
A．成中心对称的两个图形全等
B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分
C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心
D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合
9．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）
A．120° B．90° C．60° D．30°
10．下列图形中，不属于中心对称图形的是（）
A．圆 B．等边三角形 C．平行四边形 D．线段
二、填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为_______．
12．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-1，2），点C的坐标为（-3，0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 cm2.
14．如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标O（0，0）、A（3，4）、B（5，2）．将△OAB绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到△OA1B1，则点A1的坐标是．
15．已知命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形是旋转对称图形．”，写出它的逆命题是，该逆命题是命题（填“真”或“假”）．
16．（2015•牡丹江）如图，△ABO中，AB⊥OB，AB=，OB=1，把△ABO绕点O旋转120°后，得到△A1B1O，则点A1的坐标为．
17．已知Rt△ABC，∠C=90°，AB=13，AC=12，以AC所在直线为轴，将此三角形旋转1周，所得圆锥的侧面积是．
18．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则b a= ．
19．如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′B′C，点A恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′=．
20．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3．5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为．
三、解答题
21．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板
ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°
＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
22．（2015•本溪）如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋
转，旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD ∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是；
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：
BD﹣CD=AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在
线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．
23．已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE
⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE ≌△BCF
（2）求△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问DF与CE′相等吗？请说明理由。
24．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
25．数学活动--求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．
（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；
（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC 于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积。
参考答案
1．B
2．D ．
3．
4．D
5．B ．
6．A ．
7．C ．
8．B ．
9．A ．
10．B
11．2α
12．（1，-3）．
13．
14．（-4，3）．
15．如果一个四边形是旋转对称图形，那么这个四边形是平行四边形，真．
16．（﹣2，0）或（1）．
17．65π．
18．12
． 19．110°．
20．1．5
21．（1）证明略；（2）平行四边形ABPF 是菱形．理由略．
22．（1）∠ACD=∠ABD ，BD=CD+AD ；（2）略；（3）BD+CD=3AD ．
23．（1）证明略；（2）S △BGE =8
3；（3）DF=CE ′，理由略； 24．（1）证明略；（2）当α=150°时，△AOD 是直角三角形．理由略；（3）125°或110°或140°.
25．（1）6．（2）
7516
．。