常微分方程期末考试试卷

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《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16)班级学号姓名得分评卷人一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是． 2．方程04=+''y y 的基本解组是．3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间．6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. x y xy 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．11．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 4d d d d得分评卷人三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．13．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xy sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．《常微分方程》期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．),(∞+-∞2．x x 2cos ,2sin3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 518．解由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 。

常微分方程期末考试题大全(东北师大)

证明题：设在上连续，且,又，求证:对于方程的一切解，均有。

证明由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为，即.由于，则存在,当时，.因而，由,从而有，显然。

应用洛比达法则得。

证明题：线性齐次微分方程组最多有个线性无关的解，其中是定义在区间上的的连续矩阵函数.证要证明方程组最多有个线性无关的解，首先要证明它有个线性无关的解，然后再证明任意个解都线性相关。

由于是定义在区间上的的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件，,方程组存在唯一的解。

分别取初始条件，，．．．，它们对应的解分别为且这个解在时的朗斯基行列式为，则是个线性无关的解。

任取方程组的个解,,这个解都是维向量，于是由线性代数有关理论知,它们线性相关。

这就证明了方程组最多有个线性无关的解。

证明题:如果已知二阶线性非齐次方程对应齐次方程的基本解组为，证明其有一特解是,其中及是区间Ｉ上的连续函数，是的朗斯基行列式。

证已知是对应齐次方程的基本解组,则齐次方程的通解为。

用常数变易法，求原方程的特解。

设是原方程的特解，则满足下列关系，解得，,积分得 .原方程的一个特解为故是原方程的一个特解。

证明题：设是常系数线性齐次方程组……（1)的解,的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组,，.。

，是方程组（1)的线性无关解组.证: 设是常系数线性齐次方程组（1）的解，的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组，，。

，，是方程组（1）的线性无关的解组。

证先证明，，.。

.，都是方程组（1）的解。

由于方程组（1）的解，则有，即其中表示单位矩阵。

由易得。

(2），由(2）,上式变为,.故，，...，都是方程组(1）的解。

再证明向量组，，.。

，线性无关。

因为的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，所以，而当时，.若,，即，，给上式两边关于求阶导数，得，,则必有。

给，两边关于求阶导数，则必有。

同理，可得,。

故向量组，，...，线性无关.综上所述,我们证明了向量组，，。

常微分期末考试试题和答案

《常微分方程》期末考试试卷（1）班级学号姓名成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是。

2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是。

3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果。

5、当时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解。

7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为。

8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程的解。

9、如果),(y x f 在R 上且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。

二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。

11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。

12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。

13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。

(完整版)常微分方程期末考试试卷

常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一．填空题（30分）1．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。

2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果_______ 。

3．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。

4．方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。

5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。

6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。

9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。

二．计算题（60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

11．求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。

12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。

常微分方程期末考试练习题及答案.

y
（ c>0） .
即： t 1
cy ，变量回代得：
x ln
c1 y +1 ( c1
c)
y
类型二：形式： dy f ( a1x b1y c1 )
dx
a 2 x b2 c2
解法： 1. 当 c1=c2=0 时，
y
dy
f ( a1x b1y )
a1 f(
b1 x )
g( y)
dx
a2 x b2 y
y a2 b2 x
dx
分离变量得： dy dx ，两边同时积分，
y
得： y cex ，因而可设原方程的通解为： y c( x)ex ，则 dy dc( x) ex exc( x) ，
dx dx
将之入原方程，得：
dc( x) ex exc(x) c( x)ex sin x ，即： dc( x)
dx
dx
两边积分得： c(x) sin xe xdx ，而
a2 b2
a1x b1y c1 0
解方程组｛ a2x b2y c2 0 ，求交点 ( , ) , 令 x=X+α ， y Y ，则原方程化为： dX ( Y )
dY X
这是齐次方程。
例 5. 求解方程 dy 2x y 1 .
dx x 2 y 1
x1
解：｛ 2x y 1 0 得交点
x 2y 1 0
｛
y
M N ， (x, y) D .
yx
3. 解的形式： u c.
4. 解法： a. 朴素化简法：由 u M ，得 u( x, y) M ( x, y)dx ( y) ，
x
再由 u N ，得 ( y) y4 N (x, y)

常微分方程期末试卷(A卷)

四川民族学院数学系《常微分方程》期末考试卷(A) 评分标准既参考答案
一、空题(5×6=30) 1、
dy f ( x) ( y ) dx
2、
dy P( x ) y Q( x ) y n dx
z= y
1 n
M x, y N x, y M x, y N x, y y x y x x ， y 3、 N M
1 1, 2 5 ，
故通解为 x(t ) c1 e
t
……………..(2 分)
c 2 e 5t
…………..(4 分) ……..(6 分)
2 不是特征根，所以方程有形如 x(t ) Ae 2t
把 x(t ) 代回原方程
4 Ae 2t 12 Ae 2t 5 Ae 2t e 2t
1 x x ， x 1 ，在任何不包含原点的区间 2 x2 t
a t b 上的基解矩阵.
2 、设 t 为方程组 x Ax （ A 为 n n 的常数矩阵）的标准基解矩阵（即 0 E ），证明 :
t 1 0 (t t0 ) ，其中 t0 为某一值.
一、填空题 (5×6=30) 1、形如 2、形如换的方程，称为变量分离方程，这里. f ( x), ( y ) 分别为 x, y 的连续函数. 的方程，称为伯努利方程，这里 P ( x), Q ( x)为x 的连续函数, n 0,1 可化为线性微分方程. 引入变量变
3、方程 M x, y dx N x, y dy 0 它有只含 x 的积分因子的充要条件是________,有只含 y
A
1 21
t
………………..(8 分)

临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案

15、满足初值条件的解称为它的（2.0）
A、阶 B、解 C、通解 D、特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间（2.0）
A、必为(-∞,+∞) B、必为(0,+∞) C、必为(-∞, 0) D、将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、判断题（共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案：正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案：正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案：错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）

(完整版)常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分方程期末考试试题与答案

[解](1) x(t)=exp(a(t-t0)x0+t0texp(a(t-s) f(s)ds.[10分]
(2)首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c exp(at)。
设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt= exp(-as) f(s),
从而得到特解x(t)= exp(at)exp(-as) f(s)ds和通解
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c) f连续且对x可微，(d) f连续且对x连续可微。
(5)在(4)中考虑的初值问题解对初值连续依赖的条件是__c___。
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c)连续且对x是Lipschitz的，(d) f连续且对x可微。
(6)设系统dx/dt=f(x)的初值问题具有存在唯一性且满足f(0)=0。系统关于初值x(0)=x0的解记为x(t,x0)。系统零解的渐近稳定性是指其零解稳定并且__d__。
[解](1)特征方程为2+1=0,=i, -i。通解为x(t)=C1exp(it)+C2exp(-it).
实通解为x(t)=C1cos(t)+C2sin(t).[5分]
(2)考虑算子形式的复系统(D2+1)z=exp(it).从而
z(t)= exp(it){1/( (D+i)2+ 1)}1= exp(it)(1/( (D2+2iD))1
=(x/y) d(xy3)+ 4x2d(xy)
=(x/y) {d(xy3)+ 4xy d(xy) }
=(x/y) d{xy3+ 2(xy)2}，[4分]
从而得到xy3+ 2(xy)2=C。[1分]

(完整版)数学系常微分方程期末试卷A及答案

(A)试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷;2、考试所用时间：120分钟。

3、考试班级：数计学院数 11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.方程x （y 2 1）dx y （x 2 1）dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ）,Y 2（X ）, ,Y n （x ）为基本解组的 ________________ 条件是它们的朗斯基行列式 W （x ） 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）.（A ）上半平面（B ） xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1（）奇解.dx（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个. （A ） n（B ） n -1（ C ） n +1（D ） n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓班试卷份数年月日9、微分方程xlnx y y 的通解（）B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2）.（B ）构成一个n 1维线性空间（D ）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分） “解方程dy e x y12•解方程（x 2y ）dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解（（A ）构成一个线性空间 C ）构成一个n 1维线性空间年月日dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题（每小题10分，本题共20分）1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分，本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x)，q(x)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷____ 审核 _____________、填空题（每小题3分，本题共15分）1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11•解分离变量得e y dy e x dx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ，贝U u x-du ，代入上式，得dx dxdu x 1 u dx分量变量，积分，通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx（2 分）令非齐次方程的特解为y C （x ）x（3 分）（3分）（6分）（2分）（4分）（5分）代入原方程，确定出// \ 1 c （X ）-X再求初等积分得C （x ） ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解：由于卫 e y —，所以原方程是全微分方程.y x取（X 0, y 。

数学系常微分方程期末试卷A及答案

(A)试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷;2、考试所用时间：120分钟。

3、考试班级：数计学院数 11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.方程x （y 2 1）dx y （x 2 1）dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ）,Y 2（X ）, ,Y n （x ）为基本解组的 _______________ 条件是它们的朗斯基行列式 W （x ） 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）.（A ）上半平面（B ） xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1（）奇解.dx（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个. （A ） n（B ） n -1（ C ） n +1（D ） n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓班试卷份数年月日9、微分方程xlnx y y 的通解（）B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2）.（B ）构成一个n 1维线性空间（D ）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分） “解方程dy e x y12•解方程（x 2y ）dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解（（A ）构成一个线性空间 C ）构成一个n 1维线性空间dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题（每小题10分，本题共20分）1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分，本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x)，q(x)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷____ 审核 _____________、填空题（每小题3分，本题共15分）1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11•解分离变量得e y dy e xdx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ，贝Uu x-du ，代入上式，得 dx dxdu x 1 u dx 分量变量，积分，通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx（2 分）令非齐次方程的特解为y C （x ）x（3 分）（3分）（6分）（2分）（4分）（5分）代入原方程，确定出// \ 1 c （X ）-X再求初等积分得C （x ） ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解：由于卫 e y —，所以原方程是全微分方程.y x取（X 0, y 。

《常微分方程》期末考试试题库

《常微分方程》期末考试试题目录《常微分方程》期末考试题（一） (1)《常微分方程》期末考试题（二） (6)《常微分方程》期末考试题（三） (13)《常微分方程》期末考试题（四） (18)《常微分方程》期末考试题（五） (24)《常微分方程》期末考试题（六） (31)《常微分方程》期末考试题库 (36)《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分期末考试题及答案

常微分期末考试题及答案**常微分期末考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 2x \) 的通解是（）A. \( y = x^2 + C \)B. \( y = 2x + C \)C. \( y = 2x^2 + C \)D. \( y = x^2 + 2C \)2. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r = 0 \)D. \( r^2 - 4r = 0 \)3. 微分方程 \( y' = \frac{y}{x} \) 的通解是（）A. \( y = Cx \)B. \( y = Cx^2 \)C. \( y = Cx^{-1} \)D. \( y = Cx^{-2} \)4. 微分方程 \( y' + 2y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = Cxe^{-2x} \)D. \( y = Cxe^{2x} \)5. 微分方程 \( y' = 3y \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{3x} \)B. \( y = Ce^{-3x} \)C. \( y = 3Ce^{3x} \)D. \( y = 3Ce^{-3x} \)6. 微分方程 \( y'' - 5y' + 6y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 - 5r + 6 = 0 \)B. \( r^2 + 5r + 6 = 0 \)C. \( r^2 - 5r - 6 = 0 \)D. \( r^2 + 5r - 6 = 0 \)7. 微分方程 \( y' = 2xy \) 的通解是（）A. \( y = Cxe^{x^2} \)B. \( y = Cxe^{-x^2} \)C. \( y = Cx^2e^{x^2} \)D. \( y = Cx^2e^{-x^2} \)8. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)B. \( y = C_1 \sin x + C_2 \cos x \)C. \( y = C_1 \cosh x + C_2 \sinh x \)D. \( y = C_1 \sinh x + C_2 \cosh x \)9. 微分方程 \( y' = \frac{1}{y} \) 的通解是（）A. \( y = Cx + 1 \)B. \( y = Cx - 1 \)C. \( y = \frac{1}{Cx + 1} \)D. \( y = \frac{1}{Cx - 1} \)10. 微分方程 \( y'' + 4y' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)**答案：**1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8. A9. C10. A二、填空题（每题5分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 3x^2 \) 的通解是 \( y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

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常微分方程期末考试试卷(6)
学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______
一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全
微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求dx
dy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx
dy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。

5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。

8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定
的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：dx dy =3
12+++-y x y x
2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程23=dx dy 31
y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解
4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-
5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dt
dy by ax dt
dx =+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。

三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果Ax x t =/）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么
=)(t ϕ[]
η)(0t t A e -
常微分方程期末考试答案卷
一、填空题。

（30分）
1、
x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( 2、)(x
y f dx dy = 3、y=0y +dx y x f x
x ⎰0),(
4、连续的
5、w []0)(),...,,(),(21≠t x t x t x n
6、n 个线性无关解
7、)0()(1-ΦΦt
8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0
9、为零稳定中心
二、计算题。

（60分）
1、解： (x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0
xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0
即
21d 2x -d(xy)+dx-33
1dy -3dy=0 所以C y y x xy x =--+-33
12132
2、解：2
)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，令z=x+y 则dx
dy dx dz +=1 ,212121+-+=---=z z z z dx dz dx dz z z =++-1
2 所以 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3|1|+z =x+z+1C
即y x Ce y x +=++23)1(
3、解：设f(x,y)= 2331y ,则)0(2132
≠=∂∂-y y y f 故在0≠y 的任何区域上y
f ∂∂存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，
显然，0≡y 是通过点（0，0）的一个解；
又由23=dx dy 31y 解得，|y|=23
)(c x - 所以，通过点（0，0）的一切解为0≡y 及 |y|=⎪⎩⎪⎨⎧≥>-≤是常数0),()()(023c c x c x c x
4、解： (1)i 21,0322,12±==+-λλλ
齐次方程的通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t +
(2)i ±-=1λ不是特征根，故取t e t B t A x -+=)sin cos (
代入方程比较系数得A=
415，B=-414 于是t e t t x --=)sin 41
4cos 415( 通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t ++
t e t t --)sin 4cos 5(411
5、解： det(A E -λ)=0543421
2=--=----λλλλ
所以，5,121=-=λλ
设11-=λ对应的特征向量为1v
由0110442211≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----ααv v 可得取⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211121v v 同理取所以，)(t Φ= []=-251v e v e t t ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---t t t t e e e e 552 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ΦΦ=----------t t t t t t t
t t t t t
t t t t At e e e e e e e e e e e e e e e e t e 5555551551222231111223121112)0()(
6、解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件 00≠=ac c b
a ，故奇点为原点（0，0）
又由det(A-λE)=
0)(02=++-=--ac c a c b a λλλλ
得 c a ==21λλ
所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：
a ，c 为实数⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬⎫=≠=⎪⎩⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 三、证明题。

（10分）
证明：设)(t ϕ的形式为)(t ϕ=C e At （1）
（C 为待定的常向量）
则由初始条件得)(0t ϕη==C e At 0
又1)(0-At e =0At e - 所以，C=1)(0-At e η=0At e -η 代入（1）得)(t ϕ=ηη)(00t t A At At e e e --=
即命题得证。