极坐标系精品教案
初中数学教案极坐标系
初中数学教案极坐标系初中数学教案一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解极坐标系的概念和基本性质；2. 掌握极坐标系中各种图形的绘制方法；3. 运用极坐标系解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：极坐标系的概念和性质；2. 教学难点：运用极坐标系解决实际问题。
三、教学准备1. 教师准备：- 准备幻灯片或黑板，用于黑板上的绘图；- 准备一些实际问题，用于课堂练习。
2. 学生准备：- 课本、笔记本等学习用具。
四、教学过程导入：1. 教师简要介绍极坐标系的概念，并引导学生回顾直角坐标系的相关知识。
新知呈现：2. 教师通过幻灯片或黑板绘制极坐标系，并解释极坐标系的构造及基本性质。
3. 教师通过实例引导学生理解极坐标系中极角和极径的概念，并解释其表示方法。
示范演示：4. 教师通过绘制圆和其他图形的示范，讲解使用极坐标系绘制图形的方法。
实践演练：5. 学生进行小组活动，按照教师的要求，绘制指定的图形，并在小组内互相讨论、交流。
巩固提高：6. 教师出示一些实际问题，并引导学生运用极坐标系解决问题。
7. 学生进行个人练习，完成课后习题。
拓展延伸：8. 教师引导学生进一步探究极坐标系中其他图形的绘制方法，如椭圆、双曲线等。
五、教学总结本节课我们学习了极坐标系的概念和基本性质，掌握了绘制各种图形的方法，并运用极坐标系解决了一些实际问题。
通过本节课的学习，我们对数学中的极坐标系有了更深入的了解。
六、课后作业1. 完成课后习题；2. 思考：极坐标系在现实生活中有哪些应用？七、板书设计- 极坐标系的构造及基本性质- 极角和极径的概念及表示方法- 绘制图形的方法八、教学反思本节课采用了多种教学方法，如导入、示范演示、实践演练等，帮助学生更好地理解和掌握极坐标系的相关知识。
同时，通过实际问题的引入，培养了学生解决问题的能力。
教学过程中，学生积极参与，课堂氛围较好。
但在讲解极坐标系的性质时，可以增加一些示例图形，以便学生更好地理解。
极坐标系优秀教学设计
极坐标系【教学目标】知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
【教学重点】对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解【教学难点】互化关系式的掌握【教学模式】启发、诱导发现教学。
【教学准备】多媒体、实物投影仪【教学过程】一、复习引入：情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便；情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解二、讲解新课：直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：{θρθρsin cos ==y x { x y y x =+=θρtan 222说明上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。
互化公式的三个前提条件1． 极点与直角坐标系的原点重合；2． 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；3． 两种坐标系的单位长度相同。
三、举例应用：例1．（1）把点M 的极坐标)32,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标变式训练在极坐标系中，已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A ，B 两点的距离例2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系。
已知A 的极坐标),35,4(π求它的直角坐标， 已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和 求它们的极坐标。
ρ(＞0，0≤θ＜2π）变式训练把下列个点的直角坐标化为极坐标（限定ρ＞0，0≤θ＜π2）)4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A例3．在极坐标系中，已知两点)32,6(),6,6(ππB A 。
(完整word版)《极坐标系》教学设计
1.2 极坐标系 (谷杨华 )一、授课目的〔一〕核心涵养经过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的地址，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感觉极坐标的特点．〔二〕学习目标1．经过实例，认识极坐标系，领悟用极坐标表示点的特点．2．认识用极坐标系表示点的不独一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，领悟在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的地址的差异．〔三〕学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的地址．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．〔四〕学习难点1．理解用极坐标刻画点的地址的根本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、授课方案〔一〕课前设计1．预习任务〔 1〕读一读：阅读教材第8 页至第 11 页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O ，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位 (平时取弧度 )及其正方向 (平时取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M 的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对 ( , ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M ( , ) ．一般地，不作特别说明时，我们认为0 ，可取任意实数．〔 2〕想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标( , ) 与 ( ,2k ) (k Z ) 表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为(0, )(R) ．若是规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用独一的极坐标( ,) 表示；同时，极坐标 ( ,) 表示的点也是独一确定的．〔 3〕写一写：极坐标系与直角坐标系怎样转变？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y) ，极坐标是 ( , ) ，那么：x cos，y sin2x2y 2， tany( x 0)x2．预习自测〔 1〕在极坐标系中，以下各点中与(2,) 表示的不是同一个点的是()357513A．(2,)B．(2, )C．(2, )D．(2,)3333【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标 ( , ) 与 ( ,2k ) ( k Z ) 表示同一个点，检验得，选项C不是同一个点【思路点拨】依照点的极坐标定义代入考据可得【答案】 C〔 2〕点A的直角坐标为(0,2)，那么点A的极坐标为〔〕A．(2, )B．(2,0)C．( ,2)D．(2,)222【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】依照极坐标与直角坐标互化公式可得：0222 2 ，显然2【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得【答案】 A〔 3〕点 M 的极坐标为(3,) ，那么点M的直角坐标为〔〕4A ． (3,3)B ． (32,3 2)C ． (3 ,33 ) D ． ( 3,3 3)2222【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】依照极坐标与直角坐标互化公式可得：xcos32, ysin3 222【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】 B〔4〕 A 、B 两点极坐标为 A( 4, ), B( 6,2) ，那么线段 AB 中点的极坐标为________．33【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将 A,B 两点化为直角坐标得A(2,2 3), B( 3, 33) ，因其中点的直角坐标为(1,3) ，化为极坐标得 (1, 4)22 3【思路点拨】 先化为直角坐标， 利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点， 再化为极坐标【答案】 (1, 4)3(二)课堂设计1．知识回忆（ 1〕平面直角坐标系中的点 P 与坐标 (a ,b)是一一对应的 . 2．问题研究研究一 结合实例，认识极坐标系 ★●活动① 提出问题，创立情境如右图 1 是某校园授课平面表示图，假设某同学在授课楼处，请答复以下问题：(1)他向东偏北 60 方向走 120m 后到达什么地址？该地址独一确定吗？(2)若是有人打听体育馆和办公楼的地址，他应怎样描述？〔学生答复〕(1) 他向东偏北 60 方向走 120m 后到达是点 C 图书馆的地址，该地址独一确定 .图 13/1645走 50m .上面刻画地址是以 A 作为基点，并以射线 AB 为参照方向，尔后利用与 A 距离和与 AB 所成角度来描述地址，比方“东偏北 60 ，距离120m〞，即利用“距离〞和“角度〞来刻画平面上点的地址 .在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北45 方向，距离680 10m处〞描述了巨响的位置 .即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的地址 .有时它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，比方台风预告，地震预告，测量、航空、航海中主要采用这种方法 .【设计妄图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系看法的必要性，形成用角和距离刻画点的地址的直觉 .●活动②互动交流，类比提炼看法我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的地址的坐标系？〔学生谈论交流〕平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系 .平时，两条数轴分别置于水平川址与垂直地址，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向 .水平的数轴叫做 x 轴或横轴，垂直的数轴叫做 y 轴或纵轴，它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点，以点 O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系 xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线 Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(平时取弧度 )及其正方向 ( 平时取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，怎样来定义平面中的点的极坐标呢？如右图 2，设M是平面内一点，极点 O 与点M的距离 OM 叫做点 M 的极径，记为；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角xOM 叫做点M的极角，记为有序数对 (, )叫做点 M 的极.坐标，记为 M ( , )．图 2一般地，不作特别说明时，我们认为0 ，可取任意实数．【设计妄图】从特别到特别，类比获取极坐标系，让学生不会感觉极坐标系来得太突然，顺其自然获取点在极坐标系中的定义 . ●活动③ 坚固基础，检查反应例 1在极坐标系里描出以下各点 .2A(3,0) ， B(3,) ,C(5, 4),D(3,5 ),E(6,5)423635【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中 6的表示O【数学思想】数形结合x【解题过程】依照点在极坐标的表示， 表示的是点到极点的距离，表示射线与极轴42533所成的角，所以个点在极坐标的地址如图．54【思路点拨】欲确定点的地址，需先确定 ρ6DF和 θ的值．GAO Bx【答案】如右图．同类训练在右图 3 的极坐标系中描出以下CE点的地址： F (3, ) ， G(4, )443【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系 图中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】依照点在极坐标的表示， 表示的是点到极点的距离， 角，所以个点在极坐标的地址如图 3．【思路点拨】欲确定点的地址，需先确定 ρ和 θ的值．【答案】如右图 3． 研究二 研究点与极坐标的对应关系 ●活动①认识差异、辨析极坐标系在图 1 中，用点 A, B,C , D , E 分别表示授课楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的地址 .建立合适的极坐标系，写出各点的极坐标 .5 33表示射线与极轴所成的我们以点 A 为极点， AB 所在的射线为极轴〔单位长度为 1m 〕，建立极坐标系，那么 A, B, C , D , E 的极坐标分别为 (0,0), ( 60,0),(120, ),(60 3,), (50, 3)3 2 4建立极坐标系后，给定和 ，就可以在平面内独一确定点 M ，反过来，给点平面内任意一点，也能够找到她的极坐标 ( , ) .可可否和平面直角坐标系中的点和直角坐标相同，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计妄图】经过对点的极坐标的认识，为后边点的极坐标不独一做好铺垫．●活动② 合作研究，解决问题我们来观察以下极坐标表示的点之间有何关系呢？(4, ), (4,2 ), (4,4 ), (4,2)6 666由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标 ( , )和( , 2k )( k Z) 表示同一个点， 所以，极坐标和直角坐标不相同，平面内一个点的极坐标有无数种表示 .特别地，极点 O 的极坐标为 (0, )(R)若是我们规定0,02 ，那么除极点外， 平面内的点可用独一的极坐标 ( , )表示；同时，极坐标 ( ,) 表示的点也是独一确定的．同类训练在极坐标系中，写出以以下图中各点的极坐标( 0,0 2 )A 〔4，0〕B 〔〕 C 〔 〕D 〔〕F 〔〕G 〔〕【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】依照点 A 的极坐标，能够获取其他点的极坐标B( 2, ) ，4C(3, ) ,D(1, 5),F(6,4),G(5,5)．2 633【思路点拨】 (1)写点的极坐标要注意序次：极径ρ在前，极角 θ在后，不能够把序次颠倒了．(2)点的极坐标是不独一的， 但假设限制 ρ＞ 0，0≤θ＜ 2π，那么除极点外， 点的极坐标是独一确定的．【答案】 B(2,) ， C(3, 2 ) ,D(1, 5),F(6,4),G(5,5) ．4 63 3【设计妄图】经过辨析认识点的极坐标是不独一的，加深对极坐标系的认识．研究三 实现极坐标与直角坐标的互化 ★▲●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既能够用直角坐标表示， 也能够用极坐标来表示， 那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点， x 轴的正半轴作为极轴， 并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图 5 所示．设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是 ( x, y) ，极坐标是 ( , ) ，于是极坐标与直角坐标的互化公式以下：x cos 2x 2 y 2yysintan0)( x x这就是极坐标和直角坐标的互化公式 .图 5【设计妄图】获取直角坐标与极坐标之间的关系．活动② 坚固基础，检查反应例 2 分别把以下点的极坐标化为直角坐标〔 1〕 )〔 〕(2,2(3,)6 2【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】x cos2cos6 3〔 1〕由所以点的极坐标 ( 2, ) 化为直角坐标为 ( 3,1) ．ysin2sin166x cos3cos2 0〔2〕由所以点的极坐标 (3, ) 化为直角坐标为 (0,3) ．ysin3sin322【思路点拨】将点的极坐标 ( , ) 化为点的直角坐标 ( x, y) 时，运用到求角 θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特别角的三角函数值，灵便运用三角恒等变换公式是重点．【答案】〔 1〕 ( 3,1)〔2〕 (0,3) ．同类训练 分别把以下点的极坐标化为直角坐标〔1〕(4, 2)〔2〕( , )3【知识点】极坐标与直角坐标互化．【数学思想】x cos4 cos222【解题过程】〔 1〕3所以点的极坐标) 化为直角坐标为4sin2(4,ysin2 333( 2,2 3)．〔2〕由xcos cos 0所以点的极坐标 ( ,) 化为直角坐标为 ( ,0) ．ysin sin【思路点拨】将点的极坐标 ( , ) 化为点的直角坐标 ( x, y) 时，运用到求角 θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特别角的三角函数值，灵便运用三角恒等变换公式是重点．【答案】〔 1〕 ( 2,2 3)〔 2〕 ( ,0) ．例 3 点 B 、C 的直角坐标为 (2,2) , (0, 15) ,求它的极坐标 (ρ>0,0 ≤θ<2π).【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ ρ= x 2＋ y 222 ( 2) 22 2, tan2 1 ,且点位于第四象限∴ θ= 7π,24点 B 的极坐标为 (2 2 ,7π).43π又∵ x=0,y<0,ρ=15,∴点 C 的极坐标为 (15, ).y【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时， 一般取 0,0 2 ，即 θ取最小正角 ,由 tan θ= x求 θ时，还需结合在直角坐标系下点 (x, y) 所在的象限来确定 θ的值 .【答案】 B(2 2 ,7π) C(15,3π)．42同类训练分别把以下点的直角坐标化为极坐标 (限制 ρ≥0，0≤θ <2π)〔1〕( 3,3) ；〔2〕( 1, 1)；〔 3〕( 3,0) ．【知识点】极坐标与直角坐标互化．【数学思想】【解题过程】〔 1〕( 3)23223, tan333又由于点在第一象限，所以.所以点( 3,3)的极坐标为(23,3) ．3〔 2〕( 1)2(1)22, tan11515又由于点在第三象限，所以.所以点( 1,1)的极坐标为 (2,) ．44〔 3〕( 3)2023，极角为，所以点 (3,0)的极坐标为 (3,) ．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取0,02y ，即θ取最小正角 ,由 tan θ=x求θ时，还需结合在直角坐标系下点(x, y) 所在的象限来确定θ的值.【答案】〔 1〕)〔〕5〔〕(2 3, 2 (2,) 3 (3, )．34【设计妄图】坚固检查极坐标与直角坐标互化公式．3.课堂总结知识梳理〔1〕极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O ，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位 (平时取弧度 )及其正方向 (平时取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系．〔2〕极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点 M 的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(, ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M ( , ) ．一般地，不作特别说明时，我们认为0 ，可取任意实数．〔3〕若是规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用独一的极坐标( ,) 表示；同时，极坐标 ( ,) 表示的点也是独一确定的．〔4〕把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，以以下图．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x, y) ，极坐标是 ( , ) ，于是极坐标与直角坐标的互化公式以下：x cos 2x 2y 2y( xysintan0)x重难点归纳（ 1〕极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的地址 .极坐标系的建立有四个要素： ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向 .四者缺一不能．（ 2〕写点的极坐标要注意序次：极径 ρ在前，极角 θ在后，不能够颠倒序次（ 3〕假设两个坐标系吻合三个前提条件： (1)极点与直角坐标系的原点重合 ; (2) 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合 ; (3) 两种坐标系的单位长度相同 .那么其互相转变：2x2y 2, tany( x0)直角坐标x极 坐 标M (x, y)M ( , )x cos , y sin〔三〕课后作业 基础型 自主打破1．极坐标系中，点 P(2 ,1) 到极点的距离是 ( )A ． 0B ． 1C ．2D ． 2【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义 P(2 ,1)2 ，故 P 到极点的距离为 2π．【思路点拨】依照极坐标的定义进行判断． 【答案】 D ．2．以下各点中与极坐标 (5, ) 表示同一个点的是 ()．7A ．(5， 6)B ．(5，15)C ．(5， 6)D ．(5，)777 7【知识点】点在极坐标系中的表示． 【数学思想】【解题过程】依照极坐标 (5,)和(5, 2k )(kZ ) 表示同一个点，取 k 1 ，得选项 B ．77【思路点拨】极坐标 (, )和(,2k )(k Z ) 表示同一个点．【答案】 B．3．在直角坐标系中点P 1, 3 ，那么它的极坐标是A．2,B．4C．2,D．4 2,2,3333【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】由于(3)2122, tan3 3 ，且点在第四象限，所以选C1【思路点拨】依照极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】 C．4．O为极点，π，B 5，7π)A 2，，那么S AOB (36【知识点】极坐标和直角坐标的互化，三角形面积．【数学思想】数形结合思想π，B 5，7π，所以 AOBπ，那么三角形为直角三角形，那么面【解题过程】由于 A 2，362积为12 5 5 ，所以选D. 2【思路点拨】依照极坐标的点对应的直角坐标系中的点解析解析其几何关系计算即可．【答案】 D．5．规定0,R ，那么极轴上极点以外的点的极坐标为________．【知识点】点与极坐标系的关系．【数学思想】【解题过程】由于在极轴上且不是极点，所以极角2k , k Z , 极径0 ，所以极坐标为( ,2k )( k Z ) ．【思路点拨】依照极坐标的定义来办理．【答案】 ( ,2k )( k Z) ．11/166．极坐标系中，与点(3,) 关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．3【知识点】点的极坐标．【解题过程】由于(3,) 关于极轴所在直线对称的点为(3,) ．33【思路点拨】将点描在极坐标系中来求解．【答案】 (3,) ．3能力型师生共研7．在极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点能够是〔〕A．(1,0)B．(2,)C．(3,)D．(4,)42【知识点】极坐标的定义、点的极坐标．【数学思想】数学结合【解题过程】由题意知y ，又由 y sin ,sin，所以sin1，所以选 C 【思路点拨】结合极坐标的定义和极坐标与直角坐标的转变．【答案】 C8．点的极坐标分别为A(3，)， B(2，23，π)，D(－ 4，)，求它们的直角3)，C(422坐标．【知识点】直角坐标与极坐标互化．【解题过程】依照 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ得 A32 3 2，B (－， 3 )，C( 3 ，0)，D(0，222－4)【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】 A32 3 2，B (－，3)，C(3 ，0)，，－4)(,)12D(022研究型多维打破9．点的直角坐标分别为A(3， 3 )，B(0，5)，C(－2， 23 )，求它们的极坐标 (ρ≥ 0,0θ≤3＜2π)．【知识点】直角坐标与极坐标互化．222y 得 A(2 3,3 34 )．【解题过程】 (2)依照 ρ＝x ＋y ， tan θ＝x)，B (, ) ，C(4，3636【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】 A( 2 3,)，B ( 3,3) ，C(4， 4)．6 36310．某大学校园的局部平面表示图如图：用点 O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ， G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，授课楼，图书馆，车库，花园，其中 ABBC ， OC 600 m.建立合适的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标〔限制0，02π 且极点为〔 0， 0〕〕 .【知识点】极坐标系的建立、极坐标刻画点的地址．【解题过程】以 O 为极点，OA 所在射线为极轴建立极坐标系， 由于 OC600 ， AOCπ ，6π .故 C 600，6又 OA600 π 300 3， OD600 sinπ 300 ， OE 3002 ，OF 300，cos66OG 1502 .故A300π3πF 300， π3π，，，，， D300，E 3002，，G 15023 0244【思路点拨】解决问题的重点是依照极坐标系计算即可．【答案】 A 300 3，0 π ，E 3003π， F 300， π ， G 150 3π， D 300，2，2，244自助餐1．在极坐标系中，A( 2, ), B(6, ) ，那么 OA, OB 的夹角为 ( )．6 6A.B．06【知识点】极坐标的定义．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】以以下图，夹角为C. D.536.3【思路点拨】将 A, B 两点的极坐标标在极坐标系中可得．【答案】 C2．设点 P 对应的复数为－ 3＋3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么点P 的极坐标为 ()A． 3 2，3πB．－3 2，5π4453C． 3，4πD．－3，4π【知识点】复数、极坐标与直角坐标互化．【解题过程】复数33i 对应的点的直角坐标为( 3,3)，由(3)23223, tan3 1 ，且点在第二象限，所以选A．3【思路点拨】先把复数化为直角坐标，再化为极坐标．【答案】 A．3．在直角坐标系xOy 中 ,以 O 为极点 ,x 正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度 ,将点 P 的极坐标π. 2,化成直角坐标4【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】由点Pπ,设点 P的直角坐标为 (x,y), 所以的极坐标为 2,4ππ2 ．x 2cos2, y 2sin44【思路点拨】依照极坐标与直角坐标互化公式求解．2,2【答案】．4．以极点为原点，极轴的方向为 x 轴的正方向，建立直角坐标系，那么极坐标5M (2021, ) 表3示的点在第 ________象限．【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】依照 xcos2021 cos5 2021 ， y sin2021 sin5 2021 3 ，3232所以点在第四象限．【思路点拨】依照极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】四5．在极坐标系中 ,分别求以下条件下点 M (3,) 关于极轴的对称点 M 的极坐标 :3(1) 0, 0,2 .(2)0, R【知识点】极坐标系中点的刻画．【解题过程】 1)当0,0,2时,点 M (3, ) 关于极轴的对称点 M 的极坐标为 (3, 5) .33(2)0,R 时,点 M (3,) 关于极轴的对称点 M 的极坐标为 (3,2k 5 )(k Z ) ．33【思路点拨】依照点在极坐标的刻画来求解．【答案】〔 1〕 (3, 5 ) ；〔 2〕 (3,2k5)(k Z ) ．336．在极坐标系中，三点 M (2,), N (2,0), P(2 3, ) .3 6(1)将 M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断 M ，N ，P 三点可否在一条直线上．【知识点】极坐标与直角坐标互化x ＝ρcos θ， 得 M 的直角坐标为 (1，－3)；【解题过程】 (1)由公式y ＝ρsin θ，N 的直角坐标为 (2,0)；P 的直角坐标为 (3， 3)．33－0(2)∵k MN ＝2－1＝ 3，k NP ＝ 3－ 2 ＝ 3，∴ k MN ＝k NP ，∴ M ， N ， P 三点在一条直线上．【思路点拨】依照极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】〔 1〕M(1，－3)， N(2,0)，P(3，3)；〔 2〕在同一条直线上．。
极坐标系优秀PPT教案
π 4
练一练
题组2：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) B(6, 2 ) C (3, )
2
D(5, 4 )
3
E(3, 5 )
6
F (4, )
G(6, 5 )
3
解析： 2
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
3
G 5 3
新课讲解
四、1、负极径的定义
说明：一般情况下,极径都是正值；在某些必要情 况下,极径也可以取负值，
引一条射线Ox,叫做极轴，
再选定一个长度单位和角度单 O 位及它的正方向 通常取逆时针
x
方向 ，
这样就建立了一个极坐标系，
新课讲解
二、极坐标系内一点的极坐标的规定:
对于平面上任意一点M,用 表示线段OM的长度,用 表
示从Ox到OM 的角度, 叫做
点M的极径, 叫做点M的极角, 有序数对 , 就叫做M的极坐 标，
2 在平面直角坐标系上,平面上所有点的集合与全体有序实数对 x , y 的集合建立一一对应；
3 在空间直角坐标系上,空间上所有点的集合与全体三元有序实数对 x , y , z 的集合建立一一对应；
复习回顾
直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
R
x,y
空间直角 坐标系
x,y,z
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置，由此,在所创建的坐标系中, 应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之,依据一个点的坐标 就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标，
O
M x
特别强调：表示线段OM的长度,即点M到极点O的距
极坐标系的概念教学设计
极坐标系的概念教学设计一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质；2.掌握如何在直角坐标系和极坐标系之间进行转换；3.掌握在极坐标系下表示点的方法；4.能够用极坐标系描述简单图形。
二、教学重点与难点：1.教学重点：极坐标系的概念和基本性质；2.教学难点：在极坐标系下表示点的方法。
三、教学准备：1.教师准备：PPT、投影仪、白板、黑板笔；2.学生准备：直角坐标系与极坐标系的相关知识。
四、教学过程：Step 1 引入新课 (10分钟)1.引导学生回顾直角坐标系的概念和性质；2.提问：在直角坐标系中，我们如何用两个坐标值x和y来定位一个点？是否能用其他方式来表示点的位置？3.出示极坐标系的图形，引导学生思考极坐标系的概念。
Step 2 极坐标系的概念与性质 (15分钟)1.解释极坐标系的概念：极坐标系是由极轴和极角组成的，极轴是用来表示点到极点的距离的半直线，极角是用来表示点到极点的半直线与固定半直线的夹角；2.引导学生分析极坐标系的性质：极坐标系是二维坐标系，极轴是从极点出发的一条非负半直线，极角的范围是[0,2π)，极坐标系中，每一个点都有唯一的极坐标。
Step 3 直角坐标系与极坐标系的转换 (20分钟)1.提示学生极坐标系直角坐标系的转换方法：- x = r * cosθ- y = r * sinθ2.在白板上画出一个示例图形，并引导学生进行转换练习。
Step 4 极坐标系中点的表示方法 (20分钟)1.解释如何用极坐标表示平面上的点：极坐标的标记方式是(r,θ)，其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与固定半直线的夹角；2.在黑板上画出一个示例图形，引导学生练习用极坐标表示点的方法。
Step 5 极坐标系的应用 (20分钟)1.示范用极坐标系描述简单图形；2.引导学生进行实际练习。
Step 6 小结与课堂练习 (15分钟)1.积极小结本课的内容：回顾极坐标系的概念和性质，直角坐标系与极坐标系的转换，极坐标系中点的表示方法，以及极坐标系的应用；2.针对性布置相关课后习题。
极坐标 教案
极坐标教案教案标题：极坐标教案一、教学目标1. 了解极坐标的概念和基本性质；2. 掌握极坐标下点的表示方法；3. 学会在极坐标下进行坐标变换和图形绘制；4. 能够应用极坐标解决实际问题。
二、教学重点和难点重点：极坐标的基本概念和性质，点的极坐标表示方法，极坐标下的坐标变换和图形绘制。
难点：极坐标与直角坐标系的转换，极坐标下的曲线方程的表示和理解。
三、教学过程1. 导入新知识通过展示极坐标系和直角坐标系的对比，引导学生了解极坐标的概念和基本特点。
2. 讲解极坐标的表示方法介绍极坐标下点的表示方法，包括极径和极角的概念，以及极坐标与直角坐标系之间的转换关系。
3. 案例分析通过具体的案例分析，引导学生掌握极坐标下的坐标变换和图形绘制方法，例如绘制简单的极坐标曲线和解决相关实际问题。
4. 练习与讨论设计一些练习题目，让学生在课堂上进行练习，并进行讨论和答疑，加深对极坐标的理解和掌握。
5. 拓展应用引导学生将极坐标应用到实际问题中，例如极坐标下的坐标变换和图形绘制在工程、物理等领域的应用。
6. 总结反思对本节课的内容进行总结，强调极坐标的重要性和应用价值，鼓励学生多加练习和思考。
四、教学资源1. 极坐标系和直角坐标系的对比图；2. 相关极坐标的案例分析题目；3. 极坐标下的图形绘制工具。
五、作业布置布置相关练习题目，巩固学生对极坐标的理解和掌握。
六、教学反思根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略，不断完善教学内容和方法，提高教学效果。
七、教学评价通过课堂练习、作业完成情况和学生的表现，对学生的学习情况进行评价，并及时进行指导和辅导。
极坐标系教学设计与教学反思
极坐标系教学设计与教学反思教学设计：极坐标系一、教学目标1.了解和掌握极坐标系的基本概念和表示方式。
2.能够将直角坐标系转化为极坐标系。
3.通过练习和实例分析，掌握极坐标系的应用。
二、教学重点和难点重点：极坐标系的基本概念和表示方式。
难点：将直角坐标系转化为极坐标系。
三、教学过程1.导入（5分钟）通过问题启发学生思考：在绘图中，有时我们需要将坐标点表示为距离原点的距离和与x轴正方向的夹角。
你认为这种表示方式叫什么？用什么坐标系表示？2.引入（10分钟）通过PPT介绍极坐标系的概念和表示方式，让学生对极坐标系有一个初步的了解。
3.讲解（15分钟）以直角坐标系转化为极坐标系为例，详细讲解转化的步骤和方法。
同时结合图表和实例，让学生更清晰地理解。
4.示范（10分钟）通过示范练习，让学生跟随教师一起练习将直角坐标系转化为极坐标系。
教师先做一个示范，然后指导学生进行练习。
5.练习（15分钟）学生在作业本上完成一系列的练习题，巩固对极坐标系的认识和掌握。
6.拓展(10分钟)通过实例分析，引导学生思考极坐标系的应用。
如在极坐标系中，如何表示点的对称关系、如何表示点的共线关系等。
7.课堂小结（5分钟）对本节课的要点进行总结，回答学生提出的问题，澄清疑惑。
四、教学反思1.本节课的教学设计的目标明确，突出了极坐标系的基本概念和表示方式。
通过引入问题和实例分析，能够激发学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解极坐标系的概念。
2.在讲解过程中，我使用了PPT和图表来让学生更直观地了解极坐标系，帮助他们形成正确的概念。
同时，我在讲解过程中也加入了实例分析和示范练习，让学生能够操作和应用所学的知识。
3.本节课的教学过程中，我注重学生的参与和互动。
通过引导学生思考问题和解答问题，帮助他们更深入地理解和掌握极坐标系。
同时，通过练习和作业，巩固学生的学习成果。
4.但是，在教学中我发现一些问题。
有些学生对概念理解不够清晰，可能需要更多的实例分析和练习。
《极坐标系》教案新人教A版选修
数学：1.2《极坐标系》教案（新人教A版选修4-4）极坐标系【基础知识导学】1．极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
规定：当点M在极点时，它的极坐标可以取任意值。
2．平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标不是一一对应的。
3．极坐标系中，点M的极坐标统一表达式。
4．如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示，同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化（1）互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。
（2）互化公式，。
【知识迷航指南】【例1】在极坐标系中，描出点，并写出点M的统一极坐标。
【点评】点的统一极坐标表示式为，如果允许，还可以表示为。
【例2】已知两点的极坐标，则|AB|=______,AB与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即?AOB为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果.【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.(1),((2)【解】(1)根据极坐标的定义,因为,所以方程表示直线. (2)因为方程给定的不恒为0,用同乘方程的两边得:化为直角坐标方程为即,这是以(1,)为圆心,半径为的圆.【点评】①若没有这一条件,则方程表示一条射线.②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法.【解题能力测试】1．已知点的极坐标分别为，，，，求它们的直角坐标。
1．已知点的直角坐标分别为，求它们的极坐标。
人教版数学高二《极坐标系》 精品教案 人教
极坐标系一、教学设计导引本节教材是人民教育出版社出版的高中数学课程选修系列4中的第4个专题，坐标系与参数方程中第一讲第二节的内容，它是继学生学习了在直角坐标系中研究平面内点的坐标，使曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合，在此基础上由于现实问题的复杂性，有时在直角坐标系下建立几何图形的方程并不方便，为便于用代数方法研究几何图形，需要建立不同的坐标系，进而引入极坐标系等不同的坐标系，为进一步学习曲线方程、解析几何打下基础。
二、教学设计教学目标：使学生掌握极坐标系的建立，极坐标系下点与极坐标的对应关系教学重.难点：极坐标系下点与极坐标的对应关系教学准备：多媒体课件教学过程设计：（一）复习旧知识教学内容：问题：怎样在平面直角坐标系下确定平面内点的位置？学生活动：相互交流，思考并回答问题教师活动：归纳总结学生的回答，并指出建立直角坐标系时应注意的相关内容。
设计意图：通过复习平面直角坐标的相关内容，为极坐标系概念的引入作铺垫，同时为下一节直角坐标与极坐标互化打下基础。
（二）提出问题，创设情境教学内容：教科书第9页图1—9是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：(1)他向东偏北60度方向走120厘米后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？(3)思考：类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系。
学生活动：分组讨论，交流结论教师活动：以恰当的问题引导学生经历观察、归纳、概括、交流反思的思维过程和知识发生发展的过程，通过鼓励和旁白等方式让学生积极参与这个过程。
设计意图：通过问题的思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础。
同时通过问题诱发学生的好奇心，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
（三） 呈现新知识教学内容：1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点。
极坐标系教学设计
《极坐标系》教学设计方案穆棱市第二中学孔丹【教学目标】一、知识与技能1.认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
二、过程与方法1.通过观看图片，让学生直观感受引进极坐标的必要性；2.运用类比方法，经历极坐标的建立过程；3.通过学生动手描点，得出极坐标的多值性。
三、情感、态度与价值观1.培养学生的类比思想，培养探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力。
【教学重点】：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
【教学难点】：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识【教学过程】一、图片导入1.平面直角坐标系是最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系。
有时用别的坐标系比较方便。
还有什么坐标系呢？我们先看下面的问题：（投影图片,让学生直观感受引进极坐标的必要性。
）2.在以上问题中，位置是用什么方法确定的？3.在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
二、创设情境甲：请问，去教育中心怎么走？乙：从这向北2000米。
分析：“这”指出发点；“向北”指方向；“2000米”指距离。
三、探求新知（一）、极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。
这样就建立了一个极坐标系。
（二）、极坐标系内一点的极坐标的规定1.对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。
2.注：①ρ表示线段OM 的长度，即点M 到极点O 的距离；②θ表示从OX 到OM 的角度，即以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
3.教师巡回指导，针对每个小组的讨论情况进行点评，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生在练习中巩固所学。
2.分层次布置练习题，使每个学生都能在适合自己的练习中提高。
3.及时批改反馈，针对学生存在的问题，给予个性化指导。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解极坐标系的概念，掌握极坐标与直角坐标之间的转换方法，能够熟练运用互化公式进行坐标变换。
2.掌握极坐标系下点的表示方法，能够准确地绘制极坐标图形，并解决相关几何问题。
3.熟练运用极坐标系解决实际问题，如极坐标下的直线、圆等图形的方程求解，以及极坐标系在物理学、工程学中的应用。
1.基础题：完成课本第十五章的习题1、2、3，要求学生熟练掌握极坐标系的基本概念和转换方法。
2.提高题：解答课本第十五章习题4、5，培养学生运用极坐标系解决几何问题的能力。
3.应用题：结合实际案例，设计一道与极坐标系相关的应用题，要求学生运用所学知识分析问题、解决问题。
4.研究性学习：分组进行课题研究，选择与极坐标系相关的科学问题或实际应用场景，深入探讨并撰写研究报告。
作业布置要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，独立完成，切勿抄袭。
2.对于基础题，要求学生掌握基本概念，注意运算过程的准确性。
3.提高题和应用题旨在培养学生的解题策略和实际应用能力，鼓励学生多角度思考问题。
4.研究性学习要注重团队合作，充分发挥每个成员的作用，提高学生的综合素质。
5.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和过程，给予针对性的评价和建议。
极坐标教案(绝对经典)
极坐标一、极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫做极点，从极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系。
对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。
记作M(ρ, θ)。
当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角任意。
极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．即：1、极坐标⇒直角坐标 cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 2、直角坐标⇒极坐标222tan (0)x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩图1x ⎩（直极互化 图）三、简单曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，如果曲线C 上的点与一个一元二次方程f(ρ,θ)=0建立了如下的关系：1、曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ,θ)满足方程f(ρ,θ)=0；2、极坐标满足f(ρ,θ)=0的点都在曲线上。
那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫做极坐标方程f(ρ,θ)=0的曲线。
极坐标系教案范文
极坐标系教案范文教案：极坐标系主题：极坐标系的概念和运用目标：1.了解极坐标系的概念和特点。
2.掌握极坐标和直角坐标之间的转换关系。
3.理解和应用极坐标系的运算规则。
教学过程：一、导入（10分钟）1.学生回顾直角坐标系的概念和特点。
2.引入极坐标系的概念：极坐标系是一种使用极径和极角表示点的坐标系统。
二、讲解（30分钟）1.介绍极坐标的表示方法：a.极径：表示点到原点的距离，用正实数表示。
b.极角：表示点与正半轴正方向之间的角度，用弧度制表示。
2.极坐标系和直角坐标系的转换关系：a.极坐标到直角坐标：使用以下公式进行转换：x = r * cosθy = r * sinθb.直角坐标到极坐标：使用以下公式进行转换：r=√(x^2+y^2)θ = arctan(y/x)3.极坐标系的特点：a.极坐标系更适合描述圆形和环状的图形。
b.极坐标系更符合人们对环绕性质的感觉。
三、练习（30分钟）1.根据给定的直角坐标，计算其对应的极坐标。
2.根据给定的极坐标，计算其对应的直角坐标。
3.给定一个点的极坐标，画出对应的图形。
四、拓展（20分钟）1.讲解极坐标系的运算规则：a.极坐标的加法：将极径相加，而极角保持不变。
b.极坐标的减法：将极径相减，而极角保持不变。
c.极坐标的乘法：将极径相乘，将极角相加。
d.极坐标的除法：将极径相除，将极角相减。
2.举例子说明运算规则的应用：a.计算两个点的距离。
b.计算两个点的角度差。
c.计算两个点之间连线的方程等。
五、总结（10分钟）1.回顾极坐标系的概念和特点。
2.总结极坐标和直角坐标的转换公式。
3.强调极坐标系的运算规则和应用。
教学反思：通过本节课的教学，学生们对极坐标系的概念和特点有了更深入的了解，掌握了极坐标和直角坐标之间的转换关系，并能够应用极坐标系的运算规则解决相关问题。
丰富的练习和拓展部分有助于提高学生理解和运用极坐标系的能力。
可以通过在实际生活中找到更多的例子来巩固学生对极坐标系的理解和应用。
极坐标系优秀教学设计
二、极坐标系教学目标：知识与技能（1）认识极坐标系；能在极坐标系中，用极坐标刻画点的位置；（2）体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
过程与方法通过生活实际问题，引导学生探究、发现，激发学生的好奇心，进而得出建立极坐标系的必要性。
情感、态度与价值观通过多媒体展示现实生活中的图片，激发学生好奇心和求知欲；培养学生“学数学，用数学” 的应用意识，让学生切身体会“数学源于生活，服务于生活”。
教学重点和难点：重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；认识点与极坐标之间的对应关系。
教学基本流程：一、建立问题情景，体会引进新坐标系的必要性。
大家有没有见过这种图片？台风的卫星云图。
众所周知台风危害很大，所以我们非常关注台风中心的位置。
气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风的路径图。
根据路径图，及时播报台风中心的位置。
从小到大我们听过很多次台风预报。
今天也请大家来当一回主播，根据这张图你来描述一下台风中心位置。
【设计意图】引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉。
让学生称为学习的主人，积极参与。
看一下气象台是怎么播报的：“今年第8号台风“凤凰”，今天下午4时中心位置已经到达温州东南偏南方向大约800公里附近的洋面上，也就是在北纬22.3度，东经123.8度”（利用信息技术，播放这段视频，给学生更为直观地感受，也能更加激发学生此时学习的热情。
在此，要及时评价学生的描述，加以表扬和补充。
）问：哪些条件刻画了台风中心的位置?东经123.8度，北纬22.3度。
温州东南偏南方向大约800公里的海面上。
经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置，在这张平面地图上，相交的两条经纬线，是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点？如果把平面地图延伸开来，经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位置？你得到什么样的启发？1637年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系,用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。
《412极坐标系》教学设计
《412极坐标系》教学设计一、教学目标：1.了解和掌握极坐标的概念及正负的表示方法；2.了解和使用极坐标系下的直角坐标系与极坐标系的转换；3.熟练掌握极坐标下的点的表示方法；4.掌握极坐标下点的直角坐标系表示方法；5.能够熟练使用极坐标绘制图形；6.能够解析极坐标下的方程和不等式。
二、教学重点：1.极坐标概念及正负的表示方法；2.极坐标系下的直角坐标系与极坐标系的转换；3.极坐标下的点的表示方法；4.极坐标下点的直角坐标系表示方法。
三、教学难点：1.极坐标绘制图形；2.解析极坐标下的方程和不等式。
四、教学过程：1.导入（10分钟）进入课堂后，通过播放一个与极坐标相关的视频来引发学生对极坐标的兴趣，激发学生的学习欲望。
2.概念讲解（20分钟）教师向学生介绍极坐标的概念，并讲解如何表示极坐标中的点。
通过实际示范，引导学生明确极坐标系中的正负表示方法。
同时，通过幻灯片演示，向学生展示极坐标系和直角坐标系之间的转换关系。
3.练习与演示（30分钟）教师在黑板上绘制几个极坐标，并要求学生使用直角坐标系表示出来。
然后，教师引导学生反过来用极坐标表示相应的点，重点训练学生对于极坐标中正负符号的把握。
4.绘图与解析（30分钟）教师给学生展示一张使用极坐标系绘制的图形，并解释其中的绘制原理和方法。
接着，教师发放绘图工具和纸张给学生，指导他们使用极坐标进行图形的绘制。
5.进一步应用（30分钟）教师向学生讲解如何解析极坐标中的方程和不等式，引导学生进行相关的练习。
然后，教师给学生出一些需要利用解析极坐标的方程和不等式来解题的题目，让学生进行解答。
6.总结与拓展（30分钟）教师与学生一起总结、归纳本节课所学的知识点和方法，并邀请学生讲解一些与极坐标相关的实际问题。
教师鼓励学生根据自己的兴趣和能力继续深入学习极坐标的相关知识，如复数、圆锥曲线等。
五、课堂作业：1.写一篇200字左右的日记，记录自己今天在课堂上学到的关于极坐标的知识和感悟；2.整理极坐标的概念、表示方法和转换公式，并用自己的话阐述。
极坐标系教案
极坐标系教案一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质。
2.掌握在极坐标系中表示点的方法。
3.了解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。
二、教学重点：1.极坐标系的概念和基本性质。
2.在极坐标系中表示点的方法。
三、教学难点：1.极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。
四、教学准备：1.教师准备黑板、彩色粉笔和教学课件。
2.学生准备铅笔和笔记本。
五、教学过程：Step 1 引入新课教师通过引导学生回忆直角坐标系的表示方法，让学生了解到直角坐标系的局限性，引出极坐标系的概念和意义。
Step 2 讲解极坐标系的概念和基本性质教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系的概念和基本性质：极坐标系是以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。
极半径r是点P到原点O的距离，极角θ是以极轴的正方向为起点，逆时针旋转到点P所过的角。
Step 3 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握在极坐标系中表示点的方法。
首先，教师示范在极坐标系中表示一个点的步骤：先确定点的位置，然后确定点的极坐标。
随后，教师让学生在极坐标系中表示给定的点，进行练习。
Step 4 讲解极坐标系与直角坐标系的转换教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系：在直角坐标系中，点P的坐标是( x，y)，在极坐标系中，点P的坐标是( r，θ )。
直角坐标系到极坐标系的转换公式为： r = sqrt( x^2 + y^2 )，θ = arctan( y / x )。
Step 5 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握直角坐标系和极坐标系之间的转换关系。
首先，教师示范将直角坐标系中的点转换为极坐标，然后将极坐标系中的点转换为直角坐标。
随后，教师让学生进行练习，巩固转换关系的理解和运用。
Step 6 小结和作业布置教师通过让学生回答问题和归纳总结的方式对本节课的内容进行小结，然后布置作业：完成课后练习题，做好笔记。
六、板书设计：极坐标系1.概念：以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。
人教版数学选修2-2《极坐标系》教学设计
人教版数学选修2-2《极坐标系》教学设计《人教版数学选修2-2《极坐标系》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学目标】(1)知识目标：理解极坐标的概念，会根据具体问题建立适当的极坐标系。
(2)能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别。
(3)德育目标：通过观察、探索、发现、类比的创造性过程，培养创新意识。
【教学重点】认识极坐标系的重要性，能用极坐标刻画点的位置。
【教学难点】理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标的对应关系。
【学情分析】学生的兴趣：从指路的问题背景开始，激发学生学习兴趣。
学生的知识基础：通过直角坐标学习,可以类比学习极坐标系。
3、学生的认识特点：有了比较抽象和感知性的认识，但理性认知和逻辑还有待提高，知识点的应用还需加强。
【教学策略设计(教学模式)】PPT课件，小组合作，师生合作教学过程一、情景引入，思疑激趣问题1：我们知道，平面直角坐标系是一个常用的数学工具。
平面直角坐标系中的点与数对(x,y)是一一对应的关系，也是最简单最常用的一种坐标系。
但它不是唯一的一种坐标系，有时用别的坐标系更加方便。
还有什么坐标系呢?问题2：如图，某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼A处，请回答下列问题：(1)他向东偏北600方向走120m后到达什么位置?该位置惟一确定吗?(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述?[教师活动]教师运用动画片的形式，提出问题。
[学生活动]学生先独立思考，然后可以全班进行讨论。
[设计意图]引入学习极坐标系概念的必要性。
形成用距离和角度来刻画点位置关系的直觉。
二、抽象概括，形成概念在上述问题中，你认为确定一个位置需要哪些要素呢?在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等.这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想.思考：你认为建立一个极坐标系需要哪些要素呢?1、极坐标系的建立：(1)在平面内取一个定点O，叫做极点;(2)引一条射线Ox，叫做极轴;(3)选定1个长度单位、1个角度单位(常取弧度);(4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向).这样建立的坐标系叫做极坐标系.2、极坐标系内点的极坐标的规定对于平面内任意一点M，用r表示极点与点M的距离，叫做点M 的极径,q表示以Ox为始边,OM为终边的角，叫做点M的极角,有序数对(r，q)就叫做M的极坐标。
人教课标版高中数学选修4-4：《极坐标系》教案-新版
1.2 极坐标系一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M为θ.有序数对),(θρ，θ可取任意实数．为0≥（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）A ．)2,2(πB ．)0,2(C ．)2,2(πD ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（ ）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)34,1(π(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ （学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西图145走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其图2B 自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图． 【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图．同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），GFAD CE4πOx2π 65π π34π 35π图34πOx2π 65π π34π 35π x图4建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （ ）C （ ）D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式. 【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】（1）由cos 2cos36sin 2sin16x y πρθπρθ======所以点的极坐标)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．图5（2）由cos 3cos02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）3232sin 4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-．（2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)．同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π． （2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π．（3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业 基础型 自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2 【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．)0(tan ,222≠=+=x xyy x θρ 直角坐标),(y x M极坐标),(θρMθρθρsin ,cos ==y xA ．(5，67π)B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示．【数学思想】 【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ． 【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点．【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5错误!未找到引用源。
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二、极坐标系
教学目标：
知识与技能
（1）认识极坐标系；能在极坐标系中，用极坐标刻画点的位置；
（2）体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
过程与方法
通过生活实际问题，引导学生探究、发现，激发学生的好奇心，进而得出建立极坐标系的必要性。
情感、态度与价值观
通过多媒体展示现实生活中的图片，激发学生好奇心和求知欲；培养学生“学数学，用数学”
的应用意识，让学生切身体会“数学源于生活，服务于生活”。
教学重点和难点：
重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；认识点与极坐标之间的对应关系。
教学基本流程：
一、建立问题情景，体会引进新坐标系的必要性。
大家有没有见过这种图片？台风的卫星云图。
众所周
知台风危害很大，所以我们非常关注台风中心的位置。
气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风
的路径图。
根据路径图，及时播报台风中心的位置。
从小
到大我们听过很多次台风预报。
今天也请大家来当一回主
播，根据这张图你来描述一下台风中心位置。
【设计意图】引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角
和距离刻画点的位置的直觉。
让学生称为学习的主人，积
极参与。
看一下气象台是怎么播报的：“今年第8号台风“凤
凰”，今天下午4时中心位置已经到达温州东南偏南方向大
约800公里附近的洋面上，也就是在北纬22.3度，东经123.8度”（利用信息技术，播放这段视频，给学生更为直观地感受，也能更加激发学生此时学习的热情。
在此，要及时评价学生的描述，加以表扬和补充。
）
问：哪些条件刻画了台风中心的位置?
东经123.8度，北纬22.3度。
温州东南偏南方向大约800公里的海面上。
经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置，在这张平面地图上，
相交的两条经纬线，是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点？如
果把平面地图延伸开来，经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位
置？你得到什么样的启发？
1637年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系,用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。
平面直角坐标系我们研究得很透彻了，今天就不研究了。
再来看天气预报，“也就是”，这三字说明两种定位方式都可以确定台风中心的位置。
【设置疑问】为什么台风预报时两个都会提及?（一个精确，一个通俗易懂形象）
我们就用大家熟悉的定位方式来刻画一下台风中心的位置。
用参照点、角度和距离刻画平面中的点的思想，就称为极坐标思想，这样建立起来的坐标系就称为极坐标系（板书课题）
【设计意图】引导学生通过类比，尝试自己建立极坐标系，再通过交流合作，（当学生遇到困难时，适时提醒必修五中学习的方位角概念）解决问题，教师加以引导、补充。
从而告诉学生：引进极坐标系的概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉。
二、极坐标系的概念
给出概念：（多媒体演示，教师板书，学生在课本中画
出）
在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox,
叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)
及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标
系.
如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为；
ρ以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为；
θ有序实数对( )叫做点M 的极坐标,记为；
,ρθ(,)M ρθ
一般地,不做特殊说明时,我们认为（教师板书）
0,ρθ≥∈R 【小试身手】如图在平面地图上建立极坐标，试写出台风中心的极坐标（学生思考、口55(800,)(800,)(800,)(800,2)3333
k πππππ→-→→+答，教师多媒体展示，教师板书）
例题讲解：课本P9-10例1和例2，多媒体展示
【设计意图】初步熟悉极坐标系的有关概念。
教师提问：直角坐标系下，点与它的坐标一一对应，在极坐标系下，点与它的极坐标是否也有一一对应的关系呢？
【设计意图】通过比较，辨析极坐标系，进一步认识极坐标系的特点。
教师展示和板书结论：
极点O 的极坐标？，我们发现给出一个点对应的极坐标不唯一；反过(0,0)(0,)R θθ∈→来，
如果给出一个极坐标(2,),那它对应的点是否唯一?（唯一）
π；除极点外,平面内点可用唯一的极坐标()表示;同时,极坐0,02ρθπ>≤<如果规定,ρθ标()表示的点也是唯一的。
,ρθ【设计意图】引导学生通过类比尝试自己建立极坐标系，初步熟悉极坐标系的有关概念。
三、极坐标系与平面直角坐标系的区别
现在我们学习了两种坐标系，我们来比较一下它们有哪些区别？ 平面直角坐标系
极坐标定位方式
横坐标、纵坐标角度和距离点与坐标
点与坐标一一对应点与极坐标不一一对应外在形式
原点，x ，y 轴极点，极轴本质两线相交定点圆与射线相交定点
【设计意图】通过比较，辨析极坐标系，进一步认识极坐标系的特点。
四、极坐标系的历史
平面直角坐标系是由笛卡儿创建的，问：又是谁第一个提出极坐标系？他为什么要提出极坐标系?
伯努利(瑞士)：1691年《教师学报》最先发表了上述有关极坐标系的理论；
丹尼尔·伯努利，(Daniel Bernoulli 1700~1782)瑞士物理学家、数学家、医学家。
1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。
著名的伯努利家族中最杰出的一位。
他是数学家J.伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商
学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学教授。
牛
顿(英国)：完成于1671年，发表于1736年《流数法与无穷级数》---把极坐标看成是
确定平面上的点的位置的方法,并与其他9种坐标系进行转换；
并为幂级数的研究做出了贡献。
数学家们认为极坐标有着很大的作用，并实现了它与其他坐标系的转换，现在我们也学习了两种坐标系，那我们也来转换一下看看。
【设计意图】通过数学史的介绍，使学生进一步认识极坐标系的来源，接受数学文化的熏陶，培养学生一定的数学文化修养；并过渡至坐标系的转换。
五、极坐标与平面直角坐标的互化
【设计意图】引导学生认识建立两种坐标之间关系的基本思想。
为实现转换，要把两个坐标系放在同一个平面中，应当如何建立这两个坐标系呢？
原点与极点重合，极轴与x 轴的正半轴重合；取相同的单位长度。
牛顿也是这样想的，具体来试一下；
试一试：试将刚才所描述的台风中心的极坐标化成直角坐标5(800,)3
π（教师板书）55800cos ,800sin 33
x y ππ=⨯=⨯设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是
，极坐标是，那么两者之间的关
(,)x y (,)ρθ系？ ，（板书）cos ,sin x y ρθρθ==222,tan (0)y x y x x ρθ=+=
≠你能联想到过去所学的哪个知识？——任意角的三角函数的定义。
例题讲解：课本P11例3和例4
【设计意图】熟悉并记忆公式，由学生独立完成。
【探究思考】如左图 ,假设当距离台风中心700公里时应当发布台风蓝色警报，问福州是否已发布台风蓝色警报?4(200,)3
π
分析：本质是根据极坐标研究两点的距离。
解：根据图象：福州距离台风中心的距离为（多媒体展示，教师板书）
d =100700
==>所以还未发布橙色警报。
通过刚才这个例子我们是否可以猜测：。
1122(,),(,),
||A B AB ρθρθ=已知点则能否证明？
【设计意图】通过探究，目的是为了给出在极坐标系中计算两点间距离的公式，同时也告诉学生极坐标系下的两点坐标可以转化为平面直角坐标，在平面直角坐标系中加以证明。
（教师板书证明过程），再次强调，互化公式把两个坐标系紧密地联系在了一起。
六、定位思想和极坐标的提升
最后我们再来看这张卫星云图，大家看到这个云图，试想如果一个物体被台风卷了进去后，它可能会做什么样的运动？
研究：理想化条件下：
物体绕台风中心逆时针旋转，角速度弧度/小时，离台风中心的距离以5
12
公里/小时速度减小，到中心后停止，台风中心不动，在离台风中心100公
里A处放飞一个物体M，求t 小时后物体的位移？
分析：关键是确定t小时后物体的位置，哪种定位方式能更好确定位置呢？
结论：通过这个例子我们发现，在研究某些问题时，用极坐标系会更加方
便。
【设计意图】极坐标系引入的必要性，及定位思想的提升，带着问题下课。
七、课堂小结
【设计意图】整理知识，在比较中加深对极坐标系有关概念的认识。
1.极坐标系与哪些知识有联系？极坐标与直角坐标在刻画点的位置时有什么区别？
2.极坐标与平面直角坐标的互化
3.极坐标系下的两点距离公式
八、作业布置课本P12习题1.2第1、3、4、5题
九、板书设计。