辗转相除法求最大公约数和最小公倍数
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数1: /*辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。
2: 例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 ×12；105 = 21 ×5）；3: 因为252 ? 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。
在这个过程中，较大的数缩4: 小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。
这时，所剩下的5: 还没有变成零的数就是两数的最大公约数。
6: */7: #include <stdio.h>8:9: int getGCDAndLCM(int a,int b){10: int max=a>b?a:b;//将较大的数赋给max11: int min=(max=a)?b:a;//将较小的数赋给min12: int temp;//暂时存储变量13: while(max!=0){14: temp=min%max;15: min=max;16: max=temp;17: }18: printf("最大公约数为%d\n",min);19: printf("最小公倍数为%d\n",a*b/min);20: }21:22: int main(){23: printf("输入两个数整数值\n");24: int a,b;25: scanf("%d",&a);26: scanf("%d",&b);27: getGCDAndLCM(a,b);28: return 0;29: }C语言水仙花数算法打印出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字立方和等于该数本身。
例如：153是一个“水仙花数”，因为153=1的三次方＋5的三次方＋3的三次方。
(2)最大公因数、辗转相除法、整除性质-、最小公倍数
辗转相除法求最大公约数问题
步骤：
时间复杂性：O(log n)
例 求198和252的 最 大 公 约 数 ， 并 把 它 表为198和252的整系数线性组合.
252 1198 54 18 198 4(252 198)
198 354 36 4 252 5198
54 1 36 18 18 54 (198 3 54)
定理2 若b是任一正整数,则(i) 0与 b 的公因数就是 b 的因数,反之, b的因数也是0与b的公因数.
(ii) (0,b) b. 证 显然0与b的公因数是 b的因数.由于任何非零整数 都是0的因数,故 b的因数也就是0，b的公因数,于是(i) 获证.其次,我们立刻知道 b的最大公因数是 b ;而0，b的 最大公因数是 b的最大公因数,故 (0,b) b. 推论2.1 若b是任一非零整数,则 (0,b) b .
2m -1 2q1nr1 -2r1+2 r1 -1 2 r1 (2 q1n 1)+2 r1 -1. 由此及2n -1 2q1n 1得(2m -1, 2n -1)=(2n -1, 2r1 -1).
注意到(m,n)=(n,r1 ),若r1=0,则(m, n)=n,结论成立. 若r1>0,则继续对(2n -1, 2r1 -1)作同样的讨论,由辗转 相除法知，结论成立.
Qk a Pkb 1k1 rk , k 1, , n; (2)
其中 P0 1, P1 q1, Pk qk Pk1 Pk2 , Q0 0, Q1 1, Qk qkQk1 Qk2 , (3) k 2, , n
证 当k 1时, (2)显然成立,当k 2时,
r2 [aq2 b 1 q1q2 ]
显见, 2用任一大于1的自然数a代替,结论都成立.
求最大公约数的方法辗转相除法证明
求最大公约数的方法辗转相除法证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：辗转相除法是求解最大公约数的一种有效方法，也叫做欧几里德算法。
其基本思想是通过反复地用较大数除以较小数，然后用除数去除余数，一直重复这个过程，直到余数为0为止。
最终能够得到这两个数的最大公约数。
下面我们来详细地介绍辗转相除法的原理和证明过程。
假设有两个正整数a和b，其中a>b，我们要求它们的最大公约数。
首先我们用a除以b，得到商q和余数r，即a = q*b + r。
接着我们将b赋值给a，r赋值给b，然后再次用b去除以r，得到商q1和余数r1，即b = q1*r + r1。
如此循环下去，直到r1等于0为止。
那么此时b就是a和b的最大公约数。
下面我们用数学归纳法来证明辗转相除法的正确性。
设a=k*b+r，其中k和r是整数。
若d是a和b的一个公约数，则d也是b和r的公约数，反之亦然。
因此a和b的公约数集合等于b和r的公约数集合，即gcd(a, b) = gcd(b, r)。
现在我们假设b和r的最大公约数是d。
根据辗转相除法的步骤，可以得到以下等式：b = q1*r + r1r = q2*r1 + r2r1 = q3*r2 + r3...最终我们会得到r(n-1) = qnrn，其中rn是0。
根据这些等式，我们可以得出以下结论：r(n-2) = r(n-3) - qn-1*r(n-2)r(n-3) = r(n-4) - qn-2*r(n-3)...rn = r1 - q2*r将这些等式带入最后的等式b = q1*r + r1，可以得出以下结论：d|r(n-2) = d|r(n-3) = ... = d|r1 = d|b所以最大公约数d同时也是a和b的最大公约数。
通过以上的推导和证明，我们可以得出结论：辗转相除法能够有效地求解两个数的最大公约数。
这个算法简单易懂，而且效率非常高，适用于各种情况。
在实际运用中，辗转相除法是一个非常重要的数学工具。
求最小公倍数的方法
求最小公倍数的方法
最小公倍数是指两个或多个数共有的倍数中最小的那个数。
求解最小公倍数的方法有以下几种。
1. 列举法：列举出两个或多个数的倍数，找到它们共有的最小倍数。
这种方法适用于较小的数。
2. 分解质因数法：将每个数分解质因数，然后取每个质因数的最高指数相乘，得到最小公倍数。
3. 短除法：使用短除法求得两个或多个数的素因子分解，然后将每个数中出现的所有素因子按照最高指数相乘，得到最小公倍数。
4. 辗转相除法：对于两个数a和b，先求它们的最大公约数gcd(a,b)，然后将a和b相乘，再除以最大公约数，得到最小公倍数。
5. 使用公式：对于两个数a和b，最小公倍数等于它们的乘积除以最大公约数，即最小公倍数 = (a * b) / gcd(a, b)。
这些方法可以灵活运用，选择适合自己的方法来求解最小公倍数。
辗转相除法求最大约数
辗转相除法求最大约数一、辗转相除法的原理及应用辗转相除法，又称欧几里德算法，是一种用于求两个正整数的最大公约数的算法。
它的原理是基于整数的除法和取余操作。
辗转相除法的应用范围非常广泛，例如在数学、密码学、计算机科学等领域都有广泛应用。
在数学中，最大公约数是一个重要的概念，它可以用于约分、化简分数、求最小公倍数等问题。
在密码学中，辗转相除法可以用于生成密钥对或者进行加密解密操作。
在计算机科学中，辗转相除法可以用于求解线性同余方程、计算哈希值等。
二、辗转相除法的步骤辗转相除法的步骤非常简单，主要分为以下几个步骤：1. 输入两个正整数首先，我们需要输入两个正整数，分别记为a和b，其中a大于等于b。
2. 取余操作我们将a除以b，得到商q和余数r。
3. 判断余数如果余数r等于0，那么b就是最大公约数，算法结束。
否则，进入下一步。
4. 交换变量将b的值赋给a，将r的值赋给b，然后回到步骤2。
5. 重复步骤2-4重复执行步骤2-4，直到余数r等于0，此时b的值就是最大公约数。
三、辗转相除法的证明辗转相除法的正确性可以通过数学归纳法来证明。
首先，我们假设a = bq + r，其中b大于等于r，且r不为0。
根据这个等式，我们可以得出以下结论：1. a和b的公约数也是b和r的公约数设d是a和b的公约数，那么d也是a和bq的公约数。
又因为r = a - bq，所以d也是a和r的公约数。
2. b和r的公约数也是a和b的公约数设d是b和r的公约数，又因为a = bq + r，所以d也是a和b的公约数。
综上所述，a和b的公约数与b和r的公约数是一样的。
因此，最大公约数也是一样的。
四、辗转相除法的优化辗转相除法虽然有效，但在处理大整数时可能会比较耗时。
为了提高效率，人们对辗转相除法进行了一些优化，主要有以下两种方法：1. 基于移位操作的优化在计算机中，移位操作是一种非常高效的操作。
我们可以利用移位操作来替代除法操作，进一步提高算法的执行效率。
辗转相除找公约数的原理
辗转相除找公约数的原理
辗转相除法，也称欧几里得算法，是一种求最大公约数的算法。
该算法基于如下定理：
定理：两个整数a，b（a>b）的最大公约数等于b和a%b（余数）的最大公约数。
例如，求48和18的最大公约数，可以按照下面的步骤进行：
48÷18=2·12
18÷12=1·6
12÷6 =2·0
因为最后的余数为0，所以6是48和18的最大公约数。
可以看到，在每一步中，我们都是将较大的数除以较小的数，并得到一个余数，然后将较小的数和余数作为新的两个数继续进行相同的操作，直到余数为0为止。
最终得到的较小的数就是原来两个数的最大公约数。
这个算法的原理可以用数学归纳法证明。
具体可以参考相关的数学教材和理论知
识。
介绍十种求最小公倍数方法
介绍十种求最小公倍数方法如何理解介绍十种求最小公倍数方法公倍数，最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）是指两个或多个数字的公倍数中最小的一个。
它是自然数的乘积，可以用公式表达为：LCM（a,b）=a×b/gcd（a,b），其中gcd（a,b）是a和b的最大公约数。
也就是说，最小公倍数是这两个数的积除以他们的最大公约数。
公倍数十种，1. 公倍数是两个或多个整数公有的倍数。
2. 公倍数是可以被所有整数同时整除的数字。
3. 公倍数是由多个完全相同因数组合而成的数字。
4. 公倍数是一系列有序数字中，最小的一个整数能被剩余数字整除的数字。
5. 最小公倍数(LCM)是指它们共有的最小的倍数。
6. 两个数的最小公倍数是其乘积除以最大公约数。
7. 任何数的最大公倍数是其乘积的除以最小公倍数。
8. 任何数的最小公倍数是其乘积的除以最大公约数。
9. 任意多个整数的最大公倍数是它们乘积的除以最小公倍数。
10. 公倍数的求法有很多，如最小公倍数、最大公倍数、素因子分解法等。
公倍数十种最小，1、最小公倍数是指能够同时整除两个或多个数字的最小正整数。
2、最小公倍数是按照数学归纳法推导出来的所有数字中公共分子中最小的一个正整数。
3、最小公倍数可以通过求出两个数之积然后再取它们的最大公因数（比如辗转相除法）来求得。
4、最小公倍数也可以通过计算比如一个数的平方根来求得。
5、最小公倍数可以用分数的方法表示出来，比如把你想要的数字分别写成分数的形式，然后将它们合在一起再加上它们之间的最小公倍数，这样就可以求得最小公倍数。
6、最小公倍数的定义也可以看作是在给定的数字之间的最小正整数，该数可以被所有给定数字整除。
7、最小公倍数可以用整数的最大公约数来求得，例如使用质因数分解法可以找出两个数字的最大公约数，然后根据两个数之积除最大公约数即可获得最小公倍数。
8、最小公倍数的定义也可以用于求解多个不同的数的最小公倍数，即求解所有数字的最小公倍数。
辗转相除法最小公倍数
辗转相除法最小公倍数
辗转相除法最小公倍数，是指通过辗转相除法来求解两个数的最小公倍数。
辗转相除法是一种求解两个整数的最大公约数的方法，它的核心思想是将两个数中较小的那个数反复地除以两数的余数，直到除尽为止。
因为最大公约数约定是“最大的”，所以当两个数中有一数被除尽后，得到的其实是这两个数的最大公约数。
而最小公倍数是指两个数中可以同时整除的最小的整数，它可以通过两个数的乘积除以它们的最大公约数来得到。
因此，如果我们已经通过辗转相除法求出了这两个数的最大公约数，那么我们也就可以得到它们的最小公倍数。
具体来说，我们可以先将这两个数用辗转相除法求出它们的最大公约数，然后再用这两个数的乘积除以这个最大公约数，就可以得到它们的最小公倍数了。
例如，对于两个数12和18，它们的最大公约数是6，因为
12÷6=2，18÷6=3，所以6就是它们的最大公约数。
那么它们的最小公倍数就是12×18÷6=36。
因此，我们可以用辗转相除法来求出它们的最大公约数6，再用乘积36÷6=6，就得出了它们的最小公倍数6。
求最小公倍数的十种方法
求最小公倍数的十种方法
1. 最大公约数法：通过求两个数之间的最大公约数，然后将其乘以另外一个数，就可以得到他们的最小公倍数。
2. 列出所有的倍数法：将两个数按照顺序列出所有的倍数，然后从中找出第一个其中有两个数相同的即可。
3. 公式法：LCM（a,b）=a×b/GCD（a,b），用最大公约数法所求出的GCD乷加a和乷即可得到最小公倍数。
4. 二进制法：通过将两个数都转换成二进制的形式在比较，当它们的二进制形式最高位一致时，它们的最小公倍数就相等了。
5. 相乘法：将两个数相乘得到一个新的数，这个新的数就是他们的最小公倍数。
6. 辗转相除法：将两个数由大到小进行按照辗转相除的方式来进行，将最后的结果乘以被除数，就可以得到它们的最小公倍数。
7. 最小正数法：找出两个数之间的最小正数，它们之中肯定存在一个正数的情况，它就是他们的最小公倍数。
8. 差值法：先求出两个数的差值，然后将差值一口气加倍，直到它们大于等于之前那两个数，然后这个差值就是它们的最小公倍数。
9. 化简法：将两个数进行化简，化简成最简分数形式以后，得出分母是它们的最小公倍数。
10. 约分法：将两个数进行约分，然后将约分以后的结果相乘，这个结果就是它们的最小公倍数。
本题要求两个给定正整数的最大公约数和最小公倍数。
本题要求两个给定正整数的最大公约数和最小公倍数。
最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
求两个正整数m和n的最大公约数可用欧几里德算法（辗转相除法）。
main(){int p,r,n,m,temp;printf("please enter 2 numbers n,m:");scanf("%d,%d",&n,&m);//输出两个正整数.if(n\ucm)//把大数放在n中,把小数放在m中.{temp=n;n=m;m=temp;}p=n*m;//p就是原来两个数n,m的乘积.while(m!=0)//求两个数n,m的最大公约数.{r=n%m;n=m;m=r;}printf("its maxgongyueshu:%d\\n",n);//打印最大公约数.printf("its mingongbeishu:%d\\n",p/n);列印最轻公倍数.原理用欧几里德算法（只身二者乘法）谋两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除大的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个数除去前一个余数，直至余数就是0年才。
那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数就是1，那么原来的两个数就是互质数）。
由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。
这就是说，求两个数的最小公倍数，可以先求出两个数的最大公约数，再用这两个数的最大公约数去除这两个数的积，所得的商就是两个数的最小公倍数。
输入两个正整数m和n,求最小公倍数,与最大公约数
第一周作业1输入两个正整数m和n, 求其最大公约数和最小公倍数.<1> 用辗转相除法求最大公约数算法描述: m对n求余为a, 若a不等于0 则m <- n, n <- a, 继续求余否则n 为最大公约数<2> 最小公倍数= 两个数的积/ 最大公约数#include int main(){int m, n; int m_cup, n_cup, res; /*被除数, 除数, 余数*/ printf("Enter two integer:\n");scanf("%d %d", &m, &n);if (m > 0 && n >0){m_cup = m;n_cup = n;res = m_cup % n_cup;while (res != 0){m_cup = n_cup;n_cup = res;res = m_cup % n_cup;}2、分别用三种循环语句（while语句、do-while语句、for语句），实现求1～100的累加和。
第2周的题目：（要求用数组做）printf("Greatest common divisor: %d\n", n_cup);printf("Lease common multiple : %d\n", m * n /n_cup);}else printf("Error!\n");return 0;}2int sum = 0;int i=0;while(i<100){sum += (i+1);i++;}printf("%d" , sum);i=0;do{sum += (i+1);i++;}while(i <=100)printf("%d" , sum);for(i = 1 ; i <=100 ; i++){sum += i;}printf("%d" , sum);第二周作业1用冒泡法对输入的10个整数排序。
求最小公倍数和最大公约数
常见算法：C语言求最小公倍数和最大公约数三种算法最小公倍数：数论中的一种概念，两个整数公有的倍数成为他们的公倍数，其中一个最小的公倍数是他们的最小公倍数，同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数，维基百科：定义点击打开链接求最小公倍数算法：最小公倍数=两整数的乘积÷最大公约数求最大公约数算法：(1)辗转相除法有两整数a和b：①a%b得余数c②若c=0，则b即为两数的最大公约数③若c≠0，则a=b，b=c，再回去执行①例如求27和15的最大公约数过程为：27÷15余1215÷12余312÷3余0因此，3即为最大公约数1.#include<stdio.h>2.void main() /* 辗转相除法求最大公约数 */3.{4.int m, n, a, b, t, c;5. printf("Input two integer numbers:\n");6. scanf("%d%d", &a, &b);7. m=a; n=b;8.while(b!=0) /* 余数不为0，继续相除，直到余数为0 */9. { c=a%b; a=b; b=c;}10. printf("The largest common divisor:%d\n", a);11. printf("The least common multiple:%d\n", m*n/a);12.}⑵相减法有两整数a和b：①若a>b，则a=a-b②若a<b，则b=b-a③若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数④若a≠b，则再回去执行①例如求27和15的最大公约数过程为：27－15＝12( 15>12 ) 15－12＝3( 12>3 )12－3＝9( 9>3 ) 9－3＝6( 6>3 )6－3＝3( 3==3 )因此，3即为最大公约数1.#include<stdio.h>2.void main ( ) /* 相减法求最大公约数 */3.{4.int m, n, a, b, c;5.printf("Input two integer numbers:\n");6. scanf ("%d,%d", &a, &b);m=a; n=b;7./* a, b不相等，大数减小数，直到相等为止。
辗转相除求两数的最大公约数算法
辗转相除求两数的最大公约数算法
辗转相除法，也叫欧几里德算法，求两个整数的最大公约数的算法，其原理基于以下
定理：
定理：设有两个整数a、b（a > b），
①a = b × k + r，其中k为整数，0 ≤ r < b；
②设d是a和b的一个公约数，那么d也是b和r的一个公约数，反之亦然。
证明：设d是a和b的一个公约数，那么a、b均可为dk，即a = dk × k1，b = dk × k2（其中k1、k2为整数）。
由（①）知，r = a - b × k = dk × k1 - dk × k2 × k = dk × (k1 - k2 × k)，即r为dk的倍数，即d也是r的一个因子。
反之也同理。
基于定理，在求a和b的最大公约数时，不断用b去除a，然后让a等于余数r，再用较小的数去余数r去除，直到不能再整除为止。
最后的除数即为这两个数的最大公约数。
下面举一个例子来说明：
求18和24的最大公约数。
步骤1：24 ÷ 18 = 1...6，余数为6，令a=18，b=6。
代码实现如下：
int gcd(int a, int b)
{
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
解释一下代码：用递归的方式，如果b等于0，则a就是最大公约数；否则用b和a % b的余数递归调用函数gcd(a % b, b)。
辗转相除法的时间复杂度为log(a+b)，当两个数位数相差太大时，会出现较大的浪费。
此时可使用更为高效的更相减损术。
辗转相除法求公约数
辗转相除法求公约数
辗转相除法是一种求两个数的最大公约数的方法，也称为欧几里得算法。
这种方法的基本思想是，用较大的数去除较小的数，再用余数去除除数，如此反复，直到余数为零为止。
最后的除数就是这两个数的最大公约数。
例如，求出48和60的最大公约数。
首先用60除以48，得到商1余12，然后用48除以12，得到商4余0。
因为余数为0，所以48和60的最大公约数就是12。
辗转相除法的原理是基于以下定理：对于任意两个正整数a和b，设r是a除以b的余数，那么a和b的最大公约数等于b和r的最大公约数。
这个定理可以用数学归纳法来证明。
辗转相除法的优点是简单易行，计算速度快。
但是，它的缺点是不够精确，有时会得到错误的结果。
例如，当两个数的差很小，或者其中一个数是另一个数的倍数时，辗转相除法可能会得到错误的结果。
为了避免这种情况，可以使用更精确的方法来求最大公约数，例如质因数分解法或欧拉算法。
质因数分解法是将两个数分别分解成质因数的乘积，然后找出它们的公共质因数，最后将这些质因数相乘即可得到最大公约数。
欧拉算法是一种基于欧拉函数的算法，它可以在较短的时间内求出两个数的最大公约数。
辗转相除法是一种简单易行的求最大公约数的方法，但是在某些情况下可能会得到错误的结果。
为了得到更精确的结果，可以使用其他方法来求最大公约数。
最大公约数与最小公倍数的计算方法知识点总结
最大公约数与最小公倍数的计算方法知识点总结最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）与最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是数学中常见的概念，对于解决数学问题和化简分数等方面都有重要的作用。
本文将介绍最大公约数与最小公倍数的定义、计算方法以及在实际应用中的相关知识点。
一、最大公约数的定义与计算方法最大公约数，指的是两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
它有以下几种常见的计算方法：1. 列举法：将两个或多个数的约数列举出来，并找出它们共有的最大约数。
例如，我们要求48和60的最大公约数，将它们的约数列举如下：48的约数有：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 4860的约数有：1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60最大公约数为12。
2. 公式法：利用最大公约数的性质，可利用如下公式计算：设两个整数为a和b，其最大公约数为gcd(a,b)，最小公倍数为lcm(a,b)。
则有以下关系式：lcm(a,b) = |a * b| / gcd(a,b)其中，|a * b|表示a和b的乘积取绝对值。
3. 辗转相除法：也称为欧几里德算法，它是一种高效的计算最大公约数的方法。
具体步骤如下：a. 大数除以小数，得到商q和余数r。
b. 若余数r为0，则最大公约数为小数。
c. 若余数r不为0，则用小数除以余数，得到商q'和新的余数r'。
d. 重复上述步骤，直到余数为0。
举例说明：求取48和60的最大公约数，按照辗转相除法，计算过程如下：60 ÷ 48 = 1 (12)48 ÷ 12 = 4 0最大公约数为12。
二、最小公倍数的定义与计算方法最小公倍数，指的是两个或多个整数除以它们的最大公约数所得商的乘积。
最小公倍数的计算方法如下：1. 直接求解法：列举两个或多个数的倍数，并找出它们共有的最小倍数。
90 80 72的最小公倍数
90 80 72的最小公倍数摘要：一、问题提出：求解90、80和72的最小公倍数二、分析方法：使用求最小公倍数的方法，先求两个数的最大公约数，再用两数的乘积除以最大公约数得到最小公倍数三、计算过程：1.求90和80的最大公约数- 使用辗转相除法，得到最大公约数为102.求90和72的最大公约数- 使用辗转相除法，得到最大公约数为183.求80和72的最大公约数- 使用辗转相除法，得到最大公约数为164.计算最小公倍数- 使用公式：最小公倍数= 两数的乘积/ 最大公约数- 对于90和80，最小公倍数为90 * 80 / 10 = 720- 对于90和72，最小公倍数为90 * 72 / 18 = 360- 对于80和72，最小公倍数为80 * 72 / 16 = 360四、结论：90、80和72的最小公倍数为360正文：我们要求解90、80和72的最小公倍数。
首先，我们需要知道求最小公倍数的方法。
这个方法是，先求两个数的最大公约数，再用两数的乘积除以最大公约数得到最小公倍数。
接下来，我们开始计算。
首先，我们求90和80的最大公约数。
使用辗转相除法，我们得到最大公约数为10。
然后，我们求90和72的最大公约数，也使用辗转相除法，得到最大公约数为18。
最后，我们求80和72的最大公约数，同样使用辗转相除法，得到最大公约数为16。
现在，我们使用公式计算最小公倍数。
对于90和80，最小公倍数为90 * 80 / 10 = 720。
对于90和72，最小公倍数为90 * 72 / 18 = 360。
对于80和72，最小公倍数为80 * 72 / 16 = 360。
最大公约数和最小公倍数
最大公约数（greatest common divisor，简写为gcd；或highest common factor，简写为hcf)，指某几个整数共有因子中最大的一个。
例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。
两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：* 两数各分解质因子，然后取出同样有的项乘起来* 辗转相除法（扩展版）和最小公倍数（lcm）的关系：gcd(a, b)×lcm(a, b) = ab两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
最小公倍数的表示：数学上常用方括号表示。
如[12，18，20]即12、18和20的最小公倍数。
最小公倍数的求法：求几个自然数的最小公倍数，有两种方法：（1）分解质因数法。
先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
例如，求[12，18，20]，因为12=22×3，18=2×32，20=22×5，其中三个数的公有的质因数为2，两个数的公有质因数为2与3，每个数独有的质因数为5与3，所以，[12，18，20]=2^2×3^2×5=180。
（可用短除法计算）（2）公式法。
由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。
即（a，b）×[a，b]=a×b。
所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。
例如，求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷（18，20）=18×20÷2=180。
求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。
辗转相除法求最大公因数
辗转相除法求最大公因数辗转相除法，也称为欧几里德算法，是一种求两个数的最大公约数的方法。
在数学中，最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数共有约数中的最大值。
在本文中，我们将介绍辗转相除法这种求最大公因数的方法，以及它的应用和一些注意事项。
1. 辗转相除法的步骤首先，我们必须理解两个数的除法原理：对于两个整数a和b，我们可以用b去除a，并得到商q和余数r，即a = bq + r，其中0 ≤ r < |b|。
这个余数r可以用来判断b和a的关系，如果r等于0，则b是a的因数；否则，我们可以用r和b重复上述步骤，直到余数为0为止。
当余数为0时，最后一次除法的除数就是这两个数的最大公因数。
辗转相除法就是基于这个原理的，我们将两个数a和b按照从小到大的顺序，做a = bq + r的除法运算，直到余数r等于0为止。
这时，b就是这两个数的最大公因数。
具体步骤可以如下实现：1）用较小数除较大数，得到余数r；2）用r去除较小数，得到余数r1；3）如果r1不为0，用r去除r1，得到余数r2；4）重复上述过程，直到余数为0为止。
2. 辗转相除法的应用求最大公因数是辗转相除法最常见的应用。
但它还有其他的应用，比如简化分数和判断两个数是否互质。
在这里，我们先讲一下简化分数。
当我们进行分数加减乘除的时候，需要将分数化为最简分数。
而最简分数就是分子和分母的最大公因数为1的分数。
因此，我们可以用辗转相除法来求出分子和分母的最大公因数，然后将分子和分母除以最大公因数，得到最简分数。
而判断两个数是否互质，也可以用辗转相除法。
当求出两个数的最大公因数后，如果最大公因数等于1，那么这两个数就互质。
3. 辗转相除法的注意事项尽管辗转相除法是求最大公因数的一种常用方法，但它仍有一些需要注意的事项。
因为最大公因数和最小公倍数有以下性质：1）两个数之积等于它们的最大公因数与最小公倍数的积；2）最大公因数与最小公倍数的和等于这两个数之和；3）最小公倍数也可以用辗转相除法求出。
辗转相除法求多个数最大公约数
辗转相除法求多个数最大公约数
辗转相除法是求两个数最大公约数的一种常用方法，但是当需要求多个数的最大公约数时，我们可以通过辗转相除法进行递归求解。
具体方法如下：
1. 求出前两个数的最大公约数，可以使用辗转相除法或其他方法。
2. 将上一步求出的最大公约数与下一个数再次求最大公约数。
3. 重复第二步，直到求出所有数的最大公约数。
举个例子：
求 12、18、24 的最大公约数。
首先求出 12 和 18 的最大公约数，使用辗转相除法：
18 ÷ 12 = 1 (6)
12 ÷ 6 = 2 0
所以，12 和 18 的最大公约数是 6。
接着，将 6 和 24 再次求最大公约数：
24 ÷ 6 = 4 0
所以，12、18、24 的最大公约数是 6。
总结一下，辗转相除法求多个数最大公约数的步骤是：先求出前两个数的最大公约数，再将这个最大公约数与下一个数求最大公约数，直到求出所有数的最大公约数。
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求三个数的最大公约数和最小公倍数的题目
求三个数的最大公约数和最小公倍数的题目在中学数学中，我们经常会遇到求最大公约数和最小公倍数的问题。
而当我们面对求三个数的最大公约数和最小公倍数时，就需要一些更高级的方法来解决这个问题。
本文将分步骤介绍如何求解三个数的最大公约数和最小公倍数。
首先我们需要了解最大公约数和最小公倍数的概念。
最大公约数是指能同时整除给定数的最大正整数，而最小公倍数则是指能被给定数同时整除的最小正整数。
在求三个数的最大公约数和最小公倍数时，我们需要将问题拆分成两个步骤，先求出两个数的最大公约数和最小公倍数，再将其与第三个数进行运算。
求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法有很多种，这里介绍一种简单又有效的方法。
我们可以通过辗转相除法来求得最大公约数，而最小公倍数则是两数之积除以最大公约数。
下面将给出具体步骤。
1.先求出第一个和第二个数的最大公约数和最小公倍数。
假设我们要求的三个数分别为a、b、c，那么我们先求出a和b的最大公约数gcd(a,b)和最小公倍数lcm(a,b)，具体求法如下：（1）求最大公约数：a÷b得余数r1，若r1=0，则gcd(a,b)=b；否则gcd(a,b)=gcd(b,r1)。
不断使用这个公式，即可得到a和b的最大公约数。
（2）求最小公倍数：lcm(a,b)=a×b÷gcd(a,b)2.将所求的最大公约数和最小公倍数与第三个数进行运算，得出三个数的最大公约数和最小公倍数。
假设第三个数为c，那么我们现在需要求得的是gcd(gcd(a,b),c)和lcm(lcm(a,b),c)。
具体操作如下：（1）求最大公约数：使用步骤1中求得的最大公约数公式（即gcd(a,b)=gcd(b,r1)）求出gcd(gcd(a,b),c)：gcd(gcd(a,b),c)=gcd(gcd(a,b),r2)，r2=c mod gcd(a,b)依上述公式求得gcd(gcd(a,b),c)。
（2）求最小公倍数：使用步骤1中求得的最小公倍数公式（即lcm(a,b)=a×b÷gcd(a,b)），求出lcm(lcm(a,b),c)：lcm(lcm(a,b),c)=lcm(lcm(a,b),m)，m=c÷gcd(a,b)依上述公式求得lcm(lcm(a,b),c)。
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辗转相除法求最大公约数和最小公倍数
(2006-08-28 11:39:55)
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分类：小学奥数专题讲解
辗转相除法是求最大公约数和最小公倍数的另一种方法。
具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。
如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。
把这些数相乘就是最小公倍数。
例如：求112和77的最大公约数。
把112和77并列，用77去除112，商1余35，如下图：
因为余数不是0，所以继续用35去除77，商2余7，如下图：
因为余数不是0，继续用7去除35，商5余0，如下图：
当最后余数是0时，辗转相除的过程已经完成，最后的除数7就是112和77的最大公约数。
辗转相除法的算理是根据：在a=bq+r，中，除数b和余数r能被同一个数整除，那么被除数a也能被这个数整除。
或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数；如果反过来说，被除数与除数的最大公约数，就是除数与余数的最大公约数。
如果用辗转相除法求两个数的最大公约数时，最后的余数是1，那么这两个数就是互质数，或者说，它们只有公约数1。