线弹性断裂力学的本质
弹塑性断裂理论简介
弹塑性断裂理论简介线弹性断裂力学是建立在线弹性力学基础上的，传统断裂力学理论认为，它没能考虑裂纹尖端附近塑性性区的影响，因而只适用于高强度（钢）脆性材料，对于工程中大量使用的中、低强度钢等具有较好塑性的材料是不适用的。
为了将应力强度因子推广到裂纹尖端有小范围塑性区的情况，人们推出了应力强度因子塑性区的修正方法，但适用性并不理想。
为了研究塑性材料的断裂问题，又产生了断裂力学的另一个分支——弹塑性断裂力学。
1. COD 原理及其判据Wells 根据裂纹尖端附近产生大范围屈服时，在裂纹尖端出现钝化，裂纹侧面随着外载增加逐渐张开的现象，提出来是否可用裂纹尖端的张开位移作为控制裂纹失稳扩展的参量。
裂纹的张开位移定义为承受外载情况下裂纹体的裂纹尖端沿垂直于裂纹方向产生的位移，一般用δ表示。
在裂纹失稳扩展的临界状态下，临界的COD 用c δ表示。
c δ也是材料的断裂韧性，是通过实验测定的材料常数。
COD 原理的基本思想是:把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移δ作为一个参量，而把裂纹失稳扩展时的临界张开位移c δ作为材料的断裂韧性指标，用c δδ=这个判据来确定材料在发生大范围屈服断裂时构件工作应力和裂纹尺寸间的关系。
2. J 积分理论1968年，Rice 提出了J 积分理论。
对于二维问题，J 积分的定义如下:⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-Γ=ds x v T x u T Wdy J y x （2-1） Γ--积分回路;ds --Γ上的弧元素;W --应变能密度;y x T T ,--应力分量;v u ,--位移分量;其中，积分回路的起点和终点分别位于裂纹的下表面和上表面，为逆时针回路，如图2-1所示。
J 积分的单位为MPa* mm 。
图2-1 裂纹尖端J 积分路径J 积分是围绕裂纹尖端的闭合曲线积分，在线弹性情况下有:E2I I K G J == （平面应力） （2-2） )1(E22I I v K G J -== （平面应变） （2-3） J 积分断裂准则可表述为:c J J = （2-4）其中，Jc 为裂纹扩展达到临界状态时的J 积分临界值。
断裂力学-线弹性理论
●J积分准则与COD准则一样，也只能作为起裂准则。裂纹稳定扩展准则的 建立则是当前这一领域的主要研究方向，已提出的准则：l型裂纹基于应变 的稳定扩展准则、1型裂纹和I型裂纹基于开口位移的稳定扩展准则。
材料断裂应力为：s K1c 1.12 a
选用材料1： s1c=50/[1.12(3.140.001)1/2]=796MPa <s 断裂
选用材料2： s2c=75/[1.12(3.140.001)1/2]=1195MPa >s 安全
选用材料1，将发生低应力脆性断裂； 选用材料2，既满足强度条件，也满足抗断要求。
sij越大，K越大；裂纹尺寸a越大，K越大。 K的量纲为[应力][长度]1/2，常用MPa m。
(5-1)式是中心穿透裂纹无穷大板的解。 断裂力学研究表明，K1可以更一般地写为：
K s a f (a,W,...) 1
f(a,W,...)为几何修正函数，可查手册。 特别地，当a<<w或a/w0时，即
二、断裂力学中的几个基本概念
● Griffth(格里菲斯)裂纹
材料在生产、加工和使用中会产生缺陷和裂 纹，如冶炼、铸骸、焊接、热处理、中子辐 射、氢的渗入等。夹杂物、空穴、切口都是 缺陷，它们在尖端处的曲率半径不为零。对 于类裂纹型的缺陷可以简化为裂纹，认为其 尖端处的曲率半径等于零。这样的简化是偏 于安全的，把这种型纹称为Griffth(格里菲 斯)裂纹。
解：1）不考虑缺陷，按传统强度设计考虑。 选用二种材料时的安全系数分别为： 材料1： ns 1=sys1/s=1800/1000=1.8 优 材料2： ns 2=sys2/s=1400/1000=1.4 合格
线弹性断裂力学(第一章)
数值方法的精度和稳定性
在模拟断裂过程中，数值方法需要具 有高精度和稳定性，以准确预测断裂 行为。
未来发展方向
跨尺度建模
发展能够跨越不同尺度的建模方法，从微观到宏观，以更全面地理解 断裂行为。
人工智能和机器学习在断裂力学中的应用
利用人工智能和机器学习技术，对断裂行为进行预测和优化。
实验技术的创新
开发更先进的实验技术，以更准确地测量材料的断裂性能。
03
裂纹的分类和扩展模式
裂纹的分类
表面裂纹
裂纹仅在材料表面形成，不深 入内部。
疲劳裂纹
由于循环应力或交变载荷引起 的裂纹，通常起始于应力集中 区域。
穿透裂纹
裂纹贯穿整个材料，导致材料 完全断裂。
内部裂纹
裂纹起始于材料内部，可能向 表面扩展或深入更深层次。
环境裂纹
由于环境因素（如腐蚀、温度 等）引起的裂纹。
05
线弹性断裂力学的挑战和未来发展
当前面临的挑战
复杂材料和结构的断裂行为
随着新材料和复杂结构的广泛应用， 理解和预测其断裂行为变得越来越具 有挑战性。
多尺度断裂问题
由于材料和结构的尺度差异，如何在 不同尺度上模拟和预测断裂行为是一 个重要问题。
实验验证的困难
由于断裂的突发性和复杂性，建立有 效的实验验证方法是一项巨大的挑战。
弹性常数
总结词
弹性常数是描述材料弹性的重要参数，包括杨氏模量、泊松比等。
详细描述
弹性常数是衡量材料在受力作用下的弹性性能的参数，包括杨氏模量、泊松比等。杨氏模量是描述材料在拉伸或 压缩过程中抵抗变形的能力，而泊松比则表示材料在横向受力和纵向受力时变形程度的关系。这些弹性常数对于 材料的选择和设计具有重要的意义。
线弹性断裂力学的本质
线弹性断裂力学的本质线弹性断裂力学的本质一、线弹性断裂力学1.1 线弹性断裂力学的研究范围线弹性断裂力学是断裂力学的一个重要分支，它是用弹性力学的线性理论对裂纹体进行力学分析，并采用由此求得的某些特征参量（如应力强度因子、能量释放率）作为判断裂纹扩展的准则。
线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。
研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。
1.2线弹性断裂力学的基本理论线弹性断裂力学的基本理论包括：●Griffith理论，即能量释放率理论；●Irwin理论，即应力强度因子理论。
Griffith理论：1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis解。
1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。
Orowan在1948年对其发展指出，金属材料在裂纹的扩展过程中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。
因此，裂纹扩展时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能（也称为塑性功）。
Irwin的理论：Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏—破坏前裂纹尖端附近有相当范围的塑性变形 .该理论的提出是线弹性断裂力学诞生的标志。
Irwin认为裂纹尖端存在奇异性，基于这种性质，1957年Irwin提出新的物理量—应力强度因子。
1.3线弹性断裂力学的应用按线弹性力学求得的裂纹体的应力和应变通常是有奇异性的，即在裂纹顶端处的应力和应变为无穷大。
这在物理上是不合理的。
《线弹性断裂力学》课件
它涉及到材料或结构的强度、韧 性和耐久性等方面的评估，对于 工程结构的安全性和可靠性至关 重要。
断裂力学的重要性
在工程领域中，许多结构如桥梁、高 层建筑、压力容器等都需要承受较大 的外力，因此断裂力学对于这些结构 的可靠性评估具有重要意义。
通过断裂力学的应用，可以预测结构 在各种载荷下的行为，从而采取相应 的措施来提高结构的强度、韧性和耐 久性。
意义。
裂纹扩展的驱动力
总结词
裂纹扩展的驱动力是指促使裂纹扩展的力或能量来源，是线弹性断裂力学中的重要研究内容。
详细描述
裂纹扩展的驱动力可以来自外部载荷、温度梯度、化学腐蚀等多种因素。这些驱动力会导致裂纹面上 的应力分布发生变化，从而促使裂纹扩展。研究裂纹扩展的驱动力有助于深入了解材料的断裂机制和 行为，为结构的安全性和可靠性设计提供理论支持。
总结词
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的物理量，是线弹性断裂力学中的重要参数。
详细描述
弹性模量是指材料在弹性范围内，抵抗变形的能力。它是衡量材料刚度的指标，表示材料在单位应变下所需的应 力。弹性模量越大，材料抵抗变形的能力越强。在工程应用中，了解材料的弹性模量对于预测结构的强度和稳定 性至关重要。
未来研究展望
发展更为精确的数值模拟方法
利用高性能计算机和先进的数值方法，模拟更为复杂的断裂行为，提 高预测精度。
深入研究复杂环境和服役条件下的断裂问题
针对高温、高压、腐蚀等复杂环境和服役条件下的材料和结构，深入 研究其断裂行为和失效机理。
跨学科合作与交流
加强与其他学科领域的合作与交流，如物理学、化学、生物学等，以 促进对材料断裂行为的深入理解。
有限元分析方法可以处理复杂 的几何形状、材料非均匀性和 多种物理场耦合等问题，具有 广泛的应用前景。
线弹性断裂力学概述
K IC Y c a
不难看出，在线弹性条件下
GIC K IC E
必须指出，K I 与 K IC 是两个不同的概念， 应力强度因子 K I 是由载荷及裂纹体的形状和 尺寸决定的量，是表示裂纹尖端应力场强度的一个参量，可以用弹性理论的方法进行计算； 而断裂韧度 K IC 是材料具有的一种机械性能，表示材料抵抗脆性断裂的能力，由试验测定。 材料的断裂韧度随试件厚度的增加而下降，如图 5-4 所示。这是因为薄板的裂纹尖端处 于平面应力状态，裂纹不易扩展，其断裂韧度值较高，一般用 K C 表示平面应力断裂韧度。 随着板厚的增加，裂纹尖端处于平面应变状态的部分增加，裂纹较易扩展，因而断裂韧度下 降。 当板的厚度增加到某一定值以后， 裂纹韧度降至最低值， 称为平面应变断裂韧度， 用 K IC 表示。图 5-5 反映了加载速度对 KⅠC 影响。
三、裂纹类型
在断裂力学中，按裂纹受力情况，将裂纹分为三种基本类型，如图 5-2 所示。分别称为 张开型（Ⅰ型） 、滑开型（Ⅱ型）和撕开型（Ⅲ型） 。各种裂纹的受力情况如下：Ⅰ型裂纹受 垂直于裂纹面的拉应力的作用；Ⅱ型裂纹受平行于裂纹面而垂直于裂纹前缘的剪应力的作 用；Ⅲ型裂纹受既平行于裂纹面又平行于裂纹前缘的剪应力的作用。 Ⅰ型裂纹上下表面相对张开；Ⅱ型裂纹上下表面沿 X 轴相对滑开；Ⅲ型裂纹上下表面沿 Z 轴相对滑开。
图 5-4
板厚对应力强度因子的影响
图 5-5 加载速度对 KⅠC 影响
三、 线弹性力学在小范围屈服时的应用
线弹性断裂力学是以理想的线弹性体为对象的，然而对于一般的金属材料来说，其裂纹 端部将不可避免地出现一个或大或小的塑性区， 由于塑性区引起应力松弛， 使得该处的应力 场发生变化，对于小范围屈服，将线弹性断裂力学的公式加以修正。 裂纹平面内的法向应力，先不考虑塑性区的影响，当 0 时
清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学PPT课件
III型裂纹的复变函数表示方法 为了统一
应力场 位移场
32 i 31 ZIII
u3 Im ZIII
III型中心裂纹承受远场均匀剪切
lim
r0
2
r
22 12
r,0
r,
0
32
r
,
0
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal3of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
a
0 i2
x1,
0
ui
a
x1,
dx1
wtip a
5
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
Gda dU Fd
逐渐放松保持力过程
wtip da dU Fd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
σ
x1
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
KIII
lim
x1 0
2 x1 32 x1, 0
32 x1, 0
KIII
2 x1
u3 u3+ a x1, u3- a x1, =2u3+ a x1, =
断裂力学——精选推荐
2 2Ї
4Ї
4Ї
x 4
2
4Ї x 2y 2
4Ї y 4
0
(1-9)
及具体问题的边界条件。复连通域还要满足位移单值条件。求得应力函数 Ї后，可依下
式计算各应力分量
x
2Ї， y 2
y
2Ї， x 2
xy
2Ї xy
(1-10)
式中 Ї称为 Airy 应力函数。不难直接验证，若 fi (i 1,2,3) 均是调和函数，即
断裂力学涉及内容很广，这里只介绍一些基础性的内容。中国有句古话：“吃一堑， 长一智”。吃一次亏，出来一门新学科。断裂力学可以说是人类吃了大亏，从总结惨痛 血的教训中产生的。生产推动了科学发展，科学反过来又促进生产以更高的速度向前发 展。在这个过程中，旧的问题不断解决，新的矛盾又不断产生。最初，人们为了提高材 料的强度防止脆断，制成了钢材等塑性材料。进一步提高塑性材料的强度是通过阻止屈 服（阻止位错运动）来实现的。再进一步提高强度就出现了新的矛盾，强度高了，韧度 却低了，构件常在应力不高，甚至低于屈服极限的情况下发生突然的脆性破坏。如焊接 铁桥的突然倒塌，焊接轮船的脆性破坏，各种球罐的突然爆炸等等，均不能用传统的建 立在连续性假设基础上的强度科学（如材料力学）来解释。随着生产的发展，大量采用 新材料（高强度钢、复合材料、塑料）新工艺，新的工作条件（高温、高速、高压、低 温）等，致使古典强度科学无法适应新的生产水平的需要。对低应力脆断事故进行大量 分析研究表明脆性断裂是由于宏观缺陷或裂纹的失稳扩展引起的。有时，在裂缝的平衡 状态达到失稳的临界状态以前还会出现缓慢的准静态亚临界扩展，最后达到临界状态使 裂纹高速传播引起最终断裂。这样，强度科学不仅要通过阻止屈服以达到高强度，而且 要通过阻止裂纹的扩展来达到高的断裂韧度。
线弹性断裂力学
线弹性断裂力学
郭素娟
华东理工大学机械与动力学院 sujuanguo@
内容简介
现代断裂力学是在Griffith经典断裂理论的 基础上发展起来的： 线性弹性断裂力学 弹塑性断裂力学 动态断裂力学 从理论体系的成熟程度来看，线性弹性断裂力学 发展最为完善。本章将重点介绍线性弹性断裂力 学的一些基本知识。
无限体内有一椭圆裂纹，
沿z向长轴为2c，沿x向的
短轴为2a，沿y向受有均
匀拉伸应力作用。
2 a a KI (sin 2 2 cos 2 )1/ 4 Ek c
与位置 有关。
/2
Ek
0
(sin 2
a 2 1/ 2 cos ) d 2 c
2
x a
c z
于材料的屈服极限σs时，裂纹尖端附近会形成一个微小的塑 性区域，引起裂纹尖端区的应力松弛。 严格的讲，当裂纹尖端附近出现塑性区，线弹性断裂力 学的理论就不再适用。但如果屈服区很小(称为小范围屈服)，
主要内容
几个相关的基本概念 应力强度因子断裂理论 裂纹尖端塑性及应力强度因子塑性修正 能量平衡方法
应力场强度因子断裂理论的应用案例
思考题
应力强度因子断裂理论
裂纹尖端应力场和位移场
应力场强度因子的定义及确定方法
典型结构的应力强度因子
应力强度因子的叠加原理
应力场强度因子断裂判据
应力强度因子断裂理论
m DC E 2
几个相关的基本概念
平面应力与平面应变状态
实际构件的应力表现为三 维复杂情况 z
y
y
断裂力学-线弹性理论
上式是裂尖应力场的主项，还有r0阶项等。
r0时，应力sij以r-1/2的阶次趋于无穷大；
其后r0阶项等成为次要的，可以不计。 r， sij趋于零；但显然可知, 当q=0时，在x轴 上远离裂纹处，应有sy=s，且不受r的影响。故 此时应以其后的r0阶项为主项。
断裂力学关心的是裂纹尖端附近的应力场。
断裂动力学
● 1948年N．F．Mott(莫特), 进行了裂纹快速扩展速度的定量计算并将动 能引入Griffith能量准则;
● 1951年，E．H．Yoffe(约飞) ,提出了恒长度裂纹的匀速扩展模型，计及 惯性力，对裂纹分叉作定量分析;
1960年，J．W．Craggs(克拉格斯) ,提出了裂纹面受载而加载点随裂纹前进 的匀速扩展半无限长裂纹模型； 1960年, K B．Broberg(布洛伯格), 提出的裂纹从零长度开始对称地向两侧匀 速开裂模型较有实际意义。 ●Rice等多人先后导出了裂纹以等速传播情况的渐近应力场与位移场,提出 了动态应力强度因子概念及裂纹动态起始扩展准则、运动裂纹传播与止裂 准则、能量释放率准则。 尚处于初创阶段，除了线性材料的稳定裂纹动态起始扩展问题和对弹性波 的散射问题有较系统的直接解法作定量分析外，线性材料的裂纹快速传播 与止裂问题、非线性材料的动态裂纹问题、分叉问题等都是当前重要的研 究课题。
裂尖的应力强度因子K1： K1 s a
K反映了裂尖应力场的强弱；足标1表示是1型。
sij越大，K越大；裂纹尺寸a越大，K越大。
K的量纲为[应力][长度]1/2，常用MPa m 。
(5-1)式是中心穿透裂纹无穷大板的解。 断裂力学研究表明，K1可以更一般地写为：
K1 s a f ( a ,W ,...)
宏观裂纹指材料制造或加工及使用过程中形成的宏观尺度(10-2cm以上)的类 裂纹缺陷。在实际结构中这种裂纹的存在是难免的。
《高等工程力学》第6章_线弹性断裂力学(正式)
Fa 3 2 3EI
bh3 ，梁的柔度为 其中，I 12
2a 3 c F 3EI
由式(6-10)可以得到临界应变能释放率为
2 2 2 2 1 Fcr 2acr 12 Fcr acr Gcr 2 b EI Eb2 h3
图6-3 双悬臂梁的断裂试件
（6-11）
6.3 应力强度因子
第6章
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9
线弹性断裂力学
断裂分析的能量方法 临界应变能释放率的确定 应力强度因子 材料的断裂韧度 应用权函数法计算应力强度因子 叠加原理在计算应力强度因子中的应用 确定应力强度因子的其他方法 线弹性材料的断裂判据 小结
6.1 断裂分析的能量法1
K k a
（6-14）
式中，因数 k 为大于或等于l的值，其具体数值解答请见参考 有关文献。
6.3 应力强度因子 7
6.3.3 二维Ⅱ型裂纹和Ⅲ型裂纹
对于图6-5中平面问题的应力单元，类似关于Ⅰ型裂纹的推导，可以 给出平面剪切型(Ⅱ型)裂纹的应力强度因子KⅡ。裂纹尖端附近的应力场 为
6.3.1 裂纹的基本类型 裂纹基本类型： 类型Ⅰ（张开型），其裂纹表面位移彼此相反，方向均垂直于裂纹 的扩展方向，这是工程上常见的裂纹形式； 类型Ⅱ（滑开型），裂纹上下表面位移也彼此相反，一个沿着裂纹 扩展方向，另一个背离扩展方向； 类型Ⅲ（撕开型），裂纹上下表面产生方向相反的离面位移，如图 6-4所示。
1 F dx Fdx d V A l
（6-1）
式中，V为体积；F为力；A和l分别为截面积和长度。 对于线弹性材料（＝E），则应变比能为
E 2 2 2 2E
第二章_线弹性断裂力学20100929
dZ Z ( z + Δz ) − Z ( z ) 导数定义: Z ′( z ) = = lim dz Δz →0 Δz z = x + iy → Δz = Δx + iΔy
考虑路径： (1)Δx → 0, Δy = 0, Δz = Δx Re Z ( x + Δx, y) + i Im Z ( x+Δx, y) Re Z ( x, y) + i Im Z ( x, y) ′( z )= lim Z − lim Δy =0 Δy =0 Δx Δx Δx →0 Δx →0 Re Z ( x + Δx, y) − Re Z ( x, y) Im Z ( x+Δx, y) − Im Z ( x, y) = lim +i lim Δy =0 Δy =0 Δx Δx Δx →0 Δx →0
(z − a )
2 2 3 2
σ dZ dZ a 1 −3 Z ′( z ) = = =σ (− ξ 2 ) = − dz d ξ 2 2 2
Z ( z ) = ∫ Z ( z )dz = ∫
a − 3 − i 3θ r 2e 2 2
2 −i
σz
z 2 − a2
dξ = σ z − a → σ 2aξ = σ 2are
2
θ
2
KI θ θ 3θ cos (1 − sin sin ) 2 2 2 2π r KI θ θ 3θ σ y = Re Z + y Im Z ′ = cos (1 + sin sin ) 2 2 2 2π r KI θ θ 3θ τ xy = − y Re Z ′ = cos sin cos 2 2 2 2π r
积分 Z = ∫ ZdZ = Re Z + i Im Z Z = ∫ ZdZ = Re Z + i Im Z 它们都是解析函数，都满足柯西-黎曼条件
材料力学中的断裂力学分析方法研究
材料力学中的断裂力学分析方法研究引言：断裂力学是材料力学中的一个重要分支，研究材料在受力作用下的破裂行为和断裂过程。
在工程实践和科学研究中，了解材料的断裂行为对于设计和改进工程结构具有重要意义。
本文将介绍材料力学中的断裂力学分析方法，包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学和断裂力学的数值模拟方法。
一、线弹性断裂力学线弹性断裂力学是材料力学中最基本的断裂理论，适用于强度高、韧性差的材料。
线弹性断裂力学的基本原理是根据材料的线弹性性质，通过应力和应变的关系，计算出材料在受力作用下的应力强度因子。
应力强度因子是描述断裂过程中应力场的一种参数，可用于预测材料的断裂行为。
线弹性断裂力学的主要分析方法包括拉伸试验、根据裂纹尖端应力场求解应力强度因子、确定裂纹扩展方向的K-R曲线等。
二、弹塑性断裂力学当材料的强度和韧性较高时，线弹性断裂力学不能很好地描述材料的断裂行为。
此时，需要采用弹塑性断裂力学进行分析。
弹塑性断裂力学将材料的弹性和塑性行为结合起来，考虑材料在加载过程中的变形和断裂。
在弹塑性断裂力学中，应力强度因子的计算需要考虑材料的塑性缺口效应。
常见的弹塑性断裂力学分析方法包括J-积分法、能量法和应力强度因子法等。
三、断裂力学的数值模拟方法随着计算机技术的发展，断裂力学的数值模拟方法得到了广泛应用。
数值模拟方法能够更准确地描述材料的断裂行为，包括裂纹的扩展路径、失效载荷和断裂过程等。
常用的数值模拟方法有有限元法和离散元法。
有限元法以其广泛的适用性和高精度的计算结果而受到广泛关注。
在有限元法中，利用离散化的网格模型和连续介质力学理论，对材料的断裂过程进行模拟和分析。
离散元法则更适用于颗粒状材料或颗粒之间存在断裂的材料。
四、断裂力学在工程中的应用断裂力学在工程中有着广泛的应用。
通过对材料的断裂行为进行准确的分析和预测，可以为工程结构的设计和改进提供重要的依据。
例如，在航空航天工程中，断裂力学能够用于预测飞机机体的疲劳破坏和碰撞破坏情况；在汽车工程中，断裂力学可以帮助改进车辆的安全性能和减少事故发生的风险；在材料工程中，断裂力学可以用于评估材料的强度和韧性，优化材料生产工艺。
弹塑性断裂力学简介
7.1 裂纹尖端旳小范围屈服 7.2 裂纹尖端张开位移 7.3 COD测试与弹塑性断裂控制设计
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第七章 弹塑性断裂力学简介
线弹性断裂力学 (LEFM )
用线弹性材料物理模型，按照弹性力学措施，研究 含裂纹弹性体内旳应力分布，给出描述裂纹尖端应 力场强弱旳应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展 旳临界条件, 处理工程问题。
b服as，ed在o弹n a塑n性ela材st料ic 中cra却ck不t能ip承
sys
B A
s受ol。uti为on了. W承h受en这y些iel力din，g塑oc性cu区rs,
D K
s尺tr寸ess必m需us增t r大ed。istribute in order o rp
x
to satisfy equilibrium.
解： 1)无限大致中半椭圆表面裂纹最深处旳K最大， 考虑小范围屈服，在发生断裂旳临界状态有：
K1=1.1sQp ac = K1c ；
a
c=
Q 2K12c
1.21s 2p
Q 2= 1 + 1.47(0.5)1.64- 0.212(500 / 600 )2 = 1.32
20
故得到：
ac=
Q2K12c 1.21s 2p
将断裂判据式二边平方， 再将Q2代入，得： 1.21sc2 p a = K12c [1.034- 0.212( sc / sys )2]
21
即有：
sc2
=1.21p
(s1 -s 2 )2 + (s 2 - s 3 )2 + (s 3- s1)2=2 sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
断裂力学讲义第五章 线弹性断裂力学
第五章 线弹性断裂力学§5.1 引 言断裂力学是从材料强度问题提出的。
随着固体物理、物理力学等学科的发展，人们已能够大致从理论上计算出某些固体材料（特别是单晶体）的理论强度t σ。
例如，Orowan(1949)得到πσ2/E t ≈, Zhurkov （1957）得到E t ≈σ。
其中E 为杨氏模量。
但试验中测得的实际材料强度远远低于计算所得的理论强度, 两者往往相差几个数量级。
这一情况吸引着不少科学家去研究现有材料的强度比理论强度低的原因。
人们很早就认识到这是由于实际固体中存在着大量缺陷所致。
但这种认识在很长一段时期里只停留在定性说明阶段。
而对于缺陷如何定量地影响材料的强度，直到断裂力学的产生，才得到较明显的进展。
§4.2介绍了含椭圆孔平板受拉伸时的弹性解。
当拉伸应力σ垂直于椭圆长轴时，长轴端点处的环向应力最大。
由§4.2可得()σσb a /21max += (5.1)又椭圆长轴端点处的曲率半径为a b /2=ρ, 因此(5.1)又可以改写成()σρσ/21max a += (5.2)因而应力集中系数α为ρα/21a += (5.3)当ρ很小时，α很大。
当0→b 时，椭圆孔就退化为长为a 2的直线裂纹。
更一般的提法是0→ρ。
按上述计算公式得到∞→α。
这样的结果不能用传统的连续介质力学的观点来解释。
Griffith 没有直接考虑裂纹尖端的应力，绕过这一矛盾，而计算由于裂纹的存在，整个弹性板所释放的弹性势能为(参看§5.4)'/22E a W c πσ= (5.4)为简便起见，设板的厚度为1. 其中E 为杨氏弹性模量。
由于裂纹的出现，增加的表面能为：Γa S 4= (5.5) 其中Γ为单位面积的表面能。
Griffith 认为当裂纹端部扩展一小段长度da （裂纹长度从2a →2a+2da ）时，弹性势能的释放率dW c /da ，如果大于或等于表面能的增加率dS/da ，则裂纹处于不稳定状态，势必进一步扩展，因此而得到裂纹扩展的条件为dadSda dW c =(5.6) 将(5.4)，(5.6)代入上式，得临界应力σg 为：⎪⎭⎪⎬⎫-==)( )1(/2)( /22平面应变平面应力νπΓσπΓσa E a E g g (5.7)其中E 、Γ是材料常数。
线弹性断裂力学1
Irwin 小范围屈服理论
线弹性裂纹尖端场，其应力场具有 r -1/2 的奇 异性， 该奇异性的幅值大小可用应力强度因子来 表征。但从物理学的角度来看，真正奇异的应力 是不可能的，在裂纹尖端附近的材料必定发生屈 服。 Irwin 研究了小范围屈服的情况，指出在该情 况下应力强度因子K 仍有意义。
Irwin 小范围屈服理论
Irwin 应力强度因子理论
受均匀外力σ 作用具有长度为2a 的无限大板，KI 为：
KI a
它是裂纹尖端应力场幅值大小的度量。 裂纹尖端应力场的几点重要特点：
(3)
是一与外载和裂纹几何尺寸相关的量，通常称为应力强度因子，
（1） 裂纹尖端应力场具有 r -1/2 的奇异性； （2）应力强度因子 KI 是一与外载和裂纹几何尺寸相关的量，是裂纹尖端 应力场幅值大小的度量； （3）裂纹尖端应力场的表达式具有普遍性，不同裂纹体几何的影响通过应 力强度因子 KI 来反映。
Irwin 应力强度因子理论
I 型裂纹尖端场的表达式
对线弹性各向同性材料, I 型裂纹尖端应力场和位移场一般表达式为 ：
KI I ij ij ( ) 2r 0 33 ( 11 22 )
和
3 1 sin sin I 2 2 11 I 3 22 cos 1 sin sin 2 2 2 I 12 3 1 sin cos 2 2
(1)
KI ui 2
r Ui ( , ) 2
cos U1 2 ( cos ) I U sin 2 2
I
( 2)
为普遍适用的角分布函数 。（渐进解） （几何、加载方式）
第二章_线弹性断裂力学
（3）“无限大”体内深埋裂纹
K I2 cos 2 c
2
0
2
0
2 a sin 2 cos 2 d c
2
12
* 若a=c，则椭圆片状裂纹成为圆片裂纹
KI 2
a
3 x sin 2 cos cos 2 2 2 2 r K II 3 y cos sin cos 2 2 2 2 r K II
K II u 4G K II 4G w
r 3 2k 3 sin 2 sin 2 2
xz yz
K III 2 r K III
sin
2
2 2 r x y z xy 0 K III a
cos
K III 2r w sin G 2 u 0
第三节 应力场强度因子
1）不同裂纹下的应力场强度因子 （1）无限大板中的I型裂纹 (a) “无限大”平板具有长为2a的中心穿透裂纹 ，在“无限远”处受到双向拉应力作用。
K I sin a
* 若a≤c，则 a / c 0 ，
当θ=π/2时，即椭圆短轴端点处，KI有最大值，即
K I max a
可见，当a≤c，则 a / c 0 ，无限大体内的椭圆片状裂纹可近似 按无限大板内的中心穿透裂纹来处理。
（4）半无限体表面椭圆片状裂纹
K I M1
KI KI 3 cos 2 2 r 2r KI 3 cos 2 2 r 2r KI KI 3 3 sin cos cos sin 2 2 2 2 2 r 2 r 2r
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线弹性断裂力学的本质
一、线弹性断裂力学
1.1 线弹性断裂力学的研究范围
线弹性断裂力学是断裂力学的一个重要分支，它是用弹性力学的线性理论对裂纹体进行力学分析，并采用由此求得的某些特征参量（如应力强度因子、能量释放率）作为判断裂纹扩展的准则。
线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。
研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。
1.2线弹性断裂力学的基本理论
线弹性断裂力学的基本理论包括：
●Griffith理论，即能量释放率理论；
●Irwin理论，即应力强度因子理论。
Griffith理论：1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚
的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis解。
1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。
Orowan在1948年对其发展指出，金属材料在裂纹的扩展过程中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。
因此，裂纹扩展时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能（也称为塑性功）。
Irwin的理论：Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏—破坏前裂
纹尖端附近有相当范围的塑性变形 .该理论的提出是线弹性断裂力学诞生的标志。
Irwin认为裂纹尖端存在奇异性，基于这种性质，1957年Irwin提出新的物理量—应力强度因子。
1.3线弹性断裂力学的应用
按线弹性力学求得的裂纹体的应力和应变通常是有奇异性的，即在裂纹顶端处的应力和应变为无穷大。
这在物理上是不合理的。
实际上，裂纹顶端附近的应力和应变很大，线弹性力学在裂纹顶端不适用。
一般说，这些区域的情况很复杂，很多微观因素（如晶粒大小、位错结构等）对裂纹顶端应力场影响很大。
线弹性断裂力学不考虑裂纹顶端的复杂情况，而采用裂纹顶端外部区域的应力状况来表征断裂特性。
当外加载荷不大时，裂纹顶端附近一个小区域内的应力和应变的变化并不影响外面大区域内的应力和应变的分布，而且在小区域外围作用的应力、应变场可以由应力强度因子这个参量确定。
对于这种载荷作用下裂纹的失稳和扩展，线弹性断裂力学是适用的。
线弹性断裂力学适用的载荷值根据经验可以由下面两个不等式确定：
，
，式中为裂纹长度；为构件厚度；为材料的
屈服极限；为在外载荷作用下，根据线弹性断裂力学计算得的应力强度因子。
就是说，由外载荷算得的应力强度因子要满足这两个不等式。
此外，在线弹性断裂力学中一般还要求在载荷下构件整体的响应是线性的。
二、裂纹的类型和断裂特征
2.1裂纹的类型
缺陷一般分为平面缺陷和立体缺陷，线弹性断裂力学通常研究的是平面缺陷。
平面缺陷通常被归结为裂纹类缺陷，裂纹按几何类型可以分为：1、穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿2、表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为半椭圆裂纹3、深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭圆裂纹。
2.2裂纹的受力和断裂特征分类
裂纹的受力和断裂特征可以分为：1、张开型(Ⅰ型):拉应力垂直于裂纹扩展面,裂纹上、下表面沿作用力的方向张开,裂纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种裂纹2、滑开型(Ⅱ型):裂纹扩展受切应力控制,切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.3、撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展。
三、裂纹尖端附近的应力场和位移值
3.1远场与近场
在裂纹尖端建立极坐标系，在r→∞处的应力场，应力场和位移场成为远场，在r→0处的应力场，应力场和位移场称为近场。
3.2远场条件与近场条件
远场条件主要指裂纹体中处于有限远和无限远的外边界处的应力边界处的应力边界，位移边界条件或混合边界条件。
近场条件主要是撕裂面的边界条件。
经典断裂力学在外载荷的剪应力分量很小的假设条件下，认为裂纹面的摩擦作用可以忽略，从而以裂纹面张开或裂纹面无摩擦接触来构造裂纹面的边界条件。
四、应用线弹性断裂力学所必须的基本假设
1、连续性假设：裂纹之外区域材料是连续的，原始裂纹面和裂纹瞬时扩展面材料是不连续的。
2、均匀性和各向同性假设：连续域中材料是均匀的和各向同性的。
3、小变形假设：裂纹周围和裂纹扩展区域材料处于弹性变形或处于与弹性变形同数量级变形。
4、椭圆、半椭圆或矩形状平面裂纹面假设。