量子力学试题2008年含答案

2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业
光电子方向量子力学试题（A 卷）
（说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分）
计分人： 复查人：
一、填空题：（每题 4 分，共40 分）
1. 微观粒子具有波粒二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν,
p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2
),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。

4．量子力学中力学量用厄米算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量
F 所得的数值，必定是算符F
ˆ的本征值。

7．定态波函数的形式为：t E i
n n e
x t x η
-=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。

10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：2
η
± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）
1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：
证明：
z
y
x
L
i
L
Lˆ
]
ˆ,
ˆ[η
=
]
ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ
[
]
ˆ,
ˆ[
z
x
y
z
y
x
p x
p z
p z
p y
L
L-
-
=
]
ˆ
ˆ
,
ˆ
[
]
ˆ
ˆ
,
ˆ
[
z
x
y
z
x
z
p x
p z
p z
p x
p z
p y-
-
-
=
]
ˆ
,
ˆ
[
]
ˆ
,
ˆ
[
]
ˆ
,
ˆ
[
]
ˆ
,
ˆ
[
z
y
x
y
z
z
x
z
p x
p z
p z
p z
p x
p y
p z
p y+
-
-
=
]
ˆ
,
ˆ
[
]
ˆ
,
ˆ
[
z
y
x
z
p x
p z
p z
p y+
=
y
z
z
y
z
x
x
z
p
p x
z
p x
p
z
p
p z
y
p z
p
yˆ]
ˆ
,
[
]
ˆ
,
ˆ[
ˆ]
ˆ
,
[
]
ˆ
,
ˆ[+
+
+
=
y
z
x
z
p
p x
z
p z
p
yˆ]
ˆ
,
[
]
ˆ
,
ˆ[+
=
y
z
y
z
x
z
x
z
p
p
x
z
p
p
z
x
p
z
p
y
p
p
yzˆ
ˆ]
,
[
ˆ]
ˆ,
[
ˆ]
,
ˆ[
]
ˆ,
ˆ[+
+
+
=
y
x
p
i
x
p
i
yˆ)
(
ˆ)
(η
η+
-
=
]
ˆ
ˆ
[
x
y
p y
p x
i-
=η
z
L
iˆη
=
2、（10分）由Schr ödinger 方程
证明几率守恒：
其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
三、计算题：（共40分）
2
|),(|),(),(),(t r t r t r t r ρ
ρρρ
ψ=ψψ=*
ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ
∂ψ=-∇+ψ∂h r r r
h 0
=•∇+∂∂
J t
ρω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=
**μ
η
ρ
i J 22[](1)2i V t μ∂ψ=-∇+ψ∂h h 22[](2)
2i V t μ
**
∂-ψ=-∇+ψ∂h h (1)(2)*ψ⨯-ψ⨯将式得：
]
[2222
****
ψ∇ψ-ψ∇ψ-=ψ∂∂ψ+ψ∂∂ψμ
ηηηt i t i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ∂∂***
μ
ηη）（t i τ
μ
ττ
τd d dt d i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ***
⎰⎰ηη）（τ
μ
τττd i d dt d ][2ψ∇ψ-ψ
∇ψ•∇-=ψψ**
*⎰⎰η）（ττωττd J d t r dt
d
ρρ•∇-=⎰⎰),(0=•∇+∂∂
J t
ρω
1、（10分）设氢原子处于状态
),()(2
3
),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=
Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值
2
2
2
22
282ηηs s e n e E μμ-
=-
=)2(=n ，几率为1
角动量平方有确定值为
2222)1(ηηλλ=+=L )1(=λ，几率为1
角动量Z 分量的可能值为
01=Z L η-=2Z L
其相应的几率分别为
41， 4
3
2、（10分）求角动量z 分量的本征值和本征函数。

ˆz
d L i d φ
=-h l d i L φψφψφψη=-=)()()(ˆ
解：
波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：
求归一化系数
最后，得L z 的本征函数
3、（20分）某量子体系Hamilton 量的矩阵形式为：
⎪
⎪⎫ ⎛=0301c c
H π
πφ
φψπ
π21
12||2202220=→===⎰
⎰
c c
d c d Λ
η,2,1,021)(±±=⎪⎩
⎪⎨
⎧==m e m l im m z φ
π
φψ)
2()(πφψφψ+=)2(πφφ+=→z
i z i l l ce
ce ηη1
2=πz
i l e ηΛ
η,2,1,022±±==m m l z
ππ于是Λη,2,1,0±±==→m m l z
设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似。

解：c << 1，可取0 级和微扰Hamilton 量分别为：
H 0 是对角矩阵，是Hamilton H 0在自身表象中的形式。

所以能量的0 级近似为：
E 1(0)
= 1 E 2(0)
= 3 E 3
(0)
= -2
由非简并微扰公式
得能量一级修正：
能量二级修正为：
⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c c H H 0000002000300010⎪⎩⎪⎨⎧-'='=∑
≠)
0()0(2)2()1(||k n kn
n k n nn n E E H E H E ⎪⎩⎪⎨⎧='=='=='=c H E H E H E 33)
1(322
)
1(211)1(100
221)
0(3)0(1231)0(2)0(1221)0()0(121)2(1||||||c E E H E E H E E H E k k n k -=-'+-'=-'=∑
≠2
21)
0(3
)0(2232)
0(1
)0(2212)
0()0(222)2(2||||||c
E E H E E H E E H E k
k n
k =-'+
-'=
-'=∑
≠
二级近似下能量本征值为：
0||||||)0(2)0(32
23)0(1)0(3213)
0()0(323)2(3=-'+-'=-'=∑
≠E E H E E H E E H E k k n k ⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=+=-=c E c E c E 2313221222
11。