小升初奥数五年级奥数—数论之同余问题
数论之同余问题
因为13903 13511 392,14589 13903 686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,
余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整 除.（392,686） 98，所以所求的最大整数是98.
（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与
定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数
【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,
所以每198个数一次.
1〜198之间只有1,2,3，…，17,198（余0）
这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999±198=5…•…9,所以共有5X18+9=99个
这样的数.
【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余 数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除 以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位 数中最大数是多少，最小数是多少？
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995.
［例4】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整
数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之
和是50,那么这个整数是.
【解析】（70 110 160） 50 290,50 316……2,除数应当是290的大于
【解析】设这个三位数为s'它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n,则s 17a m 19b n.
根据题意可知a m b n,所以s am s b n，即16a 18b,得8a 9..所以a是9的倍数，b是8的倍数.此时,
由于s为三位数，最小为100,最大为999，所以
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
数论之同余问题 2
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），知识点拨：三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。
则20-8一定能被2整除例商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克。
小学五年级奥数—数论之同余问题之欧阳学文创作
一、带余除法的定义及性质：欧阳学文一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b 的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a －b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
小升初奥数备考讲义第六讲数论之同余定理、个位律精英版
小升初奥数备考讲义第六讲数论之同余定理、个位律精英版同余定理及其应用同余定理是数论的一个重要概念，它在奥数竞赛中经常被用来解决问题。
同余定理的精髓可以用下面的一句话来概括：如果两个数除以一个数得到的余数相等，那么这两个数对于这个数来说是同余的。
具体来说，对于给定的整数 a、b 和正整数 m，如果 a 除以 m 得到的余数与 b 除以 m 得到的余数相等，即 a mod m = b mod m，那么就可以说 a 和b 是关于模 m 同余的，记作 a ≡ b (mod m)。
同余定理可以表示为以下几个性质：1.自反性：对于任意整数 a 和正整数 m，有 a ≡ a (mod m)。
2.对称性：对于任意整数 a、b 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m)，则 b ≡ a (mod m)。
3.传递性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且b ≡c (mod m)，则 a ≡ c (mod m)。
了解了同余定理的性质后，我们就可以开始利用同余定理解决一些有关数的性质或问题了。
应用一：同余定理的运算第1页/共4页同余定理对于数的加减乘除运算有一些有趣且有用的性质。
1.加法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡ b (mod m)，那么 a + c ≡ b + b (mod m)。
2.减法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡ b (mod m)，那么 a - c ≡ b - b (mod m)。
3.乘法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡d (mod m)，那么 a × c ≡ b × d (mod m)。
4.除法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡d (mod m)，且 c 和 m 互素，那么 a ÷ c ≡ b ÷ d (mod m)。
小学奥数 数论 余数问题 同余问题.题库版
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学五年级奥数—数论之同余问题
一、带余除法的定义及性质：之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日一般地,假如a是整数,b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)当时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不成以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经由打包后共打包了c捆,那么这个c 就是商,最后还残剩d本,这个d就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数必定要比除数小.二、三大余数定理：a与b的和除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.a与b的乘积除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子暗示为：a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.由同余的性质,我们可以得到一个很是重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差必定能被m整除用式子暗示为：假若有a≡b ( mod m ),那么必定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)三、弃九法道理：在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时常日是在一个铺有沙子的土板长进行,因为害怕以前的计算成果丧掉落而经常考验加法运算是否精确,他们的考验方法是这样进行的：例如：考验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式必定是错的.上述考验方法正好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即假如这个等式是精确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数必定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,经常不必去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时刻往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九发道理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.往后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.运用十进制的这个特点,不但可以考验几个数相加,对于考验相乘、相除和乘方的成果对不合错误同样适用留心：弃九法只能知道原题必定是错的或有可能精确,但不克不及包管必定精确.例如：考验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的但是反过来,假如一个算式必定是精确的,那么它的等式2两端必定知足弃九法的规律.这个思惟往往可以帮忙我们解决一些较复杂的算式迷问题.四、中国残剩定理：1.中国现代趣题：中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国残剩定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士若干,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人…….刘邦茫然而不知其数.我们先推敲下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有若干？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）.孙子算经的作者及确实著作年代均不成考,不过按照考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人创造得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国残剩定理.中国残剩定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占据一席很是重要的地位.2.核心思惟和方法：对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握即可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,阐发此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？标题中我们可以知道,一个自然数辨别除以3,5,7后,得到三个余数辨别为2,3,2.那么我们首先机关一个数字,使得这个数字除以3余1,并且照样5和7的公倍数.先由,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不适合要求,那么就中断看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然70除以3余1类似的,我们再机关一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以适合要求.最后再机关除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45适合要求,那么所求的自然数可以这样计算：,个中k是从1开始的自然数.也就是说知足上述关系的数有无穷多,假如按照实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数.例如对上面的问题加上限制前提“知足上面前提最小的自然数”,那么我们可以计算得到所求假如加上限制前提“知足上面前提最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128.例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数去除,得到商是46,余数是,乞降．【解析】因为是的倍还多,得到,得,所以,．【巩固】(清华附中小升初分班测验)甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数．【解析】(法1)因为甲乙,所以甲乙乙乙乙；则乙,甲乙．(法2)将余数先去掉落落变成整除性问题,运用倍数关系来做：从中减掉落落往后,就应该是乙数的倍,所以得到乙数,甲数．【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【解析】本题为余数问题的根本题型,需要学生明白一个重要常识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题.方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数.本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要知足比37大,适合前提的有39,91.【例 1】(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数是若干？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,因为被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115,所以被除数=2083-115=1968．【巩固】用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是若干？【解析】本题为带余除法定义式的底子题型.按照题意设两个自然数辨别为x,y,可以得到,解方程组得,即这两个自然数辨别是856,21.【例 2】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不合的自然数的和为2001,它们辨别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______.【解析】设所得的商为,除数为．,,由,可求得,．所以,这三个数辨别是,,.【巩固】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________．【解析】设这个自然数除以11余,除以9余,则有,即,只有,,所以这个自然数为.【例 3】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小同伙,已知第二组比第一组多5人．假如把书全部分给第一组,那么每人4本,有残剩；每人5本,书不敷．假如把书全分给第二组,那么每人3本,有残剩；每人4本,书不敷．问：第二组有若干人?【解析】由,知,一组是10或11人．同理可知,知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人．【巩固】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数．【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数必定大于,并且小于；又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为．【模块二：三大余数定理的运用】【例 4】有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【解析】这个题没有奉告我们,这三个数除以这个数的余数辨别是若干,但是因为所得的余数相同,按照同余定理,我们可以得到：这个数必定能整除这三个数中的随便率性两数的差,也就是说它是随便率性两数差的合同数．,,,的约数有,所以这个数可能为.【巩固】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法1),,,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是；(法2)因为所得的余数相同,得到这个数必定能整除这三个数中的随便率性两数的差,也就是说它是随便率性两数差的合同数．,,,所以这个数是．【巩固】在小于1000的自然数中,辨别除以18及33所得余数相同的数有若干个?(余数可以为0)【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次．1～198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数．【巩固】(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是若干,最小数是若干？【解析】设这个三位数为,它除以17和19的商辨别为和,余数辨别为和,则．按照题意可知,所以,即,得．所所以9的倍数,是8的倍数．此时,由知．因为为三位数,最小为100,最大为999,所以,而,所以,,得到,而是9的倍数,所以最小为9,最大为54．当时,,而,所以,故此时最大为；当时,,因为,所以此时最小为．所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154．【例 5】两位自然数与除以7都余1,并且,求．【解析】能被7整除,即能被7整除．所以只能有,那么可能为92和81,验算可得当时,知足标题要求,【巩固】黉舍新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,假如将这三种物品等分给每个班级,那么这三种物品剩下的数目相同．请问黉舍共有若干个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的合同数,所求答案为17．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【解析】因为, ,因为13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除．,所以所求的最大整数是98．【例 6】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2,,,,,,…的余数辨别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的个数是3的倍数时,用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4．因为,所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数,与两个数辨别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1,所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若个中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5．因为,,所以这样的数组共有下面4个：, ,,．【例 7】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______．【解析】,,除数应该是290的大于17小于70的约数,只可能是29和58,,,所以除数不是58．,,,,所以除数是【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________【解析】n能整除．因为,所以n是258大于8的约数．显然,n不能大于63．适合前提的只有43．【巩固】号码辨别为101,126,173,193的4个运策动进行乒乓球竞赛,规定每两人竞赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运策动打了若干盘?【解析】本题可以表现出加法余数定理的巧用.计算101,126,173,193除以3的余数辨别为2,0,2,1.那么随便率性两名运策动的竞赛盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可.显然126运策动打5盘是最多的.【例 8】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生辨别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一路到新华书店采办《成语大词典》．一看定价才创造有5集团带的钱不敷,但是个中甲、乙、丙3人的钱凑在一路正好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一路正好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱正好能买3本,所以他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1．易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大词典》的定价是(元) ．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)市廛里有六箱货品,辨别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了个中的五箱．已知一个顾客买的货品重量是另一个顾客的2倍,那么市廛剩下的一箱货品重量是________千克．【解析】两个顾客买的货品重量是的倍数．,剩下的一箱货品重量除以3应该余2,只能是20千克．【例 9】求的余数．【解析】因为,,,按照同余定理(三),的余数等于的余数,而,,所以的余数为5．【巩固】(华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数．【解析】先求出乘积再求余数,计算量较大．可先辨别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数．除以17的余数辨别为2,7和11,．【巩固】求的最后两位数．【解析】即推敲除以100的余数．因为,因为除以25余2,所以除以25余8,除以25余24,那么除以25余1；又因为除以4余1,则除以4余1；即能被4 和25整除,而4与25互质,所以能被100整除,即除以100余1,因为,所以除以100的余数即等于除以100的余数,而除以100余29,除以100余43,,所以除以100的余数等于除以100的余数,而除以100余63,所以除以100余63,即的最后两位数为63．【巩固】除以13所得余数是_____.【解析】我们创造222222整除13,2000÷6余2,所以答案为22÷13余9.【巩固】求除以7的余数．【解析】法一：因为 (143被7除余3),所以 (被7除所得余数与被7除所得余数相等)而,（729除以7的余数为1）,所以．故除以7的余数为5.法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表：于是余数以6为周期变更．所以．【巩固】（2007年实验中学考题）除以7的余数是若干？【解析】因为,而1001是7的倍数,所以这个乘积也是7的倍数,故除以7的余数是0；【巩固】被除所得的余数是若干？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时被13除所得余数辨别是5,12,8,1,5,12,8,1以4为周期轮回消掉,所以被13除的余数与被13除的余数相同,余12,则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时,被13除所得的余数辨别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期轮回消掉,所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数,即4,故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是．【巩固】(2008年奥数网杯)已知,问：除以13所得的余数是若干？【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,留心到；；；按照这样的递推规律求出余数的变更规律：20082008除以13余,200820082008除以13余,即200820082008是13的倍数．而除以3余1,所以除以13的余数与除以13的余数相同,为6.【巩固】除以41的余数是若干？【解析】找规律：,,,,,……,所以77777是41的倍数,而,所以可以分红399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7．【巩固】除以10所得的余数为若干？【解析】求成果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一轮回的,而对一个数的幂方的个位数,我们知道它老是4个一轮回的,是以把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则不合组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算的个位数字,为的个位数字,为4,因为2005个加数共可分红100组另5个数,100组的个位数字和是的个位数即0,别的5个数为、、、、,它们和的个位数字是的个位数 3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3．【例 10】 求所有的质数P,使得与也是质数．【解析】 假如,则,都是质数,所以5适合题意．假如P 不等于5,那么P 除以5的余数为1、2、3或者4,除以5的余数即等于、、或者除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况．假如除以5的余数为1,那么除以5的余数等于除以5的余数,为0,即此时被5整除,而大于5,所以此时不是质数；假如除以5的余数为4,同理可知不是质数,所以P 不等于5,与至少有一个不是质数,所以只有知足前提．【巩固】 在图表的第二行中,正好填上这十个数,使得每一竖列凹凸两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数,等于两个数辨别除以11的余数之积．是以原题中的可以改换为,这样凹凸两数的乘积除以11余3就随便马虎计算了．我们得到下面的成果：因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数37195621048进而得到本题的答案是：89909192939495969798因数91958997939490989296因数【巩固】(2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式(个中), 在校正时,创造右边的积的数字次序消掉错误,但是知道最后一位6是精确的,问原式中的是若干？【解析】因为,, 于是,从而(用代入上式考验)…(1),对进行谈论：假如,那么…(2),又的个位数字是6,所以的个位数字为4,可能为、、、,个中只有适合(2),经考验只有适合题意．假如,那么…(3),又的个位数字为2或7,则可能为、、、、,个中只有适合(3),经考验,不合题意．假如,那么…(4),则可能为、,个中没有适合(4)的．假如,那么,,,是以这时不成能适合题意．综上所述,是本题独一的解．【例 11】一个大于1的数去除290,235,200时,得余数辨别为,,,则这个自然数是若干？【解析】按照题意可知,这个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数（都为）．既然余数相同,我们可以运用余数定理,可知个中随便率性两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是的约数,又是的约数,是以就是57和38的合同数,因为57和38的合同数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19．【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是若干？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,是以这个自然数是的约数,又大于10,这个自然数只能是17或者是34．假如这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数辨别是22、28、16,不适合标题前提；假如这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数辨别是5、11、16,适合标题前提,所以这个自然数是17．【例 12】甲、乙、丙三数辨别为603,939,393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于若干？【解析】按照题意,这三个数除以都有余数,则可以用带余除法的形式将它们暗示出来：因为,,要消去余数,,,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍,同理,第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数,意味着能被整除．,,．51的约数有1、3、17、51,个中1、3显然不知足,考验17和51可知17知足,所以等于17．【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数辨别是、、,求这个自然数和的值.【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：,、,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是,故同余.将这三个数相减,得到、,所求的自然数必定是和的合同数,而,所以这个自然数是的约数,显然1是不适合前提的,那么只能是19.经由验证,当这个自然数是时,除、、所得的余数辨别为、、,时成立,所以这个自然数是,.【模块三：余数分化运用】【例 13】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为若干？【解析】斐波那契数列的组成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和,由此可以按照余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项中断两个是1,与第一项和第二项的值相同且地位中断,所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期轮回消掉,因为2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数,为0.【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数：1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是前两个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数？【解析】因为两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数辨别为：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……可以创造这串余数中,每20个数为一个轮回,且一个轮回中,每5个数中第五个数是5的倍数．因为,所以前2009个数中,有401个是5的倍数．【例 14】(圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数,并且求出了它辨别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【解析】除以3、6和9的余数辨别不超出2,5,8,所以这三个余数的和永远不超出,既然它们的和等于15,所以这三个余数辨别就是2,5,8．所以该数加1后能被3,6,9整除,而,设该数为,则,即（为非零自然数）,所以它除以18的余数只能为17．【巩固】(2005年喷鼻香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们随便率性三人的岁数之和都是3的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最大,问：母亲是若干岁?【解析】从随便率性三人岁数之和是3的倍数,100除以3余1,就知四个岁数都是型的数,又是质数．只有7,13,19,31,37,43,就随便马虎看出：父43岁,母37岁,兄13岁,妹7岁．【例 15】(华杯赛试题)如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),小明像玩跳棋那样,从孔出发沿着逆时针标的目标,每隔几孔跳一步,欲望一圈往后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步,成果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,你知道这个圆圈上共有若干个孔吗?【解析】设想圆圈上的孔已按下面方法编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针标的目标按序编号为2,3,4,…,B孔的编号就是圆圈上的孔数．我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?很随便马虎看出应在1,4,7,10,…上,也就是说,小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意,小明最后跳到B孔,是以总孔数是3的倍数加1．同样道理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔,就意味着总孔数是7的倍数．假如将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数,设孔数为,则（为非零自然数）并且能被7整除．留心15被7除余1,所以被7除余6,15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出,15的其他(小于的7)倍数加1都不克不及被7整除,罢了经大于100．7以上的倍数都不必推敲,是以,总孔数只能是．【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以。
小升初奥数同余问题
同余问题被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数）同余定理 1 如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。
并且我们说a，b之间的差能被c整除。
（a b c三个数都是自然数）例1：有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？习题1：已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a 和b的值.同余定理 2 a和b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。
（a b c均为自然数）例2：22003除以7的余数是多少？习题2：3145368765987657的积,除以4的余数是_____.例3：今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么？（中国剩余定理）分析：此题就是国际上有名的“中国剩余定理”，早在中国古代人们就中国人民就掌握了这种题型的解法。
此题解法很多，在此介绍同余尝试法。
在附录中有此种题型的一般解法。
题目中给出的条件比较多，假如一开始就同时考虑三个条件，由于关系复杂很难一下子看出答案。
所以应该先考虑其中的一个条件，进而考虑其中的两个条件，最后考虑三个条件，以求出最后答案。
一般应该先考虑除数最大的那个条件，即找出除以7余2的数：2 ，9 ，16 ，23，30，37，43，50，57,,在此，我们必须在上面的数列中找出满足第二个条件的数，即除以5余3的数，显然，23，23+5×7，23+5×7×2，23+5×7×3，23+5×7×4,,以上数列都能满足前面两个要求。
所以，能够满足‘除以7余2，除以5余3’这两个条件的数有23，58，93，128，163，198，233，268，303，338,,接下去，我们要继续考虑第三个条件，以上数列中满足除以3余数是2的数，显然23，23+5×7×3，23+5×7×3×2，23+5×7×3×3,,综上，我们发现23，128，233，338，443,,均能满足‘除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2’，其中最小的数是23。
小学奥数—同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小升初奥数余数同余要点总结
小升初奥数余数同余要点总结
小升初奥数余数同余要点总结
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的'余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M 的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
小学五年级奥数—数论之同余问题
一、带余除法的定义及性质：之老阳三干创作时间：二O二一年七月二十九日一般地,如果a是整数,b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)当时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不成以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求依照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数一定要比除数小.二、三大余数定理：a与b的和除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.a与b的乘积除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子暗示为：a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.由同余的性质,我们可以得到一个很是重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除用式子暗示为：如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方法是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的.上述检验办法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,经常不必去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种办法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.利用十进制的这个特性,不但可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不合错误同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不克不及包管一定正确.例如：检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律.这个思想往往可以帮忙我们解决一些较庞杂的算式迷问题.四、中国剩余定理：1.中国现代趣题：中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御战士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人…….刘邦茫然而不知其数.我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）.孙子算经的作者及确实著作年代均不成考,不过按照考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发明得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席很是重要的地位.2.核心思想和办法：对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握即可一通百通的办法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,阐发此办法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？题目中我们可以知道,一个自然数辨别除以3,5,7后,得到三个余数辨别为2,3,2.那么我们首先机关一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数.先由,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不合适要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然70除以3余1类似的,我们再机关一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以合适要求.最后再机关除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45合适要求,那么所求的自然数可以这样计算：,其中k是从1开始的自然数.也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果按照实际情况对数的规模加以限制,那么我们就能找到所求的数.例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,那么我们可以计算得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128.例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数去除,得到商是46,余数是,求和．【解析】因为是的倍还多,得到,得,所以,．【巩固】(清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数．【解析】(法1)因为甲乙,所以甲乙乙乙乙；则乙,甲乙．(法2)将余数先去掉酿成整除性问题,利用倍数关系来做：从中减掉以后,就应当是乙数的倍,所以得到乙数,甲数．【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【解析】本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题.办法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数.本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要满足比37大,合适条件的有39,91.【例 1】(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数是多少？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115,所以被除数=2083-115=1968．【巩固】用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少？【解析】本题为带余除法定义式的基本题型.按照题意设两个自然数辨别为x,y,可以得到,解方程组得,即这两个自然数辨别是856,21.【例 2】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不合的自然数的和为2001,它们辨别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______.【解析】设所得的商为,除数为．,,由,可求得,．所以,这三个数辨别是,,.【巩固】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________．【解析】设这个自然数除以11余,除以9余,则有,即,只有,,所以这个自然数为.【例 3】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余；每人5本,书不敷．如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余；每人4本,书不敷．问：第二组有多少人?【解析】由,知,一组是10或11人．同理可知,知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人．【巩固】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数．【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于,并且小于；又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为．【模块二：三大余数定理的应用】【例 4】有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【解析】这个题没有告知我们,这三个数除以这个数的余数辨别是多少,但是由于所得的余数相同,按照同余定理,我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的条约数．,,,的约数有,所以这个数可能为.【巩固】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法1),,,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是；(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的条约数．,,,所以这个数是．【巩固】在小于1000的自然数中,辨别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次．1～198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数．【巩固】(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少？【解析】设这个三位数为,它除以17和19的商辨别为和,余数辨别为和,则．按照题意可知,所以,即,得．所以是9的倍数,是8的倍数．此时,由知．由于为三位数,最小为100,最大为999,所以,而,所以,,得到,而是9的倍数,所以最小为9,最大为54．当时,,而,所以,故此时最大为；当时,,由于,所以此时最小为．所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154．【例 5】两位自然数与除以7都余1,并且,求．【解析】能被7整除,即能被7整除．所以只能有,那么可能为92和81,验算可得当时,满足题目要求,【巩固】学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的条约数,所求答案为17．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【解析】因为, ,由于13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除．,所以所求的最大整数是98．【例 6】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2,,,,,,…的余数辨别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的个数是3的倍数时,用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4．因为,所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数,与两个数辨别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1,所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5．因为,,所以这样的数组共有下面4个：, ,,．【例 7】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______．【解析】,,除数应当是290的大于17小于70的约数,只可能是29和58,,,所以除数不是58．,,,,所以除数是【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________【解析】n能整除．因为,所以n是258大于8的约数．显然,n不能大于63．合适条件的只有43．【巩固】号码辨别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球角逐,规定每两人角逐的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用.计算101,126,173,193除以3的余数辨别为2,0,2,1.那么任意两名运动员的角逐盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可.显然126运动员打5盘是最多的.【例 8】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生辨别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一起到新华书店采办《成语大词典》．一看定价才发明有5团体带的钱不敷,但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本,所以他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1．易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大词典》的定价是(元) ．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物,辨别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【解析】两个顾客买的货物重量是的倍数．,剩下的一箱货物重量除以3应当余2,只能是20千克．【例 9】求的余数．【解析】因为,,,按照同余定理(三),的余数等于的余数,而,,所以的余数为5．【巩固】(华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数．【解析】先求出乘积再求余数,计算量较大．可先辨别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数．除以17的余数辨别为2,7和11,．【巩固】求的最后两位数．【解析】即考虑除以100的余数．由于,由于除以25余2,所以除以25余8,除以25余24,那么除以25余1；又因为除以4余1,则除以4余1；即能被4 和25整除,而4与25互质,所以能被100整除,即除以100余1,由于,所以除以100的余数即等于除以100的余数,而除以100余29,除以100余43,,所以除以100的余数等于除以100的余数,而除以100余63,所以除以100余63,即的最后两位数为63．【巩固】除以13所得余数是_____.【解析】我们发明222222整除13,2000÷6余2,所以答案为22÷13余9.【巩固】求除以7的余数．【解析】法一：由于 (143被7除余3),所以 (被7除所得余数与被7除所得余数相等)而,（729除以7的余数为1）,所以．故除以7的余数为5.法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的办法,规律如下表：于是余数以6为周期变更．所以．【巩固】（2007年实验中学考题）除以7的余数是多少？【解析】由于,而1001是7的倍数,所以这个乘积也是7的倍数,故除以7的余数是0；【巩固】被除所得的余数是多少？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时被13除所得余数辨别是5,12,8,1,5,12,8,1以4为周期循环出现,所以被13除的余数与被13除的余数相同,余12,则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时,被13除所得的余数辨别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期循环出现,所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数,即4,故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是．【巩固】(2008年奥数网杯)已知,问：除以13所得的余数是多少？【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,注意到；；；按照这样的递推规律求出余数的变更规律：20082008除以13余,200820082008除以13余,即200820082008是13的倍数．而除以3余1,所以除以13的余数与除以13的余数相同,为6.【巩固】除以41的余数是多少？【解析】找规律：,,,,,……,所以77777是41的倍数,而,所以可以分红399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7．【巩固】除以10所得的余数为多少？【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,而对一个数的幂方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则不合组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算的个位数字,为的个位数字,为4,由于2005个加数共可分红100组另5个数,100组的个位数字和是的个位数即0,另外5个数为、、、、,它们和的个位数字是的个位数 3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3．【例 10】 求所有的质数P,使得与也是质数．【解析】 如果,则,都是质数,所以5合适题意．如果P 不等于5,那么P 除以5的余数为1、2、3或者4,除以5的余数即等于、、或者除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况．如果除以5的余数为1,那么除以5的余数等于除以5的余数,为0,即此时被5整除,而大于5,所以此时不是质数；如果除以5的余数为4,同理可知不是质数,所以P 不等于5,与至少有一个不是质数,所以只有满足条件．【巩固】 在图表的第二行中,恰好填上这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数,等于两个数辨别除以11的余数之积．因此原题中的可以更换为,这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数37195621048进而得到本题的答案是：89909192939495969798因数91958997939490989296因数【巩固】(2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式(其中), 在校对时,发明右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的,问原式中的是多少？【解析】由于,, 于是,从而(用代入上式检验)…(1),对进行讨论：如果,那么…(2),又的个位数字是6,所以的个位数字为4,可能为、、、,其中只有合适(2),经检验只有合适题意．如果,那么…(3),又的个位数字为2或7,则可能为、、、、,其中只有合适(3),经检验,不合题意．如果,那么…(4),则可能为、,其中没有合适(4)的．如果,那么,,,因此这时不成能合适题意．综上所述,是本题唯一的解．【例 11】一个大于1的数去除290,235,200时,得余数辨别为,,,则这个自然数是多少？【解析】按照题意可知,这个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数（都为）．既然余数相同,我们可以利用余数定理,可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是的约数,又是的约数,因此就是57和38的条约数,因为57和38的条约数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19．【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是多少？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,因此这个自然数是的约数,又大于10,这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数辨别是22、28、16,不合适题目条件；如果这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数辨别是5、11、16,合适题目条件,所以这个自然数是17．【例 12】甲、乙、丙三数辨别为603,939,393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于多少？【解析】按照题意,这三个数除以都有余数,则可以用带余除法的形式将它们暗示出来：由于,,要消去余数,,,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍,同理,第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数,意味着能被整除．,,．51的约数有1、3、17、51,其中1、3显然不满足,检验17和51可知17满足,所以等于17．【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数辨别是、、,求这个自然数和的值.【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：,、,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是,故同余.将这三个数相减,得到、,所求的自然数一定是和的条约数,而,所以这个自然数是的约数,显然1是不合适条件的,那么只能是19.经过验证,当这个自然数是时,除、、所得的余数辨别为、、,时成立,所以这个自然数是,.【模块三：余数综合应用】【例 13】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】斐波那契数列的组成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和,由此可以按照余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位置连续,所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现,由于2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数,为0.【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数：1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是前两个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数？【解析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数辨别为：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……可以发明这串余数中,每20个数为一个循环,且一个循环中,每5个数中第五个数是5的倍数．由于,所以前2009个数中,有401个是5的倍数．【例 14】(圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数,并且求出了它辨别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【解析】除以3、6和9的余数辨别不超出2,5,8,所以这三个余数的和永远不超出,既然它们的和等于15,所以这三个余数辨别就是2,5,8．所以该数加1后能被3,6,9整除,而,设该数为,则,即（为非零自然数）,所以它除以18的余数只能为17．【巩固】(2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最大,问：母亲是多少岁?【解析】从任意三人岁数之和是3的倍数,100除以3余1,就知四个岁数都是型的数,又是质数．只有7,13,19,31,37,43,就容易看出：父43岁,母37岁,兄13岁,妹7岁．【例 15】(华杯赛试题)如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),小明像玩跳棋那样,从孔出发沿着逆时针标的目的,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?【解析】设想圆圈上的孔已按下面方法编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针标的目的顺次编号为2,3,4,…,B孔的编号就是圆圈上的孔数．我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1,4,7,10,…上,也就是说,小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意,小明最后跳到B孔,因此总孔数是3的倍数加1．同样道理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔,就意味着总孔数是7的倍数．如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数,设孔数为,则（为非零自然数）并且能被7整除．注意15被7除余1,所以被7除余6,15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出,15的其他(小于的7)倍数加1都不克不及被7整除,罢了经大于100．7以上的倍数都不必考虑,因此,总孔数只能是．【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以。
小学五年级奥数—数论之同余问题
一、带余除法的界说及性质：之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日一般地,如果a是整数,b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)那时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商(2)那时：我们称a不成以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求依照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.而且可以看出余数一定要比除数小.二、三年夜余数定理：a与b的和除以c的余数,即是a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数年夜时,所求的余数即是余数之和再除以c 的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数即是3+4=7除以5的余数,即2.a与b的乘积除以c的余数,即是a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数即是3×1=3.当余数的和比除数年夜时,所求的余数即是余数之积再除以c 的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数即是3×4除以5的余数,即2.若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对模m同余,用式子暗示为：a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.由同余的性质,我们可以获得一个非常重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m获得的余数相同,则a,b的差一定能被m整除用式子暗示为：如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丧失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的.上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,经常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找而且划去,所以这种方法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.利用十进制的这个特性,不单可以检验几个数相加,对检验相乘、相除和乘方的结果对分歧毛病同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确.例如：检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,可是显然算式是毛病的可是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律.这个思想往往可以帮手我们解决一些较复杂的算式迷问题.四、中国剩余定理：1.中国古代趣题：中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问年夜将军韩信统御战士几多,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人…….刘邦茫然而不知其数.我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有几多？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）.孙子算经的作者及确实著作年代均不成考,不外根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代笼统代数学中占有一席非常重要的位置.2.核心思想和方法：对这一类问题,我们有一套看似繁琐可是一旦掌握即可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,获得三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,而且还是5和7的公倍数.先由,即5和7的最小公倍数动身,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然70除以3余1类似的,我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求.最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算：,其中k是从1开始的自然数.也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数.例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,那么我们可以计算获得所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128.例题精讲：【模块一：带余除法的界说和性质】【例 1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数去除,获得商是46,余数是,求和．【解析】因为是的倍还多,获得,得,所以,．【巩固】(清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数．【解析】(法1)因为甲乙,所以甲乙乙乙乙；则乙,甲乙．(法2)将余数先去失落酿成整除性问题,利用倍数关系来做：从中减失落以后,就应当是乙数的倍,所以获得乙数,甲数．【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【解析】本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题.方法为用被除数减去余数,即获得一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以获得一个除数的倍数.本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要满足比37年夜,符合条件的有39,91.【例 1】(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数是几多？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115,所以被除数=2083-115=1968．【巩固】用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是几多？【解析】本题为带余除法界说式的基本题型.根据题意设两个自然数分别为x,y,可以获得,解方程组得,即这两个自然数分别是856,21.【例 2】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个分歧的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______.【解析】设所得的商为,除数为．,,由,可求得,．所以,这三个数分别是,,.【巩固】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所获得的商和余数是相等的,除以9时所获得的商是余数的3倍,这个自然数是_________．【解析】设这个自然数除以11余,除以9余,则有,即,只有,,所以这个自然数为.【例 3】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人．如果把书全部份给第一组,那么每人4本,有剩余；每人5本,书不够．如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余；每人4本,书不够．问：第二组有几多人?【解析】由,知,一组是10或11人．同理可知,知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人．【巩固】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数．【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定年夜于,而且小于；又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为．【模块二：三年夜余数定理的应用】【例 4】有一个年夜于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【解析】这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是几多,可是由于所得的余数相同,根据同余定理,我们可以获得：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数．,,,的约数有,所以这个数可能为.【巩固】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法1),,,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是；(法2)由于所得的余数相同,获得这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数．,,,所以这个数是．【巩固】在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有几多个?(余数可以为0)【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次．1～198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数．【巩固】(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,而且除以17后所得的商与余数的和即是它除以19后所获得的商与余数的和．那么这样的三位数中最年夜数是几多,最小数是几多？【解析】设这个三位数为,它除以17和19的商分别为和,余数分别为和,则．根据题意可知,所以,即,得．所以是9的倍数,是8的倍数．此时,由知．由于为三位数,最小为100,最年夜为999,所以,而,所以,,获得,而是9的倍数,所以最小为9,最年夜为54．那时,,而,所以,故此时最年夜为；那时,,由于,所以此时最小为．所以这样的三位数中最年夜的是930,最小的是154．【例 5】两位自然数与除以7都余1,而且,求．【解析】能被7整除,即能被7整除．所以只能有,那么可能为92和81,验算可得那时,满足题目要求,【巩固】学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有几多个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的公约数,所求谜底为17．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最年夜整数是_________．【解析】因为, ,由于13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除．,所以所求的最年夜整数是98．【例 6】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2,,,,,,…的余数分别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的个数是3的倍数时,用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4．因为,所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数,与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1,所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5．因为,,所以这样的数组共有下面4个：, ,,．【例 7】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所获得的3个余数之和是50,那么这个整数是______．【解析】,,除数应当是290的年夜于17小于70的约数,只可能是29和58,,,所以除数不是58．,,,,所以除数是【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129获得的三个余数之和为25,那么n=________【解析】n能整除．因为,所以n是258年夜于8的约数．显然,n不能年夜于63．符合条件的只有43．【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运带动进行乒乓球角逐,规定每两人角逐的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运带动打了几多盘?【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用.计算101,126,173,193除以3的余数分别为2,0,2,1.那么任意两名运带动的角逐盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可.显然126运带动打5盘是最多的.【例 8】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一起到新华书店购买《成语年夜辞书》．一看订价才发现有5个人带的钱不够,可是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语年夜辞书》的订价是________元．【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本,所以他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1．易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语年夜辞书》的订价是(元) ．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【解析】两个顾客买的货物重量是的倍数．,剩下的一箱货物重量除以3应当余2,只能是20千克．【例 9】求的余数．【解析】因为,,,根据同余定理(三),的余数即是的余数,而,,所以的余数为5．【巩固】(华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数．【解析】先求出乘积再求余数,计算量较年夜．可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数．除以17的余数分别为2,7和11,．【巩固】求的最后两位数．【解析】即考虑除以100的余数．由于,由于除以25余2,所以除以25余8,除以25余24,那么除以25余1；又因为除以4余1,则除以4余1；即能被4 和25整除,而4与25互质,所以能被100整除,即除以100余1,由于,所以除以100的余数即即是除以100的余数,而除以100余29,除以100余43,,所以除以100的余数即是除以100的余数,而除以100余63,所以除以100余63,即的最后两位数为63．【巩固】除以13所得余数是_____.【解析】我们发现222222整除13,2000÷6余2,所以谜底为22÷13余9.【巩固】求除以7的余数．【解析】法一：由于 (143被7除余3),所以 (被7除所得余数与被7除所得余数相等)而,（729除以7的余数为1）,所以．故除以7的余数为5.法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表：于是余数以6为周期变动．所以．【巩固】（2007年实验中学考题）除以7的余数是几多？【解析】由于,而1001是7的倍数,所以这个乘积也是7的倍数,故除以7的余数是0；【巩固】被除所得的余数是几多？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时被13除所得余数分别是5,12,8,1,5,12,8,1以4为周期循环呈现,所以被13除的余数与被13除的余数相同,余12,则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时,被13除所得的余数分别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期循环呈现,所以被13除所得的余数即是被13除所得的余数,即4,故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是．【巩固】(2008年奥数网杯)已知,问：除以13所得的余数是几多？【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,注意到；；；根据这样的递推规律求出余数的变动规律：20082008除以13余,200820082008除以13余,即200820082008是13的倍数．而除以3余1,所以除以13的余数与除以13的余数相同,为6.【巩固】除以41的余数是几多？【解析】找规律：,,,,,……,所以77777是41的倍数,而,所以可以分成399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7．【巩固】除以10所得的余数为几多？【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,而对一个数的幂方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则分歧组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算的个位数字,为的个位数字,为4,由于2005个加数共可分成100组另5个数,100组的个位数字和是的个位数即0,另外5个数为、、、、,它们和的个位数字是的个位数 3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3．【例 10】 求所有的质数P,使得与也是质数．【解析】 如果,则,都是质数,所以5符合题意．如果P 不即是5,那么P 除以5的余数为1、2、3或者4,除以5的余数即即是、、或者除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况．如果除以5的余数为1,那么除以5的余数即是除以5的余数,为0,即此时被5整除,而年夜于5,所以此时不是质数；如果除以5的余数为4,同理可知不是质数,所以P 不即是5,与至少有一个不是质数,所以只有满足条件．【巩固】 在图表的第二行中,恰好填上这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数,即是两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的可以改换为,这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们获得下面的结果：因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数37195621048进而获得本题的谜底是：89909192939495969798因数91958997939490989296因数【巩固】(2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式(其中), 在校对时,发现右边的积的数字顺序呈现毛病,可是知道最后一位6是正确的,问原式中的是几多？【解析】由于,, 于是,从而(用代入上式检验)…(1),对进行讨论：如果,那么…(2),又的个位数字是6,所以的个位数字为4,可能为、、、,其中只有符合(2),经检验只有符合题意．如果,那么…(3),又的个位数字为2或7,则可能为、、、、,其中只有符合(3),经检验,分歧题意．如果,那么…(4),则可能为、,其中没有符合(4)的．如果,那么,,,因此这时不成能符合题意．综上所述,是本题唯一的解．【例 11】一个年夜于1的数去除290,235,200时,得余数分别为,,,则这个自然数是几多？【解析】根据题意可知,这个自然数去除290,233,195时,获得相同的余数（都为）．既然余数相同,我们可以利用余数定理,可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是的约数,又是的约数,因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1,而这个数年夜于1,所以这个自然数是19．【巩固】一个年夜于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和即是这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是几多？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和即是这个自然数去除后所得的余数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,因此这个自然数是的约数,又年夜于10,这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16,不符合题目条件；如果这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16,符合题目条件,所以这个自然数是17．【例 12】甲、乙、丙三数分别为603,939,393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求即是几多？【解析】根据题意,这三个数除以都有余数,则可以用带余除法的形式将它们暗示出来：由于,,要消去余数,,,我们只能先把余数处置成相同的,再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩年夜2倍,同理,第三个式子乘以4．于是我们可以获得下面的式子：这样余数就处置成相同的．最后两两相减消去余数,意味着能被整除．,,．51的约数有1、3、17、51,其中1、3显然不满足,检验17和51可知17满足,所以即是17．【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、、,求这个自然数和的值.【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：,、,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是,故同余.将这三个数相减,获得、,所求的自然数一定是和的公约数,而,所以这个自然数是的约数,显然1是不符合条件的,那么只能是19.经过验证,当这个自然数是时,除、、所得的余数分别为、、,时成立,所以这个自然数是,.【模块三：余数综合应用】【例 13】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列傍边第2008个数除以3所得的余数为几多？【解析】斐波那契数列的构陈规则是从第三个数起每一个数都即是它前面两个数的和,由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位置连续,所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环呈现,由于2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数,为0.【巩固】（2009年走美预赛六年级）有一串数：1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是前两个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数？【解析】由于两个数的和除以5的余数即是这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……可以发现这串余数中,每20个数为一个循环,且一个循环中,每5个数中第五个数是5的倍数．由于,所以前2009个数中,有401个是5的倍数．【例 14】(圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数,而且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【解析】除以3、6和9的余数分别不超越2,5,8,所以这三个余数的和永远不超越,既然它们的和即是15,所以这三个余数分别就是2,5,8．所以该数加1后能被3,6,9整除,而,设该数为,则,即（为非零自然数）,所以它除以18的余数只能为17．【巩固】(2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最年夜,问：母亲是几多岁?【解析】从任意三人岁数之和是3的倍数,100除以3余1,就知四个岁数都是型的数,又是质数．只有7,13,19,31,37,43,就容易看出：父43岁,母37岁,兄13岁,妹7岁．【例 15】(华杯赛试题)如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),小明像玩跳棋那样,从孔动身沿着逆时针方向,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,你知道这个圆圈上共有几多个孔吗?【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号为2,3,4,…,B孔的编号就是圆圈上的孔数．我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1,4,7,10,…上,也就是说,小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意,小明最后跳到B孔,因此总孔数是3的倍数加1．同样事理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔,就意味着总孔数是7的倍数．如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就即是孔数,设孔数为,则（为非零自然数）而且能被7整除．注意15被7除余1,所以被7除余6,15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出,15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除,而已经年夜于100．7以上的倍数都不用考虑,因此,总孔数只能是．【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以。
小学奥数—同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理) 及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数(b工0)，若有a +b=q r，也就是a = b xq + r,0 w r v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1) 当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2) 当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
、三大余数定理：1•余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39 除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23 , 19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数, 即 2.2. 余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23 , 16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 X仁3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学奥数—数论之同余问题
数论---同余问题余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。
定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
如：35除以5,7余0，除以3余2；63除以3,7余0，除以5余3；30除以3,5余0，除以7余2。
则35+63+30除以3余2，除以5余3，除以7余2。
定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
小学奥数—同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学奥数教程：同余问题_全国通用(含答案)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学五年级奥数课件 同余问题
1. 带余除法表达式 2、复习余数定理. 3、同余问题初步.
本讲主线
1、带余除法被除数÷除数＝商…余数 一般地,A÷B＝c…d d=0 整除 D≠0 余数 2. 被除数－余数＝除数×商.
小练习（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ★ ）
1013除以一个两位数,余数是12. 求所有符合条件的两位数.
减余数,变整除, 1013-12=1001 1001=7×11×13 那么所有的两位数有11,13,77,91 因为“余数小于除数”, 所有,只有13,77,91符合
余5×余6+余0×余1,2007÷7=…5
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
014年4月13日(星期日)是小学“希望杯”全国数学邀请赛举行 复赛的日子,那么这天以后的第2014＋4×13天是星期
．
2014÷7,余数5 4÷7,余数是4 13÷7余数是6 根据余数定理, 5+4×6,除以7的余数是1 所以,之后的第2014+4×13天是一周。
知识链接
同余问题：
若a,b除以c的余数相同, 那么, (a－b)能被c整除 称a,b对于模c同余用 “同余式”表示为a≡b(modc)
例如,23、13除以5的余数都是3 那么,(23－13)可以被5整除.
例题【四】（★ ★ ★ ）
学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将 这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同. 请问学校共有多少个班？
拓展
用一个数除200余5,除300余1,除400余10,这个数是多 少?
13 195 299 390 15 23 30
200÷A=…5 300÷A=…1 400÷A=…10
知识链接
余数的三大性质： ⑴ 和的余数等于余数的和 ⑵ 差的余数等于余数的差 ⑶ 积的余数等于余数的积
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
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一、学奥数到底有什么用
对目前绝大部分学奥数的孩子和他们的家长来说，那就是通过各种杯赛获奖得到一个上重点中学试验
班的机会，因为现在的升学制度决定了奥数已经成为升学的一个重要手段。
其实我们目前学的某些内容，
比如抽屉原理等，可能以后在初中甚至高中的课本里我们都根本不可能接触到的，但是我们学习的其实是
一些思想方法，更具体的说，是培养一种解决问题的能力。
能把小学奥数学好的同学，我相信学习中学的
知识的时候，至少在理科方面，那绝对是游刃有余的。
二、怎样学好奥数
学奥数最佳的起步时间应该是三年级，这个时间启蒙教育特别重要，能不能尽快入门，或者说“开窍“，这是一个很重要的时期。
五年级的时候最好就应该把六年级的内容学的差不多了.
下面具体谈一下奥数的学习方法学奥数有诀窍吗？根据我学习奥数的经验，答案是没有。
但如果非要
我说一个的话，那就是“做题”。
那么这里就有两个问题了，一是我该做哪些题呢？二是我该做多少，应该怎么做呢？我们先说一下做哪些
题，现在市面上的奥数书种类繁多。
我觉推荐《华罗庚学校数学课本》，这本书内容不难，适合入门学习。
《华罗庚思维训练导引》是一本分类习题集，每个专题15个题目，虽然有的题目偏难，但这本书选题都
非常有代表性，值得一做（做三星题目为主）。
除了专题训练外，大量的综合练习也是必不可少的，《小学数学ABC》《小学数学奥林匹克试题详解》
和刘京友编写的《题库》这3本书非常好。
通过做综合练习找出自己问题所在，再集中的有针对性的加强这方面的练习，达到差漏补缺的目的。
这就要求我们每次做完题，不会的或者做错的一定要弄明白为止。
有的同学可能一天做好几套题目，做完
了对对答案，每套错的都不多，自我感觉也不错，做了半天也累了就把书扔下不管了。
这样的学习是没有
效果的，因为你原先会的还是会，不会的那些呢？还是不会！
因此题目不在于你做了多少，关键是你遇到的每一道题目无论你当时是否会做，事后你是否都真正理
解了，再遇到类似的题目还会不会做。
如果我真正能做到做一套题就把里面所有的题目吃透，那么我学习
的效果要比刚才提到的一天做好几套但不注意总结的同学好的多。
其实你好好把题目总结一下花不了太多时间，而且对自己的帮助真的很大。
希望同学们也能做到这点，
至少，对于做错的题目一定要引起重视。
每天学习完或者做完题，自己都问问自己，我今天学到了什么新
的方法，我哪个题目思路上有问题以后要注意的。
总结不光在笔头上，思想上也要经常总结，不能学了半
天连自己学会了什么还有哪些该掌握的没掌握都不清楚。
数论之同余问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必
考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：
一、带余除法的定义及性质：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：
r时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(1)当0
r时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
(2)当0
一个完美的带余除法讲解模型:
如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，
现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后
共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是
余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等。