湖北中职技能高考数学知识总汇

湖北技能高考数学基础知识总汇(下)

预备知识：

1.完全平方和（差）公式： (a +b)2=a 2+2ab +b 2 (a -b)2=a 2-2ab +b 2

2.平方差公式： a 2-b 2=(a +b)(a -b)

3.立方和（差）公式： a 3+b 3=(a +b)(a 2-ab +b 2) a 3±b 3=(a -b)(a 2±ab +b 2)

4.韦达定理： ; 求根公式： 。

第六章 数列

一．数列：（1）前n 项和：

； （2）前n 项和与通项的关系：

；（3）

；（4）常数列的等差数列，

非零常数列是等比数列。（5）观察法求通项公式：根据前几项的规律分析项和项数n 的关系。如果是摇摆数列，奇负偶正乘以；奇正偶负乘以。 二．等差数列 ：

1.定义：d a a n n =-+1。

2.通项公式：d n a a n )1(1-+= （关于n 的一次函数），

3.前n 项和：（1）．2)(1n n a a n S += （2）. d n n na S n 2

)

1(1-+

=（即S n = An 2+Bn ） 4.等差中项： 2

b

a A +=

或b a A +=2 5.等差数列的主要性质：

（1）等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。特别地，若

则

。

也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ，如图所示：

n

n a a n a a n n a a a a a a ++---11

2,,,,,,12321 （2） 三．等比数列：

1.定义：)0(1

≠=+q q a a n

n 。 2.通项公式：1

1-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ）。

3.前n 项和]：⎪⎩⎪⎨⎧

≠--=--==)

1(,1)1(1)1(,111q q q a q

q a a q na S n

n n （推导方法：乘公比，错位相减）。

说明：①)1(1)

1(1≠--=

q q q a S n n ； ②)1(11≠--=q q

q a a S n n ； ③当1=q 时为常数列，1na S n =。 4.等比中项：

G

b

a G =，即a

b G =2（或ab G ±=，等比中项有两个） 5.等比数列的主要性质：

(1)等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅

也就是： =⋅=⋅=⋅--2

3121n n n a a a a a a 。如图所示：

n

n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---11

2,,,,,,12321 特别地：若

(2)等比数列若a n >0或a n <0，则d>0；若d<0，则a n 正负交替出现，但奇数项同号、偶数项同号，有时用于确定结果的取舍。

四．求数列的前n 项和的常用方法：分析通项，寻求解法

1.公式法：等差、等比数列 ；

2.分部求和法：如a n =2n+3n ；

3.裂项相消法：如a n =1

(1)

n n +；4.

错位相减法：“差比之积”的数列：如a n =(2n-1)2n 。

五．灵活运用一些解题技巧：①1-q 2n =(1+q n )•(1-q n ) 用于等比数列前n 项和公式化简；②等比数列中a 17+a 18+a 19+a 20=(a 1+a 2+a 3+a 4)q 16 =S 20-S 16; ③等差数列中a 9+a 10=a 3+a 4+12d 。

④a 2+a 4+……+a n-2+a n =a 1+a 3+……+a n-3+a n-1+(n/2)d 。⑤等差数列常用求差、等比数列常用求比解决问题。

第七章 平面向量

1．向量的有关概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、负向量、共线向量、相等向量、相反向量。

2．向量的运算：（1）、向量的加减法：a +0=0+a =a ; a +b =b +a ; (a +b )+c =a +(b +c )。

（2）实数与向量的积：①定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a λ。 ②它的长度：||||||a a ⋅=λλ。

③：它的方向：当0>λ，a λ与a 的方向相同；当0<λ，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，

a λ=0。

④向量的数乘运算法则：0a =0; 1a =a ; λ0=0; (-1) a =-a ; (λμ)a =λ(μa )= μ(λa ); (λ+μ)a =λa +μa ; λ(a +b )= λa +λb 。总之：实数运算中的去括号、移项、合并同类项、因式分解（提取公因式）等可直接应用于向量运算。

b a -

b

a

b a

起点相同，指向被减向量向量的减法

b

a

a

b

a +

b

b a +

b

a

b

a

三角形法则

平行四边形法则

向量的加法

首尾相连

3．向量的线性运算（加法、减法、数乘运算）：l =λa +λb 称l 可以用a 、b 线性表示。 4．平面向量的坐标运算：

（１）坐标运算：设()()2211,,,y x b y x a ==→

→

，则()2121,y y x x b a ±±=±→

→

设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则()1212,y y x x AB --=→

。 （2）实数与向量的积的运算律: 设()y x a ,=→

，则λ()()y x y x a λλλ,,==→

。 （3）平面向量的数量积（内积）：

①定义：⎪⎭

⎫ ⎝⎛≤≤≠≠⋅=⋅→→→→→

→

→

→001800,0,0cos θθb a b a b a ， 00=⋅→

→a . ①平面向量的数量积的几何意义：向量a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |θcos 的乘积； ③、坐标运算:设()()2211,,,y x b y x a ==→

→

,则2121y y x x b a +=⋅→

→ ；

向量a 的模|a |：a a a ⋅=2||22y x +=；模|a |22y x +=

④、设θ是向量()()2211,,,y x b y x a ==→

→

的夹角，则2

2

222

1

2

12121cos y x y x y y x x +++=θ。

5、重要结论：

（1）两个向量平行的充要条件：

设()()2211,,,y x b y x a ==→→，则//a b a b λ→→→→

⇔=⇔ 01221=-y x y x )(R ∈λ

显然，两个向量平行，其横、纵坐标成比例，如a =(1,2)、b =(3,6)、c =(-5,-10)两两平行。 （2）两个非零向量垂直的充要条件：

设 ()()2211,,,y x b y x a ==→

→

，则 121200a b a b x x y y →

→

→→

⊥⇔⋅=⇔+= （3）两点()()2211,,,y x B y x A 的距离：221221)()(||y y x x AB -+-=

（4）若a =b,b =c ，则a =c 一定成立。若a ∥b,b ∥c ，则a ∥c 不一定成立（b =0）。向量问题一定要关注特殊的0，直线问题一定要关注特殊的K 不存在情况。

（5）两非零向量a 、b 不共线，欲k a +b 与a +k b 共线，用a 、b 的系数为0，来确定k 的值。

第八章 直线和圆的方程

一、直线

1.直线的倾斜角和斜率

(1)直线的倾斜角α∈[0，π)、两条直线的夹角α∈[0，π/2]、两个向量的夹角α∈[0，2π]。

(2)直线的斜率，即0tan (90)k αα=≠

(3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为21

2121

(0)y y k x x x x -=

-≠- 2.直线的方程（一次函数）

(1)点斜式 ：y －y 0=k(x －x 0) (2)斜截式：y=kx ＋b (3)一般式： Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为0)