勾股定理的应用(1)导学案
勾股定理导学案1
课题：14.1.1直角三角形三边关系班级： 姓名： 小组： 小组内评价： ★学习目标：1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2．会应用勾股定理解决实际问题 ★重点：探索勾股定理的证明过程 ★难点：运用勾股定理解决实际问题课前预习案一、知识回顾与预习自测：1、如图1直角∆ABC 的面积ABC s ∆=图12、下面两个图中每个小方格的面积都为1 图2 （1） 如图2正方形P 的面积是 边长是 ； 正方形Q 的面积是 ，边长是 ； 正方形R 的面积是 ,边长是 ； 面积可以表示成 直角三角形的面积和 （2）如图3，正方形P 的面积是边长是 ； 正方形Q 的面积是 ，边长是 ； 正方形R 的面积是 ,边长是 正方形R 面积可以分割成哪些图形的面积和图3（3）你能发现图2、图3中三个正方形P ，Q ，R 的面积之间有什么关系吗？（4）你能发现图2、图3中直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？二、教材解读1、勾股定理的内容：直角三角形 的平方和等 于 的平方。
2、如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，由勾股定理知 =2c ，=c=2a ，=a=2b ，=b课内探一、课堂检测1、如上图正方形P 的面积=_____________ AB=__________ BC=__________AC=__________2、如上图，P 的面积 =______________ AB=__________BC=__________ AC=__________ 二、例题讲练1、已知Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a = 5，b = 12，求c 的长度 ②若c= 10，b = 8，求a 的长度.2、在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，BC=a ,AC=b ,AB=c . （１）已知a =7, b =24,求c ； （２）已知a =5, c =8, 求b ； （３）已知a =b ,c =6, 求a ；三、课堂练习：求下列未知数的值。
勾股定理导学教案
（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
（提示先构好图）
例2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)
提示：正方形是以直角三角形的一边作为边，故面积可表达为
例3、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？
二、明确目标，自主学习：
学生活动2：
1.上述数量关系对于任意的直角三角形都成立吗？
2.如图，剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明上述关系。
3.探究：你还有其他的拼图、证明方法吗？画出相应的图形，给出证明。
归纳：1．勾股定理的具体内容是：。
2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；
若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：；三边之间的关系：
三、合作探究，落实目标：
活动一：各小组成员选择自己最喜欢的拼图方法，验证勾股定理，
活动二：各小组派代表上来展示自己的拼图，并说出它的特点。
（学生可能拼出如下图形）
5
分钟
15分钟
10分钟
合作小组上黑板解答，监督互批。
课代表导入、点评
教师巡视关注“学困生”
通过自主学习验证归纳勾股定理。并进行应用。
教学难点
勾股定理的证明
学习过程
学习内容及预见性问题
时间
学习要求
一、巩固旧知，激趣导入：
学生活动1：
1.画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长
2.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长
《1.3勾股定理的应用》导学案
《1.3勾股定理的应用》导学案【学习目标】1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题。
2、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力。
【重点】勾股定理的应用是现实生活中的“线路最短”问题，重点是将曲面或多面转化为平面，并注意立方体的展开图的不同方法。
.【难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.预习案一、预习自学1、下列各组数中，不是勾股数的是（）A、5,3,4B、12,13,5C、8,17,15D、8,12,152、如果线段a、b、c能组成直角三角形，那么它们的比可能是（）A、1:2:4B、5:12:13C、3:4:7D、1:3:5有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，AB你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?你知道这是为什么吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？探究案如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角1C处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当1445AB BC CC===，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点1B 到最短路径的距离．（4）若5,4,31===CC BC AB 时，你能求蚂蚁爬过的最短路径的长吗？巩固练习提高练习 （1）、有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒有多长？（2）、如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A 爬到B ？课堂小结：学习反思：。
勾股定理导学案一
结论 2：等腰直角三角形三边之间的特殊关系： 斜腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？ 观察下面两幅图：
C A B B
填表： A 的面积 左图 右图
C A
B 的面积
C 的面积
你是怎样得到正方形 C 的面积的？与同伴交流．
2
鸡西市第十九中学初三数学组
B
（3）已知 c=17,b=8, 求 a。
（4）已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。
（5）已知 b=15，∠A=30°，求 a，c。
2、已知 ABC ，AB=17 AC=10,BC 边上高 AD=8，则 BC 长为
3
。
鸡西市第十九中学初三数学组
3、以直角三角形的两条直角边为边向外作正方形，他们它们面积分别是 6 和 3.则斜边长是 。 。 BC= ．
【实验探究】 （1） 、 同学们画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ABC， 用刻度尺量出 AB 的长。
（2） 、再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ABC，用刻度尺量 AB 的长
问题： 发现 32 + 42 与 52 ，52 + 122 和 132 的关系吗？， 即 32 + 4 2
鸡西市第十九中学初三数学组
鸡西市第十九中学学案
班级 姓名
学科 时间 学习 目标 重点 难点
课题 勾股定理 课型 2014 年 月 日 人教版 1．探索勾股定理，记住勾股定理的内容. 2．能运用勾股定理由直角三角形的已知两边求第三边. 3．能运用勾股定理解一些简单的实际问题 勾股定理的内容及证明。 勾股定理的证明
猜想命题： 如果直角三角形的两条直角边分别为 a 、 b ，斜边为 c ，那么 _________________ 【试着填一填】在 Rt△ABC 中，∠C=90°①若 a=6，b=8，则 c=______； ②若 a=15，c=25，则 b=______； ③若 c=61，b=60，则 a=____ _。 【勾股定理的验证】 （赵爽弦图） 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边为 a、b、c。
第十八章勾股定理全章导学案
第十八章勾股定理勾股定理（1）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1.能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理.2.知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示.3.能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题.【导学重点】知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示.【导学难点】用拼图的方法验证勾股定理.【学法指导】探究、发现.【课前准备】查阅有关勾股定理的文化背景资料.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.2.了解利用拼图验证勾股定理的方法.3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长.二、检查预习、自主学习1.动手画画、动手算算、动脑想想.在纸上作出边长分别为:（1）3、4、5（2）6、8、10的直角三角形，且动笔算一下，三条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？2.借图说明(1)观察课本P64页图，思考：等腰直角三角形有什么性质吗？你是怎样得到的？它们满足上面的结论吗？(2)在P65页图中的三个直角三角形中，是否仍满足这样的关系？若能，试说明你是如何求出正方形的面积？3.有什么结论？三、问题导学、展示交流阅读P65页用拼图法证明勾股定理的内容，弄懂面积关系.四、点拨升华、当堂达标1.探究P66页“探究1”.在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2 = 2+ 2因为AC=5≈2.236，因此AC木板宽，所以木板从门框内通过.2.讨论《配套练习》P24页选择填空题.五、布置预习预习“探究2”，完成P68页的练习.【教后反思】勾股定理（2）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1.能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用.【导学重点】运用勾股定理解决实际问题.【导学难点】勾股定理的灵活运用.【学法指导】观察、归纳、猜想.【课前准备】数轴的知识【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用.二、检查预习、自主学习1.展示P66页“探究2”，完成填空.2.探究P68页“探究3”.提示：两直角边为1的等腰直角三角形，斜边长为多少？三、问题导学、展示交流1.展示上面的探究成果.2.研究P68页的课文，弄懂无理数在数轴上的表示方法.四、点拨升华、当堂达标1.完成练习题.2.填空题⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= .⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= .⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= .⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 .⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 .3.完成《配套练习》P25页选择填空题.六、布置预习预习习题18.1中1—5题.【教后反思】练习课主备人：初审人：终审人：【导学目标】1.继续运用勾股定理的数学模型解决实际问题.2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用.【导学重点】运用勾股定理解决实际问题.【导学难点】勾股定理的灵活运用.【学法指导】观察、归纳、猜想.【课前准备】数的开方运算.【导学流程】一、呈现目标、明确任务继续运用勾股定理的数学模型解决实际问题.二、检查预习、自主学习分小组展示预习成果.三、教师引导讲解习题18.1中10题.1.一个剖面图，怎样抽象成一个几何图形？2.直角三角形在什么地方？3.在直角三角形中，已知哪些边长？4.若设芦苇的长为x，还可以表示哪些线段？5.在这个直角三角形中利用勾股定理可以列一个怎样的式子？四、问题导学、展示交流1.展示上面的讨论结果.2.讨论完成7，8题.五、点拨升华、当堂达标讨论9题.六、布置预习预习下一节，阅读例1前面的课文，完成练习1.【教后反思】勾股定理的逆定理（1）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理.2．探究勾股定理的逆定理的证明方法.3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.【导学重点】掌握勾股定理的逆定理及证明.【导学难点】勾股定理的逆定理的证明.【学法指导】发现法、练习法、合作法【课前准备】三角形全等.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理.2．探究勾股定理的逆定理的证明方法.3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系. 二、检查预习、自主学习下面的三组数分别是一个三角形的三边长a ,b ,c .5、12、13 7、24、25 8、15、17 （1）这三组数满足222c b a =+吗？（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？如果三角形的三边长a 、b 、c ，满足222c b a =+，那么这个三角形是 三角形.问题二：命题1： ,命题2： .命题1和命题2的 和 正好相反，把像这样的两个命题叫做 命题，如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做 .三、教师引导1.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行.⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等. ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. ⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半. 四、问题导学、展示交流 自学P74页例1.五、点拨升华、当堂达标 1．完成习题18.2中1—3题.2．下列三条线段不能组成直角三角形的是（ ）A ． 8， 15， 17B ． 9， 12，15C ．5，3，2 D ．a ：b ：c =2：3：43.完成练习2. 六、布置预习1.完成《配套练习》P29页选择填空题.2.预习下一节，弄懂方位角的表示.3.完成练习3. 【教后反思】勾股定理的逆定理（2）主备人： 初审人： 终审人：【导学目标】1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.【导学重点】灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题. 【导学难点】灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题. 【学法指导】抽象、迁移. 【课前准备】勾股定理的逆定理. 【导学流程】一、呈现目标、明确任务1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识. 二、检查预习、自主学习2.边长分别是c b a ,,的△ABC ，下列命题是假命题的是（ ）.A 、在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形； B 、若()()c b c b a -+=2，则△ABC 是直角三角形；C 、若∠A ︰∠B ︰∠C =5︰4︰3，则△ABC 是直角三角形；D 、若3:4:5::=c b a ，则△ABC 是直角三角形.3.在△ABC 中，∠C =90°，已知4:3:=b a , 15=c ，求b 的值.4.展示练习3. 三、教师引导 例1（P75例2） 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形；⑶依题意可得PR =12×1.5=18，PQ =16×1.5=24，QR =30；⑷因为242+182=302，PQ 2+PR 2=QR 2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR =90°； ⑸∠PRS =∠QPR -∠QPS =45°. 四、问题导学、展示交流一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状.⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形. 五、点拨升华、当堂达标1.如图，AB ⊥BC 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，点E 是BC 上的点，∠BAE =∠CED =60o，AB =3，CE =4.求：①AE 的长. ②DE 的长. ③AD 的长（提示：先证△____是直角三角形）.2.完成《配套练习》P30页选择填空题. 六、布置预习预习这两节的《配套练习》中大题.AB D C【教后反思】练习课主备人：初审人：终审人：【导学目标】1.掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题，会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；2.了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立.【导学重点】掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题.【导学难点】了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立.【学法指导】抽象、迁移.【课前准备】勾股定理的逆定理.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题，会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；2.了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立.二、检查预习、自主学习分小组展示预习成果.三、教师引导如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=12，CD=3，DA=4，BC=13, 求S四边形ABCD.分析：因为∠D=90°，可连接AC构成直角形，由勾股定理求出AC，这样在△ABC中，三边均知道大小，利用勾股定理可以判断三角形的形状，再用两个三角形的面积求出S四边形ABCD.四、问题导学、展示交流讨论上面的问题，再展示交流.五、点拨升华、当堂达标讨论《配套练习》P29页5—7题和P31页6，7题.六、布置预习DB1.讨论《配套练习》剩余题目.2.预习复习题十八，1—3题.【教后反思】小结（1）主备人：初审人：终审人：【导学目标】1.掌握勾股定理及其逆定理，并能解决简单问题，会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；2.了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立.【导学重点】掌握勾股定理及其逆定理，并会运用定理解决简单问题.【导学难点】了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立.【学法指导】转化和数形结合.【课前准备】复习本章内容.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.用勾股定理及其逆定理解决简单问题；2.了解逆命题、逆定理的概念.二、检查预习、自主学习展示预习成果.三、教师引导本章知识结构：四、问题导学、展示交流1.直角三角形三边的长有什么关系？2.已知一个三角形的三边，能否判定它是直角三角形？举例说明.3.如果一个命题成立，那么它的逆命题一定成立吗？举例说明.4.如图，已知P是等边三角形ABC内上点，PA=5，PB=4，PC=3，求∠PBC.四、问题导学、展示交流提示：如果三角形的三条边分别是三、四、五，那么这个三角形一定是直角三角形.但本题长为3，4，5的三条线段不在同一个三角形中，联想到等边三角形的性质，可以将△APC绕点C旋转得到△BCP′.五、点拨升华、当堂达标1.讨论完成“复习题18”中4—7题.4题，可先设每份为k，再用勾股定理的逆定理.5题，不成立的需举反例.6题，可以数单位面积的正方形个数.7题，直接用勾股定理.2.讨论8，9题.六、布置预习预习下一章.B CP'。
勾股定理导学案
导学案(模板)勾股定理(2)学习目标:1 .会用勾股定理解决简单的实际问题。
2.树立数形结合的思想。
3,经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法重点：勾股定理的应用难点：实际问题向数学问题的转化1，直角三角形有那些特征？(1)有一个角是 ______ 的三角形。
(2)两个锐角 ___________ 的三角形(3)如果直角三角形的三边长a、b、c有关系式______________________(4)在含30°角的直角三角形中，_________________________1,阅读探究1,探究2体会勾股定理在实际问题中的应用2,数轴上的点能表示有理数，你能在数轴上表示无理数吗？如何表示?利用什么定理？1.小明和爸爸妈妈^一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是____________ 米。
2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4.3米，则这两株树之间的垂直距离是_______ 米，水平距离是B2题图 3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用 15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 _________________（一一）基础知识探究探究点一例1:在长方形 ABCDK 宽AB 为1m 长BC 为2m ，求AC 长. 问题(1)在长方形 ABC 呼AB BC AC 大小关系？题图探究( 2)一个门框的尺寸如图 1 所示.①若有一块长 3 米，宽米的薄木板，问怎样从门框通过？【分析】1，在(1)(2) 的基础上将(3) 的实际问题转化为数学模型:木板的宽米大于 1 米，不能横着过，，木板的宽米大于 2 米，不能竖着过；只能试斜着过②若薄木板长 3 米，宽米呢？③若薄木板长 3 米，宽米呢？为什么？2 ，要斜着过，应求什么？，要求AC,根据什么定理?例2: (4)如图2, —个3米长的梯子AB斜着靠在竖直的墙A0上，这时A0的距离为米.①球梯子的底端B距墙角0多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑米至C,请同学们猜一猜，底端也将滑动米吗？③算一算，底端滑动的距离近似值(结果保留两位小数)分析】(1)在Rt△ OAB中，由图得AB= ______ , A0=则根据勾股定理求B0= _________(2)由AO-AC得至U C0的长，在Rt?△ 0CD中运用勾股定理求出0D的长，再由0D-0B得出BD的长例3•问题：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出2的点吗？13的点呢?分析：我们只能找到数轴上的表示有理数的点，而对于象2和,13这样的无理数却找不到如果能画出长为..2和..13的线段，就能在数轴上画出表示2和-13的点。
勾股定理的应用举例导学案
如图所示（投影出示）是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
（1）你能替他想办法30厘米，AB的长是40厘米，BD长是50厘米.AD边垂直于AB边吗？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
勾股定理的应用举例导学案
授课内容
勾股定理的应用举例
主备人
执教人
教学目标
（1）知识目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.（2）能力目标：增加如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验和感受．（3）情感目标：敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其他方法的经验
2、操作完成：
（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）
教学过程
二次备课
（2）如图2-14，将棱柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）
《伴你学丛书》
第33页1，2题
十、板书
勾股定理的应用举例
解：△ABC为直角三角形，由题意得：
根据勾股定理
AC2+BC2=AB2
AB2=52+122=169
AB=13㎝
答：最短的路程为13厘米。
教学重点
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．
教学难点
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．
教学方法
自主合作探究
勾股定理导学案(同名13074)
第一章勾股定理导学案第1课时探索勾股定理（1）学习目标：1、经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。
2 、会初步利用勾股定理解决实际问题。
学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为：、、。
2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。
3、直角三角形的两个锐角；4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。
二、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。
猜想：三、合作探究：：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？AB CACB 图1-1图1-2ABCACB图1-3图1-4问题1、你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？问题2、你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
问题3、分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。
问题（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？图形 A 的面积 B 的面积 C 的面积A 、B 、C 面积的关系 图1-1图1-2图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理：直角三角形 等于 ；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ；若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。
四、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积如图示:A 代表的正方形面积为它的边长为B 代表的正方形面积为它的边长为64225AB169144AB蚂蚁沿图中所示的折线由A 点爬到B 点，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长1、2、2、求出下列各图中x 的值。
勾股定理导学案
人 教 版 八 年 级（下）数 学 导 学 案学校：凤凰一中 授课教师：班 组 学生姓名课题：§18.1 勾股定理（1）1、 了解毕达哥拉斯及《勾股定理》的内容，学会用多种拼图方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。
2、 通过实例进一步了解勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算，感受勾股定理的应用价值。
1、 准备四个全等的直角三角形纸片（标出两直角边a 、b 和斜边c ），并专心阅读课本P62——P66内容.2、 利用所准备的三角形纸片进行拼图，从面积相等的角度列出等式，对该等式进行变形得出一个最简结果，尝试对该结果用语言进行表述.3、 看看自已的同伴有哪些拼图？有哪些可以借鉴的地方？三、知识导航与回顾：（用学过的知识完成下列填空）①含有一个 的三角形叫做直角三角形. ②已知R t △ABC 中的两条直角边长分别为a 、b ,则S △ABC ＝ . ③已知梯形上下两底分别为a 和b ，高为（a ＋b ），则该梯形的面积为 . ④完全平方公式：（a ±b ）2＝ .⑤在R t △ABC 中，已知∠A ＝30°，∠C ＝90°，直角边BC ＝1，则斜边AB ＝ . 四、体验学习、课本导学（请认真阅读课本P 62～P 66的内容，围绕学案中的问题互学、群学，讨论、 探究吧！记住：知识不会施舍给懒汉哦！）★思考与探究1、右边这个人是 （公元前572—前492年），他是古希腊著名的 .2、我国古代所讲的“勾、股、弦”分别指的是 R t △的. 3、2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽形如以下三个图中的 ，它是由四个 的 所围成的正方形图案﹝赵爽弦图．．．．﹞.显然4个 的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积. 即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简后得到 . 这一结果用文字表达为 . 二、怎样学习？一、今天学什么？ 1B 30° □A C4、利用图2，图3或其它拼图仿上述推导，能否得到相同的结果？和同学一起动手试试看！★回顾与归纳1、勾股定理的内容是： .2、勾股定理的作用是： .3、证明勾股定理的主要方法是： . ★尝试与练习1、 如图一，求出斜边AB 的长度＝ ；如图二，求出斜边AB 的长度＝ ；直角边B C 的长度＝ .2、 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，A C ＝3k ，B C ＝4 k ，求出A B ＝ .3、 已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。
勾股定理的应用教案 (1)
14.2勾股定理的应用（1）教材分析:勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就。
它为我们提供了直角三角形三边间的数量关系，其逆定理又为我们提供了判断三角形是否为直角三角形的依据，这些成果被广泛的应用于数学和实际生活的各个方面。
本节教材是在学生研究了勾股定理及其逆定理在数学应用的基础上进一步研究其在实际生活中的应用。
通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解勾股定理的应用方法，同时亦为学生对数学与生活之间的联系有一个更深层次的体会。
学情分析：本节课的教学对象是八年级学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，而且在前面的学习中，学生已经历了探索和验证勾股定理的过程，又通过观察、操作、思考，充分认识了勾股定理的本质特征，并在此过程中，获得了初步的数学活动经验和体验，具备了一定的动手操作、合作交流和观察、分析的能力。
初步具备了有条理地思考与表达的能力。
教学目标：1、能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。
3. 培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情教学重点：实际问题转化成数学问题再转化为直角三角形中教学难点：“转化”思想的应用教学过程：一．提纲导学（一）创设情境，导入新课1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果b ＝8，c ＝10，求a ＝ .2.（1）什么叫勾股定理？（2）勾股定理的逆定理是 .（二）出示导纲 （三）自学导纲阅读课本P120页，学生自己尝试解决下列问题：1.一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m ，墙高 m ；如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，这时梯脚距离墙角 m ； 梯脚移动的距离是 m2. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，AD=12，AC=13，BC=14. 则AB=_____.3. 如图是一个育苗棚，棚宽a=4m ， 棚高b=3m ，棚长d=10m ，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为_________m 2．4.在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要___________m ．5.如图 ，在平静的湖面上，有一荷花，高出湖水面1米，一阵风来，荷花吹到一边，花朵齐及水面.已知荷花移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米.二、合作互动1、小组交流学生进行充分自学后，提出疑问，师归纳疑问，然后进行小组交流.ABCD (第2题)bd a (第3题)135(第4题)2、展示评价小组交流快结束时，师出示展示评价分工表，学生展示时，师适当补充点拨。
勾股定理(1)优秀学案
222a b c +=勾股定理(1)学习目标1.经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想2.掌握勾股定理，并应用它解决一些简单问题3.理解并利用割补法证明勾股定理一．情景引入1.勾股定理的历史及背景2.如图（1）所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形。
各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧，你能说说其中的奥秘吗？（1） (2)二．新知探究1.（1）能发现图(2)中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论： 。
合作探究（2）观察下图，填表。
（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．2.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
3.合作探究 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证:归纳定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________4. 证法积累：利用下图，模仿上述推导，能否得到相同的结果？（1）.传说中的毕达哥拉斯证法(提示（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面相等.)A 的面积B 的面积C 的面积 左图 右图 A B C C B AC A BD（2）.美国的20任总统詹姆斯·加菲尔德的证法.提示：3个三角形的面积的和=梯形的面积三．典型题例例题1．在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则它的三条边之比为( )A ．1:1:2B ．1:3:2C ．1:3:2D ．1:4:1例题2. 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。
(2)求AB 的长。
例题3.如图，AC ⊥BC ，垂足为C ，AC=4，BC=33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连接DC ，BD ．(1)求线段CD 的长； (2)求线段DB 的长．四.活学活用：1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若5=a ，12=b ，则c =_________； （2）若15=a ，25=c ，则b =___________；2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若5=a ，1=-b c 则=b ____；c = （2）若4:3:=b a ，10=c 则S Rt △ABC =________。
14章 勾股定理导学案
§14.1 勾股定理第一课时【学习内容】直角三角形三边的关系(一)【学习目标】1、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理．2、能利用勾股定理解决实际问题．3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力．【学习重点和难点】1、学习重点：勾股定理的实际运用2、学习难点：探索和验证勾股定理的过程【学习过程】一、知识回顾1、直角三角形的性质：2、三角形三边关系：3、现有四条线段的长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三条线段，能组成三角形的个数为（）.A、1个；B、2个；C、3个；D、4个.二、预习导学1的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？小明用一边长为cm①这个问题你是怎样想的？请说出你的想法.②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为1），你能知道斜边的长吗？cm③观察图形，并填空：cm，⑴正方形P的面积为2cm，正方形Q的面积为2正方形R的面积为2cm.⑵你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？活动二：动手做一做其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）（图中每一小方格表示21cm）⑴正方形P的面积为2cm，正方形Q的面积为2cm，正方形R的面积为2cm.⑵正方形P、Q、R的面积之间的关系是什么？⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流.由此我们得到结论是：①勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有____________________________________.②用语言怎样叙述？_________________________________________________________. 公式变形：a2=c2－b2a=cc2=a2 + b2二、预习检测认真填一填：三、典例剖析例1：在△ABC中，∠A=90°，BC=a，AC=b，AB=c.(1)若c=10,b=24,求a; （2）若c=9,a=15,求b；（3）若b=12,a=15,求c.例2:如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）Array例3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c. 若a=6，b=8，求c的长及斜边上的高.四、分层练习A 组1．在Rt △ABC 中，︒=∠90A ，c AB =，a BC =，b AC = ①若8=c ，10=a ，则=b . ②若5=b ，12=c ，则=a .③若4:3:=c b ，15=a ，则=b ，=c .2．若线段a ，b ，c 能构成直角三角形，则它们的比可为 ( ) A ．2：3：4 B ．3：4：6 C ．5：12：13 D ．4：6：73. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为n 2-1、2n(n>0)，那么它的斜边长为 ( )A ．2nB ．n+1C ．n 2-lD ．n 2+14．若直角三角形的三边长分别是3cm 与5cm ，那么这个三角形的周长是________cm. 5．在直角三角形ABC 中，斜边AB=2，则AB 2+BC 2+CA 2=__________． 6．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=13，BC=10，则S △ABC =___________．7、如图，矩形纸片ABCD 中，AD=9cm ，AB=3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，求折叠后BE 的长为多少？设BE=xcm ，则以下 所列方程正确的是（ ）. A ：(9–x)2+x 2=32 B ：(9–x)2+32=x 2 C ：32+x 2=(6–x)2 D ：(6–x)2+x 2=328、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形边长是cm 7， 则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是 2cm .9．如图所示，AC=3cm ，AB=4 cm ，BD=12 cm ，求CD 的长.B 组1、如果一个直角三角形的两条边长分别为3cm ，4cm ，则这个三角形的面积是__________. 2．如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是_________．3．如图，在△ABC 中，AB=AC=13 cm.AD 是高，且AD=5 cm ．(1)图中还有相等的线段吗?如果有，请把它们写出来________； (2)BC=_________cm ；(3)△ABC 的面积是________cm 2．4．如图，在△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC 边上的高AD 的长．5．已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为L ．(1)请你完成下面的表格：(2)仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a ，b ，c 为已知的正实数，且a+b-c=m ，那么猜想lS__________（用m 表示）； (3)请说明你的猜想的正确性．六、学习心得七、课堂作业八、家庭作业第二课时【学习内容】直角三角形三边的关系（二）【学习目标】1、用拼图的方法说明勾股定理的结论正确2、会应用勾股定理解决实际问题【学习重点和难点】1、学习重点：利用勾股定理解决实际问题2、学习难点：构造直角三角形求解【学习过程】一、知识回顾1. 勾股定理的内容是什么？2.一直角三角形中有两条边的长为1和2，求第三边.二、预习导学剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．大正方形的面积可以表示为，又可以表示为．对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．图14.1.5 图14.1.6用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．由下面几种拼图方法，试一试，能否得出222cba=+的结论.（1）（2）（3）（4））探究点拔：1.将这四个完全相同的直角三角形拼成图（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出222cba=+.2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到222cba=+.3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得222cba=+.四、典例剖析例1.如图,为了求出湖两岸的AB两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为Rt△，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从A点穿过湖到点B有多远？例2 .在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘.如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？cbac bacba例3．有一个棱长为1米且封闭的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点A 向顶点B 爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？五、分层练习1．小雨用竹杆扎了一个长80cm 、宽60cm 的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．2．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是 米．3．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（ 取3）4．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长； ②ΔABC 的面积．B ABA5．在直角ΔABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC 的面积．6．已知：如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高． 求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．7．已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．8． 如图∠B=90º，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AD ＝21cm,CD=29cm 求四边形ABCD 的面积．9．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB 间的尺寸．D CA六、学习心得七、课堂作业八、家庭作业第三课时【学习内容】直角三角形的判定【学习目标】1、掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用2、熟记一些勾股数.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用【学习重点和难点】1、学习重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形2、学习难点：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题.【学习过程】一、知识回顾问题1：直角三角形有什么性质？(1)有一个角是； (2)两个锐角；(3) 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么问题2：反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?（有一个角是直角；两个锐角互余）问题3：猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？二、预习导学1、古代埃及人作直角：古埃及人曾经用下面的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 他们真的能够得到直角三角形吗？你知道这是什么道理吗？2、画图：试画出三边长度分别为如下数据的三角形,看看它们是一些什么形状的三角形: (1)a=3,b=4,c=5； (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10. （4）a=2,b=3,c=4以上各组数据为三边所画的三角形是直角三角形的是；以上各组数据为三边所画的三角形不是直角三角形 .3、结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状有怎样的关系吗？在以上的各组数据中,满足a2+ b2= c2的是；不满足a2+ b2= c2的是 .3、归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2= c2，那么这个三角形是直角三角形.几何语言：∵a2 + b2= c2∴ΔABC为RtΔ强调：满足较短的两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形三、典例剖析例1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形： （1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9．注意：①先找最大边②再判断三角形是否满足较短的两边的平方和等于最长边的平方（勾股定理的逆定理）例2、一个零件的形状如下图所示，按照规定这个零件中∠A 和∠DBC 都是直角.量得各边尺寸如图所示，这零件符合要求吗？并说明理由.五、分层练习1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6，8，10； （2）5，12，13； （3）8， 15，17； （4）4，5，6其中能构成直角三角形的有（ ）． A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组 2．△ABC 中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________．3．若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形 是______________________．4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )． A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形 5．下列命题中是假命题的是( )． A ．△ABC 中,若∠B =∠C －∠A ,则△ABC 是直角三角形. B ．△ABC 中,若a 2=(b +c )(b －c ),则△ABC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5则△ABC 是直角三角形.413 DCBA 53 12D ．△ABC 中,若a ∶b ∶c =5∶4∶3则△ABC 是直角三角形. 6．在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是（ ）．A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 7．三角形的三边分别为a 2+b 2，2ab ，a 2-b 2（a ，b 都是正整数）则这个三角形是（ ）． A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定8．木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面_______ (填”合格”或”不合格”).9．如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且BC CE 41=．你能说明∠AFE 是直角吗？六、学习心得七、课堂作业八、家庭作业§14.2 勾股定理的应用第一课时【学习目标】1．能运用勾股定理解决生活中与直角三角形有关的问题；2．能从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，同时渗透方程、转化等数学思想.3．进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值【学习重点和难点】重点：勾股定理的应用难点：将实际问题转化为数学问题【学习过程】一、知识回顾（1）在Rt △ABC 中，a=8㎝，b=10㎝，90B ∠=，则第三边长c= ．（2）已知△ABC 中，三边长a 、b 、c 为整数，其中a=3㎝，b=4㎝，求第三边c 的长．（3）已知在Rt △ABC 中，两直角边的长为20和15，90BAC ∠=，且BC 边上的高为12，求BD 的长．（4）如图，一块长方形水泥操场，一学生要从A 角走到C 角，至少走 米．二、新知探究问题1. 如图，起重机吊运物体，已知BC=6m,AC=10m,求AB 的长.问题2. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？三．例题剖析例1.如图：一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．ABC例2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？四、反馈提高A 组1．(1)在Rt △ABC 中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,则AB=______;若AB=4,BC=2,则AC=_____; (2)一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm ，3cm ，则第三边的长是______; (3)甲乙两人同时从同一地出发，甲往东走4km ，乙往南走6km ，这时甲乙两人相距____km. 2．如图，圆柱高为8cm ，地面半径为2cm ,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食， 要爬行的最短程（ 取3）是( )A ．20cmB ．10cmC ．14cmD ．无法确定3. 一条河的宽度处处相等,小强想从河的南岸横游到北岸去,由于水流影响,小强上岸地点偏离目标地点200m,他在水中实际游了520m,那么该河的宽度为 ( ) A.440 m B.460 m C.480 m D. 500 m ４．P58 练习1、2题Ｂ组1、如图，王大伯家屋后有一块长12m ，宽8m 的矩形空地，他在 以长边BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A 处的 一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）. A 、 3 m B 、 5 m C 、6 m D 、7 m2、如图，笔直的公路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路的AB 段上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在离A 点多远处？3．有一圆柱形食品盒,它的高等于16cm,底面直径为20cm, 蚂蚁爬行的速度为2cm/s.⑴如果在盒内下底面的A 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π)⑵如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π六．学习收获：七．课堂作业：八．课后反思A D EB C第二课时【学习目标】1、会用勾股定理解决较综合的问题.2、树立数形结合的思想.【学习重点和难点】重点：勾股定理的综合应用. 难点：勾股定理的综合应用.【学习过程】一．预习练习1. 一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点， PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米.2. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.二．例题剖析1. 如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1） 从点A 出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2） 画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．P QB C2.如图，已知CD ＝６m ， AD ＝８m ， ∠ADC ＝９０°， BC ＝２４m ， ＡＢ＝２６m ．求图中阴影部分的面积．三．反馈提高Ａ组1. P60练习1.2题2. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方 向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方 向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）海里. A 、25 B 、 30 C 、35 D 、403. 求知中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？DCBAＢ组1、 如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两 个甲壳虫同时从A 点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行， 黑甲壳虫爬行的路线是：AA 1⇒A 1D 1⇒D 1C 1⇒C 1C ⇒CB ⇒BA ⇒AA 1⇒A 1D 1…，白甲壳虫爬行的路线是：AB ⇒BB 1⇒B 1C 1⇒ C 1D 1⇒D 1A 1⇒A 1A ⇒AB ⇒BB 1…，那么当黑、白两个甲壳虫各 爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们 之间的距离是 .2. 如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.3. 如图，A 、B 两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB ）．经测量，森林保护区中心P 点在A 城市的北偏东30°方向，B 城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P 为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？四．学习收获： 五．课堂作业： 六．课后反思。
1.1探索勾股定理(1)导学案
第一章 勾股定理导学案1.1探索勾股定理（第1课时）年级： 八 班级： 学生姓名： 制作人：一、 学习目标：（1分钟）1、自主、合作探究勾股定理；2、掌握勾股定理；3、会用勾股定理解决实际问题 二、预习教材：（5分钟） （一）、预习教材P2---P4 （二）、思考：直角三角形的三边存在着怎样的平方关系 ？我们把这种关系称作什么定理？用关系式怎么表示？我们为什么把它叫做“勾股定理”？勾股定理在西方又叫做什么定理？课本上用什么方法进行初步验证？勾股定理有什么用处？ 三、探索发现：（12分钟）1、等腰直角三角形观察图5，对于等腰直角三角形，将正方形A 、正方形B 和已计算的正方形C 的面积填入下表，它们的面积有什么关系？发现： + = 。
2、一般直角三角形观察图6，对于一般直角三角形，正方形A 、正方形B 、正方形C 面积又有什么关系呢？发现： + = 。
3、正方形面积与直角三角形三边的关系（分组讨论，交流并发言）若我们设两条直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，你能用三角形的边长来表示这三个正方形的面积吗？结论：由于 正方形A 面积 + 正方形B 面积 = 正方形C 面积，所以 （关系式）即：两条直角边的平方和等于斜边的平方。
四、归纳总结：（5分钟）1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b ，斜边为c ，那么 （关系式），即： （文字表达）。
注意：勾股定理研究的是直角三角形中边与边的关系，所以，勾股定理只在直角三角形中才适用。
2、数学小史：勾股定理是 （填一国家）最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为 ，较长的直角边称为 ，斜边称为 ，“勾股定理”因此而得名。
在西方一般称为 定理。
五、典例导学：（5分钟）例1：如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？例2：见课本P3想一想，回顾情景。
六、检测巩固：（15） 1、判断：（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则222a b c += （ ） （2）在直角三角形中任意两边的平方和等于第三边的平方。
勾股定理及逆定理复习导学案
勾股定理及逆定理复习（1）(导学案)一、复习目标1．回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构。
2．思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程， 体会数形结合，分类讨 论，方程思想，转化化归， 由特殊到一般，数学建模思想在解决数学问题 中的作用。
3、在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。
重点：勾股定理及逆定理的应用 难点：灵活应用勾股定理及逆定理二、学案引导、自主学习（一）本章知识结构图（二）本章相关知识 1. 勾股定理及逆定理（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为，那么 。
A直角三角形 a 2+b 2=c 2(数) （形）B C公式的变形：（1）c 2= , c= ;（2）a 2= , a= ; （3）b 2= , b= ;（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是 ． Aa 2+b 2=c 2(数) 直角三角形 （形）2、勾股数 B C满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
实际问题（直角三角形边长计算） 勾股定理的逆定理 勾股定理 实际问题（判定直角三角形）3、勾股定理的验证 4.互逆命题和互逆定理5、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）三、合作探究、交流展示考点1：在直角三角形中，已知两边求第三边1、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为12cm ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管要做 cm .2、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．（提示：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch) 考点2：勾股定理与方程联手求线段的长（方程思想）1、如图 ，将一个边长为4、8的长方形纸片ABCD 折叠使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、52、如图，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，试求CD 的长。
勾股定理导学案(精品学案)
课题名称：勾股定理（1）学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。
学习目标：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
自助探究 1．1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会， 这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它 的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.么？(1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系.结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和. 3、等腰直角三角形有上述性质， 其它直角三角形也有这个性质吗？4、猜想：命题1自助提升 1、定理证明（1）赵爽利用弦图证明。
．．．．．显然4个 的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积.即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简后得到 .（2）其他证明方法：教材72页 思考讨论完成2、在Rt △ABC 中，∠C=90,AB=17,BC=8,求AC 的长3、Rt △ABC 和以AB 为边的正方形ABEF ，∠ACB =90°， AC =12，BC =5，则正方形的面积是______．4、(1) 已知Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8，求AB .(2) 已知Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =5，BC =6，求AC . (3) 已知Rt △ABC 中，∠B =90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ， ∠C 的对边，c ∶a =3∶4，b =15，求a ，c 及斜边高线h .BC AB5、如图1-1-4，所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ， 则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和是多少？自助检测1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( )2．斜边长为25 B ．三角形的周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20 3．一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）A ．4B ．8 C．10 D ．124．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．1380 D ．13605、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，求CF CE 小结与反思这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？ 教学反思§ 勾股定理（2）一、学习目标通过经历和体验，运用勾股定理解决一些实际问题的过程，进一步掌握勾股定理。
勾股定理导学案一[1]
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勾股定理导学案（一）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习爱点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：（一）、课前准备（2分钟） 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若D 为斜边中点，则斜边中线（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 。
2、总结规律，大胆才猜想（5分钟）在等腰直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和，其他的直角三角形中也有这个性质吗？（完成书上65页探究）由此我们可以得出什么结论？命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
（二）、用面积法证明勾股定理1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证： 222a b c +=证明方法一：证明方法二：A CB D证明方法三：四、练一练勾股定理：对于任意的直角三角形，如果的它的两条直角边分别是a、b，斜边为c，那么一定有：变形则有a=b=c=勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法。
练习1(填空题)已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。
练习2①求下列图中字母所表示的正方形的面积81A225B225400②如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
A BCD 7cm（三）随堂练习1、在Rt △ABC 中，90C ∠=︒ ，（1）如果a=3，b=4，则c=________；（2）如果a=6，b=8，则c=________；（3）如果a=5，b=12，则c=________；(4) 如果a=15，b=20，则c=________.2、下列说法正确的是（ ）A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则222a b c +=B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则222a b c +=C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90A ∠=︒， 则222a b c +=D.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90C ∠=︒ ，则222a b c += 3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。
勾股定理导学案—优质课教学设计
学
流
程
学生活动
教师活动
二、一起探究
（2）以AC，BC，AB为边的三个正方形的面积各分别为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（3）这三个正方形面积之间的等量关系可以表示为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（4）如果这个直角三角形的三边长分别为a，b，c，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿用a，b，c表示这三个正方形面积之间的关系为＿＿
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
做一做：利用拼图来验证勾股定理
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）；
2、你能用这四个直角三角形拼成“赵爽弦图”吗？拼一拼试试看?
3.借助你所拼图形的面积之间的关系验证勾股定理。
教师对学困生进行辅导
三、小试牛刀
2、利用勾股定理求图中各直角三角形中未知的边长。
如图是用大小相同的两种颜色的正方形瓷砖铺成的地面。
重点
勾股定理
难点
勾股定理的推导过程
个案补充
导
学
流
程
学生活动
教师活动
一、知识回顾
如图：在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)∠A+∠B=＿＿＿＿＿
(2)∠C所对的边AB称为＿＿＿
∠A所对的边BC称为＿＿＿＿
∠B所对的边AC称为＿＿＿＿
问题：在直角三角形中，
XX中学数学学科导学案
备课组长签字：主管领导签字：编号：
课题
16、1勾股定理
主备人
备课时间
201X、6、7
授课时间
学习目标
知识与技能目标：掌握勾股定理，并会用勾股定理进行计算。
过程与方法目标：经历勾股定理的探索和验证过程，提高学生认知能力，体会拼图验证的合理性。
17.1 勾股定理导学案
第17章 勾股定理第1课时 17.1 勾股定理导学案（1）【学习目标】1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．养成在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
【学习重点】勾股定理的内容及证明。
【学习难点】勾股定理的证明。
一、学前准备1、每位同学准备四个全等的直角三角形。
2、查阅资料，网络搜索有关勾股定理的知识。
3、自主阅读课本P22-24，P30。
二、探索思考1、思考：由P22图17.1-1，你发现直角三角形的三边有怎样的关系？2、探究一：等腰直角三角形三边关系3、探究二：一般的直角三角形三边关系三、证明猜想猜想的结论： 已知： 求证： 方法：利用拼图来验证勾股定理四、当堂反馈1、求下列图中字母所表示的正方形的面积2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm2。
3、求出下列直角三角形中未知边的长度五、学习反思：（1）知识点：（2）数学方法：A 的面积(单位面积)B 的面积(单位面积)C 的面积(单位面积) 图1 图2 A 、B 、C 面积关系直角三角形三边关系 A 的面积(单位面积) B 的面积(单位面积) C 的面积(单位面积) 图3 图4A 、B 、C 面积关系 直角三角形三边关系A B CA B C（图中每个小方格代表一个单位面积） 图1图2 AB C 图3 ABC图4 c a bc acac a bc abb cabc AD225 400 A 225 81B A BC D7cm 6 8 x 5 x 13第2、3课时 17.1 勾股定理导学案（2）【学习目标】1．会用勾股定理进行简单的计算。
会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．会用勾股定理解决简单的实际问题。
3. 树立数形结合的思想。
【学习重点】勾股定理的应用。
【学习难点】实际问题向数学问题的转化。
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14.2勾股定理的应用（1）导学案
编写：徐海东审核:王连坤
学习目标：
1利用展开图合理构造直角三角形并用勾股定理计算最短路线长度
2体会以道路的中心线为标准左右各一半车宽是车通过的最大高度
重点：勾股定理的正确使用
难点：体会展开图是有几何体到平面图形的这种体形结合思想
自主探究：
1.勾股定理的内容用式子表示为___________________其中___,___为直角边，___为斜边。
可变形为a=________b=________c=_________
2.认真学习教材上的例题1并思考一下问题：
A.为什么只要半个侧面的展开图？
答：____________________________________
B.最短路径是依据两点间___________________________
C.积极开声讨论，若蚂蚁现在沿着侧面从点A爬到它的正上方B点处，怎样求出最短路线？展开图还是半个侧面吗？C,D两点会在展开图的什么位置的？
3.认真学习教材上的例题2并思考以下问题
A.车为什么要选择靠近中心线0.8米处通过___________________________
B.圆上的半径看作一条线段，那么它的两个端点有什么特点？__________________________
合作提升：
各小组成员通过讨论问题2中的思考C的问题完成解答，即求出到B点的最短路线。
组长负责批改自主探究，合作提升两部分的答案。
解：
变式练习，展示自我
1一辆高3米，宽2.4米的卡车要通过一个半径为3.6米的半圆形隧道，它能顺利通过吗？
2一只蜘蛛从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A
那么它所爬行的最短路线的长是多少？（画出展开图）
当堂训练
1如图，在长方形ABCD中，E,F分别是AB,BC上的点，且
BE=16，BF=30，则有点E到点F的距离是________
小结：1.________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 抽查清
大家可要认真学习以上的内容，完成后我可要对各小组同号的成员当堂测验。
作业：习题14.2 1.2.3。