人教版高中数学必修二尖子班讲义

空间几何体

知识讲解

一、构成空间几何体的基本元素

1.几何体的概念

概念：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．

2.构成几何体的基本元素：点、线、面

（1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A B C

，，来命名；

（2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般 用一个小写字母a b l

，，或用直线上两个点AB PQ

，表示；

一条直线把平面分成两个部分．

（3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；

D

C

B

A

α

其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；

平面一般用希腊字母αβγ

，，来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字

母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ； 一个平面将空间分成两个部分．

3.用运动的观点理解空间基本图形间的关系

理解：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体．

二、多面体的结构特征

1.多面体

1）多面体的定义

由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点 的线段叫做多面体的对角线． 2）多面体的分类

按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同

一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体．

按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等． 3）简单多面体

定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体；

欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱数E 有关系2V F E +-=． 4）正多面体

定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体； 正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等．

2.棱柱

1）棱柱的定义

由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．

下图中的棱柱，两个底面分别是面ABCD ，A B C D ''''，侧面有ABBA

''，DCC D ''等四个，侧棱为AA BB CC DD ''''，，，，对角面为面ACC A BDD B ''''，，A H '为棱柱的高．

D

C B

A

H

A '

D '

B '

C'

2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等． 3）棱柱的分类

按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……； 按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；

底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； 4）棱柱的记法

①用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱； ②用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱．

例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱''''ABCD A B C D 或棱柱'AC 等． 5）特殊的四棱柱：

平行六面体

四棱柱

底面是平行四边形

侧棱与 底面垂直

正四棱柱

底面是平行四边形

直平行六面体

底面为 正方形

直四棱柱

侧棱与 底面垂直

底面为 长方形

长方体

底面是正方形

侧面也为 正方形

正方体

棱长都相等的长方体

3.棱锥

1）棱锥的定义

当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高． 2）棱锥的分类

底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……；底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．

对角面SAC

E

高

侧棱侧面

底面ABCDE

H

S

D

C

B

A

3）棱锥的记法

用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表

示．如上图的五棱锥记为棱锥S ABCDE -或棱锥S AC -．

4.棱台

1）棱台的定义

棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高． 2）棱台的性质

棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； 3）棱台的记法

用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示． 4）正棱台

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．

H

H'

O'O

C'B'

A'

C

B

A

右图为一个正三棱台，记为棱台ABC A B C '''-，侧棱AA '，BB '，CC '延长后必交于一点．O ，

O '为上下底面的中心，它们的连线O O '是棱台的高，H H '是棱台的斜高．

三、旋转体的结构与特征

1.圆柱、圆锥和圆台

定义：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示． 性质：①平行于底面的截面都是圆；

②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．