利用导数研究方程的根_49
高考导数题型分析及解题方法
高考导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =-2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即 ∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。
利用导数研究方程的根和函数的零点--教案
利用导数研究方程的根和函数的零点 总结：①方程()0=x f 的根()的零点函数x f y =⇔()轴的交点的恒坐标的图像与函数x x f y =⇔②方程()()x g x f =的根()()的根方程0=-⇔x g x f ()()()的零点x g x f x h -=⇔ ()()。
的图象的交点的横坐标与函数x f y x g y ==⇔1．设a 为实数，函数()a x x x x f +--=23，当a 什么范围内取值时，曲线()x f y =与x轴仅有一个交点。
2、已知函数f (x )=－x 2+8x,g (x )=6ln x+m（Ⅰ）求f (x )在区间[t ,t +1]上的最大值h (t );（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
解：（I ）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩ （II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
22()86ln ,62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x xφφ=-++-+--∴=-+==> 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数；当1,x =或3x =时，'()0.x φ= ()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ> ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70,()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值 即7156ln3.m <<-所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).-3、已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。
压轴大题巧突破 利用导数研究函数的零点或方程的根课件 文课件
＋c (e＝
【化整为零】 第(2)问基础问题1： 方程|ln x|＝f(x)中既有指数，也有对数，如何求解？
求方程|ln x|＝f(x)根的个数，应构造函数g(x)＝|ln x|－ f(x)，转化为判断函数g(x)零点的个数问题．
11 分
压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根
教你如何规范解答 不失分
b．当 x∈(0,1)时，由(1)知
g
x
＝－ln
x－xe－2x－c≥－ln
x－
1e－1＋c 2
>－ln
x－1－c，
③
要使 g(x)>0，只需－ln x－1－c>0，即 x∈(0，e－1－c)；
所以 c>－e－2 时，g(x)有两个零点，
压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根
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当 g 1 ＝－e－2－c<0，即 c>－e－2 时， ②
a．当 x∈(1，＋∞)时，由(1)知
g
x
＝ln
x－xe－2x－c≥ln
x－
1e－1＋c 2
>ln
x－1－c，
③
要使 g(x)>0，只需使 ln x－1－c>0， 即 x∈(e1＋c，＋∞)；
分
③处易忽视
处取得最大值，不能将不等式适当
易错 点三
改变，从而无法判断g(x)的符号，导致解题失误或解题步骤不完
整而失分
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压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根
教你如何化整为零 破难题
利用导数研究零点问题及方程的根的问题(学生版)
利用导数研究零点问题及方程的根的问题1.已知函数f x =x cos x +14x 2，f ′x 为f x 的导函数．(1)若x ∈0,π2 ,f x ≥mx 2成立，求m 的取值范围；(2)证明：函数g x =f ′x +cos x 在0,π2 上存在唯一零点．2.已知函数f x =e x+ae x-a-1x-2a∈R(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若a∈(-∞,2]，求函数f(x)在区间(-∞,2]上的零点个数.3.设函数f x =x2-ax+2sin x.(1)若a=1，求曲线y=f x的斜率为1的切线方程；(2)若f x 在区间0,2π上有唯一零点，求实数a的取值范围.4.已知f x =e x-2x.(1)求f x 的单调区间；上无实数解(2)证明：方程f x =cos x在-π2,05.已知函数f(x)=e x+sin x-cos x，f (x)为f(x)的导数.(1)证明：当x≥0时，f (x)≥2；(2)设g x =f x -2x-1，证明：g(x)有且仅有2个零点.6.已知函数f x =x2e x-a ln x，a≠0．(1)若a=1e，分析f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．7.已知函数f x =x -2 e x -ax +a ln x a ∈R ．(1)当a =-1时，求函数f x 的单调区间；(2)当a <e 时，讨论f x 的零点个数．8.函数f x =x -2 e x ,g x =13ax 3-12x 2-x +4a sin x +x +1 ln x +1 ,a >0.(1)求函数f x 在x ∈-1,2 的值域；(2)记f x ,g x 分别是f x ,g x 的导函数，记max m ,n 表示实数m ,n 的最大值，记函数F x =max f x ,g x ，讨论函数F x 的零点个数.9.设函数f x =-12x2+a-1x+a ln x+a2，a>0．(1)若a=1，求函数f x 的单调区间和最值；(2)求函数f x 的零点个数，并说明理由．10.已知函数f x =x-2sin x．(1)求f x 在0,π的极值；(2)证明：函数g x =ln x-f x 在0,π有且只有两个零点．11.已知函数f(x)=ax2-x-ln x．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在定义域内有两个不相等的零点x1,x2．①求实数a的取值范围；②证明：f x1+x2．>2-ln x1+x212.已知函数f x =e x-1-ln x-ax，a∈R.(1)当a=e-12时，求函数f x 的单调性；(2)当a>0时，若函数f x 有唯一零点x0，证明：1<x0<2.13.已知函数f x =sin x -x +a cos x ，函数g x =13x 3+12ax 2，其中a≥0.(1)判断函数f x 在0,π 上的单调性，并说明理由；(2)证明：曲线y =f x 与曲线y =g x 有且只有一个公共点.14.已知函数f x =3xx+3，g x =b sin x，曲线y=f x 和y=g x 在原点处有相同的切线l．(1)求b的值以及l的方程；(2)判断函数h x =f x -g x 在0,+∞上零点的个数，并说明理由．15.已知函数f (x )=ax ln x -2x ．(1)若f (x )在x =1处取得极值，求f (x )的单调区间；(2)若函数h (x )=f (x )x-x 2+2有1个零点，求a 的取值范围．16.已知f x =x2-x,x≥-1x+3,x<-1，g x=ln x+a．(1)存在x0满足：f x0=g x0，f x0=g x0，求a的值；(2)当a≤4时，讨论h x =f x -g x 的零点个数．17.已知函数f(x)=ln x-a+1x，g(x)=a(x-2)e1-x-1，其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<53时，是否存在x1,x2，且x1≠x2，使得f x i =g x i (i=1,2)？证明你的结论.18.设函数f x =ae x+sin x-3x-2，e为自然对数的底数，a∈R.(1)若a≤0，求证：函数f x 有唯一的零点；(2)若函数f x 有唯一的零点，求a的取值范围.19.已知函数f x =e x -2a x a >0 .(1)若a =e ，讨论f x 的单调性；(2)若x 1，x 2是函数f x 的两个不同的零点，证明：1<x 1+x 2<2ln a +ln2.20.已知函数f x =log a x-x-1x+1,a>0且a≠1.(1)若a=e，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)讨论函数f x 的零点个数.21.已知函数f x =a ln x +x +1x，其中a >0.(1)当a =1时，求f x 的最小值；(2)讨论方程e x +e -x -a ln ax -1ax =0根的个数.22.已知函数f x =x +b e x -a ．(b >0)在-1,f -1 处的切线l 方程为e -1x +ey +e -l =0．(1)求a ，b ，并证明函数y =f x 的图象总在切线l 的上方(除切点外)；(2)若方程f x =m 有两个实数根x 1，x 2．且x 1<x 2．证明：x 2-x 1≤1+m 1-2e 1-e．23.已知函数f x =ax+ln x，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若过点P(1，0)且与曲线y=f x 相切的直线有且仅有两条，求实数a的取值范围.24.已知函数f (x )=(x -1)e x -ax 2+b ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f (x )只有一个零点①12<a ≤e 22,b >2a ；②0<a <12,b ≤2a ．25.已知函数f x =e x 1+a ln x ．(1)当f x 有两个极值点时，求a 的取值范围；(2)若a ≥32，且函数f x 的零点为x 1，证明：导函数f x 存在极小值点，记为x 2，且x 1>x 2．26.函数f(x)=x-sin x-cos x．上的极值；(1)求函数f(x)在-π,π2(2)证明：F(x)=f(x)-ln x有两个零点．27.已知函数f(x)=e x-a sin x-1在区间0,π2内有唯一极值点x1.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：f(x)在区间(0,π)内有唯一零点x2，且x2<2x1.28.已知函数f(x)=e x-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．29.已知函数f x =x3+bx 2x.(1)当b=0时，求f x 的单调区间；(2)设函数g x =2x f x +c在x=2处的切线与x轴平行，若g x 有一个绝对值不大于4的零点，证明：g x 所有零点的绝对值都不大于4.30.已知函数f(x)=ae2x-x2,a∈R．(1)设f(x)的导函数为g(x)，讨论g(x)零点的个数；(2)设f(x)的极值点为x1,x2x1<x2，若ee-2x1+x2≥λx1x2恒成立，求实数λ的取值范围．31.已知函数f x =e mx +nx m ≠0 ．当m =1时，曲线y =f x 在点0,f 0 处的切线与直线x -y +1=0垂直．(1)若f x 的最小值是1，求m 的值；(2)若A x 1,f x 1 ，B x 2f x 2 x 1<x 2 是函数f x 图象上任意两点，设直线AB 的斜率为k ．证明：方程f x =k 在x 1,x 2 上有唯一实数根．32.已知函数f x =xe nx -nx (n ∈N *且n ≥2)的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点P 在点Q 的左侧．(1)求点P 处的切线方程y =g x ，并证明：x ≥0时，f x ≥g x ．(2)若关于x 的方程f x =t (t 为实数)有两个正实根x 1,x 2，证明：x 1-x 2 <2t n ln n +ln n n．33.已知函数f x =xe x -a sin x a ∈R ．(1)若∀x ∈0,π，f x ≥0，求a 的取值范围；(2)当a ≥-59时，试讨论f x 在0,2π 内零点的个数，并说明理由．34.已知函数f(x)=a ln x．(1)记函数g(x)=x2-(a+2)x+f(x)，当a>2时，讨论函数g(x)的单调性；(2)设h(x)=f(x)-x2，若h(x)存在两个不同的零点x1,x2，证明：2e<a<x12 +x22(e为自然对数的底数)．35.已知函数f x =3x -1 e x -32ax 2．其中实数a ∈0,+∞ ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)求证：关于x 的方程f x +32=32ax 2-x 3有唯一实数解．。
专题16 导数及其应用小题综合(学生卷)-十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)
专题16导数及其应用小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1导数的基本计算及其应用（10年4考）2020·全国卷、2018·天津卷2016·天津卷、2015·天津卷1.掌握基本函数的导数求解，会导数的基本计算，会求切线方程，会公切线的拓展，切线内容是新高考的命题热点，要熟练掌握2.会利用导数判断函数的单调性及会求极值最值，会根据极值点拓展求参数及其他内容，极值点也是新高考的命题热点，要熟练掌握3.会用导数研究函数的零点和方程的根，会拓展函数零点的应用，会导数与函数性质的结合，该内容也是新高考的命题热点，要熟练掌握4.会构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系，该内容也是新高考的命题热点，要熟练掌握考点2求切线方程及其应用（10年10考）2024·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·江苏卷、2019·全国卷2019·天津卷、2019·全国卷、2019·全国卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷、2016·全国卷2016·全国卷、2015·全国卷、2015·陕西卷2015·陕西卷考点3公切线问题（10年3考）2024·全国新Ⅰ卷、2016·全国卷、2015·全国卷考点4利用导数判断函数单调性及其应用（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷2019·北京卷、2017·山东卷、2016·全国卷2015·陕西卷、2015·福建卷、2015·全国卷考点5求极值与最值及其应用（10年5考）2024·上海卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅰ卷、2018·全国卷2018·江苏卷考点6利用导数研究函数的极值点及其应用（10年5考）2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙卷、2017·全国卷、2016·四川卷5.要会导数及其性质的综合应用，加强复习考点7导数与函数的基本性质结合问题（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅱ卷、2017·山东卷、2015·四川卷考点8利用导数研究函数的零点及其应用（10年6考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2021·北京卷、2018·江苏卷、2017·全国卷、2015·陕西卷考点9利用导数研究方程的根及其应用（10年3考）2024·全国甲卷、2021·北京卷、2015·安徽卷2015·全国卷、2015·安徽卷考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系（10年3考）2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷考点01导数的基本计算及其应用1．（2020·全国·高考真题）设函数e ()xf x x a=+．若(1)4e f '=，则a =．2．（2018·天津·高考真题）已知函数f (x )=exlnx ，()'f x 为f (x )的导函数，则()'1f 的值为．3．（2016·天津·高考真题）已知函数()(2+1)e ,()x f x x f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为.4．（2015·天津·高考真题）已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为．考点02求切线方程及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．232．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x =B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+D ．e 3e24y x =+3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，．4．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．5．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为．6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数12()1,0,0x f x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是．7．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e ba <<D ．0e ab <<8．（2020·全国·高考真题）若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +129．（2020·全国·高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+10．（2020·全国·高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是.12．（2019·全国·高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a eb ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-13．（2019·天津·高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为.14．（2019·全国·高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为．15．（2019·全国·高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=16．（2018·全国·高考真题）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x=-B ．y x=-C ．2y x=D ．y x=17．（2018·全国·高考真题）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ．18．（2018·全国·高考真题）曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为．19．（2018·全国·高考真题）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为．20．（2017·全国·高考真题）曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为．21．（2016·全国·高考真题）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是.22．（2016·全国·高考真题）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是．23．（2015·全国·高考真题）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则=a .24．（2015·陕西·高考真题）设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为．25．（2015·陕西·高考真题）函数x y xe =在其极值点处的切线方程为.考点03公切线问题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .2．（2016·全国·高考真题）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =．3．（2015·全国·高考真题）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=．考点04利用导数判断函数单调性及其应用1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -3．（2023·全国乙卷·高考真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是.4．（2019·北京·高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是．5．（2017·山东·高考真题）若函数()e xf x (e=2.71828L ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A ．()2xf x -=B ．()2f x x=C ．()-3xf x =D ．()cos f x x=6．（2016·全国·高考真题）若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎣⎦7．（2015·陕西·高考真题）设()sin f x x x =-，则()f x =A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数8．（2015·福建·高考真题）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（）A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫<⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭9．（2015·全国·高考真题）设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-È+¥C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)⋃+∞考点05求极值与最值及其应用1．（2024·上海·高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）．A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <3．（2022·全国乙卷·高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．ππ22-，B ．3ππ22-，C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+，4．（2022·全国甲卷·高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（）A ．1-B ．12-C ．12D ．15．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为.6．（2018·全国·高考真题）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是．7．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．考点06利用导数研究函数的极值点及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是．3．（2021·全国乙卷·高考真题）设0a ≠，若a 为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b<B ．a b>C ．2ab a <D ．2ab a >4．（2017·全国·高考真题）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为．A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．15．（2016·四川·高考真题）已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a=A ．–4B ．–2C ．4D ．2考点07导数与函数的基本性质结合问题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=4．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．5．（2017·山东·高考真题）若函数()x y e f x = 2.71828...e =（是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为①=2xf x -（）②=3xf x -（）③3=f x x （）④2=2f x x +（）6．（2015·四川·高考真题）已知函数f （x ）＝2x ，g （x ）＝x 2＋ax （其中a ∈R ）.对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n.其中真命题有（写出所有真命题的序号）.考点08利用导数研究函数的零点及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2023·全国乙卷·高考真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),3-∞-C ．()4,1--D ．()3,0-3．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．4．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．5．（2017·全国·高考真题）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．12-B ．13C ．12D ．16．（2015·陕西·高考真题）对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上考点09利用导数研究方程的根及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．2．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．3．（2015·安徽·高考真题）函数()32f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d <4．（2015·全国·高考真题）设函数()(21)x f xe x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．（2015·安徽·高考真题）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a>>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b<<3．（2021·全国乙卷·高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．c<a<b。
利用导数研究方程的根
利用导数研究方程的根方程的根就是与之对应的函数的零点,通过导数的方法研究函数的性质后可以确定函数零点的情况,这就是使用导数的方法研究方程的根的基本思想.利用导数研究方程根的过程中用的主要数学思想方法就是数形结合,即首先通过导数研究函数的性质,根据函数的性质画出函数的图像,然后根据函数的图像确定方程根的情况.本题型作为高考题型在逐年升温,现从近几年高考试题中列举数例作分类探讨如下:一、函数y=f(x)的图像与x轴的交点问题.1、(09江西)设函数f(x)=−+6x−a⑴对于任意的实数x ,(x)≥m恒成立,求m的最大值.⑵若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.解析: ⑴略⑵(x)=3−9x+6=3(x−1)(x−2)因为当x<1时,(x)>0 ;当1<x<2时,(x)<0 ;当x>2时,(x)>0 所以当x=1时, f(x)取得极大值,f(1)=− a ;当x=2时f(x)取得极小值f(2)=2−ay=f(x)草图如下:1要使f(x)=0有且仅有一个实根,必须且只需f(x)取得极小值f(2)>0或f(x)取得极大值f(1)<0 解得,a>或a<2 .变式引申①若方程f(x)=0有且仅有两个实根,求a的取值范围y=f(x)草图如下:要使f(x)=0f(1)=0或f(x)取得极小值f(2)=0 解得a=2或a=变式引申②要使f(x)=0有且仅有三个实根, 求a的取值范围y=f(x)草图如下要使f(x)=0有且仅有且只需极大值−解得2极小值−从上题的解答我们可看出:用导数来探讨y= f(x)图像与x轴的交点问题,有以下几个步骤:⑴、构造函数y= f(x)。
⑵、求导(x)。
⑶、研究函数f(x)的单调性和极值。
⑷、画出函数y= f(x)的草图,观察与x轴的交点情况,列出不等式或方程。
⑸、解不等式或方程,得解。
二、函数y= f(x)图像与直线y=b的交点问题2、(2008江西)已知函数f(x)=+− +(a>0)⑴、求函数y= f(x)的单独区间⑵、若y= f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点,求a的取值范围。
高三复习：利用导数研究函数的零点或方程的根(个人备选,经典实用) (1)
- 1 - ．专题．．】．利用导数研究函数的零点或方程的根．．．．．．．．．．．．．．．．专题概述：研究方程根、函数零点或图象交点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．1.利用导数研究方程根(函数零点)的技巧(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等. (2)根据题目要求,画出函数图像的走势规律,标明函数极(最)值的位置.(3)利用数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 2.已知函数零点个数求参数的常用方法(1)分离参数法:首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分类讨论法:结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围. 3.处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,通过构造函数y=f(x)-g(x),利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.4.判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x 轴交点的个数问题． (2)分离出参数，转化为a ＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y ＝a 与函数y ＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a 与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．1.若函数f(x)=x 3-3x+a 有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是( C )A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.D.【解析】选C.因为f ′(x)=3x 2-3=3(x+1)(x-1).当x<-1时,f ′(x)>0,当-1<x<1时,f ′(x)<0,当x>1时,f ′(x)>0,所以当x=-1时,f(x)有极大值,当x=1时,f(x)有极小值.要使f(x)有3个不同的零点,只需解得-2<a<2.2.若函数f(x)=xlnx-a 有两个零点,则实数a 的取值范围为 ( C ) A.B.C. D. 【解析】选C.函数的定义域为(0,+∞),由f(x)=0得a=xlnx,记g(x)=xlnx. 则g ′(x)=lnx+1,由g ′(x)>0得x>,由g ′(x)<0得0<x<.所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,- 2 - 且g(x)min =g()=-,由图可知-<a<0.3.(2021·石嘴山模拟)若函数f(x)=x 2e x-a 恰有3个零点,则实数a 的取值范围是( B ) A.B.C.(0,4e 2) D.(0,+∞) 【解析】选B.函数f(x)=x 2e x -a 的导数为f ′(x)=2xe x +x 2e x =xe x (x+2),令f ′(x)=0,则x=0或-2,函数在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,所以0或-2是函数f(x)的极值点,函数的极值为:f(0)=0-a=-a,f(-2)=4e -2-a=-a,函数f(x)=x 2e x -a 恰有三个零点,则实数a 的取值范围是.4.(2019届宜州调研)设f(x)＝|lnx|，若函数g(x)＝f(x)－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1eB.⎝⎛⎭⎫ln 22，eC.⎝⎛⎭⎫0，ln 22D.⎝⎛⎭⎫ln 22，1e解析：选D.令y 1＝f(x)＝|lnx|，y 2＝ax ，若函数g(x)＝f(x)－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则y 1＝f(x)＝|lnx|与y 2＝ax 的图象(图略)在区间(0，4)上有三个交点．由图象易知，当a ≤0时，不符合题意；当a>0时，易知y 1＝|lnx|与y 2＝ax 的图象在区间(0，1)上有一个交点，所以只需要y 1＝|lnx|与y 2＝ax 的图象在区间(1，4)上有两个交点即可，此时|lnx|＝lnx ，由lnx ＝ax ，得a ＝ln x x .令h(x)＝ln xx ，x ∈(1，4)，则h ′(x)＝1－ln x x 2，故函数h(x)在(1，e)上单调递增，在(e ，4)上单调递减，h(e)＝ln e e ＝1e ，h(1)＝0，h(4)＝ln 44＝ln 22，所以ln 22<a<1e，故选D ．5.已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ D ） A.()0,eB.()0,2eC.(,)e +∞D.(2,)e +∞【答案】D 【解析】函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点， 等价于()xh x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)aa ae ，因为()(1)x h x e x '=+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a ay ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xm f x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞，故选D ．6.若函数f(x)＝ax －aex ＋1(a<0)没有零点，则实数a 的取值范围为____(－e 2，0)____．- 3 - 解析：f ′(x)＝ae e 2x ＝e x.当a<0时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ f(x) 极小值若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)＝ae2＋1>0，解得a>－e 2，所以此时－e 2<a<0，故实数a 的取值范围为(－e 2，0)．答案：(－e 2，0)7.已知f(x)＝1x ＋e x e －3，F(x)＝lnx ＋e xe－3x ＋2.(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．解：(1)f′(x)＝－1x 2＋e x e ＝x 2e x －eex 2，令f′(x)＞0，解得x ＞1，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)F′(x)＝f(x)＝1x ＋e xe－3，由(1)得∃x 1，x 2，满足0<x 1<1<x 2，使得f(x)在(0，x 1)上大于0，在(x 1，x 2)上小于0，在(x 2，＋∞)上大于0，即F(x)在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增， 而F(1)＝0，当x →0时，F(x)→－∞，当x →＋∞时，F(x)→＋∞， 画出函数F(x)的草图，如图所示．故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．8.已知函数f(x)＝xln x＋ax ，x>1.(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f(x)的极小值；(3)若方程(2x －m)ln x ＋x ＝0，在(1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．[解析](1)f ′(x)＝ln x －1ln 2x ＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝221ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-x －14.∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴当1ln x －12＝0时，函数t ＝221ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-x －14的最小值为－14，∴a ≤－14. 故实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,(2)当a ＝2时，f(x)＝xln x ＋2x ，f ′(x)＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x，令f ′(x)＝0，得2ln 2x ＋lnx －1＝0，解得lnx ＝12或lnx ＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1<x<e 12时，f ′(x)<0，当x>e 12时，f ′(x)>0，∴f(x)的极小值为f(e 12)＝e 1212＋2e 1e ＝4e 12.(3)将方程(2x －m)lnx ＋x ＝0两边同除以lnx 得(2x －m)＋x ln x ＝0，整理得xln x＋2x ＝m ，即函数g(x)＝xln x＋2x 的图象与函数y ＝m 的图象在(1，e]上有两个不同的交点．- 4 - 由(2)可知，g(x)在(1，e 12)上单调递减，在(e 12，e]上单调递增，g(e 12)＝4e 12，g(e)＝3e ，在(1，e]上，当x →1时，x ln x →＋∞，∴4e 12<m ≤3e ，故实数m 的取值范围为(4e 12，3e]． 9.(2020年高考全国Ⅲ卷文数20)已知函数()32f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性：（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【答案】（1）详见解析；(2)4(0,)27． 【思路导引】（1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可；（2）()fx 有三个零点，由（1）知0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可．【解析】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，∴()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x << 令'()0f x >，得x <x>()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增．（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k>，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<，当4027k <<>20f k =>，∴()fx 在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，∴()f x 在(1,k --上有唯一一个零点，又()fx 在(上有唯一一个零点，∴()f x 有三个零点． 综上可知k 的取值范围为4(0,)27．10.（2020•新课标Ⅰ）已知函数()(2)x f x e a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【分析】（1）当1a =时，()1x f x e '=-，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；（2）当0a 时，()0x f x e a '=->恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不合题意；当0a >时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a 的取值范围． 【解答】解：由题意，()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且()x f x e a '=-． （1）当1a =时，()1x f x e '=-，令()0f x '=，解得0x =．- 5 - 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（2）当0a 时，()0x f x e a '=->恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不合题意； 当0a >时，令()0f x '=，解得x lna =，当(,)x lna ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(,)x lna ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．()f x ∴的极小值也是最小值为()(2)(1)f lna a a lna a lna =-+=-+． 又当x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞． ∴要使()f x 有两个零点，只要()0f lna <即可，则10lna +>，可得1a e>．综上，若()f x 有两个零点，则a 的取值范围是1(e，)+∞．11.(2019届贵阳摸底)已知函数f(x)＝kx －lnx(k ＞0)． (1)若k ＝1，求f(x)的单调区间；(2)(一题多解)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k 的值．解：(1)若k ＝1，则f(x)＝x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x)＝1－1x，由f ′(x)＞0，得x ＞1；由f ′(x)＜0，得0＜x ＜1，所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)解法一：由题意知，方程kx －ln x ＝0仅有一个实根，由kx －ln x ＝0，得k ＝ln xx(x ＞0)，令g(x)＝ln xx (x ＞0)，则g ′(x)＝1－ln x x 2，令g ′(x)＝0，则x ＝e ；当0＜x ＜e 时，g ′(x)＞0；当x ＞e 时，g ′(x)＜0. 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g(x)max ＝g(e)＝1e.当x →＋∞时，g(x)→0，当x →0时，g(x)→－∞.又k ＞0，所以要使f(x)仅有一个零点，则k ＝1e.解法二：因为f(x)＝kx －ln x ，所以f ′(x)＝k －1x ＝kx －1x(x ＞0，k ＞0)．令f ′(x)＝0，则x ＝1k ；当0＜x ＜1k 时，f ′(x)＜0；当x ＞1k ，f ′(x)＞0.所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，1k 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1k ，＋∞上单调递增， 所以f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1k ＝1－ln 1k， 因为f(x)有且只有一个零点，所以1－ln 1k ＝0，即k ＝1e.12.已知函数f(x)＝xsinx ＋acosx ＋x ，a ∈R.(1)当a ＝2时，求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)当a>2时，若方程f(x)－3＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有唯一解，求a 的取值范围.解(1)当a ＝2时，f(x)＝xsinx ＋2cosx ＋x ，所以f ′(x)＝－sinx ＋xcosx ＋1.- 6 - 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2时，1－sinx>0，xcosx>0，所以f ′(x)>0.所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2上单调递增.因此f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π，最小值为f(0)＝2. (2)当a>2时，f ′(x)＝(1－a)sinx ＋xcosx ＋1.设h(x)＝(1－a)sinx ＋xcosx ＋1， h ′(x)＝(2－a)cosx －xsinx ，因为a>2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以h ′(x)<0.所以h(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减.因为h(0)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－a ＋1＝2－a<0，所以存在唯一的x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使h(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝0.所以f(x)在区间[0，x 0]上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，π2上单调递减. 因为f(0)＝a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π，又因为方程f(x)－3＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有唯一解，所以2<a ≤3.13.[2020·北京市适应性测试]已知函数f(x)＝sinx －xcosx －16x 3，f ′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f ′(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上不存在零点； (2)若f(x)>kx －xcosx －16x 3－1对x ∈⎛⎭⎫0，π2恒成立，求实数k 的取值范围．- 7 - 解：(1)证明：令g(x)＝lnx －x＋1(x>0)，则g(1)＝0，g ′(x)＝1x －1＝1－x x，∴当x ∈(0，1)时，g ′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)<0，函数g(x)单调递减． ∴当x ＝1时，函数g(x)取得极大值也是最大值，∴g(x)≤g(1)＝0，即ln x ≤x －1.(2)f ′(x)＝1x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x ，x>0.令－2x 2＋ax ＋1＝0，解得x 0＝a ＋a 2＋84(负值舍去)，在(0，x 0)上，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，在(x 0，＋∞)上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减．∴f(x)max ＝f(x 0)． 当a ＝1时，x 0＝1，f(x)max ＝f(1)＝0，此时函数f(x)只有一个零点x ＝1.当a>1时，f(1)＝a －1>0，f ⎝⎛⎭⎫12a ＝ln 12a －14a 2＋12<12a －1－14a 2＋12＝－⎝⎛⎭⎫12a －122－14<0，f(2a)＝ln 2a －2a 2<2a －1－2a 2＝－2⎝⎛⎭⎫a －122－12<0.∴函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫12a ，1和区间(1，2a)上各有一个零点．综上可得，当a ＝1时，函数f(x)只有一个零点x ＝1； 当a>1时，函数f(x)有两个零点．1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x 轴(或直线y ＝k)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点的导数值异号． 3.已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，再利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围； (2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．1.已知函数()25xf x ex --=-的零点位于区间(),1m m +，m ∈Z 上，则42log m m +=（ D ）A.14-B.14C.12 D.34【答案】D.【解析】易知函数()f x 单调递减，因为()2210f e -=->，()130f e -=-<，由零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间()2,1--内，则2m =-．所以2441132log 2log 2424mm -+=+=+=．故选:D ． 2.若函数2()32f x x x a =-+在[)0,+∞上有2个零点，则实数a 的取值范围为（ D ）A.99,88⎛⎫-⎪⎝⎭ B.90,8⎛⎤⎥⎝⎦C.9,08⎛⎫-⎪⎝⎭D.90,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D.【解析】因为二次函数2()32f x x x a =-+开口向上，且对称轴为32x =，- 8 - 若2()32f x x x a =-+在[0,+∞上有2个零点，只需(0)0302f f ≥⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，即0992042a a ≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩，解得098a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，即908a ≤<，故选：D. 3.（2020•广东二模）已知21()cos 1()2f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的范围为( D )A.(,0)-∞B.(-∞，0][1，)+∞C.(-∞，1][1，)+∞D.(,0)[1-∞，)+∞【分析】求导，构造辅助函数()()sin g x f x x ax ='=-+，则()cos g x x a '=-+，当1a 时，可知()g x 在R 上单调递增，(0)0g =，即可判断()f x 在[0，)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数，由()0f x =，即可证明，当1a 时，()f x 有唯一的零点；然后验证0a =时，函数的零点的个数，判断选项即可． 【解答】解：因为()sin ()f x x ax x R '=-+∈．令()sin g x x ax =-+，则()cos g x x a '=-+， 所以当1a 时，()cos 0g x x a '=-+，即()g x 在R 上单调递增，又(0)sin 00g =-=，所以[0x ∈，)+∞，()0f x '，当(,0)x ∈-∞，()0f x '<， 所以()f x 在[0，)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数， 又(0)0f =，所以当[0x ∈，)+∞，()0f x ，当(,0)x ∈-∞，对x R ∈恒成立，即当1a 时，()0f x ，且当且仅当0x =，()0f x =，故当1a 时，()f x 有唯一的零点；排除A ，当0a =时，()cos 1f x x =-，令()0f x =，可得cos 1x =，有无数解，所以0a =，不成立，排除BC ， 故选：D ．4.（多选题）函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()g x f x x a =-+只有一个零点，则a 可能取的值有（ ABC ）A ．2B ．2-C ．0D ．1【答案】ABC【解析】∵()()g x f x x a =-+只有一个零点，∴函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点，作函数函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与函数y x a =-的图象如下，结合图象可知，当0a ≤时；函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点；当0a >时，ln(1)y x =-，可得11y x '=-，令111x =-可得2x =，所以函数在2x =时，直线与ln(1)y x =-相切，可得2a =.综合得：0a ≤或2a =.故选：ABC.5.（2020•西安二模）已知函数()(x f x e kx m k =--、m 为实数，e 为自然对数的底数， 2.71828)e ≈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当2k =，1m =时，判断函数()f x 零点的个数并证明．- 9 -（2）先由导数与单调性关系分析函数的性质，然后结合函数零点判定定理即可求解． 【解答】解：（1）()x f x e k '=-，①0k 时，()0f x '>恒成立，故()f x 的单调递增区间(,)-∞+∞，没有单调递减区间； ②0k >时，易得，当x lnk >时，()0f x '>，当x lnk <时，()0f x '<， 故函数的单调递增区间(,)lnk +∞，单调递减区间(,)lnk -∞，（2）当2k =，1m =时，()21x f x e x =--的零点个数为2个，证明如下： 由（1）在(,2)ln -∞单调递减，且(0)0f =， 故()f x 在(,2)ln -∞有且仅有1个零点，又因为()f x 在(2,)ln +∞上单调递增且f （1）30e =-<，f （2）250e =->且()f x 在[1，2]上连续不间断， 故()f x 在[1，2]上有且仅有1个零点． 综上()f x 有且仅有2个零点．6.函数f(x)＝ax ＋xlnx 在x ＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y ＝f(x)－m －1在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意知，f ′(x)＝a ＋lnx ＋1(x>0)，f ′(1)＝a ＋1＝0，解得a ＝－1，当a ＝－1时，f(x)＝－x ＋xlnx ， 即f ′(x)＝lnx ，令f ′(x)>0，解得x>1；令f ′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x ＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)y ＝f(x)－m －1在(0，＋∞)上有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m ＋1在(0，＋∞)上有两个不同的根，也可转化为y ＝f(x)与y ＝m ＋1的图象有两个不同的交点，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min ＝f(1)＝－1，由题意得，m ＋1>－1，即m>－2，① 当0<x<1时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0； 当x>0且x →0时，f(x)→0； 当x →＋∞时，显然f(x)→＋∞.如图，由图象可知，m ＋1<0，即m<－1，② 由①②可得－2<m<－1.故实数m 的取值范围为(－2，－1)．7.(2019·福建三明联考)设a 为实数，函数f(x)＝－x 3＋3x ＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a ，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x)＝－3x 2＋3，令f ′(x)＝0，得x ＝－1或x ＝1.∵当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0， ∴f(x)的极小值为f(－1)＝a －2，极大值为f(1)＝a ＋2.图1(2)由(1)得，f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x →－∞时，f(x )→＋∞；f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x →＋∞时，f(x )→－∞，而a ＋2>a －2，即函数的极大值大于极小值，∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x 轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，图2如图1所示．∴a ＋2＝0，即a ＝－2.- 10 - 如图2所示．∴a －2＝0，即a ＝2.综上所述，当a ＝2或a ＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根． 8.(2020届大同调研)已知函数f(x)＝2lnx －x 2＋ax(a ∈R)． (1)当a ＝2时，求f(x)的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－ax ＋m 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f(x)＝2lnx －x 2＋2x ，f ′(x)＝2x－2x ＋2，则k ＝f ′(1)＝2.∵f(1)＝1，∴切点坐标为(1，1)．所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)由题意得，g(x)＝2lnx －x 2＋m ，则g ′(x)＝2x －2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x.∵x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，∴令g ′(x)＝0，得x ＝1. 当1e≤x<1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当1<x ≤e 时，g ′(x)<0，g(x)单调递减． 故g(x)在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有最大值g(1)＝m －1.又g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2，g(e)＝m ＋2－e 2，g(e)－g ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g(e)<g ⎝⎛⎭⎫1e ， ∴g(x)在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值是g(e)．g(x)在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不同的零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m －1>0，g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e 2， ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，2＋1e 2.。
《利用导数研究函数的零点或方程的根》教学设计
《利用导数研究函数的零点或方程的根》教学设计教学目标利用导数研究函数的零点或方程的根．教学重点利用导数研究函数的零点或方程的根．教学难点学生如何利用导数与函数的单调性确定函数零点个数或者求方程的根以及参数问题。
教学过程一、导入上节课我们研究了“利用导数研究生活中的优化问题”，导数与函数的综合问题还体现在哪些方面呢？我们今天一起来从另一个角度——利用导数研究函数的零点或方程的根体会一下。
二、新课讲授：1、证明或者判定零点的个数：例1：(2015·广东高考节选)设a>1，函数(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(1) 解：f(x)的定义域为R，由导数公式知∵对任意，都有，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：由(1)知f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且．∵a>1，∴a-1>0，∴，∴，∴，故，∴存在使得.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．2、解决参数的取值范围例2：(2016·贵州七校联考)函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)当a＞0时，解不等式f(x)≤0；(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解．解：(1)因为ex＞0，所以不等式f(x)≤0即为ax2＋x≤0，又因为a＞0，所以不等式可化为，所以不等式f(x)≤0的解集为.(2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex＞0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等价于ex－x(2)－1＝0.令h(x)＝ex－x(2)－1，因为h′(x)＝ex＋x2(2)＞0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－2＞0，h(－3)＝e－3－3(1)＜0，h(－2)＝e－2＞0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上，所以整数t的所有值为{－3,1}．[由题悟法]利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．三、即时应用1、若函数若f(x)存在唯一的零点，且>0，则a的取值范围是（）A. (－∞，-2)B. (1，＋∞)C. (2，＋∞)D. (－∞，-1)2、（2016·贵阳监测改编）已知函数.（1）当a=-1时，求函数f(x)的极值；（2）若函数没有零点，求实数a的取值范围.四、课堂小结对于研究方程根的个数或者是函数零点的相关问题，通常是利用导数和数形结合的思想来求解.这类问题求解的通法是：①构造函数，这是解决此类问题的关键点和难点，并求其定义域；②求导数，得单调区间和极值点；③画出函数草图；④数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图像与轴的焦点进而求解.。
利用导数探究方程根的个数问题优秀课件
又因为f (1) 3, f (2) 1,所以方程 2x3 6x2 70
在1，2内有且只有一个实根 7y 。
21.10.2020
O1 2
x
练习
3：解： h (x )构 f(x ) 5 造 x b l函 n x 1 ) ( x 数 2 3 x b
21.10.2020
新课 思考4：方程x3-3x2 -a=0的根的个数 函数y=x3-3x2 -a的零点个数. 函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.
解：易知函数的定义x域 R
f ' (x) 3x2 6x 3x(x 2) 令f'(x)0x0或x2
令f'(x)00x2 即f(x)在（ ， 0） ,(2,)上单调递增
当4a0时，方3个 程不 有相等的
21.10.2020
新课 思考5：若方程x3-3x2-a=0在[-1,1]有
解.
2Hale Waihona Puke .10.2020新课 思考5：若方程x3-3x2=a在[-1,1]有解.
分析：方 f( x ) 程 a 有 a 解 { f( x ) |x D }
即 yf(x)x , D 的图 y像 a有与 交
解： f(x)易 在知 2 （ ,0 ） ，0,2 （ ） （ 2,3 ） f( 2) 2,0 f(0)0,f(2) 4,f(3)0
4a0时，在 [2,3]区 上间 有三
21.10.2020
练习 1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不 同的公共点，求实数a的取值范围. 2.判断2方 x3程 6x270在区1间 ,2）（
内根的 . 个数 3:已知f (x) ln(x 1) x2 x,若关于
第09讲 利用导数研究函数的零点问题及方程的根(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考
第09讲利用导数研究函数的零点问题及方程的根（6类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数证明函数的单调性2能结合零点的定义及零点存在性定理解决零点问题3能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习利用导数研究函数零点的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.(2)数形结合法求解零点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．利用导数研究函数方程的根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.(2)数形结合法求解零点（方程的根）对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数()()21ln R 2f x x ax a =-Î.(1)当1a =时，求()f x 的最大值；(2)讨论函数()f x 在区间21,e éùëû上零点的个数.2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-ÎR .(1)求()f x 的最小值；(2)设函数()()()h x f x g x =-，讨论()h x 零点的个数.3．（2024·河北保定·二模）已知函数()sin cos f x a x x x =+.(1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()π,πx Î-，试讨论()f x 的零点个数.1．（2024·山东·模拟预测）已知函数()1e 4xf x =-(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 在y 轴上的截距；(2)探究()f x 的零点个数．2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数()()e sin 1xf x a x x =+--.(1)当12a =时，求()f x 的单调区间；(2)当1a =时，判断()f x 的零点个数.3．（2024·河南·模拟预测）已知函数()()20,e x ax f x a a =¹ÎR ．(1)求()f x 的极大值；(2)若1a =，求()()cos g x f x x =-在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点个数．1．（2022·全国·高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．2．（2022·全国·高考真题）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+¥各恰有一个零点，求a 的取值范围．3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数()32113f x x x =-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()()g x f x k k =-ÎR 有且仅有三个零点，求k 的取值范围．4．（2024·广东茂名·一模）设函数()e sin xf x a x =+，[)0,x Î+¥.(1)当1a =-时，()1f x bx ³+在[)0,¥+上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)若()0,a f x >在[)0,¥+上存在零点，求实数a 的取值范围.1．（2024·广东汕头·三模）已知函数2)()(e x f x x ax =-.(1)若曲线()y f x =在=1x -处的切线与y 轴垂直，求()y f x =的极值.(2)若()f x 在(0,)+¥只有一个零点，求a .2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()32,f x x ax a =-+ÎR .(1)若2x =-是函数()f x 的极值点，求a 的值，并求其单调区间；(2)若函数()f x 在1,33éùêúëû上仅有2个零点，求a 的取值范围．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln f x x kx =+的单调递增区间为()0,1．(1)求函数()f x 的图象在点()()e,e f 处的切线方程；(2)若函数()()e xaxg x f x =-有两个零点，求实数a 的取值范围．4．（2024·安徽·三模）已知函数()e e (1),0x x f x a a x a -=--+>．(1)求证：()f x 至多只有一个零点；(2)当01a <<时，12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，若()()120f x kf x +>成立，求实数k 的取值范围．1．（2024·浙江温州·一模）已知()11e xf x -=（0x >）.(1)求导函数()f x ¢的最值；(2)试讨论关于x 的方程()f x kx =（0k >）的根的个数，并说明理由.1．（2024·山西·模拟预测）已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．(1)求实数a 的值及()f x 的最大值；(2)证明：当π,π6x éùÎêúëû时，1()22f x x +>；(3)判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．2．（2024·河南信阳·一模）已知函数()ln(1)3mf x x x =++．(1)若3m =-，求证：()0f x £；(2)讨论关于x 的方程2π()sin 03π2x f x +=在(1,2)-上的根的情况．1．（2024·贵州贵阳·二模）已知函数1()ln ,2f x ax x a x=+ÎR .(1)当1a =时.求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程;(2)若方程31()2f x x x=+存两个不等的实数根，求a 的取值范围.2．（2024·山东烟台·三模）已知函数()()e xf x x a a =+ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当3a =时，若方程()()()1f x x xm f x x f x -+=+-有三个不等的实根，求实数m 的取值范围.1．（2023·广东梅州·三模）已知函数()2e xf x ax =-，a ÎR ，()f x ¢为函数()f x 的导函数.(1)讨论函数()f x ¢的单调性；(2)若方程()()22f x f x ax ¢+=-在()0,1上有实根，求a 的取值范围.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数e ()xf x ax b =+的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为210x y ++=．(1)求,a b 的值；(2)若()21mf x x =-有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围．1．（2021·全国·高考真题）已知0a >且1a ¹，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2022·全国·高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数()2ln 3f x a x x =++在1x =处的切线经过原点.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)求证：函数()f x 的图象与直线5y x =有且只有一个交点.2．（2024·陕西西安·二模）设函数21()(1)e 2x f x ax x =+-.(1)当1a £时，讨论()f x 的单调性；(2)若[2,2]x Î-时，函数()f x 的图像与e x y =的图像仅只有一个公共点，求a 的取值范围.3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()log a axf x x =.(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)证明：若曲线()y f x =与直线21y a =有且仅有两个交点，求a 的取值范围.1．（2023·全国·高考真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),2-¥-B ．(),3-¥-C ．()4,1--D ．()3,0-2．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰 有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．1．（2024·四川绵阳·模拟预测）函数()e x f kx b x =--恰好有一零点0x ，且0k b >>，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,0)-¥B ．(0,1)C ．(,1)-¥D ．(1,)+¥2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知0w >，若函数()ln ,0,3πsin ,π03x x x f x x x w ì->ïï=íæöï+-££ç÷ïèøî有4个零点，则w 的取值范围是（ ）A ．47,33æùçúèûB ．47,33éö÷êëøC ．710,33æùçúèûD ．710,33éö÷êëø3．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数()31f x x ax =-+，a ÎR ，则（ ）A ．若()f x 有极值点，则0a £B ．当1a =时，()f x 有一个零点C ．()()2f x f x =--D ．当1a =时，曲线()y f x =上斜率为2的切线是直线21y x =-4．（2024·安徽·模拟预测）若关于x 的方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为 .5．（2024·天津北辰·三模）若函数22()233(3)f x a x a x x =----有四个零点，则实数a 的取值范围为 .一、单选题1．（2023·陕西西安·模拟预测）方程e 1x a x -=+有两个不等的实数解，则a 的取值范围为（ ）A．æöç÷ç÷èøB ．211,e æö--ç÷èøC ．21,0e æö-ç÷èøD ．1,0e æö-ç÷èø2．（2024·四川凉山·二模）若()sin cos 1f x x x x =+-，π,π2x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、多选题3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数3()1f x x x =++，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x有一个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()e xxf x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极值点为11,e æö-ç÷èøB ．()f x 的极值点为1C ．直线2214e e y x =-是曲线()y f x =的一条切线D ．()f x 有两个零点三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）方程()1ln 0x x k -++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为 ．6．（2024·山西·三模）已知函数12,0()e ,0x x x f x x x ì+>ï=íï£î，若函数()()()g x f x x m m =-+ÎR 恰有一个零点，则m 的取值范围是.7．（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数()324f x x x t =+-，若函数()f x 的图象与曲线25y x =有三个交点，则t 的取值范围是 .四、解答题8．（2023·广西河池·模拟预测）已知函数()()22ln f x x x ax a =-+ÎR (1)当1a =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 与直线y ax a =-在1,e e éùêúëû上有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．9．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知()ln f x x =，(1)求()f x x的极值；(2)若函数()y f x ax =-存在两个零点，求a 的取值范围.10．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数()32113f x x x =-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()()g x f x k k =-ÎR 有且仅有三个零点，求k 的取值范围．一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知过点(2,0)-的直线与函数2()e 2x f x x +=+的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）A ．(,1)-¥-B ．(,0)-¥C ．(1,0)-D ．(1,)-+¥2．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数()e ,0e ,0x a x f x x x -ì+>ï=íï<î，若方程()e 0f x x +=存在三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),e -¥B ．(),e -¥-C ．(),2e -¥-D ．(),2e -¥二、填空题3．（2024·重庆·模拟预测）若函数e ()e x x f x a =+的图象与函数e ()e xxg x x =+的图象有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围为．4．（2024·湖北黄冈·二模）已知函数()()e 1e kxf x k =--与函数()()1e ln 1xg x x--=的图象有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为 .5．（2024·福建泉州·一模）已知函数()(1)e e x x f x x a =-+-有且只有两个零点，则a 的范围．三、解答题6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知()sin cos f x x x a x =-在π2x =时取得极大值．(1)讨论()f x 在[]π,π-上的单调性；(2)令()24sin 4cos 4h x x x x x =--+，试判断()h x 在R 上零点的个数．7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e =-+x f x x a ，x ÎR ，()()2x f x x x j =+-.(1)若()x j 的最小值为0，求a 的值；(2)当0.25a <时，证明：方程()2f x x =在()0,¥+上有解.8．（2024·广东梅州·二模）已知函数()e xf x =，()21g x x =+，()sin 1h x a x =+（0a >）．(1)证明：当()0,x Î+¥时，()()f x g x >；(2)讨论函数()()()F x f x h x =-在()0,π上的零点个数．1．2．3．4．9．（2024·广西南宁·二模）已知函数()ln f x x ax =-(1)若()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围，(2)若函数()()1g x f x x =-+恰有两个零点，求a 的取值范围，10．（2024·广西贺州·一模）已知函数()ln ,2a f x x x a x=++ÎR ．(1)若12a >-，讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程2()ef x =有且只有一个解，求a 的取值范围．1．（2022·浙江·高考真题）设函数e ()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ÎR ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a æö<-<-ç÷èø；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828=L 是自然对数的底数）2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点①21,222e a b a <£>；②10,22a b a <<£．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+Î（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b e x x e b>+.(注： 2.71828e =×××是自然对数的底数)4．（2020·全国·高考真题）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．5．（2020·全国·高考真题）已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．6．（2020·全国·高考真题）已知函数()(2)x f x e a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.7．（2019·全国·高考真题）已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.8．（2019·全国·高考真题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．9．（2019·全国·高考真题）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x ¢为()f x 的导数．证明：（1）()f x ¢在区间(1,2p-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．10．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+Î在()0,+¥内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．。
利用导数讨论方程根的存在性及个数的一般方法
利用导数讨论方程根的存在性及个数的一般方法摘要：函数的零点就是方程的根，也是曲线与x轴的交点的横坐标，所以函数的零点、方程的根、曲线与x轴的交点的横坐标之间是可以相互转化的。
有些函数较为复杂，无法直接求出函数的零点或者对应方程的根，此时我们就需要利用导数法，来讨论函数曲线与轴的交点情况.下面我们结合实例来探讨一下如何运用导数法讨论函数的零点或者方程的根的问题。
关键词：数形结合，函数的导数与函数图像，罗尔定理，根的存在性定理方程的（实）根，也称为函数的零点，它是曲线与轴交点的横坐标。
在讨论方程的根的存在性及个数的问题上，导数是一个很好的工具。
这一类问题上关键是将方程的问题转化成函数的零点或者函数图像交点问题，利用导数讨论函数的性质结合零点定理及函数图像来解决问题。
1.如何判别方程存在根？解题思路（1）利用连续函数的根值定理（零点定理）若题给出可导条件时，往往须先用导数的有关知识或中值定理，进而再用根值定理。
若满足根值定理的条件，则可判定方程在区间内至少存在一个根。
推广根值定理中的闭区间，可推广至开区间或无限区间，，。
这里以无限区间为例来说明：设在内连续若，，且与异号或若，则在内至少存在一个根。
（2）利用罗尔定理根据已给方程，做辅助函数，使，验证在上满足罗尔定理的条件。
则在上至少存在一个根。
用广义罗尔定理也可，这实际上是把罗尔定理中的区间，推广至无限区间。
例1设，求证：方程在区间与内各至少有一个实根。
解已知方程可改写作设因为在上连续，且 ,所以由根值定理，存在，使得，是方程的根。
同理可证，存在，使得，是方程的根。
1.如何判断方程实根的个数？解题思路1.用导数确定函数的增减区间及极值，考查曲线与轴交点的个数。
2.用二阶导数确定曲线是上凹（或下凹），以确定线与轴有两个交点（图1）。
图11.用罗尔定理估计方程根的个数：设在上连续，在可导若没有零点，则在内最多只有一个根。
若有一个（个）零点，则在内至多有两个个根。
专题突破练2利用导数研究不等式与方程的根共39页
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
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50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
利用导数探究方程根的个数问题共27页PPT
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
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利用导数研究方程的根
方程的根就是与之对应的函数的零点,通过导数的方法研究函数的性质后可以确定函数零点的情况,这就是使用导数的方法研究方程的根的基本思想.利用导数研究方程根的过程中用的主要数学思想方法就是数形结合,即首先通过导数研究函数的性质,根据函数的性质画出函数的图像,然后根据函数的图像确定方程根的情况.本题型作为高考题型在逐年升温,现从近几年高考试题中列举数例作分类探讨如下:
一、函数y=f(x)的图像与x轴的交点问题.
1、(09江西)设函数f(x)=−+6x−a
⑴对于任意的实数x ,(x)≥m恒成立,求m的最大值.
⑵若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.
解析: ⑴略
⑵(x)=3−9x+6=3(x−1)(x−2)
因为当x<1时,(x)>0 ;当1<x<2时,(x)<0 ;当x>2时,(x)>0 所以当x=1时, f(x)取得极大值,f(1)=− a ;当x=2时
f(x)取得极小值f(2)=2−a
y=f(x)草图如下:
1
要使f(x)=0有且仅有一个实根,必须且只需f(x)取得极小值f(2)>0或f(x)取得极大值f(1)<0 解得,a>或a<2 .
变式引申①若方程f(x)=0有且仅有两个实根,求a的取值范围
y=f(x)草图如下:
要使f(x)=0f(1)=0或f(x)取得极小值f(2)=0 解得a=2或a=
变式引申②要使f(x)=0有且仅有三个实根, 求a的取值范围
y=f(x)草图如下
要使f(x)=0有且仅有且只需极大值−
解得2
极小值−
从上题的解答我们可看出:用导数来探讨y= f(x)图像与x轴的交点问题,有以下几个步骤:
⑴、构造函数y= f(x)。
⑵、求导(x)。
⑶、研究函数f(x)的单调性和极值。
⑷、画出函数y= f(x)的草图,观察与x轴的交点情况,列出不等式或方程。
⑸、解不等式或方程,得解。
二、函数y= f(x)图像与直线y=b的交点问题
2、(2008江西)已知函数f(x)=+− +(a>0)
⑴、求函数y= f(x)的单独区间
⑵、若y= f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点,求a的取值范
围。
解:⑴略
⑵(x)=a−2x=x(x+2a)(x−a)其导函数的图像如下左图:
y
-2a
f(x)极小值=f(-2a)=-
f(x)极小值=f(a)=
f(x)极大值=f(0)=
y= f(x)的草图如上中图、右图,由图知,要使y= f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点,只要-<1<或
解得a>或0<a<1
变式引申: 若y= f(x)的图像与直线y=1有三个交点,求a的取值范围？四个交点呢？
三、函数y= f(x)图像与函数y=g(x)图像的交点问题
3、(2006福建)已知函数f(x)=-+8x , g(x)=6lnx+m
⑴求f(x)在区间[t ,t+1]上的最大值h(t)
⑵是否存在实数m,使得y= f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有三个不同的交点？若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由。
解析:⑴略
⑵因为y= f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有三个不同的交点,所以方程f(x) =g(x)有三个不同的解,对应的函数
φ(x)= g(x)− f(x)= −8x+6lnx+m (注意x>0)的图像与x正半轴有且只有三个不同的交点,
因为−=
要使φ(x)=0有三个不同的正实数根,必须且只需极大值−
解得7<m<15-6ln3 极小值−
所以存在实数m,使得y= f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7 , 15-6ln3)
变式引申:若y= f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有一个不同的交点,求m的范围? 有且只有两个不同的交点呢?
练习08年四川理22题;06四川文科21题;06福建文科21;
2011湖南。