度量空间中的自列紧集、紧集、连通集与连续映射

由 d x, r r 和 d r, s r s 得 d s, x d r, s d r, x r s r s 。所
以 x N 。同理可得，若 x N ，则 x M 。所以 M N 。
因为集 A 是连通的，所以集合 A \ M N 不空(若空则 M 、 N 分离集 A )。
自列紧集(列紧闭集)与连续映射 1.度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。 证明: 设 X、Y 是度量空间， A 是 X 的自列紧子集。
设 f : A Y 是连续映射,象集为 B f X Y 。设yn 是 B 的序列。对任意
正整数 k，设 yk 的某个原象是 xk A X ，这样得到 X 的序列xn 。因为 X 是自
R 的定义是函数值小于 y0 的自变量集合)。同理，对于任意点 s S ，存在邻域
U s, s 使得U s, s A S 。
对任意点 r R ，s S ，设s s 2 ；设 dr inf d r, s s S ，显然 dr 0
(否则，便不存在不包含 S 的点的邻域)， d r, s s d r, s s 0 。
紧集与连续映射 1.度量空间的紧子集在连续映射下的象是紧集。 证明:
设 X、Y 是度量空间， A 是 X 的紧子集。设 f : A Y 是连续映射,象集为
B f XY 。
设 B 的一个开覆盖为 G 。任意 S G 是开集，所以对任意 y S ，存在邻域
U y, y S 。对于任意 x f 1 y ( f 1 y 是 y 的原象集)，因为 f : A Y 是连
所以，对任意 r R ，s S 都有 d r, s s dr 4 。对任意 r R ，设r dr 4 。
那么 d r, s s r ，即 d r, s r s 。
设集合 M U r,r , N U s,s 。显然 M 、N 都是开集。且对于任意
若 d r, s s dr 2 ，则 d r, s s dx r, s s dr 2 dr 4 ；
若 0 d r, s s dr 2 ， 则 s d r, s dr 2 dr dr 2 dr 2 ，
s 2 dr 4， d r,s s d r,s s s 2 s 2 dr 4 。
RS U y ，易知 RS 是开集，且 f RS f U y S ；记 F RS | S G 。
yS
yS
对于任意 x A , f xB 。而 G 是 B 的开覆盖，所以存在 S G 使得
f x S。那么 x U f x RS ，所以 F 是 A 的一个开覆盖。因为 A 是紧集，F 可
续映射，所以存在邻域U x,x 使得 f U x,x A U y, y 。对于每个 y S
记 Uy
U x,x ， 易 知 U y 是 开 集 , 且
x f 1 y


f U y f xf 1 yU x,x xf 1 y f U x,x U y, S ；对每个 S G ，记
k 1
Sk | k 1, 2 n 是 B 的有限覆盖。所以 B 是紧集。
2. 度量空间的紧子集到实数集连续映射可以取到最大最小值。 证明： 设 X 是度量空间， A 是 X 的紧子集。
设 f : A R 是连续映射,象集为 B f X R 。那么 B 是紧集。由于实数集
(1)若 A 无界，定义函数 f x x ，该函数连续但是没有最大值。
(2)若 A 不闭，存 A 的序列xn 收敛于点 x0 A 。定义函数 f x x－x0 ，
该函数没有最小值,因为它可以任意接近于 0 但是取不到 0。 综上， Rn 的非自列紧子集不具有最值性质。
所以 Rn 的非空子集有最值性质当且仅当它是自列紧集。
中的紧集是有界闭集，而有界闭集一定有最大最小值（若无，可构造出收敛于确
界的序列，那么确界便为聚点，矛盾）。所以 f : A R 可以取到最大最小值。
3. Rn 的非空子集具有最值性质当且仅当它是紧的。 证明：
紧子集具有最值性质已证。 下面证明具有最值性质则一定是紧集。 假设 A 是 Rn 的非紧子集，则 A 是无界或不闭的( Rn 中自列紧集等价于有界 闭集)。
当且仅当它是紧集。
连通集与连续映射 1.度量空间的子集具有介值性当且仅当它是连通集。 证明: 充分性： 设 X 是度量空间， A 是 X 的连通子集。
设 f : A R 是连续映射,象集为 B f X R 。
(1)若 B 只有一个点，则具有介值性。
(2)若 B 有一个以上的点，设 ya , yb B ， ya yb ， a f 1 ya ,b f 1 yb 。
3. Rn 的非空子集有最值性质(任意到 R 的连续映射有最大最小值)当且仅当 它是自列紧集。
证明: 充分性： 度量空间的自列紧子集具有最值性质已证。Rn 是度量空间，所以 Rn 的非空 自列紧子集有最值性质。 必要性： 假设 A 是 Rn 的非自列紧子集，则 A 是无界或不闭的( Rn 中自列紧集等价于 有界闭集)。
设 实 数 y0 满 足 ya y0 yb 。 定 义 集 合 R x | f x y0, x A ,
S x | f x y0, x A 。显然， R、S 都不空。 a R,b S 。
下面要证明:存在不相交的两个开集 M、N ，分别包含了 R、S 且 M N 。
f
x

0, x M 1, x N
因为定义域所有点含于两个开集 M、N 之一，每个点都存在一个邻域含于 M、N 之一，该邻域中的函数值也是单一的,所以该映射连续。但是该函数显然没有介 值性。所以集 A 不连通则没有介值性。
所以度量空间的子集具有介值性当且仅当它是连通集。
2.度量空间的自列紧子集到实数集连续映射可以取到最大最小值。 证明： 设 X 是度量空间， A 是 X 的自列紧子集。
设 f : A R 是连பைடு நூலகம்映射,象集为 B f X R 。那么 B 是自列紧集。由于实
数集中的自列紧集是有界闭集，而有界闭集一定有最大最小值（若无，可构造出 收敛于确界的序列，那么确界便为聚点，矛盾）。所以 f : A R 可以取到最大最 小值。
以选出有限覆盖Rk | k 1, 2 n ，对应于 G 的有限子集为Sk | k 1, 2 n ，其中
f Rk f U y Sk 。 所 以 B f A f n kR n f kR n kS。 所 以
ySk
k 1 k 1
列紧集，存在 xn 的子列 xNn 收敛于 x0 X 。因为 f : A Y 连续，所以序列
yNn f xNn 收敛于 f x0 B 。 yNn f xNn 是yn 的子序列，故象集 B
是自列紧集。所以自列紧集在连续映射下的象是自列紧集。
rR
sS
r R ，r U r,r M ,故 R M ;同理可得 S N 。设 x M ，那么存在 r R ，
使得 x U r,r ，即 d x, r r 。由三角不等式， d r, x d s, x d r, s 。又
M N R S x | f x y0, x A ，所以 A \ M N x | f x y0, x A 。
所以集合 A \ M N 不空意味着存在使得函数值为 ya y0 yb 的点。
必要性： 设 X 是度量空间， A 是 X 的非连通子集。因为 A 是非连通集，存在两个不 相交的开集 M、N 分离 A 。 构造映射 f : A R ,定义为
设 r R ，因为 r R ,所以 f r y0 。设正数 r =y0 f r 。因为 f : A R 连
续 ， 存 在 邻 域 U r, r ， 使 得 f U r,r A U f r, 。 那 么 对 任 意
x U r,r A ，f r f x f r y0 。故U r,r A R (注意到集
(1)若 A 无界，定义函数 f x x ，该函数连续但是没有最大值。
(2)若 A 不闭，存 A 的序列xn 收敛于点 x0 A 。定义函数 f x x－x0 ，
该函数没有最小值,因为它可以任意接近于 0 但是取不到 0。 综上，Rn 的非自列紧子集不具有最值性质。所以 Rn 的非空子集有最值性质