开环幅相曲线绘制

2012-4-26
终点: G ( j∞) H ( j∞) = 0∠360 o
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Automatic Control Theory
1
注意开环传递函数含有一个等幅振荡环节 当 ω = ωn
2 (s 2 / ω n ) + 1
A(ω n ) =| G ( jω n ) H ( jω n ) | → ∞
ϕ (ω n − ) ≈ −90 o − tg −1Tω n > −180 o ; ω n − = ω n − ε , ε > 0 ϕ (ω n + ) ≈ −90 o − tg −1Tω n − 180 o ; ω n + = ω n + ε , ε > 0
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j Im
起点与终点：
ω =0
Re 0ω → ∞
G ( j 0 + ) = ∞∠ − 180 o , G ( j∞) = 0∠ − 360 o
当包含一阶微分环节，这时的幅相曲 线也可能出现凹凸，例如
j Im
G (s) =
K (T3 s + 1) s 2 (T1 s + 1)(T 2 s + 1)(T 4 s + 1)
K G (s) = s (T1 s + 1)(T 2 s + 1)(T 3 s + 1)
假设 T 1 > T 2 > T 3 ，试概略绘制开环幅相曲线，并进行分析。
K G ( jω ) = jω ( jT1ω + 1)( jT 2 ω + 1)( jT 3ω + 1) = K
ω 1 + T1 2 ω 2 1 + T 2 2 ω 2 1 + T 3 2 ω 2
P(0) = K ω =0
n=2 n=4 n=3
ω → ∞ ∠G ( jω ) = (m − n) × 90
oLeabharlann 当开环传递函数包含有微分环节时，幅相 曲线会出现凹凸，幅值和相位不再是单调 ω →∞ 变化的。例如
K (T1 s + 1) G (s) = (T 2 s + 1)(T 3 s + 1)(T 4 s + 1)
2型系统包含两个积分环节，例如
G ( s) =
G( jω) =
K s 2 (T1 s + 1)(T2 s + 1) K
= K e jϕ (ω)
( jω) 2 ( jT1ω +1)( jT2ω +1)
ω 2 1+ T12ω 2 1+ T2 2ω 2
ϕ (ω ) = −180 − arctgT1ω − arctgT2ω
−90 −180 0 0 .1 −20
1
10
100
ω
−40
G ( jω )
ϕ (ω )
0
ω
∠G ( jω )
K K
, 1 / s , 1 /(Ts + 1) , 1 / jω , 1 /( jTω + 1)
绘制典型环节Bode图的数据： 20 log K = 20 log 7 = 16.9 (dB) 转折频率
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1 / T = 1 / 0.087 = 11.5 (rad / s )
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Automatic Control Theory
ωT = 0
ωT →∞
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Automatic Control Theory
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例2 某零型反馈控制系统，系统开环传递函数
K G ( s) = (T1 s + 1)(T2 s + 1)
试概略绘制系统的开环幅相曲线。
G ( jω ) =
G ( jω ) =
K = G ( jω ) e jϕ (ω ) = P (ω ) + jQ (ω ) ( jT1ω + 1)( jT2ω + 1)
Automatic Control Theory 9
令
Q (ω ) = 0 , ω x = 1 / T1T2 + T2 T3 + T3T1
− K (T1 + T 2 + T3 ) − ω x 2 T1T 2 T3
P (ω x ) =
[
]
(1 + T1 2 ω x 2 )(1 + T 2 2 ω x 2 )(1 + T3 2 ω x 2 )
i =1 i =1
对数幅频曲线和对数相频曲线是由n个典型环节对应曲线的叠加 后得到的。
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例1 设单位反馈系统，其开环传递函数
K G (s) = , s (Ts + 1)
K = 7, T = 0.087 s
试绘制近似对数幅频曲线和对数相频曲线，并修正近似对数幅频 曲线。 解：典型环节分别为
= = − K (T ω + j )
2 ω (1 + T 2 ω 2 )[1 − (ω 2 / ω n )]
− KT (1 + T ω )[1 − (ω
2 2 2 2 / ω n )]
+ j
−K
2 ω (1 + T 2 ω 2 )[1 − (ω 2 / ω n )]
起点: G ( j 0 + ) H ( j 0 + ) = ∞∠ − 90 o
ω =0
Re 0ω → ∞
起点与终点：
G ( j 0 + ) = ∞∠ − 180 o , G ( j∞) = 0∠ − 360 o
若T1大于其它时间常数，幅相曲线如图所示，与实轴、虚轴的 交点可以用对应的实部、虚部表达式求出。
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K (T 1 ω ) 2 + 1 ( T 2 ω ) 2 + 1
∠G( jω) = ϕ(ω) = −tg−1ω T1 − tg−1ω T2
实部与虚部
P(ω ) = K (1 − T1T2ω ) /(1 + T1 ω )(1 + T2 ω )
2 2 2 2 2
Q (ω ) = − K (T1 + T2 )ω /(1 + T1 ω )(1 + T2 ω 2 )
在 ω = ω n 附近,相角突变 -180o，幅相曲线在 ω = ω n 处出现了不连续
ω =∞ ω
ωn−
0
ω
ωn+
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Automatic Control Theory
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4、开环对数频率特性曲线的绘制 、 设传递函数 G (s ) 由n个典型环节串联组成，n个典型积分环节分 别以 G1 ( s ), G 2 ( s ), L , G n ( s ) 表示，则有
基本规律：设
G ( s) =
K (τ 1 s + 1) L (τ m s + 1) sν (T1 s + 1) L (Tu s + 1)
（1）
（2） m < n
ω → 0+ ω →0
K ν n = ν + u ω → ∞ ∠G ( j∞) = ( m − n) × 90 o
3型
（3）幅相曲线与实轴、虚轴的交点求取。 （4） 不包含一阶微分环节， 包含一阶微分环节的幅相曲线。
j ( − − arc tgωT ) 2
π
P
A θ
jω
α 0
−1 / T
概略地绘制开环幅相曲线应当反映开环频率特性的三个重要因素： （１）开环幅相曲线的起点 ω =0 + 与终点 ω = ∞ （２）开环幅相曲线与实轴、虚轴的交点 （３）开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）
2012-4-26 Automatic Control Theory 2
2 2 2
2012-4-26 Automatic Control Theory 4
Q G ( j 0) = K∠0 o , G ( j∞) = 0∠ − 180 o
起点： 起点： G ( j 0 ) = A ( 0 ) = K 终点： G ( j ∞ ) = A ( ∞ ) = 0 终点： 与实轴的交点： 与实轴的交点： Q (ω x ) = 0
由于含有两个惯性环节，当 ω → ∞ 由此可见，若包含 n 个惯性环节，则有
G ( jω ) → 0∠ − 180 o
ω → ∞ G ( jω ) → 0∠ − n × 90 o
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由此可见，若包含 n 个惯性环节， ω → ∞ m个一阶微分环节，则有
∠G( j0) = ϕ(0) = 0o ∠G( j∞) = ϕ(∞) = −180o
Q Q (ω ) = − K (T1 + T2 )ω /(1 + T12ω 2 )(1 + T2 2ω 2 ) = 0
与虚轴的交点： 与虚轴的交点： P (ω y ) = 0
ωx = 0
P (ω ) = K (1 − T1T2ω 2 ) /(1 + T1 2ω 2 )(1 + T2 2ω 2 )
2型
j Im
0
0型
Re
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Automatic Control Theory
1型
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例4 设系统开环传递函数为
G (s) H (s) = K
2 s (Ts + 1)[( s 2 / ω n ) + 1]
K, T > 0