2016级高等数学II(1)试卷A
2016年全国卷Ⅱ理数高考试题文档版(word版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）（-3,1） （B ） （-1,3） （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m = （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（A ）43-（B ） 34- （C （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （B ）x =k π2+π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π12 (k ∈Z )（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)= 35，则sin 2α=（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ） 2n m （C ） 4m n （D ）2m n（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A （B ）32（C （D ）2 （12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .(14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
2016年高考全国2卷理科数学及答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国II 卷（全卷共12页）(适用地区：贵州,甘肃,青海,西藏,黑龙江,吉林,辽宁,宁夏,新疆,内蒙古,云南,重庆,陕西,海南)注意事项：1． 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
第I 卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知i m m z )1()3(−++=在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（3−,1） （B ）（1−,3） （C ）（1,∞+） （D ）（∞−,3−） （2） 已知集合{}3,2,1=A ，{}Z x x x x B∈<−+=，0)2)(1(，则=B A（A ）{}1 （B ）{}2,1 （C ）{}3,2,1,0 （D ）{}3,2,1,0,1− （3） 已知向量),1(m a =，)2,3(−=b 且b b a ⊥+)(，则=m（A ）8− （B ）6− （C ）6 （D ）8 （4） 圆0138222=+−−+y x y x的圆心到直线01=−+y ax 的距离为1，则=a（A ）34−（B ）43− （C ）3 （D ）2（5） 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7） 若将函数x y 2sin 2=的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为 （A ）)(62Z k k x ∈−=ππ （B ）)(62Z k k x ∈+=ππ（C ）)(122Z k k x ∈−=ππ （D ）)(122Z k k x ∈+=ππ（8） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ,依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s（A ）7 （B ）12（C ）17 （D ）34（9） 若53)4cos(=−απ，则=α2sin（A ）257（B ）51（C ）51− （D ）257−（10） 以从区间[]1,0随机抽取n 2个数n n y y y x x x ，⋯⋯,,,,,,2121，构成n 个数对),(),,(),,(2211n n y x y x y x ，⋯，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）n 4 （B ）n 2 （C ）m 4 （D ）m 2否是 0,0==s kn k >输入n x ,输出s开始 结束输入a1+=+⋅=k k ax s s（11） 已知21,F F 是双曲线E ：12222=−by a x 的左,右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ，则E 的离心率为 （A ）2 （B ）23（C ）3 （D ）2（12） 已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f −=−，若函数xx y 1+=与)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ⋯，则=+∑=mi i i y x 1)(（A ）0 （B ）m （C ）m 2 （D ）m 4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016理科数学全国2卷(可编辑修改word版)
3 a b + b + ，∴⊥ 2016 年普通高等学校招生全国统一考试新课标 2 理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知 z = (m + 3) + (m - 1) i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（A ） (-3∥ 1)【解析】A（B ） (-1∥ 3) （C ） (1 , +∞) （D ） (- ∞ ∥ - 3)∴ m + 3 > 0 ， m - 1 < 0 ，∴ -3 < m < 1，故选 A ．（2）已知集合 A = {1 , 2 , 3} ， B = {x | (x + 1)(x - 2) < 0 ∥x ∈ Z } ，则 A B = （A ）{1}（B ）{1∥ 2}（C ）{0 ∥ 1∥【解析】C2 ∥ 3} （D ）{-1∥0 ∥ 1∥2 ∥ 3} B = {x ( x + 1)( x - 2) < 0 ，x ∈ Z} = {x -1 < x < 2 ，x ∈ Z } ，∴ B = {0 ，1} ，∴ A B = {0 ，1，2 ，3} ， 故选 C ．（3）已知向量 = (1, m ) ∥ =(3, -2) ，且 (a b ) ⊥，则 m =（A ） -8 【解析】D（B ） -6 （C ）6 （D ）8a +b = (4 ，m - 2) ， ∵ (a b) b (a + b ) ⋅ b = 12 - 2(m - 2) = 0 解得 m = 8 ， 故选 D ．（4）圆 x 2 + y 2 - 2x - 8 y + 13 = 0 的圆心到直线 ax + y - 1 = 0 的距离为 1，则 a=（A ） - 43（B ） - 34（C ） （D ）2【解析】A圆 x 2 + y 2 - 2x - 8 y + 13 = 0 化为标准方程为： ( x - 1)2+ ( y - 4)2= 4 ，22 + (2 3 )2故圆心为(1，4) ， d =故选 A ．= 1 ，解得 a = - 4，3（5） 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【解析】BE →F 有6 种走法， F →G 有3 种走法，由乘法原理知，共6 ⨯ 3 = 18 种走法故选 B ．（6） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为 h ．由图得 r = 2 ， c = 2πr = 4π ，由勾股定理得： l = = 4 ，S = πr 2+ ch + 1 cl = 4π + 16π + 8π = 28π ， 表2 故选 C ．（7） 若将函数 y =2sin 2x 的图像向左平移 π12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ） x =k π - π(k ∈ Z ) 2 6（B ） x = k π + π(k ∈ Z )2 6a + 4 - 1 a 2 + 1（C ） x =k π - π (k ∈ Z ) （D ） x = k π + π(k ∈ Z ) 2 12 【解析】B2 12平移后图像表达式为 y = 2sin 2⎛ x + π ⎫ 12 ⎪ ，令2⎛ x+ ⎝ ⎭π ⎫ = k π + π ，得对称轴方程： x = k π + π (k ∈ Z ) ，12 ⎪ 2 2 6 ⎝ ⎭故选 B ．（8） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x = 2 ， n = 2 ，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【解析】C第一次运算： s = 0 ⨯ 2 + 2 = 2 ， 第二次运算： s = 2 ⨯ 2 + 2 = 6 ， 第三次运算： s = 6 ⨯ 2 + 5 = 17 ， 故选 C ．（9）若cos⎛ π-⎫ = 3，则sin 2=4 ⎪ 5⎝ ⎭（A ） 725（B ） 15（C ） - 15（D ） - 725【解析】D2 32∵ cos ， ⎝ ⎝ ⎝故选 D ．（10）从区间[0 , 1] 随机抽取 2n 个数 x 1 , x 2 ，…， x n ， y 1 ， y 2 ，…， y n ，构成 n 个数对( x 1 , y 1 ) ， ( x 2 , y 2 )，…， ( x n , y n ) ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ） 4nm（B ） 2nm（C ）4mn（D ）2mn【解析】C由题意得： ( x i ∥y i )(i = 1∥2 ∥ ⋅ ⋅ ⋅∥n ) 在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图所示的阴影中π 由几何概型概率计算公式知 4 = m ，∴ π = 4m，故选 C ．n 1 nx 2 y 2 x1（11） 已知 F 1 ， F 2 是双曲线 E ： a 2 - b2 = 1 的左，右焦点，点 M 在 E 上， MF 1 与 轴垂直，sin ∠MF 2 F 1 = 3,则 E 的离心率为 （A ） （B ） 32（C ） （D ）2【解析】A离心率e =故选 A ．F 1F 2 MF 2 - MF 1，由正弦定理得e =F 1F 2 MF 2 - MF 1= sin M sin F 1 - sin F 2 2 2= 3 = ． 1 - 13 （12） 已知函数 f (x )( x ∈ R ) 满足 f (-x ) = 2 - f ( x ) ，若函数 y = x + 1 与 y = f (x ) 图像的交点 x为( x 1 ∥ y 1 ) ， ( x 2 ∥ y 2 ) ，⋯， ( x m ∥y m ) ，则∑(x i + y i ) = （ ） i =1（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4mm ⎛ -⎫= 3 ，sin 2= cos ⎛ π - 2⎫ = 2 cos 2 ⎛ π -⎫- 1 = 74⎪ ⎭ 5 2 ⎪ ⎭ 4 ⎪⎭25m m m【解析】B由 f(-x)=2-f(x)得 f ( x ) 关于(0 ∥ 1) 对称， 而 y =x + 1 = 1 + 1也关于(0 ∥ 1) 对称， x x∴对于每一组对称点 x i + x i ' = 0 y i + y i ' =2 ，∴ ∑( x + y ) = ∑ x + ∑ y = 0 + 2 ⋅ m = m ，故选 B ．i i i i2 i =1 i =1 i = 1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22~24 题为选考题，考生根据要求作答．（13） ∥ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若cos A = 4， cos C = 5513，a = 1， 则b = ．21 【解析】13∵ cos A = 4 ，c os C = 5， 513 sin A = 3， sin C = 12，5 13sin B = sin ( A + C ) = sin A cos C + cos A sin C = 63，65由正弦定理得：b sin B = a sin A 解得b = 21 ． 13（14） ， 是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果 m ⊥ n ， m ⊥， n ∥ ，那么⊥ ．②如果 m ⊥， n ∥ ，那么 m ⊥ n ． ③如果 a∥ ， m ⊂，那么 m ∥．④如果 m ∥ n ，∥ ，那么 m 与所成的角和 n 与所成的角相等．【解析】②③④（15） 有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说： “我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是【解析】(1, 3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3），（16）若直线y =kx +b 是曲线y = ln x + 2 的切线，也是曲线y = ln (x+1)的切线，b =．【解析】 1 - ln 2y = ln x + 2 的切线为： y =1⋅x + ln x+ 1 （设切点横坐标为x ）x1y = ln (x+1)的切线为： y =1x2+11x + ln (x2+1)-1x2x2+ 1⎧1 =⎪x1 ∴⎨⎪ln x1x2+ 1+1= ln (x+ 1)-x2⎩⎪ 1 2x2 + 1解得x =1x =-11 2 2 2∴b = ln x1+ 1 = 1 - ln 2 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12 分）S n为等差数列{a n }的前n 项和，且a1=1，S7=28．记b n=[lg a n]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]= 0 ，[lg 99]=1 ．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1 000 项和．【解析】⑴设{a n}的公差为d ，S7= 7a4= 28 ，∴a = 4 ，∴d =a4 -a1 = 1 ，∴a =a + (n - 1)d =n ．4 3 n 1∴b1=[lg a1]=[lg1]= 0 ，b11=[lg a11]=[lg11]= 1 ，b101=[lg a101]=[lg101]= 2 ．⑵记{bn}的前n项和为Tn，则T1000=b1+b2+⋅⋅⋅+b1000=[lg a1]+[lg a2]+⋅⋅⋅+[lg a1000]．当0 ≤lg an< 1 时，n =1∥2∥⋅⋅⋅∥9 ；当1≤lg an < 2 时， n = 10∥11∥⋅⋅⋅∥99 ；当2 ≤lg an < 3 时，n =100∥101∥⋅⋅⋅∥999 ；当lg an= 3 时，n = 1000 ．∴T1000= 0 ⨯ 9 + 1⨯ 90 + 2 ⨯ 900 + 3 ⨯1 = 1893 ．（18）（本小题满分12 分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60% 的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，P( A) = 1 -P( A) = 1 - (0.30 + 0.15) = 0.55 ．⑵设续保人保费比基本保费高出60% 为事件 B ，P(B A) =P( AB)=0.10 + 0.05=3．P( A) 0.55 11⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费EX = 0.85 ⨯ 0.30 + 0.15a + 1.25a ⨯ 0.20 + 1.5a ⨯ 0.20 + 1.75a ⨯ 0.10 + 2a ⨯ 0.05 = 0.255a + 0.15a + 0.25a + 0.3a + 0.175a + 0.1a = 1.23a ，∴平均保费与基本保费比值为1.23 ．10 （19）（本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ， AB = 5 ， AC = 6 ，点 E ，F 分别在 AD ，CD 上，AE = CF = 5，EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△ D 'EF 的位置OD ' = .4 （I ） 证明： D 'H ⊥ 平面 ABCD ； （II ） 求二面角 B - D 'A - C 的正弦值.【解析】⑴证明：∵ AE = CF = 5，4∴ AE = CF，∴ EF ∥ AC ． AD CD∵四边形 ABCD 为菱形，∴ AC ⊥ BD ， ∴ EF ⊥ BD ，∴ EF ⊥ DH ，∴ EF ⊥ D 'H ． ∵ AC = 6 ，∴ AO = 3 ；又 AB = 5 ， AO ⊥ OB ，∴ OB = 4 ， ∴ OH = AE⋅ OD = 1 ，∴ DH = D 'H = 3 ，AO ∴ OD ' 2 = OH 2 + D ' H 2 ，∴ D ' H ⊥ OH ． 又∵ OH I EF = H ，∴ D ' H ⊥ 面 ABCD ．⑵建立如图坐标系 H - xyz ．9 + 55 2 ⋅ 10 7 5 由1 ⎨ ⎩B (5 ∥ 0 ∥0) ，C (1∥ 3∥0) ， D '(0 ∥ 0 ∥ 3) ， A (1∥ - 3∥ 0) ，AB = (4 ∥ 3∥0) ， AD ' = (-1∥ 3∥ 3) ， AC = (0 ∥ 6 ∥ 0) ，设面 ABD ' 法向量 n 1 = ( x ，y ，z ) ， ⎧⎧x = 3 ⎪n ⋅ AB = 0 ⎨ '⎧4x + 3y =⎨-x + 3y + 3z = 0 ，取⎪ y = -4 ， ⎪⎩n 1 ⋅ AD = 0∴ n 1 = (3∥ - 4 ∥⎩5) ．⎪z = 5同理可得面 AD 'C 的法向量 n 2 = (3∥ 0 ∥ 1) ，∴ cos =∴ sin = 2== ， 2595 ． 25（20）（本小题满分 12 分） x 2 + y 2=xk (k > 0) 已知椭圆 E : t 1 的焦点在 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 的直线交 E 于 A ，M 两点，点 N3在 E 上，MA ⊥NA.（I ） 当t = 4 ， AM= AN时，求△AMN 的面积；（II ） 当2 AM = AN 时，求 k 的取值范围.= x 2 + y 2= (-2 ∥ 0) 【解析】 ⑴当t 4 时，椭圆 E 的方程为 4 31 ，A 点坐标为，则直线 AM 的方程为 y = k ( x + 2) ．u r u u rn 1 ⋅ n 2 u r u u r n 1 n 2 得1 + - ⎛ 1 ⎫2 ⎝ k ⎭⎪ 1 + k 2 1 + k 2 t 6 t 联立⎪ 4 3⎩8k 6 AM 22 k ⎨⎩- 1 ⎧ x 2 + y 2 = ⎨ 并整理得， (3 + 4k 2 )x 2 + 16k 2 x + 16k 2 - 12 = 0 ⎪ y = k ( x + 2)2解得 x = -2 或 x = - ，则 = 3 + 4k 2- 8k 2- 6 + = 3 + 4k ⋅ 12 3 + 4k 212 12AN = ⋅ = ⋅ 因为 AM ⊥ AN ，所以 ⎛ 1 ⎫2 3 k + 4 3 + 4 ⋅ 1 - ⎪ ⎝ ⎭因为 AM = AN ， k > 0 ，⋅ 12 = 所以 3 + 4k 2⋅ 12 3k +4 ，整理得(k - 1)(4k 2 - k + 4) = 0 ， k 4k 2 - k + 4 = 0 无实根，所以 k = 1．121 ⎛12 ⎫2144 所以∥ AMN 的面积为 AM2= 21 + 1 ⋅3 +4 ⎪ = 49 ． ⎝ ⎭⑵直线 AM 的方程为 y = k (x + t )，⎧ x 2 + y 2 =联立⎪ t 3 并整理得， (3 + tk 2 ) x 2 + 2t tk 2 x + t 2k 2 - 3t = 0 ⎪ y = k (x + t )t tk 2 - 3 t解得 x = -所以AM = 或 x = - - 3 + tk 2t tk 2- 3 3 + tk 2 ，t + =⋅ 3 + tk 2所以 AN = ⋅ 3k + tk因为2 AM所以2 ⋅ = AN⋅ = 3 + tk 2⋅ 3k + t，整理得， t =6k 2 - 3k 3．k6k 2 - 3kk - 2(k 2 + 1)(k - 2)因为椭圆 E 的焦点在 x 轴，所以t > 3 ，即 k 3 - 2 > 3 ，整理得 < 0k 3 - 2解得 3 2 < k < 2 ．1 + k2 1 + k 2 k1 + k2 t 1 + k 2 1 + k 2 6 t 1 + k 2 6 t1 + k2 1 + k 2 6 t 1( ) 2 2 4 = = e （21）（本小题满分 12 分）(I) 讨论函数 f (x) = x - 2 e x 的单调性，并证明当 x > 0 时， (x - 2)e x + x + 2 > 0;x + 2(II) 证明：当 a ∈[0,1) 值域.e x - ax - a 时，函数 g x = (x > 0) x有最小值.设 g ( x ) 的最小值为 h (a ) ，求函数 h (a ) 的 【解析】⑴证明： f ( x ) =x - 2 e x x + 2' x ⎛ x - 2 4 ⎫x 2e x f ( x ) = e x + 2 + =( x + 2)2 ⎪ ( x + 2)2 ⎝ ⎭ ∵当 x ∈ (-∞ ，- 2) (-2 , + ∞) 时， f '( x ) > 0∴ f ( x ) 在(-∞ ，- 2)和(-2 , + ∞) 上单调递增∴ x > 0 时，x - 2 e x > f (0) = - 1 x + 2∴ ( x - 2)e x + x + 2 > 0(e x - a ) x 2 - 2x (e x - ax - a ) ⑵ g '( x ) = x 4x (x e x - 2e x + ax + 2a)x 4 ( x + 2)⎛ x - 2 ⋅ e x + a ⎫ x + 2 ⎪= ⎝ ⎭ x3 a ∈[0 ，1)由(1)知，当 x > 0 时， f ( x ) = x - 2 ⋅ e x 的值域为(-1，+ ∞) ，只有一解．x + 2使得 t - 2 ⋅ e t = -a ， t ∈(0 ，2t + 2当 x ∈(0, t ) 时 g '(x ) < 0 ， g (x ) 单调减；当 x ∈(t , +∞) 时 g '(x ) > 0 ， g (x ) 单调增h (a ) = e t - a (t + 1) e t2 + (t + 1) t - 2 ⋅ e t t t + 2 2 t t t + 2 记 k (t ) = e tt + 2 ，在t ∈(0 , 2] 时， k '(t ) = ⎛ 1e 2 ⎤e t (t + 1) (t + 2)2> 0 ，∴ k (t ) 单调递增 ∴ h (a ) = k (t ) ∈ ， ⎥ ．⎝ ⎦ ] =请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD，E，G 分别在边DA，DC 上（不与端点重合），且DE=DG，过D 点作DF⊥CE，垂足为F.(I)证明：B，C，G，F 四点共圆；(II)若AB =1 ，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【解析】（Ⅰ）证明：∵ DF ⊥CE∴R t∥DEF ∥Rt∥CED∴∠GDF =∠DEF =∠BCFDF=CFDG BC∵DE =DG ，CD =BC∴ DF=CFDG BC∴∥GDF ∥∥BCF∴∠CFB =∠DFG∴∠GFB =∠GFC +∠CFB =∠GFC +∠DFG =∠DFC = 90︒ ∴∠GFB +∠GCB = 180︒．∴B，C，G，F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为AD 中点，AB = 1 ，∴DG =CG =DE =1 ，2∴在Rt△GFC 中，GF =GC ，连接GB ，Rt△BCG≌Rt△BFG ，∴ S∥∥∥B C G F= 2S∥B C G=2 ⨯1⨯1⨯1=1．2 2 2-6k 1 + k 2 25 - ⎛ 10 ⎫ 2⎪ ⎝ ⎭ 2 15 ⎩ ⎨ ⎩（23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．（I ） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； ⎧x = t cos（II ） 直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin （t 为参数），l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = 【解析】解：⑴整理圆的方程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，⎧2 = x 2 + y 2 ，求 l 的斜率．由⎪cos = x 可知圆C 的极坐标方程为 2 + 12cos + 11 = 0 ．⎪sin = y⑵记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知： = ， 36k 2 即 1 + k 2 = 90 4 ，整理得 k 2 = 5 ，则 k = ± ． 3 3（24）（本小题满分 10 分），选修 4—5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = x - + x + ，M 为不等式 f ( x ) < 2 的解集.（I ） 求 M ；（II ） 证明：当 a ， b ∈ M 时， a + b < 1 + ab ．【解析】解：⑴当 x < - 1 时， f ( x ) = 1 - x - x - 1 = -2x ，若-1 < x < - 1 ；2 2 2 2当- 1 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) = 1 - x + x + 1= 1 < 2 恒成立；2 2 2 2 当 x > 1 时， f ( x ) = 2x ，若 f ( x ) < 2 ， 1 < x < 1 ．2 2综上可得， M = {x | -1 < x < 1} ．⑵当 a ，b ∈(-1，1) 时，有(a 2 - 1)(b 2 - 1) > 0 ，即 a 2b 2 + 1 > a 2 + b 2 ，则 a 2b 2 + +2ab + 1 > a 2 + 2ab + b 2 ，则(ab + 1)2 > (a + b )2，即 a + b < ab + 1 ， 10 1 2 1 2证毕．。
2016全国卷Ⅱ高考理科数学试卷及答案(word版)复习进程
2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知i m m z )1()3(-++=在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（3-，1） （B ）（1-，3） （C ）（1，∞+） （D ）（∞-，3-）（2） 已知集合{}3,2,1=A ，{}Z x x x x B ∈<-+=，0)2)(1(，则=B A （A ）{}1 （B ）{}2,1 （C ）{}3,2,1,0 （D ）{}3,2,1,0,1- （3） 已知向量),1(m a =，)2,3(-=b 且b b a ⊥+)(，则=m（A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 （4） 圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a（A ）34-（B ）43- （C ）3 （D ）2（5） 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π（C ）28π （D ）32π （7） 若将函数x y 2sin 2=的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为 （A ）)(62Z k k x ∈-=ππ （B ）)(62Z k k x ∈+=ππ（C ）)(122Z k k x ∈-=ππ （D ）)(122Z k k x ∈+=ππ （8） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ,依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9） 若53)4cos(=-απ，则=α2sin （A ）257 （B ）51 （C ）51- （D ）257- （10）以从区间[]1,0随机抽取n 2个数n n y y y x x x ，⋯⋯,,,,,,2121，构成n 个数对),(),,(),,(2211n n y x y x y x ，⋯，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）m n 4 （B ）m n 2 （C ）n m 4 （D ）nm 2 （11）已知21,F F 是双曲线E ：12222=-by a x 的左,右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ，则E 的离心率为 （A ）2 （B ）23（C ）3 （D ）2 （12）已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-，若函数xx y 1+=与)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ⋯，则=+∑=mi i iy x1)(（A ）0 （B ）m （C ）m 2 （D ）m 4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年高考理科数学全国新课标Ⅱ卷答案及解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
2.已知集合 ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
3.已知向量 ，且 ，则m=
（A） （B） （C）6（D）8
（A） （B） （C） （D）2
12.已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点
为 ， ，⋯， ，则 （）
（A）0（B）m（C）2m（D）4m
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~24题为选考题。考生根据要求作答。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分。
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴ ．
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点， ，
∴ ，
∴在 中， ，
连接 ， ，
∴ ．
23.【解析】解：⑴整理圆的方程得 ，
由 可知圆 的极坐标方程为 ．
记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，
由垂径定理及点到直线距离公式知： ，
即 ，整理得 ，则 ．
24.【解析】解：⑴当 时， ，若 ；
由图得 ， ，由勾股定理得： ，
，
故选C．
7.【解析】B
平移后图像表达式为 ，
令 ，得对称轴方程： ，
故选B．
8.【解析】C
第一次运算： ，
第二次运算： ，
第三次运算： ，
故选C．
9.【解析】D
∵ ， ，
故选D．
10.【解析】C
由题意得： 在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在
数学-2016年高考真题——全国Ⅱ卷(理)(精校解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题本大题共12个小题；每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016·全国Ⅱ理，1)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)2．(2016·全国Ⅱ理，2)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B 等于( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}3．(2016·全国Ⅱ理，3)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m 等于( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．84．(2016·全国Ⅱ理，4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．25．(2016·全国Ⅱ理，5)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．96．(2016·全国Ⅱ理，6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π7．(2016·全国Ⅱ理，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )8．(2016·全国Ⅱ理，8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s 等于( )A ．7B ．12C ．17D ．349．(2016·全国Ⅱ理，9)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－72510．(2016·全国Ⅱ理，10)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n11．(2016·全国Ⅱ理，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．212．(2016·全国Ⅱ理，12)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1m(x i ＋y i )等于( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．(2016·全国Ⅱ理，13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 14．(2016·全国Ⅱ理，14)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： (1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. (2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . (3)如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.(4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)15．(2016·全国Ⅱ理，15)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．16．(2016·全国Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2016·全国Ⅱ理，17)(本题满分12分)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．18．(2016·全国Ⅱ理，18)(本题满分12分)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19．(2016·全国Ⅱ理，19)(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角BD ′AC 的正弦值．20．(2016·全国Ⅱ理，20)(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．21．(2016·全国Ⅱ理，21)(本小题满分12分)(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x ＋x ＋2>0；(2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x >0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22．(2016·全国Ⅱ理，22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．23．(2016·全国Ⅱ理，23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．24．(2016·全国Ⅱ理，24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12， M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.答案解析1.解析 由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0解得－3<m <1，故选A. 答案 A2.解析 由(x ＋1)(x －2)<0解得集合B ＝{x |－1<x <2}，又因为x ∈Z ，所以B ＝{0,1}，因为A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}，故选C. 答案 C3.解析 由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D. 答案 D4.解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43.答案 A5.解析 从E 点到F 点的最短路径有6种，从F 点到G 点的最短路径有3种，所以从E 点到G 点的最短路径为6×3＝18(种)，故选B. 答案 B6.解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝(23)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C. 答案 C7.解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 答案 B8.解析 由框图可知，输入x ＝2，n ＝2，a ＝2，s ＝2，k ＝1，不满足条件；a ＝2，s ＝4＋2＝6，k ＝2，不满足条件；a ＝5，s ＝12＋5＝17，k ＝3，满足条件，输出s ＝17，故选C. 答案 C9.解析 因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D. 答案 D10.解析 由题意得：(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝m n ，∴π＝4mn，故选C.答案 C11.解析 离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A. 答案 A12.解析 方法一 特殊函数法，根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1，由y ＝x ＋1x，解得两个点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－1，y 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝2此时m ＝2，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝m ，故选B. 方法二 由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))，关于点(0,1)对称，则y＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x，x ≠0的图象也关于点(0,1)对称．则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对，且关于点(0,1)对称．则∑i ＝1m(x i ，y i )＝∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1my i ＝0＋m2×2＝m ，故选B.答案 B13.解析 在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.答案211314.解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④. 答案 ②③④15.解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”． 答案 1和316.解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)．y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1，(设切点横坐标为x 2)∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案 1－ln 217.解 (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.18.解 (1)设A 表示事件：“续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件：“续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.1＋0.05＝0.15. 又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.150.55＝311. 因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为E (X )＝0.85a ×＝1.23a . 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 19.(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H . 由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ， 所以D ′H ⊥平面ABCD .(2)解 如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H-xyz .则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)， B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，AB →＝(3，－4,0)，AC →＝(6,0,0)，AD ′→＝(3,1,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10＝－7525.sin 〈m ，n 〉＝29525.因此二面角B-D ′A-C 的正弦值是29525.20.解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0. 当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449. (2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2. t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧ k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2)．21.(1)解 f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)单调递增．因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1.所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.(2)证明 g ′(x )＝(x －2)e x ＋a (x ＋2)x 3＝x ＋2x 3(f (x )＋a )． 由(1)知，f (x )＋a 单调递增，对任意a ∈[0,1)，f (0)＋a ＝a －1<0，f (2)＋a ＝a ≥0.因此，存在唯一x a ∈( 0,2]，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e a x －a (x a ＋1)x 2a ＝e a x ＋f (x a )(x ＋1)x 2a ＝e ax x a ＋2. 于是h (a )＝e a x x a ＋2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ＋2′＝(x ＋1)e x(x ＋2)2>0，e xx ＋2单调递增． 所以，由x a ∈(0,2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e a x x a ＋2≤e 22＋2＝e 24. 因为e xx ＋2单调递增，对任意λ∈⎝⎛⎦⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0,2]，a ＝－f (x a )∈[0,1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24.综上，当a ∈[0,1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24.22.(1)证明 因为DF ⊥EC ，则∠EFD ＝∠DFC ＝90°，易得∠DEF ＝∠CDF ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DG CB， 所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF .因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆．(2)解 由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB .连接GB .由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG .因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 的面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12. 23.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. 24.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2， 解得x >－1，所以，－1<x ≤－12； 当－12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x<1，所以，－12<x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.。
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科、全国卷二(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)2.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}3.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )A.-8B.-6C.6D.84.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-43B.-34C.3D.25.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.96.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π7.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A.x=kπ2-π6(k∈Z) B.x=kπ2+π6(k∈Z)C.x=kπ2-π12(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z)8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )A.7B.12C.17D.34 9.若cos π4-α =35,则sin 2α=( ) A.725B.15C.-15D.-72510.从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1,x 2,…,x n ,y 1,y 2,…,y n ,构成n 个数对(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4m nD.2m n11.已知F 1,F 2是双曲线E:x 2a2-y 2b 2=1的左,右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( ) A. 2 B.32C. 3D.212.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x +1x与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i =1m(x i +y i )=( )A.0B.mC.2mD.4m第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.,cos 13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45C=5,a=1,则b= .1314.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号) 15.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说:“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是.16.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (Ⅰ)求b1,b11,b101;(Ⅱ)求数列{b n}的前1 000项和.18.(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.19.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点,EF交BD于点H.将△DEF沿EF E,F分别在AD,CD上,AE=CF=54折到△D'EF的位置,OD'=10.(Ⅰ)证明:D'H⊥平面ABCD;(Ⅱ)求二面角B-D'A-C的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆E:x 2t +y23=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (Ⅰ)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.21.(本小题满分12分)(Ⅰ)讨论函数f(x)=x-2x+2e x的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e x+x+2>0;(Ⅱ)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=e x-ax-ax(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的参数方程是x=t cosα,y=t sinα(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的斜率.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)= x-12+ x+12,M为不等式f(x)<2的解集.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A由已知可得m+3>0,m-1<0⇒m>-3,m<1⇒-3<m<1.故选A.2.C由(x+1)(x-2)<0⇒-1<x<2,又x∈Z,∴B={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}.故选C.3.D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故选D.4.A圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为a2+1=1,解得a=-43.故选A.5.B分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.6.C由三视图可得圆锥的母线长为22+(23)2=4,∴S圆锥侧=π×2×4=8π.又S圆柱侧=2π×2×4=16π,S圆柱底=4π,∴该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π.故选C.7.B将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度得到函数y=2sin2 x+π12=2sin2x+π6的图象,由2x+π6=kπ+π2(k∈Z),可得x=kπ2+π6(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=kπ2+π6(k∈Z),故选B.8.C k=0,s=0,输入a=2,s=0×2+2=2,k=1;输入a=2,s=2×2+2=6,k=2;输入a=5,s=6×2+5=17,k=3>2,输出s=17.故选C.9.D解法一:sin 2α=cosπ2-2α =cos 2π4-α=2cos2π4-α -1=2×352-1=-725.故选D.解法二:cosπ4-α =22(cos α+sinα)=35⇒cos α+sinα=325⇒1+sin 2α=1825,∴sin2α=-725.故选D.10.C如图,数对(x i,y i)(i=1,2,…,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界),两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内,则由几何概型的概率公式可得mn =14π1⇒π=4mn.故选C.11.A解法一:由MF1⊥x轴,可得M-c,b2a ,∴|MF1|=b2a.由sin∠MF2F1=13,可得cos∠MF2F1=1-132=223,又tan∠MF2F1=|MF1||F1F2|=b2a2c,∴b2a2c=13223,∴b2=22ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-22ac=0⇒e2-22e-1=0,∴e=2.故选A.解法二:由MF1⊥x轴,得M-c,b2a ,∴|MF1|=b2a,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+b2a,又sin∠MF2F1=|MF1||MF2|=b2a2a+b2=13⇒a2=b2⇒a=b,∴e=a2+b2a=故选A.12.B 由f(-x)=2-f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称,又易知y=x +1x=1+1x 的图象关于点(0,1)对称,所以两函数图象的交点成对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,则x 1+x m =x 2+x m-1=…=0,y 1+y m =y 2+y m-1=…=2,∴∑i =1m(x i +y i )=0×m2+2×m2=m.故选B.二、填空题 13.答案2113解析 由已知可得sin A=35,sin C=1213,则sin B=sin(A+C)=35×513+45×1213=6365,再由正弦定理可得asin A =bsin B⇒b=1×636535=2113.14.答案 ②③④解析 由m ⊥n,m ⊥α,可得n ∥α或n 在α内,当n ∥β时,α与β可能相交,也可能平行,故①错.易知②③④都正确. 15.答案 1和3解析 由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2,则乙的卡片上的数字是2和3,甲的卡片上的数字是1和3,满足题意;若丙的卡片上的数字是1和3,则乙的卡片上的数字是2和3,此时,甲的卡片上的数字只能是1和2,不满足题意.故甲的卡片上的数字是1和3.16.答案 1-ln 2解析 直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由y=ln x+2得y'=1x ,由y=ln(x+1)得y'=1x +1,∴k=1x 1=1x2+1,∴x 1=1k ,x 2=1k -1,∴y 1=-ln k+2,y 2=-ln k.即A 1k ,-ln k +2 ,B 1k -1,-ln k ,∵A 、B 在直线y=kx+b 上, ∴ 2-ln k =k ·1k +b,-ln k =k · 1k -1 +b ⇒ b =1-ln2,k =2. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)设{a n }的公差为d,据已知有7+21d=28, 解得d=1.所以{a n }的通项公式为a n =n.b 1=[lg 1]=0,b 11=[lg 11]=1,b 101=[lg 101]=2.(6分) (Ⅱ)因为b n = 0,1≤n <10,1,10≤n <100,2,100≤n <1 000,3,n =1 000,(9分)所以数列{b n }的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.(12分)18.解析 (Ⅰ)设A 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(Ⅱ)设B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15. 又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P (AB )P (A )=P (B )P (A )=0.150.55=311.因此所求概率为311.(7分)(Ⅲ)记续保人本年度的保费为X 元,则X 的分布列为EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)19.解析(Ⅰ)由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD =CFCD,故AC∥EF.因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.(2分)由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-A O2=4.由EF∥AC得OHDO =AEAD=14.所以OH=1,D'H=DH=3.于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.(4分)又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.(5分)(Ⅱ)如图,以H为坐标原点,HF的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),AB=(3,-4,0),AC=(6,0,0),AD'=(3,1,3).(6分)设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,则m·AB=0,m·AD'=0,即3x1-4y1=0,3x1+y1+3z1=0,所以可取m=(4,3,-5).(8分)设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,则n ·AC =0,n ·AD' =0,即 6x 2=0,3x 2+y 2+3z 2=0, 所以可取n =(0,-3,1).(10分) 于是cos<m ,n >=m ·n|m ||n |= 50×10=-7 525. sin<m ,n >=2 9525.因此二面角B-D'A-C 的正弦值是2 9525.(12分)20.解析 (Ⅰ)设M(x 1,y 1),则由题意知y 1>0. 当t=4时,E 的方程为x 24+y 23=1,A(-2,0).(1分) 由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y=x+2.(2分) 将x=y-2代入x 24+y 23=1得7y 2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y 1=127.(4分)因此△AMN 的面积S △AMN =2×12×127×127=14449.(5分)(Ⅱ)由题意,t>3,k>0,A(- t ,0).将直线AM 的方程y=k(x+ t ) 代入x 2t +y 23=1得(3+tk 2)x 2+2 t ·tk 2x+t 2k 2-3t=0.(7分) 由x 1·(- t )=t 2k 2-3t 3+tk2得x 1=t (3-t k 2)3+tk 2, 故|AM|=|x 1+ t | 1+k 2=6 t (1+k 2)3+tk .(8分)由题设,直线AN 的方程为y=-1k (x+ t ), 故同理可得|AN|=6k t (1+k 2)3k 2+t.(9分)由2|AM|=|AN|得23+tk 2=k3k 2+t ,即(k 3-2)t=3k(2k-1). 当k= 23时上式不成立,因此t=3k (2k -1)k 3-2.(10分)t>3等价于k 3-2k 2+k-2k 3-2=(k -2)(k 2+1)k 3-2<0,即k -2k 3-2<0.(11分)由此得 k -2>0,k 3-2<0或 k -2<0,k 3-2>0,解得 23<k<2.因此k 的取值范围是( 3分)21.解析 (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞).(2分) f '(x)=(x -1)(x +2)e x -(x-2)e x(x +2)2=x 2e x (x +2)2≥0,且仅当x=0时, f '(x)=0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)单调递增. 因此当x ∈(0,+∞)时, f(x)>f(0)=-1. 所以(x-2)e x >-(x+2),(x-2)e x +x+2>0.(4分) (Ⅱ)g'(x)=(x -2)e x +a(x+2)x 3=x +2x 3(f(x)+a).(5分)由(Ⅰ)知, f(x)+a 单调递增.对任意a ∈[0,1), f(0)+a=a-1<0, f(2)+a=a ≥0. 因此,存在唯一x a ∈(0,2],使得f(x a )+a=0,即g'(x a )=0.(6分) 当0<x<x a 时, f(x)+a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x>x a 时, f(x)+a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.(7分) 因此g(x)在x=x a 处取得最小值, 最小值为g(x a )=e x a -a(x a +1)x a2=e x a +f(x a )(x a +1)x a2=e x axa +2.(8分)于是h(a)=e x axa+2,由 e x x +2 '=(x +1)e x(x +2)>0,得y=e xx +2单调递增.所以,由x a ∈(0,2],得12=e 00+2<h(a)=e x ax a +2≤e 22+2=e 24.(10分)因为y=e xx+2单调递增,对任意λ∈12,e24,存在唯一的x a∈(0,2],a=-f(x a)∈[0,1),使得h(a)=λ.所以h(a)的值域是12,e2 4.综上,当a∈[0,1)时,g(x)有最小值h(a),h(a)的值域是12,e24.(12分)22.解析(Ⅰ)因为DF⊥EC,所以△DEF∽△CDF,则有∠GDF=∠DEF=∠FCB,DF CF =DECD=DGCB,所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF.因此∠CGF+∠CBF=180°,所以B,C,G,F四点共圆.(5分)(Ⅱ)由B,C,G,F四点共圆,CG⊥CB知FG⊥FB.连结GB.由G为Rt△DFC斜边CD的中点,知GF=GC,故Rt△BCG≌Rt△BFG,因此,四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍,即S=2S△GCB=2×12×12×1=12.(10分)23.解析(Ⅰ)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.(3分) (Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.(6分)|AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos2α-44.(8分)由|AB|=10得cos2α=38,tan α=±153.(9分)所以l的斜率为153或-153.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)=-2x,x≤-12,1,-12<x<12,2x,x≥12.(2分)当x≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)当-12<x<12时, f(x)<2;(4分)当x≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.(5分)所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(6分)(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.(10分)。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (理科)解析版
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【答案】A考点： 复数的几何意义.【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .（2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}=，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.（3）已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 考点： 平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 【答案】A考点： 圆的方程、点到直线的距离公式. 【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为122416S ππ=⋅⋅=，圆锥的侧面积为2122482S ππ=⋅⋅⋅=，圆柱的底面面积为2324S ππ=⋅=，故该几何体的表面积为12328S S S S π=++=，故选C.考点： 三视图，空间几何体的体积. 【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:（7）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B考点： 三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2x n ==，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ）（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C考点： 程序框图，直到型循环结构.【名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．（9）若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n【答案】C 【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4m n π=.选C.考点： 几何概型.【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．（11）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A （B ）32（C （D ）2【答案】A考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13 ～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13) ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B A C A B A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B=， 所以sin 21sin 13a Bb A ==.考点： 三角函数和差公式，正弦定理.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(14) ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④考点： 空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．【答案】1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 考点： 逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-考点： 导数的几何意义.【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的不同．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和． 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.18.（本题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3，由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列，再根据期望公式求解.试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+= 又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.11考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望. 【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )，求P (B |A )；(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ).求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；(2)求X 的每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)由均值定义求出E (X )．19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ， 5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '= （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）25.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=， 所以D H ABCD '⊥平面.By（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩， 所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-.于是cos ,||||50m n m n m n ⋅<>===⋅，295sin ,25m n <>=. 因此二面角B D A C '--考点：线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20.（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=.因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <<.因此k 的取值范围是)2.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．（21）（本小题满分12分） (Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>； (Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21(,].24e .（II ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x-+++==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =， 当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减； 当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+考点： 函数的单调性、极值与最值. 【名师点睛】求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ， 由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±.试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==， 所以l. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+． 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-；当1122x -<<时， ()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<， 从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<， 因此|||1|.a b ab +<+考点：绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用||||(0)x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，|||||()|||x a x b x a x b a b -+-≥---=-.(3)图象法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．。
2016年高考真题——理科数学(全国Ⅱ卷)答案
2016年全国II 卷 理科数学参考答案(1)∴30m +>，10m -<，∴31m -<<， 故选A ．(2) ()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，∴{}01B =，， ∴{}0123AB =，，，，故选C ．(3) ()42a b m +=-，，∵()a b b +⊥， ∴()122(2)0a b b m +⋅=--=， 解得8m =，故选D ．(4)圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-，故选A ．(5)E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法，故选B ． (6)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l ==，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．(7)平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程： ()ππZ 26k x k =+∈，故选B ． (8) 第一次运算，2,2,2,1a s n k ====，不满足k n >;第二次运算，2,2226,a s ==⨯+=2k =，不满足k n >;第三次运算，5,62517,3a s k ==⨯+==，满足k n >，输出17s =，故选C ．(9)∵3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，πsin 2cos 22αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π72cos 1425α⎛⎫=--=⎪⎝⎭，故选D ． (10)由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41mn=，∴4πmn=，故选C ．(11)离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---．故选A ．(12)由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()111022m m miiiii i i mx y x ym ===+=+=+⋅=∑∑∑， 故选B ． (13)∵4cos 5A =，5cos 13C =， 3sin 5A =，12sin 13C =，()sin sin B A C =+ 63sin cos cos sin 65A C A C =+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． (14)②③④(15)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3）.(16)ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =- ∴1ln 11ln 2b x =+=-．(17) （Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==， ∴1(1)n a a n d n =+-=．∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===， [][]101101101lg lg 2b a ===．（Ⅱ）记{}n b 的前n 项和为n T ， 则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，； 当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=． (18) （Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，则()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，则()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． （III ）解：设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.5EX a a a a =⨯++⨯+⨯0.20 1.750.1020.05a a +⨯+⨯0.2550.15a a =+ 0.250.30.1750.1 1.23a a a a a ++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23． (19) （Ⅰ）证明：∵54AE CF ==，∴AE CFAD CD=， ∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF DH'⊥．∵6AC =，∴3AO =； 又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=，∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥． 又∵OHEF H =，∴'D H ⊥面ABCD ．（Ⅱ）建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =，，，()'133AD =-，，，()060AC =，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-，，． 同理可得面'AD C 的法向量()2301n =，，，∴12129cos5n n n n θ⋅===∴sin θ=． (20) （Ⅰ）当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=， A 点坐标为(2,0)-，则直线AM 的方程为(2)y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得， ()2222341616120k xk x k +++-=，解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AMk k -=+=++因为AM AN ⊥，所以2121341AN k =⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭1243k k=+，因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． （Ⅱ）直线AM 的方程为(y k x =，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得，()222223230tk xx t kt +++-=解得x =x =，所以AM ==，所以3AN k k=+，因为2AMAN =，所以23k k=+整理得，23632k kt k -=-．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k kk ->-，整理得()()231202k k k +-<-， 2k <<．(21) （Ⅰ）证明：()2e 2xx f x x -=+， ()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭， ∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '>，∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增， ∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+， ∴()2e 20xx x -++>， （Ⅱ）()()()24e2e xx a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x x x x ax a x -++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=，[)01a ∈，，由(1)知，当0x >时，2()2xx f x e x -=⋅+的值域为(1,)-+∞，只有一解．使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调递减； 当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调递增；()()()222e 1e e 12t ttt t a t t h a t t-++⋅-++==e 2t t =+，记()e 2tk t t =+， 在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增，∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．(22) （Ⅰ）证明：∵DF CE ⊥， ∴DEF CDF △∽△， ∴G D F D EF BCF ∠=∠=∠，DF DE DGCF CD CB==，∴GDF BCF △∽△， ∴DGF CBF ∠=∠，∴180CGF CBF ∠+∠=， ∴,,,B C G F 四点共圆．（Ⅱ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连接GB ，由G 为Rt DFC △斜边CD 的中点，知GF GC =，故Rt B C G R t B F G ≅△△，因此1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形. (23)解：（Ⅰ）整理圆的方程得2212110x y x +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为 212cos 110ρρθ++=．（Ⅱ）记直线的斜率为k ，则直线的方程为0k x y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：=22369014k k =+， 整理得253k =，则k =(24)解：（Ⅰ）12,,21111()||||1,,222212,,2x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当12x <-时，()22f x x =-<，解得1x >-， 所以112x -<<-； 当1122x -≤≤时，()12f x =<， 所以1122x -≤≤； 当12x >时，()22f x x =<，解得1x <， 所以112x <<． 综上可得，{}|11M x x =-<<． （Ⅱ）()()221a b ab +-+()2222212a ab b ab a b =++-++ ()()()222221111a b a a b =-+-=--，11a -<<，11b -<<，∴201a ≤<，201b ≤<， ∴210a -<，210b ->， ∴()()221a b ab +<+，即1a b ab +<+.。
2016年新课标Ⅱ理数高考试题文档版(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （ ）（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（ ） （A ）43-（B ）34-（C ）3 （D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）（A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （B ）x =k π2+π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π12 (k ∈Z )（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ）（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)= 35，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ， 1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（ ）学科&网（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn（11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（ ）（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，学.科网若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .(14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. 学科.网（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
2016年新课标Ⅱ理数高考试题(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m = （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3 （D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （B ）x =k π2+π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π12 (k∈Z )（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)= 35，则sin 2α=（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ， 1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .(14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
2016年高考新课标全国卷Ⅱ数学(理科)试题及答案
绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T=(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞）(C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞）（2）若z=1+2i ，则41i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量12(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于200C的月份有5个（5）若3tan4α=，则2cos2sin2αα+=(A)6425(B)4825(C) 1 (D)1625第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
2016年高考新课标2理科数学真题及答案详解
2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅱ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A.()31-，B.()13-，C.()1,∞+D.()3∞--，（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =A.{}1B.{12}，C.{}0123，，，D.{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b +⊥，则m =A.-8B.-6C.6D.8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a =A.43- B.34-（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.20πB.24πC.28πD.32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为A.()ππ26k x k =-∈ZB.()ππ26k x k =+∈Z C.()ππ212Z k x k =-∈ D.()ππ212Z k x k =+∈ （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =A.7B.12C.17D.34（9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=A.725B.15C.15- D.725-（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为A.4nm B.2nm C.4mnD.2m n（11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为32（12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑ A.0 B.m C.2m D.4m第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s5A =，5cos 13C =，1a =，则b =．（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是.（15）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b =．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置OD '（Ⅰ）证明：DH'⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值.已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （Ⅰ）当4t =，AM AN=时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2AM AN=时，求k 的取值范围.（Ⅰ）讨论函数2(x)e 2x x f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> （Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)xax ag x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB =l 的斜率．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+a b ∣.2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案及解析1.【解析】A∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ． 2.【解析】C()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，， ∴{}01B =，，∴{}0123A B = ，，，， 故选C ．3. 【解析】D()42a b m +=-，，∵()a b b +⊥，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=解得8m =， 故选D ． 4.【解析】A圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-，故选A ． 5.【解析】BE F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法故选B ． 6.【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l ==，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ． 7.【解析】B平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 8.【解析】C第一次运算：0222s =⨯+=， 第二次运算：2226s =⨯+=， 第三次运算：62517s =⨯+=， 故选C ． 9.【解析】D∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ． 10. 【解析】C由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．11. 【解析】A离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---． 故选A ． 12. 【解析】B由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +='=2i i y y +， ∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ． 13. 【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． 14. 【解析】②③④ 15. 【解析】 (1,3) 由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足， 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3）， 16. 【解析】 1ln2- ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =-∴1ln 11ln 2b x =+=-．17. 【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．18. 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， ()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23． 19. 【解析】⑴证明：∵54AE CF ==， ∴AE CFAD CD=， ∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥， ∴EF D H ⊥，∴EF DH'⊥． ∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=， ∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =I ， ∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =u u u r ，，，()'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r ，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ 得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴()1345n =-u r，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r，，，∴1212cos n n n n θ⋅=u r u u ru r u u r∴sin θ20. 【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或228634k x k-=-+，则222861223434k AM k k -=+++ 因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk ==⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM 的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=解得x =x =所以AM ==所以3AN k k=+因为2AM AN =所以23k k+，整理得，23632k k t k -=-．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <．21. 【解析】⑴证明：()2e 2xx f x x -=+ ()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++> ⑵()()()24e 2e xx a x x ax a g x x----'=()4e 2e 2x x x x ax a x -++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=[)01a ∈，由(1)知，当0x >时，()2e 2xx f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增()()()222e 1ee 1e 22t ttt t t a t t h a t t t -++⋅-++===+记()e 2tk t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．22. 【解析】（Ⅰ）证明：∵DF CE ⊥ ∴Rt Rt DEF CED △∽△∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠ DF CFDG BC= ∵DE DG =，CD BC = ∴DF CFDG BC= ∴GDF BCF △∽△ ∴CFB DFG ∠=∠∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴180GFB GCB ∠+∠=︒． ∴B ，C ，G ，F 四点共圆． （Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =， ∴12DG CG DE ===， ∴在Rt GFC △中，GF GC =， 连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．23. 【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=． ⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线=即22369014k k =+，整理得253k =，则k = 24. 【解析】解：⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．⑵当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+，证毕．。
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(D) A = 1 , k = 10 . 10
考试形式开卷（ ）、闭卷（√），在选项上打（√）
开课教研室 大学数学部 命题教师
命题时间 2016-12-5 使用学期 16-17-1 总张数 3 教研室主任审核签字
d
1
(12) 求不定积分 ∫ arctanxdx .
(13) 设 f (x) = x3ex ，求 f (5) (0). （14）求微分方程 y′′ − y′ = 2x 的通解.
(6) x = 0 是函数 f (x) = x ln x 的【 】
(A) 无穷间断点
(B) 可去间断点
(C) 跳跃间断点
(D) 连续点
∫ (7) 已知当 x → 0 时 x2 − x2 cost2dt 与 Axk 是等价无穷小，则 【 】 0
(A) A = 1, k = 10 (B) A = 10, k = 1 (C) A = 10, k = 1 10
江南大学考试卷专用纸
本题 得分
四、证明题(15 ~ 16 小题，每小题6分，共 12分)
（15）设 f (x) 在区间[a,b] 连续，证明：
b
b
∫a f (x)dx = ∫a f (a + b − x)dx ,
∫π
并由此计算 2
cos x dx .
0 cos x + sin x
( ) ∫ ∫ ∫ （16） 设 f (x) 连续 ，证明：
(D) ∫ df (x) = f (x)
本题 得分
三、计算题(11~ 14小题，每小题 7 分, 共 28分)
(11) 设函数 y = y(x) 是由方程 x2 − y +1 = ey 所确定的隐函数,求 y '' 在 (0, 0) 处的值。
本题 得分
二、单项选择题(6~ 10 小题，每小题 4 分, 共 20 分)
.
∫ (4) 定积分 4 4x − x2 dx = 0
.
(5) 微分方程 y′ + y cos x = e−sin x 的通解是
.
(8) 函数 f (x) 在 x0 点可导是在该点可微的【 】 (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件
l (9) 下列反常积分中收敛的是【 】
3
x
(x − t) f (t)dt =
x
t
f (u)du dt .
0
00
2
本题 得分
五、解答题(17~ 18 小题，每小题10分，共20分)
（17） 求函数 y = x2e−x 的极值点和相应曲线的拐点。
江南大学考试卷专用纸 （18） 过点 (2,3) 作曲线 y = x2 的切线，求曲线与两切线所围成的平面图形的面积。
江南大学考试卷专用纸
2016 级《高等数学 II(1)》考试卷(A)
班级
学号
姓名
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
本题 得分
一、填空题(1~ 5 小题，每小题 4 分, 共 20 分)
(1)
极限
lim
x→0
tan
x − sin x3
x
=
.
(2)
极限
lxi→m∞
2x + 7 2x −1
x +1
=
.
(3) 函数 f (x) = x(x −1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) 在 x = 0 点的微分是∫ ∫ 1 1∞1(A) 0 x2 dx
(B) dx 1x
∫ ∫ (C)
∞1 dx
(D) ∞ xe−xdx
1x
0
(10) 设 f (x) 可导，下列式子中正确的是【 】
(A) ∫ f '(x)dx = f (x) (C) d∫ f (x)dx = f (x)
( ) (B)
d dx
∫ f (x)dx
= f (x)