九年级圆知识点及习题(含答案)

圆
圆的有关概念与性质
1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

3.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是 90°，90°所对的弦是直径。

7.三角形的三个顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点。

8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点，叫做三角形的内心。

9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
10.圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角
与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：
①d > r，②d = r，③d < r.
2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交，②相切，③相离；
对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：
①d < r，②d = r，③d > r.
3.圆与圆的位置关系共有五种：
①内含，②相内切，③相交，④相外切，⑤外离；
两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：
①d < R-r，②d = R-r，③ R-r < d < R+ r，④d = R+r，⑤d > R+r.
4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端，并且垂直于这条
直径的直线是圆的切线.
5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线， 切线长 相等，这点与圆心之间的连线 平分 这两条切线的夹角。

与圆有关的计算
1.圆的周长为 2πr ，1°的圆心角所对的弧长为 180r
π ，n °的圆心角所对的弧长
为 180r n π ，弧长公式为180r
n l π=n 为圆心角的度数上为圆半径) .
2. 圆的面积为 πr 2
，1°的圆心角所在的扇形面积为 3602
r π ，n °的圆心角所在的扇形面积为
S= 360n 2R π⨯ = rl 21
(n 为圆心角的度数,R 为圆的半径）. 3.圆柱的侧面积公式：S= 2 πr l （其中为 底面圆 的半径 ，为 圆柱 的高.） 4. 圆锥的侧面积公式：S=
（其中
为 底面 的半径 ，为 母线 的长.）
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积
测试题
一、选择题（每小题3分，共45分）
1．在△ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是（）。

A．C在⊙A 上Ｂ．C在⊙A 外
C．C在⊙A 内Ｄ．C在⊙A 位置不能确定。

2．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为（）。

A．16cm或6cm Ｂ．3cm或8cm C．3cm Ｄ．8cm
3．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是（）。

A．40°Ｂ．140°或40° C．20°Ｄ．20°或160°
4．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（）。

A．130°Ｂ．60° C．70°Ｄ．80°
5．如图1，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A = 100°，∠C = 30°，则∠DFE的度数是（）。

A．55°Ｂ．60° C．65°Ｄ．70°
6．如图2，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D
处各有一棵树，且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其
中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）。

A． A处 B． B处 C．C处 D．D 处
图1 图2
7．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（）。

A．内含Ｂ．内切 C．相交Ｄ．外切
8．已知半径为R和r的两个圆相外切。

则它的外公切线长为（）。

A．R＋r Ｂ．R2+r2 C．R+r Ｄ．2Rr
9．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（）。

Ａ．10π B．12π Ｃ．15π Ｄ．20π
10．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（）。

A．3 B．4 C．5 D．6
11．下列语句中不正确的有（）。

①相等的圆心角所对的弧相等
②平分弦的直径垂直于弦
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧
A ．3个 Ｂ．2个 C ．1个 Ｄ．4个
12．先作半径为
2
3
的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正六边形，…，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（ ）。

A ．7)332(
Ｂ．8)332( C ．7)23( Ｄ．8)2
3( 13．如图3，⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切于⊿ABC ，则阴影部分面积为( )
A ．12-π Ｂ．12-2π C ．14-4π Ｄ．6-π
14．如图4，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交 AC
于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）。

A ．4－
94π B ．4－98π C ．8－9
4π D ．8－98
π
15．如图5，圆内接四边形ABCD 的BA 、CD 的延长线交于P ，AC 、BD 交于E ，则图中相似三角形有（ ）。

A ．2对 Ｂ．3对 C ．4对 Ｄ．5对
图3 图4 图5
二、填空题（每小题3分，共30分）
1．两圆相切，圆心距为9 cm ，已知其中一圆半径为5 cm ，另一圆半径为_____.
2．两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为6，则两圆围成的环形面积为_________。

3．边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_________。

4．同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_________。

5．矩形ABCD 中，对角线AC ＝4，∠ACB ＝30°，以直线AB 为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________。

6.扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形的周长为_________。

7．圆的半径为4cm ，弓形弧的度数为60°，则弓形的面积为_________。

8．在半径为5cm 的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm ，另一条弦长为8cm ，则两条平行弦之间的距离为
_________。

9．如图6，△ABC 内接于⊙O，AB=AC ，∠BOC=100°，MN 是过B 点而垂直于OB 的直线，则∠ABM=________，
∠CBN=________；
10．如图7，在矩形ABCD 中，已知AB=8 cm ，将矩形绕点A 旋转90°，到达A ′B ′C ′D ′的位置，则在
转过程 中，边CD 扫过的(阴影部分)面积S=_________。

图6 图7
三、解答下列各题（第9题11分，其余每小题8分，共75分） 1．如图，P 是⊙O 外一点，PAB 、PCD 分别与⊙O 相交于A 、B 、C 、D 。

(1)PO 平分∠BPD ； (2)AB=CD ；(3)OE ⊥CD ，OF ⊥AB ；(4)OE=OF 。

从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明。

A
B
P
O E F
C
D
2．如图，⊙O 1的圆心在⊙O 的圆周上，⊙O 和⊙O 1交于A ，B ，AC 切⊙O 于A ，连结CB ，BD 是⊙O 的直径，∠D ＝40°求：∠A O 1B 、∠ACB 和∠CAD 的度数。

3．已知：如图20，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC ，BC=43，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，试问：直线BC 与⊙A 的关系如何？并证明你的结论。

A
B
C
4．如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC ＝PA ·BC 。

5．如图⊿ABC 中∠A ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，E 为AC 边中点，求证：DE 是⊙O 的切线。

6．如图，已知扇形OACB 中，∠AOB ＝120°，弧AB 长为L ＝4π，⊙O ′和弧AB 、OA 、OB 分别相切于点C 、D 、E ，求⊙O 的周长。

7．如图，半径为2的正三角形ABC 的中心为O ，过O 与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的
面积。

8．如图，ΔABC 的∠C ＝Rt ∠，BC ＝4，AC ＝3，两个外切的等圆⊙O 1，⊙O 2各与AB ，AC ，BC 相切于F ，H ，E ，G ，求两圆的半径。

A
B
C D
O
图③
图②
图①
B M
P P E
E D D B
C
B
C
A
A
N
M
P E D C
A
9．如图①、②、③中，点E 、D 分别是正△ABC 、正四边形ABCM 、正五
边形ABCMN 中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE = CD ，DB 交AE 于P 点。

⑴求图①中，∠APD 的度数；
⑵图②中，∠APD 的度数为___________，图③中，∠APD 的度数为___________；
⑶根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。

参考答案
一、1、C 2、B 3、B 4、D 5、C 6、B 7、C 8、D
9、C 10、A 11、D 12、A 13、D 14、B 15、C
二、1、4 cm 或 14cm ； 2、9π； 3、32π，34π； 4、4：3；
5、)3824( π；
6、12+2π；
7、（3
8π-34）cm 2
；8、7cm 或1cm ； 9、65°，50°；10、16πcm 2。

三、
1、命题1，条件③④结论①②, 命题2，条件②③结论①④.
证明：命题1∵OE ⊥CD , OF ⊥AB, OE=OF ，
∴AB=CD, PO 平分∠BPD 。

2、∠A O 1B=140°，∠ACB=70°，∠CAD=130°。

3、作AD ⊥BC 垂足为D, ∵AB=AC ，∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°.
∵BC=43, ∴BD=
2
1
BC=23. 可得AD=2.又∵⊙A 半径为2, ∴⊙A 与BC 相切。

4、连接BD ，证△PAD ∽△DCB 。

5、连接OD 、OE ，证△OEA ≌△OED 。

6、12π。

7、4π-36。

【解析】解:三条弧围成的阴影部份构成"三叶玫瑰",其总面积等于6个弓形的面
积之和.每个弓形的半径等于△ABC 外接园的半径R=(2/sin60°)/2 =2√3/3.每个弓形对应的园心角θ=π/3.每个弓形的弦长b=R=2√3/3. ∴一个弓形的面积S=(1/2)R^2(θ-sinθ) =(1/2)(2√3/3)^2[π/3-sin(π/3)] =(2/3)(π/3-√3/2)
于是三叶玫瑰的总面积=6S=4(π/3-√3/2)=2(2π-3√3)/3.
8、
7
5。

提示：将两圆圆心与已知的点连接，用面积列方程求。

9、（1）∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC ，∠ABE=∠BCD=60°
∵BE=CD ∴△ABE ≌△BCD ∴∠BAE=∠CBD ∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°
（2）90°，108°
（3）能．如图，点E 、D 分别是正n 边形ABCM …中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD ，BD 与
AE 交于点P ，则∠APD 的度数为n
n ︒
-180)2( 。

圆
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=400，则∠OBC 的度数为 ( ) A. 200 B. 400 C. 800 D. 700
2．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长是3，则弦AB 的长是 ( ) A ．4 B. 6 C. 7 D . 8 3．下列命题中正确的是( )
A ．平分弦的直径垂直于这条弦;
B ．切线垂直于圆的半径
C ．三角形的外心到三角形三边的距离相等;
D ．圆内接平行四边形是矩形 4．以下命题中，正确的命题的个数是( )
(1）同圆中等弧对等弦． (2）圆心角相等，它们所对的弧长也相等． (3）三点确定一个圆． (4）平分弦的直径必垂直于这条弦． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC=200 , D 是弧AC 点，则∠D 是( ) A.1200 B. 1100 C.1000 D. 900
6．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a, 最小距离为b (a>b)，则此圆的半径为( ) A.
2a b + B.2a b - C. 2a b +或2
a b
- D.a+b 或a-b 7．如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD ，若BD=10，DF=4，则菱形ABCD 的边长为（ ）
A . 42 B.52 C. 6 D. 9
8．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ．则OM 的长为（ ) A .
3cm B.5cm C. 2cm D. 3cm
二、填空题（每小题5分，共25分）
9．在半径为1的圆中，弦AB 、AC 的长是3存和2，则∠BAC 的度数为 .
10．如图，扇形OAB 中，∠AOB=900 ，半径OA=1, C 是线段AB 的中点，CD//OA ，交弧AB 于点D ，则
CD= .
11．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2, OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在1
3
AC 上，点P 是半径OC 上一个动点，那么 AP ＋ DP 的最小值等于 .
三、解答题（共 50 分）
12．(10分）如图，已知△ABC 内接于⊙O, AD 是⊙O 的直径， CF ⊥AD, E 为垂足，CE 的延长线交AB 于
F ．求证：AC 2=AF ·AB .
13．(l0分）如图，△ACF 内接于⊙O , AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB 于点E ． ( l ）求证：∠ACE=∠AFC ;
(2）若CD = BE=8，求sin ∠AFC 的值．
14. (l5分）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H .
(l）求证：AH·AB=AC2 ;
(2）若过A的直线AF与弦CD（不含端点）相交于点E,与⊙O相交于点F、求证：AE·AF =AC2 ;
(3）若过A的直线AQ与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP·AQ=AC2是否成立（不必证明）.
15．(15分)如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C,弦CD交AM于点E.
(1)如果CD⊥AB,求证：EN=NM;
(2)如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：CE2=EF·ED;
(3)如果弦CD、AB的延长线交于点F，且CD=AB,那么（2）的结论是否还成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由.
参考答案。