解析几何试题及答案

解析几何试题及答案work Information Technology Company.2020YEAR

解析几何

1.（21）（本小题满分13分）

设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足

BQ QA λ=，经

过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足

QM MP λ=,求点P 的轨迹方程。

（21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量

的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知

识，考查灵

活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学 素养.

解：由MP QM λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直 线上，故可设

.)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①

再设),1,1().(,),,(010111y x y y x x QA BQ y x B --=--=λλ即由

解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,

)1(011λλλλy y x x ②，将①式代入②式，消去0y ，得

⎩⎨⎧-+-+=-+=.

)1()1(,)1(2

211λλλλλλy x y x x ③，又点B 在抛物线2

x y =上，所以211x y =，

再将③式代入211x y =，得222(1)(1)((1)),x y x λλλλλλ+-+-=+-

22222(1)(1)(1)2(1),x y x x λλλλλλλλ+-+-=+-++

2(1)(1)(1)0.x y λλλλλλ+-+-+= 0,(1),210x y λλλ>+--=因同除以得

故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y 2.（17）（本小题满分13分）

设直线11221212:x+1:y=k x 1k k k k +20l y k l =-⋅=，，其中实数满足，

（I ）证明1l 与2l 相交；

（II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上.

（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断

与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明：（I ）反证法，假设是l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1=k 2，代入

k 1k 2+2=0，得.0221=+k 此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而2121,l l k k 与即≠相交.

（II ）（方法一）由方程组⎩

⎨⎧-=+=1121x k y x k y ，解得交点P 的坐标),(y x 为

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

-+=-=.,2121212k k k k y k k x ，而 .144228)()2(222

2212

221212122212122212122

122

2

=++++=-++++=-++-=+k k k k k k k k k k k k k k k k k k y x 此即表明交点.12),(22上在椭圆=+y x y x P

（方法二）交点P 的坐标),(y x 满足1211y k x y k x -=⎧⎨+=⎩，12

1,01.y k x x y k x -⎧

=⎪⎪≠⎨+⎪=⎪⎩

故知，有

1211

20,20y y k k x x

-++=⋅+=代入得

，整理后，得,1222=+y x 所以交点P 在椭圆.1222上=+y x

3.19.已知椭圆G ：2

214

x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G

于A ，B 两点。

（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；

（2）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值。 （19）解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=b a c

所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-，离心率为.2

3==

a c e

（Ⅱ）由题意知，1||≥m .当1=m 时，切线l 的方程1=x ，

点A 、B 的坐标分别为),2

3,1(),23,

1(-此时3||=AB 当m=－1时，同理可得3||=AB

当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=

由0448)41(.14

),

(222222

2=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得；设A 、B 两点的坐

标分别为),)(,(2211y x y x ，则2

22212221414

4,418k

m k x x k m

k x x +-=+=+； 又由l 与圆.1,11

||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得

相切

所以2

122

12)()(||y y x x AB -+-=]41)

44(4)41(64)[

1(2

222242

k m k k m k k +--++=2 .3

|

|342

+=

m m 由于当3±=m 时，,3||=AB 因为 ,2|

|3||343

|

|34||2

≤+

=+=

m m m m AB

且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2. 4.19．（本小题共14分）

已知椭圆22

22:1(0)x y G a b a b

+=>>

的离心率为3

，右焦点为（），

斜率为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）.

（I ）求椭圆G 的方程；（II ）求PAB ∆的面积. （19）解：（Ⅰ

）由已知得c c a ==

解得a =，又222 4.b a c =-=