北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之立体几何word含解析

【西城一模】17．（本小题满分14分）

如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，

AC 的中点，O 为DE

的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2． （Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；

（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC

？若存在，求出11A F

A C

的值；若不存在，说明理由．

图1 图2

解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．

所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．[1分]

因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，[3分] 所以 1A O BD ⊥．[ 4分]

（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得1A O OE ⊥，1A O OG ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]

由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -． 所以1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→

=-． 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，

则11

0,0,A B A D −−

→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩

令1x =，则2y =，1z =-，所以(1,2,1)=-n ．[7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，

则111||sin |cos ,|3

||||

A C A C A C θ−−→

−−→

−−→

⋅=〈〉=

=

n n n ． 所以 直线1A C 和平面1A BD

所成角的正弦值为3

．[9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．

设11A F A C λ−−→

−−→

=，其中[0,1]λ∈．[10分]

设111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-， 所以1112,2,22x y z λλλ===-，从而(2,2,22)F λλλ-， 所以(2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→

=，

所以|||cos ,|||||

DF BC DF BC DF BC −−→−−→

−−→−−→

−−→

−−→

⋅〈〉=

=

．[12分]

， 整理得23720λλ-+=．[13分] 解得1

3

λ=，舍去2λ=．

所以 线段1A C 上存在点F 适合题意，且

111

3

A F A C =．[14分]

【朝阳一模】16．(本小题满分14分)

如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将

ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）．

（Ⅰ）求证：A O CD '⊥；

（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE '? 若存在，求出

A P

A C

''的值；若不存在，请说明理由．

证明：（Ⅰ）由已知2AB AE ==，

因为O 为BE 中点，所以A O BE '⊥． 因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE

'平面BCDE BE =，

A O '⊂平面A BE '，所以A O '⊥平面BCDE ．

又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A O CD '⊥． ………….5分 （Ⅱ）设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点．

由已知易得OF OG ⊥．

由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面BCDE ， 所以A O OF '⊥，A O OG '⊥.

以O 为原点，,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4BC =，

所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,，，，，，，，'---． 设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ，

因为(132),(020)A D DE ，

，，，'=--=-， 所以 0, 0,

A D DE ⎧'⋅

=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130,

20. x y y ⎧-+=

⎪⎨-=⎪⎩

取11z =-，得

1)=-m ． 而A C '=(1,3,.

所以直线A C '与平面A DE '

所成角的正弦值sin 3θ=

=……….10分 （Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//OP 平面A DE '. 设000(,,)P x y z ，且

(01)A P

A C

λλ'=≤≤'，则A P A C λ''

=，[0,1]λ∈． 因为

(00(130)

A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y z

λλ=

， 所以000,3,x y z

λλ===

，

所以(,3

)P λλ，(,3)OP λλ=．