2010自适应信号处理第04章最陡下降方法
最速下降法课件
当 Q 为正定阵时，称 f (X) 为正定二次函数。
结论：正定二次函数 全局极小点：
有唯一
无约束问题4-4
一 . 最速下降法
收敛性问题的基本概念 最速下降法的迭代原理 最速下降法的迭代步骤 最速下降法的举例 最速下降法的收敛结论
无约束问题4-4
2 . 迭代原理
梯度的性质：函数f (X)在X(k)处的负梯度方向
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
注释：
10 停机准则： 设
连续( 即 f(X)连续可微) (一阶必要条件)
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
注释：
20 结论：一维搜索最优解的梯度
证明：
与搜索方向 正交
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
注释：
30 结论： 最速下降法的任何两个相邻搜索方向正交(垂直)
齿现象,函数值下降速度显著变慢.
优点： 计算简单,存储量小. 缺点：由于锯齿现象,迭代后期收敛速度变慢.
无约束问题4-4
一 . 最速下降法
收敛性问题的基本概念 最速下降法的迭代原理 最速下降法的迭代步骤 最速下降法的举例 最速下降法的收敛结论
无约束问题4-4
5 . 最速下降法的收敛结论
定义4-10
若
收敛于 ，且满足
则p称为
收敛于 的阶。
当 p = 1 时，称为一阶收敛； 当 p = 2 时，称为二阶收敛；
最速下降法 Newton法
当
时，称为超线性收敛；拟Newton法
无约束问题4-4
1.收敛性问题的基本概念
定义4-12
若某算法对于任意正定二次目标函数,从任意初始点 出发,都能经过有限次迭代达到其极小点,则该算法称 为具有二次终止性的算法或二次收敛算法.
最速下降法解题步骤
最速下降法（Steepest Descent Method）是一种数值优化算法，用于求解无约束优化问题的最小值。
下面是最速下降法的一般解题步骤：
1.定义目标函数：首先，需要明确要优化的目标函数。
这个函数通常表示为f(x)，其中
x 是优化变量。
2.初始化起始点：选择一个合适的起始点x0，作为最速下降法的初始点。
3.计算梯度：计算目标函数在当前点的梯度，即∇f(x)。
这可以通过对目标函数进行偏
导数计算得到。
4.确定搜索方向：将梯度反向取负作为搜索方向d，即d = -∇f(x)。
5.确定步长：确定沿着搜索方向移动的步长，也称为学习率或步长因子。
常见的选择
方法有固定步长、线性搜索和精确线搜索等。
6.更新当前点：根据步长和搜索方向，更新当前点x，即x = x + αd，其中α 表示步
长。
7.判断终止条件：判断是否满足终止条件，可以是达到预定的迭代次数、目标函数值
变化很小或梯度变化很小等。
8.若不满足终止条件，则返回第3步，重新计算梯度，并重复3-7步骤，直到满足终
止条件。
最速下降法的关键在于选择合适的步长和搜索方向。
步长过大可能导致无法收敛，步长过小可能导致收敛速度慢。
搜索方向的选择应该保证在当前点能够使目标函数值下降最快。
需要注意的是，最速下降法可能会陷入局部最小值，而无法达到全局最小值。
为了克服这个问题，可以考虑使用其他优化算法，如共轭梯度法、牛顿法等。
第四部分自适应信号处理教学课件
❖ 算法原理
• 基本方程
4)最小代价函数
对于前向预测：
Emf
(n)
u(n)
a Tm
(n)u
* m
(n)
对于后向预测：
E
b m
(n)
v(n)
b
T m
(n)
v
* m
(n)
自适应格-梯型滤波器
❖ 算法原理
• 基本方程
5)W-H方程与Wiener解 a)对于前向预测：
Rm (n 1)am (n) um (n)
(11)
k
自适应格型滤波器
❖ 格型自适应滤波原理
• 格型自适应算法(续)
利用
Em (n) 0
* m
可得n时刻发射系数
w(n
k)
f m1 (k )g
* m1
(k
1)
m (n)
k
w(n k ) f m1 (k ) 2 (1 ) g m1 (k 1) 2
且有
k
m (n) 1
步骤6 令m m 1 ,重做步骤2-5, 直到预测误差功率很小为止.
内容
❖ 最优滤波理论与Wiener滤波器 ❖ 梯度下降算法 ❖ 横向LMS自适应滤波器 ❖ 横向RLS自适应滤波器 ❖ Kalman滤波器 ❖ 自适应格型滤波器 ❖ 自适应格-梯型滤波器 ❖ 无限脉冲响应自适应滤波器 ❖ 盲自适应滤波器 ❖ 自适应滤波器的应用
i0
m
m
gm (n) bm (i)x(n i) am* (m i)x(n i)
i0
i0
(8a) (8b)
自适应格型滤波器
❖ 格型自适应滤波原理
• 格型滤波器设计准则
定义前、后向滤波器的残差能量
自适应信号处理最速下降法实验
自适应信号处理最速下降法实验一 实验目的考察最速下降法应用于预测器的瞬态特性。
通过保持特征值扩散度不变，而改变步长参数，观察过阻尼和欠阻尼两种情况下()1v n 和()2v n 以及)(1n ω和)(2n ω随n 改变而改变的过程。
二 实验要求固定特征值扩散度()10R χ=，令步长参数μ分别为0.3和1.0，1 1.1955a =-，20.95a =，1 1.818λ=，20.182λ=，2m in 0.0322J σ==，观察()1v n 和()2v n 以及()1n ω和()2n ω随n 改变而变化的情况。
三 实验过程首先让步长参数为0.3，得到过阻尼情况下()1v n 和()2v n 以及()1n ω和()2n ω随n 改变而变化的曲线。
如下图所示：图 1：步长参数0.3μ=过阻尼情况图中曲线中的同心椭圆从内到外依次对应n=0，1，2，3……的情况，下同。
图 2：步长参数0.3μ=过阻尼情况再让步长参数为1.0，得到欠阻尼情况下()1v n 和()2v n 以及()1n ω和()2n ω随n 改变而变化的曲线。
如下图所示：图 3：步长参数 1.0μ=欠阻尼情况图 4：步长参数 1.0μ=欠阻尼情况四 实验结果和分析通过观察上述曲线，可得到如下结论：1 最速下降法的瞬态特性对步长参数的变化是高度敏感的。
而且当步长μ较小时，最速下降法的瞬态特性是过阻尼的，即连接点V (0),V (1),V (2)…所组成的轨迹沿着一条连续的路径；当步长μ达到或接近最大值max2max λμ=时，最速下降法的瞬态特性是欠阻尼的，即轨迹显现振荡现象。
2上面的实验验证了当max20λμ<<时，根据式kmse k μλτ21,≈可得步长参数μ越小，最速下降法中每一个自然模式的衰减速率越慢。
且当max2max λμ=时，出现欠阻尼现象，如果μ再大，则算法发散。
3 对于固定的()J n ，()()12,v n v n ⎡⎤⎣⎦随n 变动的轨迹正交于()J n 固定时()()12,v n v n ⎡⎤⎣⎦的轨迹，这也适用于()J n 固定时()()12,n n ωω⎡⎤⎣⎦的轨迹。
最速下降法
0 为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
0 0 f x1 min f x f x
min 2 4 25 2 100 min
2 2
0 8 2 4 5000 2 100 0
(k ) (k ) d x 3.若 ,则停止计算;否则,从 出发,沿 d ( k ) 进行
,使
f ( x ( k ) k d ( k ) ) min f ( x ( k ) d ( k ) )
0
4.令 x ( k 1) x ( k ) k d ( k ) ,置 k : k 1,转步2..
从而算出一维搜索最佳步长
626 0 0.02003072 31252 及第一次迭代设计点位置和函数值
1.919877 2 4 0 x 2 2 100 0 0.3071785 10
1
f x1 3.686164
经过10次迭代，得到最优值
4 计算框图
x(1), ε >0, k=1
k=k+1
|| ▽f(x(k) ) ||< ε? No d(k)= －▽f(x(k) )
Yes stop. x(k) –解
min f(x(k)+λ d(k)) s.t. λ >0 得 x(k+1)=x(k)+λkd(k) 解
P37 例 3-1
2 例：求目标函数 f x x12 25x2 的极小点。
f ( x ( k ) k d ( k ) ) min f ( x ( k ) d ( k ) )
0
f ( x( k ) )T f ( x( k ) ) 最优步长法： k f ( x( k ) )T H ( x( k ) )f ( x( k ) )
自适应信号处理
1.自适应信号处理基本概念，解决的问题，适用条件下（平稳、短时平稳），结构分类。
自适应信号处理:是研究一类结构可变或可以调整的系统，它通过自身与外界环境的接触来改善自身对信号处理的性能。
通常这类系统是时变的非线性系统，可以自动适应信号传送变化的环境和要求。
自适应系统和一般系统类似，可以分为开环系统（闭环：计算量小，收敛慢；开环：计算量大，收敛快）和闭环系统两种类型。
开环系统仅由输入确定，而闭环不仅取决于输入，还依赖于系统输出的结果。
自适应信号处理所研究的信号既可以是随机平稳信号，也可以是局部平稳随机信号，也可以是窄带或者是宽带信号。
2、信号相关矩阵与其性质，梯度运算:输入信号的相关矩阵：R E[X*X T]=，相关矩阵R是厄米特矩阵，即满足R* = R T。
作为厄米特矩阵，它具有以下性质：①对应于R的不同特征值的特征向量都是正交的。
②R是正定（或半正定）矩阵，它所有的特征值都为实数，且大于或等于零。
③所有特征值之和等于矩阵R的迹，即为输入信号的功率。
[定义一个幺向量：1=[1 1 … 1]T，于是，R的特征值之和为1T∧1=1T Q H RQ1= = 上式等号右边的求和即为矩阵R的迹（矩阵主对角线所有元素之和），亦即系统输入信号的功率。
]④信号相关矩阵R可以被分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵，即：R=R a+jR b ，其中，实矩阵R a、R b分别满足条件：R a T=R a和R b T=-R b⑤若W为L+1维的权向量，则对相关矩阵R，存在关于W的一个瑞利商，且对于所有W的瑞利商均为实数。
瑞利商Ray(W)=⑥R可分解为R=Q Q T where Q [q0,q1,… q l],信号子空间：R s非零特征值对应的特征向量成的子空间。
Span{q0,q1,… q s}噪声子空间：信号子空间的正交补空间零特征值→特征向量。
Span{ q s+1,q s+2,… q l+1}梯度运算：=[]T式中分别是向量W的第l个元素的实部和虚部，即；ε即为。
信号与系统 最速下降法 梯度下降法
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无约束优化方法(最速下降法_牛顿法)
第四章 无约束优化方法——最速下降法，牛顿型方法概述在求解目标函数的极小值的过程中，假如对设计变量的取值X 围不加限制，如此称这种最优化问题为无约束优化问题。
尽管对于机械的优化设计问题，多数是有约束的，无约束最优化方法仍然是最优化设计的根本组成局部。
因为约束最优化问题可以通过对约束条件的处理，转化为无约束最优化问题来求解。
为什么要研究无约束优化问题?〔1〕有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。
〔2〕通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的根底。
〔3〕约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。
所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的根本组成局部，也是优化方法的根底。
根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，无约束优化方法可以分为两类。
一：间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、〔阻尼〕牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。
二：直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。
无约束优化问题的一般形式可描述为：求n 维设计变量 []12Tn n X x x x R =∈ 使目标函数()min f X ⇒目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差异。
无约束优化问题的求解：1、解析法可以利用无约束优化问题的极值条件求得。
即将求目标函数的极值问题变成求方程0)(min *=X f的解。
也就是求Ｘ＊使其满足解上述方程组，求得驻点后，再根据极值点所需满足的充分条件来判定是否为极小值点。
但上式是一个含有ｎ个未知量，ｎ个方程的方程组，在实际问题中一般是非线性的，很难用解析法求解，要用数值计算的方法。
由第二章的讲述我们知道，优化问题的一般解法是数值迭代的方法。
因此，与其用数值方法求解非线性方程组，还不如用数值迭代的方法直接求解无约束极值问题。
2、数值方法 数值迭代法的根本思想是从一个初始点)0(X 出发，按照一个可行的搜索方向)0(d 搜索，确定最优的步长0α使函数值沿)0(d 方向下降最大，得到)1(X 点。
最速下降法原理及其算法实现
最速下降法原理及其算法实现最速下降法（Gradient Descent）是一种常用的优化算法，用于寻找函数的最小值。
它是一种迭代的方法，每次迭代都沿着负梯度方向更新参数，以减小目标函数的值。
在本文中，我们将介绍最速下降法的原理和算法实现。
1.最速下降法原理假设有一个目标函数f(x)，其中x是一个向量。
我们的目标是找到使得f(x)最小的x。
最速下降法的思想是从任意初始点x0开始迭代，按照梯度方向更新参数，直到达到最优解。
具体地，设f(x)的梯度为g(x)，即g(x)=∇f(x)。
最速下降法的迭代公式为：x(n+1)=x(n)-α*g(x(n))其中，x(n)表示第n次迭代的参数向量，α是迭代步长，也称为学习率。
每次迭代时，我们沿着梯度方向更新参数，α控制更新的步长。
我们期望通过不断迭代，逐渐逼近最优解。
2.最速下降法算法实现步骤1:初始化参数。
选择初始点x(0)，设定学习率α，设定最大迭代次数。
步骤2:迭代过程。
重复以下步骤，直到达到最大迭代次数或满足收敛条件：a)计算梯度g(x(n))=∇f(x(n))。
b)更新参数。
根据迭代公式进行更新，x(n+1)=x(n)-α*g(x(n))。
c)判断终止条件。
比较f(x(n+1))和f(x(n))的差异，如果差异小于一定阈值，停止迭代。
步骤3:输出结果。
输出最优参数x*，即使得f(x)最小的参数。
需要注意的是，在实际应用中，我们可能需要进行一些改进来提高最速下降法的性能。
例如，可以使用线来自适应地选择学习率以保证每次更新获得合理的进展。
此外，为了加快收敛速度，可以使用加速算法，如动量法、Nesterov 加速梯度法等。
3.总结。
最陡坡降法
最陡坡降法
最陡坡降法是一种数学优化技术，它通过迭代过程不断调整参数，以最小化目标函数。
这个过程可以看作是在参数空间中寻找最陡下降路径，然后沿着这个路径逐步逼近最小值点。
在具体实现上，最陡坡降法通常从某个初始参数值开始，然后在每次迭代中，根据目标函数的梯度信息，沿着最陡的方向（即梯度最大的负方向）进行搜索。
这个方向可以看作是当前参数空间中下降最快的方向。
通过不断地沿着最陡方向进行搜索，最终可以找到最小值点。
在某些情况下，最陡坡降法可能会陷入局部最小值，而不是全局最小值。
这是因为它只关注当前参数空间中的最陡下降方向，而忽略了其他可能的优化路径。
为了解决这个问题，可以使用其他优化算法，例如模拟退火算法或遗传算法，它们能够更全面地搜索参数空间，并有可能找到全局最优解。
此外，在使用最陡坡降法时，需要注意步长（即每一步的大小）的选择。
步长对优化的效果有很大的影响。
太小可能导致收敛速度过慢，太大则可能导致算法不收敛。
因此，需要根据具体情况选择合适的步长。
总的来说，最陡坡降法是一种简单而有效的优化算法，适用于许多数学优化问题。
然而，它也有一些局限性，需要在使用时注意。
最速梯度下降法
最速梯度下降法梯度下降法作为一种优化算法，可以用于解决众多的机器学习问题。
在梯度下降法的基础上，最速梯度下降法进一步优化了求解速度，同时也增强了算法的收敛性。
本文就对最速梯度下降法做一些详细介绍和分析。
最速梯度下降法的简介最速梯度下降法（Steepest Descent）是一种梯度下降优化算法，也是最早被提出的一种梯度下降法，旨在最小化一个连续可导的目标函数。
该算法通过沿负梯度方向迭代的方式优化模型，支持凸函数和非凸函数的优化，是一种常用的凸性和非凸性优化方法。
它在支持芯片设计、信号处理、图像处理和机器学习等任务中都有广泛应用。
最速梯度下降法的原理最速梯度下降法的原理是以梯度下降法为基础的，通过选择目标函数每一步的最优步长进行更新，从而加速了收敛，因此被称为最速算法。
梯度下降法是通过计算目标函数的梯度，沿着梯度方向不断移动，从而实现最小化目标函数的优化过程。
因此，最速梯度下降法也依赖于目标函数的梯度，每一步的向量更新可通过以下公式来计算：x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha_k\bigtriangledownf(x^{(k)})其中， x^{(k)} 代表第 k 步迭代时的位置，\bigtriangledown f(x^{(k)}) 代表在 x^{(k)} 处的梯度，α_{k} 代表步长。
在这个迭代过程中，如果选择合适的步长，就可以实现最速收敛。
最速梯度下降法针对性地选择每一步的最优步长，因此提高了收敛速度和稳定性。
损失函数在某些情况下也会很坚固，因此，当损失函数是凸函数的时候，最速梯度下降法总是能够找到全局最优解。
最速梯度下降法的优缺点最速梯度下降法的优点主要有以下几点:1. 实现简单：由于是在梯度下降法的基础上进行优化，因此非常容易理解和实现。
2. 收敛速度快: 由于算法能够准确地选择每一步的最优步长，因此收敛速度更快。
3. 对于许多不平滑和非凸函数的优化都很有效。
但是，最速梯度下降法也有其缺点：1. 选取步长困难: 最速梯度下降法每一次都要找到最优的步长，但是这个步长很难求出。
最速下降法
1.给定初始点x0,置k:=0. 2.计算xk点的梯度，若梯度小于等于事先给 定的非常小的正数 ,则终止，否则，下 一步。
3.令z k f ( x k ).
4.求使f ( x k z k )最小的 , 记为k ,即最佳步长. 令x k 1 x k k z k , 转2.
d T 2 f ( x* )d r 即： 1 2 T 2 d f ( x * )d o(2 ) 1 2 o ( ) 2 r 0 2 2 2
即当小到一定程度时， f ( x d )-f ( x ) 0
* *
也即：x*是严格局部极小点。
算法迭代步骤(求出的是极小值点)
因为x 是局部极小值点，所以当 充分小时， f ( x d )－f ( x ) 0 令 0, 取极限可知，
1 T 2 d f ( x )d 0 2
即2 f ( x )半正定
充分条件如下（即局部最优解的刻画，当满足什么 条件，所得的解就是局部最优解）
定理3：若f 是连续可微的凸函数，则x 是 min f ( x) 问题 的最优解的充分必要条件是： n x E f ( x ) 0 进一步，若f ( x)是严格凸函数，则 x 是 唯一的最优解。
(k ) (k )
lim x ( k ) x *
k
局部收敛，全局收敛
收敛速度：设序列x k 收敛到x*,若
k
lim
x k 1 - x * x x*
k
存在，
(0,1), 线性收敛； 0，超线性收敛；
若存在p, 使得 lim
k
x k 1 - x * xk x *
第一节、最速下降法
最速下降法与遗传算法
本科毕业论文（设计）论文（设计）题目：遗传算法与最速下降法的性能比较分析学院：理学院专业：信息与计算科学班级： 091学号：＿ 0907010195 ＿学生姓名：＿＿汪志奇＿＿＿指导教师：张著洪2013年5月31 日贵贵州大学本科毕业论文（设计）2013年5月贵州大学本科毕业论文（设计）诚信责任书本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所完成。
毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。
特此声明。
论文（设计）作者签名：日期：目录摘要 (II)Abstract (III)引言 (1)第一章遗传算法原理及性能分析 (3)1.1遗传算法的基本概念 (3)1.2遗传算法的原理分析及程序实现 (4)1.2.1 遗传算法的流程图： (4)1.2.2 遗传算法原理及程序设计： (4)1.3数值实验 (6)1.4 实验结果与分析 (7)第二章最速下降法原理及性能分析 (9)2.1最速下降法的基本概念 (9)2.2 最速下降法的原理分析及程序实现 (9)2.3最速下降法的发展及数值分析 (11)2.3.1 算法描述 (12)2.3.2具体算例分析如下： (15)第三章性能比较与分析 (17)3.1两种算法的发展历史对比 (17)3.3混合遗传算法的步骤 (19)总结 (22)参考文献 (23)致谢 (24)附录1、遗传算法程序清单 (25)附录2、最速下降法程序清单 (35)遗传算法与最速下降法的性能比较分析摘要针对算法的性能比较问题，借助遗传算法和最速下降法展开其性能比较的研究。
首先对遗传算法进行数值模拟，解析遗传算法的步骤，并结合实例，根据计算结果分析遗传算法，并根据流程图编程。
然后介绍最速下降法的理论基础，解析算法步骤并结合实例分析最速下降法，并根据原理编程；在分析两种算法的同时尝试分别站在两种不同算法的角度进行结合优化。
最后，在遗传算法与最速下降法的发展历史上进行对比，并提出改进其混合算法的框架。
牛顿法与最速下降法在自适应信号处理中的应用
变、 非 线 性 系统 ， 特 别 是其 特 性 与其 输 入 信
的。（ 为 梯 度搜 索算 法 收 敛率 ） 在 这 种 情 况下 ， 对 二 次 型性 能 函数 仅 一步 就 收 敛 。 由
于 它 在初 等 微 积 分 学 中 求 多项 式 根 的 方 法 号有 关 。 如 果 输 入 加 在 自适 应 系统 上 ， 自 ２ 牛 顿 法 故称为牛顿法。 现 讨 论 这 种 方 法 对 单 牛 顿 法 和 最 速 下 降 法 是 我 们 熟 知 的 两 有关 ， 适 应 系 统 将 适 应 于 这 个 输 入 并 产 生 相 应 的 权 函数 的应 用 。 种 性 能 表 面 搜 索 法 。 这 些 方 法 都 需 要 用 梯 输 出 。 如 果 再加 上 另一 个 输 入信 号 ，
适 应 自动 机 。 现 如今， 由于 徽 电子 技 术 的 飞
不变， 并 在它 的 坐 标 系统 只保 持 固定 。 在 这 选 出新 值 ０ ３ ， 使 共 等于 初 值 ０ 加 上 一 个正 比 于 斜 率 负值 的 增 量 。同 样 ， 通 过 测 量 在
最 小点 附近 ， 最 后 停 在 那儿 。
另一 方面 ， 若 信 号 时非 平 稳 的 并且具 有
研究领域 ， 先 已研究出一大类受制于某种 条 从性 能 表 面上 的 某 个 点很 出发 ， 向 下运 动 至 ∞ 的斜 率 再用 同样 的 方 法 导 出下 一 个 新 值
（ ０ ２ 。 重复 此过 程 ， 直 至找 到最 佳 权 ‘ 。 在 离 散 间 隔 ∞０ ，０ ９ ，（ ０ ２ …， 对 性 能 曲线 的 速 发展， 已 经 可 以设 计 并 制 造 出容 量 大 、 体 缓 慢 变 化 的 统计 特 性 ， 这 种 情 况 下， 我 们 可 斜 率进 行 测 量得 到 的值 叫 “ 梯度 估 值” 。
最速下降法
最速下降法
最速下降法又称为梯度法，是1847年由著名数学家Cauchy给出的，它是解析法中最古老的一种，其他解析方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是最优化方法的基础。
它是一种沿着N维目标函数的负梯度方向搜索最小值的方法。
1 算法原理
函数的负梯度表示如下-g(x)=-∇f(x)=-[∂f(x)
∂x1
∂f(x)
∂ x2
…∂f(x)
∂ x N
]T,搜索步长可调整，
通常记为αk（第k次迭代中的步长）该算法利用一维的线性搜索方法，如二次逼近法，沿着负梯度方向不断搜索函数的较小值，从而找出最优解。
2算法步骤
最速下降法的基本求解流程如下.
步骤 1 迭代次数初始化为k=k+1，求出初始点x0的函数值f0=f(x0)。
步骤 2 迭代次数加1.即k=k+1，用一维线性搜索方法确定沿负梯度方向-g k−1的步长αk−1，其中αk−1=ArgMinαf(x k−1−αg k−1/∥g
k−1∥
)。
步骤 3 沿着负梯度的方向寻找下一个接近最小值的点，其中步长为αk−1，得下一点的坐标为：x k=x k−1−αk−1g k−1/∥g k−1∥。
步骤4 如果x k≈x k−1，且f(x k)≈f(x k−1)，那么就认为x k为所求的最小值点，并结束循环；否则，跳到步骤2.。
最速下降法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最速下降法和共轭梯度法
－－多变量函数寻优法
关于无约束极小问题普遍使用下降迭代算法, 每一类下降选代算法中包含两个关键步骤： 得到一个迭代点x(k)后， • （1） 如何选择搜索方向d(k)？ • （2）在确定搜索方向上，用什么方法进行一 维搜索?
几个概念
1。梯度： f(x)是定义在Rn上的可微函数，称以f(x)的n个偏 导数为分量的向量，为f(x)的梯度，记作▽ f(x) T 即 f ( x ) f ( x ) f ( x )
3。梯度▽ f(x)的模：
f ( x ) f ( x ) f ( x ) || f ( x ) || x x , x 1 2 n
2 2 2
几个梯度公式
• • • • 1。f(x)＝C（常数），则▽f(x)＝0。 2。 f(x)=bTx，则 ▽f(x)＝b； 3。 ▽ (xTx)＝2x； 4。若A是实对称方阵，则有▽ (xTAx)＝2Ax；
3. 具体步骤
4. 方法特点
• （1） 初始点可任选，每次 迭代计算量小，存储量少， 程序简短。即使从一个不好 的初始点出发，开始的几步 迭代，目标函数值下降很快， 然后慢慢逼近局部极小点。 • （2） 任意相邻两点的搜索 方向是正交的，它的迭代路 径为绕道逼近极小点。当迭 代点接近极小点时，步长变 得很小，越走越慢。
对于解二次函数最小值问题时，由于最速下降法中，当迭代点接近极小点时， 步长变得很小，越走越慢。所以把此法改进为共轭梯度法。
f ( x ) x , x ,, x 1 2 n
2。梯度向量： 0 0 0 T f ( x ) f ( x ) f ( x ) 称 0 f ( x ) , ,, x x2 xn 1 为f(x) 在x0处的梯度向量。
数字信号处理-性能函数及最陡下降法
v 'j1 ' v j 2 ... v ' jN
所以
v ji qik v 'jk
k 1
N
再将(3.2.40)式代入，得到
' v ji qik v0 k e k 1 N j
i
(3.2.43)
w ji w cik e
(3.2.46)
Hale Waihona Puke 2j将(3.2.40)式代入，得到
' E[e 2 ] min i v02i e j i 1 N
i
(3.2.47)
上式说明性能函数也是按N个指数和的规律变化，和加权系
数过渡过程不同的是时间常数不同， 它的时常数为
imse
i
2
1 4i
(3.2.48)
| 1 2 i | 1 0
i 1,2,..., N 1
max
(3.2.37)
满足时，才能得到： limW j W * 。 (3.2.37) 式 即 是 最 陡 下 降
j
法的收敛条件，式中λmax是Rxx的最大特征值。(3.2.36)式中的0 表示0矢量。
3. 过渡过程
或
V T RxxV c1
当c=ζmin时，对应椭圆的中心，V=W-W*, 则相当于W坐标平移到V 坐标的原点，即 V 坐标的原点对应W坐标的最佳点 W * 。这里,
v1v2不是椭圆的主轴。但经过对Rxx的分解：
且V′=QTV将性能函数的椭圆族(按照(3.2.25)式)变成
1 0 Q Rxx Q Λ 0 2
的情况；图(b)是μ较大时的情况，此时过渡过程已发生振荡。
自适应信号处理
15
性能函数也可用下式表示（可证与2.2中性能函数相等）
min (W W* )T R (W W*)
若令
V W W * (v0 v1 vL )T
则
min VT R V
欲使 0 , 则须
VTRV 0
当 V 0 时, 若 V T RxV 0 , Rx 正定 若 V T RxV 0 , Rx 半正定
1 / 2, WK 是振荡收敛 1 / 2, WK 是平滑收敛
实际自适应系统中具有噪声， 的优化在小于1/2，通常
0.01 作为多次迭代的收敛因子。
32
C.2.3 最陡下降梯度搜索方法
最陡下降法和牛顿方法不同，每一步的加权调节是在梯度方向上。最陡下 降法迭代算法为：
WK1 WK ()
性能曲面梯度搜索 牛顿法，最陡下降法
学习曲线及比较
❖ C.3 LMS算法
LMS算法导出，加权矢量的收敛性
学习曲线，梯度估计对自适应过程的影响
加权矢量解中的噪声，失调
❖ C.4 最小二乘自适应滤波及快速算法
投影矩阵，滤波算子
格型滤波器，快速横向滤波器
❖ C.5 自适应信号处理的应用
2
参考文献
其中
V QV
RQ Q
故 QVK 1 (I 2R)QVK
Q 1RQ
VK 1 Q1(I 2R)QVK (I 2)VK
归纳可得迭代公式
VK ( I 2 )K V0
34
最陡下降法稳定和收敛的条件为：
lim(I 2)K 0
K
由于对角矩阵之积恰等于相应对角元素乘积之矩阵，故
Rx QQ 1
QQT
0 0 0
0
1
0
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J (wo ) ≤ J (w)
非限制优化
对于所有w
解决自适应滤波非限制优化问题的方法――局部迭代下降 （local iterative descent）
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
一、最陡下降方法
自适应信号处理
第二部分：最小均方自适应算法
最陡下降方法
邹斌
哈尔滨工业大学 信息工程系
2010年3月23日 哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
引言
经典的基于梯度适应的优化技术――最陡下降方法 （Method of Steepest descent） 是其它基于梯度的算法的基础。 特点：递归的。采用反馈系统，逐步迭代计算。 当用于Wiener滤波器时，可以跟踪系统统计特性 的变化，而不用求解Wiener-Hopf方程。在一定合 适的条件下，获得的阶逼近Wiener最优解。 自适应过程——动态的过程
n 表示迭代次数， μ 为一个正常数，称为步长尺寸参数 1 （step-size parameter） 使计算方便。 ， 2
从迭代 n 到 n + 1，算法对加权向量的调整为
1 δ w(n) = w(n + 1) − w(n) = − μ g(n) 2
2010年3月23日 哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
c(n + 1) = (I − μ R)c(n)
基于加权误差向量 的最陡下降算法
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
三、最陡下降方法性能分析
自相关函数矩阵可以表示为 R = QΛQ H
Λ 为由 R 的特征值 λ1 , λ2 ,… , λM 构成的对角阵，
2 J ( n) = σ d − w H ( n)p − p H w ( n) + w H ( n)Rw ( n)
σ d2 为理想响应为 d ( n) 的方差， 表示滤波器输入 u( n) 与理想输出 p
d ( n) 的互相关向量， R 为抽头输入序列 u ( n) 的自相关矩阵
2 J (w ) = σ d − w H p − p H w + w H Rw
自适应信号处理
最小均方算法自适应滤波器
Adaptive Signal Processing
最小均方算法自适应滤波器
引言
求解Wiener-Hopf方程要求：设计时已知输入的统计特性 需要研究处理未知输入的滤波器 参数可变
自适应
FIR自适应滤波器 已知一可变参数FIR滤波器，其输出为
* y ( n) = ∑ wk (n)u (n − k ) = w H ( n)u(n − k ), n = 1, 2, … , ∞ k =0 M
Q 由相应特征值所对应的特征向量 q1 , q 2 ,… , q M 构成
从而有
c(n + 1) = (I − μQΛQH )c(n)
QH c(n + 1) = (I − μ Λ)QH c(n)
等式两端左乘 QH
定义新的坐标集 v(n) = QH c(n) = QH (wo − w(n))
Wiener解 适用于平稳过程
解确定
2010年3月23日 哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最小均方算法自适应滤波器
Adaptive Signal Processing
最小均方算法自适应滤波器
引言
线性预测及联合过 程估计 基于Wiener解
解确定
2010年3月23日 哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
算法的过程，算法的稳定性以及收敛特性。
2010年3月23日 哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
一、最陡下降方法
定义某一加权向量 w 的代价函数 J ( w ) 。
连续可微分方程。这个函数将w的元素映射为实数。 希望找到最优解wo，满足以下条件
抽头加权 w0 (n), w1 (n),… wM −1 (n)
理 想 响 应 d (n)
参数可变横向滤波器
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自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
二、利用最陡下降方法求解Wiener滤波器
T 令在时间n的抽头输入向量为 u(n) = [u (n), u (n − 1),… u (n − M + 1)]
δ w (n + 1) = μ E ⎡u(n)e* (n) ⎤ ⎣ ⎦
2010年3月23日
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自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
三、最陡下降方法性能分析
最陡下降方法存在反馈，因此可能不稳定。 其稳定性取决于两个因素： 步长尺寸参数μ 相关矩阵R （一）最陡下降方法稳定性 定义时间n的加权误差向量（weight-error vector）
寻找一个适应过程 w ( n + 1) = w ( n ) + δ w ( n ) ，使得这个过程 收敛到 Wiener 滤波器最优解，即 w ( n + 1) → w o 。
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最小均方算法自适应滤波器
引言 可变抽头加权向量
w ( n) = [ w0 ( n), w1 (n),… wM −1 ( n) ]
T
可以在每一个时间上进行更新
自适应滤波器设计要求
给定 w ( n ) = [ w0 ( n ), w1 ( n ), … wM −1 ( n ) ] ，在任意初始条件下，
T
c(n) = wo − w(n)
wo是由Wiener-Hopf方程确定的最优解
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
三、最陡下降方法性能分析
利用Wiener-Hopf方程 Rw o = p 可以得到
在 μ 取较小值时成立
1 2
将 δ w(n) = w(n + 1) − w(n) = − μ g(n) 代入，从而得到
1 J (w(n + 1)) ≈ J (w(n)) − μ g(n) 2
2
当 μ 为正数时，J (w(n + 1)) ≤ J (w(n)) 成立。 n 随 增大， J (n) 递减，在 n = ∞ 时逼近最小值 J min 。
∇k J = ∂J ∂J +j ∂ak ∂bk
M −1 i =0
= −2 p (− k ) + 2 ∑ wi r (i − k )
∂J (n) / ∂ak (n) ，∂J (n) / ∂bk (n) 分别表示代价函数 J (n) 对第 k 个抽头
wk (n) 的实部 ak (n) 和虚部 bk (n) 的偏微分， k = 0,1, 2… , M − 1
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
一、最陡下降方法
令J (w) 变化梯度为 可以将最陡下降算法表示为
∂J ( w ) g = ∇J (w ) = ∂w
1 w(n + 1) = w(n) − μ g(n) 2
1 w(n + 1) = w(n) − μ g(n) 2
1 w(n + 1) = w(n) − μ g(n) = w(n) + μ [p − Rw(n)] n = 0,1, 2… 2
在时间 n + 1 时所作的加权向量的 修正 δ w(n) 等于 μ [p − Rw (n) ]
最陡下降算法的信号流图
与抽头加权向量 w (n) = [ w0 (n), w1 (n),… wM −1 (n) ] 的内积
T T
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
二、利用最陡下降方法求解Wiener滤波器
如果抽头输入向量 u ( n ) 与理想响应为 d ( n ) 是联合平稳的， 则在时间 n 的均方误差或代价函数 J ( ( w ) ) ，或 J ( n ) ，是抽 头加权向量的二阶函数
u(n) = [u (n), u (n − 1),… u (n − M + 1)] 为输入信号 u (t ) 的样本
T
d (t ) 为理想输出并且 u (t ) 和 d (t ) 是联合平稳过程
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最小均方算法自适应滤波器
Adaptive Signal Processing
自适应信号处理 第二部分 最小均方自适应算法
邹斌
哈尔滨工业大学 信息工程系
自适应信号处理
最小均方算法自适应滤波器