Z反变换方法

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7.2反Z变换

k −1 k −1
∴x[k] = Re s[ X (z)zk −1] + Re s[ X (z)zk −1] = [1+ (−0.5)k ]u[k]
z=1 z=−0.5
x[ k ] =
1 2π j
∫
C
X ( z ) z k −1d z
Z平面平面
Im
Re
闭合曲线C 闭合曲线
物理意义：离散信号由zk-1 信号的围线积分组成围线积分组成物理意义：离散信号由z 信号的围线积分
Z反变换的求法反变换的求法
1.部分分式展开法部分分式展开法 2.幂级数展开法幂级数展开法 3.留数法留数法
1 d B = [(1 − 2 z − 1 ) 2 X ( z )] | z = 2 ( − 2 ) d ( z −1 ) 1 d 2 = [ ] |z = 2 −1 −1 (−2) d ( z ) 1 − 4 z −4 = | = −4 −1 2 z = 2 (1 − 4 z )
2 4 8 X ( z ) = 1− − + −1 2 −1 (1− 2z ) 1− 2z 1− 4z −1
5 −1 3− z 1 6 X (z) = , z > , 求 x[ k ] 1 −1 1 −1 3 1 − z 1 − z 4 3
1 2 A1 A2 = + X ( z) = + 1 − 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z 1 − z 1 − z 4 3 4 3
−1 2
2 C = 1 − 4 z X ( z ) |z = 4 = | =8 −1 2 z = 4 (1 − 2 z )
−1

2.3z反变换

4
2.3 z反变换
一. z反变换的定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作z反变换。
即：z反变换是z变换的逆运算。
5
例：上一节课，我们算出敛域是：
的z变换和收
现作逆运算，已知X(z)和它的收敛域，求x(n). 用什么方法求x(n)? 展开X(z)的定义:
X ( z ) ... x(2) z 2 x(1) z1 x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2 ...
1
第二章 z变换

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
引言 z变换的定义及收敛域 z反变换 z变换的基本性质和定理 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系序列的傅里叶变换傅里叶变换的一些对称性质离散系统的系统函数及频率响应
2
回顾： 2.2 z变换的定义及收敛域
求x(n)，实质上是求X(z)的幂级数展开式的系数。
6
二、求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。
7
1、围线积分法（留数法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内解析，则在此区域可展开成罗朗级数的形式：
其中：
1 n 1dz, c ( R , R ) Cn X ( z ) z x x c 2j
Res[]表示极点处的留数。
10

所以：
注意：应用第二式计算时，要求 X ( z ) z n 1 的分母多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。
11
求留数的方法： 1、当Zr为一阶极点时的留数： 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
12

Z反变换

s j 1
Bj z z zi j
2020/6/23
Am的求取方法就是一阶极点的求取方法
Bj
1 (s
d s j
j)!
dz
s
j
(z zi )s
X (z)
z
zzi
高阶极点时，X(z)还可以展开成
X (z)
A0
M m1
Am z
z zm
s j 1
Cj z z zi j
这时，Cs
( z
(1), z 3时，x(n)是右边序列
x(n)
2 3
(n)
0.5n
1 3
3n
u(n)
2 (n) 0.5n 3n1 u(n) 3
x(n) lim x(z) 0 z
2020/6/23
(2), z 0.5时，x(n)是左边序列
x(n)
2
(n)
1
n
u(n
1)
3n1u(n
1)
3
2
x(n) lim x(z) 0
n
u
(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
x(n)
2 3
(n)
1 2
n
u(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
(3),0.5 z 3时，双边序列
n 1时，围线内极点z 0.5
2020/6/23
x(n) Res X (z)zn1 z0.5
1 2
n
,
n
1
n 0时，围线内极点
z 0, z 0.5
15 z2 45 z3 30 z4
31z3 30z4 x(n) (2n 1)u(n)

附_z反变换

于是脉冲序列可以写成 ∗
f (t ) = δ (t − T ) + 5δ (t − 2T ) + 19δ (t − 3T ) + 65δ (t − 4T ) + L
7
3 留数计算法
由z变换的定义可知
F ( z ) = ∑ f (kT ) z
k =0
+∞ k =0
+∞
−k
F ( z ) z m −1 = ∑ f (kT ) z m − k −1
2
f ( nT ) = K 1e − a1nT + K 2 e − a2 nT + L + K m e − am nT
例
已知z变换函数
z F ( z) = −T ( z − 1)( z − e )
求其z反变换。
3
解：
首先将
F ( z) z
展成部分分式
⎛ z − e −T ⎜ K 2 = lim z →e −T ⎜ ⎝ z
k −1 F ( z ) z 设的极点为 z i , i = 1,2,L, n ，则
f (kT ) = ∑ res[ F ( z ) z
i =1
n
k −1
, zi ]
（8-48）
9
例
已知z变换函数为
10 z F ( z) = ( z − 1)( z − 2)
试用围线积分方法求z反变换。
1 部分分式法
若象函数 F ( z )
且互异，则
F ( z) z
是复变量z的有理分式，
− ai T z = e , (i = 1,2, L , m) 的极点 i
F ( z) z
可展成如下形式：

05第五讲 Z 反变换

或
(1-66)
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 , zm ] 2j c m
(1-67)
第2章 Z变换
Res［X(z)zn-1, zk ］表示函数F(z)=X(z)zn-1 在极点z=zk 上的留
数。式(1-66)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z) 在围线c内部各极点的留数之和。式（1-67）说明，函数F(z)沿围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之和。由式（1-66）及式（1-67），可得
该积分路径c在半径为R的圆上，即 z=Rejθ Rx-<R<Rx+ 则
1 1 Rk k 1 k 1 j ( k 1) j c z dz 2j c R e d[Re ] 2 2j 1 0 k 0 k 0, k整数
e

jk
d
(1-65)
第2章 Z变换这个积分公式（1-65）也称为柯西积分定律。因此
有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法。
第2章 Z变换
2.洛朗级数设复变函数f ( z )在圆环域R1 z z0 R2内处处解析，则f ( z )一定能在此圆环域中展开为洛朗级数: 1 f ( z) n f ( z ) Cn z z0 其中Cn C z z0 n1 dz, 2j n 而C为此圆环内绕z0的任意一简单闭曲线。 1 特别是当n 1时 : C1 C f ( z )dz 2j

Rx | z | Rx
(1-63)
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2j
c ( Rx , Rx )

§5-2 反z变换

= − 2[1 − ( 0 .5 ) n +1 ]u ( − n − 1) = − [ 2 − ( 0 . 5 ) n ]u ( − n − 1)
由上例可见，若给定z变换的函数式X(z)，当已知收敛域为一圆的外域：|z|>R1，其对应的z反变换是一个因果序列：
x ( n ) = x1 ( n )u ( n )
《Signals & Systems》
z >1
解：由收敛域知道序列是因果的，将X(z)写成
《信号与系统》
电子技术教研室
作长除
1 + 1.5 z −1 + 1.75 z −2 z 2 − 1.5 z + 0.5 z 2 z 2 − 1.5 z + 0.5 1.5 z − 0.5 1.5 z − 2.25 + 0.75 z −1 1.75 − 0.75 z −1−1 1.75 − 2.625 z + 0.875 z −2
n ZT
于是，当X(z)/z是有理真分式，则有
《Signals & Systems》
《信号与系统》
电子技术教研室
X (z) = z
∑
i=0
N
Ai z − pi
X ( z ) = A0 + ∑
i =1
N
Ai z z − pi
于是，对应的反变换当收敛域为：
z > R1 z < R2 R1 < z < R2
《Signals & Systems》
∑ (2)
k=n
−2
− ( k + 1)
=
∑ ( 2)
k=2
−n
k −1

6.3.4 z反变换

6.3.4 z反变换
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )

1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
的所有极点

F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0

F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z

第二章反z变换【VIP专享】

某圆环内
z-1 z z-1与z
例2.5：已知X(z)=e1/z,|z|>0,求其反Z变换
解：将其展开为幂级数形式
1
ez
1 z1 z2
1
z n
2!
n! n0
所以得
xn 1 u(n)
n!
例2.6 ：已知解：
X z z5 ,
z2
0 z 2
求X(z)的反z变换。
X z z5
1
z 5
z
n
u
n
5
1
1
5n
u5
n
2 2
2 2
一般地，Z变换式为有理分式的情形，可以利用长除法
来得到其幂级数展开式
a. X(n)为右边序列，不含 z的正指数项
b. X(n)为左边序列，不含 z的正指数项
分子分母按降幂排列分子分母按升幂排列
例： X z 1 2z1
1 2z1 z2
对其进行多项式除法
a.先按降幂排列，同上。 X z 1 4z 1 7 z 2 x n z n n0
b. 先按升幂排列 X z 2z1 1
利用多项式除法得
z2 2z1 1
X z 2z 5z2
8z3
1
x n zn
n
2. 部分分式法
• 设X（z）可以分解成
其中
是简单的分式，可以通过Z变换表
3
1
，显然， X 0 (z) 3(z 1)(z 1) 并且 m=1。
3
• X(z)有两个极点：z1=1 及 z2 = 1/3，故有三种可能
的收敛域。
(1) 收敛域|z|>1: 此时收敛域在|z|=1的园外，围
线c之内包含X0(z)的两个极点，所以有：

第05讲_Z反变换

用幂级数展开法求解反变换
已知： X Z
1 3z
3 z 1
1 2
,
z 3
求它的 z反变换 x( n)
用幂级数展开法求解反变换
试用长除法求 X ( z )
1 , z 4 1 4 (4 z )( z ) 4
z
2
的z反变换
1 2

x(0) z x(1) z x( 2) z
在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n) 如收敛域为|z|>Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成z的负幂级数；降幂排列如收敛域为|z|<Rx-，x(n) 为左边序列，则X(z)展成z的正幂级数；升幂排列
bi z i 1 ai z i
i 1 i 0 N
M
部分分式展开法
X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 k n 0 k 1 1 z k z k 1 (1 z i z ) MN N r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点, Zi为
X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：
A Re s[ X ( z ) ] z z zk k d r k 1 x( z ) C k ( z zi )r k r k ( r k )! dz z z z , k 1, 2r i
数字信号处理
主讲教师：沈晶
哈尔滨工程大学计算机科学与技术学院
第5讲：Z反变换
本讲内容
Z反变换
Z反变换的求解
Z反变换
已知X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的

2.7 Z反变换(补)

根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 X(z)的 x(n) 分子分母按z的右边序列负幂级数降幂排列
左边序列正幂级数升幂排列
将X(z) 展成z的
z Rx z Rx
C
F ( z )在c内有一阶极点z a
x(n) Re s[ F ( z )]z a a n 当n 0时 F ( z )在c内有一阶极点z a和-n阶极点z 0 在c外有一阶极点z a 1 , 且分母阶次比分子高两阶以上
x(n ) Re s[ F ( z )]z a 1 a n
n
0 a
Re[ z ]
x(n) a u(n) a u( n 1) a
n
n
2、部分分式展开法
X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
P( z ) X ( z) X1 ( z) X 2 ( z) X K ( z) Q( z )
对各部分分式求z反变换：
x(n) IZ [ X ( z )]
Ak 可由极点上的留数求得，即
Ak (1 d k z ) X ( z )
1
z dk
X ( z) ( z dk ) z z dk
当M N，则X ( z )可展开成如下形式
X ( z ) BM N z ( M N ) BM N 1z ( M N 1) Ak B1 z B0 1 d k z 1 k 1 M N N Ak n Bn z 1 n 0 k 1 1 d k z
x(n) Re s[ F ( z )]z a Re s[ F ( z )]z a 1
a n ( a n ) a n a n x(n) (a n a n )u( n 1)

z反变换

1 d n−1 K1n = (z − z1 )m X (z ) (n − 1)! dz n−1 z
z = z1
X ( z) =
由z变换对
K z K11 z K12 z + + ⋯ + 1m + K 0 z − z1 (z − z1 )m (z − z1 )m−1
z 1 ↔ n(n − 1)⋯(n − m + 2)a n −m+1ε (n ) m (m − 1)! (z − a )
n
取上式的反变换得
X ( z) Ki = ( z − zi ) z
n
z = zi
x( n) = K 0δ (n ) + ∑ K i ( z i ) ε (n )
n i =1
例子：
解：
z2 + z +1 X ( z) = 2 z + 3z + 2
求其原序列x(n)。
z 2 + z +1 z 2 + z +1 X (z ) = 2 = z + 3 z + 2 ( z + 1)( z + 2)
K1 = ( z + 1)
X (z ) z
= −1
2．X(z)仅含有重极点
设X(z)在z＝z1处有m阶极点，
X (z ) =
N (z ) (z − z1 )m
仿照拉氏反变换的方法， X(z)/z可展开为
K K K11 K12 X (z ) = + + ⋯ + 1m + 0 z z − z1 z (z − z1 )m (z − z1 )m−1
可以容易地得到上式的反变换。

z反变换的留数法

z反变换的留数法
反变换的留数法是一种计算反向Laplace变换的方法，也称为留数方法。

它将Laplace变换的积分转换为复平面上的留数计算，并使用留数定
理来计算反变换。

设 $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$，其中$s$为复平面上的复变量。

反
变换的留数法的基本思路是，先找出函数$F(s)$在复平面上的所有孤立奇点，然后计算这些奇点上的留数，最后使用留数定理将反变换表示成积分
形式。

留数定理的表述如下：
设$f(z)$在$z_0$处有一个$n$阶极点，则$f(z)$在$z_0$处的留数为：$$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[(z-z_0)^n f(z)]$$。

根据留数定理，反变换的留数法可以写作：
$$\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\lim_{T \to
\infty} \int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT} F(s)e^{st}ds=\sum_i
Res[F(s)e^{st},s_i]$$。

其中，$\gamma$是收敛线，$s_1,s_2,...,s_n$是复平面上$F(s)$的
所有孤立奇点。

因此，要计算反变换，需要先找出函数$F(s)$的所有奇点，并计算它
们上的留数，然后将这些留数相加即可得到反变换。

此方法适用于计算一
些简单的反变换，但对于具有复杂奇点分布的函数，计算留数非常困难，
需要采用其他方法。

信号与系统§8.3Z反变换

jIm( z)
0

X z xnz n
(1)
n0
1式两边同乘以 zm1，并进行围线积分
Re(z) C
1
X zz m1 d z 1

xnzn z m1 d z
2 πj c
2π j
c n0

xn
1
z nm1 d z
n0
2 πj c
号与系统
信
§8.3 Z反变换
部分式展开法幂级数展开法围线积分法——留数法
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
X (z)

N(z) D(z)

b0 b1z b2 z2 a0 a1z a2 z2

br1z r1 br z r ak1z k1 ak z k
三．围线积分法求z反变换
1．z逆变换的围线积分表示
已知z变换

X z xnzn
1
n0
得 z 逆变换公式
所以
xn

1 2π
j
c X
z z n1
d
z
3
用留数定理求围线积分。
推导
在X (z的) 收敛域内，选择一条包围坐标原点的逆时针方向的围线C，的全部X极z点zn都1 在积分路线的内部。
级数的系数就是序列 xn
2．右边序列的逆z变换
将X z以 z 的降幂排列

X (z) x(n)z n x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2 n0
3．左边序列的逆z变换
将X z以z的升幂排列
1
X (z) x(n)z n x(1)z1 x(2)z 2 x(3)z3 n

1.5Z变换与反变换

函数沿围线反时针方向的积分等于在围线外部各极点的留数之和的相反数。
1.5.4 z反变换
留数计算方法
现在来讨论如何求 X ( z ) z k -1在任一极点 z zm 处的留数。
k -1 如果 X ( z ) z 在 z zm 处有 n 阶极点，此时它的留数由下式决定
Re s[ X ( z ) z
k 0
z ( z - 1) 2
z 1
12
(2.6)
1.5.3 双边z变换的主要性质
8. z域的积分特性如果k+m>0,则
X ( ) x[k ] m z m1 d z k m
ROC Rx
9. 初值定理（适用于右边序列当k<m是,序列为0）
x[m] lim z m X ( z )
z
x[m 1] lim[ z m1 X ( z ) - zx(m)]
z
x[m 2] lim[ z m 2 X ( z ) - z 2 x(m) - zx (m 1)]
z
1.5.3 双边z变换的主要性质
若m=0，则
x[0] lim X ( z )
z
其中，
1 di -1 L qi [( 1 uz ) X ( z )] z u i -1 i (-u) i! d ( z )
i 0,1, L - 1;
例 :已知H ( z )
1.5.4 z反变换
1 2 πj
x[ k ]
C
X ( z ) z k -1 dz
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线。
求 z反变换方法
•围线积分法——留数法 •部分分式展开法 •幂级数展开法（长除法）

z变换反演积分法

z变换反演积分法
Z变换反演积分法是通过利用逆Z变换的公式，将Z变换的结果反变换成时域信号。

具体步骤如下：
1. 根据信号的Z变换结果，确定其逆Z变换的公式。

2. 将Z变换结果的极坐标形式转换为分数形式，即将Z变换
结果表示为分子和分母的比值。

3. 将分数形式的Z变换结果进行部分分式展开，得到Z变换
结果的逆Z变换表达式。

4. 反变换的结果通常是关于n的时域信号，其中n为正整数。

5. 根据逆Z变换的公式，对得到的逆Z变换表达式进行展开，得到最后的时域信号。

需要注意的是，逆Z变换涉及到部分分式展开，通常需要使
用拉普拉斯反演公式、维特公式等方法来求解。

对于复杂的Z
变换结果，逆Z变换可能会比较繁琐或难以求解，因此在实
际应用中，常常利用Z变换表格或数值计算方法来进行逆Z
变换。

双边z变换及反变换

收敛域 (ROC): R |z| R+
双边z变换
（1）有限长序列
N2
X ( z ) x[k] z k
ROC 0 z
k N1
例：试求矩形脉冲序列RN[k]的双边z变换及其收敛域
解： X (z) RN [k] z k
k
N 1
= 1 zk
k0
1 z N 1 z1
,
|z| > 0
有限长序列的z变换的收敛域都是 |z| > 0或者 |z| ≥ 0
za z< b
[例] 已知解：
X (z)
z2
, 求不同收敛域对应的x[k]。
(z 2)(z 3)
X1(z)
X2(z)
X (z) 2z 3z
z2 z3
(1) |z|3 ，X1(z)和 X2(z)均对应右边序列
x[k] 2 2k u[k] 3 3k u[k]
(2) 2<|z|<3，X1(z)对应右边序列， X2(z) 对应左边序列
x[k] 2 2k u[k] 3 3k u[k 1]
(3) |z|<2 ，X1(z)和 X2(z)均对应左边序列
x[k] 2 2k u[k 1] 3 3k u[k 1]
双边z变换及反变换
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处，特此说明并表示感谢！
2 z 4
Im (z) ROC
Re(z)
双边z变换
（4）双边序列
X ( z ) x [k ] z k
k
双边序列z变换的收敛域为：Rx < |z| < Rx+

Z反变换方法范文

Z反变换方法范文Z反变换方法是一种在控制系统设计和信号处理领域广泛应用的数学工具。

它能够将复平面上的频域信号转换回时域信号，提供了一种有效的逆变换方法，可以将频域系数转换成原始信号。

在本文中，我们将详细介绍Z反变换的原理、应用和计算方法。

首先，我们来了解一下Z变换。

Z变换是一种将离散时间序列转换为复平面上的频域表示的方法。

它在控制系统设计和信号处理中具有重要的作用。

Z变换将离散时间序列表示为复数序列，这些复数的模长表示信号的幅度，相位角表示信号的相位信息。

Z变换的数学定义如下：X(z) = Σ[x(n) * z^(-n)], n=-∞ to +∞其中，X(z)表示Z变换后的频域信号，x(n)表示时域信号，z是一个复数变量。

Z变换的作用类似于傅里叶变换，它能够将时域信号转换为频域信号，提供了一种分析和处理信号的有效方法。

Z反变换是Z变换的逆运算。

它的作用是将Z变换后的频域信号转换回时域信号。

Z反变换的数学定义如下：x(n) = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，x(n)表示反变换后的时域信号，X(z)表示Z变换后的频域信号，∮表示沿着闭合曲线的积分，j是虚数单位。

Z反变换的计算方法有多种，下面我们将介绍两种常用的计算方法。

一种常用的计算方法是使用留数定理。

留数定理是复变函数理论中的重要定理，它提供了一种计算复变函数积分的方法。

对于Z反变换的计算，我们可以首先将X(z)分解为部分分式的形式，然后计算每个留数对应的积分，最后求和得到反变换。

另一种常用的计算方法是使用逆Z变换表。

逆Z变换表是一种预先计算好的Z反变换的结果表格。

通过查表可以直接得到反变换的结果。

逆Z 变换表通常包含了一些常用的频域信号的反变换结果，可以方便地应用于实际计算中。

Z反变换在控制系统设计和信号处理中有广泛的应用。

在控制系统设计中，Z反变换可以用于恢复控制信号的时域波形，从而实现对系统的控制。

在信号处理中，Z反变换可以用于恢复被Z变换后的频域信号，从而实现对信号的处理和分析。

第二章反z变换

分子分母按降幂排列
分子分母按升幂排列
对其进行多项式除法
1 2 n
1 2 z X z 1 2 z z
1 1
2
a.先按降幂排列，同上。
X z 1 4 z 7 z x n z
n 0
1 2 1
z 1 2 z b. 先按升幂排列 X 利用多项式除法得 z 2 z 1
zn
1 z 3
(2）收敛域|z|<1/3: 此时收敛域在|z|=1/3的园内，围
线c之外包含X0(z)的两个极点，所以有：
• 当n≥1=m=0时，x(n)=0；而当n<1-m=0时，有：
1 x ( n ) Re s [ X ( z ), z 1 ] Re s [ X ( z ), z ] 2 1 1 3 1 1 1n () 2 23
1 3 z X ( z ) , |z | 3 , 求 x ( n ) 12 ( 1 3 z)
1 X ( z ) , | z | 2 , 求 x ( n ) 1 1 ( 1 2 z )( 1 0 . 5 z)
1 1 2 z 1 X ( z ) | z | z 1 2 2
X ( z ) 4 1 1 1 z 3 ( z 2 ) 3 ( z 0 . 5 )
4 z 1 z X ( z ) 3 ( z 2 ) 3 ( z 0 . 5 )
i i i
n i i i
n
i
i i
2. 如可将X(z)表示为
z z X z B C z b z c
i i i i i i
于是，
x n B b u n C c u n 1

z反变换的长除法程序实现

z反变换的长除法程序实现
z反变换是一种将离散时间域信号转换为连续时间域信号的方法，通常需要进行长除法运算。

本文介绍了z反变换的长除法程序实现方法。

首先，需要将z反变换公式中的z换成一个实数变量s，即
s=exp(jwT)，其中w为频率，T为采样周期。

然后，将z反变换公式中的多项式分子和分母分别展开为幂级数形式，即：
X(s) = a0 + a1s^-1 + a2s^-2 + ... + an-1s^-n+1
Y(s) = b0 + b1s^-1 + b2s^-2 + ... + bm-1s^-m+1 接着，将X(s)除以Y(s)得到商Q(s)和余数R(s)，即：
X(s) / Y(s) = Q(s) + R(s) / Y(s)
将R(s)展开为幂级数形式，即：
R(s) = r0 + r1s^-1 + r2s^-2 + ... + r(m-1)s^-m+1 接下来，从Q(s)中取出前m项，记为q0、q1、q2、...、qm-1，然后计算R(s)的第0项r0，即：
r0 = a0 - b0q0
然后计算R(s)的第1项r1和R(s)的第2项r2，以此类推，直
到计算出R(s)的第m-1项r(m-1)。

最终得到的R(s)即为z反变换后的连续时间域信号。

以上就是z反变换的长除法程序实现方法。

在实际应用中，需要注意多项式系数的精度问题，以及余数项的阶数不能超过分母项的阶数。