Z反变换方法
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同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
Ki
，
z
i0 z zi
z2
4z 4 z(z 1)
z2
Hale Waihona Puke Baidu
6
K z F (z)
3
z
4z 4 z0 (z 1)(z 2)2
1
z0
K12
dz (z
2)2
F
(z z
)
z2
ddz4zz(z41)
7
故
F(z) 6z 7z 8z 1 (z 2)2 z 2 z 1
K2
(z
1)
F(z) z
z 1
4z 4 z(z 2)2
(z a)2
（2） F(z)仅含重极点 F ( z ) N ( z )
(z z1)m
n2 (n) z(z 1)
(z 1)3
则可展开为 F(z) K11 K12 K1m K0
z (z z1)m (z z1)m-1
z z1 z
各系数
n m ( K 1 n
(n
1
dn1
1 ) ! d z n 1 (z
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
幂级数展开法
例1 已知
F(z) 10z z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
10z1 30z2 70z3 K
z2 3z 2 10z
即
F(z) 10z1 30z2 70z3 150z4 K
10z 30 20z1
30 20z1
原序列为
30 90z1 60z2
f (n) 0,10,30, 70,150,K
k1 k2
z
(z 1)(z 2) z 1 z 2
系数
k1
(z
1)
F (z) z
z 1
5
k 2
(z
2)
F (z) z
z2
5
故
F (z) 5z 5z
z 1 z 2
反变换 f ( n ) 5 2 n ( n ) 5 ( n )
部分分式展开法
n(n) z
(z 1)2
nan (n) az
系数
K
1
z
F(z) z
z0
1 2
故
F(z) 1 z
3z 2
2 z 1 z 2
F(z)
K2 (z1)
z
1
z 1
K3
(z
2)
F
(z) z
3 2 z 2
反变换，得
f
(n)
1 2
(n)
(1)n
3 2
(2)n
(n)
部分分式展开法
例4
F (z) 5z (z 1)(z 2)
解 F (z)
5
z1) m
F (z) z z z1
= 1，2，
)
部分分式展开法
例5 已知
F(z) z(z2 5z 7) (z 3)2 (z 2)
求原序列 f (n)
解
F (z) (z2 5z 7) 1K1 12 K2 K z (z 3)2 (z 2) (z 3)2 z 3 z 3
2 4z 1 2z 2 3z 1 2z 2 3z 1 6z 2 3z 3
所 以 f ( n ) 0, 1, 2 , 3, 4 ,
f (n) n(n)
4z 2 3z 3 4z 2 8z 3 4z 4
5z 3 4z 4
幂级数展开法
幂级数展开法在应用长除法时， 对于右边序列，分母多项式应按z的降幂排列； 如果是左边序列，分母多项式应按z的升幂排列。
z
z1 z 2 z1 z 2
部分分式乘以 z
F (z) z 2z z1 z 2
f(n) (n) 2(2)n (n) (2n1 1) (n)
例7 解
K11
(z
3) 2
F (z) z
z3
z2
5z 7 z2
z3
1
F(z) z z 1 3z z (z 3)2 z 2 3 (z 3)2 z 2
K12
d dz
(z
3)
2F
(z) z z3
d dz
z2
5z z 2
7 z3
0
原序列为
K2
(z
2)
F(z) z
z2 5z 7 (z 3)2
1
z2
f (n) (1 n3n 2n) (n)
3
部分分式展开法
4z 4
例6 已知
F(z) (z 1)(z 2)2
求原序列 f (n)
解
F(z)
4z 4 K11 K12 K2 K3
z z(z 1)(z 2)2 (z 2)2 z 2 z 1 z
K11
(z
2) 2
F (z) z
z 1
8
原序列为 f (n) [3n(2)n 7(2)n 8](n) (n)
思考与练习
已 知F (z)
z2
，ROC : z 2, 求 f (n)。
( z 1)( z 2)
解 F (z) 除 以
z
F (z)
z
z
(z 1)( z 2)
展开为部分分式
F (z) k1 k2 1 2
信号与系统
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
70z1 60z2 70z1 210z2 140z3
f (n) 10(2n1) (n)
例2 已 知 F ( z )
z ,
z2 2z 1
z 1， 求 f (n)。
z 1 2z 2 3z 3 4z 4
解
z2 2z 1 z
z 2 z 1
2 z 1
因 为 F (z) f (0)z 0 f (1)z 1 f (2)z 2
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
Ki
，
z
i0 z zi
z2
4z 4 z(z 1)
z2
Hale Waihona Puke Baidu
6
K z F (z)
3
z
4z 4 z0 (z 1)(z 2)2
1
z0
K12
dz (z
2)2
F
(z z
)
z2
ddz4zz(z41)
7
故
F(z) 6z 7z 8z 1 (z 2)2 z 2 z 1
K2
(z
1)
F(z) z
z 1
4z 4 z(z 2)2
(z a)2
（2） F(z)仅含重极点 F ( z ) N ( z )
(z z1)m
n2 (n) z(z 1)
(z 1)3
则可展开为 F(z) K11 K12 K1m K0
z (z z1)m (z z1)m-1
z z1 z
各系数
n m ( K 1 n
(n
1
dn1
1 ) ! d z n 1 (z
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
幂级数展开法
例1 已知
F(z) 10z z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
10z1 30z2 70z3 K
z2 3z 2 10z
即
F(z) 10z1 30z2 70z3 150z4 K
10z 30 20z1
30 20z1
原序列为
30 90z1 60z2
f (n) 0,10,30, 70,150,K
k1 k2
z
(z 1)(z 2) z 1 z 2
系数
k1
(z
1)
F (z) z
z 1
5
k 2
(z
2)
F (z) z
z2
5
故
F (z) 5z 5z
z 1 z 2
反变换 f ( n ) 5 2 n ( n ) 5 ( n )
部分分式展开法
n(n) z
(z 1)2
nan (n) az
系数
K
1
z
F(z) z
z0
1 2
故
F(z) 1 z
3z 2
2 z 1 z 2
F(z)
K2 (z1)
z
1
z 1
K3
(z
2)
F
(z) z
3 2 z 2
反变换，得
f
(n)
1 2
(n)
(1)n
3 2
(2)n
(n)
部分分式展开法
例4
F (z) 5z (z 1)(z 2)
解 F (z)
5
z1) m
F (z) z z z1
= 1，2，
)
部分分式展开法
例5 已知
F(z) z(z2 5z 7) (z 3)2 (z 2)
求原序列 f (n)
解
F (z) (z2 5z 7) 1K1 12 K2 K z (z 3)2 (z 2) (z 3)2 z 3 z 3
2 4z 1 2z 2 3z 1 2z 2 3z 1 6z 2 3z 3
所 以 f ( n ) 0, 1, 2 , 3, 4 ,
f (n) n(n)
4z 2 3z 3 4z 2 8z 3 4z 4
5z 3 4z 4
幂级数展开法
幂级数展开法在应用长除法时， 对于右边序列，分母多项式应按z的降幂排列； 如果是左边序列，分母多项式应按z的升幂排列。
z
z1 z 2 z1 z 2
部分分式乘以 z
F (z) z 2z z1 z 2
f(n) (n) 2(2)n (n) (2n1 1) (n)
例7 解
K11
(z
3) 2
F (z) z
z3
z2
5z 7 z2
z3
1
F(z) z z 1 3z z (z 3)2 z 2 3 (z 3)2 z 2
K12
d dz
(z
3)
2F
(z) z z3
d dz
z2
5z z 2
7 z3
0
原序列为
K2
(z
2)
F(z) z
z2 5z 7 (z 3)2
1
z2
f (n) (1 n3n 2n) (n)
3
部分分式展开法
4z 4
例6 已知
F(z) (z 1)(z 2)2
求原序列 f (n)
解
F(z)
4z 4 K11 K12 K2 K3
z z(z 1)(z 2)2 (z 2)2 z 2 z 1 z
K11
(z
2) 2
F (z) z
z 1
8
原序列为 f (n) [3n(2)n 7(2)n 8](n) (n)
思考与练习
已 知F (z)
z2
，ROC : z 2, 求 f (n)。
( z 1)( z 2)
解 F (z) 除 以
z
F (z)
z
z
(z 1)( z 2)
展开为部分分式
F (z) k1 k2 1 2
信号与系统
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
70z1 60z2 70z1 210z2 140z3
f (n) 10(2n1) (n)
例2 已 知 F ( z )
z ,
z2 2z 1
z 1， 求 f (n)。
z 1 2z 2 3z 3 4z 4
解
z2 2z 1 z
z 2 z 1
2 z 1
因 为 F (z) f (0)z 0 f (1)z 1 f (2)z 2
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2