第7章部分习题解答

习题

1． 设无向图G =（V ，E ），V ={v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={（v 1，v 2），（v 2，v 2），（v 2，v 4），（v 4，

v 5），（v 3，v 4），（v 1，v 3），（v 3，v 1）}。 a) 画出G 的图形；

b) 求出G 中各结点的度及奇数度结点的个数。 解答：a)

b) d (v 1)=3，d (v 2)=4，d (v 3)=3，d (v 4)=3，d (v 5)=1

2． 下列序列中，哪些是可构成无向简单图的结点度数序列？

1） （1，1，2，2，3） 2） （1，1，2，2，2） 3） （0，1，3，3，3） 4） （1，3，4，4，5） 5） （0，1，1，2，3，3）

解答：1) N 2) Y 3) N 4) N 5) Y

3． 设无向图G 有16条边，3个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数均小于3，问：

G 中至少有几个结点。 解答：11个

4． 证明：若有n 个人，每个人恰恰有三个朋友，则n 必为偶数。

证明：n 个人对应n 个结点，每个人恰恰有三个朋友，即为每个结点有3度，根据握手定理的推论，n 必为偶数。

5． 设图G 有n 个结点，n +1条边，证明：G 中至少有一个结点度数≥3 。

证明：用反证法. 若 G 的最大度∆ (G ) ≤ 2, 则按握手定理 2m ≤ 2n , 其中 m 是边数. 从而 m ≤ n , 而这与题设矛盾.

6． 证明：无向简单图G =(V ,E ),e =|E |,v =|V |则有e ≤v (v -1)/2.

证明：无向简单图是完全图时边数最多，完全图的边数为v (v -1)/2，所以无向简单图有e ≤v (v -1)/2.

7． 设图G =(V ,E ), e =|E |,v =|V |,d (v )min 为G 中结点的最小度数, d (v )max 为G 中结点的最大度数.

证明: d (v )min ≤ 2e /v ≤ d (v )max . 证明：根据握手定理：

将式（1）代入式（2），整理得：d (v )min ≤ 2e /v ≤ d (v )max .

8． 有n 个抽屉，若每两个抽屉里有一种相同的物品，每种物品恰好放在两个抽屉中，问共

有多少种物品？

解：每个抽屉用一个结点表示；每两个抽屉放相同的物品，在每两个抽屉对应的结点间连接一条边，则构成一个n 个结点的完全图，每条边是一个物品。n 个结点的完全图有

1

()2 (1)

v

i

i d v e ==∑min max 1

()() () (2)

v

i i vd v d v vd v =≤≤∑

n(n-1)/2条边，所以共有n(n-1)/2种物品。 9． 证明：简单图的最大度小于结点数。 10． 下列各图有多少个结点和多少条边？

1）K n 2）C n 3）W n 4）K m ，n 5）Q n 解：1）n 个结点，n(n-1)/2条边 2）n 个结点，n 条边 3) n+1个结点，2n 条边 4) m+n 个结点，mn 条边 5）2n 个结点，n*2n-1条边 11． 当n 为何值时，下列各图是正则图？

1）K n 2）C n 3）W n 4）Q n 解：(1)对所有n ≥1

(2)对所有n>=3 (3)3

(4) 对所有n ≥0

12． 证明：3正则图必有偶数个结点。

13． 试证明下图中两个图不同构。

(a) (b ) 14． 证明：下图中的图是同构的。

15． 证明：下面两图是同构的。

16． 证明：简单图的同构关系是等价关系。

提示：简单图的同构关系是自反、对称和传递的。 17． 连通图G 有n 个结点，e 条边，则e ≥ n -1。 18． 给定图G ，如下图所示，求出G 中从v 1到v 6的所有基本通路。

a

b

c

d

e f

g

h

(1)

(2)

(1)

(2)

b

d

r

19． 给定图G ，如下图所示，找到G 中从v 2出发的所有基本回路。

20． 设G 为无向连通图，有n 个结点，那么G 中至少有几条边？为什么？对有向图如何？

解答：n-1, n-1 21． 设V '和E '分别为无向连通图G 的点割集和边割集，G -E '的连通分支数一定是多少？G -V '

的连通分支数也是定数吗?

解答：G -E '的连通分支数一定是2，G -V '的连通分支数不是一个确定的数。 22． 一个有向图是强连通的，当且仅当G 中有一个回路，它至少包含每个结点一次。 23． 若有简单图至多有2n 个结点，每个结点度数至少为n ，G 是连通图。又若简单图G 至

多有2n 个结点，每个结点度数至少为n -1，那么G 是连通图吗？为什么？

证明：假设G 是不连通的，有两个连通分支，若简单图至多有2n 个结点，则至少有一个连通分支的结点数≤n ，这个连通分支的结点最大度数≤n-1，和每个结点度数至少为n 矛盾，所以G 是连通图。

若简单图G 至多有2n 个结点，每个结点度数至少为n -1，那么G 不一定是连通图。因为由2个n 个结点的完全图组成的图有2n 个结点，每个结点度数为n -1，是不连通的图。 24． 简单图G 有n 个结点，e 条边，设e >0.5(n -1)(n -2),证明：G 是连通的。

证明： 用反证法。假若简单无向图G 不是连通图，那么G 必可成K （≥2）个连通分支G 1，G 2，…，G k ，每个连通分支G i （1≤i ≤k ）都是一个简单无向图，因此它们的结点数分别为n 1，n 2，m 2，…n k ，边数分别为e 1，e 2，…，e k ，显然有n=n 1+n 2+…n k ，e=e 1+e 2+…e k ，且n i ≤n-1（1≤i ≤k ）于是有

e=e 1+e 2+…e k

2)1n )(1n (2)1n )(1n (2)1n )(1n (2)

1n (n 2)1n (n 2)1n (n k 21k

k 2211--+

+--+--≤-++-+-≤

=(n-1)·21

·((n 1-1)+(n 2-1)+…+(n k -1))

=21

(n-1)((n 1+n 2+…+n k )-k) = 2

1

(n-1)(n-k) v 1

v 2

v 3

v 4

v 5

v 6

v v v v 5