结构力学-虚功原理、最小势能原理解题示例
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最小势能原理、虚功原理解题示例
最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。
例2.1 如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A ，弹性模量均为E ，在节点1处作用水平集中力P ，试用最小势能原理求各杆的内力。
图2.1
解：令在外力作用下，节点1在x 向的位移为x u ，在y 向的位移为y u 。 则有：
2
2EA U L L
=
∆ 则系统的总势能为：
()()()()
222220.60.80.4470.8942 2.52 2.2360.4470.8942 2.2360.1610.1920.486i x
x y x y x y x x x y y x
U Pu EA EA
u u u u a a
EA
u u Pu a EA u u u u Pu a
∏=-=
-+-⨯⨯+---⨯=-+-∑ 由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
0;0x y
u u ∂∏∂∏
==∂∂ 即：
()()0.3230.19200.1920.9720x y x y EA
u u P a
EA
u u a
--=-+=
解得：
3.510.694x y Pa u EA Pa u EA =
=
杆的内力可由公式：EA
N L L
=
∆求得，故各杆的内力为： 1213140.620.4250.979N P N P N P
---===-
例2.2 如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q ，试用最小势能原理求其挠度曲线。
图2.2
解：令梁的挠度函数为()x ω，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q 的作用，故()x ω应为x 的4次多项式。 故，考虑到梁左侧为固支，可设：
()()22012x x a a x a x ω=--
梁右侧需满足：
()|0x L x ω==
且梁右侧没承受弯矩，有：
()
220x L
d x dx ω==（力的边界条件）
代入边界条件，有：
()342
120.60.4x x L a L x L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭
等截面梁的弯曲应变能表达式为：2
220
1
2L
z d U EJ dx dx ω⎛⎫= ⎪⎝⎭
⎰
【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面有挠度()x ω，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度
d dx
ω
，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y 处的x 方向的位移为d u y dx ω
=-，应变22x d y dx ωε=-，
弯曲应力为22x d yE dx ω
σ=-，因此，等截面梁的弯曲应变能为：
2
2
2
2
2222001111
2222L
L
x x x z V V A
d d U dV E dV E dx y dA EJ dx dx dx ωωσεε⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】
则系统的总势能为：
()()()2
220
012L
L d x EJ dx q x x dx dx ωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪∏=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
⎰
⎰ 由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
0δ∏=
又：
()()()()()()()()222
20044
0034342211122009.60.60.40.60.40
L
L
L L L L d x d EJ x dx q x x dx dx dx d x EJ x dx q x x dx dx a x x x x EJ L x a dx qL x a dx L L L L L ωδδωδωωδωδωδδ⎡⎤∏=-⎢⎥⎣⎦
=-⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 【()231231.2 1.6x x x L x a L L δωδ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭】 由于变分可取任意值，故有：
119.69.6qL
EJa qL
a EJ
=⇒
=
所以：
()2342
20.60.49.6qL x x x x EJ L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。
例2.3
P
图2.3
解：令在外载荷P 作用下，梁的转角为α，则各杆的变形为：
12323L L L L L L α
α
α∆=∆=∆=
给梁施加一个虚位移：δα 则外力虚功为：
7
2
W PL δδα=
虚应变能为：
()()
()123231223314EA EA EA U L L L L L L L L L
EAL EAL δδαδαδααδααδα
=
∆+∆+∆=+⨯+⨯= 由虚功原理，有：W U δδ=，即：
7
142
4P PL EAL EA
δααδαα=⇒
=
故梁的位移为：
4Px
d x EA
α==
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学（静力学）第四章第7节】
例2.2 若用虚功原理求解，其步骤如下：
解：令梁的挠度函数为()x ω，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q 的作用，故()x ω应为x 的4次多项式。 故，考虑到梁左侧为固支，可设：
()()22012x x a a x a x ω=--
梁右侧需满足：
()|0x L x ω==
且梁右侧没承受弯矩，有：
()
220x L
d x dx ω==
代入边界条件，有：