平方根的练习题

平方根的练习题

知识回顾

1、无理数的概念

（这是重点）无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.带根号的数不一定是无理数,如9;无理数也不一定带根号,如圆周率. 2、算术平方根

（这是重点）如果一个数x 的平方等于a 即 a x =2

，那么这个正数x 就叫做a 的算术

平方根，记作“a ”，读作根号“a”；规定0的算术平方根即0=0，如422

=，那么2叫

做4的算术平方根。 3、平方根

（这是重、难点）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2

，那么这个数x 就叫

做a 的平方根（也叫做二次方根）；①平方根的意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根；②开方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。

【典型例题】

考点一：无理数的概念

例1. 如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD 的AC 、BD 相交于O ，试说明边 长AB 、BC 、CD 、AD 和对角线AC 、BD 的长度哪些是有理数，哪些不是有理数。

【思路分析】从图上看AC 、BD 、AB 是有理数，因此BC 、CD 、AD 的长度不是有理数．

解：AC=7，BD=5是有理数，而AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理AB 2=32+4=25,AB=5是有理数，而BC 2=32+32=18,CD 2=32+22=13,AD 2=42+22=20,因此BC 、CD 、 AD 的长度不是有理数。

方法与规律:利用网格的特点进行分析，并借助勾股定理及数的平方来判定什么是有理数，什么不是有理数。

例2 如图，在△ABC 中，AC ＝b,CD=5，高AD 可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?

【思路分析】找出直角三角形,利用勾股定理计算AD 的平方是b 2-25，由于b 的取值不同,结果不一样，不妨试一试

解：可能是整数，可能是分数，也可能是无理数.

方法与规律：根据有理数的特点，只要这个数是整数或分数则属于有理数，否则，不是有理数。

考点二：算术平方根

例3. 求下列各数的算术平方根。

（1）225 （2）12125 （3）97

1

（4）2)32(-

【思路分析】求一个正数的算术平方根，只要先找出一个正数的平方等于这个数，不必考虑负数平方等于这个数；如果一个数为带分数，一般先化成假分数，再求其算术平方根。

解：（1）因为152=225，所以225的算术平方根是15，即225=15。

（2）因为2)

115(

=12125

，所以12125的算术平方根是115，即12125= 115。

（3）197=916，因为（34）2=916，所以197的算术平方根是34（或131），即)

971(=131。

（4）因为（－32）2=（32）2，所以

2)32(-的算术平方根是32，即2

)32

(-=32 方法与规律:根据算术平方根的定义，首先确定哪个数的平方等于这个数，然后求出这个数的算术平方根。

考点三：平方根

例4：求下列各数的平方根。

(1)0.36 (2) (-1.3)2

(3)

4946

2

(4) 31

【思路分析】求一个正数的平方根，先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，互为相反数，不能只考虑正数而把负数遗漏了；如果一个数为带分数则一般先化为假分数；如果这个正数a 不能写成有理数的平方形式，则可以将a 的平方根表示成±a 。

解：（1）因为（±0.6）2

=0.36，所以0.36的平方根是±0.6，即±36.0=±0.6。 （2）因为2

2)3.1()3.1(-=±，所以2)3.1(-的平方根是±1.3，即±2

)3.1(-=±1.3。

（3）4914449462=

，因为（±712）2=49144，所以49144的平方根是±712

，即±49462=±712。

（4）31的平方根是±31。

方法与规律:掌握平方根的定义，首先确定哪个数的平方等于这个数，然后求出这个数的平方根，注意书写。

考点四：平方根与算术平方根的应用

例5：已知一个数的两个平方根分别是2x+1与3-x ，求这个数。

【思路分析】根据平方根的性质，若一个数有两个平方根，它们互为相反数，所以2x+1与3-x 互为相反数，即（2x+1）+(3-x)=0.

解：根据题意,得（2x+1）+(3-x)=0,

解这个方程,得x=-4

当x=-4时, 2x+1=-7,3-x=7,所以这个数是49. 友情提示：本题是逆用平方根的性质. 例6：借助计算器计算下列各题:

(1)2

234+=______;(2)_____;33442

2

=+(3)

_____;33344422=+

(4)

_____;3333444422=+

仔细观察上面几道题及其计算的结果,试猜想: 个

个

2009220092

3...333

4....444+=______.

【思路分析】仔细观察可得,猜想题是(1)—(4)的拓展,用计算器得出(1)—(4)的结果后,便可发现规律:被开方数是两个正整数的平方和,这两个数分别是由4和3组成的,且数字4的个数和3的个数相等,因此当被开方数是2009个4组成的数与2009个3组成的数的平方和时,所得结果应为2009个5组成的数。

解: (1)5 (2)55 (3)555 (4)5555 猜想:

个

20095

(555)

方法与规律总结:本题是探索题,也就是找规律,因此要认真分析,找出题目中的共同点,从而发现规律。

例7：自由下落物体的高度（h ）与下落时间t(秒)的关系为2

9.4t h =，有一铁球从80米高的建筑物上自由下落到地面需要多少时间？（精确到1秒）

【思路分析】把h=80代入已知的公式中便可得出一个关于t 的方程，利用平方根的概念求解即可，注意把不符合题意的解舍去。

解：把h=80代入2

9.4t h =中，得2

9.480t =，所以

,33.169.480

2≈=

t 则

,433.16±≈±=t 因为t 表示时间只能取正值，所以t=-4舍去，因此t=4.

答：这一铁球从80米高的建筑物上自由下落到地面需要4秒。

【本讲涉及的数学思想和方法】

本讲主要讲了无理数、平方根及算术平方根。在利用平方根或算术平方根的概念解题时要注意把问题转化成方程的问题求解，也就是利用了方程的数学思想。

1.下列说法正确的是（ ） A.一个数总大于它的立方根； B.非负数才有立方根；

C.任何数和它的立方根的符号相同；

D.任何数都有两个立方根。 2.

3

3x =-，则x 的值是（ ）