第三章 第四讲 连续分布

0 x 0

x 0
] e
2
dx [
0
1

e
x 0
]

1

2
E( X ) [ x e
x f ( x)dx x 2e x dx
0
2 x 0
] 2
2
xe
x
dx 2
2
1 F()=1-F() ,∴ F ( ) 2 2)当 时，
f (x ) 取最大值 :
3)当 4) 曲线在
时， 处有拐点;
曲线以 轴为渐近线;
（５） 的大小确定了正态曲线的位置, 故 被称为位置参数 ，的大小反映 了Ｘ取值平均值的大小； （６） 的大小确定了正态曲线的形状， 故 被称为形状参数，越大曲线越平 坦，表示分布越分散；越小曲线越 陡峭，表示分布越集中，反应了Ｘ 取值的集中程度。
作业 : 一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计) 服从指数分布, 其概率密度为 1 1x x0 e 4 f ( x) 4 0 x0 工厂规定 : 出售的设备在一年之内有质量问题可 以包换, 若工厂每售出一台赢利 200元, 包换一台, 工厂要另花费100元, 试求工厂售出一台赢利的数 学期望。
三、正态分布
（一） 一般正态分布
正态分布是最常见的也是最重要的一种 分布，其分布具有“中间大，两头小”的 特点。如调查一群人的身高、体重、血液中 红细胞数和胆固醇含量，测量某加工件的 长度，这些量都服从正态分布或近似服从 正态分布。
◆定义 如果随机变量 X 的概率
密度函数为
其中 ， 是常数，且 服从正态分布，简记
(3) P(| X | 1.96 ) P( 1.96 X 1.96 ) 2 (1.96) 1 2 0.975 1 0.95 ( 4) P( X 2 ) 1 P( X 2 ) 1 ( 2) 1 0.9773 0.0227
1 1 x 10 1 10
P( X 3)

3
故 Ｙ 的分布律为
1 e 10

1 x 10
dx e

3 10
0.7408
Ｙ 1500 2000 2500 3000 Ｐ 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408
于是 Ｅ(Ｙ)=1500×0.0952+2000×0.0861 +2500×0.0779+3000×0.7408 =2732.15（元）。
X Y ~ N (u1 u2 , 12 22 )
(二) 标准正态分布
对随机变量
当 时，称此随机变量 X 服
从标准正态分布，记为 其概率密度函数和分布函数为
标准正态分布的密度曲线(x)
标准正态分布的分布函数曲线(x)
可利用数值积分法，求出 的近 似解，用此办法可得标准正态分布表。 （见附表３）
一、均匀分布 ◆ 定义
若随机变量X的概率密度为 1 a xb f ( x) b a 0 其它 则称X在区间[a, b]上服从均匀分布, 记为 X～U [a, b] 。
分布函数
xa 0 x a F ( x) a xb b a xb 1 数字特征 ◆ 1 E ( X ) ( a b) 2 1 2 D( X ) (b a ) 12

很容易计算一般正态分布的相应概率。
即有：若
则 于是对任意区间 有
例: 设
在
证明X落
内的概率只与 有
关而与 证：
无关。
X落在区间
内的概
率只与 有关而与 无关。 特别当 =1，2，3时，可查表求得
这表明：如果Ｘ～Ｎ（，2）时，随机 变量Ｘ基本上在区间[ －2,＋2]内取 值，而Ｘ落在区间[－3,＋3]之外的概 率很小，不到0.3％。故一般约定Ｘ取值的 正常范围为（－1.96,＋1.96），而异 常值范围为
即
而
查表得 即 所以设计车门高度应为184cm。
例： 已知某种药片的片重Ｘ ～Ｎ（,2）其 中 ＝135（毫克），试求：
（1） 若已知＝5时, Ｐ（130≤Ｘ≤150）;
（2） 为何值时,Ｐ（130≤Ｘ≤140）＝0.8？
Baidu Nhomakorabea
解 : (1) X N (135,5 ), 则
5
P(130 X 150) F (150) F (130) 150 135 130 135 ( ) ( ) 5 5 (3) ( 1) (3) [1 (1)] 0.9987 (1 0.8413) 0.84
（三） 标准正态分布的分位数
◆ 定义 : 设X～ N (0,1) , 对于给定的 (0 1)
称满足 P{ X u1 } 的点u1 为标准正态分布 的上侧分位数; 称满足 P{| X | u1 } 的点u1 为标准正态分布
2 2
的双侧分位数 。
标准正态分布的分位数主要用于统 计推断。
双侧分位数可从书后附表４查得。
(u1 ) 1
E( X ) ;
D( X ) 2
a幻灯片 29
正态分布的性质
定理 3.3 （1）若 X 服从正态分布 N (u, 2 ) ，对任意常数 a, b 有
aX b ~ N (au b, | a |2 2 )
（2）若 X ~ N (u1 , 12 ),Y ~ N (u2 , 22 ) ，且 X 与 Y 相互独立，则
对于分布函数
由于
的原函数
不是初等函数，不能用原函数的方法计算
F(x) 的值，要借助于标准正态分布表计算。
分布函数曲线图如下:
正态分布函数曲线图
lim F ( x ) lim
x x
x

x
f ( x )dx F ( ) 0 f ( x )dx F ( ) 1
显然
(0) 0.5
x
x
( x ) 1 ( x )图示
（三） 一般正态分布的计算
● 定理
若X ～ N ( , 2 ), F ( x )为其分布函数 则有 x F ( x) ( )

事实上
令
利用一般正态分布 N (u, 2 ) 的分布 函数 与标准正态分布N(0,1)的分布 函数 之间的下列关系： x F ( x) ( ) , x
E( X )

2
2

2

2
,
D( X ) E ( X ) ( E ( X ))


1


1
2
例: 设 X 服从参数 求方程 （关于t的二次方程）。
的指数分布， 无实根的概率
解: 要方程无实根，必须满足
解得
由于X的分布密度为
所以
例： 某商店对某种家电的销售采用先使用后 付款的策略，记该家电使用寿命为Ｘ（以年计）， 规定： Ｘ≤１ 一台付1500元；
，则称X
满足
◆
正态分布的分布函数为 F ( x) P( X x)
x
1 e 2
( x )2 2 2
dx
正态分布的密度曲线图如下图:
-
+
正态分布的概率密度曲线图
相同不同的正态曲线图
相同不同的正态曲线图
◆ 正态曲线的特点
1) 曲线关于 对称;即有
１＜Ｘ≤２ 一台付2000元； ２＜Ｘ≤３ 一台付2500元； Ｘ＞３ 一台付3000元。 设Ｘ服从指数分布，概率密度为 1 1 10 x x0 e f ( x ) 10 0 x0
问：该商店每销售一台这种家电，期望能收入多 少营业额？ 解 : 设每销售一台的收入为Y元, 显然Y是个随 机变量, 它的可能取值为1500,2000,2500,3000 。 相应的概率为
（－, －3)U(＋3, ＋）。
这就是所谓的“3－原则” 。
f ( x)
0
正态分布“3-原则”示意 图
例: 设
，且已知
求
解:
由
得 查表得： 又由 查表得： 解得:
例: 公共汽车车门的高度是按男子与车门 顶碰头的机率在0.01以下来设计的，设男 子身高 ，其中 即 车门高度应如何确定？ 解: 设车门高度为Hcm，按设计要求
( 2) P(130 X 140) F (140) F (130) 140 135 130 135 ( ) ( )


( ) (
5
5


) 2 ( ) 1 0.8
5

( ) 0.9 查附表3(标准正态分布表)
5

得
5

1.28
3.906
例 : 设X～N ( , ), 求 :
2
(1) P( X ); (2) P(| X | 2 ); (3) P(| X | 1.96 ); (4) P( X 2 ) 。
解 : (1) P( X ) ( ) ( ) (1) (0) 0.8413 0.5 0.3413 (2) P(| X | 2 ) 1 P(| X | 2 ) 1 0.9545 0.0455
lim F ( x ) lim
x

x
x轴, 直线y 1都是其水平渐近线。
◆ 正态分布的数字特征
E( X ) 令 t

xf ( x)dx


x e 2
( x )2 2 2
dx
x

, 则x t , dx dt
1 2
E ( X ) ( t )

e
t2 2
dt
2
1 te dt 2 1 0 2 2

t2 2



e dt
t2 2
D( X ) E[( X ) ] ( x )
2

密度函数f ( x)和分布函数F ( x)图形
f ( x)
F ( x)
1
1 ba
0
a
b
x
0
a
b
x
例：设某公交车站每隔１０分钟有一辆车， 则在任一时刻乘客到达该站后的候车时Ｘ（分 钟）将服从均匀分布Ｕ（０，１０）， 试求：
（１） Ｐ（Ｘ≤１）；
（２） Ｐ（１<Ｘ<３）；
（３）Ｐ（Ｘ>６） 。
解 : 由题意知, X的密度函数为 1 , 0 x 10 f ( x ) 10 0 其它 1 1 1 P ( X 1) dx 0 10 10 3 1 1 P (1 X 3) dx 1 10 5 10 1 2 P ( X 6) dx 6 10 5
二、指数 分布
◆ 定义
若连续型随机变量X的概率密度函数为
其中
是常数，称此随机变量X 服从参数为
的指数分布，记为Ｘ～Ｅ（）。如图


1 1
0
0
◆ 分布函数
指数分布的分布函数： 对
对 故分布函数为
◆ 数字特征
E( X ) [ xe
2
xf ( x)dx xe x dx
2
1 e 2
( x )2 2 2
dx
令 t
x

, x t , dx dt
2 2 t2 2 2 t2 2 t2 2
t D( X ) e dt {[te ] e dt 2 2 2 0 2 2 2 即 : 正态分布N ( , 2 )的两个参数 , 2正是
1 P( X 1) e dx 1 e 0.0952 0 10 1 1 2 x 2 1 P (1 X 2) e 10 dx e 10 e 10 0.0861 1 10 1 2 3 3 1 x P ( 2 X 3) e 10 dx e 10 e 10 0.0779 2 10