第三章 第四讲 连续分布
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概率节常用连续分布ppt
3σ原则:若
，则X落入
范围内的概率为0.9973
正态分布的期望和方差
设
，则
故只需求标准正态分布的期望和 方差。
从而有
服从正态分布的例子： 1）特定群体的身高、体重等指标； 2）一批钢筋的抗拉强度； 3）测量物体质量或长度时的误差； 4）年降雨量等。
例1 假设在某城市中，从A地到B地有两 条线路，第一条穿过市区，所需时间X 服从N(50,100)，第二条线路延环城路 走，所需时间Y服从N(60,16)。
(1)如果有70分钟可用，应走哪条线路？
(2)如果只有55分钟又应走哪条线路？
2. 均匀分布
若随机变量X的密度函数为
f
(x)
b
1
a
,
a
x
b
0,其他.
则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，
记作
。
均匀分布的密度函数和分布函数
F(x)
1 ba
oa
1
b
xoa
bx
均匀分布的期望和方差
思考题
设 r.v. X 服从(0,1)内均匀分布,
又 其中
X [1 g(Y)]/ 2
g( y) 2
y t2
e 2 dt
2 0
求 r.v. Y 的 p.d.f.
指数分布的期望和方差
设
则
指数分布的无记忆性
类似于离散分布中的几何分布，指
数分布也具有无记忆性，即对任意
的
有
指数分布与Poisson分布的关系
例2 设机场在时间间隔
内来到
的飞机数服从如下Poisson分布：
求来到一架飞机后，机场等待下一 架飞机到达的等待时间的分布。
2.4常用的连续分布(课件)
1 1000
1000
x 1 1000 P X 1000 f ( x ) dx dx e 1000 1000 1000 x x x 1000 x 1 1000 1000 e 1000 d e e e 1000 1000 1000
x e , x0
证 右 P X b 1 P X b 1 F ( b )
1 (1 e
b
) e
b
左=P X a b X a
P X a b P X a
P X a b 且 X a P X a
b
e
( a b )
e
a
e
=右
三、正态分布
其中μ和σ为常数, 且 0, 则称X服从参数为μ
2 X ~ N ( , ) 和σ的正态分布, 记为
( x )2 2 2
1 如果随机变量 X 的密度为 ( x ) 2
e
( x )2 2 2
1 1 0 ( x ) e e ( ) 2 2 1 ( ) ( x ) 的最大值. 是 2 ( x ) 的图象关于 2 ( t ) 1 2 x 对称. 2 ( t ) ( t ) 2 ( x ) 的图象以 x 轴 ( x )2 1 2 2 lim ( x ) lim 0 为渐近线. x x 2
1 EX , 1 DX 2
0
y f ( x)
x e , X ~ f ( x) 0, x 0时
x0 x0
y f ( x)
常用的连续型分布
P{X196}0(196) 0975
根据0(x)的对称性 有
P{X196}0(196)10(196)109750025
P{|X|196}P{196X196} 0(196)0(196)
20(196)1 209751095
P{1X2}0(2)0(1)0(2)[10(1)]
0(2)0(1)1
097725084131081855
则
X
~
N(0.1)
推论2
X~N( 2)的充要条件是存在一个随机变量~N(0 1) 使
得X
提示
通常称为X的标准化
18
推论3
设X~N( 2) (x) (x)分别为其分布函数与密度函数
0(x) 0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有
(x)
0(
x
)
(287)
(x)
1
0(
x
)
(288)
4 一般正态分布的概率计算
0.9621
查表即得 b178
由于P{Xc}0298105 所以c0 根据对称性 有
0(c)10(c)07019
查表得c053 c053
17
3 一般正态分布与标准正态分布的关系
定理26(正态分布的线性变换)
设X~N( 2) YaXb a b为常数 且a0 则
Y~N(ab a2 2)
推论1
如果 X~N( 2)
X
|
x
}
20(x
)1
0.9
即0(x
)
1.9 2
0.95
查表得x 1.645
于是 x1645355758
23
16
例223 设X~N(0 1) (1)求P{X196} P{X196} P{|X|196} P{1X2} (2)已知P{Xa}07019 P{|X|b}09242 P{Xc}02981 求a b c
重要的连续型分布
其中，为常数，且 0
称服从正态分布，记作
N(, 2 )
这是最重要、最常见的分布。 许多微小的，独立的随机因素作用的总后果，一般 可以认为服从正态分布。 例如人的身高、零件长度，考试成绩等。 特点为“中间大，两头小”。
(x)dx
x 2 2 E e dx 2 x t 1 2 t2 ( 2t)e dt t 2 2 t 2 e dt te dt 0
r E2 x 2 x r 1ex dx 0 (r) x t 1 r 1 t t e dt 2 (r) 0 (r 1)r 1 2 (r 2) 2 (r) 2 (r 1)r r r D 2 2
例2 已知
N(0,1), 查表求出0 (1.63)
0 (0.18) 0.3925
0 (0.18), 0 (3), 0 (7), 0 (0)
解：0 (1.63) 0.1057 0 (7) 0 0 (3) 0 (3) 0.004432
0 (0) 0.3989
定理2 若 N(, 2 ), 则a b N(a b,a 22 ), (a 0) 证：记＝a+b,可以求出 1 xb (x) |a| a 2 1 x b 2 1 1 2 a e | a | 2 1 [x (ab)]2 1 2 2 e 2a 2 | a | 故是参数为a+b,a22的正态分布 2 推论2 若 N(, ), 则 N(0,1) 1 证：在定理中取a= , b 即可。
1 0 (1.96) =0.025 P(| | 1.96) P(1.96 1.96) 0 (1.96) 0 (1.96) 20 (1.96) 1 =0.95 P(1.6 2.5) 0 (2.5) 0 (1.6) 0 (2.5) (1 0 (1.6))
2.5常用的连续分布
一般正态分布的标准化
定理 若X～N(µ, σ2)，则
U= X −µ
σ
~ N (0,1)
证明： U的分布函数FU (u) = P(U ≤ u) = P(
X −µ
= P (X ≤ µ + uσ ) = FX ( µ + uσ )
σ
≤ u)
标准化
由于分布函数是严格单调增函数，且处处可导
p U (u) =
故有
P { 950 < R ≤ 1050 }=
∫950
1050
1 d r = 0 .5 . 200
例2 随机变量X服从（0，10）上的均匀分布，现 对X进行4次独立观测，试求至少有3次观测值大 于5的概率。 解
1 , 0 < x < 10, f ( x) = 10 X～U（0，10） X 的分布密度函数为 0, 其他.
次独立观测中, 则 在4次独立观测中 次独立观测中 至少有3次观测值大于5的概率为 至少有 次观测值大于 的概率为
1 3 1 P{Y ≥ 3} = C 4 1 − + C 44 1 2 2 2
3
4
1 = 5 . 1 − 16 2
• 本题结果称为3σ 原则.在工程应用中，通常 认为P{|X- µ |≤ 3σ} ≈1. • 如在质量控制中，常用标准指标值±3σ作 两条线，当生产过程的指标观察值落在两 线之外时发出警报.表明生产出现异常.
均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a < x < b, f ( x) = b − a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
连续型分布函数
连续型分布函数连续型分布函数是概率论和数理统计中的一个重要概念，它描述了一个随机变量取某个值以下的概率。
在实际问题中，我们经常需要对连续型随机变量进行概率分析和统计推断。
本文将介绍连续型分布函数的定义、性质和常见的几种连续型分布函数。
一、连续型分布函数的定义连续型分布函数是指一个随机变量的取值范围是实数集，并且每一个实数都对应一个概率。
它可以表示为F(x)，表示随机变量取值小于等于x的概率，即P(X≤x)。
1. F(x)是一个非递减的函数，即对于任意的a≤b，有F(a)≤F(b)；2. F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3. 当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1；4. F(x)是右连续的，即对于任意的x，有F(x+)=F(x)；5. F(x)的变化是分段的，即在每个区间上是一个线性函数。
三、常见的连续型分布函数1. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）均匀分布函数是指随机变量在一定区间上的取值是等可能的，即每个取值的概率相等。
它的分布函数为：F(x) = (x-a)/(b-a)，其中a为区间下限，b为区间上限。
2. 正态分布函数（Normal Distribution Function）正态分布函数是指随机变量满足正态分布的情况，也称为高斯分布。
它的分布函数没有解析表达式，通常用标准正态分布函数进行近似计算。
3. 指数分布函数（Exponential Distribution Function）指数分布函数是指随机变量满足指数分布的情况，它描述了事件发生的时间间隔。
它的分布函数为：F(x) = 1 - e^(-λx)，其中λ为事件发生的速率参数。
4. 伽玛分布函数（Gamma Distribution Function）伽玛分布函数是指随机变量满足伽玛分布的情况，它常用于描述等待时间或寿命分布。
它的分布函数没有解析表达式，通常使用伽玛函数进行计算。
概率与统计的离散分布与连续分布
概率与统计的离散分布与连续分布概率与统计是一门重要的数学学科，它研究了随机事件发生的规律性和不确定性。
其中，离散分布与连续分布是概率与统计中两个重要的概念。
本文将对离散分布与连续分布进行详细介绍与比较。
一、离散分布离散分布是指概率分布中随机变量取值有限或可数的分布。
在离散分布中，每个可能的取值都有一个特定的概率与之对应。
离散分布通常用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）来描述。
常见的离散分布包括：1. 伯努利分布：伯努利试验是一种只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果只能是正面或反面。
伯努利分布描述了这种试验的概率分布。
2. 二项分布：二项分布是一种描述多次独立重复伯努利试验的概率分布。
它描述了在一定次数的独立重复试验中，成功事件发生k次的概率。
3. 泊松分布：泊松分布是一种描述在一段固定时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
泊松分布常用于描述单位时间或单位空间内事件发生的频率。
4. 几何分布：几何分布是一种描述独立重复伯努利试验中，首次成功事件发生所需的试验次数的概率分布。
二、连续分布连续分布是指概率分布中随机变量的取值为连续的分布。
在连续分布中，每个可能的取值都有一个对应的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来描述。
连续分布中的概率是通过对概率密度函数进行积分得到的。
常见的连续分布包括：1. 均匀分布：均匀分布是指在一个区间内各个取值的概率是相等的。
例如，抛一枚均匀的骰子，每个点数的概率均为1/6。
2. 正态分布：正态分布是一种最常见的分布。
它以一个对称的钟形曲线描述，具有均值和标准差两个参数。
许多现实世界的数据都可以用正态分布来进行建模和分析。
3. 指数分布：指数分布是一种描述在一段固定时间或空间内连续随机事件发生的概率分布。
它常用于描述无记忆性的随机过程，如设备的寿命分布和等待时间分布等。
三、离散分布与连续分布的比较离散分布和连续分布在描述随机事件时有一些明显的区别和特点。
概率论 Ch3连续型随机变量与分布(4,5,6).ppt
x
1 2
x
fX Y
t
1 2
dt
x 1
2t 3
dt
1
0
1 3
x
2
1
1
x 1 1 x2 x2
x 1 1 x2
x2
⑵由分布函数性质知
3 1
3 1
1
P0
X
2
Y
2
FX Y
2
2
FX
Y
0
2
1 3
3 2
2
1
0
5 12
也可由密度函数性质得到:
P
0
X
3 2
Y
1 2
3 2 0
fX Y
x
1 2
dx
3 2
2xdx
13
5.
12
⑶由定义: fY X y x
fX
x
x3 4
0,
而
f x, y
,
fX x
当0 x 2时,
f
x,
y
2xy
0 x 2, 0 y x , X x 2
0
其余
2xy
0
0 y x 2
其余
故当 0 x 2 时,
2 xy
fY X
例1 设二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数为
F x, y AB arctan xC arctan y,
求常数 A, B,C.
解 由分布函数 F x, y的性质得:
lim
x y
F
x,
y
A
B
π 2
C
π 2
1,
lim
x, y
F
连续型随机变量的概率分布
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例3 设连续型随机变量X的概率密度为：
f ( x) ce
求: (1) 常数c ;
x
, x
(2) P(0 < X <1) ;
(3)求分布函数F(x)
解：(1)由 f ( x )dx 1 ce dx 1
x
2
0
1 ce dx 1 c 2
x
0
0dt 2tdt x 2
0
x
当 x 1 时，F ( x ) (t )dt
x
0dt 2tdt 0dt 1
0 1
0
1
x
0, x 0 2 即F ( x ) x , 0 x 1 1, x 1
概率密度函数 f ( x )反映r.v.X落在
概率
x 处附近，
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单位长度所具有的概率。
从而得到
P ( x X x x )
F ( x x ) F ( x ) f ( x )x
概率微分
（4）连续型随机变量X的值落入区间 （ a , b ]内的概率
P (a X b) F ( b) F ( a)
1 e x , x 0 其分布函数 F ( x ) x0 0,
如, 电子元件的寿命 X~ E(θ)
例1：(P72习题18) 设随机变量X服从参数为θ 的指数 1 且P ( X c ) 分布， ，试确定常数c. 2
1 e x , x 0 解 : X的分布函数为 F ( x ) 0, 其 他
x
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例3 设连续型随机变量X的概率密度为：
f ( x) ce
求: (1) 常数c ;
x
, x
(2) P(0 < X <1) ;
(3)求分布函数F(x)
解：(1)由 f ( x )dx 1 ce dx 1
x
2
0
1 ce dx 1 c 2
x
0
0dt 2tdt x 2
0
x
当 x 1 时，F ( x ) (t )dt
x
0dt 2tdt 0dt 1
0 1
0
1
x
0, x 0 2 即F ( x ) x , 0 x 1 1, x 1
概率密度函数 f ( x )反映r.v.X落在
概率
x 处附近，
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单位长度所具有的概率。
从而得到
P ( x X x x )
F ( x x ) F ( x ) f ( x )x
概率微分
（4）连续型随机变量X的值落入区间 （ a , b ]内的概率
P (a X b) F ( b) F ( a)
1 e x , x 0 其分布函数 F ( x ) x0 0,
如, 电子元件的寿命 X~ E(θ)
例1：(P72习题18) 设随机变量X服从参数为θ 的指数 1 且P ( X c ) 分布， ，试确定常数c. 2
1 e x , x 0 解 : X的分布函数为 F ( x ) 0, 其 他
x
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《连续型概率分布》课件
详细描述
正态分布在实际生活中应用广泛，如人的身高、考试分数、股票价格等都可以用正态分布来描述。正态分布的曲线呈钟形对称，表示随机变量取值在均值附近的可能性较大，离均值越远，取值的可能性越小。
总结词
指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中λ是常数。
详细描述
指数分布在时间间隔、寿命、等待时间等方面有广泛应用，如电子元件的寿命、计算机程序的运行时间等都可以用指数分布来描述。指数分布的概率密度函数随着x的增大而减小，且具有无记忆性。
06
CHAPTER
连续型概率分布的假设检验
总结词
单样本Z检验用于检验一个样本均值是否与已知的总体均值存在显著差异。
要点一
要点二
详细描述
在单样本Z检验中，我们首先计算样本均值和标准差，然后使用Z统计量来计算检验的统计量。如果Z统计量的绝对值大于临界值（如1.96或2.58，对应于95%或99%的置信水平），则我们拒绝原假设，认为样本均值与总体均值存在显著差异。
总结词
矩估计法是一种基于样本数据的矩来估计参数的方法。
矩估计法的基本思想是，利用样本数据的矩来估计总体矩，然后利用总体矩的表达式来求解参数的估计值。这种方法简单易行，但可能不是最优的估计方法。
总结词
详细描述
总结词
贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理来估计参数的方法。
详细描述
贝叶斯估计法的基本思想是，根据先验信息，建立一个参数的先验分布，然后结合样本数据和先验信息，利用贝叶斯定理计算参数的后验分布。通过后验分布可以得到参数的估计值。这种方法考虑了先验信息，能够提供更加准确的估计结果。
均匀分布
泊松分布在二项分布极限情况下适用，通常用于描述在给定时间间隔内随机事件发生的次数。
正态分布在实际生活中应用广泛，如人的身高、考试分数、股票价格等都可以用正态分布来描述。正态分布的曲线呈钟形对称，表示随机变量取值在均值附近的可能性较大，离均值越远，取值的可能性越小。
总结词
指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中λ是常数。
详细描述
指数分布在时间间隔、寿命、等待时间等方面有广泛应用，如电子元件的寿命、计算机程序的运行时间等都可以用指数分布来描述。指数分布的概率密度函数随着x的增大而减小，且具有无记忆性。
06
CHAPTER
连续型概率分布的假设检验
总结词
单样本Z检验用于检验一个样本均值是否与已知的总体均值存在显著差异。
要点一
要点二
详细描述
在单样本Z检验中，我们首先计算样本均值和标准差，然后使用Z统计量来计算检验的统计量。如果Z统计量的绝对值大于临界值（如1.96或2.58，对应于95%或99%的置信水平），则我们拒绝原假设，认为样本均值与总体均值存在显著差异。
总结词
矩估计法是一种基于样本数据的矩来估计参数的方法。
矩估计法的基本思想是，利用样本数据的矩来估计总体矩，然后利用总体矩的表达式来求解参数的估计值。这种方法简单易行，但可能不是最优的估计方法。
总结词
详细描述
总结词
贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理来估计参数的方法。
详细描述
贝叶斯估计法的基本思想是，根据先验信息，建立一个参数的先验分布，然后结合样本数据和先验信息，利用贝叶斯定理计算参数的后验分布。通过后验分布可以得到参数的估计值。这种方法考虑了先验信息，能够提供更加准确的估计结果。
均匀分布
泊松分布在二项分布极限情况下适用，通常用于描述在给定时间间隔内随机事件发生的次数。
第三章 第四讲 连续分布
lim F ( x ) lim
x
x
x轴, 直线y 1都是其水平渐近线。
◆ 正态分布的数字特征
E( X ) 令 t
xf ( x)dx
x e 2
( x )2 2 2
dx
x
, 则x t , dx dt
三、正态分布
（一） 一般正态分布
正态分布是最常见的也是最重要的一种 分布，其分布具有“中间大，两头小”的 特点。如调查一群人的身高、体重、血液中 红细胞数和胆固醇含量，测量某加工件的 长度，这些量都服从正态分布或近似服从 正态分布。
◆定义 如果随机变量 X 的概率
密度函数为
其中 ， 是常数，且 服从正态分布，简记
标准正态分布的分位数主要用于统 计推断。
双侧分位数可从书后附表４查得。
(u1 ) 1
，则称X
满足
◆
正态分布的分布函数为 F ( x) P( X x)
x
1 e 2
( x )2 2 2
dx
正态分布的密度曲线图如下图:
-
+
正态分布的概率密度曲线图
相同不同的正态曲线图
相同不同的正态曲线图
◆ 正态曲线的特点
1) 曲线关于 对称;即有
0 x 0
x 0
] e
2
dx [
0
1
e
x 0
]
1
2
E( X ) [ x e
x f ( x)dx x 2e x dx
0
2 x 0
常用连续分布ppt课件
于是
=1-P(在t时刻之前无汽车过桥) =1-P(Xt=0)=1-e-λt
f
(t
)
F
(t
)
et
t0
0 t0
26
2.5.4 伽玛分布
p(x) x1ex, x 0 ( )
记为 X ~ Ga(, ), 其中 >0， > 0.
称 () 0 x1exdx 为伽玛函数.
27
注意点
(1) (1) = 1, (1/2) =
(1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65
11
一般正态分布的标准化
定理2.5.1
设
X
~
N(,
2),
Y
X
,
则 Y ~ N(0, 1).
推论:
若 X ~ N(, 2),
则
F
(
x)
x
12
若 X ~ N(, 2), 则
P(X<a) =
， P(X>a) =
13
例2.5.3
设 X ~ N(10, 4), 求 P(10<X<13), P(|X10|<2).
4
正态分布的性质
p(x)
(1) p(x) 关于 是对称的.
在 点 p(x) 取得最大值.
(2) 若 固定, 改变,
p(x)左右移动,
0μ
x
形状保持不变.
5
(3) 若 固定, 改变, 越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭.
6
正态分布的应用与背景
正态分布又称为高斯分布,是最常见最重要的一种分布. 一个变量是由大量微小的\独立的随机因素共同作用的结果,那 么这个变量一定是正态变量.例如测量误差; 人的生理特征尺 寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、 重量高度等都近似服从正态分布.
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二、指数 分布
◆ 定义
若连续型随机变量X的概率密度函数为
其中
是常数，称此随机变量X 服从参数为
的指数分布，记为Ｘ～Ｅ（）。如图
1 1
0
0
◆ 分布函数
指数分布的分布函数： 对
对 故分布函数为
◆ 数字特征
E( X ) [ xe
2
xf ( x)dx xe x dx
3.906
例 : 设X～N ( , ), 求 :
2
(1) P( X ); (2) P(| X | 2 ); (3) P(| X | 1.96 ); (4) P( X 2 ) 。
解 : (1) P( X ) ( ) ( ) (1) (0) 0.8413 0.5 0.3413 (2) P(| X | 2 ) 1 P(| X | 2 ) 1 0.9545 0.0455
一、均匀分布 ◆ 定义
若随机变量X的概率密度为 1 a xb f ( x) b a 0 其它 则称X在区间[a, b]上服从均匀分布, 记为 X～U [a, b] 。
分布函数
xa 0 x a F ( x) a xb b a xb 1 数字特征 ◆ 1 E ( X ) ( a b) 2 1 2 D( X ) (b a ) 12
很容易计算一般正态分布的相应概率。
即有：若
则 于是对任意区间 有
例: 设
在
证明X落
内的概率只与 有
关而与 证：
无关。
X落在区间
内的概
率只与 有关而与 无关。 特别当 =1，2，3时，可查表求得
这表明：如果Ｘ～Ｎ（，2）时，随机 变量Ｘ基本上在区间[ －2,＋2]内取 值，而Ｘ落在区间[－3,＋3]之外的概 率很小，不到0.3％。故一般约定Ｘ取值的 正常范围为（－1.96,＋1.96），而异 常值范围为
１＜Ｘ≤２ 一台付2000元； ２＜Ｘ≤３ 一台付2500元； Ｘ＞３ 一台付3000元。 设Ｘ服从指数分布，概率密度为 1 1 10 x x0 e f ( x ) 10 0 x0
问：该商店每销售一台这种家电，期望能收入多 少营业额？ 解 : 设每销售一台的收入为Y元, 显然Y是个随 机变量, 它的可能取值为1500,2000,2500,3000 。 相应的概率为
即
而
查表得 即 所以设计车门高度应为184cm。
例： 已知某种药片的片重Ｘ ～Ｎ（,2）其 中 ＝135（毫克），试求：
（1） 若已知＝5时, Ｐ（130≤Ｘ≤150）;
（2） 为何值时,Ｐ（130≤Ｘ≤140）＝0.8？
解 : (1) X N (135,5 ), 则
5
P(130 X 150) F (150) F (130) 150 135 130 135 ( ) ( ) 5 5 (3) ( 1) (3) [1 (1)] 0.9987 (1 0.8413) 0.84
对于分布函数
由于
的原函数
不是初等函数，不能用原函数的方法计算
F(x) 的值，要借助于标准正态分布表计算。
分布函数曲线图如下:
正态分布函数曲线图
lim F ( x ) lim
x x
x
x
f ( x )dx F ( ) 0 f ( x )dx F ( ) 1
，则称X
满足
◆
正态分布的分布函数为 F ( x) P( X x)
x
1 e 2
( x )2 2 2
dx
正态分布的密度曲线图如下图:
-
+
正态分布的概率密度曲线图
相同不同的正态曲线图
相同不同的正态曲线图
◆ 正态曲线的特点
1) 曲线关于 对称;即有
E( X )
2
2
2
2
,
D( X ) E ( X ) ( E ( X ))
1
1
2
例: 设 X 服从参数 求方程 （关于t的二次方程）。
的指数分布， 无实根的概率
解: 要方程无实根，必须满足
解得
由于X的分布密度为
所以
例： 某商店对某种家电的销售采用先使用后 付款的策略，记该家电使用寿命为Ｘ（以年计）， 规定： Ｘ≤１ 一台付1500元；
0 x 0
x 0
] e
2
dx [
0
1
e
x 0
]
1
2
E( X ) [ x e
x f ( x)dx x 2e x dx
0
2 x 0
] 2
2
xe
x
dx 2
2
1 P( X 1) e dx 1 e 0.0952 0 10 1 1 2 x 2 1 P (1 X 2) e 10 dx e 10 e 10 0.0861 1 10 1 2 3 3 1 x P ( 2 X 3) e 10 dx e 10 e 10 0.0779 2 10
（－, －3)U(＋3, ＋）。
这就是所谓的“3－原则” 。
f ( x)
0
正态分布“3-原则”示意 图
例: 设
，且已知
求
解:
由
得 查表得： 又由 查表得： 解得:
例: 公共汽车车门的高度是按男子与车门 顶碰头的机率在0.01以下来设计的，设男 子身高 ，其中 即 车门高度应如何确定？ 解: 设车门高度为Hcm，按设计要求
E( X ) ;
D( X ) 2
a幻灯片 29
正态分布的性质
定理 3.3 （1）若 X 服从正态分布 N (u, 2 ) ，对任意常数 a, b 有
aX b ~ N (au b, | a |2 2 )
（2）若 X ~ N (u1 , 12 ),Y ~ N (u2 , 22 ) ，且 X 与 Y 相互独立，则
标准正态分布的分位数主要用于统 计推断。
双侧分位数可从书后附表４查得。
(u1 ) 1
1 F()=1-F() ,∴ F ( ) 2 2)当 时，
f (x ) 取最大值 :
3)当 4) 曲线在
时， 处有拐点;
曲线以 轴为渐近线;
（５） 的大小确定了正态曲线的位置, 故 被称为位置参数 ，的大小反映 了Ｘ取值平均值的大小； （６） 的大小确定了正态曲线的形状， 故 被称为形状参数，越大曲线越平 坦，表示分布越分散；越小曲线越 陡峭，表示分布越集中，反应了Ｘ 取值的集中程度。
lim F ( x ) lim
x
x
x轴, 直线y 1都是其水平渐近线。
◆ 正态分布的数字特征
E( X ) 令 t
xf ( x)dx
x e 2
( x )2 2 2
dx
x
, 则x t , dx dt
显然
(0) 0.5
x
x
( x ) 1 ( x )图示
（三） 一般正态分布的计算
● 定理
若X ～ N ( , 2 ), F ( x )为其分布函数 则有 x F ( x) ( )
事实上
令
利用一般正态分布 N (u, 2 ) 的分布 函数 与标准正态分布N(0,1)的分布 函数 之间的下列关系： x F ( x) ( ) , x
作业 : 一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计) 服从指数分布, 其概率密度为 1 1x x0 e 4 f ( x) 4 0 x0 工厂规定 : 出售的设备在一年之内有质量问题可 以包换, 若工厂每售出一台赢利 200元, 包换一台, 工厂要另花费100元, 试求工厂售出一台赢利的数 学期望。
1 2
E ( X ) ( t )
e
t2 2
dt
2
1 te dt 2 1 0 2 2
t2 2
e dt
t2 2
D( X ) E[( X ) ] ( x )
2
三、正态分布
（一） 一般正态分布
正态分布是最常见的也是最重要的一种 分布，其分布具有“中间大，两头小”的 特点。如调查一群人的身高、体重、血液中 红细胞数和胆固醇含量，测量某加工件的 长度，这些量都服从正态分布或近似服从 正态分布。
◆定义 如果随机变量 X 的概率
密度函数为
其中 ， 是常数，且 服从正态分布，简记
1 1 x 10 1 10
P( X 3)
3
故 Ｙ 的分布律为
1 e 10
1 x 10
dx e
3 10
0.7408
Ｙ 1500 2000 2500 3000 Ｐ 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408
于是 Ｅ(Ｙ)=1500×0.0952+2000×0.0861 +2500×0.0779+3000×0.7408 =2732.15（元）。
( 2) P(130 X 140) F (140) F (130) 140 135 130 135 ( ) ( )
( ) (
5