度量空间的开集与闭集
第一章第三节开集、闭集和博雷尔集
第三节 nR 中的开集、闭集和Borel 集一、nR 的几个基本概念度量空间：设X ≠∅，(,)d x y 是定义在X X ⨯（:d X X R ⨯→）上的一个二元实函数，若(,)d x y 满足：（1）非负性：对任意,x y X ∈，(,)0d x y ≥，且(,)0d x y x y =⇔=； （2）对称性：对任意,x y X ∈，(,)(,)d x y d y x =；（3）三角不等式：对任意,,x y z X ∈，(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+， 则称(,)d x y 为,x y 之间的距离或度量，(),X d 称为距离（度量）空间．特别，取n X R =，(,)d x y =()()1212,,,,,,,n n x x x x y y y y ==，则(),X d 称为n 维欧式空间，仍记为nR ．注：实变函数涉及的函数主要是nR 的点集上的实函数．集合的直径与有界集：设nE R ⊂，(){}diam sup ,,E d x y x y E =∈称为E 的直径；E 有界⇔0diam E ≤<+∞．E 有界的其他描述方法：如球覆盖和方覆盖．开球（球邻域）、闭球和球面：设0n x R ∈，0δ>，()(){}00,,n B x x R d x x δδ=∈<称为以0x 为心的开球（球邻域），简记为()0B x ； ()(){}00,,n B x x R d x x δδ=∈≤称为以0x 为心的闭球，简记为()0B x ； ()(){}00,,n S x x R d x x δδ=∈=称为以0x 为心的球面，简记为()0S x ．n R 中的区间及区间的体积：设i I （1,2,,i n =）为R 上的n 个区间，则121ni n i I I I I =∏=⨯⨯⨯称为n R 上的区间；若iI （1,2,,i n =）都是开区间，则称1n i i I =∏为开区间；若i I （1,2,,i n =）都是闭区间，则称1ni i I =∏为闭区间；若i I （1,2,,i n =）都是同类的半开半闭区间，则称1ni i I =∏为半开半闭区间；设121ni n i I I I I =∏=⨯⨯⨯是nR 上的区间，则121nin i I I I I =∏称为1ni i I =∏的体积．二、开集、闭集的定义及基本性质1、开集的定义与性质：定义：设nG R ⊂，G 是开集是指对任意x G ∈，存在()B x G ⊂；易见，,n R ∅均为开集；()0B x 是开集；nR 上的开区间等都是开集．开集的性质：τ表示nR 中的开集全体，则 （1）,n R τ∅∈；（2）对任意12,G G τ∈，总有12G G τ⋂∈，即τ对集合的有限交运算封闭； （3）对任意G ατ∈，α∈Λ，总有G αατ∈Λ∈，即τ对集合的任意并运算封闭．注：τ是nR 上的一个拓扑--------称为欧式拓扑． 2、闭集的定义与性质：定义：设nF R ⊂，F 是闭集是cF 是开集； 易见，开集和闭集在集合的余运算下是对偶的；,n R ∅均为闭集；()(){}00,cB x x d x x δ=>是闭集；()()(){}{}000,cS x B x x d x x δ=⋃>是闭集指对任意x G ∈，存在()B x G ⊂；闭集的性质：μ表示nR 中的闭集全体，则 （1）,nR μ∅∈；（2）对任意12,F F μ∈，总有12F F μ⋃∈，即μ对集合的有限并运算封闭； （3）对任意F αμ∈，α∈Λ，总有F ααμ∈Λ∈，即μ对集合的任意交运算封闭．注意：一列开集的交不一定是开集；一列闭集的并不一定是闭集；τμ．三、开集、闭集的等价条件1、开集的等价条件1）点关于点集的一种分类关系（点集的内点、外点和边界点） 邻域的推广：设nx R ∈，若G 是开集，且x G ∈，则称G 为x 的一个邻域，\{}G x 为x 的一个去心邻域； 显然，()B x 就是x 的一个邻域，()\{}B x x 是x 的一个去心邻域． 点集的内点、外点和边界点： 设n x R ∈，nE R ⊂，（1）若存在x 的一个邻域G ，使得G E ⊂，则称x 为E 的内点，记0E 为E 的内点全体-------称为E 的内部（或内核或开核），显然0E E ⊂；（2）若存在x 的一个邻域G ，使得G E ⋂=∅，即cG E ⊂，则称x 为E 的外点，显然E 的外点一定不属于E ，其全体就是()c E；（3）若对x 的任意邻域G ，总有G E ⋂≠∅，cG E ⋂≠∅，则称x 为E 的边界点，记E ∂表示E 的边界点全体-----称为E 的边界．点关于点集的内点，外点和边界点关系是一个分类关系注：设nE R ⊂，则()n c R E E E=⋃∂⋃；记0E E E E E =⋃∂=⋃∂-----称为E 的闭包，则()()0c c E E =是闭集．()()0c c E E E∂=⋃是闭集．2）开集的等价条件 定理：设nE R ⊂，则 （1）0E 是开集；（2）E 是开集⇔0E E =．2、闭集的等价条件1）点列收敛设n k x R ∈，1,2,k =，0n x R ∈，若()0lim ,0k k d x x →∞=，则称{}k x 当k →∞时收敛于0x ，记为：0lim k k x x →∞=或0k x x →（k →∞）．注：1）如何用邻域来反映点列收敛？2）点列收敛与坐标收敛有何关系？即，记()()00012012,,,,,,,k kk k n n x x x x x x x x ==，则0k x x →（k →∞）与0k i i x x →（k →∞）1,2,,i n =有何关系？2）点关于点集的另一种分类关系（点集的聚点、孤立点和外点） 设n x R ∈，nE R ⊂，（1）若对x 的任一个邻域G ，总有\{}G x E ⋂≠∅，则称x 为E 的聚点，记E '为E 的聚点全体-------称为E 的导集；（2）若存在x 的一个邻域G ，使得\{}G x E ⋂=∅，若x E ∈，即{}G E x ⋂=，则称x 为E 的孤立点，E 的孤立点全体所成的集称为E 的孤立点集，显然E 的孤立点集⊂E ；若x E ∉，即G E ⋂=∅，即cG E ⊂，则称x 为E 的外点，其全体就是()c E ．点关于点集的聚点，孤立点和外点的关系也是一个分类关系 注：设nE R ⊂，则{}()0nc R E E E '=⋃⋃的孤立点全体，{}E E E E E ''=⋃=⋃的孤立点全体---------闭包的另一种表示．注：10孤立点集是至多可数集20聚点的等价条件：设nx R ∈，nE R ⊂，则下面的说法等价： （1）x 为E 的聚点；（2）对x 的任一球邻域(,)B x δ，总有(,)\{}B x x E δ⋂≠∅； （3）存在E 中一列彼此互异的点列{}k x ，使得k x x →（k →∞）； （4）对x 的任一个邻域G ，总有G E ⋂为无限集． 证明：（1）⇒（2）显然；（2）⇒（3）只要δ取一列适当的趋于0的数列即可把满足要求的彼此互异的点列{}k x 取出来；（3）⇒（4）由极限定义的邻域形式即可； （4）⇒（1）显然． 注意：由等价形式立即可得，x 不是E 的聚点，即x E '∉⇔存在x 的一个邻域G ，使得G E ⋂为有限集． 30导集和闭包保持集合的有限并运算，但保持可数并运算；事实上，设有一列点集{}n E ，则()1212n n E E E E E E ''''⋃⋃⋃=⋃⋃⋃， ()1212n n E E E E E E ⋃⋃⋃=⋃⋃⋃，但11n n n n E E ∞∞=='⎛⎫'⊃ ⎪⎝⎭，11n n n n E E ∞∞==⊃． 证明？3）闭集的等价条件定理：设nE R ⊂，则下面的说法等价： （1）E 为闭集； （2）E E '⊂； （3）E E =；（4）对E 中的任意一列点{}k x ，若k x x →，则x E ∈． 证明 （1）⇒（2）对任意x E '∈，倘若x E ∉，即cx E ∈．因c E 为开集，存在()c B x E ⊂，从而()B x E ⋂=∅，这与x E '∈（x 为E 的聚点矛盾），故x E ∈．（2）⇒（3）显然，事实上，E EE E E E '⊂'=⋃=． （3）⇒（4）事实上，对E 中的点列{}k x ，k x x →，由聚点的等价条件，或者x E ∈或者x E E E '∈⊂=，即必有x E ∈．（4）⇒（1）反证法：倘若E 不是闭集，即cE 不是开集，则存在cx E ∈，使得对x 的任意球邻域(,)B x δ，都有(,)B x E δ⋂≠∅，于是，通过取δ为一列适当的趋于0的数列即可在E 中选取点列{}k x ，使得k x x →，从而x E ∈，这与cx E ∈矛盾，故E 必为闭集．注：利用上述等价条件可更为方便地判断一些集是闭集，例如，E '是闭集（因为易得()E E '''⊂）；E 为有限点集，则E 为闭集（因为易得E E '=∅⊂）；同理nE R ⊂整点集，则E 为闭集．四、聚点原理、Borel 有限覆盖定理和林德洛夫（Lindelof ）至多可数覆盖定理聚点原理和有限覆盖定理是nR 中的两个基本定理，是nR 完备性的两种表现形式： 聚点原理：若nE R ⊂是有界无限点集，则E 至少有一个聚点（即E '≠∅）； 致密性定理：若{}k x 是nR 中的有界无限点列，则{}k x 至少有一个收敛子列{}i k x ；Borel 有限覆盖定理：若nE R ⊂是有界闭集，ℑ为E 的一个开覆盖，则存在ℑ中的有限个开集，记为12,,,m G G G ，使得12m E G G G ⊂⋃⋃⋃．问题：若nE R ⊂不是有界闭集，则是否存在ℑ中的一列开集，记为12,,,,k G G G ，使得1k k E G ∞=⊂？林德洛夫（Lindelof ）至多可数覆盖定理：若nE R ⊂，ℑ为E 的一个开覆盖，则存在ℑ中的一列开集，记为12,,,,k G G G ，使得1k k E G ∞=⊂．证明 对任意x E ∈，由ℑ为E 的一个开覆盖可得，存在开集x G ∈ℑ，使得x x G ∈．由有理点的稠密性，存在有理点x x q G ∈和有理正数x r ，使得(,)x x x x B q r G ∈⊂，显然{}(,)x x B q r x E ∈是至多可数集，且仍覆盖E ，记{}{}11(,)(,),,(,),k k xx x x x x B q r x E B q r B q r ∈=，则相应的开集12,,,,k x x x G G G 也覆盖E ．注：试用林德洛夫至多可数覆盖定理证明：nR 任一个非空开集G 总可表示成至多可数个开区间的并集．五、几类与开集、闭集相关的集1、自密集和完全集 设nE R ⊂，自密集：若E E '⊂，则称E 是自密集（特点：E 没有孤立点）． 例如，∅，n Q ，()cn Q（无理点集），nR ，开区间，闭区间，半开半闭区间，非空开集都是自密集．完全集：若E E '⊂且E E '⊂，即E E '=，则称E 是自密集（特点：E 没有孤立点的闭集）． 例如，∅，nR ，闭区间都是完全集．思考：（1）非空有限点集一定不是自密集，更不是完全集； （2）有限个完全集的并仍是完全集； （3）一列完全集的并不一定是完全集； （4）完全集的交集不一定是完全集．记住一个结论：设E ≠∅是完全集，则E c =． 2、稠密集和疏朗集 设nE R ⊂，稠密集：若n E R =（即对任意n x R ∈以及x 的任意邻域G ，总有G E ⋂≠∅），则称E 在nR 中稠密，或E 是nR 中的稠密集．显然，E 是稠密集⇔对任意非空开集G ，G E ⋂≠∅（今后判断稠密集的常用方法）．易见，nQ ，()cnQ （无理点集）均为n R 中的稠密集．疏朗集：若对任意的非空开集G ，总存在G 的非空开子集V G ⊂，使得V E ⋂=∅（即c V E ⊂），则称E 为疏朗集．易见，∅，有限点集，整点集都是疏朗集；疏朗集一定没有内点，但无内点的集并不一定是疏朗集．稠密集与疏朗集： 设nE R ⊂，（1）若E 为疏朗集，则cE 为稠密集，但反之不成立；证明 对任意非空开集G ，由E 为疏朗集可得，存在非空开子集V G ⊂，使得cV E ⊂，从而c V E G ⊂⋂，故c E G ⋂≠∅，即cE 为稠密集．反之，取n E Q =即可． （2）若E 为稠密开集，则cE 为疏朗闭集； 证明 显然，cE 为闭集，下证c E 为疏朗集．事实上，对任意非空开集G ，取V G E =⋂≠∅，显然V 为开集，cV E ⋂=∅，故c E 为疏朗集．综合（1）（2）得，（3）E 为稠密开集⇔cE 为疏朗闭集．3、三分Cantor 集三分Cantor 集构造图如图示，我们将[]01，中永远去不掉的点所成的集称为三分Cantor 集，记为P ． 注：10P 的两种表示方法：[]12n=111P 0,1\(())n n n k n k F I -∞∞====；20 P 是闭集，完全集； 30 P 是疏朗集； 40 P c =； 50 mP 0=； 60nk=1P ∏称为nR中的Cantor 集，nk=1P c =∏．思考：（1）如何解释疏朗集不一定是至多可数集？（2）如何解释在[]01，去掉一个不可数集，不一定改变其长度？4、F σ型集、G δ型集和Borel 集1）F σ型集：若nE R ⊂能表示成可数个闭集的并，则称E 是F σ型集；G δ型集：若n E R ⊂能表示成可数个开集的交，则称E 是G δ型集．注：10 开集是G δ型集，闭集是F σ型集；20 问题：开集是F σ型集，闭集是G δ型集？可见，F σ型集和G δ型集都是比开集、闭集更广的两类集；30 至多可数个F σ型集的并仍为F σ型集，至多可数个G δ型集的交仍为G δ型集；40 F σ型集与G δ型集在余运算下相互转化；从而，nR 中至多可数集一定F σ型集，至多可数集的余集一定是G δ型集；50 问题：有理数集Q 是否G δ型集？无理数集c W Q =是否F σ型集？2）Borel 集记τ表示开集全体，则由τ生成的σ代数()στℜ称为Borel 体，其中的元素称为Borel 集． Borel 集一定是从开集出发经过至多可数次并、交、差、余运算得到的（Borel 集的结构）． 易见，开集，闭集，F σ型集和G δ型集都是Borel 集．六、开集的结构开集的结构定理：（1）R 上的任一个非空开集总可表示称至多可数个互不相交的开区间的并；（2）nR （2n ≥）上的任一个非空开集总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间的并．注：10（1）中构成R 中非空开集G 的互不相交的每个开区间(),αβ满足：(),G αβ⊂，且,G G αβ∉∉，它们都称为G 的构成区间．20 开集的结构定理的更一般的说法：（1）R 上的任一个开集或为∅，或总可表示称至多可数个互不相交的开区间的并；（2）nR （2n ≥）上的任一个开集或为∅，总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间的并．七、点与集合间的距离，集合与集合间的距离1、点与集合间的距离，集合与集合间的距离的定义设nx R ∈，nE R ⊂，记(){},inf (,)inf (,)y Ed x E d x y y E d x y ∈∈=称为x 与E 间的距离；设12,n E E R ⊂，记(){}121212,,inf (,),inf(,)x E y E d E E d x y x E y E d x y ∈∈∈∈=称为1E 和2E 间的距离．注：由定义可得10 (){}{}122112,i n f (,)i n f(,)d E E d x E x E d y E y E=∈=∈； 事实上，对任意1x E ∈，2y E ∈，由定义，()()12,,d E E d x y ≤，()()2,,d x E d x y ≤对第一个不等式两边先对2y E ∈取下确界得，()()122,,d E E d x E ≤；再对1x E ∈取下确界得，(){}1221,inf (,)d E E d x E x E ≤∈．对第二个不等式两边同时对1x E ∈，2y E ∈取下确界得，{}()2112inf (,),d x E x E d E E ∈≤．综上所述，即得结论．20 若x E ∈，则(),0d x E =，反之不一定成立，如取0x =，(0,1)E =即可； 30 x E ∈⇔(),0d x E =；事实上，x E ∈⇔存在E 中的一列点{}k x ，使得k x x →，即(),0k d x x →⇔(),0d x E =．40 特别，若E 为闭集，则x E ∈⇔(),0d x E =；50 若12E E ⋂≠∅，则()12,0d E E =，反之不一定成立，如取1(0,1)E =，2(1,2)E =即可．引理（(),d x E 在nR 上的连续性）：设nE R ⊂，记()(),f x d x E =（nx R ∈），则()f x 在n R 上一致连续．事实上，对任意,nx y R ∈，z E ∈，由()()(),,,d x z d x y d y z ≤+，()()(),,,d y z d x y d x z ≤+对z E ∈取下确界可得()()(),f x f y d x y -≤，()()(),f y f x d x y -≤，即()()(),f x f y d x y -≤．2、距离可达到的条件（1）点到集合间的距离可达到的条件：设0n x R ∈，nE R ⊂为非空闭集，则存在0y E ∈，使得()()000,,d x y d x E =． （2）集合间的距离可达到的条件：设,nE F R ⊂均为非空闭集，且至少有一个有界，则存在0x E ∈，0y F ∈，使得 ()(),,d x y d E F =．思考：如何利用（1）和连续函数的最值性来证明？注：（2）中,n E F R ⊂都无界，结论不一定成立．3、闭集的分离性分离性定理：设,n E F R ⊂均为非空闭集，若E F ⋂=∅，则存在两个开集12,G G ，使得，1E G ⊂，2F G ⊂，且12G G ⋂=∅．4、闭集一定是G δ型集，开集一定是F σ型集先证一个结论：设n E R ⊂，0δ>，则{}()(,),n x R d x E U E δδ∈<为开集，且(),E U E δ⊂．再证结论：设n E R ⊂为闭集，取1n δ=（1,2,n =），则1,U E n ⎛⎫ ⎪⎝⎭为一列包含E 的开集，下证：11,n E U E n ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭．易见，11,n E U E n ∞=⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭，反之，对任意11,n x U E n ∞=⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有，1,x U E n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而()1,0d x E n <→，所以(),0d x E =，注意到E 是闭集得，x E ∈，所以，11,n E U E n ∞=⎛⎫⊃ ⎪⎝⎭，故11,n E U E n ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
紧度量空间定义
紧度量空间定义
紧度量空间是一种重要的数学结构，它在数学分析、拓扑学、几何学等方面都具有广泛的应用。
一个紧度量空间是指一个度量空间中，任意开覆盖都有有限子覆盖的空间。
换句话说，如果一个紧度量空间被无限个开集覆盖，那么一定存在有限个开集，它们也能覆盖这个紧度量空间。
紧度量空间的定义是基于开覆盖的概念，因此我们需要先了解开集和开覆盖的概念。
在一个度量空间中，如果一个集合包含它内部的所有点，那么它就是一个开集。
一个开覆盖是指一个集合族，它的所有元素都是开集，且它们的并集覆盖了整个度量空间。
紧度量空间的定义有许多等价的表述方式，例如，可以用收敛子序列的概念来定义紧度量空间，即任何序列在紧度量空间中都有一个收敛的子序列。
还可以用闭集和有限交的概念来定义紧度量空间，即任意闭集的有限交也是闭集。
紧度量空间的性质非常重要，它们可以用来证明许多基本的数学定理，例如，最小值定理、连通性定理、紧致性定理等。
此外，紧度量空间还与测度论、函数分析、微积分学等领域密切相关。
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度量空间——精选推荐
设E 是集合，若映射:[0,)d E E R +×=+∞ 满足下述性质： M1：(,)0d x y x y =⇔= M2：(,)(,)d x y d y x = M3：(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+则称映射d 是E 上的度量(metric)，(,)d x y 称为点x ,y 间的距离(distance)，(,)E d 称为度量空间(Metric space)[例1] 在实线R 上，映射(,)||x y x y →−是通常的度量 [例2] 设G 是一个（加法）交换群，映射:p G R + 满足：()00;()();()()()p x x p x p x p x y p x p y =⇔=−=+≤+则映射(,)()d x y p x y =−是G 上的度量 比如，12{(,,...,):}n n i R x x x x x R ==∈，1/1()(||),1nq q i i p x x q ==≥∑满足上述三个性质，因此1/1(,)()(||),1nq q i i i d x y p x y x y q ==−=−≥∑是n R 上的度量。
[例3] 离散度量：E 是一任意集合，(,)0;(,)1d x y if x y d x y if x y ===≠[距离空间的积]设{(,):1,2,...,}i i E d i n =是一簇度量空间，令积空间112(...)n i i n E E E E E ==×=×××，则（1）1/1(,)(,),1qnqq i i i i d x y d x y q =⎛⎞=≥⎜⎟⎝⎠∑（2）(,)sup (,)i i i i d x y d x y ∞= 均为积空间E 上的度量 [度量的等价性]设,d d ′是集合E 上的两个度量，如果存在常数12,0c c >使得1212(,)(,)(,),(,)()c d x y d x y c d x y x y E Ec d d c d ′≤≤∀∈×′≤≤则称,d d ′是等价的，记作d d ′∼[例4] 在积空间1n i i E E ==×中，不难验证：1/,1q q d d n d q ∞∞≤≤≥因此，{:[1,]}q d q ∈∞是E 上的一簇等价度量。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结泛函分析知识总结与举例、应⽤学习泛函分析主要学习了五⼤主要内容：⼀、度量空间和赋范线性空间；⼆、有界线性算⼦和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算⼦的谱。
本⽂主要对前⾯两⼤内容进⾏总结、举例、应⽤。
⼀、度量空间和赋范线性空间（⼀）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧⽒空间n R （有限维空间）的推⼴，所以学好它有助于后⾯知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是⼀个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯⼀确定的实数d(x,y)与之对应，⽽且这⼀对应关系满⾜下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （⾮负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常⽤的⽅法）注意:⑴定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满⾜1°、2°、3°都称为度量。
这⾥“度量”这个名称已由现实⽣活中的意义引申到⼀般情况，它⽤来描述X 中两个事物接近的程度，⽽条件1°、2°、3°被认为是作为⼀个度量所必须满⾜的最本质的性质。
⑵度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同⼀个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶集合X 不⼀定是数集，也不⼀定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，⽽称“度量空间X ” 。
集合的开集与闭集的判定方法
集合的开集与闭集的判定方法在数学中，集合的开集和闭集是重要的概念，它们在拓扑学、实分析等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍集合的开集与闭集的判定方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、开集的定义与性质首先，我们来看开集的定义。
给定一个集合X，如果对于X中的任意点x，存在一个正数r，使得以x为中心、半径为r的开球（开区间）完全包含于X中，则称X是一个开集。
开集具有以下性质：1. 空集和全集都是开集；2. 任意两个开集的交集仍然是开集；3. 有限个开集的并集仍然是开集。
开集的判定方法有以下几种：1. 利用开球的定义：对于给定集合X和其中的点x，可以通过寻找一个半径足够小的开球来判断X是否为开集。
2. 利用拓扑基的性质：如果X是拓扑空间的一个子集，可以利用该拓扑空间的拓扑基来判定X是否为开集。
二、闭集的定义与性质接下来我们来看闭集的定义。
给定一个集合X，如果X的补集是一个开集，则称X是一个闭集。
闭集具有以下性质：1. 空集和全集都是闭集；2. 任意两个闭集的并集仍然是闭集；3. 有限个闭集的交集仍然是闭集。
闭集的判定方法有以下几种：1. 利用闭集的补集：对于给定集合X，可以通过判断X的补集是否是开集来判断X是否为闭集。
2. 利用收敛点的性质：如果X是某个拓扑空间中的一个子集，可以通过判断X中所有序列的极限点是否都在X中来判断X是否为闭集。
三、开集与闭集的关系在拓扑空间中，开集和闭集是紧密相关的。
事实上，一个集合既可以是开集也可以是闭集，也可以既不是开集也不是闭集。
1. 一个集合既是开集又是闭集的条件是：这个集合既包含自己的所有极限点，同时也不包含其他集合的极限点。
这样的集合称为孤立点集。
2. 一个集合既不是开集也不是闭集的条件是：这个集合中包含了自己的极限点，但又有一些不是极限点的点。
这样的集合称为边缘点集。
总之，在数学中，开集与闭集是集合论中的重要概念，对于理解和研究集合的性质和结构有着重要的意义。
拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域
拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划第一章拓扑空间和拓扑不变量数学分析中连续函数的定义和和域是欧几里德空间(直线、平面或空间)或其一部分。
本章将首先抽象连续函数的定义域和值域的主要特征来定义度量空间，然后抽象连续函数的主要特征来定义度量空间的连续映射。
然后将两者再次抽象，给出了拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。
然后是拓扑空间的一些基本问题，如邻域、开集、闭集、闭包、聚集点、导集、内部、边界、序列、极限等。
都是一步步提出来的。
此外，还介绍了重要的拓扑不变性，如紧性、连通性、可数性和可分性1.1拓扑空间，开集，闭集，聚集点，闭包，邻域一、问题介绍在数学分析中，我们知道在连续函数的定义中只涉及距离的概念。
该域是一维欧几里德空间，即实空间。
距离d(x，y)=|x-y|，即两个实数之差的绝对值。
该域是n维欧几里德空间。
两点x=(x1，x2，？，xn)，Y=(y1，y2，？，yn) d(x，y)= 1(x1？y1)2？…+(xn？yn)2 .无论它是多维空间，它的距离都有以下属性:1.d(x，y)≥0，？x，y∈R；2.d(x，y) = 0？x = y。
3.d(x，y) = d(y，x)？x，y∈R；4.d(x，z) ≤ d(x，y) + d(y，z)，？x，y，z∈R；这些属性反映了距离的特征。
通过将R推广到一般集合，我们可以从距离中抽象出度量和度量空间的定义。
Nnnn (1)度量空间1.定义定义1设X是一个集合，ρ: x x x → r，如果对于任何X，y，z∈X，有①(正定性)ρ(x，y)≥0且ρ (x，y) = 0？x = y。
(2)(对称性)ρ (x，y) = ρ (y，x)；(3)(三角形不等式)ρ (x，z) ≤ρ (x，y)+ρ (y，z)在集合x中称为ρ a测度。
1吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划如果ρ是集合x中的度量，那么偶对(x，ρ)是度量空间，或者直径x 是度量空间。
2.1 度量空间
证明：由于 ∅ 不含任何点，故不含非内点的点，因此 ∅ 是开集。显然，X 是 X 中每一
点的邻域，故 X ∈ T ，这就证明了 (T1)。现证明 (T2)。设 Fλ (λ ∈ I) 是 X 中的任意一族开
集，令 A
=
∪ Aλ，对于 ∀x
λ∈I
∈
A, ∃λ0
∈
I，使得 x
∈
Aλ0 ，由 于 Aλ0
是X
1
CONTENTS
2
X 称为空间 (X, d) 的基集 (underlying set)，X 的元素 x 称为空间 (X, d) 的点。给定 x, y ∈ X，称 d (x, y) 为 x, y 之间的距离。(M1) 至 (M3) 称为度量公理。“三角不等式”的名称源 于初等几何的启示，如图 2 所示。
1 p
+
1 q
= 1,
∑∞
n=1
|xn|p
< +∞,
∑∞
n=1
|yn
|q
< +∞，则例１
－１０空间 lp (1 ≤ p < ∞) 空间
∑ ∞
( ∑ ∞
)1/p
( ∑ ∞
)1/q
|xnyn| ≤
|xn|p
|yn|q
n=1
n=1
n=1
Proof. 令 u = tp−1，则 t = uq−1，对任意正数 α, β，由于 αβ 是图 4 中长方形的面积，因此
0.1 度量空间
在微积分中，我们探讨了定义在实直线 R 上的函数。回顾一下便知，在求极限时，我们利 用了 R 上的距离函数 d，即对 R 上的任意两点 x, y，它们之间的距离定义为 d (x, y) = |x − y|， 如图 1 所示。在平面和三维空间中，情况也相似。
3.度量空间
lim
n
xnx, 或x n来自x(n)21
定理3.1 设 {xn}是度量空间{V，d}中收敛于x序 列，则
（1）{xn}是有界的；
（2）{xn}的极限是唯一的。
证明: (1)已知
lim
n
x
n
x.
取=1，则存在自然
数N，当n>N时有
(xn,x)<1 令M=1+max{(x1,x),,(xN,x),1},则对一 切n∈N,有 (xn , xm) (xn , x) (xm, x) 2M
Br (x) {y V | (x, y) r}是闭集.
实际上，y Br (x),(x, y) r.令r0 r (x, y) 0,
z Br0 (y),由于(z, x) (z, y) (y, x) r0 (x, y) r,
故z Br (x),因此, Br0 (y) Br (x)
U(a,)U(x,).U(a,)中必包含有异于x的中之点.
从而,U(x,)必包含有异于x的A中之点.
29
因此,x是A的极限点, 即x A.所以,( A) A.
(2)x A B.当x A B时,显然x A B;
当x(AB)′时,则x不是A的极限点, 就是B的极限点. 若不对,即x既不是A的极限点,也不是B的极限点, 于是,有x的邻域U(x,),它不包含A的点, 又有x的邻域U(x,)U(x,), 它既不包含A的点,也不包含B的点, 这与x是AB的极限点矛盾.
‖x‖= (x, x)
x, y∈V两点间的距离定义为
d(x,y)=‖x-y‖= (x y, x y)
可以证明：d满足度量三公理，从而
{V,d}是度量空间。
6
首先证明:x,yV,有Cauchy不等式
度量空间中开集与闭集的某些结果
∗[收稿日期]2012-02-26∗∗[作者简介]莫海平(1954—),男,黑龙江望奎人,绥化学院数学与信息科学学院教授,从事基础数学教学与研究。
∗∗∗[基金项目]黑龙江省教育厅科学技术研究项目资助(项目编号:11551560)。
摘要:文章在度量空间框架内讨论了开集与闭集的某些性质,得出几个值得注意的结果,并给出比较详尽的证明。
关键词:开集;闭集;度量空间中图分类号:O174.1文献标识码:A文章编号:2095-0438(2012)06-0186-02(绥化学院黑龙江绥化152061)莫海平度量空间中开集与闭集的某些结果度量空间中的开集与闭集都是很重要的集合类,在数学的诸多领域中都能广泛地涉及到,开集与闭集所具有的性质在数学的理论研究和实际应用中也起到特别的作用,虽然开集和闭集是度量空间中的基本概念,在一般的实变函数和泛函分析教科书中都有讨论[1-2]。
然而,开集与闭集的许多特殊性质是值得深入挖掘和研究的。
定义1设X ≠,X 2={(a,b )|a,b ∈X}称:d (·,·):X 2→(0,∞)为一个X 上的距离,如果(1)d (·,·)≥0;(2)d (a,b )=0⇔a=b,对任意的a,b ∈X ;(3)d (a,b )=d (b,a );(4)d (a,c )⩽d (a,b )+d (b,c ),对任意的a ,b ,c ∈X 。
若在X 上定义有一距离d=d (·,·),则称(X,d )是一个度量空间或距离空间。
定义2设(X,d )是度量空间,称G ⊂X 是开集,如果对任意的x 0∈G ,存在ε>0,使得{x|x ∈X,d (x,x 0)<ε}⊂G 。
规定空集是开集。
定义3设(X,d )是度量空间,称F ⊂X 是闭集,如果F C=X\F 是开集。
命题1全空间X 是开集。
证明对任意的x 0∈X ,存在ε=1,使得{x|x ∈X,d (x,x 0)<1}⊂X所以X 是开集。
《开集与闭集》课件
在实变函数中，开集和闭集的概念也可以用于定义函数的微分和 导数。例如，函数在某个点的导数可以定义为函数在这一点附近
的所有开集上的平均变化率。
在拓扑学中的应用
01
拓扑空间的定义
拓扑学是研究空间结构的学科，开集和闭集是定义拓扑空间的基本概念
之一。一个拓扑空间是由一些开集和闭集构成的集合，这些集合具有一
习题三：证明一个开集或闭集的性质
总结词
深入理解开集与闭集的性质是解题前提
详细描述
要证明一个开集或闭集的性质，首先需要了 解它们的基本性质，如开集的并集仍为开集 ，闭集的交集仍为闭集等。然后，利用这些 性质进行逻辑推导，证明所需证明的性质。 在证明过程中，需要注意逻辑的严密性和推 理的准确性，确保结论的正确性。
些特定的性质。
02
分离公理
在拓扑学中，分离公理是用来描述空间中点与点之间关系的条件。其中
，T1分离公理指出，每一个点都是其包含的开集的唯一聚点，即一个点
如果是闭集的聚点，那么它也一定是开集的聚点。
03
紧致性
紧致性是拓扑学中的一个重要概念，它涉及到空间的某些性质。例如，
一个紧致空间中的任意开覆盖都存在有限子覆盖。这个性质可以通过开
开集与闭集的补集
总结词
开集与闭集的补集是除去开集和闭集 共同部分的集合。
详细描述
设A是开集，B是闭集，则A与B的补集 A'∪B'是一个除去A与B交集部分的集 合。这个集合包含所有不属于A或不属 于B的元素。这些元素不满足A和B的 定义域和值域的条件。
04
开集与闭集的应用
在数学分析中的应用
极限的定义
开集和闭集在积分理论中也有重要应用，如判断一个函数是否可积，以及计算定积分等 。
度量空间中的紧集一定是闭集证明
度量空间中的紧集一定是闭集证明示例文章篇一：哎呀，这题目可真难呀！对于我这个小学生来说，度量空间中的紧集一定是闭集，简直像个神秘的大谜团。
老师在课堂上讲的时候，我瞪大眼睛，努力想要搞懂。
啥是度量空间？啥又是紧集和闭集？我感觉自己就像在一片迷雾中摸索。
比如说，我们平常的教室就是一个空间，可度量空间就像是一个超级精确的、有特殊规则的空间。
那紧集呢，就好像是一群紧紧抱在一起的小伙伴，谁也跑不掉。
闭集呢，就像是一个有围墙的院子，里面的出不去，外面的进不来。
我们来想想，如果在这个神秘的度量空间里，有一个紧集。
它里面的元素就像排好队的小士兵，整整齐齐，一个也不乱跑。
那这不就意味着它有一定的秩序和规律吗？假如有个调皮的元素想要从紧集中跑出去，哎呀，不行呀！因为紧集的性质决定了它跑不出去，就像被关在笼子里的小鸟，怎么扑腾也飞不出去。
再想想，如果这个紧集不是闭集，那不就奇怪了吗？就好像说有个院子，明明说好了不让外面的人随便进来，结果围墙有个大口子，谁都能随便进出，那还能叫管理得好吗？所以说呀，度量空间中的紧集一定得是闭集，要不然整个空间的秩序不就乱套啦？我觉得呀，数学的世界真奇妙，虽然有时候很难懂，但只要我们努力去探索，一定能发现其中的奥秘！示例文章篇二：哎呀呀，这题目也太难懂啦！什么度量空间，什么紧集闭集的，对于我这个小学生来说，简直像在听外星人讲话！不过，既然要写，那我就努力试试吧！咱们先来说说啥是度量空间。
这就好比一个大操场，里面有各种各样的点，这些点之间有一定的距离规则，这就是度量空间啦。
那紧集又是啥呢？嗯，就好像一群小伙伴手拉手围成一个特别紧凑的圈，谁也跑不掉，这就是紧集啦。
闭集呢？闭集就像是一个有围墙的院子，院子里的东西出不去，院子外的东西也进不来。
那为啥说度量空间中的紧集一定是闭集呢？咱们来好好想想。
假设在这个度量空间里有一个紧集，就把它当成一群紧紧靠在一起的小伙伴。
如果它不是闭集，那不就相当于这个圈子有个缺口，有些小伙伴可能就会跑出去啦，这还能叫紧集吗？再打个比方，紧集就像一个装满水的密封瓶子，一滴水都漏不出去。
度量空间(距离空间)
《度量空间》读书笔记金融数学10本 黄小听 17号关键词：度量空间 距离 连续映射 可分性 列紧性 完备性 完备化在数学分析中，当实数集R 中点列}{n x 的极限为x 时，用||x x n -来表示n x 与x 的接近程度。
实际上，|x x |n -可表示为数轴上n x 与x 这两点间的距离。
那么R 中点列}{n x 收敛于x 也就是指n x 与x 之间的距离随着∞→n 而趋于0，即0),(lim =∞→x x d n n 。
于是设想在一般的点集X 中如果也有“距离”，则在点集X 中也可借这一距离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？一 度量空间的定义定义1.1 设X 是一个非空集合，若存在映射R X X d →⨯:，使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：(1)0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当y x =（非负性）；(2)),(),(x y d y x d =（对称性）；(3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤（三角不等式），则称d 为X 上的一个度量函数（或距离函数），),(d X 为度量空间（或距离空间），简记为X 。
注：若X 为度量空间，Y 是X 的一个非空子集，则Y 也是一个度量空间，称Y 为X 的子空间。
例1-1 n 维欧氏空间n R 。
解析：n 维欧氏空间n R ，n R 表示n 维向量),,,(21n x x x x ⋯=。
对于n R 中任意两点),,,(x 21n x x x ⋯=，)y ,,,y (y 21n y ⋯=，定义： 21]||[),(12∑=-=n i i i y x y x d 易证）y x d ,(满足距离的条件，且其中的三角不等式为：≤-∑=21]||[12n i i i z x 21]||[12∑=-n i i i y x +21]||[12∑=-n i i i z y 因此，),(d R n 是度量空间，其中d 称为欧几里得距离。
第二章__点集论
2 3
A B A B, A B, A B
( A B) A B
定理 4 （Bolzano-Weierstrass定理）任意有界无穷点集 至少有一个聚点。
空集没有聚点也没有孤立点。
1 1 E 1, ,..., ,... n 2
下证(ax , bx )是G的构成区间, 且x (ax , bx ). x (ax , bx )显然. 下证(a).(ax , bx ) G. y (ax , bx ),因为(ax , bx )是开集，所以存在 y , 使得
知， y , y y ) G，所以y G (y
E 0,1
例题 1
设 A R1 为非空集合，求证：
（1）若A是孤立点集，则 A a （孤立点集必为有限集或可数集） （2）A \ A a （3）若 A a ，则 A a
§3 开集，闭集，完备集
1、开集
E为开集的充要条件是 E E ，即 E E E为一集合，则 E 为开集
疏朗集：空间任意邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含
E的点，则称E为疏朗集合或无处稠密集合，即 E 没有内点。
我们知道，直线上的开区间是开集，任意多个 开区间的并集是开集；那么反过来，直线上的开集 是否总可以表示成任意多个开区间的并集？下节将
研究这一问题.
§4 直线上的开集、闭集及完备 集的构造
x A ' B ' ,于是 x A ', x B ' ,因而有邻域U ( x, 1 ) 不含 A
中异于 x 的点,同时有邻域U ( x, 2 ) 不含 B 中异于 x 的点． 令 min 1 , 2 ， 则邻域 U ( x, ) 不含 A B 中异于 x 的 点． 这表明 x 不是 A B 的聚点， 此与假设矛盾， 因此 x E ， 即 ( A B) ' A ' B ' ．
度量空间中自列紧集、紧集、连通集与连续映射
开集与连续映射1.定义在度量空间的开子集上的函数,连续⇔开集的逆象是开集。
证明：设X 、Y 是度量空间，A 是X 的开子集，设有映射:f A Y →。
(1)充分性:设映射:f A Y →连续，需证开集的逆象是开集。
设S 是Y 的任一开子集，并设S 的逆象是()1R f S -=。
任取x R ∈，那么()f x S ∈。
因为A 是开集，所以存在正数x σ使得(),x U x A σ⊆。
因为S 是开集，所以存在正数x ε使得()(),x U f x S ε⊆。
因为:f A Y →是连续映射，故存在正数x τ使得()()()(),,x x f U x A U f x S τε⋂⊆⊆。
设{}min ,x x x δστ=,那么()(),,x x U x U x A δσ⊆⊆且()(),,x x U x U x δτ⊆，所以()()()()()()()(),,,,x x x x f U x f U x A f U x A U f x S δδτε=⋂⊆⋂⊆⊆，那么(),x U x R δ⊆。
所以S 的逆象()1R f S -=是开集。
(2)必要性:设开集的逆象是开集，需证映射:f A Y →连续。
任取x A ∈。
任取正数x ε，设()(),x S U f x ε=，显然S 是Y 的开子集。
设S 的逆象是()1R f S -=，那么R 是开集，所以存在正数x δ使得(),x U x R δ⊆ 。
因为()1R f S -= ，所以 ()()(),x f R S U f x ε⊆= 。
又因为(),x U x R δ⊆，所以()()()()(),,x x f U x f R S U f x δε⊆⊆= 。
所以映射:f A Y →连续。
自列紧集(列紧闭集)与连续映射1.度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。
证明:设X Y 、是度量空间，A 是X 的自列紧子集。
设:f A Y →是连续映射,象集为()B f X Y =⊆。
实变函数 (4)
第三节 开集,闭集,完备集
1. 开集、闭集 若Eº= E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 E E ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）
P0为 E的接触点： 0, 有O( p0 , ) E P0为 E的聚点： 0, 有O( p0 , ) (E { p0}) P0为 E的内点： 0, 使得O( p0 , ) E
则{Ui : i I}中存在可数个开集U1 ，U2， … ,Un ，… ，它同样覆盖F
提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径 的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理 点全体在Rn中稠密
7 自密集和完备集的定义
自密集：设 E Rn ，如果 E E' ，则称E
为自密集，也即集合中每点都是这个集 合的聚点，或没有孤立点的集合为自密 集。
bx
从而[a,b]是闭集。
说明： 要证E是闭集，只要证
E ' E或Ec (E' )c 或E E或Ec (E)c (因为E E显然)
注：闭集为对极限运算封闭的点集
即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点
若 E E （或 E' E）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外）
从而{yni
}的子列{ yni j
}，使lim j
yni j
y
又B为闭集，故y∈B,
另外对
d
(
A,
B)
d
(
xni j
,
yni
j
)
d
(
A,
B)
1 ni j
两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)
度量空间的开集与闭集
开集和闭集的关系： 1.开集的余集是闭集。 证明： 设 X 是度量空间， A 是 X 的开子集, B X \ A 。 (1)若 B 没有聚点，那么 B 是闭集。 (2)若 B 有聚点，任取 B 的一个聚点 x ，那么 x 的任意邻域含 B 中的点，所 以 x 的任意邻域都不包含于 A 。又因为 A 是开集，所以 x A,所以 x B 。 综上， B 是闭集。所以开集的余集是闭集。
2.闭集的余集பைடு நூலகம்开集。 证明： 设 X 是度量空间， B 是 X 的闭子集, A X \ B 。 设 x A，那么 x B ，所以 x 不是 B 的极限点(若是，则 x B )。所以存在
x 的邻域U x, 不包含 B 中的点，即U x, A。
所以 A 是开集。所以闭集的余集是开集。
开集和闭集的交与并： 1.开集的并是开的。 2.闭集的交是闭的。 3.有限个开集的交是开的。 4.有限个闭集的并是闭的。
第二章 ,第二节 开集与闭集
说明：要证E是开集，只要证 E E (因为E E显然)
例：闭区间[a,b]为闭集 例：闭区间[a,b]为闭集 证明：任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|},
O( x ,δ ) [ a , b ]c , 则
从而x不是[a,b]的接触点， 从而[a,b]的接触点都在[a,b]内， 从而[a,b]是闭集。
只要证?xoeox????0?使得?ex?任取任取由内点的定义知由内点的定义知?xoy?yxd????任取任取取取ee为闭集为闭集??????0xeox??有?xoxoxox?0xmindxxedxxo???????????????知有当时有x?xoex?e?xoxxe???取由ee?ex?证明
第二章 n 维空间中的 维空间中的点集
第二节 开集与闭集
⒋开集、闭集 若E = E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 E = E ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）
P0为 E的接触点： δ > 0, 有O( p0 ,δ ) ∩ E ≠ Φ P 为 E的聚点： δ > 0, 有O( p0 ,δ ) ∩ ( E { p0 }) ≠ Φ
设F为有界闭集，若开集簇 {U i : i ∈ I } 覆盖F（ 即 F ∪ U i ），
i∈I
则{U i : i ∈ I } 中存在有限个开集U1 ，U2， … ,Un，它同样覆盖F
注：比较下面几种不同的证法
1. 2. 3. 4. 周民强，实变函数 p-36 尤承业，基础拓扑学 p-52 熊金城，点集拓扑讲义 p-202 教材 p-42
O( x ,δ ) ∩ E c = Φ
闭集的余集是开集
证明：设E为闭集，即 E = E 任取 x ∈ E c ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内， 这与 x ∈ E c 矛盾， 所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。
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开集和闭集的关系： 1.开集的余集是闭集。 证明： 设 X 是度量空间， A 是 X 的开子集, B X \ A 。 (1)若 B 没有聚点，那么 B 是闭集。 (2)若 B 有聚点，任取 B 的一个聚点 x ，那么 x 的任意邻域含 B 中的点，所 以 x 的任意邻域都不包含于 A 。又因为 A 是开集，所以 x A,所以 x B 。 综上， B 是闭集。所以开集的余集是闭集。
开集和闭集的交与并： 1.开集的并是开的。 2.闭集的交是闭的。 3.有限个开集的交是开的。 4.有限个闭集的并是闭的。
2.闭集的余集是开集。 证明： 设 X 是度量空间， B 是 X 的闭子集, A X \ B 。 设 x A，那么 x B ，所以 x 不是 B 的极限点(若是，则 x B )。所以存在
x 的邻域U x, 不包含 B 中的点，即U x, A。所以源自A 是开集。所以闭集的余集是开集。