组合数学漫谈
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232–1713 317–3583 565–6588
Ramsey数的计算
Kirkman三元系
Kirkman三元系：把v个女学生分成v/3组，使
得在每(v－1)/2天内任意两个女生在同一组内 只相遇一次。 Ray-Chaudhuri 和Wilson （1971）： Kirkman三元系存在的充要条件是v=6k+3
相识问题
任何六人中必有三人彼此相识或互不相识。 以点表人，连红线表相识，蓝线表不相识。那么六个点的
组合数学的研究内容
组合数学研究的中心问题是按照一定的规划来安排
一些与物件有关的问题。 1.存在问题——当符合要求的安排并非显然存在或不 存在时，首要的问题是证明或否定它的存在. 2.计算问题或分类问题——当符合要求的安排显然存 在，或者已证明它存在时，求出这类安排的各抒己 见，或者把它分类. 3.构造问题（组合设计）——把满足某种条件的安排 构造出来. 4.优化问题——给出最优标准，找出满足给定条件的 最优安排.
组合数学绪论
组合数学（Combinatorial Mathematics)
也称组合学(Combinatorics)
现代数学根据所研究的对象可分为两类：
连续数学：以微积分为基础，传统主流 离散数学：伴随计算机科学，方兴未艾 1666年Leibniz著《Dissertatio de arte combinatoria》,首次使用了组合一词。
Kirkman女生问题
Kirkman （1806～1895）
1850年：有15个女生，她们 每天要做三人行的散步，要 使每个女生在一周内的每天 做三人行散步时，与其她同 学在组成三人小组同行时， 彼此只有一次相遇在同一小 组，应怎样安排？ 组合设计的起源
Kirkman女生问题的一个解
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat ABC ADH AEM AFI AGL AJN AKO DEF BEK BHN BLO BDJ BIM BFG GHI CIO CGK CHJ CFM CEL CDN JKL FLN DIL DKM EHO DOG EIJ MNO GJM FJO EGN IKN FHK HLM
Ramsey数R(p,q)
p,q
3
3
6
4
9
5
14
6
18
7
23
8
28
9
36
4
5
18
25
43–49
35–41
58–87
49–61
80–143
56–84
101–216
69–115
121–316
6
7 8 9
102–165
Байду номын сангаас
111–298
205–540
127–495
216–1031 282–1870
169–780
Euler猜想
Euler(1779)：不存在4t+2阶正交拉丁方？
Tarry(1900)：不存在6阶正交拉丁方！
存在10阶正交拉丁方！ Bose, Shrikhande和Parker(1960)： 当t>2时，存在4t+2阶正交拉丁方！ 首次数学上了The New York Times的头版！
Symmetric Tilings
Königsberg七桥问题
Pregel河横穿Königsberg城，河上建有七座桥 ，能
否设计散步路线，走过所有七座桥，每座桥恰好经 过一次而回到同一地点？
Euler环游（一笔画）
Euler于1736年给以否定：
图有这样的路线当且仅当 每个点连接偶数条边。 图论的起源
拉丁方阵与正交拉丁方阵
每名军官对应一个有序对（军团，军衔） 以9名军官为例：
军团阵列 军衔阵列 并置阵列
（正交拉丁方阵） （拉丁方阵） （拉丁方阵）
1 2 3 1 2 3 (1,1) (2,2) (3,3) 3 1 2 2 3 1 (3,2) (1,3) (2,1) 2 3 1 3 1 2 (2,3) (3,1) (1,2)
后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础
三十六军官问题
普鲁士腓特烈大帝在一次检阅中要求：
从不同的6个军团各选6种不同军衔的6名军官 共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行 各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军衔 各不相同。 Euler（1779）：办不到! 但未能给出严格的证明 。
阿基米德(287? -212 B.C.)在计算把14条不规则的
纸带拼成正方形有多少种不同的拼法.
Bill Cutler （2003）：答案是
17152=536x32
Periodic Tilings
Non-Periodic Tilings
Symmetric Tilings
Penrose Tilings
完全图里或有红三角形或有蓝三角形。五个点的则不然。
Ramsey定理
Ramsey(1903-1930)：给定任意
正整数p和q，总存在一个最小正 整数R(p,q)，使得R(p,q)个人中 或者有 p 个人互相认识，或者有 q 个人互不相识。 R(p,q) 称为Ramsey数。 只要人数足够多，则互相认识的 人会越来越多，或互不相识的人 会越来越多。
〈胃痛〉（The Stomachion）
左上图为一份用希腊文写在羊皮纸上的
Archimedes手稿“Stomachion”的副本, 它考虑的是现在名为“tiling”的组合问题
Stomachion
〈胃痛〉（The Stomachion） 阿基米德以惡作劇、謎題及走捷徑而聞名。從《阿基米德寶 典》裡，已發掘出一個會讓人玩到胃痛的14巧板遊戲，如右 圖。 我們可以拿這14片，拼成各種圖案，譬如大象、鳥、 魚等等，但是這並不稀奇！真正稀奇的是，把這14片「拼成 同樣大小的一個正方形」。
四色猜想
英国大学生Guthrie（1852）：一张地图，只需要四
种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同？
四色定理
Kemple（1879）：
给出“证明”。 Heawood（1890）： 指出漏洞。五色定理。 Appel-Haken(1976)： 给出计算机证明 （1200小时100亿个判断）。 （右图为Appel ）
Ramsey数的计算
Kirkman三元系
Kirkman三元系：把v个女学生分成v/3组，使
得在每(v－1)/2天内任意两个女生在同一组内 只相遇一次。 Ray-Chaudhuri 和Wilson （1971）： Kirkman三元系存在的充要条件是v=6k+3
相识问题
任何六人中必有三人彼此相识或互不相识。 以点表人，连红线表相识，蓝线表不相识。那么六个点的
组合数学的研究内容
组合数学研究的中心问题是按照一定的规划来安排
一些与物件有关的问题。 1.存在问题——当符合要求的安排并非显然存在或不 存在时，首要的问题是证明或否定它的存在. 2.计算问题或分类问题——当符合要求的安排显然存 在，或者已证明它存在时，求出这类安排的各抒己 见，或者把它分类. 3.构造问题（组合设计）——把满足某种条件的安排 构造出来. 4.优化问题——给出最优标准，找出满足给定条件的 最优安排.
组合数学绪论
组合数学（Combinatorial Mathematics)
也称组合学(Combinatorics)
现代数学根据所研究的对象可分为两类：
连续数学：以微积分为基础，传统主流 离散数学：伴随计算机科学，方兴未艾 1666年Leibniz著《Dissertatio de arte combinatoria》,首次使用了组合一词。
Kirkman女生问题
Kirkman （1806～1895）
1850年：有15个女生，她们 每天要做三人行的散步，要 使每个女生在一周内的每天 做三人行散步时，与其她同 学在组成三人小组同行时， 彼此只有一次相遇在同一小 组，应怎样安排？ 组合设计的起源
Kirkman女生问题的一个解
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat ABC ADH AEM AFI AGL AJN AKO DEF BEK BHN BLO BDJ BIM BFG GHI CIO CGK CHJ CFM CEL CDN JKL FLN DIL DKM EHO DOG EIJ MNO GJM FJO EGN IKN FHK HLM
Ramsey数R(p,q)
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Байду номын сангаас
111–298
205–540
127–495
216–1031 282–1870
169–780
Euler猜想
Euler(1779)：不存在4t+2阶正交拉丁方？
Tarry(1900)：不存在6阶正交拉丁方！
存在10阶正交拉丁方！ Bose, Shrikhande和Parker(1960)： 当t>2时，存在4t+2阶正交拉丁方！ 首次数学上了The New York Times的头版！
Symmetric Tilings
Königsberg七桥问题
Pregel河横穿Königsberg城，河上建有七座桥 ，能
否设计散步路线，走过所有七座桥，每座桥恰好经 过一次而回到同一地点？
Euler环游（一笔画）
Euler于1736年给以否定：
图有这样的路线当且仅当 每个点连接偶数条边。 图论的起源
拉丁方阵与正交拉丁方阵
每名军官对应一个有序对（军团，军衔） 以9名军官为例：
军团阵列 军衔阵列 并置阵列
（正交拉丁方阵） （拉丁方阵） （拉丁方阵）
1 2 3 1 2 3 (1,1) (2,2) (3,3) 3 1 2 2 3 1 (3,2) (1,3) (2,1) 2 3 1 3 1 2 (2,3) (3,1) (1,2)
后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础
三十六军官问题
普鲁士腓特烈大帝在一次检阅中要求：
从不同的6个军团各选6种不同军衔的6名军官 共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行 各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军衔 各不相同。 Euler（1779）：办不到! 但未能给出严格的证明 。
阿基米德(287? -212 B.C.)在计算把14条不规则的
纸带拼成正方形有多少种不同的拼法.
Bill Cutler （2003）：答案是
17152=536x32
Periodic Tilings
Non-Periodic Tilings
Symmetric Tilings
Penrose Tilings
完全图里或有红三角形或有蓝三角形。五个点的则不然。
Ramsey定理
Ramsey(1903-1930)：给定任意
正整数p和q，总存在一个最小正 整数R(p,q)，使得R(p,q)个人中 或者有 p 个人互相认识，或者有 q 个人互不相识。 R(p,q) 称为Ramsey数。 只要人数足够多，则互相认识的 人会越来越多，或互不相识的人 会越来越多。
〈胃痛〉（The Stomachion）
左上图为一份用希腊文写在羊皮纸上的
Archimedes手稿“Stomachion”的副本, 它考虑的是现在名为“tiling”的组合问题
Stomachion
〈胃痛〉（The Stomachion） 阿基米德以惡作劇、謎題及走捷徑而聞名。從《阿基米德寶 典》裡，已發掘出一個會讓人玩到胃痛的14巧板遊戲，如右 圖。 我們可以拿這14片，拼成各種圖案，譬如大象、鳥、 魚等等，但是這並不稀奇！真正稀奇的是，把這14片「拼成 同樣大小的一個正方形」。
四色猜想
英国大学生Guthrie（1852）：一张地图，只需要四
种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同？
四色定理
Kemple（1879）：
给出“证明”。 Heawood（1890）： 指出漏洞。五色定理。 Appel-Haken(1976)： 给出计算机证明 （1200小时100亿个判断）。 （右图为Appel ）