组合数学漫谈
高中数学组合数学的趣味教学
高中数学组合数学的趣味教学组合数学是高中数学中一个有趣且富有挑战性的领域，它不仅能够锻炼学生的逻辑思维能力，还能培养学生的创新意识和解决实际问题的能力。
然而，由于其概念较为抽象，学生在学习过程中往往感到困难和枯燥。
因此，如何让组合数学的教学变得趣味横生，激发学生的学习兴趣和积极性，成为了高中数学教师需要思考和探索的重要课题。
一、组合数学的重要性与挑战组合数学在现代科学和技术中有着广泛的应用，如计算机科学、密码学、统计学等。
在高中数学中，组合数学主要包括排列组合、二项式定理等内容，这些知识是进一步学习概率论和数理统计的基础。
然而，组合数学的概念较为抽象，学生在理解和应用时容易出现混淆和错误。
例如，排列和组合的区别、组合数的计算方法等，都需要学生有较强的逻辑思维能力和抽象概括能力。
此外，组合数学的题目往往具有较强的综合性和灵活性，需要学生能够灵活运用所学知识，进行分析和推理。
这对于学生来说是一个较大的挑战，容易让学生产生畏难情绪。
二、趣味教学的方法与策略1、引入实际生活中的例子将组合数学与实际生活中的问题相结合，能够让学生感受到组合数学的实用性和趣味性。
例如，在讲解排列组合时，可以让学生计算彩票中奖的概率、足球比赛的胜负情况、生日相同的概率等。
通过这些实际问题的引入，能够激发学生的好奇心和求知欲，让学生主动参与到学习中来。
2、开展数学游戏和活动数学游戏和活动是激发学生学习兴趣的有效手段。
例如，可以组织学生进行“抽奖游戏”，让学生计算自己中奖的概率；开展“数独比赛”，锻炼学生的逻辑思维能力；进行“组合拼图”活动，让学生通过拼图的方式理解组合的概念。
这些游戏和活动不仅能够让学生在轻松愉快的氛围中学习组合数学，还能够培养学生的团队合作精神和竞争意识。
3、利用多媒体教学手段多媒体教学手段能够将抽象的组合数学知识直观形象地展示给学生。
例如，通过制作动画演示排列组合的过程、利用图形展示二项式定理的展开式等，能够让学生更加清晰地理解和掌握所学知识。
高中数学组合数学与应用
高中数学组合数学与应用组合数学是高中数学的一个重要内容，它是数学中研究离散结构、组合问题的一个分支，也是许多实际问题的数学建模工具。
在本文中，我们将介绍组合数学的基本概念和应用。
一、组合数学的基本概念组合数学主要研究离散的、无序的集合以及其中的元素组合的方式。
下面是组合数学中常用的概念：1. 排列排列是指从$n$个不同元素中选出$m$个元素进行有序排列的方法数，通常用$P(n,m)$表示。
2. 组合组合是指从$n$个不同元素中选出$m$个元素进行无序组合的方法数，通常用$C(n,m)$或$\binom{n}{m}$表示。
3. 排列组合公式排列和组合之间存在一定的关系，可以通过以下公式进行转化：$$C(n,m)=\frac{P(n,m)}{m!}=\binom{n}{m}$$4. 二项式系数二项式系数是指二项式展开的系数，通常用$\binom{n}{k}$表示。
它的计算公式是：$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$二、组合数学的应用组合数学在实际问题中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 梅化尔问题梅化尔问题是组合数学中的经典问题之一。
问题描述为：在一个$n$个人的舞会中，每个人都想和其他所有人跳一次舞。
问需要进行多少次舞会可以满足所有人的需求？解答该问题需要使用组合数学的知识，即求解$n$个元素的排列数$P(n,n)$。
答案为$(n-1)!$次。
2. 集合运算组合数学中的集合运算包括并集、交集和差集等。
这些运算在数据库查询、信息检索等领域中得到广泛应用。
3. 赛事安排在体育赛事中，如何安排参赛队伍的对战组合是一个常见的问题。
组合数学可以帮助我们确定合适的赛程安排，以确保每个队伍都能与其他所有队伍进行比赛。
4. 密码学密码学是组合数学的重要应用领域之一。
组合数学中的排列和组合技术被广泛应用于密码的生成、破解以及信息加密等方面。
5. 图论图论是组合数学中的一个重要分支，它研究的是离散结构中的节点和边的关系。
浅谈中学数学中的组合数学问题
浅谈中学数学中的组合数学问题【摘要】组合数学起源于数学游戏，但随着计算机的日益发展，组合数学已经在各个领域有了越来越广泛的应用。
本文主要介绍了组合数学的几个重要原理在中学数学中的应用。
【关键词】中学数学；组合计数；抽屉原理1.证明某种现象的存在性在组合数学中，证明存在性主要运用抽屉原理。
抽屉原理：如果个物体被放进个抽屉，那么至少有一个抽屉包含两个或更多的物体。
应用抽屉原理的关键是构造出合适的抽屉，请看下面两个例子：例1.从1～98的自然数中，任意取出50个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
分析：因为要取出50个数，所以抽屉的个数要少于50个，并且同一个抽屉内的任意两个数要满足性质“其中一个是另外一个的整数倍”。
证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘以2的形式（其中n为），并且这种表示是唯一的。
所以我们可以把1～98的正整数分成如下49个抽屉：（1）（2）（3）（4）（5）（25）（26）（49）这样，我们就可以将1～98的正整数无重复、无遗漏地放进这49个抽屉内了。
从这98个数中任取50个数，也即将50个物体放入49个抽屉中，根据抽屉原理，其中必定至少有两个物体放入了同一个抽屉，也就是说，其中必定至少有两个数是从同一抽屉中取出的。
从抽屉的构造容易看出，这两个数中的一个是另一个的整数倍。
例2.证明，在整数数列中，可以找出若干个连续的数（允许），它们的和可被10整除。
分析：任意整数除以10所得的余数只有这10种可能。
若两个整数除以10得到相同的余数，则这两个整数的差可被10整除。
由此想到用模10的剩余类来构造抽屉。
证明：作如下数列：若这10个整数中至少有一个能被10整除，则结论成立。
否则，设上述数列中没有一个能被10整除，于是，当我们将它们分到模10的剩余类中去时，它们只能进入以下9个类：可是数列中有10个整数，由抽屉原理，数列中至少有两个数属于同一类，从而这两个数的差可被10整除，不妨设与属于同一剩余类，其中，则可被10整除。
组合数学是研究什么的学科组合数学研究中的四大问题是什
鸽巢原理应用
1. 366个人中必定有两个人生日相同。 2. N对夫妇，为保证能够有一对夫妇被选出，至少
要从这2n个人中选出多少人？
3. 鸽子：366个人 巢：365天 4. 鸽子： 2n个人 巢：n对夫妇
鸽巢原理的理解
• 组合学原理 • 用来证明一个排列或某种现象的存在 • 如果n+1个物体用n种颜色涂，必然有两个物体
作业
Part1: ch2: 3，4，9，15, 16
Part 2: 收集资料并撰写已经成功地应用鸽巢原理解 决的实际问题。
r (k, l) 表
可以将Ramsey 定理推广到任意多种颜色的情况。 引进记号 Kp Kn1 , …, Knk
表示：用 k 种颜色 c1,…, ck 为 Kp 的边任意染色， 或者有一个被染成 c1 色的 Kn1 ，…，或者有一个被 染成 ck 色的 Knk 。
Ramsey 定理 若 n1,…, nk 2，则存在正整数p使得 Kp Kn1 , …, Knk 使得 Kp Kn1 , …, Knk 成立的最小正整数 p 称为 Ramsey 数 r(n1,…, nk )。 r(3, 3, 3) = 17
被涂成同一颜色。
• 使用该原理时，要设置鸽子和巢
鸽巢原理应用
从 1, 2, …, 200 中任意选出 101 个数，必有两个数 其中一个能够整除另一个。
证明 将数表示成形式 2k a，其中 a 是奇数。小于 200 的奇数只有 100 个，即 1, 3, …, 199，所以这 101 个数中必有两数表示为 2k a 和 2j a ，
无向图中的边是顶点集 的 2 元子集，可以将Ramsey定理
t 推广到为t 元子集染色。用K n 表示一个 n 元集的所有t 元
组合数学
组合数学概述组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。
组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。
组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。
现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。
组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。
而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。
计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。
正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。
组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。
在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。
此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。
用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。
最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。
在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。
最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。
数学论文：《集合学习漫谈》
集合学习漫谈中国是由五十六个民族组成的大家庭；高一（3）班全体同学；小于10的所有质数；到线段AB 两端距离相等的所有点组成的图形．常言道：“物以类聚，人以群分”．其实，用数学的观点来看，这就是一种最朴素、最生活化的集合的概念．上面的四句话分别表示中国民族的集合、高一（3）班同学的集合、小于10的质数集合和AB 的垂直平分线（点的集会）．集合是数学中最基本的概念之一，集合论也成为现代数学中重要的基础理论．集合是高中数学必修教材（1）中所学到的第一个数学内容，也是今后学习和研究函数的基础．学习数学，首先应该注重数学概念的学习，只有真正理解了概念的内涵，才能进一步运用概念去分析和解决问题．集合是指在一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成的整体．研究集合，就须要分析构成集合的对象——元素，以及这些元素所具有的共同属性．描述法就清楚的反映了集合的本质，它的基本模式是：{ 元素 | 元素的共同属性 }．例如“到线段AB 两端距离相等的所有点组成的图形”运用描述法可以表示为{ P | PA=PB }，即它表示一个点集，且集合中每一个元素P 都满足PA=PB ．又如，对于集合A={ y | y=x 2+1 }与集合B={ ( x, y ) | y=x 2+1 }．首先应分析集合的代表元，确定该集合的元素是什么；进而弄清该集合中元素的共同属性．集合A 中的元素是数，集合B 中的元素是点．虽然两个集合的元素的共同属性的表达形式都是y=x 2+1，但意义却完全不同．集合A 是数集，它表示x 2+1的取值范围，即集合A 表示不小于1的实数集；集合B 是平面上的点集，它表示平面直角坐标系中，顶点在（0，1）且开口向上的抛物线上所有点构成的集合，即函数12+=x y 的图象．理解了元素和集合的概念，才能对元素与集合、集合与集合间的关系作出正确判断，并进行集合间的各种运算．例如，空集ϕ与集合{}ϕ之间关系的正确回答应该是，当φ表示元素时，{}ϕϕ∈；当φ表示集合时，{}ϕϕ⊂．又如，已知集合}|{2x y y P ==，}2|{x y y Q ==，}|),{(2x y y x M ==， }2|),{(x y y x N ==A B 3,5,117 29 17,23 2,13,19U 试求：(1);(2);(3);(4);(5)()()U U P Q P Q M N P N C M C Q ．因为集合P 、Q 为数集，{|0}P y y =≥，Q R =，所以，（1）{|0}P Q P y y ==≥ ；（2）P Q Q R == ．而集合M 、N 均为点集，因此（3）2{(,)|}{(0,0),(2,4)}2y x M N x y y x⎧===⎨=⎩ ；（4）P N ϕ= ； （5）()()U U C M C N = {平面上除去（0，0）和（2，4）的点}．若不能准确理解集合的概念，解答上述问题就有可能误解为{(0,0),(2,4)}P Q P N == ．对概念有了正确的理解为数学学习奠定了良好的基础．要进一步学好数学，还需要具备一定的数学的基本技能和数学思想方法．数学的内容通常都表现为“数”和“形”两个方面．实际上，数与形是同一事物的两种不同的表现形式，以形助数可以使问题变得更直观、生动，而依数解形则可以使问题变得更加严谨、精确．恰当地运用“数形结合”的思想，不仅可以使问题得到正确解决，还可以使解题变得更简捷明了．集合既可以运用列举法或描述法表示，也可以运用Venn 图表示．恰当的运用Venn 图表示法，不仅可以帮助我们理解概念，还可以开拓解题思路．例如，设全集U ={x |为不大于30的质数}，(){3,5,11}U A C B = ，(){17,23}U C A B = ，()(){2,13,19}U U C A C B = ，求集合A 和B ．此题可以从“数”的角度，运用逻辑推理得到正确答案，其解答过程为：}29,23,19,17,13,11,7,5,3,2{=U ,由}11,5,3{)(=⋂B C A U 可得A ∈11,5,3,且B ∉11,5,3；由}23,17{)(=⋂B A C U 得A ∉23,17，且B ∈23,17；由}19,13,2{)()(=⋂B C A C U U 得}19,13,2{)(=⋃B A C U ．综上可得}29,11,7,5,3{=A ，}29,23,17,7{=B ．若此题能运用Venn 图从“形”的角度分析，显得更加直观清晰．具体方法为：如图，全集被分成四个部分B A ⋂，)(B C A U ⋂，B A C U ⋂)(和)(B A C U ⋃．根据题设将各部分所确定的元素填进去即可得到正确答案}29,11,7,5,3{=A ，}29,23,17,7{=B ．严密的逻辑性是数学的基本特点．在学习数学的过程中，重视思维的逻辑性和严谨性的培养与训练是十分必要的．如，已知集合}012|{2=+-=x ax x M 中只有一个元素，求实数a 的取值．此题若不注意二次项系数是否为零的问题，就会使解答不完整，仅由044=-=∆a 得到a =1，实际上，当二次项系数a =0时，集合M 中也只有一个元素．再如，已知集合}032|{2=--=x x x P ，}01|{=-=ax x Q ，若Q Q P =⋂，求实数a 的值．此题的解答中若不注意到集合Q 可以为空集的情况，必将漏解．由于同学们刚刚进入高中阶段的数学学习，对数学的一些思想方法可能还不是很熟悉，想要熟练地加以运用就会显得更加困难，但这并不可怕，只要能在平时的学习中，多问几个为什么，使解题从偶然走向必然，那么，你的学习能力和解题能力一定会得到提高．集合论的创立者——德国伟大的数学家康托尔（1845—1918），就是因为不满足于对一些看似矛盾却又实际存在的问题的大众化认识，而去刻苦钻研，抛弃一切经验和直观，用理论进行论证，最终取得了令世人瞩目的成就，创立了对数学具有深远而广泛影响的基础理论——集合论．最后，留给同学们两个有趣的问题，空闲时你不妨想一想：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立起一一对应，然而两圆的周长却是不一样的；正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了，1 2 3 4 …… n ……↓ ↓ ↓ ↓ …… ↓ ……21 22 23 24 …… 2n ……难道，正整数和它的一部分（正整数的平方）的个数竟然是相当的！。
第一章(Chapter 1) 什么是组合数学
一,组合数学发展概述
组合数学问题在生活中随处可见: 组合数学问题在生活中随处可见: 例如: 计算下列赛制下总的比赛次数:n 计算下列赛制下总的比赛次数:n支球队参赛,每 队只能和其他队比赛一次; 创建幻方; 一笔画问题(在纸上画一个网络,用铅笔沿着网络 路线走,在笔不离开纸面且不重复线路的条件下, 一笔画出网络); 在玩扑克牌的游戏中,计算满堂红(full-house)牌 在玩扑克牌的游戏中,计算满堂红(full-house)牌 的手数,以确定出现一手满堂红的几率……等等 的手数,以确定出现一手满堂红的几率……等等 所有这些都是组合数学问题.
组合数学是计算机软件产业的基础,中国最终一 定能成为一个软件大国,但是要实现这个目标的 一个突破点就是发展组合数学.中国在软件技术 上远远落后于美国,而在组合数学上则更是落后 于美国和欧洲.如果中国只是想在软件技术上跟 着西方走,而不在组合数学上下功夫,那么中国 的软件将一直处于落后的状态.
如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软 件和第二次开发,那么我们在应用软件这个领域 也会让国外的企业抢去很大的市场. 如果我们现在在信息技术的数学基础上,大力支 持和投入,那将是亡羊补牢,犹未为晚.吴文俊 院士开创和领导的数学机械化研究,为中国在信 息技术领域占领了一个重要的阵地,有了雄厚的 数学基础,自然就有了软件开发的竞争力.这样 的阵地多几个,我们的软件产业就会产生新的局 面.
组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满 足一些指定规则的格式. 研究排列的存在性(存在的必要和充分条件) 研究排列的计数和分类 研究研究一个已知排列的性质和结构 构造一个最优的排列 因此,组合数学可以一般地描述为:组合数学 是研究离散结构的存在,计数,分析和优化等问 题的一门科学.
组合数学是一个古老而又年轻的数学分支,据 传说,大禹在4000多年前就观察到了神龟背上的幻 方…….贾宪,北宋数学家(约11世纪)著有:《黄 帝九章细草》,《算法敩古集》(又称"古算法导 引" ),都已失传.杨辉著《详解九章算法》 (1261年)中曾引贾宪的"开方作法本源图"(即 指数为正数的二项式展开系数表 , 现称"杨辉三 角" )和"增乘方法"(求高次幂的正根法).前 者比帕斯卡(Pascal)三角形早600年,后者比霍纳 (William Geoge.Horner,1786-1837)的方法(1819年) 早770年.
组合数学中的论问题分析
组合数学中的论问题分析组合数学是数学的一个重要分支，它研究的是集合论、图论、数论和代数等数学分支之间的组合关系。
在组合数学中，论问题是一个具有重要理论意义和广泛应用价值的研究领域。
本文将对组合数学中的论问题进行分析与讨论。
一、问题的提出与背景论问题是指在一定条件下，研究一个集合具有某种性质的问题。
论问题由于其对应用领域的重要性，成为组合数学中的一个重要分支。
论问题的研究有助于深入理解数学的结构和规律，并能应用于通信、计算机科学、优化问题等领域。
二、经典论问题1. 托波利茨矩阵的论问题托波利茨矩阵是一种具有特殊结构的矩阵，它的每一条对角线上的元素都相等。
论问题涉及到托波利茨矩阵的性质与应用，研究如何刻画托波利茨矩阵的一些重要参数，比如最大特征值和最小特征值等。
2. 图的论问题图论是组合数学中的一个重要分支，其研究的对象是用顶点和边构成的图。
论问题中的图可以是有向图或无向图，研究的问题包括图的连通性、路径问题、最短路径问题等。
经典的论问题有哈密顿回路问题、旅行商问题等。
3. 组合问题组合问题是论问题的一个重要分支，研究的是集合的排列组合。
常见的组合问题包括组合数的计算、排列问题、选择问题等。
论问题在组合问题的研究中起到了重要的作用，能够给出组合问题的理论刻画和应用推广。
三、论问题的应用论问题不仅仅是数学中的一个理论问题，它在实际应用中也具有重要的作用。
1. 信息理论信息理论中的熵是论问题的一个重要概念。
熵用来表示信息的不确定性，它是对信息分布的度量。
通过对论问题的研究，可以对信息传输、编码等问题进行分析与优化。
2. 优化问题论问题与优化问题密切相关，通过论问题的研究可以对优化问题进行分析与求解。
例如，在调度问题中，可以利用论问题的方法对任务的分配进行优化，以提高效率和资源利用率。
3. 密码学密码学中的编码问题与论问题有着密切的联系。
通过对论问题的研究，可以设计出高效、安全的编码算法，保护信息的安全性和隐私性。
数学强则国强，“组合数学”告诉我们：“人工智能”时代真的来临
数学强则国强，“组合数学”告诉我们：“人工智能”时代真的来临来源：数学真美当我们翻开世界历史，会发现一个有意思的现象，世界强国的背后，都有着强大的数学实力作为支撑。
17-19世纪的英国、德国、法国等世界强国，它们同样是“数学强国”。
而今天，在美国成为世界霸主的背后，其实也正是以强大的数学实力作为支撑的。
正如拿破仑所说：“一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大。
数学的发展和国家繁荣昌盛密切相关。
”曾几何时，“微积分”的创立直接导致了英国“工业革命”的成功，英国也随之成为世界第一强国，帝国主义的野心迅速膨胀，侵略的铁蹄打开了我们的国门，给积贫积弱的中国带来了百年屈辱史。
今天，“离散数学”的快速发展已经取代了昔日“微积分”的主流地位。
如果说“微积分”的发展直接导致了“近代工业革命”的成功，那么“离散数学”中的“组合数学”的发展就是推动“计算机革命”的原动力。
“组合数学”与“计算机科学”相结合，使得冷冰冰的机器似乎拥有了思维，一个崭新的“人工智能时代”呼之欲出。
然而，“组合数学”到底是怎么一回事呢？现代数学体系可以分为两大类：一类是研究“连续对象”的，比如“微积分”等，另一类则是研究“离散对象”的，比如“离散数学”。
在“离散数学”中，其核心内容就是“组合数学”。
“组合数学”无处不在，它的主要应用就是在“各种复杂关系”中快速地找出“最优方案”。
所以组合数学完全可以看成是“量化”了的“关系学”、“运筹学”，“管理学”。
“四色定理”、“中国邮差问题”、“河洛图”等问题都属于“组合数学”的范畴。
以造出第一颗原子弹著称于世的美国国家实验室，一直都非常重视“组合数学”的研究。
世界上的其它国家，比如英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的“组合数学”研究中心。
在很早以前，澳大利亚、新西兰、新加坡、韩国、马来西亚以及我国大陆、台湾、香港等地区就已组建了很强的组合数学研究机构。
浅谈组合数学的应用分析
思考出一定结果时袁 教师可以再次引导学生有哪些整
数可以作为野鸽巢冶遥 野鸽巢冶确定后袁就需要对 N+1 只
鸽子进行划分袁同时还要满足 0 或 7 的条件遥 所以袁在
a1 , a2 , a3 噎噎 an + 1 之 中 肯 定 有 余 数 相 等 的 存 在 袁 最 终 袁 再
根据
am =
77 . . . 7 m
组合数学是现代数学的重要组成部分袁 不仅在软 件技术方面体现着作用袁 还涉及生产生活的各个领 域遥 比如公司管理尧 市场资源尧 证券股票和道路交通 等遥 所以袁 这就要求教师在实际教学中不能只重视组 合数学概念和课本知识的讲解袁 还要进行课外延伸袁 多多渗透组合数学解决实际问题的例子遥 也可以对典 型案例进行分析袁 达到培养兴趣的目的遥 比如说四色 问题尧中国邮递员问题等等遥 教师要以课堂为基础袁做 到实际生活的延续和发展袁 培养学生解决实际问题的 能力遥
在组合存在性问题的教学中袁一般都会采取主导+ 讨论的方法袁就是教师主导袁学生讨论的教学形式遥 要 想解决这类存在性问题袁 必须对鸽巢原理进行分析和 探讨遥 因为鸽巢原理是解决组合存在性问题的关键遥 在问题的教学过程中袁 首先要做的是构建一个 野鸽 巢冶遥 构建野鸽巢冶可以说简单袁也可以说难遥 因为组合 问题本身就存在很大差异袁 所以袁 有的组合问题学生 一看即通袁 而有的问题是百思不得其解遥 遇到这种较 难的组合问题袁 就需要老师进行指导和沟通袁 把组合 问题层层剥茧袁划分结构遥 做到条理清晰袁脉络分明遥 不过袁 这种教学过程对驾驶的能力有一定要求袁 需要 教师在实际教学中把握学生对问题的理解程度袁 针对 学生的接受能力进行逐层讲解遥 这就证明教师不仅要 有纵观问题整体的能力袁 还能根据学生问题差异及时 点拨遥 比如袁 在教学中有这样一个例子袁 一个正整数 N袁N 有着一个倍数袁并且要满足倍数由 0 或 7 组成的 条件袁请问袁怎样找到符合条件的 N 的倍数遥 那教师在 教学中就可以利用正数定义说明袁N 的倍数是一个可 以被 N 整除的整数遥 并且将这样的问题交给学生研究
第一周 漫谈组合数学
组合数学的历史
1666年莱布尼兹所著《论
组合的艺术》一书问世，
这是组合数学的第一部专 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
著。书中首次使用了组合
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646年－1716年），德国哲学
论（Combinatorics）一词。
家、数学家。涉及的领域及法 学、力学、光学、语言学等40
1 漫谈组合数学
1-0 什么是组合数学？
组合数学 Combinatorics
清华大学 马昱春
1
离散数学(目录)
离散数学（第五版）
作者： 耿素云，张立昂 编著 第1章 命题逻辑 第2章 一阶逻辑 第3章 集合的基本概念和运算 第4章 二元关系和函数 第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树 第8章 组合分析初步
• 10×10×10×10=10000 如果连接的点数不到 6 个的话，
密码可能个数：1624 + 7152 = 8776 个
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前言
• 组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中，过去的研究往 往出于消遣或者美学的考虑。
• 组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍应用之后。
– 程序的基础往往是求解问题的组合数学算法 – 算法的运行时间效率和存储需求分析都需要组合数学的思想。 – 过去研究过的许多问题如今在研究和应用中具有高度的重要性。 – 广泛应用在社会科学，生物科学，信息论等。
A magic square: a square array of numbers in which the sum of all rows, all columns and both diagonals is the same.
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组合数学中几个典型递归关系的讨论-毕业论
目录1引言 (1)2组合数学 (1)3递归关系 (2)3.1 递归思想 (2)3.2 递归关系 (2)4 FIBONACCI数列 (3)4.1问题的提出 (3)4.2问题的分析 (3)4.3问题的解答 (4)4.4 递归算法 (4)4.5 一类广义Fibonacci数列递归关系 (5)5 HANOI塔问题 (8)5.1问题的提出 (8)5.2问题的分析 (8)5.3问题的解答 (8)5.4 递归算法 (9)5.5 基于递归关系下Hanoi塔问题的推广 (10)6平面分割问题 (11)6.1问题的提出 (11)6.2问题的分析 (11)6.3问题的解答 (12)7结束语 (12)参考文献 (13)致谢 (14)组合数学中几个典型递归关系的讨论Xxxxxx系本xxxxx班xxxxxx指导教师：xxxxxxx摘要：本文对几个典型的递归关系进行了分析研究，分别为Fibonacci 数列、Hanoi塔问题、平面分割问题。
通过对问题的提出、分析、解答，从而求解出递归关系，并且对前两个问题有推广及总结，以发散性思维对Fibonacci 数列、Hanoi塔问题的一般化问题进行了研究推理，并得到其递归关系。
关键词：递归，Fibonacci数列，Hanoi塔问题，平面分割问题。
Discussion on Several Typical Recursion Relations inCombinatorial MathematicsJxxxxxxClass xxxxx, Mathematics DepartmentTutor: xxxxxxxxxAbstract: This paper mainly studies several typical recursion relations respectively, they are the Fibonacci Sequence. Hanoi Tower and Planar Segmentation Problem. The paper aims to find out the recursion relations and have a generalization and summary on the first twoproblems for them by proposing, analyzing and handling problems, then study and inference the general problems of Fibonacci Sequence and Hanoi T ower with divergent thinking, and work out the recursion relations finally.Key words: recursion, Fibonacci sequence, Hanoi tower, planar segmentation problem.1引言递归关系是数学与计算机科学的一个重要研究对象，特别是在算法分析中有着广泛的应用。
组合数学漫谈
Euler猜想
Euler(1779)：不存在4t+2阶正交拉丁方？ Tarry(1900)：不存在6阶正交拉丁方！ 存在10阶正交拉丁方！ Bose, Shrikhande和Parker(1960)： 当t>2时，存在4t+2阶正交拉丁方！ 首次数学上了The New York Times的头版！
组合数学的分支
组合分析 代数组合 极值集论 图 论 组合设计 组合优化 组合算法
组合数学的应用
应用促进理论发展
36个军官问题这个纯粹来自智力游戏的题目孕育着 艰深的数学问题 。Euler猜想直到二十世纪中叶才 获得解决，有两个原因：一是理论上的准备。这类 问题用初等方法很难解决，二十世纪代数和几何的 发展为解决问题提供了必要工具（如Galois域上的 射影几何即有限几何等）；二是生产实际的推动。 数理统计学家Fisher将正交拉丁方用于试验设计， 例如，用二种原料合成某染料，每种原料有3个水 平，怎样安排试验能使每种原料的各种水平各碰一 次？这正好是3阶的正交拉丁方阵问题。 Fisher的 试验设计是一股巨大的推动力量，把一种数学游戏 变成了节约人力物力的具有重大价值的科学方法。
Ramsey理论的哲理意义
完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。 任一足够大的结构中必定包含一个给定大小的规则子结构。 无序无意的行为产生了有规律的后果，发人深思耐人寻味。 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，以 为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机分布的 星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证明： 圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝非文字 排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个字母，发现圣经 密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外，还包括美国肯尼迪 和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇刺的事件，日本神户、 美国旧金山的大地震、世界末日与广岛原子弹轰炸等，种种 过去与未来发生的大事件。
第五讲 组合数学简介
概述
建立组合数学模型
组合数学是计算机出现以后 迅速发展起来的一门数学分支
应用相关的组合数学知识， 应用相关的组合数学知识，得出计 算公式（经常是递推公式） 算公式（经常是递推公式）。
介绍一下组合数学在比赛中 的一些应用
问题解决 了？
N
Y
结 束
解组合数学题目的一般步骤
考虑能否解出递推公式中的递归关 降低时间复杂度； 系，降低时间复杂度；考虑能否得 出新的公式，使得计算过程简便， 出新的公式，使得计算过程简便， 计算精度提高； 计算精度提高；或做出其他的一些 思考和改进。 思考和改进。
Q = ∑ E[i ] * ( n − 1 − E[i ])
i =1 n
答案R=S－T=n*(n-1)*(n-2)/6-Q/2
解题方法 ——组合数学中的递推关系
建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面几 项的关系式，以及初始项的值 下面介绍几种典型的递推关系
Fibonacci数列
有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小 兔子。问过n个月后共有多少对兔子？ 解：设满x个月共有兔子Fx对，其中当月新生的兔子数目为 Nx对。第x-1个月留下的兔子数目设为Ox对。则： Fx=Nx+Ox 而 Ox=Fx-1， Nx=Ox-1=Fx-2 (即第x-2个月的兔子到第x个月成熟了) ∴ Fx=Fx-1+Fx-2 边界条件： F0=0，F1=1
1 2 n
Pólya原理及其应用
本例中有4个置换
转0° 转90° a1= a2=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 6 3 4 5 10 7 8 9 12 11 16 13 14 15
数学中的微积分和组合数学
数学中的微积分和组合数学在数学中，微积分和组合数学是两个重要的分支。
微积分主要研究函数的极限、导数和积分，它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
而组合数学则是研究离散结构的组合方式和性质，它在计算机科学、密码学、图论等领域有着广泛的应用。
微积分是数学中的一门基础学科，它涉及函数的极限、导数和积分等内容。
导数是函数变化率的量度，它描述了函数在某一点的斜率。
而积分则是导数的逆运算，它可以求出曲线下的面积。
微积分有着广泛的应用，在物理、工程和经济等领域中都有着重要的作用。
例如，在物理中，微积分可以用来求解运动物体的速度和加速度。
在经济学中，微积分可以用来求解边际效用和边际成本。
微积分对于科学技术的发展和现代社会的进步有着不可替代的作用。
组合数学是一门独特的数学分支，它研究的是离散结构的组合方式和性质。
离散结构是指那些由离散对象组成的结构，例如集合、图和排列等。
组合数学的主要研究内容包括组合分析、图论、设计理论和编码理论等。
组合数学在计算机科学、密码学、图论和运筹学等领域有着广泛的应用。
例如，在计算机科学中，组合数学可以用来研究图的结构和性质，以及算法的运行时间。
在密码学中，组合数学可以用来研究加密算法和解密算法的复杂度。
组合数学对于信息科学和现代技术的发展和应用有着重要的作用。
虽然微积分和组合数学是两个不同的数学分支，但它们之间也存在着联系。
例如，在组合数学中，某些问题可以转化为微积分中的极限或积分的形式。
这种联系称为组合与微积分的相互渗透。
通过研究两个分支之间的联系，可以更好地理解和应用两个分支的内容。
因此，微积分和组合数学是互相支持、相辅相成的两个数学分支。
总之，微积分和组合数学是数学中两个重要的分支，它们分别研究函数的极限、导数和积分，以及离散结构的组合方式和性质。
微积分和组合数学在各自的领域都有着广泛的应用，对于现代科学技术的发展和现代社会的进步具有不可替代的作用。
组合数学浅析
组合数学浅谈班级： 07数学姓名：左志强学号： 20075203组合数学是一门既古老又年轻的数学分支。
我国古人在《河图》《洛书》中便已经对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。
中国最早的组合数学理论可追溯到宋朝时期的“贾宪三角”, 后来被杨辉引用, 所以普遍称之为“杨辉三角”, 这在西方是1654年由帕斯卡提出，但比中国晚了400多年。
近代，由于计算机的出现，组合数学这门学科得以迅猛发展，成为了一个重要的数学分支。
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过Königs berg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。
Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。
组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。
组合数学问题在生活中非常常见。
例如，求n个球队参加比赛，每队只和其他队比赛一次的总比赛场数。
例如，在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路揍，在笔不离开纸面而且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。
又例如这样一个简单的组合数学问题：一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。
而当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个，问人怎样才能把三者都运过河。
我国著名数学家吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。
组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。
现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。
计算机程序是计算机的大脑思维，而程序的本质就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。
第一章 什么是组合数学
第一章什么是组合数学组合学问题在生活中随处可见。
例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个球队参赛，每队只和其他队比赛一次。
创建幻方。
在纸上画一个网络。
用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画出网络因。
在玩扑克牌游戏中，计算满堂红牌的手数，以确定出现一手满堂红牌的几率。
所有这些都是组合学问题。
正如人们想到的．组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。
过去研究过的许多问题，不论出于消遣还是出于对其美学的考虑，如今在纯科学和应用科学中都具有高度的重要性。
今天，组合数学是数学的一门重要分支，而且它的影响还在继续扩大。
组合数学自60年代以来急速发展的部分原因就在于计算机在我们的社会中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥。
由于运算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的。
然而计算机不能独立运行，它需要编程来控制。
这些程序的基础往往是求解问题的组合学算法，对于这些算法，运行时间效率和存储需求分析需要更多的组合学思想。
组合数学近期发展的另一个原因是它对于那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。
由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正在用于数学应用的传统自然科学领城，而且也用于社会科学、生物科学、信息论等领域。
此外，组合数学和组合学思想在许多数学分支中已经变得越来越重要。
组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。
如下两类一般性问题反复出现：排列的存在性如果有人想要排列—个集合的成员使得某些条件得以满足，那么这样一种排列是否可行根本就不是显而易见的。
这是最根本的问题。
如果这种排列不总是可能的，那么我们要问，这种排列在什么样的(必要和充分)条件下能够实现？排列的计数和分类如果一个指定的排列是可能的，那么就会存在多种方法去实现它。
此时，人们就可以计数并将它们分类。
虽然对任何组合问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实践中常常发生的却是：如果存在性问题需要广泛地研究，那么计数问题则是非常困难的。
张宁组合数学综述——中学数学资料文档
组合数学综述摘要：组合数学是一门既古老又年轻的数学分支。
我国古人在《洛书》中便已经对组合数学有了初步的认识，而后在解决经典数学游戏问题的过程中，数学家又对组合数学进行了理论性的整理和归纳。
近代，由于计算机的出现，组合数学这门学科迅速发展，成为了一个重要的数学分支，并应用于计算机网络、软件工程、生物学等诸多领域。
在当前这个全球化时代，组合数学必将随着计算机科学的发展与其他数学学科结合起来发挥其独特的魅力。
关键字：组合数学；数学分支；计算机科学；一、组合数学的起源六十年代以来兴起的组合数学，是伴随着计算机科学而迅速发展起来的现代数学分支，若是要考查这门学科思想萌芽的历史，就要追溯到人类文明发育的早期。
早在中国古代《洛书》中，记载着三阶幻方是最早的组合数学。
幻方为在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等的图表。
幻方最早产生于中国，它是组合数学中满足特定条件（幻和一定）的一种构作，是组合数学中区设计的特例。
幻方问题在东、西方的数学发展中产生了一定的影响，也是组合数学发展中的一个重要问题，随着人们对它研究的不断深入，在其基础上逐渐出现幻体、双重幻方、双随机矩阵等诸多新组合问题。
然而另一方面，幻方这种构作思想在17世纪后被一些数学家采用并加以推广，其中拉丁方、欧拉方阵猜想随之提出。
图1为一个拉丁方，其中每行每列中每个字母仅出现以此。
图1另一方面，组合数学与概率相似，它们产生的历史与一些奇特的事情相关，组合数学源于数学游戏。
其中欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题中提出了方法是组合数学中后来的关系映像反演方法的最早体现，在此问题中提出的四个命题（1）在任一单行图中，奇结点有偶数个；（2）没有奇结点的图，能结束于起点的重新进入的路线单行地画出；（3）正好有两个奇结点的图，能从一奇点开始，结束于另一个奇点单行地画出；（4）多于两个奇点的图是多行的；欧拉的上述命题以及进一步的研究为日后图论的发展开辟了道路，后来的学者又提出了“邮递员问题”或“周游世界问题”，这些问题的提出和解决直接促进了图论的创立和发展。
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阿基米德(287? -212 B.C.)在计算把14条不规则的
纸带拼成正方形有多少种不同的拼法.
Bill Cutler （2003）：答案是
17152=536x32
Periodic Tilings
Non-Periodic Tilings
Symmetric Tilings
Penrose Tilings
四色猜想
英国大学四
种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同？
四色定理
Kemple（1879）：
给出“证明”。 Heawood（1890）： 指出漏洞。五色定理。 Appel-Haken(1976)： 给出计算机证明 （1200小时100亿个判断）。 （右图为Appel ）
Kirkman女生问题
Kirkman （1806～1895）
1850年：有15个女生，她们 每天要做三人行的散步，要 使每个女生在一周内的每天 做三人行散步时，与其她同 学在组成三人小组同行时， 彼此只有一次相遇在同一小 组，应怎样安排？ 组合设计的起源
Kirkman女生问题的一个解
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat ABC ADH AEM AFI AGL AJN AKO DEF BEK BHN BLO BDJ BIM BFG GHI CIO CGK CHJ CFM CEL CDN JKL FLN DIL DKM EHO DOG EIJ MNO GJM FJO EGN IKN FHK HLM
组合数学的研究内容
组合数学研究的中心问题是按照一定的规划来安排
一些与物件有关的问题。 1.存在问题——当符合要求的安排并非显然存在或不 存在时，首要的问题是证明或否定它的存在. 2.计算问题或分类问题——当符合要求的安排显然存 在，或者已证明它存在时，求出这类安排的各抒己 见，或者把它分类. 3.构造问题（组合设计）——把满足某种条件的安排 构造出来. 4.优化问题——给出最优标准，找出满足给定条件的 最优安排.
232–1713 317–3583 565–6588
Ramsey数的计算
Ramsey数R(p,q)
p,q
3
3
6
4
9
5
14
6
18
7
23
8
28
9
36
4
5
18
25
43–49
35–41
58–87
49–61
80–143
56–84
101–216
69–115
121–316
6
7 8 9
102–165
111–298
205–540
127–495
216–1031 282–1870
169–780
Symmetric Tilings
Königsberg七桥问题
Pregel河横穿Königsberg城，河上建有七座桥 ，能
否设计散步路线，走过所有七座桥，每座桥恰好经 过一次而回到同一地点？
Euler环游（一笔画）
Euler于1736年给以否定：
图有这样的路线当且仅当 每个点连接偶数条边。 图论的起源
Euler猜想
Euler(1779)：不存在4t+2阶正交拉丁方？
Tarry(1900)：不存在6阶正交拉丁方！
存在10阶正交拉丁方！ Bose, Shrikhande和Parker(1960)： 当t>2时，存在4t+2阶正交拉丁方！ 首次数学上了The New York Times的头版！
〈胃痛〉（The Stomachion）
左上图为一份用希腊文写在羊皮纸上的
Archimedes手稿“Stomachion”的副本, 它考虑的是现在名为“tiling”的组合问题
Stomachion
〈胃痛〉（The Stomachion） 阿基米德以惡作劇、謎題及走捷徑而聞名。從《阿基米德寶 典》裡，已發掘出一個會讓人玩到胃痛的14巧板遊戲，如右 圖。 我們可以拿這14片，拼成各種圖案，譬如大象、鳥、 魚等等，但是這並不稀奇！真正稀奇的是，把這14片「拼成 同樣大小的一個正方形」。
后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础
三十六军官问题
普鲁士腓特烈大帝在一次检阅中要求：
从不同的6个军团各选6种不同军衔的6名军官 共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行 各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军衔 各不相同。 Euler（1779）：办不到! 但未能给出严格的证明 。
Kirkman三元系
Kirkman三元系：把v个女学生分成v/3组，使
得在每(v－1)/2天内任意两个女生在同一组内 只相遇一次。 Ray-Chaudhuri 和Wilson （1971）： Kirkman三元系存在的充要条件是v=6k+3
相识问题
任何六人中必有三人彼此相识或互不相识。 以点表人，连红线表相识，蓝线表不相识。那么六个点的
完全图里或有红三角形或有蓝三角形。五个点的则不然。
Ramsey定理
Ramsey(1903-1930)：给定任意
正整数p和q，总存在一个最小正 整数R(p,q)，使得R(p,q)个人中 或者有 p 个人互相认识，或者有 q 个人互不相识。 R(p,q) 称为Ramsey数。 只要人数足够多，则互相认识的 人会越来越多，或互不相识的人 会越来越多。
拉丁方阵与正交拉丁方阵
每名军官对应一个有序对（军团，军衔） 以9名军官为例：
军团阵列 军衔阵列 并置阵列
（正交拉丁方阵） （拉丁方阵） （拉丁方阵）
1 2 3 1 2 3 (1,1) (2,2) (3,3) 3 1 2 2 3 1 (3,2) (1,3) (2,1) 2 3 1 3 1 2 (2,3) (3,1) (1,2)
组合数学绪论
组合数学（Combinatorial Mathematics)
也称组合学(Combinatorics)
现代数学根据所研究的对象可分为两类：
连续数学：以微积分为基础，传统主流 离散数学：伴随计算机科学，方兴未艾 1666年Leibniz著《Dissertatio de arte combinatoria》,首次使用了组合一词。