量子力学第三章算符
第三章 力学量的算符表示
∂ ∂ L y = −ih(cos ϕ − ctg θ sin ϕ ) ∂ϕ ∂θ
∧
∂ L z = −ih ∂ϕ
∧
L = L x+ L y+ L
1 2 ∇ = 2 r
∧2
∧2
∧2
∧2 z
1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 = −h [ (sin θ )+ 2 ] 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 )+ (sin θ )+ (r ∂r ∂r sin θ ∂θ ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 ˆ 1 ∂ 2 ∂ L2 = 2 (r )− 2 21 r ∂r ∂r h
（连带勒让德微分方程）
d2y dy 2 (1 − x ) 2 − 2 x + λy = 0 dx dx
（m=0, 勒让德微分方程）
[L x , L y ] = L x L y − L y L x = ( y p z − z p y )( z p x − x p z ) − ( z p x − x p z )( y p z − z p y )
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= y pz z px − y pz x pz − z py z px + z py x pz − z px y pz + z px z py + x pz y pz − x pz z py
厄密算符 两个波函数ψ和ϕ，满足下列等式
ˆ ˆ ψ ∗ Fϕdτ = ∫ ( Fψ )∗ϕdτ ∫
ˆ 的算符 F 称为厄密算符
5
厄密算符的本征值为实数
ˆ 若 Fψ = λψ
∗
ˆ ψ Fψdτ = λ ∫ψ ψdτ ∫
第三章-表示力学量算符-习题答案
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。
3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。
[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。
量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
= 0
3. 算符对易关系的运算法则：
ˆ ˆ ˆ ˆ <1>[ A, B] = [B, A ] ； ˆ ˆ <2>[A, A] =0； ˆ c <3>[ A, c] =0 （ 为复常数） ； ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <4>[ A, B C] =[A, B] +[A, C] ；
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = L y L y Lx L y Lx L y + L y Lx L y Lx L y L y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + L z L z L x L z L x L z + L z L x L z L x Lz Lz
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例： [Lx , L y ]Y00 L x L y L y L x Y00 0
ˆ ˆ 但 [L x , L y ] 0
ˆ i (sin ctg cos ) Lx
ˆ i (cos ctg sin ) Ly
(矢量式)，
即角动量算符的定义式。
ˆ2 ,L ] [L2 , L ] [L2 ,L ] 0 ； ˆ ˆ ˆ ˆ [L ˆ x b. 利用 L L iL可以证明： y z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ L2 , L x ] = L2 L x L x L2
ˆ 3 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ 3 ˆ 2ˆ ˆ 2ˆ = L x + L y L x + Lz Lx L x L x L y Lx Lz
量子力学讲义第三章讲义
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
量子力学第三章算符
第三章算符与力学量算符3、1 算符概述设某种运算把函数u变为函数v,用算符表示为:(3、1-1)称为算符。
u与v中得变量可能相同,也可能不同。
例如,,,,,,则,x,,,都就是算符。
1.算符得一般运算(1)算符得相等:对于任意函数u,若,则。
(2)算符得相加:对于任意函数u,若,则。
算符得相加满足交换律。
(3)算符得相乘:对于任意函数u,若,则。
算符得相乘一般不满足交换律。
如果,则称与对易。
2.几种特殊算符(1)单位算符对于任意涵数u,若u=u,则称为单位算符。
与1就是等价得。
(2)线性算符对于任意函数u与v,若,则称为反线性算符。
(3)逆算符对于任意函数u,若则称与互为逆算符。
即,。
并非所有得算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程:,其中为与函数构成得线性算符,a为常数。
其解u可表示为对应齐次方程得通解u。
与非齐次方程得特解之与,即。
因,所以不存在使。
一般说来,在特解中应允许含有对应齐次方程得通解成分,但如果当a=0时,=0,则中将不含对应齐次方程得通解成分,这时存在使,从而由得:。
从上述分析可知,就是否存在逆算符还与算符所作用得函数有关。
(4)转置算符令,则称与得转置算符,就是一个向左作用得算符。
若算符表示一般函数(或常数),由于函数得左乘等于右乘,所以函数得转置就等于它本身。
定义波函数与得标积为:(3、1-2)与得标积以及与得标积为:若上两式中得与都就是任意波函数,则称上两式中得与为任意标积中得算符。
下面考虑在任意标积中得性质。
波函数与在无限远点也应满足连续性条件:[可都等于零],,所以得:可见在任意标积中,。
(5)转置共轭算符(也称为厄密共轭算符)与厄密算符转置共轭算符通常也就是向左作用得算符,同时算符本身要取共轭。
以标记得转置共轭算符,则若在任意标积中,,则称为厄密算符。
即厄密算符得定义为:或写为(3、1-3)可以证明,位置算符与动量算符都就是厄密算符。
4第3章概念1-算符
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ L2 = −h 2 sin θ + 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
球坐标系和直角坐标系单位矢量之间的关系 v v er sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ i v v j eθ = cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin ϕ v v e − sin ϕ cos ϕ 0 k ϕ
∫
1
2
∫
2
1
ˆ （复数） 如 A = c 复数），则
ψ 1*c +ψ 2 dτ = ∫ (cψ 1 )*ψ 2 dτ = ∫ψ 1*c*ψ 2 dτ ∫
所以
ˆ= ∂ 再如 A 则 ∂x + * ∞ ∞ ∞ ∂ * ∂ ∂ * ∫−∞ψ 1 ∂x ψ 2 dx = ∫−∞ψ 2 ∂x ψ 1 dx = ∫−∞ψ 2 ∂x ψ 1 dx 束缚态 ∞ ∞ ∞ ∂ψ 2 * * ∂ψ 2 = ψ 1ψ 2 − ∫ ψ 1 dx = − ∫ ψ 1* dx −∞ −∞ −∞ ∂x ∂x
− ˆ A−1ψ n = An 1ψ n
ˆ −1不存在； 中有0 当 An中有0时， A 不存在；
ˆ 当所有 An > 0 ， 1/ 2才有意义。 A 才有意义。
1/ ˆ A1/ 2ψ n = An 2ψ n
二、角动量算符 1.角动量算符 x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ 易得
n
已归一化， 且 ψ 已归一化，则
m,n
∫
* * * * ψ *ψ dτ = ∑ cn cm ∫ψ nψ m dτ = ∑ cn cmδ nm = ∑ cn cn = ∑ cn 2 = 1 ∫
量子力学第三章5
ˆ A) 2 ) ( , ( A ˆ A) , ( A ˆ A) ) (( A ˆ A) ]*[( A ˆ A) ] dv[( A ˆ A) |2 0 dv | ( A ˆ ) 0，涨落不为负。 结论： (A
------------2
引入一个任意波函数 ( x)。 , ( x)] ( x) x ( x) i [ ( x) ( x)] ( x)i x x ( x) ( x) ( x) i ( x) i ( x ) ( x)i x x x ( x) ( x) i ( x) [i ] ( x) x x ˆ x , ( x)] i [ p x 注意这里其实只是一个 乘法算子。 ˆ x , ( x)] ( x) [i [p
2
对于本征态， ˆ ( , H ˆ ), En H n n 于是2mEn *(x) 2 估计x ~a是合理的 就是En
2
2 2 -----
4
4
，
ˆ， 则p 2m H 也就是 (p ) 2 2mH 那么2mH *( x)
2
-----
8m (x) 2
这样就可以给本征能量值找到 一个下限，就是基态能量。
关于厄米算符的结论
任何状态下厄米算符的平均值为实数。 ˆ 是厄米的。 已知A ˆ ( , A ˆ ) dv * ( A ˆ ) A 根据厄米性 ˆ , )= dv( A ˆ )* =( A
两者互为共轭 ˆ 必为实数。 则A
厄米算符本征值正交性的证明
需要掌握。 见教材。 简单：使用“能够换位这一性质”。
n iEm t iEn t
iEn t
dV ( cm cn m ( x) n ( x)e
量子力学 第三章3.6算符与力学量的关系
定 已归一）
ˆ F C d Fdx
2
ˆ 证明： F dx
C d
ˆ [( C ' ' d' )F （ C d )]dx
' ˆ = C ' C [ ' F dx ] dd
n
C 其中： n n dx ； C dx ；
C
n
2
2
2 n
C d 1 ；
2
C n 为在 ( x ) 态中测 F 得 n 的几率；
C d 为在 ( x ) 态中测 F 得 d 在范围内的
几率；
平均值公式： F
代表的力学量的 F 关系如何？这需引进新的假设，适 合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。
ˆ (1)F的 n 平方可积 ˆ 若 F 是满足一定条件 (2)F的 级数收敛 的厄米算符， ˆ n 且它的正交归一的本征函数系 1 (x)、 2 ( x) … n ( x ) …
即：C ( x ) ( x )dx
(同理可得二、三维的结果)
可见： 力学量在一般的状态中没有确定值， 而有许多可能值， 这些可能值就是表示这个力学量算符的本征值的集合， 且每 个可能值都以确定的几率出现。
三、平均值公式 在 ( x ) 所描写的状态中，F 在 ( x )态的统计平均 值（由几率求平均值）为
ˆ F n C n ( x )F ( x )dx
2 n
dx 1 ) (假定
ˆ ( x )dx 代入完全性 证明： ( x )F
量子力学第三章
(dS = rdrd ) θ
(2)氢原子的磁矩为
M = ∫ dM = ∫
π ∞
0 0
∫
−
ehm
µ
πψnlm r2 sinθ drd θ
2
=− =−
=−
π ∞ ehm 2 ⋅ 2π ∫ ∫ ψnlm r 2 sinθ drd θ 0 0 2µ
ehm 2π π ∞ 2 ψnlm r2 sinθ drd dϕ θ 2µ ∫0 ∫0 ∫0
1
3 π a0
e−r / a0 ，求：
(1)r 的平均值；
e2 (2)势能 − 的平均值； r
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r = rψ2π ∞ −2r / a0 2 re r sinθ drdθ dϕ 3 πa0 ∫0 ∫0 ∫0
∫
=
1 2πh
∫
∞
−∞
i α − 1α x − h Px 2 e e dx π
2 2
=
1 2πh
α ∞ −2α x −h Px ∫−∞ e e dx π
1
2 2
i
= = = 1
1 2πh 1 2πh 2πh
α e π ∫−∞
∞
ip p2 1 − α 2 ( x+ 2 )2 − 2 2 2 α h 2α h
4 −2r / a0 2 e r dr 3 a0
ω(r) =
dω(r) 4 2 = 3 (2 − r )re−2r / a0 dr a0 a0
令
dω(r ) = 0， r1 = 0, ⇒ dr
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时， (r) = 0 为几率最小位置 ω
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
量子力学3
量子力学3第三章力学量算符§3.1 算符及其运算规则§3.2 厄米算符及其性质§3.3 连续谱本征函数的归一化§3.4 力学量算符随时间演化§3.5 守恒量与对称性§3.6 全同粒子体系§3.1 算符及其运算规则一、算符的基本运算规则二、算符的函数三、对易关系和对易子四、厄米算符和幺正算符五、量子力学向经典力学的过渡六、角动量算符一、算符的基本运算规则一、算符的基本运算规则量子力学第二公设—算符公设1）线性算符：A ( c1ψ 1 + c 2ψ 2 ) = c1 A ψ 1 + c 2 A ψ 2二、算符的函数二、算符的函数例子一般地，算符的函数可以表为? ? f ( A) = ∑ cn A nn2）单位算符：I?ψ = ψ3）算符之和：( A + B )ψ = A ψ + B ψ ?? ? ? 4）算符之积： ( A B )ψ = A ( B ψ )一个常用的公式：eA = ∑∞ n=0An n!其它的例子例题：若G为算符，t为参数，证明：Gt e = Ge Gt ?t算符之积满足结合律，但不满足交换律（不对易）。
5）算符之逆： A A ?1 = A ?1 A = I?三、对易关系与对易子三、对易关系与对易子对易子的定义： [ A, B ] = A B ? B A例：坐标与动量的对易关系。
解：考虑x p xψ = ? ih x ? p x xψ = ? ih ? ψ ?x对易关系的几个恒等式： [ A, B ] = ?[ B , A ][ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ] [ A, BC ] = B[ A, C ] + [ A, B ]C [ AB , C ] = A[ B , C ] + [ A, C ] B [ A, [ B , C ]] + [ B , [C , A ]] + [C , [ A, B ]] = 0(Jacobi恒等式)( xψ ) = ? ih ψ ? ih x ψ ?x ?xx p xψ ? p x x ψ = ih ψ ? [ x , p x ] = ih这样，对任意波函数，均有所以类似可证： [ y , p y ] = ih但[ z , p z ] = ih[ x , p y ] = [ x , p z ] = [ y , p x ] = ...... = 0 ? [ xα , p β ] = ih δ αβ综合式四、厄米算符和幺正算符四、厄米算符和幺正算符进一步的例算1、计算对易子： [ f ( x ), p x ] = ?2、设λ是一个小量，算符 A 之逆 A ?1 存在，求证：~ ? ? 1）算符的转置：∫ ψ * A ? d τ = ∫ ? A ψ * d τ~ ? ? 即(ψ , A ? ) = (? * , A ψ * )注意算符乘积的转置用法 ?* ? * * 2）算符的复共轭：A ψ = ( A ψ )+ ? 3）算符的厄米共轭：(ψ , A ? ) = ( A ψ , ? ) ~ ? ? ? ? 由 ( A ψ , ? ) = (? , A ψ ) * = (? * , A *ψ * ) = (ψ , A *? )~ ? ? 可得 A + = A *( A ? λ B ) ?1 = A ?1 + λ A ?1 B A ?1 + λ 2 A ?1 B A ?1 B A ?1 + ...3、算符A与B不对易，但它们的对易子C与B对易，求证：[ A, B n ] = nCB n ?1 , [ A, f ( B )] = C f ' ( B ), [ A, e B ] = Ce B 算符乘积的厄米共轭4）厄米算符：若算符A满足 A + = A ，则A称为厄米算符。
H(三章2讲)算符本征函数系【优质PPT】
第三章：量子力学中的力学量
第二讲：算符本征函数系
一、所有力学量算符都是线性厄密算符
Aˆ
(c11
c2 2 )
c（1 Aˆ 1） c（2 Aˆ
）
2
Ψ*Aˆ dτ= (Aˆ Ψ)* dτ
(, Aˆ ) (Aˆ , )
二、（厄密）算符对易式
0, 称 为 不 对 易
4. 知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，通过解薛定 谔方程即可确定以后各时刻的体系的态函数。
作业：1.
２.证明 厄米算符本征函数的正交归一性。 ３. 试述波函数是Hilbert空间的一个矢量
正因为如此，我们常称波函数为态矢量！
tips:若本征函数本来是归一的，可以把正交与归一合并
本征分立谱：
n * nd 1
m * nd 0
定义：mn＝1， m n
0, m n
即：
m
* nd
mn
( m , n ) mn
三、厄密算符的本征方程
定义：
Aˆ a
如上式，若厄密算符作用于一波函数，结果等于一个常数乘以 这个波函数，则称这个方程为厄密算符的本征方程。
并称a 是Aˆ 的本征值， 为属于a 的本征函数，
测量公设：在任意态下对力学量A进行测量，其测量值必是 相应于算符Aˆ 的本征值{an}之一 ；当体系处于算符A的某一本 征态 n 时，则每次测量值是完全确定的，即为an
cnn n
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
封闭性：
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
第三章力学量用算符表达
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
ˆ ˆ x p p x i ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
ˆ ˆ ˆ ˆ xp y p y x 0 yp x p x y 0 ˆ ˆ ˆ z pz x 0 ypz pz y 0 ˆ xp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p x p y p y p x 0 p y pz pz p y 0
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ p i ˆ I
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
ˆ iLz
同理 ˆ ˆ ˆ [ L , L ] iL
y z
x
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iLy
合记之： ˆ ˆ [ L , L ] i
量子力学 第三章3.5厄米算符本征函数的正交性
f
f
nj
'
d
i 1 i 1
'
A ji A
*
ji
' '
1, * ni ' d ni 0,
j j
'
f 个
'
j j
'
C f
2
个
j, j 1 , 2 , f
即待定系数 A j i 必须满足的条件有 中
j j
'
f ( f 1) 2
n3
本征函数
n1
,
,
, 都属于相同的本征值 nf
ˆ F
ni
，而且 n
是线性无关的，则有：
n
ni
i 1、 、 f 2
，
于是上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但 我们总可以用 f 2 个常数 A
ji
把这 f 个函数线性组合成 f 个新的
f
nj
线性独立的待定函数 nj ，即： 其中 nj 仍然是
Y m ( , ) N m P
m
(c o s )e
im
组成正交归一系：
0
2
0
Y m ( , ) Y
*
m
'
( , ) sin d d
'
②
把①②合写
0
2
0
Y m ( , ) Y
*
m
'
( , ) sin d d
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符３.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为:ˆFuv =(3.1-1）ˆF 称为算符。
ｕ与v 中的变量可能相同,也可能不同。
例如，11du v dx =,22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞,(,)x i p x hx edx C p t -=,则ddx dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1.算符的一般运算(1)算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =,则ˆˆG F =。
(2）算符的相加：对于任意函数u,若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3)算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2.几种特殊算符 （１）单位算符对于任意涵数u,若ˆIｕ=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与１是等价的。
(2)线性算符对于任意函数ｕ与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称ˆF 为反线性算符。
(3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆGF -=,111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fu x af x =，其中ˆF为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当ａ＝０时,υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==,从而由ˆFvaf =得:1ˆF af υ-=。
第三章 量子力学中的力学量
∞
=∑
n=0
F
( n,m)
∞
F
( n)
(0) n!
ˆn A
∂n (n) F (x) = n F(x) ∂x
n m
ˆ ˆ ˆ ˆ 算符 A、B 的函数 F( A, B)为: ˆ ˆ F( A, B) =
n,m=0
∑
(0,0) n!m!
ˆ n Bm ；F(n,m) (x) = ∂ n ∂ m F(x, y) A ˆ
∂x ∂y
例:
将算符函数
ˆ ˆ F(H) = e
i − xt h
i ˆ − Ht h
展开成幂级数
解： F′(x) = d e
i = − te dx h i i 2 − xt − xt d i 2 h 2 h F (x) = 2 e = (− t) e dx h i i n − xt − xt d i n h n h ⋅ ⋅⋅, F (x) = dxn e = (− h t) e i n n F (0) = (− t) h
ˆ = h ∂ Px i ∂x
ˆ = − h ∂ = −P ˆ P x i ∂x
* x
r* r ˆ ˆ P = −P
~ ˆ ˆ （3）算符 F 的转置算符 F ） ~ ˆ ˆ 定义： 定义： u * Fv dτ ≡ vFu * dτ ∫ ∫
~ ˆ ˆ (u, Fv) = ( v* , Fu * )
~ ∂ ∂ 性质： 性质：ⅰ =− ∂x ∂x ~ ∞ ∞ ∞ ∂ * 证： * ∂ * ∞ * ∂ ∫−∞ u ∂x vdx = ∫−∞ v ∂x u dx = vu −∞ − ∫−∞ u ∂xvdx ~ ∞ ∂ ∂ * ∂ = = −∫ u vdx −∞ ∂x ∂x ∂x
量子力学习题解答-第3章
=c
2.
b * 1 a
ò
f
* 1
( x ) g ( x ) dx + c ò f ( x ) g ( x ) dx = c
展开系数 C ( p, t ) 称为动量表象的波函数，我们可在动量表象用波函数 C ( p, t ) 来研究这个 态。 Y 的性质都是唯一确定的，无论用什么表象研究都是一样的。
ˆ 的本征态为分立谱 f 时， 当力学量 F n Y = å cn f n ,
n
cn = f n Y
ˆ 表象中，可以方便的用矩阵形式来表示各种量子力学的公式。这个表象的波函数（展 在 F ˆ 表示为一个方矩阵 开系数 {c 可表示为一列矩阵，算符 G n } æ c æ G11 G12 1 ö ç c ÷ çG 22 ç 2 ÷ ç 21 G Ψ = ç M ÷ G = ç ... ... ç ÷ ç ç cn ÷ ç Gn1 ... ç M ÷ ç ... ... è ø è
2
测量力学量 Q ，得到的可能结果必是 Q 本征值中的一个，得到 q n 几率为 c n 。对系综测量 力学量 Q （具有大量相同 Y 态系综中的每一个 Y 进行测量）所得的平均值（期待值）为
Q = å qn cn
n
2
ˆ Ydx 计算方法等价。 这与用 Q = ò Y Q
*
ˆ 具有连续谱的本征函数系 如果力学量 Q
a a
量子力学 第三章
ˆ ˆ ˆ ˆ (∆A) (∆B) ≥ (∆Aψ , ∆Bψ ) = (ψ , ∆A∆Bψ )
2
ˆ, ˆ ˆ, ˆ [∆A ∆B]+ [A B] ψ ) + i(ψ , ψ) = (ψ , 2 2i
2
2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆψ = (ψ ,[∆A, ∆B]+ψ ) + (ψ ,[A, B] ) 4 4
1 2 1 2 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ c =1, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = (Aψ2 ,ψ1) − (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ c = i, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = −(Aψ2 ,ψ1) + (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ + : (ψ , Aψ ) = (Aψ ,ψ ), − : (Aψ ,ψ ) = (ψ , Aψ )
± lm
ˆ 因为 lz 的本征值 (m ±1)h非简并，所以 ˆ λ l±Y (θ,ϕ) = λ±Y,m±1(θ,ϕ)， ± 是常数 lm l
物理上认为： 描述同一方位， ϕ 物理上认为：ϕ与 + 2π 描述同一方位，
ψ (ϕ +2π ) =ψ (ϕ),
lz = mh, m = 0, ±1, ± 2,L
周期性边界条件 或自然边界条件
满足 (ψm,ψn ) = δmn
1 imϕ ψm (ϕ) = e 2π
ˆ 也是保证 lz 厄米的要求
例2 平面自由转子的本征能量和定态
ˆ ˆ (A− A)ψ = 0 或Aψn= Anψn
即算符的本征态时， 学量有确定测值。 学量有确定测值。
3.2.2 力学量假定
Postulate 3
v v 1. 经典力学中的任一力学量F(r , p) ，对应量 v v ˆ (r , p) = F(r ,−ih∇) ； ˆ v ˆ 子力学中的线性厄密算符 F ˆ的本征值为力学量F的测量值(称可测值)； 2. F
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第三章 算符和力学量算符算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx =，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx ，x dx ∞-∞，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。
（4）转置算符令~ˆˆFu u F =，则称~ˆF 与ˆF 的转置算符，~ˆF 是一个向左作用的算符。
若算符ˆF 表示一般函数（或常数），由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。
定义波函数ϕ与φ的标积为： *|d ϕφϕφτ∞<>=⎰ （）ϕ与ˆFφ的标积以及~ˆG ϕ与φ的标积为： *ˆˆ||F F d ϕφϕφτ∞<>=⎰~!*ˆˆ||GGd ϕφϕφτ∞<>=⎰ 若上两式中的ϕ与φ都是任意波函数，则称上两式中的ˆF与~ˆG 为任意标积中的算符。
下面考虑在任意标积中ddx的性质。
****()()d d d x x dx dx dx dx dx dxϕφϕφφϕφϕ∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞==-⎰⎰⎰波函数()x ϕ与()x φ在无限远点也应满足连续性条件：()()ϕϕ∞=-∞[可都等于零]，()()φφ∞=-∞，所以得：**d ddx dx dx dxϕφϕφ∞∞-∞-∞=-⎰⎰可见在任意标积中，d d dx dx=-。
（5）转置共轭算符（也称为厄密共轭算符）与厄密算符转置共轭算符通常也是向左作用的算符，同时算符本身要取共轭。
以ˆF+标记ˆF 的转置共轭算符，则*~ˆˆFF += *ˆˆuF F u += 若在任意标积中，ˆˆFF +=，则称ˆF 为厄密算符。
即厄密算符的定义为：**ˆˆ()F d F d ϕφτϕφτ∞∞=⎰⎰或写为ˆˆ||||FF ϕϕϕϕ+<>=<> （） 可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。
因x 是实数，而x x =，所以x x +=。
在任意标积中，因d d dx dx =-，所以*ˆˆx x h h P P i x i x ++∂∂⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。
也可以直接从定义式（）出发，来证明ˆxP 是厄密算符。
****ˆˆ|()x x h h d P dx dx P dx i i dx ϕϕφϕφφϕφ∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞=-=⎰⎰⎰，所以ˆx P 是厄密算符。
（6）幺正算符若在任意标积中，1ˆˆFF +-=，则称ˆF为幺正算符。
设ˆˆiAT e ±=，若ˆA为厄密算符，则ˆT 必为幺正算符。
（7）算符的函数设函数F （A ）的各阶导数都存在，则定义算符ˆA的函数F （ˆA ）为： ()()0ˆˆ()n o n n F F A A ni ∞==∑ （） 其中ˆn A表示n 个ˆA 的乘幂，即ˆˆˆˆn A A A A =⋅。
例如ˆ01ˆF n n e F ni∞==∑ 算符的对易关系定义算符的泊松（Poisson ）括号为：ˆˆˆˆˆˆ[,]AB AB BA =- （） 一般说来ˆˆˆˆABBA ≠，例如ˆˆˆ[,]A B ik =，这样的关系或称为对易关系式。
ˆˆ[,]0A B =是对易关系式中的特例，这时ˆˆˆˆABBA =，称ˆA 与ˆB 是对易的。
1．量子力学中基本对易关系 在位置表象中，ˆˆ(,,)()x xh h h h P x x y z x x xP i x i i x iϕϕϕϕϕϕ∂∂==+=+∂∂，即ˆˆ()x x xP P x ih ϕϕ-=，此式对任意的ϕ都成立，所以得：ˆ[,]xx P ih = 在动量表象中ˆˆ(,,)()x x y z x x x x xxPP P P ih P ih ihP ih P xP P φϕφφφφ∂∂==+=+∂∂，即ˆˆ()x x xP P x ih φφ-=，此式对任意的φ都成立，所以得：ˆ[,]x xP ih = 可见在位置表象中与动量表象中都得：ˆˆ[,]xx P ih = （） 如果两个算符所含的独立变量不同，则这两个算符是对易的。
例如，在位置表象中，ˆyy =所含的变量是y ，而ˆxh P i x∂=∂所含的变量是x ，所以ˆ[,]x y P =0。
又如，在有心力场中，U(x)所含的变量是r ，而2ˆL所含的变量是,θφ，所以2ˆ[(),]0U r L =。
此外，相同的算符一定对易。
以(1,2,3)i x i =表示x ，y ，z ，以ˆiP 表示ˆˆˆ,,x y z P P P ，则应有： ˆˆ[,]0ˆˆ[,]0i j i j xx P P =⎧⎪⎨=⎪⎩ （）ˆˆ[,]i j ijx P ih δ= （）式就是量子力学中的基本对易关系式。
2．线性算符泊松括号的性质根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下 关系式：（其证明供练习）ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- （） ˆ[,]0AC = C 为常数 （） ˆˆˆˆ[,][,]CAB C A B = C 为常数 （） 1212ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A A B A B A B +=+121212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A A B A B A A A B =+ˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A B A B A B t t t∂∂∂=+∂∂∂ 3．其他对易关系（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系ˆˆˆ[,][,,]0x z yL x yP zP x == ˆˆˆˆˆ[,][,][,][,]x z y y yL y yP zP y z P y z y P ihz =-=-== 同理可得：ˆ[,]x L z ihy =-，……，各对易关系可合写为： ˆˆ[,]ij ijk kkL x ih x ε=∑采用爱因斯坦记号，则上式可写为：ˆˆ[,]ij ijk k L x ih x ε= （） 其中ijk ε称为勒维——奇维塔（Levi-Civita ）符号。
123ε=1，ijk ε对所有角标都是反对称的，即交换任意两个角标，其值反号，例如，2131ε=-，3211ε=-。
若ijk ε中有两个角标相同，则其值为零。
ijk ε具有以下数学性质：2ij ij ijk k i j i j αβαβαβαββαεεδεεδδδδ=⎧⎪⎨=-⎪⎩ （） ()2i j j ik ijk i j ijkA B A B A B A B εε-⨯==上式中将i j A B 改写为2i j j iA B A B -称为将i j A B 反对称化，之所以能将i j A B 反对称化是由于ijk ε对角标i ，j 反对称之故。
（2）角动量算符与动量算符之间的对易关系ˆˆˆ[,]i j ijk k L P ih P ε= （）（3）角动量算符的对易关系ˆˆˆ[,]i j ijk k L L ih L ε= （）上式中三个不为零的对易关系式还可以写成下面的关系式：,L L ih L ∧∧∧= （）若令ˆˆˆˆˆˆ,x y x yL L iL L L iL +-=+=-，则可得： ˆˆˆ[,]2ˆˆˆ[]zz L L hL L L hL +-±±⎧=⎪⎨=±⎪⎩ （）2ˆˆ[,]0iL L = （） （4）算符的函数之间的对易关系[(,,),](,,)f x y z P ih f x y z ∧=∇ （）1ˆˆˆ[,()]0,[()]0A f A f A == 必须注意，若ˆˆ[,]0FG ≠，则ˆˆˆˆFG F G e e e +≠⋅。
线性厄密算符和力学量算符1．厄密算符的性质（1）对易的厄密算符的乘积也是厄密算符。
设ˆF与ˆG 是对易的厄密算符，利用（）式可得： ****ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()FG d F G d GF d FG d ϕφτφφτφφτϕτ∞∞∞∞===⎰⎰⎰⎰所以ˆˆFG也是厄密算符。
（2）厄密算符的本征值必为实数。
设ˆF为厄密算符，其本征方程为： ˆFF ϕϕ=，则***ˆ()F F ϕϕ= 根据（）式得：**ˆˆ()F d F d ϕϕτϕϕτ∞∞=⎰⎰则***F d F d ϕϕτϕϕτ∞∞=⎰⎰因*0d ϕϕτ∞≠⎰，则得F=F*，所以F 为实数。
（3）厄密算符属于不同本征值的本征函数是正交的。
设k ϕ，l ϕ为厄密算符ˆF 分别对应本征值k F ，eF 的本征函数，则**ˆˆ()klk eF d F d ϕϕτϕϕτ∞∞=⎰⎰即*()0e k k l F F d ϕϕτ∞-=⎰当e k F F ≠时得：*0k ld ϕϕτ∞=⎰上式称为正交关系式。
若本征值无简并，且本征函数已归一化，则得： 当F 为分立谱时，*k l kl d ϕϕτδ∞=⎰（） 当F 为连续谱时，*()FF d F F ϕϕτδ'∞'=-⎰ （）如果ˆF中含有参变量，则只有当参变量的值保持不变时，属于不同本征值的本征函数才是正交的。