专题1.5函数的综合应用-2021年高考数学(理)尖子生培优题典(原卷版)

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2021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典
专题1.4导数的综合应用
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2020·全国高三课时练习（理））当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]--
B ．9
[6,]8
--
C ．[6,2]--
D ．[4,3]--
2．（2019·湖北东西湖华中师大一附中高三其他（理））已知函数()2ln 2,0,3,0,2x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩
，()1g x kx =-，
()f x 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在()g x 的图像上，则k 的取值范围是（ ）
A ．13,
34⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
3．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，
()()30f x f x x
'+
<，则函数()()31
g x f x x =-的零点个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
4．（2020·河南南阳高三二模（理））已知函数()x x
f x e =，关于x 的方程
1()()
f x m f x -=有三个不等实根，则实数m 的取值范围是（ ）
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A ．1
(,)e e
-+∞
B ．1(,)e e
-+∞
C ．1(,)e e
-∞-
D ．1(,)e e
-∞-
5．（2020·安徽屯溪一中高二期中（理））函数()ln x
f x x e
=-的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数()ln a
f x x a x
=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．e ,11e ⎡⎤
-⎢
⎥-⎣⎦
B ．e ,11e ⎡⎫
⎪⎢
-⎣⎭
C ．e ,11e ⎡⎫
-⎪⎢
-⎣⎭
D ．[
)1,e - 7．（2020·甘肃城关兰州一中高三三模（理））已知函数()x x
f x xe e =-，函数()
g x mx m =-，0m >，，若
对任意的1[22]x ∈-，
，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A ．2
1
[3,]3
e --
B ．2[,)e +∞
C ．2
1[,]3
e
D ．1[,)3
+∞
8．（2020·吉化第一高级中学校高三其他（理））已知函数18ln (,)y a x x e e ⎡⎤
=+∈⎢
⎥⎣⎦
的图象上存在点P ，函数2
2y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（ ）
A ．2[68ln 2,6]e --
B ．2
[6,)e -+∞
C ．2110,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭
D ．2168ln 2,10e ⎡
⎤-+⎢
⎥⎣⎦
9．（2020·安徽金安六安一中高三其他（理））若函数()ln f x x x h =-++，在区间1
,e e
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上任取三个实数
a ，
b ，
c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）
A ．11,
1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．11,3e e ⎛⎫--
⎪⎝⎭
C ．11,e ⎛⎫
-+∞
⎪⎝⎭
D ．()3,e -+∞
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10．（2020·陕西高三其他（理））
已知函数1
()1,0
x x f x xe x -≤=+>，点,A B 是函数()f x 图象上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ） A ．(0,
)4
π
B ．(0,
]4
π
C ．(0,)3
π
D ．(0,
]3
π
11．（2020·甘肃靖远高三其他（理））设函数()f x 是定义在[
)1,+∞上的单调函数，且[)1,x ∀∈+∞，()()ln 0f f x x x +-=．若不等式()()()1f x f x a x '-≤-对[)1,x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．1,4
⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
B ．1,4⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．(],1-∞
D ．[
)1,+∞ 12．（2020·湖南衡阳高三三模（理））设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且
()()2cos x f x g x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2020·四川宜宾，高三其他（理））对x R ∀∈，不等式2()x x e m e m x -≥恒成立，则实数m 的取值范围是_______
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14．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数()x
e f x x =，22()(1)g x x a =--+，若当0x >时，存在1x ，
2x R ∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是_____________.
15．（2020·岳麓湖南师大附中高三其他（理））已知函数2()f x x m =+与函数
11()ln 3,22g x x x x ⎛⎫
⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是
________.
16．（2020·安徽金安六安一中高三月考（理））已知函数()ln 2x
f x e x =--.下列说法正确的是___________.
①()f x 有且仅有一个极值点； ②()f x 有零点；
③若()f x 极小值点为0x ，则01
0()2
f x <<
； ④若()f x 极小值点为0x ，则
01
()12
f x <<. 17．（2020·四川达州，高三三模（理））已知3
2
()31f x x a x b =-++是奇函数，(),0,
()ln(),0,
f x x
g x x b x ≤⎧=⎨
-->⎩若4
()2g x a ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______．
18．（2020·全国高三其他（理））已知函数()|ln |f x x =，20,01
()42,1x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程
()()f x m g x +=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围为______________.
三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2019·河北辛集中学高三月考（理））已知函数()()ln 1f x x a x =+-， a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；
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（2）当12
a =-
时，令()()2
12g x x f x =--，其导函数为()'g x ，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断12
2
x x +是否为()'g x 的零点？并说明理由.
20．（2020·浙江高三期末）已知函数()()1
ln f x a x a x
=+∈R . （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；
（2）若存在两个不等正实数1x 、2x ，满足()()12f x f x =，且122x x +=，求实数a 的取值范围. 21．（2020·黑山县黑山中学高三月考（理））已知函数()2
11
x x e f x =---． （Ⅰ）不需证明，直接写出()f x 的奇偶性：
（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点：
（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线x
y e =在点(
)0
0,x A x e
处的切线也是曲线ln y x =的切线．
23．（2020·安徽芜湖高三一模（理））已知函数()()22x
x
f x ae e
a x -=++-.
（1）若()y f x =存在极值，求实数a 的取值范围；
（2）设12a ≤≤，设()()()2cos g x f x a x =-+是定义在π,2
⎛∞⎤- ⎥⎝
⎦
上的函数.
（，）证明：()y g x '=在π,2
⎛∞⎤- ⎥⎝
⎦
上为单调递增函数(()g x '是()y g x =的导函数)；
（，）讨论()y g x =的零点个数.
24．（2020·安徽相山淮北一中高三月考（理））已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
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（Ⅱ）比较222
222ln 2ln 3ln 23n n
++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.
25．（2020·沙坪坝，重庆南开中学高三月考（理））我们平时的导数学习中，见到过很多形形色色的函数，
其实很多函数的形态是具有共性的，比如x e x
与2x
e x ，ln x x 与2ln x x 等等.
（1）已知()x
k e f x x
=，()ln k x g x x =，k 为正常数，分别求这两个函数在()0,∞+的最值.
（2）证明：23ln 10e
x x e x -->.
26．（2020·河南高三月考（理））已知函数()()ln x
f x ae b x b a b R =-+∈，，若曲线()y f x =在点
()()1,1f 处的切线方程为()2120e x y --+=．
（1）求a ，b 的值；
（2）证明：()3ln 2f x >+．
27．（2020·江西高三月考（理））已知函数()1
2ln f x x a x x
=--有两个不同的极值点1x 、()212x x x >. （1）求实数a 的取值范围；
（2）若3a >，求证：11x >，且
()()12124
2ln 23
f x f x x x -<-+.
28．（2020·江苏南通高三其他）已知函数()1ln x
f x x
+=
. （1）求函数()f x 的图象在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的x D ∈，均有()()m x n x ≤，则称()m x 为()n x 在区间D 上的下界函数，()n x 为()m x 在区间D 上的上界函数.
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①若()1
x
e g x x =+，求证：()g x 为()
f x 在()0,∞+上的上界函数；
②若()1
k
g x x =
+，()g x 为()f x 在[)1,+∞上的下界函数，求实数k 的取值范围. 29．（2020·北京西城高三二模）设函数()cos x
f x ae x =+，其中a R ∈． （，）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （，）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；
（，）若()f x 在区间[]0,π内有两个不同的零点，求a 的取值范围．
30．（2019·天津河西高三三模（理））已知函数()x
f x e =，()ln
g x x =，()
h x kx b =+.
（1）当0b =时，若对任意()0,x ∈+∞均有()()()f x h x g x ≥≥成立，求实数k 的取值范围；
（2）设直线()h x 与曲线()f x 和曲线()g x 相切，切点分别为()()
11,A x f x ，()()
22,B x g x ，其中10x <. ①求证：2x e >；
②当2x x ≥时，关于x 的不等式()11ln 0x x x x a -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围.。