余式定理及因式定理的应用
余式定理
餘式定理、因式定理除法原理：f (x)= g (x)⋅q(x) + r(x)，deg r(x)<deg g(x) 或r(x) = 0餘式定理：多項式f(x)除以x -a 的餘式等於f (a)。
有關f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。
餘式定理推廣：多項式f (x)除以ax+b 的餘式等於f (- b a)。
f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a 的函數值。
(2) 多項式f (x)除以x -a 的餘式。
範例：二次式ax 2+bx -4以x +1除之，得餘式3，以x -1除之，得餘式1，若以x -2除之，所得的餘式為 。
解：f(x) = ax 2+bx -4，f(-1) =3且f(1) =1由此解得a 與b ，再求f(2)=18即為所得。
範例：試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為 。
解： f(x) = x 5-4x 4-72x 3-56x 2+15x +7利用綜合除法求f(11) = 51範例：設二多項式f(x),g(x)以2x 2-3x -2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans ：192解：f(x) = (2x 2-3x -2)× p(x) + (3x+2)g(x) = (2x 2-3x -2)× q(x) + (-4x+7)f(x)+g(x) = (2x 2-3x -2)(p(x)+q(x)) + (-x+9)= (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x)) + (-x+9) F(x) = f(x)+g(x) , F(12-) = -(12-) +9 = 192範例：求多項式(x 2+3x+2)3被x 2+2x+3除之餘式為何？解：x 2+3x+2 = (x 2+2x+3) + (x-1)(x 2+3x+2)3= ( (x 2+2x+3) + (x-1) )3= (x 2+2x+3)3 + 3(x 2+2x+3)2(x-1) + 3 (x 2+2x+3)(x-1)2 + (x-1)3 求多項式(x 2+3x+2)3被x 2+2x+3除之餘式 = 求多項式(x-1)3被x 2+2x+3除之餘式= 10x+14範例：多項式f(x)以x 2-3x -4，2x 2-3x+1除之餘式各為4x -1，2x+7，試求f(x)以2x 2-9x+4除之餘式為何？解： f(x) = (x 2-3x -4) × p(x) + 4x -1 = (x-4)(x+1) × p(x) + 4x -1f(x) = (2x 2-3x+1) × q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) × q(x) + 2x+7f(4) = 15 且f(12) =8f(x) = (2x 2-9x+4) × S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) × S(x) + ax +b利用f(4) = 15 = 4a +b 及 f(12) = 8 = 12a +b我們可解得a = 2，b =7，故f(x)以 2x2-9x+4除之餘式為 2x + 7範例：多項式f(x)以x(x-1)除之，餘式為-x+3，以x(x+1)除之餘式為-3x+3，則f(x) 除以x(x2-1)之餘式為何？解：f(x) = x(x-1) × p(x) + (-x+3)f(x) = x(x+1) × q(x) + (-3x+3)f(x) = x(x2-1) × S(x) + ax2+ bx + c我們有 f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入 f(x) = x(x2-1) × S(x) + ax2+ bx + c。
整式的乘除知识点
整式的乘除知识点整式的乘法运算是指对两个或多个整式进行相乘的运算。
整式的除法运算是指对一个整式除以另一个整式的运算。
整式的乘除运算是代数学中的基本运算，它在代数方程的解法、因式分解等应用中起着重要作用。
一、整式的乘法运算整式的乘法是指对两个或多个整式进行相乘的运算，其规则如下：1.单项式相乘：两个单项式相乘时，按照数字相乘，字母相乘，再将相同字母的指数相加的原则进行运算。
例如：(3x^2)(-2xy)=-6x^3y2.整式相乘：将一个整式中的每一项与另一个整式中的每一项进行相乘，然后将所得的结果相加。
例如：(x+5)(x-3)=x^2-x(3)+5(x)-15=x^2-3x+5x-15=x^2+2x-153.公式相乘：根据一些常见公式和特殊公式，可以通过整式的乘法运算简化计算。
例如：(a+b)(a-b)=a^2-(b)^2=a^2-b^2二、整式的除法运算整式的除法是指对一个整式除以另一个整式的运算，其规则如下：1.简单整式的除法：当被除式是单项式，除式也是单项式，并且除式不为零时，可以进行简单整式的除法运算。
例如：12x^3/4x=x^32.整式长除法：当被除式是一个整式，除式也是一个整式，并且除式不为零时，可以进行整式长除法运算。
例如：(3x^3-2x^2+4x-6)/(x+2)=3x^2-8x+20余-463.分式的除法：分式的除法可以利用倒数的概念进行处理，将除法问题转化为乘法问题。
例如：(a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c)=(ad)/(bc)三、整式乘除运算的性质和应用1.乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a×b=b×a。
这个性质可以简化计算，使得整式的乘法更加灵活。
2.乘法结合律：整式的乘法满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。
这个性质可以改变运算次序，简化计算过程。
3.乘法分配律：整式的乘法满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
因式定理和余式定理
因式定理和余式定理数学作为一门学科，有着悠久的历史，历经时代的变迁，发展至今。
其中，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，被誉为“二定理”。
本文就因式定理和余式定理进行具体介绍，以加深我们对它们的了解。
因式定理，又称费马小定理，它的发现者是德国数学家孔因斯费马，他于1824年发明了该定理。
它的正式名称叫做“一个整数的N 次方等于一个循环的形式的定理”。
该定理定义为：对于给定的质数p和正整数a满足ap a mod p（其中，a≠0 mod p），若x是正整数，设X x mod p，则满足下列关系：ax X mod p说明，如果知道了一个质数p和一个满足ap a mod p（其中，a ≠0 mod p）的整数a，那么我们就可以通过X（即x mod p）来计算ax mod p的值，当X为非常大的时候，计算成本也会非常高，因式定理能够解决这一问题。
余式定理也是一种数学定理，它发现者是著名的法国拉格朗日，他在1750年发明了该定理。
它的正式名称叫做“关于自由变量的多项式的系数的定理”。
它的意思是，在多项式中系数的值可以由以下公式来计算：a_n=p^n%c_1*p^(n-1)%c_2*...*p^1%c_n*1%c_(n+1) 其中，P表示多项式的本原，c_1，c_2，…，c_n+1表示多项系数的值，a_n表示系数的值，n表示多项式的次数。
由费马小定理和拉格朗日余式定理可知，如果满足它们相应的条件，那么就能够计算出多项式中系数的值。
这对我们学习数学和计算机科学有着重要的意义。
它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。
从上文中可以看出，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，给我们带来极大的帮助。
这就是因式定理和余式定理的重要性。
综上所述，因式定理和余式定理在数学史上占有重要地位，它们能够解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。
a的四次方+4因式分解余数定理
主题：a的四次方+4因式分解余数定理内容：1. 介绍a的四次方a的四次方表示为a^4，即a与自身相乘四次的结果。
在数学中，四次方是一个常见的指数运算，具有重要的数学性质和应用。
对于任意实数a，a的四次方都可以用公式计算得出。
2. 讨论4因式分解因式分解是代数中的一个重要概念，指将一个代数式或多项式分解成乘积的形式。
4因式分解则是指求一个数的所有因子（包括负因子）的方法。
4因式分解在代数、数论以及其他领域中都有着广泛的应用。
3. 余数定理余数定理是数论中的一个重要定理，用来描述一个整数被另一个整数除后所得的余数。
余数定理在代数、离散数学等领域有着重要的应用，是解决很多问题的关键工具之一。
4. a的四次方+4因式分解余数定理当我们将a的四次方进行因式分解时，可以利用余数定理来简化问题。
通过余数定理，我们可以得出a的四次方对4求余的结果，进而得到a^4+4的因式分解形式。
5. 总结a的四次方+4因式分解余数定理是数学中的一个重要问题，涉及了指数运算、因式分解和余数定理等多个数学概念。
通过深入理解和灵活运用这些数学工具，我们可以更好地解决和理解相关问题，拓展数学知识的应用领域。
结论：通过对a的四次方+4因式分解余数定理进行深入探讨，我们不仅可以增进对数学知识的理解和应用，还可以培养逻辑思维和数学推理能力，为进一步学习和研究数学奠定坚实的基础。
a的四次方在数学中具有重要的地位和应用价值。
我们来推导a的四次方的计算方式。
对于任意实数a，a的四次方可以表示为a^4。
具体计算时，可以通过连续乘以自身四次来得到结果，即a^4 = a * a * a * a。
a的四次方实际上是a 连续相乘四次的结果。
在代数中，因式分解是一个重要的概念，可以帮助我们简化复杂的代数式或多项式。
4因式分解是指求一个数的所有因子（包括负因子）的方法，它在数论、代数、几何和其他数学领域中都有着广泛的应用。
通过进行因子分解，我们可以将一个代数式或多项式分解成乘积的形式，从而更好地理解和处理数学问题。
剩余定理的计算
剩余定理的计算中国剩余定理公式小学如下：1、余数定理（Polynomial remainder theorem）是指一个多项式f(x) 除以一个线性多项式(x-a)的余数是f(a)。
若f(a)=0，则(x-a)为多项式f(x)的因式。
例如，(5x3+4x2-12x+1)/(x-3) 的余式是5·33+4·32-12·3+1=136。
2、多项式f(x)除以(x-a)所得的余数等于f(a)。
3、证明：根据除法的定义及性质可知，被除数=除数×商+余数。
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
解答方法：三人同行七十希，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
意思是:将除以3得余数乘以70，将除以5得余数乘以21，将除以7得余数乘以15，全部加起来后再减去105或105的整倍数，得到的数就是答案。
70X2+21x3+15x2=233=105x2+23，结果就是23。
解法举例：例一：一个数，除以5余1，除以3余2。
问这个数最小是多少？采用通用的方法：逐步满足法把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11.所以11就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。
例二：一个数除以5余1，除以3也余1。
问这个数最小是多少？（1除外）特殊的方法：最小公倍法除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。
除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。
§42余式定理,因式定理
§4−2 餘式定理、因式定理(甲)餘式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x−a的餘式等於f(a)。
證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x−a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a−a)⋅q(a)+r = r。
推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(−b a)。
f(a)的雙重意義：!多項函數f(x)在x=a的函數值。
"多項式f(x)除以x−a的餘式。
[例題1] 求下列二小題：(1)求(x3+2x2−x−4)3除以x+3的餘式。
(2)設f(x)=1250x6-2790x5−3125x4+707x3+100x2+45x−62，則f(3)=？Ans：(1)−1000 (2)217[例題2] 二次式ax2+bx−4以x+1除之，得餘式3，以x−1除之，得餘式1，若以x−2除之，所得的餘式為。
Ans：18(練習1) 試求115−4⋅114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+7之值為。
Ans：51(練習2) 設二多項式f(x),g(x)以2x2−3x−2除之，餘式分別為3x+2,−4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans：19 2(練習3) f(x)=2x4+3x3+5x2−6，求2x−1除f(x−3)的餘式。
Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x−3)，再利用餘式定理。
[例題3] 試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7−50x5+8x4−5x3−19x2+41x+6除以(x−1)(x−7)之餘式。
(2)設多項式f(x)不低於2次，以x−1除之餘2，以x+2除之餘−1，則以(x−1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x−1除之餘3，以x+1除之餘1，以x−2除之餘−2，則求以(x−1)(x+1)(x−2)除f(x)的餘式。
(完整word版)余式定理及因式定理的应用
初二数学竞赛培训专题:余式定理及因式定理的应用初二（ ）班 姓名： 学号： _一、知识要点：1、()x f 的意义：已知多项式()x f ,若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示。
2、被除式、除式、商式、余式之间的关系:设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ,余式为()x r ，则:()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ;多项式)(x f 除以b ax -之余式)(a bf 。
4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=a bf 。
二、余式定理应用：1、（1)已知132)(3-+=x x x f ， 求f (x ）除以)1(-x 、()12+x 所得的余式；（2)设f （x )=2x 2+kx +10除以2x –1余5,求k 的值；（3）以x 2–3x –4除多项式f (x ）与g （x ），分别得余式3x +2与–4x +7， 求以x –4除f （x )+g (x ）所得的余式。
2、设6302546)(2345-+---=x x x x x x f ,求f （7)。
3、计算：(1）2001246012161258127122345-⋅-⋅+⋅-⋅-；（2）7111511561172114112345+⋅+⋅-⋅-⋅-。
4、（1）)(x f 、()x g 都是多项式，已知221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，2521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-g ，则以12+x 除()()x g x f ⋅之余式是什么? （2）)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，且)(x g 除以322-+x x 之余式为 25+x ，则1-x 除)()15()()3(2x g x x f x ⋅++⋅+的余式是什么?三、因式定理应用：1、设x –2为f （x ）=3x 3+x 2–kx +5的因式，试求k 的值。
余数定理的几个关键运用
余数定理的几个关键运用余数定理，听起来是不是有点复杂？这玩意儿就像是数学里的一把钥匙，能帮助你快速打开问题的“宝箱”。
你要知道，余数定理不是只有在高深的数学题里才有用，它在我们日常生活中也是处处可见。
说到这里，很多人可能就想问了：“这余数定理到底是啥啊？”其实很简单，余数定理就是当你把一个多项式除以（xa）时，余数就等于这个多项式在x=a时的值。
嗯，听起来有点抽象对吧？别急，慢慢聊，我们一步步走。
举个例子，想象一下你在做一个数学题，你手里有个多项式f(x)，比如f(x)=x³4x²+3x2。
你可能会遇到这么一道题：“求这个多项式除以x1时的余数是多少？”这时候，余数定理就派上用场啦！根据余数定理，你只需要把x=1代入多项式f(x)，也就是f(1)，然后算出结果，就是余数啦。
你看，简单吧？其实关键就在于，余数定理给了你一个超省事的捷径，用直接代入的方法就能搞定问题，而不需要一顿长时间的长除法运算，省心又省力！但说到余数定理的真正威力，那就不得不提它的“高阶应用”了。
比如，有时候我们遇到一些多项式方程，想要找它的根或者因式分解，余数定理就成了一个巨大的“神器”。
举个例子，当你想判断x2是不是多项式的因式时，完全可以使用余数定理。
你只需要把x=2代入，看看是不是余数为0。
如果余数为0，恭喜你，x2就是多项式的因式！是不是有点像“高科技的破解秘籍”？不信？那你就试试看！这些方法，真是让人眼前一亮，尤其是在解一些复杂方程时，简直就是一条直接通往答案的捷径。
你有没有想过，余数定理其实就是一种非常简单却极其有效的数学“黑科技”？当我们在解题时，常常会碰到这种情况：手里有个多项式，想要知道它的一些信息，结果发现自己根本没法直接解决。
这个时候，余数定理就能出场了，让你轻松得出答案。
它的应用范围不仅仅局限于简单的余数计算，它甚至能帮你分析多项式的根、判断因式等等。
简直是个“多面手”，无论你在做什么样的题，它都能给你提供非常强大的支持。
高中数学多项式因式分解与余式定理分析
高中数学多项式因式分解与余式定理分析在高中数学中，多项式因式分解与余式定理是一个重要的知识点。
它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他领域中也有广泛的应用。
本文将从多项式因式分解和余式定理两个方面进行详细的分析和说明，并通过具体的题目举例来说明考点和解题技巧。
一、多项式因式分解多项式因式分解是将一个多项式拆分成若干个乘积的形式，其中每个乘积都是低次多项式。
在解题过程中，我们常常会遇到需要将多项式因式分解的情况。
下面我们通过一个具体的例子来说明其中的考点和解题技巧。
例题1：将多项式$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$进行因式分解。
解析：首先，我们观察多项式的系数，发现它并不是一个简单的多项式。
因此，我们可以尝试使用因式定理进行因式分解。
根据因式定理，如果一个多项式$f(x)$存在一个因式$x-a$，那么$f(a)=0$。
我们可以尝试将多项式$f(x)$带入因式定理中，令$f(x) = 0$，得到$x^3 - 3x^2 -4x + 12 = 0$。
通过试错法，我们可以发现$x=2$是方程的一个解。
因此，我们可以得到$(x-2)$是多项式$f(x)$的一个因式。
接下来，我们可以使用多项式除法将$f(x)$除以$(x-2)$，得到商式$q(x)$和余式$r(x)$。
通过计算，我们可以得到$f(x) = (x-2)(x^2-x-6)$。
最后，我们可以继续对$x^2-x-6$进行因式分解。
通过分解，我们可以得到$x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$。
因此，原多项式$f(x)$可以完全分解为$f(x) = (x-2)(x-3)(x+2)$。
通过以上的例题分析，我们可以总结出多项式因式分解的一些解题技巧。
首先，我们可以尝试使用因式定理来寻找多项式的因式。
其次，我们可以使用多项式除法来进行因式分解的计算。
最后，我们可以通过分解低次多项式来得到多项式的完全分解。
二、余式定理余式定理是多项式除法的一个重要应用，它可以帮助我们在计算多项式除法时简化计算过程。
余式定理,因式定理
余式定理1公式整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。
如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。
反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。
2概念当一个多项式f(x) 除以(x – a) 时，所得的余数等于 f(a)。
例如：当 f(x)=x^2+x+2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。
3推论当一个多项式 f(x) 除以 (mx – n) 时，所得的余数等于 f(n/m)。
例如：求当 9x^2+6x–7 除以 (3x + 1) 时所得的余数。
设 f(x) = 9x^2 + 6x – 7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。
4例题（全国港澳台华侨联合招生考试题型）设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x2+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少?解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。
因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8所以f(1)=3a+7+16=8所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11因式定理1定义为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。
反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。
2例题如图，此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。
仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。
根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的，可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式为对称多项式直接得到）然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数即可3意义熟练掌握因式定理后，可以运用试根法（结合因式定理）找到因式（大多试±1，±2，±3，±?），再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数，或综合除法直接求出剩下的因式，这样就可以较便利的分解因式了。
余式定理
高中统考练习（余式定理，因式定理）高中高级数学1•除法原理：f(x)=g(x)×q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0•余式定理：多项式f(x)除以x-a的余式等于f(a)。
•因式定理：設f(x)為一多項式，則x-a 為f(x) 的因式⇔f(a)=0（选择题）1. 若x-4 为 2x3 + k x2– 41x + 20 之一因式，则k = ? [1988 No.1]A 3B 2C 1D -1E -22. 若 4x3– 3x2 + x -1 除以 (x-2) (x-1) , 求其余式。
[1990 No.8]A 20x– 19B 20x + 19C 23 – 4xD -2E 23. 当多项式x3 + (k-4)x2 + (k-9)x– 4 除以 (x-2) 时，其余数为12，试求k的值。
[1991 No.11]A -7B -3C 0D 3E 74. 若x20 + p x11 + 3x2– 10 除以x + 1得余数 -18 , 求p 之值。
[1993 No.6]A -23B 2C 4D 12E 135. 若x-2 是f (x) = x3– 7x + k 的一个因式，问下列何式也是f (x) 的因式 ? [1998 No.1]A x + 1B x+2C x+3D x-3E x-66. 若f (x) = 3x3– 4x2 + k x + 5 能被x -1 所整除，求 k 的值。
[1999 No.1]A 4B 3C 1D 0E -47. 若x+1 是 2x3 + 3x2– 2k – 1 的因式，求k的值。
[2000 No.1]A -2B -1/2C 0D 1/2E 28. 若多项式x3– (m-1)x2 + 2x -1 除以 (x-1) 得余数 -1 ，则m的值是______。
[2001 No.1]A 4B 2C -2D -3E -49. 若f (x) = a x3– 5x2 + 4x– 4 能被x-2 所整除，求 a 的值。
(完整版)初中代数八大定理
(完整版)初中代数八大定理初中代数八大定理引言初中代数是数学学科中的一个重要分支，涉及到代数运算、代数方程、代数不等式等概念和方法。
掌握初中代数的基本定理对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍初中代数中的八大定理，帮助读者更好地理解和应用这些定理。
定理一：一元一次方程的解一元一次方程是形如 ax + b = 0 的方程，其中 a 和 b 是已知数，x 是未知数。
一元一次方程有唯一解，解的公式为 x = -b/a。
该定理的证明过程较为简单，可以通过代入法或消元法得到。
定理二：一元二次方程的解一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b 和 c是已知数，x 是未知数。
一元二次方程可以有零个、一个或两个实数解，解的公式为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
根据方程的判别式b^2 - 4ac 的值可以判断方程的解的情况。
定理三：因式定理因式定理是指如果把一个多项式的一个因式 x - a 除去，得到的商多项式为 q(x)，则原多项式可以表示为 p(x) = (x - a)q(x) + r，其中 r 是一个常数。
这个定理告诉我们如何判断一个多项式是否是另一个多项式的因式。
定理四：余式定理余式定理是因式定理的一种特殊情况，当把一个多项式的一个因式 x - a 除去时，得到的余式为 0。
余式定理和因式定理密切相关，可以帮助我们判断一个数是否是多项式的根。
定理五：二次根式乘除定理二次根式乘除定理是指两个二次根式之间可以进行乘法和除法运算，乘法运算可以通过平方差公式进行展开，除法运算可以通过有理化的方法进行求解。
定理六：二次根式的加减定理二次根式的加减定理是指两个二次根式之间可以进行加法和减法运算，运算过程中需要对二次根式进行合并和简化。
定理七：分式的加减定理分式的加减定理是指两个分式之间可以进行加法和减法运算，运算过程中需要对分式进行通分、合并和简化。
综合除法
第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。
因式定理与余式定理
余式定理的证明
03
因式定理与余式定理的关系
01
02
因式定理与余式定理的联系
余式定理是因式定理的一种特殊情况，即当多项式在某点取值为零时，其导数在该点的值等于余式。
两者都是多项式理论中的重要定理，用于研究多项式的因式分解和余数性质。
因式定理主要关注多项式的因式分解，即通过多项式的根来寻找多项式的因式；而余式定理则关注多项式在某点的余数性质，即通过多项式在该点的值和导数来计算余数。
针对特定问题，开发基于因式定理与余式定理的算法和工具，以简化数学计算和证明过程。
因式定理与余式定理的推广和改进
因式定理与余式定理在其他学科中的应用
探讨因式定理与余式定理在其他学科领域中的应用，例如物理学、工程学、经济学等。
研究因式定理与余式定理在其他学科中应用的案例，分析其解决问题的有效性和实用性。
详细描述
总结词：因式定理的证明通常基于代数的基本性质和定理，如零因子定理和整除定理等。
因式定理的证明
02
余式定理
总结词
余式定理描述了多项式在某点的泰勒展开中的余项。
详细描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余式定理指出，对于一个在点$x_0$处具有$n+1$阶导数的函数$f(x)$，其泰勒展开中的余项可以表示为$R_{n+1}(x) = f^{(n+1)}(x_0) cdot frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$，其中$f^{(n+1)}(x_0)$是$f(x)$在$x_0$处的$(n+1)$阶导数。
余式定理的定义
总结词
余式定理在解决多项式方程、求函数的极值和判断函数的单调性等方面有应用。
详细描述
余数定理及应用
余数定理及应用 （麻城实验高中：阮晓锋） 定理：多项式f(x)除以(x-a)所得的余数等于f(a). 证明：设f(x)=(x-a)q(x)+r(x) 则f(a)=r(a),即余数定理成立。
推论：（x-a ）|f(x)⇔f(a)=0(又叫余数定理) 例一：若多项式b x a x x +++73-2234x 能被2-x 2x +整除，求a,b 的值。
解：令f(x)=b x a x x +++73-2234x ∵2-x 2x +=(x-1)(x+2）∴f(1)=0且 f(-2)=0∴⎩⎨⎧=++=++042406b a b a 解之得⎩⎨⎧==612-a b 变式题：若7-3x 2ax +被3x-2除后余5，则a 的值为__16__例二：若1-3x 2=x ，求f(x)=20017-3-129222++x x x x 的值 解：由1-3x 2=x 得01--3x 2=x 又f(X)=(1--3x 2x )(3x+4)+2005∴f(X)=0+2005=2005 变式题：已知a 为有理数，且123a +++a a =0，则a a 20012a 1++++ 的值为__0__ 解：易得a a 20012a 1++++ =（123a +++a a ）（a a a 2199019941998a ++++ ）+a+1 ∵123a +++a a =（1a 2+）（a+1） ∴a+1=0∴原式=0例三：分解因式()()()x z z y y ---x 222++ 解：易知当x=z 时原式=0。
当x=y 与y=z 时亦有原式=0 ∴将多项式展开后应含有因式（x-z ）（x-y ）（y-z ）设原式=m （x-z ）（x-y ）（y-z ）,则展开后比较系数可得m=3 ∴原式=3（x-z ）（x-y ）（y-z ）例四：解方程()4-x 44x +=626解：注意到626=5144+=()()5-1-44+ ∴x=5与x=-1是此方程的两个实根又原方程可化为()4-x 44x +-626=0 即185-128-488-234x x x x +=0 ∵（x-5）（x+1）=x 2-4x-5 又由多项式除法知185-128-488-234x x x x +=（5-4-x 2x ）(374-x 2+x ) 又∵374-x 2+x =()2-x 2+33≥33∴仅x=5或x=-1为原方程的解综上知原方程的解为x=5或x=-1。
余式与因式定理知识点总结及练习
a
因式定理：设 f(x)为多项式﹐axb 为一次多项式 (1)若 f b =0﹐则 axb 是 f(x)的因式。
a
(2)若 axb 是 f(x)的因式﹐则 f b =0。 a
例 1：设 f(x)=x3+2x2+5x3﹐分别求 f(x)除以 x+2 与 2x1 的余式
若小明没有计算错误，求 a+b+c+d 的值﹒
一次因式？
【练习题】已知 a 为常数，且 x3 是 f(x)=x3+ax9 的因式，求 f(x)除以 x+1 的余式。
例 5：已知三次多项式 f(x)满足 f(1)=f(2)=0，f(3)=16 与 f(4)=66， 求 f(x)。
【练习题】已知 f(x)是三次多项式，满足 f(0)=f(1)=f(2)=0 且 f(3)=24， 求 f(x)=？
3. 已知 a、b 为常数，设多项式 f(x)=x3+3ax2+bx2 可被 x1
整除，且
以 x2 除 f(x)得余式为 2ห้องสมุดไป่ตู้求 a、b 的值﹒
4. 计算 1257．12458．123+16．122465．12+100 的值。
5. 设 f(x)为三次多项式
(1)已知 f(1)=f(2)=0，f(1)=6，f(2)=48，求 f(x)=？
11.设 a 为正整数，且多项式 f(x)=x3ax2+x2 有整系数一次因 式，求 a=？
12. 下式是小明利用综合除法计算三次多项式 f(x)除以 x1 的算式﹐因 不小心将饮料翻倒在计算纸上，所以只能辨 识部分数字：（无法辨识的数字以英文字母代替）
2012专题：因式定理与因式分解
专题：因式定理与因式分解1、余数定理与因式定理通常：)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，)(a f 表示这个多项式在a x =时的值。
如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。
设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有：r x g c x x f +-=)()()(即：被除式等于除式乘以商式再加余式在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(因此：我们有：)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。
这个结论我们称余数定理如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。
反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。
因此，我们有：如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。
反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。
这个结论通常称为因式定理及其逆定理。
需要掌握的基本技能：长除法计算：3(27)(2)x x x +-÷- 解：332232322226202722224676125x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+所以，3227(2)(26)5x x x x x +-=-+++注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。
例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。
知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。
当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。
这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。
即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x=)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。
余数定理4阶因式分解
余数定理4阶因式分解
（实用版）
目录
1.余数定理的概述
2.4 阶因式分解的定义
3.余数定理在 4 阶因式分解中的应用
4.具体例子解析
正文
一、余数定理的概述
余数定理是数论中的一个重要定理，主要用于研究整数除法中的余数问题。
简单来说，余数定理描述了当一个整数被另一个整数除时，所得余数的可能性。
这个定理在数学的各个领域都有广泛的应用，如代数、几何等。
二、4 阶因式分解的定义
4 阶因式分解，顾名思义，是指将一个 4 阶多项式分解为几个较低次的多项式的乘积。
因式分解在数学中有着广泛的应用，如解方程、化简表达式等。
4 阶因式分解是因式分解的一种特殊情况，因其特殊性，需要用到一些特殊的方法来进行分解。
三、余数定理在 4 阶因式分解中的应用
在 4 阶因式分解中，余数定理可以作为一个重要的工具来帮助我们分解多项式。
具体来说，我们可以通过余数定理来确定 4 阶多项式的因式的形式，然后通过代入、比较系数等方式，求出因式分解的具体结果。
四、具体例子解析
以 4 阶多项式 x^4 - 1 为例，我们可以通过余数定理来分解它。
首
先，根据余数定理，我们知道当 x 取任意整数时，x^4 - 1 的余数只可能是 0、1、x、x^2、x^3。
然后，我们可以将这些余数代入 x^4 - 1 中，得到对应的因式。
例如，当余数为 0 时，我们得到 (x^2 + 1)(x^2 - 1)，继续分解，可以得到 (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)。
因此，4 阶多项式 x^4 - 1 可以分解为 (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) 的形式。
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初二数学竞赛培训专题：
余式定理及因式定理的应用
初二（ ）班 姓名： 学号： _
一、知识要点：
1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示。
2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r
3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(a b f 。
4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；
b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=a
b f 。
二、余式定理应用：
1、（1）已知132)(3
-+=x x x f ， 求f (x )除以)1(-x 、()12+x 所得的余式； （2）设f (x )=2x 2+kx +10除以2x –1余5，求k 的值；
（3）以x 2–3x –4除多项式f (x )与g (x )，分别得余式3x +2与–4x +7， 求以x –4除f (x )+g (x ) 所得的余式。
2、设6302546)(2
345-+---=x x x x x x f ，求f (7)。
3、计算：（1）2001246012161258127122345-⋅-⋅+⋅-⋅-；
（2）7111511561172114112345+⋅+⋅-⋅-⋅-。
4、（1）)(x f 、()x g 都是多项式，已知221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
f ，2521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
g ，则以12+x 除()()x g x f ⋅之余式是什么？
（2）)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，且)(x g 除以322
-+x x 之余式为 25+x ，则1-x 除)()15()()3(2x g x x f x ⋅++⋅+的余式是什么
三、因式定理应用：
1、设x –2为f (x )=3x 3+x 2–kx +5的因式，试求k 的值。
2、已知x +1与x –2都是4324++-bx ax x 的因式，试求a 与b 的值。
3、设k 为负整数，若f (x ) x 4
2x 3 x 2 kx 3有整系数一次因式，求k 之值。
4、设αx 3 +βx 2 – 47x –15 有因式 3x +1 与 2x –3，则第三个因式是什么
5、试证明：
(1)1-x 是的19-x 因式。
(2)a x -是的n
n a x -因式。
(n 是正整数)
(3)f (x )=(x +6)n –1可被x +5整除。
(n 是正整数)
四、整系数一次因式检验法：
设f (x )＝0111c x c x c x c n n n n ++++--Λ为整系数多项式，若ax –b 为f (x )之因式(其中a , b 为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则
（1）0,
c b c a n （2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f
例1、设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式 (1)2x –1 ，(2) x –2，(3) 3x –1，
(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4
例2、把下列多项式分解因式：
(1)453+-x x (2)6423++-x x x (3) 24532
3-++x x x （4）1027259234++++x x x x
（5）3
1212165234--++
x x x x
五、用待定系数法求多项式：
技巧：若)(x f 除以)(x g 之余式为)(x r ，若)(x g 的次数为n ，则可设：011222211)(a x a x a x a x a x r n n n n +++++=----K 。
1、已知多项式()x f ，且()51=f ，()62=f ，则()x f 除以232
+-x x 的余式是什么
2、)(x f 除以1-x 得余式5，)(x f 除以2-x 得余式7，则)(x f 除以)2)(1(--x x 的余式是什么
3、设)3(≥n n 次多项式f (x )除以1-x ，2-x ，3-x 的余式分别是3, 7, 13,试求f (x )除以)3)(2)(1(---x x x 的余式
4、)(x f 除以232+-x x 得余式3，除以342+-x x 得余式x 3，则)(x f 除以652+-x x 的余式为何
5、设多项式f (x )为三次多项式式，若f (1)= f (2)=f (3)= 0，f (4)=12，试求()x f
6、设多项式f (x )为二次多项式式，且f (1998) 1，f (1999) 2，f (2000) 7，求f (2002)。
7、设实系数f (x )= x 3+ax 2+bx +c 且 f (x ) 除以x +1 的余式为9 ，除以x 2–x +1 的余式为5x +2，试求a ,b ,c 的值。
8、求整数（1310
134 1）除以整数（132 13 1）所得的余数。