晶体的对称性

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2/m
222 mm 2

正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
2
90
abc
Hale Waihona Puke Baidu
7 8 9
D2h

四 方
4
10
90 11
12
c4 s4
222 32, 3 m, i mmm 4 4
4 4 , m, i 422 4 , 4 2 4 4 m
c4h
D4
续表:
底心正交(6)
体心正交(7)
面心正交(8)
5.四角系:(正方晶系)
abc
900
简单四角(9)
体心四角(10)
6.六角晶系:
abc
900 1200
7.立方晶系:
六角(11)
abc
900
简立方(12) 体心立方(13)
, x X ( x1 , x ) 2 3 可以用线性变换来表示。
X AX
x1 X x 2 x 3
a12 a22 a32 a13 a23 33
x1 X x 2 x x 3 3
a11 A a21 a 31
对称轴中不存在五次轴,只有1,2,
3,4,6度旋转对称轴。
(2)中心反演(i,对称素为点)
取中心为原点,经过中心反映后,图形中任一点
( x1 , x2 , x3 ) 变为 ( x1 , x2 , x3 )
x1 x1 x x 2 2 x x 3 3
(4)旋转--反演对称
( x1 , x2 , x3 )
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
2π 以后,再经过中心反演,晶体自 n 身重合,则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
若晶体绕某一固定轴转
旋转--反演对称轴只能有1,2,3,4,6度轴。
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。 旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如:
c

a
b
1.三斜晶系: a b c, 2.单斜晶系: 900
abc
简单三斜(1) 简单单斜(2) 底心单斜(3)
3.三角晶系:
4.正交晶系:
abc
0 0
90 < 120
三角(4)
简单正交(5),底心正交(6) 体心正交(7),面心正交(8) 简单四角(9),体心四角(10) 六角(11)
对称 晶 性的 高低 系 四 方 特征对 晶胞类型 称元素 序 号 13 14 点 熊夫里 斯记号 群 国际记号 对称元素
4
abc
c4 v
D 2d D 4h
4 mm
4,4m
90
菱面体晶胞
15
42m 4,22,2m 422 mmm 4,42,5m, i
abc
中 三 方
晶体的对称性
本节主要内容:
1 对称性与对称操作 2 晶系和布喇菲原胞 3 点群的表示符号
1 对称性与对称操作
对称性:经过某种动作后,晶体能够自身重合的特性。
对称操作:使晶体自身重合的动作。
对称素: 对称操作所依赖的几何要素。
1.对称操作与线性变换
经过某一对称操作,把晶体中任一点 X ( x1 , x2 , x3 ) 变为
(5)n度螺旋轴:若绕轴旋转2/n角以后,再沿轴方向平
移l(T/n),晶体能自身重合,则称此轴为n度螺旋轴。其中T是
轴方向的周期, l是小于n的整数。 n只能取1、2、3、4、6。 (6)滑移反映面:若经过某面进 行镜象操作后,再沿平行于该面的某 个方向平移T/n后,晶体能自身重合,
则称此面为滑移反映面。 T是平行
S1,S2,S3,S4,S6(用熊夫利符号表示)
(3)中心反映:i。
(4)镜象反映:m。
独立的对称操作有8种,即1,2,3,4,6,i,m, 4 。
或C1,C2,C3,C4,C6 ,Ci,Cs,S4。
立方体对称性
(1)立方轴C4:
(2)体对角线C3:
(3)面对角线C2: 6个2度轴;
3个立方轴; 4个3度轴;
1i
1 2 1
2m
1
3
3 3i
5
4 2
2
1 6
6=3+m 3 3 5 1 5 1 6 2 ' 6 4 4 2
A C H E F D
A
3
4
1
3
正四面体既无四
1 2
2
D
B
4
4
度轴也无对称心
C
B
G
G
F E
H
点对称操作: (1)旋转对称操作:1,2,3,4,6 度旋转对称操作。 C1,C2,C3,C4,C6 (用熊夫利符号表示) (2)旋转反演对称操作: 1,2,3,4,6度旋转反演对称操作。
32个晶体学点群
• 由上述的8种独立的宏观对称元素按一定的 规则(即对称元素至少要通过一个公共点; 组合时不能出现5次轴及大于6的对称轴) 进行组合,总共有32种组合形式,称为32 个晶体学点群。晶体的宏观外形不论形状 如何,必属于这32个晶体学点群中的某一 个。
7个晶系和32种晶体学点群的划分
16 17 18 19 20

c3 c3i
D3
3
3
3
3 2 3m
2 3m
3, i
3,32 3,3m 3,32,3m, i
3
120 90
六方晶胞
a bc
90 120
c3v
D 3d
续表:
对称 性的 高低 晶 系 特征对 晶胞类型 称元素 序 号 21 22 点 群 对称元素 熊夫里 国际记号 斯记号
2π 以后自身重合,则此轴称为n n
当OX绕Ox1转动角度时,图中
x3
X ( x1 , x2 , x3 )
, x X ( x1 , x ) 2 3
, x X ( x1 , x ) 2 3
若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R, O 则


X ( x1 , x2 , x3 )
x2
面心立方(14)
a a
六方
立方
a
三方
c
a a
单斜
四方
c
a a a
a a a
三斜 正交
c
a
b
c
a
b
c
b
a
3 点群的表示符号
• 通用的点群符号有两种: • 一是传统的熊夫利(Schonflis或熊夫里斯)符号; • 二是赫曼-莫吉恩(Hermann-Mauguin)符号:扼要地 概括了点群中对称元素的配置情况,包含信息较多, 已为国际晶体学界所采用,故通称为国际符号。 • 独立的8种对称操作: • 熊夫利符号:C1,C2,C3,C4,C6 ,Ci,Cs,S4 • 国际符号:1,2,3,4,6,i,m ,4 。
与4度轴正交的对称面
与2度轴正交的对称面
所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。
一个晶体的全部对称操作构成一个群,每个操作都是群的一个
元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、
镜象和旋转--反演点对称操作构成的群,称作点群。 理论证明,所有晶体只有32种点群,即只有32种不同的点对 称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理 性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。 如果考虑平移,还有两种情况,即螺旋轴和滑移反映面。
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
(3)镜象(m,对称素为面) 如以x3=0面作为对称面,镜象是将图形的任何一点
( x1 , x2 , x3 ) 变为
x1 x1 x x 2 2 x x 3 3
2
2
2
2
2
2

~ AA I
1 I为单位矩阵,即: I 0 0
0 1 0
0 0 1
或者说A为正交矩阵,其矩阵行列式 A 1 。 2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演 对称)
(1)旋转对称(Cn,对称素为线)
若晶体绕某一固定轴转 次(度)旋转对称轴。 下面我们计算与转动对应的变换矩阵。
abc
中 六 方
23
c6h
D6
c3h c6v
D 3h D 6h
c6
6
6
6(3, m)
6
90 120

24
25 26 27 28
6 6 m 622 6mm 6m2 622 mmm
6, m, i
6,62
6,6m
6(3, m),32,4m
6,62,7m, i
T
Th
4 3在 abc
a b c,

2.单斜晶系:
简单三斜(1)
a b c,
900
3.三角晶系:
简单单斜(2)
底心单斜(3)
abc
900 1200
三角(4)
4.正交晶系:
a b c,
900
简单正交(5)
对称 晶 性的 高低 系 三 斜 单
2 或m
特征对 晶胞类型

群 对称元素
称元素

序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5 6

abc
90
abc

90
abc
cs c2h
D2
D2v
c1 ci c2
1
1 2 m
2
i
m
2, m, i 32 2, 2 m
高 立 立方的 方 体对角 线方向
29

23 43,32 2 43,32,3m, i m3
432 43,34,62
43m 2 4
x1 x1
x2 cos x3 sin
x1
R cos cos R sin sin x 2 R cos
x R sin R sin cos R cos sin 3
x2 sin x3 cos
1 0 x1 0 x1 x 0 cos sin x 2 2 x 0 sin cos x 3 3
0 1 0 A 0 cos sin 0 sin cos
晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设B1ABA1是晶体中某一晶
A 1
B
A
面上的一个晶列,AB为这一晶
列上相邻的两个格点。

B1
A B

A1
若晶体绕通过格点A并垂直于 纸面的u轴顺时针转角后能自身重 合,则由于晶体的周期性,通过格 点B也有一转轴u。 B1
X ( x1 , x , x ) 2 3
X ( x1 , x2 , x3 )
O x1
操作前后,两点间的距离保持不变, O点和X点间距与O点和 X 点间距相等。
x2
x x1 x 2 x 3 x1 2 x 3
~~ ~ ~~ ~ X X AX AX XAAX XX
abc
900
5.四角系: a b c 0 90 (正方晶系) 6.六角晶系: 900 1200
abc
7.立方晶系: 900
abc
简立方(12),体心立方(13), 面心立方(14)
1.三斜晶系:
B1



A1
A
B
1 cos 0, ,1 2
θ
π 2π , ,π 2 3
θ
2π 2π 2π , , 4 3 2
2π , n 1, 2, 3, 4, 6 综合上述证明得: θ n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1,2,3,4,6度轴。
1
2
3
4
6
正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状,但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转
B
A

A B

A1
AB AB 1 2cos θ ,
1 cos 0, ,1 2

AB 是 AB 的整数倍,

2π 2π 2π , , 4 6 1
π π , ,2π 2 3
相反若逆时针转 '角后能自身重合,则
B
A
AB AB 1 2cos θ,
AB 是 AB 的整数倍,
方向的周期,n可取2或4。 点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有230 种空间群,即有230种对称类型。
2 晶系和布喇菲原胞
根据不同的点对称性,将晶体分为7大晶系,14种布喇菲
晶格。
取 a, b, c 为布喇菲原胞三个基矢,
, ,

分别为
b与c, c与a, a与b 间的夹角。
7大晶系的特征及布喇菲晶格如下所述:
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