(完整版)反比例函数压轴题
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反比例函数
经典结论:
如图,反比例函数k 的几何意义: (I ) 1
2
AOB AOC S S k ∆∆==
; (II ) OBAC S k =矩形。 下面两个结论是上述结论的拓展.
(1) 如图①,
OPA OCD S S ∆∆=,OPC PADC S S ∆=梯形。
(2)如图②,
OAPB OBCA S S =梯形梯形,BPE ACE S S ∆∆=。
1.如图,已知双曲线(0)k
y x x
=
>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ,四边形OEBF 的面积为2,则k = ;
2.如图,点A B 、为直线y x =上的两点,过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线
1
(0)y x x
=>于C D 、两点,若2BD AC =,则224OC OD -= .
3.如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x
y 6
=的图象交),(),,(2211y x B y x A ,那么
))((1212y y x x --值为 .
C
B
A o
y
x
E
P D
C
A o
y
x
图① E P C
B
A
o
y
x
图②
D
C B A o x
y
F E
C
B A
o
x
y
4. 如图,一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x
m
y =的图象交于点A ﹙-2,-5﹚,C ﹙5,n ﹚,交y 轴于点B ,交x 轴于点D .
(1) 求反比例函数x
m
y =
和一次函数b kx y +=的表达式; (2) 连接OA ,OC .求△AOC 的面积.
5.如图,已知直线12y x =与双曲线(0)k
y k x
=>交于A B ,两点,且点A 的横坐标为4. (1)求k 的值;
(2)若双曲线(0)k
y k x
=
>上一点C 的纵坐标为8,求AOC △的面积; (3)过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x
=>于P Q ,两点(P 点在第一象限),
若由点A B P Q ,,,为顶点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标.
O A
B
C
x
y
D
O
x A y
B
6.如图①,O为坐标原点,点B在x轴的正半轴上,四边形OACB是平行四边形,sin∠AOB=,反比例函数y=(k>0)在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F.
(1)若OA=10,求反比例函数解析式;
(2)若点F为BC的中点,且△AOF的面积S=12,求OA的长和点C的坐标;
(3)在(2)中的条件下,过点F作EF∥OB,交OA于点E(如图②),点P为直线EF上的一个动点,连接PA,PO.是否存在这样的点P,使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
Ex6
7.如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E(3,4).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线
1
y x b
2
=-+过点D,与线段AB相交于
点F,求点F的坐标;
(3)连接OF,OE,探究∠AOF与∠EOC的数量关系,并证明.
8.如图,将边长为4的等边三角形AOB 放置于平面直角坐标系xOy 中,F 是AB 边上的动点(不与端点A 、B 重合),过点F 的反比例函数y=(k >0,x >0)与OA 边交于点E ,过点F 作FC ⊥x 轴于点C ,连结EF 、OF .
(1)若S △OCF =,求反比例函数的解析式;
(2)在(1)的条件下,试判断以点E 为圆心,EA 长为半径的圆与y 轴的位置关系,并说明理由;
(3)AB 边上是否存在点F ,使得EF ⊥AE ?若存在,请求出BF :FA 的值;若不存在,请说明理由.
9.如图,过点P (-4,3)作x 轴、y 轴的垂线,分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,交双曲线
x
k y =(k ≥2)于E 、F 两点.
(1)点E 的坐标是________,点F 的坐标是________;(均用含k 的式子表示) (2)判断EF 与AB 的位置关系,并证明你的结论; (3)记OEF PEF S S S ∆∆-=,S 是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由. Ex9
x
A B O
E
F P y
10.如图,已知正比例函数y = ax (a ≠0)的图象与反比例函致x
k
y
(k ≠0)的图象的一个交点为A (-1,2-k 2),另—个交点为B ,且A 、B 关于原点O 对称,D 为OB 的中点,过点D 的线段OB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于C 、E .
(1)写出反比例函数和正比例函数的解析式; (2)试计算△COE 的面积是△ODE 面积的多少倍.
11.如图,已知双曲线y=经过点D (6,1),点C 是双曲线第三象限上的动点,过C 作CA ⊥x 轴,过D 作DB ⊥y 轴,垂足分别为A ,B ,连接AB ,BC . (1)求k 的值;
(2)若△BCD 的面积为12,求直线CD 的解析式; (3)判断AB 与CD 的位置关系,并说明理由.
E D B A x
y O
C