高考数学一轮复习专题讲座3数列在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关文北师大版

专题讲座三 数列在高考中的常见题型与求解策略
1．(2016·辽宁省五校联考)抛物线x 2
＝1
2
y 在第一象限内图像上一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *
，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( )
A ．64
B ．42
C ．32
D ． 21 解析：选B.令y ＝f (x )＝2x 2
，则切线斜率k ＝f ′(a i )＝4a i ，切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，
令y ＝0得x ＝a i ＋1＝12
a i ，由a 2＝32得：a 4＝8，a 6＝2，所以a 2＋a 4＋a 6＝42.
2．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )
A ．d <0
B ．d >0
C ．a 1d <0
D ．a 1d >0 解析：选C.设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n
＋1.因为y ＝2x
是单调增函数，
所以a 1a n >a 1a n ＋1，所以a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，所以a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，所以a 1d <0.
3．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．
解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4
＝16，又a n >0，所以a 4a 5＝2.再由基本不等式，
得a 4＋a 5≥2a4a5＝22.所以a 4＋a 5的最小值为22.
答案：22
4．(2016·南昌调研测试卷)一牧羊人赶着一群羊通过6个关口，每过1个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊
人在过第1个关口前有________只羊．
解析：记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、…、通过第6个关口前，剩下的羊的只数组成数列{a n }(n ＝1，2，3，4，5，6)，则由题意得a 2＝12a 1＋1，a 3＝12
a 2＋1，…，
a 6＝12a 5＋1，而1
2
a 6＋1＝2，解得a 6＝2，因此代入得a 5＝2，a 4＝2，…，a 1＝2.
答案：2
5．(2016·南昌调研测试卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，
a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0. (1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列；
(2)求{a n }的前n 项和S n .
解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3，4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，
得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，
即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.
因为当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2，
所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．
(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1，
又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列， 所以a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1， 而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，
所以a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧3（－1）n －1，1≤n≤4，
2n －7，n≥5，
所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32
[1－（－1）n]，1≤n≤4，
n2－6n ＋8，n≥5.
6．(2015·高考山东卷)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫1
an·an＋1的前n 项
和为n
2n ＋1
.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)设数列{a n }的公差为d ，
令n ＝1，得1a1a2＝1
3
，
所以a 1a 2＝3.①
令n ＝2，得1a1a2＋1a2a3＝2
5，
所以a 2a 3＝15.②
由①②解得a 1＝1，d ＝2，
所以a n ＝2n －1.
经检验，符合题意．
(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n
，
所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n
，
所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1
，
两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4
n ＋1
＝
4（1－4n ）1－4
－n ·4
n ＋1
＝1－3n 3×4n ＋1－43
，
所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋（3n －1）4n ＋1
9
.
1．(2015·高考广东卷节选)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－
n ＋22n －1
，n ∈N *
. (1)求a 3的值；
(2)求数列{a n }的前n 项和T n .
解：(1)令n ＝1⇒a 1＝1；
令n ＝2⇒a 1＋2a 2＝2⇒a 2＝1
2；
令n ＝3⇒a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54⇒a 3＝1
4.
(2)当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝4－n ＋1
2n －2，①
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＋na n ＝4－n ＋2
2n －1
.②
②－①，得na n ＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝n
2n －1
，
所以a n ＝1
2n －1.
又因为当n ＝1时，a 1＝1也适合a n ＝1
2n －1
，
所以a n ＝12n －1(n ∈N *
)，易证数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q ＝12
.。