2020-2021天津市耀华滨海学校高一数学下期末一模试卷(及答案)
2020-2021天津耀华滨海学校高中必修一数学上期末试题(附答案)
2020-2021天津耀华滨海学校高中必修一数学上期末试题(附答案)一、选择题1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称4．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0B ．-1C ．13D ．17．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B．2C ．14，2 D ．14，4 9．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}11．函数21y x x =-++的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)12．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________16．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 17．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 18．已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________ 19．已知sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <>则1111()()66f f -+为_____20．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.三、解答题21．某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019年9月份第x（130x ≤≤，x +∈N ）天的单件销售价格（单位：元20,115()50,1530x x f x x x +≤<⎧=⎨-≤≤⎩,第x 天的销售量（单位：件）()(g x m x m =-为常数），且第20天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格⨯销售量）. （1）求m 的值；（2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？22．对于函数()()()2110f x ax b x b a =+++-≠，总存在实数0x ，使()00f x mx =成立，则称0x 为()f x 关于参数m 的不动点．（1）当1a =，3b =-时，求()f x 关于参数1的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有关于参数1两个不动点，求a 的取值范围； （3）当1a =，5b =时，函数()f x 在(]0,4x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数m 的取值范围． 23．已知函数()22xxf x k -=+⋅，()()log ()2xa g x f x =-（0a >且1a ≠），且(0)4f =.（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0>g x 的解集； （3）若()82x tf x ≥+对x ∈R 恒成立，求t 的取值范围. 24．已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域; （2）求函数()f x 的零点;（3）若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值．25．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.26．设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <6}，求∁R (A ∪B )，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B ，A ∪(∁R B )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A解析：A 【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．3．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 4．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行5．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值. 【详解】因为0N *∉,所以0(0)3=1f =，((0))(1)f f f =，因为1N *∈，所以(1)=1f -，故((0))1f f =-，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．8．A解析：A【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.二、填空题13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象 解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<Q ，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-【解析】 【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=， 又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.15．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函 解析：()11(1)31f x x x =-≠-- 【解析】 【分析】用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…….（1） 与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令1,1x t t x +=≠，则11x t =-，所以()1131f t t =--，所以()11(1)31f x x x =-≠--. 故答案为：()11(1)31f x x x =-≠--. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.16．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】 【分析】 【详解】 设， 则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.17．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：310,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围． 【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】 本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．18．6【解析】【分析】根据偶函数的关系有代入即可求解【详解】由题：函数是偶函数所以解得：故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值难度较小关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系解析：6【解析】【分析】根据偶函数的关系有()(2)2g g =-，代入即可求解.【详解】由题：函数()()g x f x x =-是偶函数，(2)(2)24g f -=-+=，所以(2)(2)24g f =-=，解得：(2)6f =.故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.19．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题解析：0【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可求解.【详解】因为sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <> 则11111()sin()sin 6662f ππ-=-==, 11511()()()sin()66662f f f π==-=-=-, 所以1111()()066f f -+=. 【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.20．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A∩B= 解析：【解析】【分析】分别确定集合A ,B ，然后求解即可. 【详解】 求解函数的定义域可得：, 求解函数的值域可得， 则， 结合新定义的运算可知： ， 表示为区间形式即. 【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题21．（1）40m =；（2）当第10天时，该商品销售收入最高为900元．【解析】【分析】（1）利用分段函数，直接求解(20)(20)600f g =．推出m 的值．（2）利用分段函数分别求解函数的最大值推出结果即可．【详解】（1）销售价格20,115,()50,1530,x x f x x x +<⎧=⎨-⎩„剟第x 天的销售量（单位：件）()(g x m x m =-为常数），当20x =时，由(20)(20)(5020)(20)600f g m =--=，解得40m =．（2）当115x <„时，(20)(40)y x x =+-2220800(10)900x x x =-++=--+，故当10x =时，900max y =，当1530x 剟时，22(50)(40)902000(45)25y x x x x x =--=-+=--， 故当15x =时，875max y =，因为875900<，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元．【点睛】本题考查利用函数的方法解决实际问题，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22．（1）4或1-；（2）()0,1；（3）(]10,11．【分析】（1）当1a =，3b =-时，结合已知可得2()24f x x x x =--=，解方程可求；（2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，结合二次方程的根的存在条件可求；（3）当1a =，5b =时，转化为问题2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解，进行分离m ，结合对勾函数的性质可求．【详解】解：（1）当1a =，3b =-时，2()24f x x x =--，由题意可得，224x x x --=即2340x x --=，解可得4x =或1x =-，故()f x 关于参数1的不动点为4或1-；（2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，则210ax bx b ++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，所以△24(1)0b a b =-->恒成立，即2440b ab a -+>恒成立，∴216160a a ∆=-<，则01a <<，∴a 的取值范围是()0,1；（3）1a =，5b =时，2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解， 即46m x x-=+在(0，4]上有两个不同实数解， 令4()h x x x=+，04x <≤， 结合对勾函数的性质可知，465m <-≤，解可得，1011m <≤．故m 的范围为(]10,11．【点睛】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的灵活应用，属于中档题．23．(1) 3k =；(2) 当1a >时，()2,log 3x ∈-∞；当01a <<时，()2log 3,x ∈+∞；(3)(],13-∞-【解析】【分析】（1）由函数过点()0,4，待定系数求参数值；（2）求出()g x 的解析式，解对数不等式，对底数进行分类讨论即可.（3）换元，将指数型不等式转化为二次不等式，再转化为最值求解即可.（1）因为()22x x f x k -=+⋅且(0)4f =，故：14k +=，解得3k =.（2）因为()()log ()2x a g x f x =-，由（1），将()f x 代入得：()log (32?)x a g x -=n ，则log (32?)0x a ->n ，等价于：当1a >时，321x ->n ，解得()2,log 3x ∈-∞当01a <<时，321x -<n ，解得()2log 3,x ∈+∞.（3）()82xt f x ≥+在R 上恒成立，等价于： ()()228230x x t --+≥n 恒成立； 令2x m =，则()0,m ∈+∞，则上式等价于：2830m m t --+≥，在区间()0,+∞恒成立.即：283t m m ≤-+，在区间()0,+∞恒成立，又()2283413m m m -+=--，故： 2(83)m m -+的最小值为：-13，故：只需13t ≤-即可.综上所述，(],13t ∈-∞-.【点睛】本题考查待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒成立问题求参数范围，属函数综合问题.24．（1）()3,1.-（2）1-±3 【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由()=0f x ，即223=1x x --+，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log 4a ，得log 44a =-利用对数的定义求出a 的值．【详解】（1）由已知得10,30,x x ->⎧⎨+>⎩, 解得31x -<<所以函数()f x 的定义域为()3,1.- （2）()()()()()()2log 1log 3log 13log 23a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+,令()=0f x,得223=1x x --+,即222=0x x +-,解得1x =-±∵1(-3,1)-,∴函数()f x 的零点是1-（3）由2知,()()()22log 23log 14a a f x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦, ∵31x -<<,∴()20144x <-++≤.∵01a <<,∴()2log 14log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦, ∴()min log 44a f x ==-,∴1442a -==. 【点睛】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键．25．(1)(,5)-∞;(2)()0,1.【解析】【分析】（1）由(5)8(2)f f =求得a 的值，再利用指数函数的单调性解不等式，即可得答案； （2）作出函数|()1|y f x =-与y t =的图象，利用两个图象有两个交点，可得实数t 的取值范围.【详解】(1)∵(5)8(2)f f = ∴5328a a a==则2a = 即()2x f x =,则函数()f x 是增函数由(23)(2)f m f m -<+,得232m m -<+得5m <,即实数m 的取值范围是(,5)-∞.(2)()2x f x =,由题知21xy =-图象与y t =图象有两个不同交点,由图知:(0,1)t ∈【点睛】本题考查指数函数的解析式求解、单调性应用、图象交点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.26．见解析【解析】【分析】根据题意，在数轴上表示出集合,A B，再根据集合的运算，即可得到求解.【详解】解：如图所示．∴A∪B＝{x|2<x<7}，A∩B＝{x|3≤x<6}．∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥7}，∁R(A∩B)＝{x|x≥6或x<3}．又∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}，∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3}．又∵∁R B＝{x|x≤2或x≥6}，∴A∪(∁R B)＝{x|x≤2或x≥3}．【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集与补集的混合运算问题，其中解答中正确在数轴上作出集合,A B，再根据集合的交集、并集和补集的基本运算求解是解答的关键，同时在数轴上画出集合时，要注意集合的端点的虚实，着重考查了数形结合思想的应用，以及推理与运算能力.。
天津市滨海新区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
天津市滨海新区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)滨海新区2020-2021学年度第二学期期末质量检测高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟。
答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上。
答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！第I卷选择题（60分）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内。
1）已知i是虚数单位，则$\frac{2i}{1+i}=$（A）$2-2i$（B）$2+2i$（C）$1-i$（D）$1+i$。
2）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，则出现正面朝上的频率和概率分别为（A）0.4,0.4（B）0.5,0.5（C）0.4,0.5（D）0.5,0.4.3）经过同一条直线上的3个点的平面（A）有且仅有1个（B）有无数个（C）不存在（D）有且仅有3个。
4）若一组数据为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的75%分位数为（A）7.5（B）8（C）8.5（D）9.5）已知m,n为空间两条不同的直线，$\alpha$，$\beta$为两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（A）若$m\perp\alpha$，$n\perp\alpha$，则$m//n$（B）若$m\perp\alpha$，$\alpha//\beta$，则$m\perp\beta$（C）若$m//n$，$n//\alpha$，则$m//\alpha$（D）若$m\perp\alpha$，$n//\alpha$，则$m\perp n$。
6）已知$\vec{e}$为单位向量，$|\vec{a}|=4$，当向量$\vec{e}$，$\vec{a}$的夹角等于30度时，向量$\vec{a}$在向量$\vec{e}$上的投影向量为（A）$2\sqrt{3}\vec{e}$（B）$2\sqrt{2}\vec{e}$（C）$2\vec{e}$（D）$2\vec{e}$。
2020-2021天津市耀华滨海学校高一数学下期中一模试卷(及答案)
2020-2021天津市耀华滨海学校高一数学下期中一模试卷(及答案)一、选择题1．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073π B ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 2．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面3．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）A ．－3B ．－4C ．－6D ．364．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π 5．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D 416．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．32 8．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b c D ．c a ＞c b9．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34a B ．33a C ．32a D ．3a 3a10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．32C ．4πD ．3412．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离二、填空题13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.14．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.15．已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．16．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r ；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）17．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .18．正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V -=，则球O 的体积是______． 19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________20．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^；④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30°，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．23．已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线l ：1x y +=被圆C 2.（1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程.24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中（侧棱垂直于底面的三棱柱），D ，E ，F 分别是线段1CC ，1AC ，AB 的中点，P 为侧棱1CC 上的点，1CP =，90ACB ∠=︒，14AA AC ==，2BC =.（1）求证；//PF 平面BDE ；（2）求直线PF 与直线BE 所成的角.25．已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数. 26．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC ⊥平面11AA B B ；（2）证明：//DE 平面ABC .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 2．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．A解析：A【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心坐标为(1,1)-，半径r =又由圆心到直线的距离为d ==所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．C解析：C【解析】【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】 SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =.ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A ==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.6．A解析：A【解析】【分析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积7．B解析：B【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．8．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 9．B解析：B【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ．故选:B ．【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．10．D解析：D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.11．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 2由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径3DE = 2343S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为2d ==<，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.二、填空题13．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本 解析：3π【解析】 【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解． 【详解】先把三棱锥P ABC -,所以球的半径为所以球的表面积为24π3π⨯=⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．14．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90 解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°， 则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-= 考点：圆的标准方程15．【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得如图所示PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a 则由得所以因为球心到平面ABC 的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,a a AB AC BC =====12ABC S ∆=⨯=由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以3h =，因为球心到平面ABC 的距离为3.考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力16．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD ⊥平面ADC 可推知BD ⊥AC 数量积为零②由折叠后AB ＝AC ＝BC 三角形为等边三角形得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC 根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③ 【解析】 【分析】①由折叠的原理，可知BD ⊥平面ADC ，可推知BD ⊥AC ，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC ＝BC ，三角形为等边三角形，得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC ，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC 和平面ABC 不垂直． 【详解】BD ⊥平面ADC ，⇒BD ⊥AC ，①错； AB ＝AC ＝BC ，②对；DA ＝DB ＝DC ，结合②，③对④错． 故答案为②③ 【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．17．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=o ，所以30BAD BCA ∠==o .由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=o ，所以AC =设AD x =，则0t <<DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅o 24x =-+.故BD =在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos2222PD PB BD x x xBPDPD PB x+-+--+∠===⋅⋅⋅，所以30BPD∠=o.过P作直线BD的垂线，垂足为O.设PO d=则11sin22PBDS BD d PD PB BPD∆=⨯=⋅∠，2112342sin3022x x d x-+=⋅o，解得2234dx x=-+.而BCD∆的面积111sin(23)2sin303)222S CD BC BCD x x=⋅∠=⋅=o.设PO与平面ABC所成角为θ，则点P到平面ABC的距离sinh dθ=.故四面体PBCD的体积211111sin(23)33332234 BcD BcD BcDV S h S d S d xx xθ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 21(23)6234x xx x-=-+设22234(3)1t x x x=-+=-+023x≤≤12t≤≤.则231x t-=-（1）当03x≤≤时，有2331x x t==-故231x t=-此时，221(31)[23(31)]t tV-----=21414()66ttt t-=⋅=-.214()(1)6V tt=--'，因为12t≤≤，所以()0V t'<，函数()V t在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V≤=-=.（2x <≤x x =-=故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 18．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥解析：323π【解析】 【分析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积． 【详解】∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则AB =，22)2ABCD S R ==，211162333P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=球． 故答案为：323π．【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．19．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线【解析】【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解. 【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交， 其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，Q M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，2BN BD ∴==，,1,2,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠232125=+⨯⨯⨯=，5AN ∴=. 故答案为:5.【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.20．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：. ① ② ④ 【解析】对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.三、解答题21．（1）详见解析；（230． 【解析】 【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30°，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC u u u r 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC u u u r与n r 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ====可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =， 则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥． ∵PA ⊥面ABCD ， ∴DM PA ⊥，又PA AM A =I ，∴DM ⊥平面PAM ， ∵DM ⊂平面PDM ， ∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30°，则tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，2,1,0)C ，(2,1,0)M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-u u u r u u u u r．设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由2020n PD x y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，取1x =，得2321,22n ⎛= ⎝⎭r ．∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：||230|cos ,|30||||106PC n PC n PC n ⋅<>===⋅⋅u u u r ru u u r r u u u r r ．【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法. 22．（1）4340x y --=；（2）①4，②152. 【解析】【分析】（1）求出圆的标准方程，设直线2l 的方程(1)y k x =-，利用6PQ =，结合圆心到直线的1=，解可得k 的值，验证直线与y 轴有无交点，即可得答案；（2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，得220x ty t +-=，由2AM BM ≤，得224220()()339x y -++…，结合题意，线段AD 与圆224220()()339x y -++=至多有一个公共88||t -t 的值，②由①的结论，分直线的斜率存在与不存在2种情况讨论，用k 表示三角形EPQ 的面积，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】解：（1）由题意可知，圆C 的直径为AD ，所以圆C 方程为：()()223110x y -+-=，设2l 方程为：()1y k x =-，则()222213101k k-+=+，解得10k =，243k =，当0k =时，直线1l 与y 轴无交点，不合题意，舍去. 所以，43k =时直线2l 的方程为4340x y --=. （2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，则有12x yt +=，即220x ty t +-=． 由2AM BM „，则有224220()()339x y -++…依题意知，线段AD 与圆224220()()339x y -++=至多有一个公共点，88||t -t „或t ，因为t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，所以4t =； ②由①的结论，圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=． 分2种情况讨论：a 当直线2:1l x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S =V ；b 当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，则1l 的方程为1(1)y x k=--，点1(0,)E k ，所以BE =又圆心到2l ，所以PQ =故1122EPQ S BE PQ ===V g2<，故求三角形EPQ 的面积的最小值为2． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及三角形面积的最小值的求法，（2）的关键是确定三角形面积的表达式，属于中档题．23．（1）()()22111x y -+-=；（2）2x =和3460x y -+=. 【解析】 【分析】()1设圆C 的半径为r ，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，从而确定圆C 的方程；()2当切线方程的斜率不存在时，显然得到2x =为圆的切线；当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k ，由p 的坐标和k 写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d ，根据直线与圆相切，得到d 等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程. 【详解】（1）设圆C 的标准方程为： ()()22211x y r -+-= (0)r >圆心()1,1C 到直线10x y +-=的距离： 2d ==，则222111222r d ⎛=+=+= ⎝⎭∴圆C 的标准方程： ()()22111x y -+-=（2）①当切线斜率不存在时，设切线： 2x =，此时满足直线与圆相切.②当切线斜率存在时，设切线： ()32y k x -=-，即23y kx k =-+则圆心()1,1C 到直线230kx y k --+=的距离： 212311k k d k --+==+解得： 43k =，即34k = 则切线方程为： 3460x y -+=综上，切线方程为： 2x =和3460x y -+=24．（1）证明见解析；（2）90°【解析】【分析】（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，可证P 为CD 中点，可证//PG BD ，////FG AC ED ，证明平面PFG P 平面BED ，从而得证； （2）以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，表示出PF u u u r 和BE u u u r ，利用向量的夹角公式即可求解【详解】（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，因为F 为AB 中点，G 为BC 中点，所以FG AC P ，又因为E 为1AC 中点，D 为1CC 中点，所以ED AC P ，所以FG ED ∥，又因为1CP =，14AA =，所以P 为CD 中点，所以PG BD P ，又因为FG PG G ⋂=，所以平面PFG P 平面BED ，FP ⊂平面PFG ，所以//PF 平面BDE ；（2）因为90ACB ∠=︒，三棱柱为直三棱柱，故以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()2,1,0,0,2,0,0,0,1,2,0,2F B P E ，故()()2,1,1,2,2,2PF BE =-=-u u u r u u u r ，cos ,0PF BE PF BE PF BE⋅==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故直线PF 与直线BE 所成的角为90°【点睛】本题考查线面平行的证法，异面直线夹角的求法，属于中档题25．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为23）在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32． 【解析】【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r =，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设(),P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-，求出λ，然后求解比值.【详解】解：（1）依题意得，(3)(4)0m x y x y -++-=，令30x y -=且40x y +-=，得1,3x y ==，∴直线l 过定点A （1，3）；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r =，43101AC k -∴==--，得1111l AC k k --===-， ∴由3111m m +=-得1m =-， 此时直线l 方程为20x y -+=， ∴圆心到直线的距离为||2d AC == ∴最短弦长为22224222r d -=-=（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设(),P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-， 222222(3)(4)()(4)x y x t y λλ∴++-=-+-，()222222(3)4()4x x x t x λλ∴++-=-+-，整理得，()()2222624130t x t λλλ+-+-=， ∵上式对任意[2,2]x ∈-恒成立，2620t λ∴+=且2224130t λλ+-=，解得 43,32t λ=-=或3,1t λ=-=（舍去，与M 重合）， 综上可知，在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32. 【点睛】 本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过证明1A A AC ⊥和AB AC ⊥，即可证得AC ⊥平面11AA B B ；（2）通过证明//DE AO ，即可证得//DE 平面ABC .【详解】（1）由题，得1A A ⊥平面ABC ，所以1A A AC ⊥，又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥，因为1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ；（2）连接,OE OA ，因为,E O 分别为1,B C BC 的中点，所以1//OE BB 且112OE BB =， 易得1//AD BB 且112AD BB =， 所以//AD OE 且AD OE =，所以四边形OADE 为平行四边形，则//DE AO ，因为AO ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC .【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.。
2020-2021天津市耀华滨海学校高一数学上期末一模试卷(及答案)
2020-2021天津市耀华滨海学校高一数学上期末一模试卷(及答案)一、选择题1．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞4．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．25．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =- D ．()lg 1(0)y x x =+>7．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<9．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,211．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x 二、填空题13．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.14．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 15．求值： 233125128100log lg += ________ 16．若函数cos ()2||x f x x x =++，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 17．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________.18．已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________．19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．20．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；三、解答题21．已知函数()21log 1x f x x +=-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明； （2）若对于[]2,4x ∈，恒有()2log (1)(7)mf x x x >-⋅-成立，求实数m 的取值范围.22．计算3221(1).log 24lglog 27lg 2log 32+-+- 326031(2).(32)(8)9⎛⎫⨯--- ⎪⎝⎭－ 23．已知集合，，.（1）若，求的值； （2）若，求的取值范围.24．已知函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++，x ∈R ．（Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集；（Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围． 25．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）6log 332log 27log 2log 3625⋅--26．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.3．B解析：B 【解析】 【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <…，341x x =g ，从而得解【详解】 解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示：依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈ 所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.5．B解析：B【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．6．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥Q ，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x >Q ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．7．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（）， ∴排除B ，当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．9．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.10．C解析：C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.11．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．二、填空题13．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）解析：23 【解析】 【分析】由已知可得()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案． 【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()221x f x ++]＝13， ∴()221x f x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，即f （x ）＝﹣x 221++a ，f （a ）＝﹣x221++a ＝13， 解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x221++1， ∴f （log 25）＝23，故答案为：23． 【点睛】 本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键，属于中档题． 14．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数将f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）转化为再利用f （x ）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数且f解析：（﹣∞，1）U （53，+∞） 【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223f m f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数，所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|，所以3m 2﹣8m +5>0，所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0，解得m <1或m 53>， 故答案为：（﹣∞，1）U （53，+∞）. 【点睛】 本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有： 解析：32- 【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有：()2log 31532lg 3210022=-+-=-. 16．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值解析：10【解析】【分析】 由cos ()2||x f x x x =++，得()()42||f x f x x +-=+，由此即可得到本题答案. 【详解】 由cos ()2||x f x x x =++，得cos()cos ()2||2||x x f x x x x x--=+-+=+--， 所以()()42||f x f x x +-=+，则(lg 2)(lg 2)42|lg 2|42lg 2f f +-=+=+，(lg5)(lg5)42|lg5|42lg5f f +-=+=+， 所以，11(lg 2)lg(lg 5)lg 42lg 242lg 51025f f f f ⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值. 17．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值.【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题. 18．【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数∵函数故计算得出：点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段 解析：13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】若对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立， 则函数()f x 在R 上为减函数， ∵函数(2),2()11,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩， 故22012(2)12a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩， 计算得出：13,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.19．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解析：(][)22-∞-⋃+∞，， 【解析】【分析】由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数，再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围.【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数， ∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数()()2f x f ≤Q()()2f x f ∴≤2x ∴≥2x ∴≥或2x -≤∴解集为(][),22,-∞-+∞U故答案为：(][),22,-∞-+∞U【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型. 20．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属解析：)22,2e e ⎡--⎣【解析】【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出+a b 以及c 的取值范围，由此求得()a b c +的取值范围.【详解】函数()f x 的图像如下图所示，由图可知1,22a b a b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==，令ln 10,x x e -==，所以2e c e <≤，所以)2()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣.故答案为：)22,2e e ⎡--⎣【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.三、解答题21．（1）奇函数，证明见解析；（2）015m <<【解析】【分析】（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可；（2）由题意，101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∀∈恒成立，转化为0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解.【详解】（1）因为101x x +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数()f x 为奇函数，证明如下：由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称， 又因为1222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+⎛⎫-====- ⎪--+-⎝⎭， 所以函数()f x 为奇函数；（2）若对于[]2,4x ∈，2()log (1)(7)m f x x x >--恒成立， 即221log log 1(1)(7)x m x x x +>---对[]2,4x ∈恒成立， 即101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∈恒成立， 因为[]2,4x ∈，所以107m x x +>>-恒成立， 即0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立， 设函数()()()17g x x x =+-，求得()g x 在[]2,4上的最小值是15，所以015m <<.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大.22．（1）32.（2）44. 【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.试题解析：3223222321(1).log 24lg log 27lg 2log 321(log 24log 3)(lg lg 2)log 32333log 8lg13222+-+-=-++-=+-=-= 326031(2).(32)(-8)9⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭－ 11362322(32()3)1--=⨯--9827144=⨯--=考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.23．(1) 或；(2). 【解析】试题分析：(1)由题意结合集合相等的定义分类讨论可得：的值为或.(2)由题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式组可得. 试题解析：（1）若，则，∴. 若，则，，∴. 综上，的值为或. （2）∵，∴∴. 24．（Ⅰ）{}1（Ⅱ）1323a -<<-【解析】【分析】（Ⅰ）将1a =代入直接求解即可；（Ⅱ）设2x t =，得到()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，利用二次函数的性质列不等式组求解即可.【详解】（Ⅰ）当1a =时，()()2log 4223x x f x =++=， 所以34222x x ++=，所以4260x x +-=，因此()()23220x x +-=，得22x =解得1x =，所以解集为{}1．（Ⅱ）因为方程()2log 421x x a a x +⋅++=有两个不同的实数根，即4212x x x a a +⋅++=，设2x t =，()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解， 令()()()211f t t a t a =+-++，由已知可得()()()2001021410f a a a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=--+>⎩n解得13a -<<-【点睛】本题主要考查了对数函数与指数函数的复合函数的处理方式，考查了函数与方程的思想，属于中档题.25．（1）99；（2）3-.【解析】【分析】（1）直接根据指数与对数的性质运算即可；（2）直接利用对数运算性质即可得出.【详解】（1）原式21123325249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 7351001442=++-- 99=. （2）原式323log 313=--- 31422=-- 3=-.【点睛】本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.26．（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . 【解析】【分析】（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a的取值范围.【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足A B =∅I .②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >-又A B =∅Q I ，则有210a +≤或11a -≥，解得12a ≤-或2a ≥， 122a ∴-<≤-或2a ≥. 综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . 【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
天津市耀华中学2023-2024学年高一下学期期末学情调研数学试卷
天津市耀华中学2023-2024学年高一下学期期末学情调研数学试卷一、单选题 1．复数12i3i--在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（ ） A ．16B ．17C ．23D ．243．已知向量,a b r r满足1,22a a b =+=r r r ，且()2b a b -⊥r r r ，则b =r （ ）A ．12B C D ．14．一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为2,1,3,,4,5x ，则这6个点数的中位数为3.5的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．235．若()2,0a =r ，1b =r ，a b -r r a r 与a b -rr 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π66．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，则圆锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设αβ、为两个平面，m n 、为两条直线，且m αβ=I .下述四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则n α⊥或n β⊥ ③若//n α且//n β，则//m n ④若n 与α,β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④8．在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则s i n s i n A C +=（ ）A ．32B C D 9．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为可雕刻成的最大球体积是（ ）A ．18πB ．C ．6π D10．距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的是一种茅屋，如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道，甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一端与茅屋的这个侧面连在一起，另一端是一个等腰直角三角形.图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为6m,//,BC EF AB AC AB AC ==⊥，点D 在正四棱锥的斜高PH 上，AD ⊥平面ABC且AD =.不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道)的室内容积为（ ）A 3B 3C 3D ．3二、填空题11．i 是虚数单位，则复数43i2i+=-． 12．已知点()()()()1,2,2,5,3,2,4,3A B C D ，则向量AB u u u r在CD u u u r 上的投影向量坐标为，投影向量的模为.13．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.14．某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用按比例分配分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8，8.5，8.1，估计该武警大队队员的平均射击水平为环．15．2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为34和23，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为．16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，14,2AA AB ==，则直线1A B 与平面11BB C C 所成角的正切值为.17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，,D E 分别为,AC BC 的中点，则多面体11DE A ABB -体积为．18．如图，梯形,//ABCD AB CD 且5,24AB AD DC ===，0AC BD ⋅=u u u r u u u r，则BAD ∠=，E 在线段BC 上，则AE DE ⋅u u u r u u u r的取值范围为.三、解答题19．（1）已知向量2a =r ，2b =r ，a r 与b r 的夹角为π3.①求a b ⋅r r ；②求a b +r r .（2）已知向量()1,1a =r ，()1,b k =-r. ①若()2a a b ⊥+rrr，求实数k 的值；②若a r 与b r的夹角是钝角，求实数k 的取值范围.20．某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a 、b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）；(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.21．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.(1)求sin sin CA的值； (2)若1cos ,24B b ==.（i ）求ABC V 的面积； （ii ）求πsin 26B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC V 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.(1)求直线DE 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：1B F ⊥平面AEF ；(3)求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.。
2020-2021学年天津市四校联考高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年天津市四校联考高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知i是虚数单位，则复数1+i2−i的共轭复数为()A. 1−iB. 35−35i C. 15−35i D. 13−i2.在△ABC中，a=√3，b=1，A=60°，则B=()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°3.已知水平放置的△ABC按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=2，那么△ABC的周长为()A. 6B. 2+2√2C. 2+2√15D. 2+2√174.某校高一年级开展英语百词测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计．将所得成绩分成5组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．则第4组的学生人数为()A. 20B. 30C. 40D. 505.设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则其中正确命题的序号为()①m//α，α//β，则m//β；②m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n；③m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n；④n⊂β，m⊥α，m//n，则α⊥β．A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④6. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE 的延长线与CD 交于点F.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 67a⃗ −16b ⃗ B. −130a⃗ +16b ⃗ C. 130a⃗ +16b ⃗ D. 67a⃗ +16b ⃗ 7. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各棱长均相等，体积为2√3，M 为A 1B 中点，则点M到平面A 1B 1C 的距离为( )A. √217B. 4√55C. √77D. 2√338. 下列四个命题正确的个数为( )①抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为16；②现有7名同学的体重(公斤)数据如下：50，55，45，60，68，65，70，则这7个同学体重的上四分位数(第75百分位数)为65；③新高考改革实行“3+1+2”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为12．A. 3B. 2C. 1D. 09. 已知O 是三角形ABC 的外心，若ACAB AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ABACAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，且sinB +sinC =√3，则实数m 的最大值为( )A. 3B. 35C. 75D. 32二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 已知平行四边形ABCD ，A(1,3)，B(2,4)，C(5,6)，则点D 的坐标为______． 11. 将圆心角为3π4，半径为8的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为______．12. 记△ABC 的面积为S ，且满足8S =3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos C 的值为______． 13. 甲参加猜成语比赛，假定甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为______．14. 已知正四棱锥P −ABCD 中，底面边长为2，侧面积为4√5，若该四棱锥的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为______．15. 在△ABC 中，AB =AC =√3，2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =514，则BC =______，延长DF 交AC 于点E ，点P 在边BC 上，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.已知平面向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(1,3)，|b⃗ |=√102．(1)若b⃗ //a⃗，求b⃗ 的坐标；(2)若(2a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−5b⃗ )，求|3a⃗−2b⃗ |的值；(3)若a⃗在b⃗ 上的投影向量为−√2b⃗ ，求a⃗与b⃗ 的夹角．17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c(sinB−√3cosB)+√3a=0．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若△ABC的外接圆半径R=√7，b=4，求△ABC的面积．18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，√33sinC−cosA=a2−b22bc．(1)求角B的大小；(2)若角B为锐角，AD=2DC，c=3，BD=73，求a．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1，侧面A1ABB1⊥底面ABC，侧棱BB1=2，BA=1，∠ABB1=60°，点E、F分别是棱C1C、A1B1的中点，点M为棱BC上一点，且满，B1M⊥BC．足AM=12(1)求证：EF//平面CB1A；(2)求证：AB1⊥BC；(3)求直线BA1与平面MB1A所成角的余弦值．20.如图，平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB=AD=BC=3，BD=2√3，以BD为折痕将△ABD折起，使点A到达点P的位置，且PC=√6．(1)若E为棱PD中点，求异面直线CE与PB所成角的余弦值；(2)证明：平面BCD⊥平面PBC；(3)求二面角P−BD−C的平面角的正弦值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=1+3i5=15+35i，所以共轭复数为15−35i．故选：C．先利用复数的除法运算求助复数，再利用共轭复数的定义求解即可．本题考查了复数的除法运算，共轭复数定义的应用，考查了运算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：因为a=√3，b=1，A=60°，所以由正弦定理asinA =bsinB，可得√3√32=1sinB，解得sinB=12，因为b<a，可得B<A，则B=30°．故选：A．由已知利用正弦定理可得sinB=12，根据大边对大角可求B<A，利用特殊角的三角函数值即可求解B的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由直观图中B′O′=C′O′=1，A′O′=2，可得△ABC中，BO=CO=1，AO=4，因为AO⊥BC，则AB=AC=√42+12=√17又底边BC=2，所以△ABC的周长为2+2√17．故选：D．利用斜二测画法的规则，求出原△ABC中的信息，求解周长即可．本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由图可得，(0.01+0.02+m+0.06+0.07)×5=1，解得m=0.04，∴第四组的人数为0.04×5×100=20．故选：A．根据直方图中各区间所对应的频率和为1，可推得第4组[90,95)频率，再结合样本容量100，即可求解．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：①若m//α，α//β，则m//β或m⊂β，故①错误；②若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n或m与n异面，故②错误；③若m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m//β，又n⊥β，则m⊥n，故③正确；④若m⊥α，m//n，则n⊥α，又n⊂β，可得α⊥β，故④正确．故选：D．由直线与平面平行、平面与平面平行的关系判断①；由两平面平行分析两平面中直线的位置关系判断②；由线面垂直与面面垂直的关系分析③；由直线与平面垂直的性质及面面垂直的判定判断④．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：如图所示：由CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 得CE EA =15， 由DC//AB 得△EFC∽△EBA ，∴CFAB =CEEA =15， 又∵DC =AB ，∴CFDC =15，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +15CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )−15DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−130DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −16DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−130a ⃗ +16b ⃗ ， 故选：B ．EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据△EFC∽△EBA 和CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得CF =15AB =15DC ，结合EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ ，可解决此题． 本题考查平面向量共线定理，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各棱长均相等，设棱长为a ， 因为体积为2√3，则√34a 2⋅a =2√3，解得a =2，设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ， 因为A 1B 1=2，CB 1=CA 1=2√2， 则S △CA 1B 1=√7，由等体积法，V M−A 1B 1C =V C−A 1B 1M ， 即13⋅d ⋅S △CA 1B 1=13⋅√3⋅S △A 1B 1M ， 即13⋅d ⋅√7=13×√3×12×2×1， 解得d =√217，故点M 到平面A 1B 1C 的距离为√217．故选：A ．利用直棱柱的体积公式求出棱长，点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由等体积法V M−A 1B 1C =V C−A 1B 1M ，求解即可．本题考查了点到平面距离的求解，涉及了直棱柱体积公式的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：①：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为6×6=36种，向上点数之和不小于10的基本事件有(4,6)，(5,5)(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，所以所求事件的概率P=636=16，故①正确，②：因为7×75%=5.25，所以这7个同学体重的上四分位数(第75百分位数)为65，故②正确，③：从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为C42=6，选出的两科中含有政治学科的基本事件有(政治，地理)，(政治，生物)，(政治，化学)共3种，所以所求事件的概率P=36=12，故③正确，故选：A．①③：根据古典概型的概率计算公式即可求解；②：根据百分位数的求解公式即可求解．本题考查了命题的真假判断，涉及到古典概型的概率计算公式以及百分位数的求解，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：如图所示：设AB=c，AC=b，∠BAO=θ，∠CAO=α，由ACAB AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO⃗⃗⃗⃗⃗ +ABACAC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(AO⃗⃗⃗⃗⃗ )2得b c ⋅c⋅AOcosθ+cb⋅b⋅AOcosα=2m⋅AO2，化简得bcosθ+ccosα=2mAO，由O是三角形ABC的外心可知，O是三边中垂线交点，得cosθ=c2AO ，cosα=b2AO，代入上式得bc=2mAO2，∴m=bc2AO2．根据题意知，AO是三角形ABC外接圆的半径，可得sinB=b2AO ，sinC=c2AO，代入sinB+sinC=√3，得b+c=2√3AO，∴m =bc 2AO2≤(b+c 2)22AO 2=32，当且仅当“b =c ”时，等号成立． 故选：D ．设AB =c ，AC =b ，∠BAO =θ，∠CAO =β，由AC AB AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ABAC AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2得bc ⋅c ⋅AOcosθ+cb⋅b ⋅AOcosα=2m ⋅AO 2，化简得bcosθ+ccosα=2mAO ， 由O 是三角形ABC 的外心可知，O 是三边中垂线交点，得cosθ=c2AO ，cosα=b2AO ， 根据题意知，AO 是三角形ABC 外接圆的半径，可得sinB =bAO ，sinC =cAO 代入sinB +sinC =√3，得b +c =√3AO ，结合前面等式得m 关于b 、c 、AO 的表达式，再用基本不等式可解决此题．本题考查平面向量数量积性质及基本不等式应用，考查数学运算能力，属于难题．10.【答案】(4,5)【解析】解：平行四边形ABCD 中，A(1,3)，B(2,4)，C(5,6)， 设点D 的坐标为(x,y)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)， 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x −1=3y −3=2，解得{x =4y =5，所以D(4,5)．故答案为：(4,5)．设点D 的坐标为(x,y)，根据AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 列方程组求出x 、y 的值． 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．11.【答案】38【解析】解：设母线长为l ，底面半径为r ，则依题意易知l =8， 由θ=2πr l，代入数据即可得r =3，因此所求角的余弦值即为rl =38． 故答案为：38．设母线长为l ，底面半径为r ，利用侧面展开图，求出圆心角，然后求出底面半径，即可求出圆锥母线与底面所成角的余弦值．本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，扇形的知识，圆锥的母线与底面所成的角，考查计算能力．12.【答案】−45【解析】解：∵8S =3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴8×12×|BC|×|CA|×sinC =3×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos(π−C)， ∴4sinC =−3cosC ， ∴tanC =−34，且C ∈(π2,π)， ∴cosC =−45，故答案为：−45．由三角形的面积公式及平面向量的数量积公式代入化简，再由同角三角关系式求解即可． 本题考查了平面向量的数量积公式应用及三角函数的应用，属于基础题．13.【答案】2764【解析】解：由题意，甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，所以在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为C 32⋅(34)2⋅(1−34)=2764． 故答案为：2764．利用相互独立事件的概率乘法公式列式求解即可．本题考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．14.【答案】9π2【解析】解：设正四棱锥的侧棱长为b ，又侧面积为4√5， ∴4×12×2×√b 2−1=4√5，解得b =√6， ∴正四棱锥P −ABCD 的高ℎ=√6−2=2， 正四棱锥P −ABCD 的外接球的球心O 在正四棱锥P −ABCD 的高所在直线上，如图，设球O 的半径为R ，则(2−R)2+(√2)2=R 2，解得R =32， 则球O 的体积为V =43πR 3=43π×(32)3=9π2．故答案为：9π2．由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长，求出正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求．本题主要考查正四棱锥的性质，直四棱锥的体积与其外接球的体积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】√3 −3【解析】解：由2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AB ⃗⃗⃗⃗⃗由2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=92AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=92×3−3+32√3×√3×cosA =514，则cosA =12.∴BC =√3．如图建立平面直角坐标系，可得B(−√32,0)，C(√32,0)，A(0,32)，设P(x,0)，√32≤x ≤√32．∵2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CF//AD ，CF =12AD ，∴C 为AE 中点， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,32)+3((−√32,−32)=(−x −3√32,−3)， PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,32)+2(√32,−32)=(−x +√3,−32)， DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x −3√32)(−x +√3)+(−3)×(−32)=−x 2−3√32x ∵−√32≤x ≤√32，∴x =√32时，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，最小值为−3． 答案为：√3，−3．用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得cos A ，即可求得BC ，建立平面直角坐标系，设P(x,0)，√32≤x ≤√32.即可求得DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值． 本题考查了平面向量的线性、数量积的运算，考查了转化思想，属于中档题．16.【答案】解：(1)由题意设b ⃗ =λ(1,3)，|b ⃗ |=|λ|√12+32=√102，解得λ=±12，即b ⃗=(12,32)或b ⃗ =(−12,−32)， (2)∵(2a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −5b ⃗ )，∴(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −5b ⃗ )=0，即2 a ⃗⃗⃗ 2−9 a ⃗⃗⃗ ⋅b ⃗ −5b ⃗ 2=0，即2×(12+32)−9 a ⃗⃗⃗ ⋅b ⃗ −5×104=0，故 a⃗⃗⃗ ⋅b ⃗ =56， |3a ⃗ −2b ⃗ |=√9 a ⃗⃗⃗ 2−12a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=√90−10+10=3√10，(3)设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， 则| a ⃗⃗⃗ |⋅cosθ⋅b⃗ |b⃗ |=−√2b ⃗ ，即√10⋅cosθ⃗ √102=−√2b ⃗ ，即cosθ=−√22，θ=3π4．【解析】(1)由向量平行设b ⃗ =λ(1,3)，再由模公式求得，(2)由垂直得(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −5b ⃗ )=0，化简得 a ⃗⃗⃗ ⋅b ⃗ =56，从而整体代入求|3a ⃗ −2b ⃗ |， (3)设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，由投影向量的定义的得| a ⃗⃗⃗ |⋅cosθ⋅b⃗ |b⃗ |=−√2b ⃗ ，从而解得．本题考查了平面向量的应用，重点考查了平行与垂直的应用，同时考查了整体思想与待定系数法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)因为c(sinB −√3cosB)+√3a =0，由正弦定理可得sinCsinB −√3sinCcosB +√3sinA =0， 又sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC ，所以sinCsinB −√3sinCcosB +√3sinBcosC +√3cosBsinC =0，即sinCsinB +√3sinBcosC =0， 因为sinB ≠0，所以sinC +√3cosC =0，即tanC =−√3，因为C ∈(0,π)， 所以C =2π3．(Ⅱ)因为C =2π3，△ABC 的外接圆半径R =√7，所以由 csinC =2R ，可得c =2√7×√32=√21，因为b =4，由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得21=a 2+16+4a ，即a 2+4a −5=0，解得a =1，(负值舍去)，所以△ABC 的面积S =12absinC =12×1×4×√32=√3．【解析】(Ⅰ)由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan C 的值，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值．(Ⅱ)由题意利用正弦定理可求c 的值，根据余弦定理可求a 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为√33sinC =cosA +a 2−b 22bc=b2+c 2−a 22bc+a 2−b 22bc=c 22bc = c2b ，所以由正弦定理可得√33sinC =sinC 2sinB，又sinC ≠0， 所以可得sinB =√32，又B ∈(0,π)， 所以B =π3，或2π3．(2)若角B 为锐角，则B =π3，又AD =2DC ，c =3，BD =73，设CD =x ，可得AD =2x ，AC =3x ， 在△ABC 中，由余弦定理可得9x 2=9+a 2−3a ，① 又cos∠ADB =−cos∠CDB ， 所以499+4 x 2−92×73×2x =−x 2+499−a 22×x×73，整理可得11+9x 2−3a 2=0，②由①②联立解得2a 2+3a −20=0，解方程可得a=52，或−4(舍去)．【解析】(1)由正弦定理，余弦定理化简已知等式，结合sinC≠0，可得sin B的值，结合范围B∈(0,π)，可得B的值．(2)由题意可得B=π3，设CD=x，可得AD=2x，AC=3x，在△ABC中，由余弦定理可得9x2=9+a2−3a，又cos∠ADB=−cos∠CDB，利用余弦定理可得11+9x2−3a2=0，联立解得2a2+3a−20=0，解方程可得a的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于中档题．19.【答案】(1)证明：设A1B∩AB1=O，连接OC，OF，因为O，F分别为A1B，A1B1的中点，则OF//BB1，OF=12BB1，因为E为CC1的中点，所以CE=12CC1=12BB1，且CC1//BB1，所以OF//OE，OF=OE，则四边形CEFO为平行四边形，故EF//OC，因为OC⊂平面CB1A，EF⊄平面CB1A，故EF//平面CB1A；(2)证明：因为∠ABB1=60°，AB=1，BB1=2，所以∠B1AB=90°，即AB⊥AB1，因为平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC=AB，所以AB1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，故AB 1⊥BC；(3)解：因为B1M⊥BC，AB1⊥BC，又B1M∩AB1=B1，B1M，AB1⊂平面MB1A，故BC⊥平面MB1A，连接OM，则OM为BA1在平面MB1A内的射影，所以∠OBM为BA1与平面MB1A所成的角，因为AB=1，AM=12，且AM⊥BM，所以BM=√32，在△A1AB中，A1B2=4+1−2×2×1×(−12)=7，所以A1B=√7，则OB=√72，所以OM=√74−34=1，故cos∠OBM=1√72=2√77，所以直线BA1与平面MB1A所成角的余弦值为2√77．【解析】(1)设A1B∩AB1=O，连接OC，OF，利用中位线定理可证明四边形CEFO为平行四边形，则EF//OC，由线面平行的判定定理证明即可；(2)利用已知的边角关系可得，AB⊥AB1，由面面垂直的性质定理可得AB1⊥平面ABC，即可证明结论；(3)先利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面MB1A，可得∠OBM为BA1与平面MB1A所成的角，然后在三角形中，由边角关系求解即可．本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．20.【答案】(1)解：取DB的中点M，连接ME，MC，CE，因为E为PD的中点，则ME//PB，则∠MEC即为异面直线CE与PB所成的角，在△PCD中，PC=√6，CD=√3，PD=3，则PD2=PC2+CD2，所以△PCD为直角三角形，则CE=12PD=32，在△MEC中，ME=12PB=32，MC=12BD=√3，CE=32，由余弦定理可得，cos∠MEC=ME 2+CE2−MC22⋅ME⋅CE=94+94−32×32×32=13，故异面直线CE与PB所成角的余弦值为13；(2)证明：由(1)可知，CD⊥PC，又CD⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC，所以CD⊥平面PBC，又CD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面PBC；(3)解：在平面PBC内，过点PF⊥BC，连接MF，由(2)可知，平面BCD⊥平面PBC，又平面BCD∩平面PBC=BC，所以PF⊥平面BCD，因为PM⊥BD，由三垂线定理可得，MF⊥BD，则∠PMF即为二面角P−BD−C的平面角，在△PBC中，由余弦定理可得cosB=PB2+BC2−PC22⋅PB⋅BC =9+9−62×3×3=23，在Rt△PBF中，cosB=PFPB =PF3=23，所以PF=2，在等腰△PBD中，PM=√PB2−BM2=√9−3=√6，在Rt△PFM中，sin∠PMF=PFPM =√6=√63，故二面角P−BD−C的平面角的正弦值为√63．【解析】(1)取DB的中点M，连接ME，MC，CE，利用异面直线的定义，得到∠MEC即为异面直线CE与PB所成的角，在三角形中利用边角关系求解即可；(2)利用线面垂直的判定定理证明CD⊥平面PBC，由面面垂直的判定定理证明即可；(3)在平面PBC内，过点PF⊥BC，连接MF，利用二面角的平面角的定义可得，∠PMF 即为二面角P−BD−C的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可．本题考查了翻折问题，异面直线所成角的求解，二面角的求解，面面垂直的判定，对于几何法求解空间角问题，解题的关键是利用定义找到对应的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．。
2020学年天津和平区天津市耀华嘉诚国际学校高一下学期理科期末数学试卷 【答案】
未分组选择题（共10小题）1.A. B.C. D.答 案解 析原 文经过点，倾斜角是的直线方程为（）．B 倾斜角为 ，∴直线斜率．∴已知斜率及通过一点根据点斜式 ．即．故选 ．1.【答案】BA (2,3)135∘x +y +5=0x +y −5=0x −y +1=02x +y −7=0135∘k =tan 135=−1∘y −3=−(x −2)x +y −5=0B 2.A. ，，，，， B. ，，，，，C. ，，，，， D. ，，，，，答 案解 析在由个个体组成的总体中，用系统抽样的方法抽取个组成样本，假设这个个体已编号，则下列各组号码中不能成为样本的是（ ）．D个个体用系统抽样的方法抽取个组成样本，根据系统抽样方法，间隔应为 ．故错误．故选486191725334171523313947412202864481522293643486=8486D原 文2.【答案】D3.A. B. C.D.答 案解 析原 文将容量为的样本数据按从小到大的顺序排列分成个小组，如下表所示：组号频数则第组的频率为（ ）．A 第组频率数为，样本容量为 ．∴频率频数样本容量．故选 ．3.【答案】A10081234567810131414151312930.140.03114314314100=/==0.1414100A 4.A. B. C. D.答 案解 析过点且与直线垂直的直线方程是（）．C 直线的斜率为，∴与其垂直的直线斜率为 ．∴根据点斜式 ．(1,0)x −2y −3=0x −2y −1=02x −y −2=02x +y −2=02x +y −1=0x −2y −3=0=k 112=−2k 2y −0=−2(x −1)原 文 ．故选 ．4.【答案】C2x +y −2=0C 5.A.B.C.D.答 案解 析原 文某个房间铺设的地板砖如图所示，一粒豆子滚落到房间中的地板上，则这粒豆子静止后，停留在阴影地板砖上的概率是（ ）．C阴影地板个数 个，地板总数 个，把它们都看作由边长为 的正方体组成，则落在阴影的概率是．故选 ．5.【答案】C18141323166×8=481P ==164813C 6.根据右面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（ ）．A. 和B. 和C. 和D. 和答 案解 析原 文B将甲中的数据由小到大排列得：，，，，，，，，，，，共个数据，所以中位数为第个数据与第个数据的平均数为：．同理得乙组中位数为 ．故选 ．6.【答案】B24292528252930311013181922242630304143521267(24+26)÷2=2528B 7.A.相离 B.外切 C.相交 D.内切答 案解 析圆和圆的位置关系是（）C中圆心，半径， 中圆心，半径，两个圆心的距离．即．∴与相交．故选 ．:+=1O 1(x −1)2y 2:+=4O 2x 2(y −2)2O 1(1,0)=1r 1O 2(0,2)=2r 2||==O 1O 2+1222−−−−−−√5√||=<+O 1O 25√r 1r 2O 1O 2C原 文7.【答案】C8.A. B. C. D.答 案解 析原 文已知圆的方程是，则圆过点的最短弦所在的直线方程是（）．A．配方得．∴圆心，半径．最短弦与圆心与 连线垂直．∴圆心与点的直线斜率．∴最短弦所在直线斜率．∴直线．即．故选 ．8.【答案】AO +−8x −2y +8=0x 2y 2O (5,2)x +y −7=0x −y −3=0x +2y −9=02x −y −8=0+−8x −2y +8=0x 2y 2+=9(x −4)2(y −1)2(4,1)r =3(5,2)(5,2)k ==12−15−4=−=−1k ′1k y −2=−1(x −5)x +y −7=0A 9.A.B.C.D.答 案解 析从本不同的物理书和本不同的化学书中任选本，则所选的书中即有物理书又有化学书的概率为（）．D所选书中既有化学书又有物理书的情况比较多，故从反向考虑．所选书中仅有物理书或仅有化学书的概率为：423151223453原 文∴既有化学书又有物理书的概率．故选 ．9.【答案】DP =1−=P 145D 10.A. 个 B. 个 C. 个 D. 个答 案解 析若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（）．D三条直线不能构成三角形时共有 种情况，即三直线中其中有两条线平行或三条直线经过同一点，①当直线 时，得．②当直线时， 得．③当直线时，得．④三条线过同一点时，联立 与得： ．即．∴，．∴或．综上，的取值最多有个．故选:5x −y −1=0,=ax +y =0,:x +ay +1=0l 1l 2l 3a 34564//l 1l 2−a =5a =−5//l 1l 3−=51a a =−15//l 2l 3−a =−1a a =±1l 2l 3{⇒(,−)ax +y =0x +ay +1=01−1a 2a −1a 2=05−a −+1a 2−1a 2+a −6=0a 2(a +3)(a −2)=0a =−3a =2a 6填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分原 文10.【答案】D11.答 案解 析原 文某厂生产三种型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽取一个容量为的样本，样本中型号的产品有件，则样本容量．的数量总数．∴ ．解得 ．11.【答案】A ,B ,C 2:4:3n A 16n =72A /==22+4+329=16n 29n =727212.答 案解 析原 文圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为．圆心在轴上，设其为．则圆的方程 ．将代入，则．解得 ．∴圆的方程．y 2(−2,3)+=4x 2(y −3)2y (0,a )+=4x 2(y −a )2(−2,3)4+=4(3−a )2a =3+=4x 2(y −3)22213.答 案解 析原 文甲、乙两人对局，甲不输的概率为，两人对成平局的概率为，则乙不输的概率为．甲输的概率为 ．乙胜的概率甲输的概率．∴．13.【答案】0.70.250.551−0.7=0.3==0.3=+=0.3+0.25=0.55P (乙不输)P (乙胜)P (平均)0.5514.答 案解 析原 文已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值为．或当时，．当时，．且 ．即．∴或．14.【答案】 或l :(a −2)x +y −a =0x y a 30x =0y =a y =0x =aa −2a =aa −2−3a =0a 2a =3a =03015.已知点是直线上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为．M 3x +4y −1=0N +=1(x −1)2(y +1)2|MN |3解答题：本大题共5小题，共40分解 析原 文根据圆的方程，圆心，半径为．圆心到直线的距离： ．∴直线与圆相离．∴．15.【答案】(−1,−1)1d ==>r |−3−4−1|+3242−−−−−−√85=d −r =−1=|MN |最短85353516.（1）答 案解 析（2）某班名学生在一次政治测试中，成绩全部介于与之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组 ，第三组，第四组，第五组．右图是按上述分组得到的频率分布直方图．按规定成绩不小于的为优良，求该班在这次测试中成绩为优良的人数．．的频率， 的频率．∴成绩优良的频率为．∴成绩优良的人数为 人．若成绩大于或等于的为及格，求该班在这次测试中的及格率．5050100[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]8024[80,90)=0.038×10=0.38P 1[90,100]=0.01×10=0.1P 2P =+=0.38+0.1=0.48P 1P 20.48×50=2460答 案解 析原 文．小于的不及格率为：．∴及格的概率为：．∴该组及格率为 ．16.【答案】（1） ．（2） ．94%60P (x <60)=0.006×10=0.06P (x ⩽60)=1−P (x <60)=1−0.06=0.940.94×100%=94%2494%17.（1）答 案解 析（2）答 案解 析从甲、乙两名射击选手中选拔一人参加比赛，对他们的水平进行了测试，两人各射击次，命中的环数如下表：甲乙计算甲、乙两人命中环数的平均数和方差．甲命中环数的平均数： ，方差，乙命中环数的平均数： ，方差．甲命中环数的平均数：．方差．乙命中环数的平均数：． ．比较两人的成绩，决定选择哪一人参赛．乙．∵10510978476866876795778737 1.2==7x 甲¯¯¯¯¯¯5+10+9+7+8+4+7+6+8+610=[+++++s 2甲(5−7)2(10−7)2(9−7)2(7−7)2(8−7)2++++]×=3(4−7)2(7−7)2(6−7)2(8−7)2(6−7)2110=(6+8+7+6+7+9+5+7+7+8)=7x 乙¯¯¯¯¯¯110=×[+++++s 2乙110(6−7)2(8−7)2(7−7)2(6−7)2(7−7)2++++]=1.2(9−7)2(5−7)2(7−7)2(7−7)2(8−7)222原 文∴派乙去参赛（乙的成绩波动小，更稳定）．17.【答案】（1）甲命中环数的平均数：，方差，乙命中环数的平均数：，方差．（2）乙．737 1.218.（1）答 案解 析（2）答 案解 析原 文若一个袋子中放个红球，个黑球，摇匀后随机摸出个球．求“摸出的个球均是红球”的概率．．摸出个球的可能性种，摸出个红球的可能性种．∴“摸出的个球均是红球”的概率．求“摸出的个球恰是个红球和个黑球”的概率．．“摸出球为一红一黑”的可能情况：种．∴概率．18.【答案】（1） ．（2） ．3422172=21C 272=3C 232P ==3211721147=12C 13C 14P ===C 13C 14C 271221471747（1）答 案解 析（2）答 案解 析 的方程为，点的坐标为．求过点且与圆相切的直线的方程．或．圆：．即．圆心，半径．①当过点的直线斜率不存在时：，此时圆心到直线距离：．∴不成立，舍去．②的斜率存在时，设：．即．圆心到的距离：．即．解得或．∴或．直线过点，且与圆相交于两点，若，求直线的方程．或．①当斜率不存在时，，由（）知圆心到直线的距离为．C +−2x −2y −2=0x 2y 2P (2,−1)P C l 1=y +1=0l 1:4x −3y −11=0l 1C +−2x −2y −2=0x 2y 2+=4(x −1)2(y −1)2(1,1)r =2P :x =2l 1d =<r |1−2|1l 1l 1y +1=k (x −2)kx −y −2k −1=0l 1d ==2|k −1−2k −1|+1k 2−−−−−√3−4k =2k 2k =0k =43=y +1=0l 1:4x −3y −11=0l 1l 2P C A ,B |AB |=23√l 2:x =2l 23x +4y −2=0l 2:x =2l 211<r原 文，符合题意．②斜率存在时，设，即．圆心到直线距离：． ，即，化简得．解得．∴．综上：或．19.【答案】（1） 或．（2） 或．|AB |=2=2−r 2d 2−−−−−−√3√l 2:y +1=k (x −2)l 2kx −y −2k −1=0d =|k +2|+1k 2−−−−−√|AB |=2=2−r 2d 2−−−−−−√3√−=3r 2d 2=1+4k +4k 2+1k 2k =−34:3x +4y −2=0l 2:x =2l 23x +4y −2=0=y +1=0l 1:4x −3y −11=0l 1:x =2l 23x +4y −2=020.（1）答 案解 析已知及圆上一点，且圆的弦的中点为．求圆的方程和直线的方程．，．已知圆心，圆上一点．∴半径．∴圆心与的直线斜率为：，又∵，∴．C (2,0)CD (4,)5√C AB P (3,1)C AB C :+=9(x −2)2y 2x +y −4=0C (2,0)(4,)5√r ==3(4−2)2(−0)5√2−−−−−−−−−−−−−−√P ==1k CP 1−03−2⋅=−1k AB k CP =−1k AB（2）答 案解 析原 文，即．圆，方程：．若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，求直线的倾斜角的取值范围．．圆 半径，∴恰好有个点到直线距离为时，圆心到的距离为．∴得． ．直线的斜率．当时，， 时，，又∵至少有个点到直线距离为．∴．∴倾斜角取值范围为．20.【答案】（1） ，．（2） ．:y −1=−(x −3)l AB x +y −4=0C :+=9(x −2)2y 2AB x +y −4=0C l :ax +by =02l [0,]∪[π,π)π656C r =332l 1d ==1|2a |+a 2b 2−−−−−−√3=a 2b 2b =±a 3√l k =−a bb =a 3√k =−=−a a 3√3√3b =−a 3√k =−=a −a 3√3√332k ∈[−,]3√33√3[0,]∪[π,π)π656C :+=9(x −2)2y 2x +y −4=0[0,]∪[π,π)π656。
天津市耀华嘉诚国际中学2020~2021学年度第二学期期末模拟卷(一)
天津市耀华嘉诚国际中学2020~2021学年度第二学期期末模拟卷（一）一、选择题1．函数()3ln 2x f x =+的导数为（ ） A ．3ln 3x B ．13ln 32x+C ．132x+D ．3x【答案】A2．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+，计算得7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为 A ．75万元 B ．85万元 C ．99万元 D ．105万元【答案】B3．曲线1x y xe =+在点()0,1处的切线方程是( ) A ．10x y -+= B ．210x y -+= C ．10x y --= D ．220x y -+= 【答案】A4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A ．144个 B ．120个C ．96个D ．72个【答案】B5．若22)nx 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ） A ．360 B ．180C ．90D ．45【答案】B6．将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出先一个6点”，则条件概率()P A B ，()P B A 分别等于 A ．6091，12B ．12，6091C ．2091，12D ．12，2091【答案】A7．若函数()2()e xf x x ax a =-+在区间(1,0)-内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞B ．[3,)+∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞【答案】D8．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有 A ．240种 B ．188种C ．156种D ．120种【答案】D 9．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 二、填空题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】79-2．设随机变量(2,)B p ξ，(4,)B p η，若2()3E ξ=，则(3)P η≥=______. 【答案】193．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示，则将()f x 的图象向右平移6π个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________.【答案】sin(2)6y x π=-4.已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________． 【答案】15．若8280128(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则0128a a a a +++⋯+=______．【答案】06．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 ． 【答案】472 三、解答题1.已知,αβ为锐角，3cos ,tan()25ααβ=+=-（1）求tan 2α的值 （2）求sin()αβ-的值（1）247-（2）25- （1）由α为锐角，3cos 5α=，得24sin 1cos 5αα. 所以4tan 3α=所以22tan 24tan 21tan 7ααα==-- （2）42tan()tan 3tan tan()241tan()tan 123αβαβαβααβα--+-=+-=-=++-⨯由题意及同三角函数的基本关系可得sin ββ==所以43sin()sin cos cos sin 55αβαβαβ-=-=-=. 【点评】本题主要考查了三角函数同角的基本关系，以及两角差的正弦和正切公式，以及正切的二倍角公式，属于基础题.2．一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，2个白球，3个黑球.（Ⅰ）若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；（Ⅱ）若从盒中任取3个球，求取出的3个球中红球个数X 的分布列和数学期望.（Ⅰ）6()6256(|)21()21756P A B P B A P A ⋂∴==== （Ⅱ）∴X 的分布列为X 的数学期望为：【解析】解:（Ⅰ）设事件A=“第一次取到红球”，事件B=“第二次取到红球”由于是不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，所以第一次取球有8种方法，第二次取球是7种方法，一共的基本事件数是56，由于第一次取到红球有3种方法，第二次取球是7种方法，3721()5656P A ⨯∴==… 2分又第一次取到红球有3种方法，由于采取不放回取球，所以第二次取到红球有2种方法，6()56P A B ∴⋂=6()6256(|)21()21756P A B P B A P A ⋂∴====……4分 （Ⅱ）从盒中任取3个球，取出的3个球中红球个数X 的可能值为0,1,2,3…… 5分且有3538105(0)5628C P X C ====,1235383015(1)5628C C P X C ==== 21353815(2)56C C P X C ===,…… 9分X 的分布列为…… 10分X 的数学期望为：……12分3．已知函数()()4242x x f x sin sin x πππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）将函数f （x ）的图象向右平移2π个单位，再将所得图象的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到新的函数y ＝g （x ），当5012x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求g （x ）的值域． （1）[66522k k ππππ-++，]（k ∈Z ）．（2）[1-，2]． 【分析】（1）化简()f x 可得：()32f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用复合函数的单调性及三角函数性质计算即可．（2）由函数f （x ）的图象平移、伸缩可得新的函数：g （x ）622sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由5012x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得：62632x πππ-≤-≤，利用三角函数性质可得：12126sin x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，问题得解． 【详解】解：（1）函数()()4242x x f x sin sin x πππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2x sinx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，sinx =+．32sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．令：32222k x k πππππ-+≤+≤+（k ∈Z ），解得：52266k x k ππππ-+≤≤+（k ∈Z ）， 所以函数的单调递增区间为：[66522k k ππππ-++，]（k ∈Z ）． （2）将函数f （x ）的图象向右平移2π个单位， 再将所得图象的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变， 得到：g （x ）622sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 由于：5012x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以：62632x πππ-≤-≤， 所以：12126sin x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 故：()12gx -≤≤．故函数g （x ）的值域为：[1-，2]． 【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角的正弦公式，还考查了两角和的正弦公式，还考查了三角函数性质及转化能力、计算能力，属于中档题．4．（2018年新课标I 卷文）已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． (1) a =212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a =212e，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --，之后构造新函数g（x ）=e ln 1exx --，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=a e x –1x． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0． 所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1ex x --，则()e 1'e x g x x =-．当0<x <1时，g ′（x ）<0；当x >1时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1a e≥时，()0f x ≥． 点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.5．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()0,+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得()()()'12.x f x x e a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性；（Ⅱ）借助第（Ⅰ）问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a 的取值范围为()0,+∞.试题解析：（Ⅰ）()()()()()'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+（Ⅰ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以f （x ）在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. （Ⅱ）设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln （-2a ）.①若2e a =-，则()()()'1xf x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2ea >-，则ln （-2a ）＜1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-⋃+∞时，()'0f x >；当()()ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减.③若2ea <-，则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞⋃-+∞时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.（Ⅱ）（Ⅰ）设0a >，则由（Ⅰ）知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，，取b 满足b ＜0且ln 2ab <， 则()()()22321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点. （Ⅱ）设a=0，则()()2xf x x e =-，所以()f x 只有一个零点.（iii ）设a ＜0，若2ea ≥-，则由（Ⅰ）知，()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点；若2ea <-，则由（Ⅰ）知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点.综上，a 的取值范围为()0,+∞. 【考点】函数单调性，导数应用【名师点睛】本题第（Ⅰ）问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.。
2020-2021天津市耀华滨海学校高三数学下期末一模试卷(及答案)
解析：1
【解析】
【分析】
先求出二项式 的展开式的通项公式，令 的指数等于 ，求出 的值，即可求得展开式中 的项的系数，再根据 的系数是 列方程求解即可.
17．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即
解析：
【解析】
【分析】
由题意可得 ，又由 ，可得 ，联立得 ， ，又由 为焦点的抛物线 ： 经过点 ，化简得 ，根据离心率 ，可得 ，即可求解．
26．已知数列｛ ｝的前n项和Sn＝n2－5n (n∈N+）．
（1）求数列｛ ｝的通项公式；
（2）求数列｛ ｝的前n项和Tn .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
求得基本事件的总数为 ，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为 ,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
（Ⅰ）若以大学生 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在 的人数；
（Ⅱ）若在大学生 该天抽取的步数在 的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
2021-2022学年天津滨海中学高一数学理下学期期末试题含解析
2021-2022学年天津滨海中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知＝4，＝3，，则与的夹角为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由已知中，，，我们可以求出的值，进而根据数量积的夹角公式，求出，，进而得到向量与的夹角；【详解】，，，，，所以向量与的夹角为.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2. 函数的最小正周期为（）A. B.π C.2π D.4π参考答案：B 略3. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确度为0.05）可以是（）[来A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5参考答案：C4. 函数的一个单调增区间是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】复合三角函数的单调性．【专题】计算题；压轴题；转化思想；换元法．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A【点评】本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．5. 已知向量（）A．（8，﹣1）B．（﹣8，1）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣15，2）参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量的三角形法则可得=﹣，将向、的坐标代入，计算可得答案．【解答】解：根据题意， =﹣，又由向量=（3，﹣2），=（﹣5，﹣1）；则=﹣=（﹣8，1）；故选：B．6. 函数的定义域是A、B、C、D、 [0，+∞)参考答案：D【知识点】函数的定义域与值域【试题解析】要使函数有意义，需满足：故答案为：D7. 设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为A. B. C. D.参考答案：D8. 已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是A、0＜∠A＜30°B、30°＜∠A＜45°C、45°＜∠A＜60°D、60°＜∠A＜90°参考答案：B9. 方程的解的个数是（）A.B.C.D.参考答案：C 解析：在同一坐标系中分别作出函数的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计个10. 过点（5，2），且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）A． B．或C． D．或参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f（x）=log a（x﹣2）+1的图象经过定点．参考答案：（3，1）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】令y=log a（x﹣2）的真数值为1，求得自变量x的值即可求得答案．【解答】解：令x﹣2=1，得x=3，∵f（3）=log a（3﹣2）+1=1，∴函数f（x）=log a（x﹣2）+1的图象经过定点（3，1）．故答案为：（3，1）．12. 设集合，则．参考答案：13. f （x ）=x 2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t ）≥2f（x ）恒成立，则实数t 的取值范围是 ．参考答案：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】函数恒成立问题． 【分析】问题转化为|x+t|≥|x|在[t ，t+2]恒成立，去掉绝对值，得到关于t 的不等式，求出t的范围即可．【解答】解：f （x ）=x 2，x∈[t ，t+2]， 不等式f （x+t ）≥2f（x ）=f （x ）在[t ，t+2]恒成立，即|x+t|≥|x|在[t ，t+2]恒成立， 即：x≤（1+）t 在[t ，t+2]恒成立， 或x≤（1﹣）t 在[t ，t+2]恒成立， 解得：t≥或t≤﹣， 故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．14. 已知方程x 2﹣4x +1＝0的两根为x 1和x 2，则x 12+x 22＝_____．参考答案：14 【分析】利用韦达定理代入即可．【详解】方程x 2﹣4x +1＝0的两根为x 1和x 2， x 1+x 2＝4，x 1x 2＝1，x 12+x 22＝ (x 1+x 2)2﹣2x 1x 2＝16﹣2＝14， 故答案为：14．【点睛】考查韦达定理的应用，基础题． 15. 在数列中，，且，则该数列的前1 0项和____________．参考答案：略16. 已知上的最大值比最小值多1，则a ＝__________。
天津市部分区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含答案
天津市部分区2020～2021学年度第二学期期末练习高一数学第I 卷（选择题 共40分）一、选择题；本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2,4),(1,1)a b ==-，则2a b -=（ ）A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9)2．已知i 为虚数单位，则复数(1)z i i =+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ） A ．π B ．43πC ．2πD ．4π 4．下列说法中正确的是（ ）A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．棱柱的各条棱都相等C ．所有几何体的表面都能展成平面图形D ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱5．袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球和3个黄球． 若从中无放回的先后取两个球，则取到2个红球的概率为（ ） A ．110 B ．12 C ．710 D ．356．在ABC 中，已知1,2,60BC AC C ==∠=︒则AB 等于（ ）A ．4B ．3C ．D 7．某工厂技术人员对三台智能机床的生产数据进行统计，发现甲车床每天生产次品数的平均数为1.4，标准差为1.08；乙车床每天生产次品数的平均数为11，标准差为0.85；丙车床每天生产次品数的平均数为1.1，标准差为0.78．由以上数据可以判断生产性能最好且较稳定的为（ ） A ．无法判断 B ．甲车床 C ．乙车床 D ．丙车床8．若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）A ．6π B ．43π C ．2D ．3π9．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ） A ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n B ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nC ．若//,,//m n n ααβ⊂，则//m βD ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥ 10．已知向量,a b 满足||1,||2a b ==，且a 与b 的夹角为120︒，则|3|a b -=（ ）A B C ． D 第Ⅱ卷（共80分）二、填空题∶本大题共5小题，每小题4分，共20分，试题中包含两个空的，每个空2分．11．已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8，且甲、乙两人投篮的结果互不影响．若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为_____．12．已知向量,a b 是两个不共线的向量，且2ma b -与(1)a m b +-共线，则实数m 的值为______． 13．某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个容量为n 的样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则n =______．14．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，且1PA AD AB ==,则异面直线PB 与CD 所成角的大小为______；二面角P CD A --的大小为______．15．在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，满足3BC CD =，若E 为线段AD 的中点，且23AE mAB AC =+，则实数m =_______ 三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已如i 为虚数单位，复数()2(1)23Z m m m m i =-++-． （Ⅰ）当实数m 取何值时，Z 是纯虚数； （Ⅰ）若2m =，求1Zi+的值． 17．（本小题满分12分）某校高一年级共有800名学生参加了数学检测，现随机抽取部分学生的数学成绩并分组如下∶[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]得到的频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅰ）试根据以上数据，估计该校高一年级学生的数学检测成绩不低于120分的人数． 18．（本小题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,8a c ==（Ⅰ）若4sin 7C =，求角A 的大小； （Ⅰ）若5b =，求ABC 的面积．19．某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从,,A B C 三个行政区抽出6个社区进行调查．已知,,A B C 三个行政区中分别有18,27,9个社区． （Ⅰ）求从,,A B C 三个行政区中分别抽取的社区个数； （Ⅰ）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查． （i ）试列出所有可能的抽取结果；（ii ）设事件M 为“抽取的2个社区中至少有一个来自A 行政区”，求事件M 发生的概率．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60PA AB BAD ==∠=︒．（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅰ）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（Ш）求直线PB 与平面PAD 所成角的正切值．天津市部分区2020~2021学年度第二学期期末考试高一数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．0.9 12．1-或2 13．14 14．60︒ 45︒ 15．16-三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分） 解（I ）若复数是纯虚数，则2(1)0230m m m m -=⎧⎨+-≠⎩2分 解得0 13 1m m m m ==⎧⎨≠-≠⎩或且 4分所以0m = 6分（Ⅱ）当2m =时，25z i =+ 7分 则25731122z i i i i +==+++ 10分 731222z i i =+=+ 12分 17．（本小题满分12分）解（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 1分 所以(0.01020.0250.0150.005)101a ⨯++++⨯=， 4分 解得0.035a =． 6分（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于120分的频率为10(0.0350.0150.005)0.55⨯++= 9分由于该校高一年级共有学生800名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于120分的人数为8000.55440⨯= 12分 18．（本小题满分12分） 解（Ⅰ）由已知条件可知，47,8,sin 7a c C ===， 根据正弦定理可得sin sin a cA C=， 1分得sin 741sin 872a C A c ==⨯= 3分 ,a c A C <∴<0,2A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， 4分6A π∴=． 5分 （Ⅱ）由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-， 6分11cos 14B ∴=， 8分sin B ∴== 9分因为0B π<<，所以sin B =10分所以11acsin 7822ABCSB ==⨯⨯= 12分 19．（本小题满分12分）解（I ）社区总数为2718954++=， 1分 样本容量与总体中的个体数比为61549= 2分 所以从,,A B C 三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1 4分（Ⅱ）（i ）设12,A A 为在A 行政区中抽得的2个社区，123,,B B B 为在B 行政区中抽得的3个社区，1C 为在C 行政区中抽得的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12111213112122232112,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B A B A C B B ，{}{}{}{}{}1311232131,,,,,,,,,B B B C B B B C B C 共有15种． 8分（ii ）设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A 行政区”为事件M ，则事件M 所包含的所有可能的结果有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}121112131121222321,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B A B A C ，共有9种． 10分以这2个社区中至少有1个来自A 行政区的概率为93()155P M == 12分20．（本小题满分12分）解（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以//AB CD ， 1分 因为AB ⊂/平面,PCD CD ⊂平面PCD 3分 所以//AB 平面PCD 4分（2）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥ 5分 又因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥， 6分又因为PA AC A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ． 8分（3）过B 作BE AD ⊥，连结PE ，因为PA ⊥平面,ABCD BE ⊂平面ABCD ，所以PA BE ⊥． 又因为,BE AD PA AD A ⊥⋂=，所以BE ⊥平面PAD ． 9分 所以BPE ∠是直线PB 与平面PAD 所成角 10分在Rt BEP 中，60,BAD BE PE ∠=︒===所以tan BE BPE PE ∠===．所以BPE ∠是直线BP 与平面PAD 所成角的正切值5． 12分。
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2020-2021天津市耀华滨海学校高一数学下期末一模试卷(及答案)一、选择题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或42．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为33．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．24．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ）A ．B ．C ．(2,D ．（2，4）5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m6．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+7．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．23⎡⎢⎣⎦，C ．23⎡⎢⎣⎭，D ．2,3⎛ ⎝⎦8．已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( ) A ．23B ．24C ．25D ．269．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．3(0,]2B ．3(0,]4C ．3[,1)2D ．3[,1)410．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.14．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．15．函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 16．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．17．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．18．若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____． 19．在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______．20．已知()()2,3,4,3A B -，点P 在直线AB 上，且32AP PB =u u u v u u u v，则点P 的坐标为________三、解答题21．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.22．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？23．已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.24．已知(1,2),(2,1)(2)()a b m a t b n ka tb k R ==-=++=+∈r r rr r r r r ，，．（1）若1t =，且m n r P r，求k 的值；（2）若t R ∈，且5m n =r rg ，求证：k 2≤．25．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，21n n a S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知数列{a n }满足a 1＝1，1114n na a +=-，其中n ∈N *． （1）设221n n b a =-，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式．（2）设41nn a c n =+，数列{c n c n +2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得11nm m T c c +<对于n ∈N *，恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41lrα==或， 故选C ．2．D解析：D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差3．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭Q .若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意； 若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，()()21121211a ax y ax yx y a a a a a x y y xy x ⎛⎫++=+++≥⋅++=++=+ ⎪⎝⎭，当且仅当=y ax 时，等号成立.所以，()219a +≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.4．A解析：A 【解析】由()4f x f x -=（）得：4T =，当010]x ∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62log 102a a<⎧⎨>⎩，解得610a ∈（，），故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.7．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得23x <<.故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 8．C 解析：C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b ba ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，则()32326632131325a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．A解析：A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤02c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．10．A解析：A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。