2020-2021天津市耀华滨海学校高一数学下期末一模试卷(及答案)

2020-2021天津市耀华滨海学校高一数学下期末一模试卷(及答案)
一、选择题
1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．2或4
2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3
3．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
4．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ）
A ．
B ．
C ．(2,
D ．（2，4）
5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m
D ．若//l α，//m α，则//l m
6．已知数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）
A ．21n a n =-
B ．21n a n =+
C ．41n a n =-
D ．41n a n =+
7．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o
，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )
A ．23⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
B ．23⎡⎢⎣
⎦，
C ．23⎡⎢⎣
⎭，
D ．2,
3⎛ ⎝⎦
8．已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32
a b
+的最小值是( ) A ．23
B ．24
C ．25
D ．26
9．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线
:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于
4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）
A ．3(0,
]2
B ．3(0,]4
C ．3[
,1)2
D ．3[,1)4
10．函数2
ln ||y x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生
B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式
()0f x >的解集为（ ）
A ．33,0,22⎛
⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭U
B ．33,,22⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．33,22⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫
-
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题
13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.
14．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面
SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．
15．函数2sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 16．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
17．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．
18．若()1,x ∈+∞，则1
31
y x x =+
-的最小值是_____． 19．在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______．
20．已知()()2,3,4,3A B -，点P 在直线AB 上，且32
AP PB =u u u v u u u v
，则点P 的坐标为
________
三、解答题
21．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，
4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.
22．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益
()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为1
8
万元，投资股票等风险型产品的收
益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
23．已知函数()()2
2
f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈
（I ）求2f 3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.
24．已知(1,2),(2,1)(2)()a b m a t b n ka tb k R ==-=++=+∈r r r
r r r r r ，，．
（1）若1t =，且m n r P r
，求k 的值；
（2）若t R ∈，且5m n =r r
g ，求证：k 2≤．
25．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，21n n a S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3
n
n n a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知数列{a n }满足a 1＝1，11
14n n
a a +=-，其中n ∈N *． （1）设221
n n b a =-，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式．
（2）设41
n
n a c n =
+，数列{c n c n +2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得11n
m m T c c +<对于n ∈N *，恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则1
21282
l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41l
r
α==或， 故选C ．
2．D
解析：D 【解析】
试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第
天）人数的平均数
为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感
染人数总数为
，又由于方差大于，故这
天中不可能每天都是，可以有一天大于
，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.
考点：众数、中位数、平均数、方差
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥
⎪⎝⎭⎣
⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】
()11a ax y
x y a x y y x
⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭Q .
若0xy <，则0y
x
<，从而
1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意； 若0xy >，则0y
x
>，0x y >.
①当0a <时，
1ax y
a y x
+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
≥不恒成立； ③当0a >时，
()(
)
2
1121211a ax y ax y
x y a a a a a x y y x
y x ⎛⎫++=+++≥⋅++=++=
+ ⎪⎝⎭，
当且仅当=y ax 时，等号成立.
所以，
(
)
2
19a +≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.
故选：C. 【点睛】
本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.
4．A
解析：A 【解析】
由()4f x f x -=（
）得：4T =，当010]x ∈
（，时，函数的图象如图：
()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62
log 102a a
<⎧⎨
>⎩，解得610a ∈（，），故选A.
点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断
C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断
D .
【详解】
l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；
l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，
//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
6．C
解析：C 【解析】
分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，
当2n ≥时，2
2
1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】
由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得23
x <<.故选A. 【点睛】
本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或
b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 8．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得
()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b b
a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】
根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，
则
()32326632131325a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当1
5
a b ==时等号成立. 即
32
a b
+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
9．A
解析：A 【解析】
试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，
2a =，设(0,)M b ，则45b d =
，所以
44
55
b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又
22224c a b b =-=-，所以0c <≤02
c a <
≤
．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。

【详解】
由题函数定义域为0x ≠，2
2
()()ln ||ln ||()f x x x x x f x -=-+-=+=，函数为偶函数，图像关于y 轴对称，B,C 选项不符合，当0x →时，y →-∞，则函数图像大致为A 选项所示. 故选：A 【点睛】
此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。

11．C
【解析】 【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】
详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n
=+()n *∈N ，
若8610n =+，则1
5
n =
，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】
本题主要考查系统抽样.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】
解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫
=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. 故选：A.
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意首先求解底面积然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积【详解】由题意可得底面四边形为边长为的正方形其面积顶点到底面四边形的距离为由四棱锥的体积公式可得：【点睛】本题主要考查四棱锥 解析：
112
【解析】 【分析】
由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】
由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为
2
的正方形，其面积2
122EFGH S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
， 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为1
2
d =， 由四棱锥的体积公式可得：111132212
M EFGH V -=⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA ⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S−ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半
解析：36π 【解析】
三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径， 若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得112932
r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3. 球O 的表面积为：2436r ππ= .
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
15．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答
案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答
解析：5,36ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 试题分析：因为
,所以只要求函数的减区间即可.解
可得
,即
,所以
,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用．
【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函
数中形如
的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数
入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
进行变形,将其变形为一般式,将其转化
为求函数
的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通
过解不等式使得本题获解.
16．如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 或如果l ⊥αl ⊥m 则m ∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题：（1）如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 正确；（2）如果
解析：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】 【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】
将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；
（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 【点睛】
本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
17．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为 解析：
42
3
【解析】
在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形
ABCD 中，边长为2，所以，在直角三角形SOA 中
SO ===
所以112233V sh =
=⨯⨯=
故答案为
3
18．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题
解析：3+【解析】 【分析】
由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1
=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】
解：x 1>Q ，()11
y 3x 3x 13x 1x 1
∴=+
=-++--
33≥=，（当且仅当13
x =+
取等号）
故答案为3． 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．
19．【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC 使用二倍角公式求出cos2C 【详解】由题意在中面积为12则解得∴故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形
解析：725
【解析】 【分析】
利用面积公式即可求出sinC ．使用二倍角公式求出cos2C ． 【详解】
由题意，在ABC ∆中，8a =，5b =，面积为12， 则120122S absinC sinC =
==，解得35
sinC =．
∴2
97212122525
cos C sin C =-=-⨯=． 故答案为725
． 【点睛】
本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
20．【解析】【分析】设点得出向量代入坐标运算即得的坐标得到关于的方程从而可得结果【详解】设点因为点在直线且或即或解得或;即点的坐标是【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题意
解析：(8,-15)， 163,55⎛⎫
- ⎪⎝
⎭ 【解析】 【分析】
设点(),P x y ,得出向量33,22
AP BP AP BP ==-u u u r u u u r u u u r u u u
r ,代入坐标运算即得P 的坐标，得到关于
,x y 的方程，从而可得结果. 【详解】
设点(),P x y ,
因为点P 在直线,且3||||2
AP PB =u u u r u u u r
,
33,22
AP BP AP BP ∴==-u u u r u u u r u u u r u u u r ,
3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=-+或, 3
(2,3)(4,3)2
x y x y ∴--=--+，
即243122639x x y y -=-⎧⎨-=+⎩或24312
2639
x x y y -=-+⎧⎨
-=--⎩, 解得815x y =⎧⎨=-⎩或165
35x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
; 即点P 的坐标是(8,-15)，163,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.
三、解答题
21．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)4
5 3
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MN AT
P，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点N到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果．
试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T，连接，由N为中点知，.
又，故平行且等于，四边形AMNT为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）因为平面，N为的中点，
所以N到平面的距离为.
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故
1
4525
2
BCM
S=⨯⨯=
V
.
所以四面体的体积
145
323
N BCM BCM
PA
V S
-
=⨯⨯=
V
.
【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．
22．（1）()11
,(),(0) 82
f x x
g x x x
==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.
【解析】
【分析】
（1）投资债券等稳健型产品的收益()
f x与投资额x成正比，投资股票等风险型产品的收
益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；
（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为
20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】
（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，
1211
(1),(1)82f k g k ====，
()1
,()0)8f x x g x x ==≥；
（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，
则投资债券等稳健型产品为20x -万元，
1
(20)()(20)8y f x g x x =-+=-
21
2)3,0208
x =-+≤≤Q ，
2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【点睛】
本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.
23．（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππ
ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】
（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x -x cos x ，
＝﹣cos2x x ， ＝﹣226sin x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
， 则f （
23π）＝﹣2sin （
436
ππ
+）＝2，
（Ⅱ）因为()2sin(2)6
f x x π=-+
． 所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得
3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈， 解得
2,6
3
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,
]63
k k k ππ
+π+π∈Z ，． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简，以及函数
的性质，是高考中的常考知
识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即
，然后利用三角函数
的性质求解．
24．（1）1
3
k =；（2）见解析； 【解析】 【分析】
（1）根据向量共线定理即可求出k 的值.
（2）根据向量的数量积和向量的垂直可得221k t t =--+，根据二次函数的性质即可证明。

【详解】
（1）若1t =，3()m a b n ka b k R =+=+∈r
r r r
r r
， ，又因为m n u r r
∥，所以存在实数λ，使得
=m n
λu r r ，即3a b n ka b λλ+=+r r r r r =,得13k λλ=⎧⎨=⎩
解得：13k = ； （2）[(2)]()m n a t b ka b ⋅=++⋅+r r
r r r r
22(2)(2)55(2)ka t t b kt k t a b k t t =++⋅+++⋅=++r r r r ，0a b ⋅=r r Q 且5m n ⋅=r r
55(2)5k t t ∴++=
2221(1)22k t t t ∴=--+=-++≤
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算和向量的平行和垂直，以及二次函数的性质，属于中档题． 25．（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）1
13n n
n T +=-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由条件得()2
41n n S a =+，由1n =得1a ，当2n ≥时，
()2
1141n n S a --=+，两式作差得22
11422n n n n n a a a a a --=+--，整理得12n n a a --=，由
等差数列公式求通项即可； （Ⅱ）由()1
213n n
b n =-⋅，利用错位相减即可得解. 试题解析：
（Ⅰ）
1n a =Q ， ()2
41n n S a ∴=+． 当1n =时，()2
1141S a =+，得11a =． 当2n ≥时，()21141n n S a --=+，
()()()22
11411n n n n S S a a --∴-=+-+，
2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，
0,n a >Q 12n n a a -∴-=．
∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，
()12121n a n n ∴=+-=-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213
n n b n =-⋅
， ()231111
135213333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①
()()23111111
132********
n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——② ①–②得()2312
111
112213
33333n n n T n +⎛⎫
=
+++⋅⋅⋅+--⋅ ⎪
⎝⎭
()21111
113322113313n n n ++-=+⨯--⋅-， 化简得1
13
n n n T +=-．
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1
213
n n b n =-⋅，
设()()()()11111
2112323333
n n
n n n b n An B A n B An A B -⎡⎤=-⋅
=+⋅--+⋅=-+-⋅⎣⎦， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,
1.A B =-⎧⎨=-⎩
()()()()1111111
211133333
n n n n n n b n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅，
∴
()1201121111111112231133333
33n n n n n
n T b b b n n -+⎛⎫⎛⎫⎡
⎤=++⋅⋅⋅+=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L .
26．（1）1
2n n a n
+=；（2）3 【解析】 试题分析：
(1)结合递推关系可证得b n +1-b n =2，且b 1＝2，即数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式为1
2n n a n
+=． (2)结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+⎛⎫=-
⎪+⎝⎭
求和有1
11213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭
．据此结合单调性讨论可得正整数m 的最小值为3． 试题解析： （1）证明：b n +1-b n 122
2121
n n a a +=
---
2
2
2112114n n a a =
-
-⎛⎫
-- ⎪
⎝
⎭ 42
22121
n n n a a a =
-=--． 又由a 1＝1，得b 1＝2，所以数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，所以b n ＝2+(n -1)×2＝2n ，由221
n n b a =
-，得1
2n n a n
+=
． （2）解：2
n c n =，()2411222n n c c n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
所以
1
11213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭
．
依题意，要使11n m m T c c +<
对于n ∈N *恒成立，只需()134
m m +≥，解得m ≥3或m ≤-4．又
m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．。