人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习例谈圆锥曲线中的数学思想

例谈圆锥曲线中的数学思想
山东省枣庄市第二中学（邮编:277400） 赵钦荣
数学思想方法是数学的灵魂，它始终伴随在数学学习和研究的过程中，蕴涵在每一个知识板块中，学习数学就是要学习数学的解题思想以及解题方法。

圆锥曲线是解析几何的核心内容，在圆锥曲线的学习中主要有以下数学思想方法值得我们注意。

一、数形结合思想
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

例1. 直线L 的方程为：x ＝－p 2 (p>0),椭圆中心D(2＋p 2
,0)，焦点在x 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A 。

问p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离？
【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p 为何值时，以A 为焦点、L 为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。

【解】 由已知得：a ＝2，b ＝1, A(p 2
,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： y px
x p y 22222241=-++=⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪[()]，消y 得：x 2－(4－7p)x ＋(2p ＋p 24)＝0 所以△＝16－64p ＋48p 2>0,即6p 2－8p ＋2>0，解得：p<13
或p>1。

结合范围(p 2,4+p 2
)内两根，设f(x)＝x 2－(4－7p)x ＋(2p ＋p 24)， 则⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>+>+<-<>0)24(0)2(2427420p f p f p p p p 2100821210<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<∈<<->⇒p p p R p p p 或，结合上面的p<13或p>1，有0<p<3
1. 结合以上，满足题意的p 的范围是0<p<
31. 【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。

一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注
意解的范围。

另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。

二、参数思想
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。

直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。

换元法也是引入参数的典型例子。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

例2．椭圆x2
16
＋
y2
4
＝1上有两点P、Q，O为原点。

连OP、OQ，若k
OP
·k
OQ
＝－
1
4
，
①．求证：|OP|2＋|OQ|2等于定值；②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

【分析】由“换元法”引入新的参数，即设
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
4
2
cos
sin
θ
θ
（椭圆参数方程），参数θ
1、θ
2
为P、Q两点，先计算k
OP
·k
OQ
得出一个结论，再计算|OP|2＋|OQ|2，并运用“参
数法”求中点M的坐标，消参而得。

【解】由x2
16
＋
y2
4
＝1，设
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
4
2
cos
sin
θ
θ
，P(4cosθ
1
,2sinθ
1
)，Q(4cosθ
2
,2sinθ
2
),
则k
OP ·k
OQ
＝
2
4
1
1
sin
cos
θ
θ
•
2
4
2
2
sin
cos
θ
θ＝－
1
4
，整理得到：
cosθ
1 cosθ
2
＋sinθ
1
sinθ
2
＝0,即cos（θ
1
－θ
2
）＝0。

∴ |OP|2＋|OQ|2＝16cos2θ
1＋4sin2θ
1
＋16cos2θ
2
＋4sin2θ
2
＝8＋12(cos2θ
1＋cos2θ
2
)＝20＋6（cos2θ
1
＋cos2θ
2
)＝20＋12cos（θ
1
＋θ
2
）cos（θ
1
－θ
2
）＝
20，
即|OP|2＋|OQ|2等于定值20。

由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为
x
y
M
M
=+
=+
⎧
⎨
⎩
2
12
12
(cos cos)
sin sin
θθ
θθ，
所以有(x
2
)2＋y2＝2＋2(cosθ
1
cosθ
2
＋sinθ
1
sinθ
2
)＝2,
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为x2
8
＋
y2
2
＝1。

【注】由椭圆方程，联想到a2＋b2＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。

本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中
点坐标公式求出M 点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cos θ1＋ cos θ2）2＋（sin θ1＋sin θ2）2，这是求点M 轨迹方程“消参法”的关键一步。

一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x 、y 坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。

三、分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

例3. 在xoy 平面上给定曲线y 2＝2x ，设点A(a,0)，a ∈R ，曲线上的点到点A 的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。

【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x ≥0下的最小值问题，而引起对参数a 的取值讨论。

【解】 设M(x,y)为曲线y 2＝2x 上任意一点，则
|MA|2＝(x －a)2＋y 2＝(x －a)2＋2x ＝x 2－2(a －1)x ＋a 2＝[x －(a －1)]2＋(2a －1) 由于y 2＝2x 限定x ≥0，所以分以下情况讨论：
当a －1≥0时，x ＝a －1取最小值，即|MA}
2min ＝2a －1； 当a －1<0时，x ＝0取最小值，即|MA}2
min ＝a 2
； 综上所述，有f(a)＝21a a -⎧⎨⎩
|| ()()a a ≥时时11< 。

【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。

求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a ，以及还有隐含条件x ≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d ＝f(a)的函数表达式。

四、等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

例4.设椭圆C 1的方程为12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x
1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P .
（1）试用a 表示点P 的坐标；
（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域；
（3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个.设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式.
分析：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.
【解】（1）将y =x
1代入椭圆方程，得112222=+x b a x 化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0
由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2
解得x =2a 或x =–2a （舍去），故P 的坐标为(a
a 2,2). (2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222
b a -，高为a 2
,∴
)41(22221)(422a
a b a a S -=⋅-⋅= ∵a ＞b ＞0,b =a 2，∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a
＜1 于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2)
(3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a
解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–
24a ≥)41(24a - 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0
解得a ≤2（舍去）或a ≥46.
故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a 【注】本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系.第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件.第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a ).
五、函数与方程思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还
实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

例5．已知中心在原点的椭圆经过（2，1）.则该椭圆的半长轴长的取值范围是 .
【解答】不妨设椭圆方程为12222=+b y a x (a>b>0)，如图所示.这里即由11422=+b
a 求a 的取值范围，这里的已知条件,实际上给出了以
b 2为自变量的a 2的函数a 2=1422
-b b .这里要求a 2的取值范围，即求此函数的值域,必先研究这些函数的定义域,即b 2的取值范围.一方面,由22411a
b =->0,得b 2>1,又依图所示,有51222=+<b (b=5时,可推得a=5,与a>b 矛盾).故b 2<5,于是有1<b 2<5.
当1<b 2<5时, a 2=14414222-+=-b b b >4+1=5.再由a>0,得a>5,这就是椭圆长轴长的取值范围，
【注】一道解析几何的小题,几乎涉及了函数概念中的全部问题，自觉运用函数观点作思考是完成此题的关键．。