广义相对论课件

进一步可探讨
• 对比习题7.21 • Cook雷达回波、t',x坐标下
第二个活动 匀加速正交坐标系
匀加速正交坐标系 完美类比 平面几何及坐标系
欧式平面几何 距离平方和 都是尺子延 展空间线 半曲线正交 原点同心射线+ 同心圆 闵氏平直时空 距离平方减 钟尺世界线+ 尺子延展类 同心“圆” 空线
测量钟与尺相对运动 平直时空坐标网格
• 三位一体 • 惯性系skew坐标
– 钟的世界线 – 尺子原点刻度的世界线
• 和钟的世界线重合吗？ • 类时、切矢量 • 类空=尺子延展方向、分量表达
– 与坐标网格的关系 – 线元和度规
线元存在时空交叉项 g 0i 0 基准钟尺相对运动？
• i方向的基准尺子相对基准钟运动
近日点进动
• 图9.5不同L（勘误）和E，参数取值边界为稳 定和不稳定圆周轨道之间，大角动量离星体远、 相对论效应小－－太阳系行星近日点进动 • 类似Binet方程, 微扰方法求解，D’inverno 15.3 节 • 习题15方法，反比于L^2 （L越小，越接近引 力体越大）,用天文测量数据表达，半主轴a越 小、偏心率，小行星Icarus、水星依次为最. Einstein: 不但牛顿理论从GR中作为一级近似导 出，水星进动作为二级近似
牛顿 SR
t,x,y,z t',x,y,z或t,x',y,z
GR
t,r,θ,Φ
无非是将平直时空（事件集合） 用网格划分 网格点标记
• 数学的威力——Einstein求助 • 重要的是数学表达了什么物理
第一个活动 惯性斜交坐标系
写在纸上
• 不要太潦草——上交我查看 • 多留空白、隔行写——方便批改 • 尽量文字说明你的推理要点、步骤
第五点：有效势
机械能=径向动能+有效势能（势能+ 角向动能=离心势能）牛顿情况
E T r V V
eff
eff
V T
mc E Newton e 1 e, 2 mc 牛顿低速e《1
2
T VC
E Newton e 1 e 2 2 mc
2
给定M，首先按照角动量分类
圆周轨道
• 不稳定圆周轨道3M<r_max<6M随L增大而减 • 稳定圆周轨道r_min>6M随L增大而增，L=3.46 最小，三个施瓦西半径 • 定义坐标角速度，实测设计：遥远一圈静止钟( 同步化），接受圆周运动粒子径向光脉冲，因 为圆对称，不同φ光线受的引力时间膨胀一样， 测出Δt；Δφ＝圆弧长/圆周长 • V’=0+ε=V=>9.45，也适用于非稳定圆周轨道 • 得到与Kepler第三定律（圆周轨道）相同形式， 不是固有时角速度，在无穷远回到Kepler
径向运动
• dφ／dτ＝0，φ＝Const. ，无角动量L=0,V=-1/R仅牛顿 势，dτ=±dr/√2(ε+1/r)，ε≥1/2 • 径向自由下落，取负号，ε=0, e=1,无穷远e=dt/dτ=γ=1静 止，解得 • 教材用r=0定标，到黑洞讲；从某个r到2M，粒子固有 时有限；从无穷远当然无限 • 坐标时间，从某个r到2M无限，r->2M，9.40最后一项>+∞，这是史瓦西坐标在近2M出错的一个迹象 • 例子9.1，径向逃逸（到无穷远0渐近静止,e=1）速度， 在施瓦希坐标半径R处静止观者（只有u^t不为零）测 量V,E=γmV(LIF中消除引力影响，观者自身标架为LIF 中随动标架），g_tt*u^t=e=1
第四点：测地线方程（组）
径向方程
测试粒子和光线的测地运动 三个初积分／运动常数／守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地 看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处 为dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上 • 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 • 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用 e,L表达
势能曲线的分析原理：续
• 2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从 变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而 来），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初 始三个速度确定，则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一 条测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点 则只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分） • 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡 （无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重 力＝有效力，即所谓势能曲线分析
束缚轨道的形状
• 方程，椭圆函数，u=1/R后，补齐量纲，常数 项为牛顿能量＋高阶小量 • 从内转折点r_1（近星点）到外转折点r_2 （远 星点） ，再回到内转折点＝1圈turn • 一般1圈后Δφ≠2π不闭合，顺着轨道转动方向进 动（相对论修正项为正），每圈进动角相同 （因为球对称）δφ＝Δφ－2π，不闭合的主轴进 动椭圆；但对一组E(L)，m圈后Δφ=n(2π)闭合， m≠n，习题13
微分应用：分析曲线形状
• 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V>L^2/2R^2 • 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数 >4 • 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面 • 4. d^2V/dR^2><=0 • 按单位质量角动量分类L=l/M • 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸，其余投入或回落 • 2.L=3.46,同上＋拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 • 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周＋束缚 (Vmin<ε<0) • 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax
• 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面 阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析； 径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)， E<0会回落 • L≠0不可到达r=0， • 1。E≥0散射，双曲线(E>0)或抛物线(E=0) • 2。E<0椭圆束缚轨道 • 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定
改进
‘动钟变慢’误导吗？
• ‘动’=速度不为零=钟尺测量速度=相对于 坐标钟 • 加速钟dτ2=γ-2dt2 • 双生子佯谬=为什么反过来不可以？
– 钟尺网格 – Marzke-Wheeler坐标
• 实验不需理论引入钟尺网格
试图在球面上构造全局性 惯性系skew坐标
• Φ——测地线 • θ——非测地线，除赤道圈
• 牛顿力学练习题
– 链条滑落光滑球面时速度 – 常引力场中光滑锥面上运动最低点
• Zeldovich《相对论天体物理》库仑力场
第六点：轨道类型
六个量
• 四个变量τ,t,r,φ,两两组合数6种，5个速度 （三个固有速度＋两个坐标速度）＋1个 形状量（写成杨辉三角4层4321） • 仅取决于三个方程：e,L,径向方程
– θ换成Φ' – 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O' – 相对于北极点O – OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非 全局！ – 对比极点（θ，Φ）坐标简并
• θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格
三种理论4种钟尺网格
理论
参考系（惯性 v、加速） 坐标系（正交 、非正交） 钟与钟、尺与 尺 钟与尺 不同网格之间 跨系 相对静止 同步化 刚性 惯性系Lorentz 坐标 惯性系skew坐 标 加速系正交 加速系非正交 任意正交(史瓦 西为例) 任意非正交： Cook 相对静止 t,x,y,z dt与Δt 事件坐标符号 意义？ 事件之间差值 微分、差分？
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
– 如果不是，请问哪些你没学到？ – 如果不确定，请解释原因。
• 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是
– – – – – 讲课不够清楚？ 缺少提问的机会？ 你事先没有准备？ 缺乏课堂讨论？ 其他？
回补+进一步
– 不是j方向
• 另选尺子相对不动的总能做到吗？ g 0i 0
• 转盘系 • Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐 标 • Kerr时空Boyer-Lindquist坐标
– 未解之谜：Kerr环奇点
• 转动宇宙Godel度规
广义相对论课堂21 Schwarzschild时空轨道
2011.11.25
课程安排
• • • • • • • 复习内容： 讨论内容：惯性系斜交坐标测量意义 新内容：Schwarzschild时空应用 下次课：经典检验 测验 发草稿纸——助教 课后发调查表
测验目的
• 了解大家的学习困难、不足、效果 • 确保掌握重点和难点
第六点：有效势曲线分析原理
势能曲线的分析原理
• d/dτ径向方程后，得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’= 有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由 d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力； 问题：在ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运动？ 答：不会－－ • 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况，某个高 度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大 （小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地 线方程d^2r/dτ^2＝-Γ^r_tt(u^t)^2Γ^r_φφ(u^φ)^2-Γ^r_rr(u^r)^2