空间几何体的概念与结构

棱锥与它的性质
1、棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶 点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 这个多边形面叫做棱锥的底面。
S
有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面。
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。
棱锥的 高 E A B D 棱锥的侧面 C 棱锥的底面
S
练习:下列说法是否正确 1、底面是正多边形的棱锥是正棱锥；错 2、正棱锥的侧面是正三角形； 错 3、底面是正多边形,各侧面都是等腰
E A O
三角形的棱锥是正棱锥.
错
B
C
D
错
4、顶点在底面的射影为底面多边形的外心的棱锥是正棱 锥.
正棱锥的性质
正棱锥的斜高 S 1．各侧棱相等，各侧面 都是全等的等腰三角形．
结构：各个组成部分的搭配和排列
特征：可以作为人或事物特点的征象、标志等
多面体
由若干个平面多边 形围成的几何体
一、多面体
(1)由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。 (2)围成多面体的各个多边形称为多面体的面， 两个面的公共边叫做多面体的棱， 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
食盐
明矾
石膏
已知： 如图，在棱锥 S—AC 中， SH 是 D1 高。截面 A1B1C1D1E1 平行于底面 ， E1 H1 A1 并与SH交于H1。 求证： B1 E 截面A1B1C1D1E1∽ 底面ABCDE，且
.
C1
D
C
s
ห้องสมุดไป่ตู้
s
A 1B1C1D1E1 ABCDE
=
s H1 sH
2
A B
.H
2
正棱锥：
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底 面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
D1
C1
A1
B1
A
1
C
1
B1
D A B
C
A B
C
几种特殊四棱柱的转化情况：
底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是
矩形
底面为 正方形
侧棱与底面
边长相等
长方体
正四棱柱
正方体
常见的四棱柱
平行六面体
直平行六面体
长方体
正方体
正方体 长方体 直平行六面体 平行六面体
O
O
O
二、圆柱、圆锥、圆台的相关概念
B’ O’ A’ S
O’ A’ B’
B
O
A
B
O
A
B
O
A
⒈轴：旋转前不动的一边 所在的直线； 如图中的：直线OO’ 、 直线ＳＯ ⒉高： 旋转前不动的一边的 长度；
如图中的： 线段ＯＯ′、 线段ＳＯ的长
⒊底面： 垂直于轴的边旋转而成的圆面 如图中的： 线段OA、O’A’旋转所得的 ⊙Ｏ 或⊙Ｏ′ ⒋侧面： 不垂直于轴的边旋转而成的曲 面 如图中的： 线段A’A或SA旋转所得的 曲 面 ⒌侧面的母线： 不垂直于轴的边；
如图中的： 线段ＡＡ’、 ＢＢ’、 ＳＡ、 ＳＢ
B’
O’
A’
S
B’
O’ A’
B
O
A B
O
A
O
B
A
三、圆柱、圆锥、圆台的表示法
(用表示轴的字母来表示）
O S O’
O 记作： 圆柱O’O 记作：
O
O 记作：
圆锥SO
圆台O’O
四、圆柱、圆锥、圆台的性质 性质1： 平行于底面的截面都是圆,
过旋转轴的截面 称为旋转体的轴截面 定 义：
B1
2、由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得 的棱台，分别叫做三棱台，四棱台， 五棱台… 3、棱台的表示法： 棱台用表示上、下底面各顶点的字 母来表示，如右图，棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1 B1
C1
判断下列几何体是不是棱台，并说明 为什么.
探究：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它
们在结构上有哪些相同点和不同点？三者关 系如何？当底面发生变化时，它们能否相互 转化？
D1 B1
A1
D1
B1
C1
A1
C1
4、棱台的上下底面的面积比为4：9，则这个棱台的高 与截得此棱台的原棱锥的高的比______;该棱台与截得 此棱台的棱锥的体积比为_____ 答：1：3和19：27
1、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 叫做棱台。
A1 D1 C1 上底面 侧面 侧棱 下底面 顶点
凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
C
D A B E
问:以上多面体，哪个为凸多面体？
(1.)把一个多面体的任一个面伸展成平面,如果其余 的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫 做凸多面体
高中阶段,我们主要讨论的是多面体中的 棱柱与棱锥.
两个侧面的公共边 棱柱的侧棱：
侧面与底面的公共顶点 棱柱的顶点： 不在同一个面上的两 棱柱的对角线： 个顶点的连线
两个底面的距离 棱柱的高：
过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面
观察下面的几何体，哪些是棱柱？
三棱柱
五面体
长方体
圆柱体
四棱柱
六面体
四面体
棱柱的分类 1.按侧棱与底面位置关系分类可分为斜棱柱、 直棱柱、正棱柱。 2. 按底面多边形的边数分类可分为三棱柱、 四棱柱、五棱柱等等。
例1、给出下列命题，其中正确的是（ B ） ①底面是正多边形，而侧棱长与底面边长相等的棱锥是正多面体。 ②正多面体的面不是三角形就是正方形 ③长方体的各个面是正方形时，它就是正多面体 ④正三棱锥就是正四面体 A、 ① ② B、 ③ C、 ② ③ D、 ③ ④ 例2、已知凸多面体每个面都是正五边形，每个顶点都有三条棱 相交，试求该凸多面体的面数、顶点数和棱数。 变式：已知凸多面体的每个面都是正三角形，且 每个顶点都有4条棱相交，试问这是什么多面体？ 例3、一个正多面体，各个面的内角总和为3600o， 求它的面数、顶点数和棱数
S A
B
D C
2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以分为三 棱锥、四棱锥、五棱锥、……
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面 的字母表示，如四棱锥S-ABCD。
1.下面图形中，为棱锥的是
（ 1）
（ 2）
（ 3）
四、棱锥的性质
定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截， 那么所得的截面与底面相似，截面面 积与底面面积的比等于顶点到截面的 距离与棱锥的高的平方比。 S
圆柱与棱柱统称为柱体。 圆台与棱台统称为台体。 圆锥与棱锥统称为锥体。
七、球的结构特征
1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转 轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体， 简称球。 （1）半圆的半径叫做球的半径。 （2）半圆的圆心叫做球心。
性质2：圆柱的轴截面是 全等的 矩形 圆锥的轴截面是 全等的 等腰三角形 圆锥的轴截面是 全等的 等腰梯形 S
O’
O’
O
O
O
拓广与迁移
比较 直截面、中截面、 轴截面 例2： P。
P。
P。
P。
P。
P。
轴截面区别如下表： 答： 直截面、 中截面、 截面类型 定 义 适用范围 棱柱 棱柱、棱锥、棱台 圆柱、圆锥、圆台 圆柱、圆锥、圆台
七、小结
一、常见旋转体—圆柱、圆锥、圆台由来及相关概念
用表示轴的字母来表示 二、圆柱、圆锥、圆台的表示法：
三、圆柱、圆锥、圆台的性质： 性质1：平行于底面的截面都是圆 性质2：圆柱的轴截面是全等的矩形 圆锥的轴截面是全等的等腰三角形 圆锥的轴截面是全等的等腰梯形
说明：在解题过程中，如果问题都集中在某个截面上， 为了直观起见，不妨将该截面移出来单独研究， 这种将立体问题转化为平面问题的方法在今后 应用极为广泛，必须牢牢掌握并能熟练运用。
斜三棱柱
直四棱柱
正五棱柱
3、棱柱的表示法(下图)
用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱 ABCDE- A1B1C1D1E1 。或用表示一条对角线的端点的字 母来表示，例如棱柱AC'．
问题1：长方体ABCD-A’B’C’D’中，你能说出它 的底面吗?
D’ A’ B’ C’
D
C B
A
变式：长方体ABCD-A’B’C’D’按如图截去 一部分，其中FG∥A’D’.你能说出这两部分 的几何体是什么吗？
A
O
2．棱锥的高、侧棱和 C 侧棱在底面内的射影也组 M 成一个直角三角形．
B
3.棱锥的高、斜高和斜 高在底面内的射影组成 一个直角三角形；
S
E
A
M B
O C
几个重要的直角三角形 1.RtSBO：由高、侧棱和 侧棱在底面的射影组成 2.RtSMO：由高、斜高和 斜高在底面的射影组成 3.RtOMB：由底面中心O 与底边中点M连线，与半条 D 底边MB，还有中心与底面 顶点连线组成 4.RtSMB：由斜高、侧棱、 半条底边组成
上下底面一样
棱柱
棱台
上底面变成一个点
棱锥
圆柱、圆锥、圆台的概念与性质
在日常生活中，我们经常会遇见下面几何体， 请同学们猜一猜它们像什么？
粮囤 铅锤 柱子
一、圆柱、圆锥、圆台的概念
①圆柱： 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边 旋转而成的曲面所围成的几何体；
②圆锥： 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴， 其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体； 以直角梯形中垂直于底面的腰所在的直线为旋转轴， ③圆台： 其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体。 O’ O’ O’
E
A B
E D A B
D
C
C
特殊的棱柱 (1)直棱柱的每一个侧面都是矩形； 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
E
A B
E D B
D
(2)过直棱柱不相邻的两条侧棱的截面 都是矩形.
(3)正棱柱的两个底面与平行于底面的截 A 面是对应边互相平行的全等多边形．
C
C
思考:
1、有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱? 有两个侧面是矩形的棱柱呢?有两个相邻侧 面是矩形的棱柱呢?为什么? 2、有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱? 每个侧面都是全等的矩形的四棱柱是正四棱柱? 3、底面是菱形且一个顶点处的三条棱两两互相垂直 的棱柱是正棱柱；
一、有关概念:
1、概念：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面， 两个相邻面的公共边叫做多面体的棱， 棱和棱的公共点叫做多面体的顶点， 连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做 多面体的对角线． 2、分类:
(2.)一个多面体至少有四个面． 多面体按照它的面数分别 叫做四面体、五面体、 六面体等．
旋转体
直截面
垂直于侧棱并与每条 侧棱都相交的截面 过高的中点平行于 底面的截面 经过旋转轴的截面
轴截面 中截面
例3：圆柱、圆锥、圆台的截面一般要掌握三类： 一是平行于底面的截面，二是经过旋转轴 的截面即：（即：轴截面），三是经过两条 母线的截面，试说出这些截面的形状。
答：平行于底面的截面都是 圆 ， 圆柱、圆锥、圆台的轴截面依次是： 矩形、等腰三角形 、 等腰梯形 ， 经过两条母线截面依次是： 矩形、等腰三角形 、 等腰梯形 ，
B’
A’
由一个平面图形绕它 所在平面内的一条定 直线旋转所形成的封 闭几何体叫做旋转体
A
O’
轴
B O
棱柱的概念
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每 相邻两个四两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成 的几何体叫做棱柱． 两个互相平行的面 棱柱的底面：
除底面外的其余各面 棱柱的侧面：
D’ A’ F G
C’
B’ F’ H
G’
C’
H’
D E A B
C
E’
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是四边形 的几何体是棱柱吗？
问题2：有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形的几何体是棱柱吗?
3.棱柱的性质 （1）侧棱都平行且相等，侧面都是平行四边形；
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
有一个正棱锥所有的棱长都相等，则这个正棱锥不 可能是( D )
A，正三棱锥 B，正四棱锥
C，正五棱锥
D，正六棱锥
有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥？
有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥？ 有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥？
五、棱台的结构特征
棱锥：有一个面是多边形，其余各 面是有一个公共顶点的三角形，由这 些面所围成的几何体叫做棱锥。
实际生活中的一类几何体:
题型一、考查基本概念
由若干个平面多边形围成的空间图形 叫做多面体。 1、————————————————————————— 把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的 2、——————————————————————————————— 面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体 ————————————————————————————叫做凸多面体。 3、每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点 ———————————————————————————————————— 都有相同棱数的凸多面体 ————————————————叫做正多面体。 正四面体、正六面体、正八面体、 4、正多面体只有5种： 正十二面体、正二十面体 5、欧拉定理： V+F-E=2