空间几何体的概念与结构

两个侧面的公共边 棱柱的侧棱：
侧面与底面的公共顶点 棱柱的顶点： 不在同一个面上的两 棱柱的对角线： 个顶点的连线
两个底面的距离 棱柱的高：
过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面
观察下面的几何体，哪些是棱柱？
三棱柱
五面体
长方体
圆柱体
四棱柱
六面体
四面体
棱柱的分类 1.按侧棱与底面位置关系分类可分为斜棱柱、 直棱柱、正棱柱。 2. 按底面多边形的边数分类可分为三棱柱、 四棱柱、五棱柱等等。
D’ A’ F G
C’
B’ F’ H
G’
C’
H’
D E A B
C
E’
问题1：有两个面互相平行，其余各面都余各面都是平行四 边形的几何体是棱柱吗?
3.棱柱的性质 （1）侧棱都平行且相等，侧面都是平行四边形；
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
斜三棱柱
直四棱柱
正五棱柱
3、棱柱的表示法(下图)
用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱 ABCDE- A1B1C1D1E1 。或用表示一条对角线的端点的字 母来表示，例如棱柱AC'．
问题1：长方体ABCD-A’B’C’D’中，你能说出它 的底面吗?
D’ A’ B’ C’
D
C B
A
变式：长方体ABCD-A’B’C’D’按如图截去 一部分，其中FG∥A’D’.你能说出这两部分 的几何体是什么吗？
凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
C
D A B E
问:以上多面体，哪个为凸多面体？
(1.)把一个多面体的任一个面伸展成平面,如果其余 的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫 做凸多面体
高中阶段,我们主要讨论的是多面体中的 棱柱与棱锥.
如图中的： 线段ＡＡ’、 ＢＢ’、 ＳＡ、 ＳＢ
B’
O’
A’
S
B’
O’ A’
B
O
A B
O
A
O
B
A
三、圆柱、圆锥、圆台的表示法
(用表示轴的字母来表示）
O S O’
O 记作： 圆柱O’O 记作：
O
O 记作：
圆锥SO
圆台O’O
四、圆柱、圆锥、圆台的性质 性质1： 平行于底面的截面都是圆,
过旋转轴的截面 称为旋转体的轴截面 定 义：
实际生活中的一类几何体:
题型一、考查基本概念
由若干个平面多边形围成的空间图形 叫做多面体。 1、————————————————————————— 把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的 2、——————————————————————————————— 面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体 ————————————————————————————叫做凸多面体。 3、每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点 ———————————————————————————————————— 都有相同棱数的凸多面体 ————————————————叫做正多面体。 正四面体、正六面体、正八面体、 4、正多面体只有5种： 正十二面体、正二十面体 5、欧拉定理： V+F-E=2
棱锥与它的性质
1、棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶 点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 这个多边形面叫做棱锥的底面。
S
有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面。
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。
棱锥的 高 E A B D 棱锥的侧面 C 棱锥的底面
B’
A’
由一个平面图形绕它 所在平面内的一条定 直线旋转所形成的封 闭几何体叫做旋转体
A
O’
轴
B O
棱柱的概念
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每 相邻两个四两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成 的几何体叫做棱柱． 两个互相平行的面 棱柱的底面：
除底面外的其余各面 棱柱的侧面：
圆柱与棱柱统称为柱体。 圆台与棱台统称为台体。 圆锥与棱锥统称为锥体。
七、球的结构特征
1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转 轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体， 简称球。 （1）半圆的半径叫做球的半径。 （2）半圆的圆心叫做球心。
E
A B
E D A B
D
C
C
特殊的棱柱 (1)直棱柱的每一个侧面都是矩形； 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
E
A B
E D B
D
(2)过直棱柱不相邻的两条侧棱的截面 都是矩形.
(3)正棱柱的两个底面与平行于底面的截 A 面是对应边互相平行的全等多边形．
C
C
思考:
1、有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱? 有两个侧面是矩形的棱柱呢?有两个相邻侧 面是矩形的棱柱呢?为什么? 2、有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱? 每个侧面都是全等的矩形的四棱柱是正四棱柱? 3、底面是菱形且一个顶点处的三条棱两两互相垂直 的棱柱是正棱柱；
O
O
O
二、圆柱、圆锥、圆台的相关概念
B’ O’ A’ S
O’ A’ B’
B
O
A
B
O
A
B
O
A
⒈轴：旋转前不动的一边 所在的直线； 如图中的：直线OO’ 、 直线ＳＯ ⒉高： 旋转前不动的一边的 长度；
如图中的： 线段ＯＯ′、 线段ＳＯ的长
⒊底面： 垂直于轴的边旋转而成的圆面 如图中的： 线段OA、O’A’旋转所得的 ⊙Ｏ 或⊙Ｏ′ ⒋侧面： 不垂直于轴的边旋转而成的曲 面 如图中的： 线段A’A或SA旋转所得的 曲 面 ⒌侧面的母线： 不垂直于轴的边；
性质2：圆柱的轴截面是 全等的 矩形 圆锥的轴截面是 全等的 等腰三角形 圆锥的轴截面是 全等的 等腰梯形 S
O’
O’
O
O
O
拓广与迁移
比较 直截面、中截面、 轴截面 例2： P。
P。
P。
P。
P。
P。
轴截面区别如下表： 答： 直截面、 中截面、 截面类型 定 义 适用范围 棱柱 棱柱、棱锥、棱台 圆柱、圆锥、圆台 圆柱、圆锥、圆台
例1、给出下列命题，其中正确的是（ B ） ①底面是正多边形，而侧棱长与底面边长相等的棱锥是正多面体。 ②正多面体的面不是三角形就是正方形 ③长方体的各个面是正方形时，它就是正多面体 ④正三棱锥就是正四面体 A、 ① ② B、 ③ C、 ② ③ D、 ③ ④ 例2、已知凸多面体每个面都是正五边形，每个顶点都有三条棱 相交，试求该凸多面体的面数、顶点数和棱数。 变式：已知凸多面体的每个面都是正三角形，且 每个顶点都有4条棱相交，试问这是什么多面体？ 例3、一个正多面体，各个面的内角总和为3600o， 求它的面数、顶点数和棱数
A
O
2．棱锥的高、侧棱和 C 侧棱在底面内的射影也组 M 成一个直角三角形．
B
3.棱锥的高、斜高和斜 高在底面内的射影组成 一个直角三角形；
S
E
A
M B
O C
几个重要的直角三角形 1.RtSBO：由高、侧棱和 侧棱在底面的射影组成 2.RtSMO：由高、斜高和 斜高在底面的射影组成 3.RtOMB：由底面中心O 与底边中点M连线，与半条 D 底边MB，还有中心与底面 顶点连线组成 4.RtSMB：由斜高、侧棱、 半条底边组成
七、小结
一、常见旋转体—圆柱、圆锥、圆台由来及相关概念
用表示轴的字母来表示 二、圆柱、圆锥、圆台的表示法：
三、圆柱、圆锥、圆台的性质： 性质1：平行于底面的截面都是圆 性质2：圆柱的轴截面是全等的矩形 圆锥的轴截面是全等的等腰三角形 圆锥的轴截面是全等的等腰梯形
说明：在解题过程中，如果问题都集中在某个截面上， 为了直观起见，不妨将该截面移出来单独研究， 这种将立体问题转化为平面问题的方法在今后 应用极为广泛，必须牢牢掌握并能熟练运用。
一、有关概念:
1、概念：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面， 两个相邻面的公共边叫做多面体的棱， 棱和棱的公共点叫做多面体的顶点， 连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做 多面体的对角线． 2、分类:
(2.)一个多面体至少有四个面． 多面体按照它的面数分别 叫做四面体、五面体、 六面体等．
旋转体
D1
C1
A1
B1
A
1
C
1
B1
D A B
C
A B
C
几种特殊四棱柱的转化情况：
底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是
矩形
底面为 正方形
侧棱与底面
边长相等
长方体
正四棱柱
正方体
常见的四棱柱
平行六面体
直平行六面体
长方体
正方体
正方体 长方体 直平行六面体 平行六面体
已知： 如图，在棱锥 S—AC 中， SH 是 D1 高。截面 A1B1C1D1E1 平行于底面 ， E1 H1 A1 并与SH交于H1。 求证： B1 E 截面A1B1C1D1E1∽ 底面ABCDE，且
.
C1
D
C
s
s
A 1B1C1D1E1 ABCDE
=
s H1 sH
2
A B
.H
2
正棱锥：
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底 面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
S A
B
D C
2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以分为三 棱锥、四棱锥、五棱锥、……