正弦型函数的图象教案第二课时教案
正弦函数的图象和性质教案
第一章：正弦函数的定义与基本概念1.1 引入正弦函数讲解正弦函数的定义：在直角三角形中，正弦函数是角的对边与斜边的比值。
强调正弦函数的单位：弧度制。
1.2 分析正弦函数的性质周期性：正弦函数周期为2π。
奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
1.3 举例说明正弦函数的应用利用正弦函数计算角度对应的弧度值。
应用正弦函数解决实际问题，如测量角度等。
第二章：正弦函数的图象2.1 绘制正弦函数的基本图象利用计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图象。
观察并描述正弦函数的波形特点，如波动、振幅、周期等。
2.2 分析正弦函数图象的性质周期性：正弦函数图象每隔2π重复一次。
奇偶性：正弦函数图象关于原点对称。
振幅：正弦函数图象的最大值为1，最小值为-1。
2.3 绘制正弦函数的相位图利用计算器或绘图软件，绘制不同相位角的正弦函数图象。
分析相位对正弦函数图象的影响。
3.1 分析正弦函数的单调性证明正弦函数在区间[0, π]上单调递增。
证明正弦函数在区间[π, 2π]上单调递减。
3.2 研究正弦函数的极值求解正弦函数的极大值和极小值。
分析极值出现的条件。
3.3 探讨正弦函数的奇偶性证明正弦函数是奇函数。
探讨正弦函数的偶函数性质。
第四章：正弦函数的应用4.1 正弦函数在物理中的应用介绍正弦函数在振动、波动等物理现象中的应用。
举例说明正弦函数在电磁学中的应用。
4.2 正弦函数在工程中的应用探讨正弦函数在信号处理、通信工程等领域的应用。
举例说明正弦函数在声学、光学等工程领域的应用。
4.3 正弦函数在其他领域的应用介绍正弦函数在音乐、艺术等领域的应用。
探讨正弦函数在其他科学领域的应用。
第五章：正弦函数的综合应用5.1 求解正弦函数的方程求解方程sin(x) = a，其中a为给定的数值。
介绍解正弦方程的方法和技巧。
5.2 利用正弦函数解决实际问题举例说明利用正弦函数解决测量、导航等实际问题。
介绍正弦函数在数据分析、图像处理等领域的应用。
正弦函数的图象与性质(第二课时)教案
1.3.1 正弦函数的图象与性质（第二课时）人大附中吴文庆教学目标：1. 理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期．2. 学生会通过函数图象研究函数性质，还能利用性质指导作出正弦函数的图象3. 通过本节的学习，同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．教学重点：正弦函数的周期性；深入研究函数性质的一般方法．教学难点：对正弦函数周期性的理解教学手段：多媒体辅助教学.教学过程：一、设置情景，引入新课（5分钟）展示几何画板课件“五点法作图”。
【问题1】如何借助图象帮助我们分析性质？学生独立思考，通过课件画出的正弦曲线归纳出正弦函数的主要性质。
【设计意图】复习上节课“五点法”作图的步骤方法，学生通过图象总结性质，经历形到数的转化，定义域、值域、奇偶性、对称性，单调性都可以从图象中发现。
取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；这也是一种周期现象．【设计意图】联系生活中的经验，让学生对周期性有感性的认识。
二、新知探究，推进新课（13分钟）【问题2】正弦函数是周期函数吗？如果是，又是怎样周期性变化的？【问题3】阅读教材并思考：怎样从代数的角度定义周期函数？活动：教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象，让学生观察正弦线的变化规律，有什么新的发现？再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的，即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的．通过研究图象，学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数．怎样变化呢？从图1中也能看出是每隔2π就重复一次．对于问题2，学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的，至于怎样描述，学生一时很难回答．教师可引导学生思考讨论，正弦函数图象是怎样重复出现的？对于回答对的学生给予肯定，鼓励继续探究．对于找不到思路的学生给予提示，指导其正确的探究思路．图1 问题3，从图象上能够看出，但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述，这对学生有一定的难度．在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数()f x 自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：si n(2)si n ()x k x k Z π+=∈. 这表明，正弦函数在定义域内自变量每增加0k >时)或减少0k <一个定值2k π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数()f x 对于其定义域内的每一个值，都有：()()f x f x -=-，那么()f x 叫做奇函数；()()f x f x -=，那么()f x 叫做偶函数；()()f x T f x +=，其中T 是非零常数，那么()f x 叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映．定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数．非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．正弦函数是周期函数，2(,0)k k Z k π∈≠都是它的周期，最小正周期是2π.三、定义辨析，巩固概念（5分钟）【问题4】怎样正确理解x 取定义域内的每一个值，不取遍每一个值能否举出反例？【问题5】如何怎样求一些简单三角函数的周期？【设计意图】让学生自己探究“每一个值”的要求，周期性是函数整体的性质。
6.3一般正弦函数的图像和性质(2)教案
6.3函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质（2）教案教学目的：在0,0A ω>>的情况下：1. 研究()()()sin ,sin ,sin y x y x y A x ϕωϕωϕ=+=+=+的图像与性质，发现并掌握他们与sin y x =的图像与性质之间的关系；2. 会用五点法作()()()sin ,sin ,sin y x y x y A x ϕωϕωϕ=+=+=+的大致图像。
教学重点与难点：1.函数()()()sin ,sin ,sin y x y x y A x ϕωϕωϕ=+=+=+的图像与性质与sin y x =的图像与性质之间的关系；2.五点法作图。
教学过程： （一） 引入 一．双基回顾1.图像的联系与)0(sin sin >==A x A y x y一般地，函数y =A sin x (A >0且A ≠1）的图像可以看作是把 y =sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长 ( 当A >1时 ）或缩短（ 0<A <1 时 ）到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的。
A 称为振幅，这一变换称为振幅变换 2. 图像的联系与)0(sin sin >==ωωx y x y一般地，函数y =sin ωx (ω>0且ω≠1）的图像，可以看作是把y =sin x 的图像上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的。
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换.21为频率通常称周期的倒数πω==T f （二） 新课一、图像的联系与)0()sin(sin ≠+==ϕϕx y x y 例1：在同一坐标系内，作函数)3sin(π+=x y 和)4sin(π-=x y 长度为一个周期图像，并指出它们的图像与 y =sin x 图像的关系。
注：五个关键点275,0,,1,,0,1,,036363πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3579,0,,1,,0,1,,044444πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭小结3：一般地，函数)0()sin(≠+=ϕϕx y 的图像，可以看作是把y =sin x 的图像上所有的点向左（当ϕ>0 时）或向右 (当ϕ<0 时)平行移动|ϕ|个单位而得到的...,,0这一变换称为相位变换为相位为初相通常称时的函数值决定了其中ϕϕϕ+=x x二．sin sin()(0)y x y A x ωϕϕ==+≠与图像的联系 例2：作函数π3sin(2)3y x =+在一个周期内的图像。
正弦函数余弦函数的图象与性质教案
一、教案基本信息正弦函数与余弦函数的图象与性质课时安排：2课时教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义和基本性质。
2. 学会绘制正弦函数和余弦函数的图象。
3. 能够运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。
教学重点：1. 正弦函数和余弦函数的定义和基本性质。
2. 正弦函数和余弦函数的图象绘制方法。
教学难点：1. 正弦函数和余弦函数的图象绘制方法。
2. 运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教学黑板。
3. 粉笔。
4. 学生用书。
教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）教师通过复习正弦函数和余弦函数的定义，引导学生回顾初中阶段学习的三角函数知识，为新课的学习做好铺垫。
二、新课内容（15分钟）1. 讲解正弦函数的定义和性质。
2. 讲解余弦函数的定义和性质。
3. 引导学生通过数学软件或手绘图象，绘制正弦函数和余弦函数的图象。
4. 分析正弦函数和余弦函数图象的特点。
三、课堂练习（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
第二课时：一、复习导入（5分钟）教师通过复习上节课所学内容，检查学生对正弦函数和余弦函数的定义、性质以及图象的掌握情况。
二、深入学习（15分钟）1. 讲解正弦函数和余弦函数的图象绘制方法。
2. 讲解如何运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。
3. 引导学生通过实例，运用正弦函数和余弦函数的性质解决问题。
三、课堂练习（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
四、总结与反思（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程，为课后复习做好规划。
教学评价：通过课堂讲解、练习题以及课后作业，评估学生对正弦函数和余弦函数的定义、性质、图象以及应用的掌握情况。
对学生在学习过程中遇到的问题进行针对性的辅导，提高学生的学习效果。
六、教学案例分析本节课以一道实际问题为例，让学生运用正弦函数和余弦函数的性质解决问题。
案例：某城市一条道路的路灯间隔为5米，路灯的高度为10米。
正弦函数、余弦函数的性质(第二课时) 教案
第五章 三角函数 5.4 三角函数图象与性质5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)必备知识·探新知基础知识知识点1正弦、余弦函数的最值正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的__定义域_都是实数集R ，__值域___都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时， 取得最小值－1.思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？ 提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为R ，值域为[－1,1]． (2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方．知识点2正弦、余弦函数的单调性(1)正弦函数y ＝sin x 的增区间为[2k π－2π，2k π＋2π](k ∈Z )；减区间为[2k π＋2π，2k π＋32π](k ∈Z )． (2)余弦函数y ＝cos x 的增区间为[2k π－π，2k π](k ∈Z )；减区间为[2k π，2k π＋π](k∈Z )．思考2：(1)正弦函数在[－2π，32π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ (2)余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：(1)观察图象可知：当x ∈[－2π，2π]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈[2π，32π]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得 当x ∈[－2π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2π＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1.(2)观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cosx 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cosx 是减函数，函数值由1减小到－1.基础自测1．在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( C ) A ．[0，π] B ．[2π，32π]C ．[－2π，2π] D ．[π，2π] 2．下列函数中在(,)2ππ上是增函数的是( D )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x【解析】y ＝sin x 在(,)2ππ上是减函数，不满足条件．y ＝cos x 在(,)2ππ上是减函数，不满足条件．y ＝sin2x 的周期是π，在(,)2ππ上不单调，不满足条件．y ＝cos2x 的周期是π，在(,)2ππ上是增函数，满足条件．3．函数y ＝3sin ()4x π-的一个单调递减区间为( B )A ．[,]22ππ-B ．3[,]44ππ- C ．37[,]44ππ D ．3[.]44ππ-【解析】y ＝3sin ()4x π-＝－3sin ()4x π-，检验各选项可知，只有B 项所给区间是单调递减区间，故选B ．4．函数y ＝2－sinx 取得最大值时x 的值为______________. 【解析】∵y ＝2－sin x ，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3，此时x ＝2k π－2π(k ∈Z )．5．函数y ＝sin x (6π≤x ≤43π)的值域为_____[__________.关键能力·攻重难题型探究题型一三角函数的单调区间【例1】 求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝12cos(2x ＋3π)； (2)y ＝3sin 6π－3x )．【分析】(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x 的系数转化为正数再求单调区间．【解析】(1)令z ＝2x ＋3π，而函数y ＝cos z 的单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )． ∴当原函数单调递减时，可得2k π≤2x ＋3π≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－6π≤x ≤k π＋3π(k ∈Z )． ∴原函数的单调递减区间是[k π－6π，k π＋3π](k ∈Z )．(2)y ＝3sin(6π－3x )＝－3sin(3x －6π)．令z ＝3x －6π，则y ＝－3sin z ，由y ＝－3sin z 的单调递减区间，即为y ＝sin z 的单调递增区间．∴－2π＋2k π≤z ≤2π＋2k π，k ∈Z .即－2π＋2k π≤3x －6π≤2π＋2k π，k ∈Z . 解得－9π＋23k π≤x ≤23k π＋29π，k ∈Z .所以原函数的单调减区间为[－9π＋23k π，29π＋23k π]，k ∈Z .【归纳提升】与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝Asinz 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数． 【变式训练1】求下列函数的单调区间： (1)函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间； (2)函数y ＝3sin(3π－2x )的单调减区间． 【解析】(1)∵函数y ＝sin x 在[－2π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )上是增函数，∴函数y ＝sin(x ＋4π)为增函数，当且仅当－2π＋2k π≤x ＋4π≤2π＋2k π时，即－34π＋2k π≤x ≤4π＋2k π(k ∈Z )．∴函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间为：[－34π＋2k π，4π＋2k π](k ∈Z )．(2)令u ＝3π－2x ，则u 是x 的减函数．∵y ＝sin u 在[－2π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )上为增函数，∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在区间[－2π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )上递减，∴－2π＋2k π≤3π－2x ≤2π＋2k π，即－12π＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )．∴原函数y ＝3sin(3π－2x )的单调减区间为：[－12π＋k π，512π＋k π](k ∈Z )．题型二 三角函数单调性的应用【例2】比较下列各组值的大小： (1)sin215π与sin 425π；(2)sin 15与cos5.【分析】比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．【解析】(1)sin215π＝sin(4π＋5π)＝sin 5π， sin 425π＝sin(8π＋25π)＝sin 25π.∵y ＝sin x 在[0，2π]上单调递增， 又0<5π<25π<2π， ∴sin 5π<sin 25π，∴sin 215π<sin 425π.(2)∵cos5＝cos(2π－5)，sin 15＝cos(2π－15)，∵y ＝cos x 在[0，2π]上递减，又∵0<2π－5<2π－15<2π，∴cos(2π－5)>cos(2π－15)，∴cos5>sin 15.【归纳提升】比较三角函数值大小的步骤：(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小． 【变式训练2】比较下列各组数的大小： (1)sin194°与cos160°； (2)sin 3(sin)8π与sin 3(cos )8π. 【解析】(1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°，从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.(2)∵cos38π＝sin 8π，∴0<cos 38π<sin 38π<1. 而y ＝sin x 在(0,1)内递增，∴sin 3(cos )8π<sin 3(sin )8π.误区警示忽略函数的定义域而致错【例3】已知定义在[0，π]上的函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝3π时取得最小值，求f (x )在[0，π]上的单调递增区间．【错解】∵函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝3π时取得最小值，∴cos(3π＋θ)＝－1，∴3π＋θ＝π＋2k π，k ∈Z . 又∵0<θ<π，∴θ＝23π，故f (x )＝cos(x ＋23π)．令－π＋2k π≤x ＋23π≤2k π，k ∈Z ，得－53π＋2k π≤x ≤－23π＋2k π，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间是[－53π＋2k π，－23π＋2k π]，k ∈Z .【错因分析】造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间． 【正解】∵函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝3π时取得最小值， ∴cos(3π＋θ)＝－1，∴3π＋θ＝π＋2k π，k ∈Z . 又∵0<θ<π，∴θ＝23π，故f (x )＝cos(x ＋23π)．令－π＋2k π≤x ＋23π≤2k π，k ∈Z ，得－53π＋2k π≤x ≤－23π＋2k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，∴f (x )在[0，π]上的单调递增区间是[3π，π]．【方法点拨】解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题．学科素养与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题1．求形如y ＝asinx ＋b 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx ≤1)求解．2．对于形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k(A ，ω≠0)的函数，当定义域为R 时，值域为[－|A|＋k ，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx ＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．3．求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，a ≠0，x ∈R 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t ＝sin x ，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性． 4．求形如y ＝sin sin a x bc x d++，ac ≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式反解出y .【例4】(1)求使下列函数取得最大值和最小值时的x 值，并求出函数的最大值和最小值： ② y ＝2sin x －1；②y ＝－sin 2x sin x ＋34. (2)求下列函数的值域： ①y ＝2sin(2x －3π)，x ∈[3π，34π]；②y ＝sin 2sin 1x x -+.【分析】(1)①先确定sinx 的最值再求y 的最值；②换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y 的最值．(2)①利用y ＝sinx 的图象求解；②利用分离常数法或|sinx|≤1求解． 【解析】(1)①由－1≤sin x ≤1知，当x ＝2k π＋2π，k ∈Z 时，函数y ＝2sin x －1取得最大值，y max ＝1；当x ＝2k π＋32π，k ∈Z 时，函数y ＝2sin x －1取得最小值，y min ＝－3.②y ＝－sin 2x sin x ＋34＝－(sin x －2)2＋54，因为－1≤sin x ≤1，所以当sin xx ＝2k π＋4π或x ＝2k π＋34π(k ∈Z )时，函数取得最大值，y max ＝54；当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋32π(k ∈Z )时，函数取得最小值，y min ＝－14. (2)①∵x ∈[3π，34π]，∴2x ∈[23π，32π]，∴2x －3π∈[3π，76π]，由y ＝sin t 的图象(如图所示)可得sin(2x －3π)∈[－12，1]，则2sin(2x －3π)∈[－1,2]，即y ＝2sin(2x －3π)，x ∈[3π，34π]的值域为[－1,2]．②方法一：y ＝sin 2sin 1x x -+＝sin 13sin 1x x +-+＝1－3sin 1x +.当sin x ＝1时，y max ＝－12，由题易得该函数的值域为(－∞，－12]．方法二：由y ＝sin 2sin 1x x -+，得(sin x ＋1)y ＝sin x －2，即(1－y )sin x ＝y ＋2，显然y ≠1，∴sin x ＝21y y+-.∵－1<sin x ≤1，∴－1<21y y +-≤1，解得y ≤－12，即值域为(－∞，－12]．素养作业·提技能A 组 素养自测一、选择题1．y ＝2sin x 2的值域是( A ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0] D ．R【解析】∵x 2≥0，∴sin x 2∈[－1,1]，∴y ＝2sin x 2∈[－2,2]．2．函数y ＝4sin(π6x －π6)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( D )A ．0B ．－3C ．－2－ 3D ．4－2 3【解析】∵0≤x ≤9，∴－π6≤π6x －π6≤4π3，∴sin(π6x －π6)∈[－32，1]，所以函数的值域为[－23，4]，故最大值与最小值之和为4－23，故选D ．3．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( C ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 【解析】画出y ＝|sin x |的图象即可求解．故选C ．4．已知函数f (x )＝－cos x ，下列结论错误的是( D ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数【解析】本题考查余弦函数的性质．∵f (x )＝－cos x 的图象即为函数f (x )＝cos x 的图象绕x 轴翻折而成的，∴A ，B ，C 均正确，函数f (x )应是偶函数，故选D ．5．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是( C )A ．cos 32>sin 110>－cos 74B ．cos 32>－cos 74>sin 110C ．cos 32<sin 110<－cos 74D ．－cos 74<cos 32>sin 110【解析】sin 110＝cos(π2－110)，－cos 74＝cos(π－74)．∵π>32>π2－110>π－74>0，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos 32<cos(π2－110)<cos(π－74)，即cos 32<sin 110<－cos 74.6．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间是( D ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－43π，2k π＋23π(k ∈Z ) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－43π，4k π＋23π(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋83π(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋23π，4k π＋83π(k ∈Z ) 【解析】函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间即为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递减区间．由2k π≤x 2－π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得23π＋4k π≤x ≤8π3＋4k π，k ∈Z .故选D ．二、填空题7．函数y ＝sin x ，x ∈[－π3，2π3]的值域为__[－2，1]__.【解析】y ＝sin x 在[－π3，π2]上为增函数，在[π2，2π3]上为减函数，当x ＝－π3时，y＝sin x 有最小值－32，当x ＝π2时，y ＝sin x 有最大值1，所以值域为[－32，1]． 8．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2 015)＝7，则f (－2 015)＝__－5__. 【解析】由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.9．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为__3__.【解析】由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为3.三、解答题10．求下列函数的单调区间． (1)y ＝cos2x ；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . 【解析】(1)函数y ＝cos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定 2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )① 2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )②解①得，k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )，解②得，k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )．故函数y ＝cos2x 的单调增区间、单调减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． (2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 化为 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.∵y ＝sin u (u ∈R )的单调增、单调减区间分别为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴函数y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )①2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )②解①得，2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，解②得，2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )．故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间、单调减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )． 11．求使下列函数取得最大值和最小值时的x 的值，并求出函数的最大值和最小值．(1)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54；(2)y ＝cos 2x －sin x ，x ∈[－π4，π4]．【解析】(1)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－(sin x －32)2＋2.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x＝32，即x ＝2k π＋π3(k ∈Z )或x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )时，函数取得最大值，y max ＝2；当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )时，函数取得最小值，y min ＝14－ 3.(2)y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x ＝－(sin x ＋12)2＋54.因为－π4≤x ≤π4，所以－22≤sin x ≤22，所以当sin x ＝－12，即x ＝－π6时，函数取得最大值，y max ＝54；当sin x ＝22，即x ＝π4时，函数取得最小值，y min ＝12－22.B 组 素养提升一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( A )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)【解析】C 、D 两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C 、D ；B 项中y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x ，该函数在[π4，π2]上为增函数，不合题意；A 项中y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，该函数符合题意，选A ．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)【解析】因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x >0时，f (x )>1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，D 正确．3．(多选题)关于x 的函数f (x )＝2sin(φx ＋φ)，则下列命题正确的是( BD )A ．∀φ∈R ，f (x ＋2π)＝f (x )B ．∃φ∈R ，f (x ＋1)＝f (x )C ．∀φ∈R ，f (x )都不是偶函数D ．∃φ∈R ，f (x )是奇函数【解析】A 错误，若命题f (x ＋2π)＝2sin[φ·(x ＋2π)＋φ]＝2sin(φx ＋φ)成立，则φ必须为整数，所以A 是假命题；B 正确，当φ＝2π时，函数f (x )＝2sin(φx ＋φ)满足f (x ＋1)＝2sin(2πx ＋2π＋φ)＝2sin(2πx ＋φ)＝f (x )，所以B 是真命题；C错误，当φ＝π2时，f (x )＝2cos π2x 满足f (－x )＝2cos(－π2x )＝2cos π2x ＝f (x )，所以存在实数φ使得函数为偶函数，所以C 是假命题；D 正确，当φ＝2π时，f (x )＝2·sin2πx 满足f (－x )＝2sin(－2πx )＝－2·sin2πx ＝－f (x )，所以存在实数φ使得函数为奇函数，所以D 是真命题，故选BD ．4．(多选题)已知函数f (x )＝cos(2x －π6)，下列结论正确的是( CD ) A ．函数f (x )是周期为π的偶函数B ．函数f (x )在区间[π12，5π12]上是增函数 C ．若函数f (x )的定义域为(0，π2)，则值域为(－32，1] D ．函数f (x )的图象与g (x )＝－sin(2x －2π3)的图象重合 【解析】A 错，函数f (x )是周期为π的函数，但不是偶函数；B 错，x ∈[π12，5π12]时，2x －π6∈[0，2π3]⊆[0，π]，所以函数f (x )在区间[π12，5π12]上是减函数；C 正确，若函数f (x )的定义域为(0，π2)，则2x －π6∈(－π6，5π6)，其值域为(－32，1]；D 正确，g (x )＝－sin(2x －2π3)＝－sin(－π2＋2x －π6)＝sin[π2－(2x －π6)]＝cos(2x －π6)，故D 正确，故选CD ．二、填空题5．y ＝sin x 的定义域为__[2k π，π＋2k π](k ∈Z )__，单调递增区间为__[2k π，2k π＋π2]，k ∈Z __. 【解析】∵sin x ≥0，∴2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z ；当x ∈[0，π]时，y ＝sin x 在[0，π2]上单调递增．∴其递增区间为：[2k π，2k π＋π2]，k ∈Z . 6．(2019·江苏镇江高一期末)已知函数f (x )＝2k sin x ＋3，若对任意x ∈[－π6，π6]都有f (x )≥0恒成立，则实数k 的取值范围为__[－3,3]__.【解析】由x ∈[－π6，π6]得sin x ∈[－12，12]． 当k ≥0时，－k ＋3≤2k sin x ＋3≤k ＋3，由f (x )≥0得－k ＋3≥0，解得0≤k ≤3；当k <0时，k ＋3≤2k sin x ＋3≤－k ＋3，由f (x )≥0得k ＋3≥0，解得－3≤k <0.综上所述，k 的取值范围是[－3,3]．7．(2019·湖北高三调研)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，2π3]上是增函数，其在区间[0，π]上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是__[12，34]__. 【解析】由函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，2π3]上是增函数， 得T 4≥2π3，即2π4ω≥2π3，解得ω≤34.当x ∈[0，π]时，ωx ∈[0，ωπ]，又函数f (x )在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以π2≤ωπ<52π，12≤ω<52.综上，12≤ω≤34. 三、解答题8．已知函数y ＝sin(π3－2x )． (1)求函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．【解析】y ＝sin(π3－2x )可化为y ＝－sin(2x －π3)． (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 所以x ∈R 时，y ＝sin(π3－2x )的单调递减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . 从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin(π3－2x )的单调递减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]． 9．已知函数f (x )＝2a sin(2x ＋π6)＋a ＋b 的定义域为[0，π2]，值域是[－5,1]，求a 、b 的值．【解析】∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6. ∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1. ∴a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5. a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1.综上，a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。
教案正弦型函数的图像和性质
教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦函数的定义与图像1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图像1.2 教学内容正弦函数的定义：y = sin(x)正弦函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性1.3 教学步骤1. 引入正弦函数的概念，解释正弦函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正弦函数的图像3. 分析正弦函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性1.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的正弦函数图像完成课后练习题，巩固对正弦函数图像的理解第二章：正弦函数的性质2.1 教学目标了解正弦函数的性质能够应用正弦函数的性质解决问题2.2 教学内容正弦函数的单调性：增减区间正弦函数的奇偶性：奇函数与偶函数正弦函数的周期性：周期为2π正弦函数的值域：[-1, 1]2.3 教学步骤1. 介绍正弦函数的单调性，利用图像进行解释2. 解释正弦函数的奇偶性，利用数学公式进行证明3. 强调正弦函数的周期性，引导学生理解周期为2π4. 分析正弦函数的值域，解释正弦函数的取值范围2.4 练习与作业练习判断正弦函数的单调性、奇偶性和周期性完成课后练习题，应用正弦函数的性质解决问题第三章：余弦函数的定义与图像3.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图像3.2 教学内容余弦函数的定义：y = cos(x)余弦函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性3.3 教学步骤1. 引入余弦函数的概念，解释余弦函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制余弦函数的图像3. 分析余弦函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性3.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的余弦函数图像完成课后练习题，巩固对余弦函数图像的理解第四章：正切函数的定义与图像4.1 教学目标了解正切函数的定义能够绘制正切函数的图像4.2 教学内容正切函数的定义：y = tan(x)正切函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性4.3 教学步骤1. 引入正切函数的概念，解释正切函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正切函数的图像3. 分析正切函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性4.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的正切函数图像完成课后练习题，巩固对正切函数图像的理解第五章：正弦型函数的应用5.1 教学目标了解正弦型函数的应用能够解决与正弦型函数相关的问题5.2 教学内容正弦型函数在物理、工程等领域的应用解决与正弦型函数相关的问题：如振动、波动、音乐等5.3 教学步骤1. 介绍正弦型函数在物理、工程等领域的应用实例2. 解释正弦型函数在振动、波动、音乐等方面的作用3. 示例解决与正弦型函数相关的问题，引导学生应用正弦型函数的性质和图像5.4 练习与作业练习解决与正弦型函数相关的问题完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际问题第六章：正弦型函数的积分与微分6.1 教学目标理解正弦型函数的不定积分和定积分学会计算正弦型函数的导数6.2 教学内容正弦型函数的不定积分：基本积分公式正弦型函数的定积分：利用积分公式计算面积正弦型函数的导数：求导法则6.3 教学步骤1. 介绍正弦型函数的不定积分，讲解基本积分公式2. 通过例题演示如何计算正弦型函数的定积分3. 讲解正弦型函数的导数，引导学生理解求导法则6.4 练习与作业练习计算正弦型函数的不定积分和定积分完成课后练习题，巩固对正弦型函数积分和导数的理解第七章：正弦型函数在坐标系中的应用7.1 教学目标学会在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像能够利用正弦型函数解决实际问题7.2 教学内容利用直角坐标系绘制正弦型函数的图像解决实际问题：如测量角度、计算物理振动等7.3 教学步骤1. 讲解如何在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像2. 通过实例演示如何利用正弦型函数解决实际问题7.4 练习与作业练习绘制不同类型的正弦型函数图像完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际问题第八章：正弦型函数在三角变换中的应用8.1 教学目标理解三角恒等式及其应用学会利用正弦型函数进行三角变换8.2 教学内容三角恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1 等正弦型函数的三角变换：和差化积、积化和差等8.3 教学步骤1. 讲解三角恒等式的含义和应用2. 讲解如何利用正弦型函数进行三角变换8.4 练习与作业练习运用三角恒等式进行计算完成课后练习题，巩固对正弦型函数在三角变换中应用的理解第九章：正弦型函数在工程和技术中的应用9.1 教学目标了解正弦型函数在工程和技术领域的应用学会解决与正弦型函数相关的工程问题9.2 教学内容正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用解决与正弦型函数相关的工程问题：如信号分析、电路设计等9.3 教学步骤1. 讲解正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用实例2. 示例解决与正弦型函数相关的工程问题，引导学生应用正弦型函数的性质和图像9.4 练习与作业练习解决与正弦型函数相关的工程问题完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际工程问题第十章：总结与拓展10.1 教学目标总结正弦型函数的图像和性质的主要内容了解正弦型函数在其他领域的拓展应用10.2 教学内容总结正弦型函数的图像和性质的关键点介绍正弦型函数在其他领域的拓展应用：如地球物理学、天文学等10.3 教学步骤1. 回顾正弦型函数的图像和性质的主要内容，强调重点和难点2. 介绍正弦型函数在其他领域的拓展应用，提供相关实例10.4 练习与作业复习正弦型函数的图像和性质的主要内容，巩固所学知识完成课后练习题，探索正弦型函数在其他领域的拓展应用重点和难点解析重点环节一：正弦函数的定义与图像理解正弦函数的定义：y = sin(x)掌握正弦函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节二：正弦函数的性质掌握正弦函数的单调性：增减区间理解正弦函数的奇偶性：奇函数与偶函数认识正弦函数的周期性：周期为2π了解正弦函数的值域：[-1, 1]重点环节三：余弦函数的定义与图像理解余弦函数的定义：y = cos(x)掌握余弦函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节四：正切函数的定义与图像理解正切函数的定义：y = tan(x)掌握正切函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节五：正弦型函数的应用了解正弦型函数在物理、工程等领域的应用实例学会解决与正弦型函数相关的问题：如振动、波动、音乐等重点环节六：正弦型函数的积分与微分理解正弦型函数的不定积分和定积分学会计算正弦型函数的导数重点环节七：正弦型函数在坐标系中的应用学会在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像学会利用正弦型函数解决实际问题重点环节八：正弦型函数在三角变换中的应用理解三角恒等式及其应用学会利用正弦型函数进行三角变换重点环节九：正弦型函数在工程和技术中的应用了解正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用实例学会解决与正弦型函数相关的工程问题重点环节十：总结与拓展总结正弦型函数的图像和性质的关键点了解正弦型函数在其他领域的拓展应用全文总结和概括：本教案涵盖了正弦型函数的图像和性质的各个方面，从基本定义到图像特点，再到性质和应用，每个环节都进行了深入的讲解和演示。
人教版高中数学必修三正弦型函数的性质与图像(第二课时)-1教案牛老师
教案满招损，谦受益。
《尚书》
镇海中学陈志海
【素材积累】
1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。
博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。
我不知道将来会去何处但我知道我已经摘路上。
思想如钻子，必须集中摘一点钻下去才有力量。
失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。
2、为了做有效的生命潜能管理，从消极变为积极，你必须了解人生的最终目的。
你到底想要什么?一生中哪些对你而言是最重要的?什么是你一生当中最想完成的事?或许，你从来没有认真思量过生命潜能管理旧是以有系统的方法管理自我及周边资源，达成。
【素材积累】
宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。
在近70年的漫长岁月里，经过护法运动(1917年)、国民大革命(1924—1927年)、国共对立十年(1927—1937年)、抗日战争(1937—1945年)、解放战争(1945—1949年)，她始终忠贞不渝地坚持孙中山的革命主张，坚定地和中国人民站在一起，为祖国的繁荣富强和人民生活的美满幸福而殚精竭虑，英勇奋斗，在中国现代历史上，谱写了光辉的篇章。
宋庆龄因此被誉为20世纪最伟大的女性之一。
教案正弦型函数的图像和性质
教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦型函数的定义与基本性质1.1 教学目标了解正弦型函数的定义及标准形式掌握正弦型函数的周期性、奇偶性及对称性理解正弦型函数的相位变换1.2 教学内容正弦型函数的定义：y = A sin(Bx + C) + D标准形式：y = A sin(B(x α))周期性：T = 2π/B奇偶性：f(-x) = ±f(x)对称性：关于y轴对称或原点对称相位变换：通过平移、伸缩、翻折等变换1.3 教学活动引入正弦型函数的概念，引导学生从实际问题中抽象出正弦型函数讲解正弦型函数的标准形式，让学生理解各个参数的含义引导学生通过作图观察正弦型函数的周期性、奇偶性和对称性讲解相位变换，让学生了解如何通过变换得到不同的正弦型函数图像1.4 作业与练习练习1：根据给定的参数，画出正弦型函数的图像练习2：判断给定的正弦型函数的奇偶性和对称性练习3：通过相位变换，将一个正弦型函数变换为另一个正弦型函数第二章：正弦型函数的图像2.1 教学目标学会绘制正弦型函数的图像掌握正弦型函数图像的局部特征理解正弦型函数图像的物理意义2.2 教学内容正弦型函数图像的基本特点：波形、峰值、零点、相位局部特征：波峰、波谷、拐点物理意义：正弦型函数在工程、物理等领域的应用2.3 教学活动引导学生通过作图掌握正弦型函数图像的基本特点讲解波峰、波谷、拐点的形成原因，让学生理解正弦型函数的局部特征结合实际问题，让学生了解正弦型函数图像的物理意义2.4 作业与练习练习4：绘制给定参数的正弦型函数图像练习5：找出正弦型函数图像的波峰、波谷、拐点练习6：分析实际问题中正弦型函数图像的物理意义第三章：正弦型函数的性质3.1 教学目标理解正弦型函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性学会利用正弦型函数的性质解决实际问题3.2 教学内容单调性：了解正弦型函数的单调递增、单调递减区间奇偶性：f(-x) = ±f(x)周期性：T = 2π/B对称性：关于y轴对称或原点对称3.3 教学活动引导学生通过观察正弦型函数图像理解单调性、奇偶性、周期性、对称性讲解如何利用正弦型函数的性质解决实际问题3.4 作业与练习练习7：判断给定的正弦型函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性练习8：利用正弦型函数的性质解决实际问题第四章：正弦型函数的应用4.1 教学目标学会利用正弦型函数解决工程、物理等领域的实际问题了解正弦型函数在其他领域的应用4.2 教学内容工程领域：信号处理、电路设计等物理领域：振动、波动、电磁场等其他领域：数据通信、地球科学等4.3 教学活动结合实际问题，讲解正弦型函数在工程、物理等领域的应用引导学生了解正弦型函数在其他领域的应用4.4 作业与练习练习9：利用正弦型函数解决给定的工程、物理问题练习10：了解正弦型函数在其他领域的应用第五章：正弦型函数的导数与积分5.1 教学目标掌握正弦型函数的导数和积分公式学会运用导数和积分解决相关问题5.2 教学内容正弦型函数的导数：y' = A B cos(Bx + C)正弦型函数的积分：∫sin(Bx + C) dx = -A B/B cos(Bx + C) + D 应用：求解最大值、最小值、曲线长度、曲线下的面积等5.3 教学活动引导学生运用导数求解正弦型函数的极值、拐点等讲解如何利用积分求解曲线长度、曲线下的面积等5.4 作业与练习练习11：求解给定正弦型函数的导数和积分练习12：运用导数和积分解决实际问题第六章：正弦型函数的复合函数6.1 教学目标理解正弦型函数与其他类型函数的复合关系学会分析复合函数的图像和性质6.2 教学内容复合函数的定义：y = f(g(x))正弦型函数与其他函数的复合：y = A sin(Bf(x) + C) + D分析复合函数的图像和性质：周期性、奇偶性、对称性等6.3 教学活动引导学生理解复合函数的概念，观察复合函数的图像讲解如何分析复合函数的性质6.4 作业与练习练习13：分析给定复合函数的图像和性质练习14：将一个正弦型函数与其他函数进行复合，观察图像和性质的变化第七章：正弦型函数在实际问题中的应用7.1 教学目标学会运用正弦型函数解决实际问题了解正弦型函数在工程、物理等领域的应用7.2 教学内容工程领域：信号处理、电路设计等物理领域：振动、波动、电磁场等其他领域：数据通信、地球科学等7.3 教学活动结合实际问题，讲解正弦型函数在工程、物理等领域的应用引导学生了解正弦型函数在其他领域的应用7.4 作业与练习练习15：利用正弦型函数解决给定的工程、物理问题练习16：了解正弦型函数在其他领域的应用第八章：正弦型函数的综合应用8.1 教学目标掌握正弦型函数的基本概念、图像、性质及应用提高解决实际问题的能力8.2 教学内容综合运用正弦型函数的知识解决实际问题分析正弦型函数在各个领域的应用8.3 教学活动引导学生将正弦型函数的知识运用到实际问题中分析正弦型函数在不同领域的应用案例8.4 作业与练习练习17：综合运用正弦型函数的知识解决实际问题练习18：分析正弦型函数在各个领域的应用第九章：正弦型函数的拓展与研究9.1 教学目标了解正弦型函数的拓展知识培养学生的研究能力和创新意识9.2 教学内容正弦型函数的变形式：y = A sin(Bx + C) + D正弦型函数的推广：y = A sin(Bx + C) cos(Dx) 等研究正弦型函数的新性质、新应用9.3 教学活动引导学生了解正弦型函数的变形式和推广鼓励学生研究正弦型函数的新性质、新应用9.4 作业与练习练习19：研究正弦型函数的拓展知识练习20：探索正弦型函数的新性质、新应用10.1 教学目标评价学生的学习成果10.2 教学内容评价学生的学习效果，提出改进意见10.3 教学活动-重点和难点解析1. 正弦型函数的定义与基本性质难点解析：正弦型函数的相位变换的理解和应用。
正弦函数、余弦函数的性质第2课时教案
第2课时正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1．知识目标（1）认识正弦函数、余弦函数的周期性，了解正弦函数、余弦函数是描述自然界周期性变化的有力工具。
（2）理解周期函数与最小正周期的意义，会求三角函数的最小正周期。
2.能力目标理解并掌握正弦函数、余弦函数的周期性3.情感目标（1）通过本节的学习体会数形结合思想在探讨三角函数性质方面的应用。
【重点难点】重点正弦函数、余弦函数的周期性难点周期函数、最小正周期的意义案例（一）教学过程、对于所有的周期函数都有最小正周期吗？为什么？板书设计教学过程1、探究：“根据正弦和余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质吗？”学生――观察正弦曲线、余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的一些性质。
教师――有意引导学生观察正弦函数的图象经过一段之后是否出现了“重复”现象（或“周而复始”的现象）。
使目标靠拢本节课题。
师生――共同讨论，正弦函数在[]π2,0内的图象，向左、向右经过 、、ππ42之后都会出现“重复”现象，这一点可以从正弦线的变化规律中看出，还可以从诱导公式)(,sin )2sin(Z k x k x ∈=+π中得到反映。
这种“重复”的性质通常用“周期”术语来刻画，这说明三角函数具有周期性。
2、什么是周期函数？教师――用数学语言如何描述函数具有周期性呢？引导分析，给出周期函数的定义，强调常数)()(,0x f T x f T =+≠在定义域内恒成立。
若T 为周期函数)(x f 的一个周期，则),(Z k kT ∈且)0≠k 均为)(x f 的周期。
进一步给出最小正周期的意义。
教师――提出问题：是不是所有的周期函数都有最小正周期？让学生思考并举例说明。
学生――思考，并举例说明。
师生――根据定义共同分析周期函数的性质，强调一个周期函数不一定存在最小正周期。
如：R k x f ∈=,2)(是周期函数，但无最小正周期。
3、你能根据周期函数的定义具体说明正弦函数、余弦函数的周期性吗？学生――根据定义，探究、验证正弦函数的周期性。
高中数学第7章三角函数7.3.2第2课时正弦、余弦函数的图象与性质第一册数学教学案
第2课时 正弦、余弦函数的图象与性质学 习 目 标核 心 素 养1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．(重点、易错点)通过学习本节内容，提升学生的直观想象、数学运算核心素养．回顾正、余弦函数的图象，尝试探究函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心．正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数正弦函数y ＝sin x ，x ∈R余弦函数y ＝cos x ，x ∈R图象定义域 R R 值域[－1,1][－1,1]最值当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，取得最大值1；当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，取得最小值－1当x ＝2k π(k ∈Z )时， 取得最大值1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时， 取得最小值－1周期性 周期函数，T ＝2π周期函数，T ＝2π奇偶性奇函数，图象关于原点对称 偶函数，图象关于y 轴对称 单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增函数；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增函数；在[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上是减函数是减函数对称性关于x ＝k π＋π2(k ∈Z )成轴对称，关于(k π，0)(k ∈Z )成中心对称关于x ＝k π(k ∈Z )成轴对称，关于⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )成中心对称1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2是奇函数．( ) (2)函数y ＝3sin 2x 是周期为π的奇函数．( ) (3)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递减． ( ) (4)y ＝cos x 的值域为(－1,1)．( )[提示] (1)∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴是偶函数．(2)T ＝2π2＝π．f (－x )＝3sin(－2x )＝－3sin 2x ，故为奇函数．(3)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增． (4)×．y ＝cos x 的值域为[－1,1]． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．函数y ＝12sin x ＋1的值域是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 [由sin x ∈[－1,1]，得12sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 所以12sin x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32．]3．函数y ＝sin(2x ＋π)的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z [y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， 由2x ＝k π得x ＝k π2(k ∈Z )，∴y ＝sin(2x ＋π)的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ．]求三角函数的单调区间【例1】 求下列函数的单调递增区间． (1)y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6．[思路点拨] (1)先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再确定所求的单调区间后利用整体代换的方法求解．(2)先由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6>0，得到相应x 的取值范围，然后借助于复合函数的单调性分析．[解] (1)因为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，k π＋π8(k ∈Z )．(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6>0得2k π<x －π6<π＋2k π(k ∈Z )，即π6＋2k π<x <7π6＋2k π(k ∈Z )．①要求原函数的单调递增区间，只需求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递减区间，令π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )， ② 由①②可知2π3＋2k π≤x <76π＋2k π(k ∈Z )，所以原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3＋2k π，7π6＋2k π(k ∈Z )．求函数y ＝A sin ωx ＋φA >0，ω≠0的单调区间的一般步骤1当ω>0时，把“ωx ＋φ”看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2k ∈Z 解出x 的范围，即为函数递增区间；由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2k ∈Z 解出x 的范围，即为函数递减区间.2当ω<0时，可先用诱导公式转化为y ＝－sin －ωx －φ，则y ＝sin －ωx－φ的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.,余弦函数y ＝A cos ωx＋φA >0，ω≠0的单调性讨论同上.提醒：要注意k ∈Z 这一条件不能省略. [跟进训练]1．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈[－π，0]的单调减区间． [解] 当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2时，函数单调递减，解得：k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．∵x ∈[－π，0]，∴取k ＝－1，此时－π＋π6≤x ≤－π＋2π3，即－5π6≤x ≤－π3．故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈[－π，0]的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3．比较三角函数值的大小(1)si n 194°与cos 160°； (2)cos 32，sin 110，－cos 74；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8．[思路点拨] 先把异名函数同名化，再把不同单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°．∵0°<14°<70°<90°，函数y ＝sin x 在区间(0°，90°)内是增函数， ∴sin 14°<sin 70°，∴－sin 14°>－sin 70°， ∴sin 194°>cos 160°．(2)sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110，－cos 74＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－74，∵0<π－74<π2－110<32<π，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110>cos 32， 即－cos 74>sin 110>cos 32．(3)cos 3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝sin π8． ∵0<π8<3π8<π2，函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数，∴si n π8<sin 3π8，∴cos 3π8<sin 3π8．而0<cos 3π8<sin 3π8<1，函数y ＝sin x 在(0,1)内是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8． 比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.[跟进训练]2．比较下列各组数值的大小：(1)sin 2与cos 1；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π．[解] (1)因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1， sin 2＝sin(π－2)，又0<π2－1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递增的，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1<sin(π－2)，即cos 1<sin 2．(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π．与三角函数有关的值域问题1．如何求函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上的值域？[提示] 借助函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上的单调性求解． 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，y ＝sin x 是单调递增函数， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤sin x ≤sin π6，即－32≤sin x ≤12， ∴其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12． 2．如何求形如y ＝a sin x ＋b (a ，b ≠0)的值域？[提示] 令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，从而转化为y ＝at ＋b ，t ∈[－1,1]型的值域问题．3．如何求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的值域？[提示] 令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，从而y ＝at 2＋bt ＋c ，t ∈[－1,1]，即转化为给定区间的二次函数值域问题．【例3】 (1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值和最小值；(2)求函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．[思路点拨] (1)由x 的范围⇒2x ＋π3的范围⇒借助单调性求y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最值；(2)由x 的范围⇒sin x 的范围⇒函数的值域． [解] (1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，取得最大值2； 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，取得最小值0． (2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3 ＝2sin 2x ＋2sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12． ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1． 当sin x ＝1时，取得最大值5； 当sin x ＝12时，取得最小值52．∴函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5．数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．2．求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．[跟进训练]3．(1)已知函数f (x )＝2sin x ，对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π(2)函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为________．(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 [(1)不等式f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)对任意x ∈R 恒成立，不难发现f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为函数f (x )＝2sin x 的半个周期．因为f (x )＝2sin x 的周期为2π，所以|x 1－x 2|的最小值为π， 故选C ．(2)函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的图象，如图．由图象可知，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝4π3时，y min ＝－32，所以函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1．]1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．2．理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x 轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0．3．要重点掌握函数性质的应用 (1)求正、余弦函数的周期． (2)判断正、余弦函数的奇偶性． (3)求正、余弦函数的单调区间． (4)求正、余弦函数的值域． 4．本节课的易错点有以下两处(1)求形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果ω<0，应先利用诱导公式将其转化为正值．(2)求形如函数y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域时，易忽视正弦函数y ＝sin x 的有界性． 1．函数y ＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶D ．既奇又偶A [∵2sin(－2x )＝－2sin 2x ， ∴函数y ＝2sin 2x 为奇函数．]2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) [令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－π12≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )．]3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为______．cos 150°＜cos 760°＜sin 470° [cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin470°．]4．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间． [解] y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4． 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4为增函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，求得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．。
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案【摘要】本教案旨在帮助学生深入理解正弦函数和余弦函数的图像特征。
通过系统的内容安排，学生将了解到正弦函数和余弦函数的数学定义、性质以及图像特点，并明确教学重点。
教学方法包括理论讲解、示例演练和实际应用，帮助学生更好地掌握知识。
教学效果评价将从学生的表现和理解程度入手，评估教学效果。
通过学习本教案，学生将对正弦函数和余弦函数有更深刻的认识，提高数学素养和图像思维能力。
【关键词】《正弦函数余弦函数的图像》、教案、制作目的、内容安排、教学重点、教学方法、教学效果评价、引言、结论1. 引言1.1 引言在数学教学中，正弦函数和余弦函数是非常重要的函数之一，它们在图像和性质上有很多有趣的特点。
通过学习正弦函数和余弦函数的图像，可以帮助学生更深入地理解这两个函数的规律和变化。
在本节课中，我们将围绕正弦函数和余弦函数的图像展开教学，通过直观的图像展示和实际计算，让学生更加直观地理解正弦函数和余弦函数的性质。
正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的图像呈现出明显的周期性和对称性。
通过分析正弦函数和余弦函数在不同参数下的图像变化，可以帮助学生建立起对这两个函数的直观认识，并且深入理解它们的数学性质。
在本节课中，我们将通过实际的例题和练习来帮助学生掌握正弦函数和余弦函数的图像特点，培养他们的数学思维和分析能力。
希望通过本节课的学习，学生能够更加深入地理解正弦函数和余弦函数的图像，为以后的学习打下良好的基础。
2. 正文2.1 1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案的制作目的本教案旨在帮助学生深入理解正弦函数和余弦函数的图像特征，以及它们在数学中的应用。
通过学习本教案，学生将能够掌握正弦函数和余弦函数的周期、振幅、相位和对称性等重要概念，并能够准确绘制它们的图像。
本教案还旨在培养学生的数学思维能力和图形绘制能力，提高他们对数学的兴趣和自信心。
通过实际练习和应用案例的引导，学生将能够更好地理解正弦函数和余弦函数在现实生活中的应用，进而提高他们的数学解决问题的能力和应用能力。
教案正弦型函数的图像和性质
正弦型函数的图像和性质第一章：正弦型函数的定义与基本性质1.1 引入正弦型函数的概念解释正弦函数的定义：y = sin(x)说明正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)1.2 探究正弦函数的图像分析正弦函数在0≤x≤2π的图像特征总结正弦函数的振幅、周期、相位、对称性等基本性质1.3 引出正弦型函数的一般形式介绍正弦型函数的一般形式：y = A sin(Bx + C) + D解释各参数A、B、C、D对函数图像的影响第二章：正弦型函数的图像变换2.1 纵坐标变换：伸缩与平移分析纵坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过纵坐标变换实现图像的伸缩和平移2.2 横坐标变换：伸缩与平移分析横坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过横坐标变换实现图像的伸缩和平移2.3 综合图像变换结合纵坐标和横坐标变换，探究正弦型函数图像的综合变换方法第三章：正弦型函数的性质探究3.1 单调性分析正弦型函数的单调性：在单调增区间和单调减区间内举例说明单调性的应用3.2 奇偶性探究正弦型函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)分析奇偶性在函数图像上的表现3.3 极值与拐点求解正弦型函数的极值与拐点分析极值与拐点在函数图像上的特征第四章：正弦型函数的应用4.1 振动问题应用正弦型函数描述简谐振动：x = A sin(ωt + φ)分析振动过程中的位移、速度、加速度等物理量的变化规律4.2 波动问题应用正弦型函数描述波动：u = A sin(kx ωt + φ)分析波动过程中的波长、周期、波速等物理量的关系第五章：案例分析与拓展5.1 分析实际问题中的正弦型函数模型举例分析正弦型函数在实际问题中的应用：温度变化、电流强度等5.2 探究正弦型函数的周期性分析正弦型函数在不同周期下的图像特征探究周期性在实际问题中的应用5.3 总结与拓展总结正弦型函数的图像和性质及其应用提出拓展问题，引导学生深入研究正弦型函数的相关领域第六章：正弦型函数的积分与级数6.1 不定积分介绍正弦型函数的不定积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C讲解基本积分技巧，如分部积分法、换元积分法等6.2 定积分解释正弦型函数的定积分：∫[a, b] sin(x)dx = -cos(b) + cos(a)分析定积分的性质，如对称性、周期性等6.3 级数展开探究正弦型函数的级数展开：sin(x) = Σ(-1)^(n+1) (x^(2n+1))/(2n+1)! 讲解泰勒级数展开的概念及应用第七章：正弦型函数的三角恒等式7.1 和差化积介绍和差化积公式：sin(A ±B) = sin(A)cos(B) ±cos(A)sin(B)讲解如何利用和差化积公式简化正弦型函数的表达式7.2 积化和差讲解积化和差公式：sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) = sin(A + B)分析积化和差公式在函数求解中的应用7.3 二倍角公式与半角公式介绍二倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A), cos(2A) = cos^2(A) sin^2(A) 讲解半角公式：sin(A/2), cos(A/2)的求解方法及应用第八章：正弦型函数的解法与应用8.1 解正弦型方程讲解如何利用正弦函数的性质解正弦型方程：sin(x) = A, cos(x) = B等分析正弦型方程的解法技巧，如相位法、图像法等8.2 正弦型函数在物理中的应用介绍正弦型函数在电磁学、波动光学等物理领域的应用分析正弦型函数在物理问题中的作用及意义第九章：正弦型函数与现代数学方法9.1 傅里叶级数介绍傅里叶级数：将周期函数展开为正弦、余弦函数的和分析傅里叶级数在信号处理、热传导等领域的应用9.2 最小二乘法讲解最小二乘法在正弦型函数拟合中的应用举例说明最小二乘法在实际问题中的作用及意义第十章：总结与拓展10.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性10.2 提出拓展问题与研究建议针对正弦型函数的图像与性质提出拓展问题，引导学生深入研究鼓励学生探索正弦型函数在其他领域中的应用，如机器学习、生物信息学等第十一章：正弦型函数的数值方法11.1 数值解法概述介绍数值解法在求解正弦型函数相关问题中的应用讲解数值解法的基本概念和分类11.2 数值积分探究数值积分方法：梯形法则、辛普森法则等分析数值积分在正弦型函数应用中的实例11.3 数值微分介绍数值微分方法：中心差分法、向前差分法等讲解数值微分在正弦型函数应用中的实例第十二章：正弦型函数的编程实践12.1 编程基础介绍编程语言的选择（如Python、MATLAB等）讲解编程基本语法和数据结构12.2 正弦型函数的图像绘制展示如何使用编程语言绘制正弦型函数的图像分析图像绘制过程中的关键参数和技巧12.3 正弦型函数的数值计算讲解如何使用编程语言进行正弦型函数的数值计算分析数值计算过程中的误差和稳定性问题第十三章：正弦型函数在工程中的应用13.1 信号处理介绍正弦型函数在信号处理领域的应用：调制、解调等分析正弦型函数在信号处理中的优势和局限性13.2 机械振动探究正弦型函数在机械振动分析中的应用讲解振动系统的周期性、对称性等特性第十四章：正弦型函数在现代科学研究中的应用14.1 量子力学介绍正弦型函数在量子力学中的应用：波函数、能级等分析正弦型函数在量子力学中的基本作用14.2 天体物理探究正弦型函数在天体物理中的应用：星体运动、引力波等讲解正弦型函数在天体物理中的关键作用第十五章：总结与展望15.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾本教程中正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性15.2 展望正弦型函数的发展趋势分析正弦型函数在科技、工程等领域的前景和挑战鼓励学生继续探究正弦型函数的奥秘，为相关领域的发展做出贡献重点和难点解析本文主要介绍了正弦型函数的图像和性质，涵盖了正弦型函数的定义、图像变换、性质探究、应用、积分与级数、三角恒等式、解法与现代数学方法、数值方法、编程实践、工程应用以及现代科学研究等领域。
《正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)》示范课教学设计【高中数学】
《正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）》教学设计经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质．教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性、最值等性质．教学难点：正弦函数、余弦函数单调区间的求法．PPT课件．（一）新知探究问题1：对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格．预设的师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象，完成上述表格，之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流．注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析．在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑．对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象．追问1：如何理解点（π，0）也是正弦函数y＝sin x的对称中心？如何理解直线x＝π2是正弦函数y＝sin x的对称轴？追问2：逐一列举正弦函数y＝sin x的单调递增区间，它们与区间[－π2，π2]之间有怎样的关系？预设答案：设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序．培养学生运用类比、对比的方法，并根据图象进行合理猜想，直观感知研究对象的意识和能力．问题2：教科书分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？ 预设的师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题． 预设答案：正弦、余弦函数选择的区间分别为[−π2，3π2]、[−π，π]，这两个区间距离原点最近，我们相对更熟悉一点．设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性．例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．（1）y ＝cos x +1，x ∈R ； （2）y ＝－3sin 2x ，x ∈R ．追问：如何转化为你熟悉的函数求解？师生活动：学生先独立完成，之后就解题思路和结果进行展示交流，教师及时予以明确换元法及其重要作用．预设答案：解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．（1）使函数y ＝cos x +1，x ∈R 取得最大值的x 的集合 ，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝；使函数y ＝cos x +1，x ∈R 取得最小值的x 的集合 ，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π+π，k ∈Z ｝；函数y ＝cos x +1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．（2）令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使y ＝sin z ，z ∈R 取得最小值的z 的集合｛z ｜z ＝－2π＋2k π，k ∈Z ｝． 由2x ＝z ＝－2π＋2k π，得x ＝－4π＋k π．所以，y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝－4π＋k π，k ∈Z ｝． 同理，使函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是｛x ｜x ＝4π＋k π，k ∈Z ｝． 函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3．设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用． 例2 不通过求值，比较下列各数的大小：（1）sin （－18π）与sin （－10π）； （2）cos （－5π23）与cos （－4π17）． 追问：比较大小的依据是什么？预设的师生活动：学生独立完成，教师进行指导．本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解．预设答案：解：（1）因为－2π＜－18π＜－10π＜0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－2π，0]上单调递增，所以sin （－18π）＜sin （－10π）．（2）cos （－5π23）=cos 5π23=cos 5π3，cos （－4π17）=cos 4π17=cos 4π， 且余弦函数在区间［0，π］上单调递减， 所以cos4π＞cos 5π3，即cos （－4π17）＞cos （－5π23）．你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试． 设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题． 例3 求函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π21x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．追问：如何转化为熟悉的函数求解？师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解． 预设答案：通过换元转化为熟悉的函数单调性问题，然后求解． 令z ＝3π21+x ，x ∈[－2π，2π]，则z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，．因为y ＝sin z ，z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，的单调递增区间是z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2π2π，，且由2π-≤3π21+x ≤2π得3π5-≤x ≤3π，所以，函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π21x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3π3π5，．变式：求函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 213π，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．预设的师生活动：学生独立完成．对于变式问题，会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析．预设答案：令z ＝sinx 213π-，x ∈[－2π，2π]，则z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，．因为y ＝sin z ，z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，的单调递减区间是z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2ππ32，或⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π42π，，且由3π2-≤x 213π-≤2π-或2π≤x 213π-≤3π4得3π5≤x ≤2π或－2π≤x ≤3π，所以，函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 213π，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23π5，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3ππ2，． 设计意图：类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法．通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．（二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元的学习内容，回答下面的问题：（1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？它们具有什么性质？请结合一个具体的函数谈一谈．（2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？又是如何研究它的性质的？余弦函数呢？（3）通过本节课的学习，你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认识？对于如何研究一个函数又有了哪些新的体会？设计意图：通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解．通过对本单元研究过程的总结，体会研究正弦函数、余弦函数性质的方法，进一步体会研究函数的一般思路和方法．（三）拓展研究问题4：三角函数的定义是利用单位圆给出的，你能利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质吗？请将你的研究方案和研究报告写下来．设计意图：让学生换一个角度认识正弦函数、余弦函数的性质，提升其理解的深刻性．同时开放学生的思维，通过探索发现提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力．（四）布置作业 教科书习题．。
《正弦函数的图像与性质》教案2
《正弦函数的图像与性质》教案2一、教学目标知识与技能1.理解并掌握作正弦函数图象的方法。
2.理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法。
3.理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义。
4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间。
5.理解振幅、周期、频率、初相的定义。
6.理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律。
7.会用“五点法”画出y=A sin(ωx+φ)的简图，明确A、ω和 对函数图象的影响作用。
过程与方法理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法。
情感态度与价值观1.培养学生数形结合的能力。
3.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。
二、教学重、难点教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．教学难点：理解弧度值到x轴上点的对应。
开始时，教学过程要慢一些，让学生有一个形成正60进制，弧度用弧长（十进制）度量，再转化为x轴确概念的过程。
在小学度量角度使用的0上的有向长度。
实践证明，这个抽象过程对初学者有一定的难度。
三、过程与方法引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。
本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解四、课时3课时五、教学过程第1课时第3课时21，21图象可看作把＝sin x 有点的纵坐标缩短到原来的＝有点的横坐标缩短到原来的标不变＝sin21x ，x ∈R 的周期T ＝12π＝。
【中职教案】正弦型函数(二)
【中职教案】 1.2 正弦型函数（二）【教学目标】知识目标：了解正弦型函数与正弦函数的图像之间的关系，会利用“五点法”作出正弦型函数的图像． 能力目标：通过正弦型函数与正弦函数的图像之间的关系，学生数形结合的能力得到强化．【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像．【教学难点】正弦型函数与正弦函数的图像之间的关系．【教学设计】正弦型函数的图像叫做正弦型曲线．作图的基本方法是“描点法”.例2是由作正弦曲线出发，每次增加一个系数，利用“描点法”作出各函数的图像．列表的过程中蕴含着变量替换的思想．将这四条曲线放到同一个坐标系中，可以看到它们之间的相互关联，从而，推广得到结论。
这种变换的介绍，对提高学生的数学思维能力和培养数形结合的习惯是大有帮助的．熟练之后，如果要求做出一个周期内的正弦曲线，可以直接描出五个点： (,0)ϕω-，(,)4TA ϕω-+，(,0)2T ϕω-+，3(,)4T A ϕω-+-，(,0)T ϕω-+．用光滑的曲线连接得到曲线．例3的作图就采用了这样的方法．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】*巩固知识 典型例题例2 利用“五点法”作出下列各函数一个周期内的图像．（1）sin y x =；（2）sin 2y x =；（3）πsin(2)4y x =+；（4）π2sin(2)4y x =+． 解 （1）函数sin y x =的周期为2πT =．列表x 0 π2π3π22π x sin1-1以表中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数sin y x =在一个周期内的图像（如图1－2）．图1－2（2）函数sin 2y x =的周期为πT =．列表 x0 π4 π23π4 π 2x 0 π2π3π22π sin 2y x =1－1以表中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数sin 2y x =在一个周期内的图像（如图1－3）．图1－3（3）函数πsin(2)4y x =+的周期为πT =．列表xπ8- π8 3π8 5π87π8 π24x +0 π2π3π22ππsin(2)4y x =+1－10 以表中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数πsin(2)4y x =+在一个周期内的图像（如图1－4）．图1－4（4）函数π2sin(2)4y x =+的周期为πT =．列表xπ8- π8 3π8 5π87π8π24x +0 π2π3π22πsin 2y x = 0 1 0 －1 0 π2sin(2)4y x =+2－2以表中每组对应的x ，y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数πsin(2)4y x =+在一个周期内的图像（如图1－5）．图1－5将例2中的四条曲线，放到同一个坐标系中（如图1－6），可以看到将正弦曲线y = sin x ([02π])x ∈，上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可以得到正弦型曲线y = sin2x ；将正弦型曲线y = sin2x 向左平移π8个单位，可以得到正弦型曲线πsin(2)4y x =+；将正弦型曲线πsin(2)4y x =+的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，可以得到正弦型曲线π2sin(2)4y x =+．图1－6*巩固知识 典型例题例3 利用“五点法”作出正弦型曲线3πsin(3)26y x =-，并指出曲线经过怎样的步骤可以由正弦曲线得到．解 正弦型函数3πsin(3)26y x =-的周期为2π3T =，3ω=，π6ϕ=-．故五个关键点的坐标为π(0)18，，2π3()92，，7π(0)18，，5π3()92-，，13π(0)18，． 用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数3πsin(3)26y x =-在一个周期内的图像（如图1－8）．图1－8函数3πsin(3)26y x =-可以看作由下面的方法得到：首先将正弦曲线y =sin x 上的所有点的坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）；然后把所得的曲线向右平行移动π18个单位；最后把所得曲线上的所有点的纵坐标伸长到原来的1.5倍（横坐标不变）．*运用知识 强化练习【教师教学后记】。
5.6.2 函数 y=Asin( ωx + φ)的图像教案 第2课时高一上学期数学人教A版必修第一册
《5.6.2 函数 y=Asin （ ωx ＋ φ）的图像 》教学设计 第2课时 函数 y=Asin （ ωx ＋ φ）的图像变换和应用教材内容：本节课是正弦型函数的应用，同时揭示了正弦型函数与正弦函数的内在联系，是对正弦函数内容的又一次深化探索。
本节课所探索的两种变换方式体现了数学教学的灵活性和多样性。
为学生解决具体问题提供了不同的思路。
也为后续内容的学习奠定了知识基础。
本节课是本章的重点内容，由正弦函数到正弦型函数的推广，使得三角函数的应用范围更广，也体现了由特殊到一般的数学教学思想。
教学目标：1.通过本节课的学习，掌握用“五点法”画函数sin()y A x ωϕ=+的图像的方法，达到直观想象核心素养学业质量水平一的层次.2.通过本节课的学习，进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，进一步体会数形结合的思想方法，特别是会提取图像提供的信息，达到直观想象和逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能够应用函数sin()y A x ωϕ=+的图像解决实际问题，达到数学建模和数学运算核心素养学业质量水平二的层次.教学重点与难点：重点：用“五点法”画函数sin()y A x ωϕ=+的图像，函数sin()y A x ωϕ=+的有关性质和应用；难点：函数的sin()y A x ωϕ=+有关性质和应用。
教学过程设计：（一）复习引入教师：你知道,,A ϕω分别对函数sin()(0,00)y A x A ωϕωϕ=+>>≠，的图像有什么影响？学生：思考回答.（二）探究一：用“五点法”画函数图像. 例1.画出函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的简图.教师：画函数图像有哪些步骤？学生：思考后回答展示：列表，描点，连线.教师：使用“五点法”这“五点”指的哪五点？如何求出x 的值？ 学生思考后回答展示： 由23X X x π⎛⎫=+⎪⎝⎭取30,,,222ππππ，来求出相应的x . 解：（“五点法”）由22T π=，得T π= 列表：x6π-12π 3π 712π 56π 23x π+0 2π π32π 2π3sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭3-3描点画图：教师指出：这个曲线也可以由图像变换得到（这是上节课学习的内容）： 即：132sin ?sin 3y x y x ππ⎛⎫=−−−−−−−→=+−−−−−−−−−−−→ ⎪⎝⎭向左平移个单位长达纵坐标不变，横坐标缩短为原来的的3sin 23sin 233x y x ππ⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−→=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭纵坐标伸长为原来的倍横坐标不变探究二：根据函数图像求解析式.例2.已知函数()sin()(0,0,0,)f x A x A x R ωϕωϕπ=+>><<∈在一个周期内的图像如图.求：（1）函数的解析式； （2）直线3y =与函数()f x 图像的所有交点的坐标.教师：（读题分析）根据图像求出函数的解析式，再列方程求解. 学生独立完成.教师：对于根据()sin()f x A x ωϕ=+的部分图像求函数解析式的问题，常用的解题方法是：先观察图像及y 轴，由最高点的纵坐标确定A 值，再观察图像得到周期，从而求出ω，最后再根据“五点”中的相关点的坐标求ϕ，相关点最好用最值点，用零点时要根据图像的走势，搞清是第一零点还是第二零点，此处易出错. 解：（1）1()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）交点的坐标为436k ππ⎛+⎝或5436k ππ⎛+ ⎝，其中k ∈Z . 探究三：三角函数图像变换的综合应用. 例3.已知函数()32sin 2f x x x =- （1） 求()y f x =的最小正周期和对称中心；（2） 将()f x 的图像向左平移(0)αα>个单位长度得到函数()y g x =的图像，若0,,()2y g x πα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭的一条对称轴为12x π=，求(),0,2y g x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域.教师读题分析：（1）由题得()2cos(2)6f x x π=+，所以22T ππ==.令262x k πππ+=+，得,26k x k ππ=+∈Z ，故()y f x =的最小正周期为π，对称中心为,0,26k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z（2）由三角函数的平移及在闭区间的值域问题得：()2cos 226g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭，又 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()y g x =的一条对称轴为12x π=，解得3πα=，所以5()2cos(26g x x π⎫=+⎪⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()[g x ∈-，得解. 解：（1）()y f x =的最小正周期为π，对称中心为,0,26k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .（2）[-.教师：本题考查了三角函数的周期、对称中心、对称轴以及在闭区间的值域问题，解决问题的关键在于正确转化函数的解析式，使其转化成()sin()(()cos())f x A x f x A x ωϕωϕ=+=+或的形式，再按照函数的性质求解.（二）课堂练习1.为了得到函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可作如下变换，其中正确的是( )A.将cos y x =的图象上的所有点向左平移π4个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B.将cos y x =的图象上的所有点向右平移π4个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C.将cos y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，然后将所得图象上的所有点向左平移π4个单位长度 D.将cos y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，然后将所得图象上的所有点向左平移π4个单位长度 答案：A解析：为得到πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将cos y x =的图象上的所有点向左平移π4个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变而得到； 也可以将cos y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，然后将所得图象上的所有点向左平移π8个单位长度而得到.故选A. 2.要得到函数πcos 24x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将cos 2x y =的图象( )A.向右平移π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度 C.向右平移π2个单位长度 D.向左平移π2个单位长度 答案：C 解析：π1πcos cos 2422x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴要得到函数πcos 24x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将cos 2x y =的图象向右平移π2个单位长度.故选C.3.为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象,可以将函数y x =的图象( ) A.向右平移π12个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π12个单位D.向左平移π4个单位 答案：A解析：因为πsin3cos334y x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,所以将y x =的图象向右平移π12个单位长度后可得到π34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 故选A.4.将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数（ ）A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增答案：B解析：平移后的函数为23sin 23sin 2233y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令2222,Z 232k x k k ππππ-≤-≤π+∈，解得7,Z 1212k x k k πππ+≤≤π+∈，故该函数在7,(Z)1212k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，当0k =时，选项B 满足条件.故选B. （三）小结作业 小结：本节课我们主要学习了哪些内容? 1. 用“五点法”画函数图像. 2. 根据函数图像求解析式. 3. 三角函数图像变换的综合应用. 四、板书设计第2课时函数 sin()y A x ωϕ=+的图像变换和应用4. 用“五点法”画函数图像.5. 根据函数图像求解析式. 三角函数图像变换的综合应用.。
《正弦型函数的图象》数学设计王垒
四、教学方法
“问题是数学的心脏” ，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问三练，着 重抓四个探究 点，突出学生的“探” 、教师的“导” ，并通过多媒体课件的演示，直 观展示函数图象的变化过程，激发学生的兴趣。以问题为载体，通过猜想、验证、 证明的探究过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究、发现和创造的 乐趣。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六、
教学反思
本节课首先通过练习 1、练习 2、练习 3 评价学生基础知识、基本技能掌握情况 以及灵活运用所学知识的综合能力，同时测评出教学效果；其次，在学生探究的过 程中，通过师生、生生交流及时了解学生的学习状况，吸收教学的反馈信息，激励 学生努力学习；第三，通过小结中学生的自评、互评，让内部动机和外界刺激协调 作用，促进其数学素养不断提高。 以上就是我对本节课的设计新理念下数学课堂教学的探索是一个长期的过程， 充分挖掘数学的应用价值、思维价值和人文价值，我还需要，不断努力，不断创新、 与时俱进。
个单位长度” ，这时我引导学生通过“五点作图 3 法”画图分析，最后会发现猜想是错误的，这不错不要紧，这一错就更加激发他们
强烈的好奇心和求知欲，于是，很快掀起本节课的第一次高潮，给学生搭建起一个 动手探究、实践的平台。 （2）分解难点、突出重点 本节课问题 4、5 为分解难点而设计，而学生最难
山东省青州实验中
y A sin( x ) 的图象？
问题 7
为了培养学生的迁移、拓展能力，我从纵横两个方面设计了练习 2.其中第（1） 小题培养学生的逆向思维能力，第（2）小题通过特殊函数抽象为一般函数考察学生 对变换实质的理解，第（3）小题综合了诱导公式。学生对这种综合题十分重视，觉 得难但经过努力后又可以攻克，因此将满足学生追求真理，乐于创新的情感需求和 渴求知识的强烈愿望，此处将掀起本节课的第二次高潮。也是本节课的第四探究点。 1、已知函数 y 2 sin(3x （1）作出简图； 练习 3 （2）指出经过怎样的变换可得到 y sin x, x R 的图象 2 、 由 函 数 y sin x, x R 的 图 象 经 过 怎 样 的 变 换 得 到
15.3正弦型函数第二课时详细教案
课题15.3 正弦型函数二、正弦型函数的图像教材分析《正弦型函数的图像》是学生在学习了正弦型函数的概念的基础上，进一步地加深对正弦型函数的认识。
学情分析1、知识方面：学生已经掌握了正弦型函数的概念和三角函数的图像和性质。
对具体形象的实例比较感兴趣，具有一定的数学基础及分析解决问题能力。
2、能力方面：职业学校学生普遍学习缺乏自觉，学习主动性不强，但是爱动手，对于通过自己的探索得出的结论格外感兴趣。
教学目标一、知识与技能1、会用五点作图法做正弦型函数的简图；2、分别通过对三角函数图像的各种变换和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
二、过程与方法1、通过学生动手实践，分组讨论，培养学生分析问题解决问题的能力，2、通过多媒体辅助教学，使学生学会将复杂问题进行分解的能力三、情感、态度与价值观1、通过主动探索，感受探索的乐趣和成功的体验，培养学生合作交流的意识，体会数学的理性和严谨。
2、培养学生普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神。
重难点1、教学重点：利用“五点作图法”正确做出函数xy sin=到siny A x=和siny xω=的图像。
2、教学难点：正确找出函数x y sin =到sin y A x =和sin y x ω=的图像变换规律 教 法 与 学 法一、教法分析教法上主要体现启发、探究、分组讨论等形式，同时利用学案导学优化课堂教学。
1、充分利用学生的好奇心与创造性，加强师生互动，生生互动，提高学生课堂参与程度。
2、通过采用设疑的形式启发、引导学生参与 二、学法分析在学生已有的认知基础上，通过教师的引领，学生在已有认知结构的基础上自主探究，合作交流。
教学资源1、江苏省职业学校文化课教材《数学》第四册2、教师编写的学案3、多媒体课件（PPT ）,几何画板教学 准备1、制作多媒体课件，编写本节课学案，从而优化课堂教学；2、布置学生复习正弦型函数的概念和正弦函数的图像。
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第2课时 函数)s i n (ϕω+=x A y 的图象（二）
【教学目标】 1． 知识目标
通过本节课的学习，进一步增强对x y sin =的图象与)sin (ϕω+=x A y 的图象之间的变换关系及A ,,ωϕ对
)sin(ϕω+=x A y 的图象的影响的理解，掌握参数A ,,ωϕ的影响。
2．能力目标
培养学生观察问题和探索问题的能力。
3、情感目标
通过本节的学习，进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，进一步体会数形结合的思想方法，特别是会提取图象提供的信息。
【重点难点】 重点
（1）理解A ,,ωϕ对)sin(ϕω+=x A y 的图象的影响。
图象按参数A →→ϕω的变化规律。
难点
图象变换与函数解析式变换的内在联系的理解。
案例（一） 教学过程
案例（二） 教学过程
1、复习引入
利用计算机在同一坐标系中作出下列函数图象： （1）x y sin = （2）)sin(π
+
=x y （3）)2sin(π
+
=x y （4）)6
2sin(2π
+
=x y
填上变换过程：x y sin =6
sin(π+=x )6
2sin(π
+=x y
)6
2sin(2π
+
=x y ；
教师――展示问题让学生完成。
学生――完成题目，描述变换过程。
（A →→ωϕ）
2、请同学们思考能否按照A →→ϕω
的顺序进行变换？
利用计算机在同一坐标系中作出下列函数图象：
（1）x y sin = （2）x y 2sin = （3）)6
2sin(π
+=x y （4）)6
2sin(2π
+
=x y
作出图象后，根据图象观察填空：x y sin =
x y 2sin =)62sin(π
+
=x y )6
2sin(2+=x y 。
教师――展示问题。
学生――完成题目并归纳变换规律。
变换规律：把
x y sin =的图象上各点的横坐标都变为原来的
ω
1
倍，可得
x y ωsin =的图象；把所得曲线向左）向
右）平移
ω
ϕ个单位，可得
)sin(ϕω+=x y 的图象；现再把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，得到
)sin(ϕω+=x A y 的图象。
3、你能用几种方式写出由函数
x y sin =的图象到函数)6
2sin(2π
+
=x y 的图象的变换过程？
教师――出问题让学生思考，并让学生生动手试着写出。
学生――讨论、交流、写出想到的所有变换方式。
教师――评价学生的完成情况，并指出所有的变换方法。
4、你能回忆一下物理中描述简谐振动的函数关系吗？振幅、周期、频率、相位初相等概念与
ϕω,,A 有何关系？
教师――提出问题。
学生――回顾相关知识，解释振幅、周期、频率、相位初相等概念与ϕω,,A 的关系。
5、例题与练习。
教师――让学生阅读教科书例2，提出问题：你认为，要解决例2，关键抓住什么？ 学生――思考、讨论。
师生――共同讨论，明确解题的关键是搞清ϕω,,A 等参数在图象上如何得到反映的，并由由“形”到“数”
地解决问题。
学生――口答练习3、4。
6、你能归纳一下本节讨论问题的思路方法吗？
教师――引导学生反思学习过程，概括出研究函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的方法。
学生――思考、讨论，并阐述思想方法。
教师――作适当点评、补充。
7、作业设计
作业：层次1：教科书P58习题1.5A 组第3、4、5题。
层次2：教科书P59习题1.5B 组第2、3题。
层次1的题目要求所有的学生都完成，层次2的题目要求学有余力的学生思考完成。