浙江省宁波市2020~2021学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
宁波市2021学年第一学期高考模拟考试高三数学试卷 答案
即 sin = 2 + cos ，得 2 cos + cos2 = 1− cos2 ，解得 cos = 3 −1 (舍负).
cos sin
2
可知此时， cos AOB = 1− 3 . 2
（5）当 AOB = 0, , 时，显然不合题意. 2
由（1），（2），（3），（4），（5）可知， cos AOB (−1, 1− 3 ] [1 ,1) .
4
10．答案：B
解析：{an}的前几项依次为1,1, 2, 3, 5,8,13 ，易知数列{an}从第二项起为递增数列，
从而 an+2
=
an+1
+ an
2an (n
2)
，即得
1 an+2
1 2
1 an
(n
2)
，
1 11
1 1 11 1
由 (n 2) ，得 + ( + )(n 2) ，
an+2 2 an
(事实上， f (x) 在 (a, a +1) 上有两个零点) 此时， (a − 3, a) (0, a) ，且 f (x) 在 (a − 3, a) 上有两个零点.
又 a + 1 − 3 = a − 5 0 ， f (0) = f (3) = 9 − 3(2a +1) + a2 + 3 = a2 − 6a + 9 0 ，
E
O
B
C
情形(4)-1
情形(4)-2
C l
下面考虑使得 OC = 1 的 AOB 的大小.
A H
此时，设 AOE = ，有 HOB = COE = ，
从而 B = − ，得 EAB = . 2
2020-2021学年浙江省宁波市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．16．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣18．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t311．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.712．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为．16．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．四、解答题（共6小题）.17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5}解：集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，所以∁U T＝{1，5}，所以S∩（∁U T）＝{1，5}．故选：A．2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：对于一次函数f（x）＝ax+b，（a≠0），若函数f（x）单调递增，则a＞0，反之，“a＞0”能推出“函数f（x）＝ax+b单调递增”，故“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的充分必要条件，故选：B．3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．解：∵扇形的圆心角α为，弧长l为，∴扇形的半径r＝＝2，∴扇形的面积S＝lr＝×2×＝．故选：A．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）解：对于A，取a＝，b＝，可得a+＝，b+＝，a+＜b+，故A错误；对于B，若a＞0＞b，则＞，故B错误；对于C，由a＞b，可得﹣a＜﹣b，所以2﹣a＜2﹣b，故C正确；对于D，取a＝，b＝﹣2，则ln（|a|）＜ln（|b|），故D错误．故选：C．5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．1解：因为函数，所以，故＝f（﹣1）＝（﹣1）2＝1．故选：D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，f（1）＝0，排除A，B，故选：C．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣1解：当a＝0时，f（x）＝4x﹣1＜0，解得，故当x＝时，f（x）＞0，故不符合题意；当a＞0时，则有，无解；当a＜0时，则有①，或②，或△＝16+16a＜0③，解得①无解，②无解，③a＜﹣1，故a＜﹣1，综上所述，实数a的取值范围是a＜﹣1．故选：B．8．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．解：令，因为函数h（x）在（r，a+2）上单调递增，所以，当a＞1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递增，此时值域不可能为（1，+∞），当0＜a＜1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递减，要使得值域为（1，+∞），则有，解得r＝1，．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域解：对于A，若y＝f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故A错误；对于B，函数的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），但函数在定义域内不是减函数，故B错误；对于C，若一个函数是周期函数，那么它不一定有最小正周期，例如常数函数f（x）＝1是周期函数，但无最小正周期，故C错误；对于D，函数f（x）＝e lnx定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），函数定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），故D正确．故选：ABC．10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3解：由题意，浮萍蔓延的面积y（m2）与时间（t月）的关系：y＝a t（a＞0且a≠1），由函数图象可知函数过点（1，2），∴a1＝2，a＝2，故A正确；函数的解析式为：y＝2t，由，得t1＝log25，由，得t2＝log215，而t2﹣t1＝log215﹣log25＝log23＝＞，故B错误；当t＝5 时，y＝26＝64＞30，故第6个月时，浮萍的面积超过30m2，故C正确；由，，，得t1＝1，t2＝2，t3＝6，则t1+t2＝t3成立，故D正确．故选：ACD．11．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.7解：令f（x）＝3x﹣x﹣4，由已知表格中的数据，可得：f（1.5）＝5.196﹣1.5﹣4＝﹣0.304＜0，f（1.53125）＝5.378﹣1.53125﹣4＝﹣0.15325＜0，f（1.5625）＝5.565﹣1.5625﹣4＝0.0025＞0，f（1.625）＝5.961﹣1.625﹣4＝0.336＞0，f（1.75）＝6.839﹣1.75﹣4＝1.089＞0．∵精确度为0.1，而f（1.5）•f（1.5625）＜0，且|1.5625﹣1.5|＝0.0625＜0.1，f（1.5）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.5|＝0.125＞0.1，f（1.53125）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.53125|＝0.09375＜0.1，f（1.53125）•f（1.75）＜0，且|1.75﹣1.53125|＝0.21875＞0.1，∴[1.5，1.625]内的任何一个数，都可以看作是方程3x＝x+4的一个近似解．结合选项可知，B、C成立．故选：BC．12．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是解：＝，由题意，，两式平方相加可得，所以或．当时，2α﹣2β＝符合题意，故选项A，D正确，B，C错误．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．解：sinα＝，所以cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×（﹣）+×＝．故答案为：．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝2sin（x+）．解：由图象可知A＝2，＝7﹣3＝4，所以T＝8，所以ω＝＝，所以f（x）＝2sin（x+φ），由五点作图法可得×3+φ＝π，解得φ＝，所以f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为2．解：∵a、b都为正数且满足a+b+ab＝3，∴a+b+≥3等号当a＝b时成立．∴（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0∴a+b≥2或a+b≤﹣6（舍）a+b的最小值为2故答案为216．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．解：f′（x）＝1﹣＝，令f′（x）＝0，得x＝±3，所以在（1，3）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（3，4）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（1）＝10，f（4）＝6.25，f（3）＝6，若∃x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得f（x1）f（x2）≥80，只需x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得[f（x1）f（x2）]max≥80，而f（x1）max＝f（1）＝10，所以f（x2）max≥8，过点B作BC⊥y轴，与函数f（x）的图象交于点C，令x+＝6.25，解得x＝4或2.25，所以当x∈[2.25，4]时，f（x）∈[6，6.25]，所以x2∈（1，2.25），所以a∈（1，2.25），才能使得x2∈[a，4]时，f（x2）max≥8，即f（a）≥8，所以a+≥8，解得a≥4+（舍去）或a≤4﹣，所以1＜a≤4﹣，所以实数a的取值范围为（1，4﹣]，故答案为：（1，4﹣]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．解：（I）由题意，，得2x＝3，得．（Ⅱ）．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．解：（I）由题意，﹣5，1是方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根，由韦达定理得：，解得m＝1，经检验符合条件．（Ⅱ）由题意，A＝{x|﹣1＜x＜4}，A⊆B，因为m＞0，则B＝{x|﹣5m＜x＜m}，由A⊆B得，，解得m≥4．所以实数m的取值范围是[4，+∞）．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．解：（Ⅰ）由题意，因为α在第一象限，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上所以，所以．（Ⅱ）由题意，tanα＝2，则tan（α﹣β）＝tan（2α﹣β﹣α）＝．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．【解答】解（Ⅰ），所以，周期为T＝＝π，令，得，所以，函数f（x）的单调递增区间为：．（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到y＝sin（4x+）+，再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，即y＝sin[4（x﹣）+）+]＝sin（4x﹣）+，即，由，得，解得满足条件的x的集合为：．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？解：（1）依题意，当0≤x≤0.1时，可设y＝kx，且1＝0.1k，解得k＝10，∴y＝10x，又由，解得a＝0.1，所以；（2）令，解得x＞0.6，即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．解：（Ⅰ）a＝1时，，（1）当x≥1时，2x2﹣2x+1≤1，解得x＝1，（2）当x＜1时，2x﹣1≤1，解得x＜1，故不等式的解集为{x|x≤1}．（Ⅱ），（1）当，即时，符合条件，（2）当，即时，函数在R上为增函数，符合条件，（3）当，即时，需满足：，解得a≤﹣9；综上：或a≤﹣9．（Ⅲ）解法1：（1）当或a≤﹣9，则f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|；（2）当﹣9＜a≤﹣2，则f（x）＝2x2﹣（a+1）x+a，又对称轴，所以g（a）＝f（2）＝4+|a﹣2|，（3）当﹣2＜a＜﹣1时，g（a）＝max{f（﹣2），f（2）}＝max{4﹣3|a+2|，4+|2﹣a|}＝4+|2﹣a|，（4）当时，g（a）＝max{f（a），f（2）}＝max{a2，4+|2﹣a|}，因a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＝（a+3）（a﹣2）＜0，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．解法2：（1）当a≤﹣2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2）}＝f（2）＝4+|2﹣a|，（2）当﹣2＜a＜2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2），f（a）}＝max{f（2），f（a）}，又f（a）﹣f（2）＝a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＜0，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|：（3）当a≥2时，f（x）＝（a+1）x﹣a，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．。
2020-2021宁波市高中必修一数学上期末一模试题及答案
故 有最大值2，无最小值
故选：D
【点睛】
本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．
二、填空题
13．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有
解析：
【解析】
作出函数 的图象，如图所示，
当 时， 单调递减，且 ，当 时， 单调递增，且 ，所以函数 的图象与直线 有两个交点时，有 ．
22．（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)令 ,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解;
(2)根据二次函数的性质,分类讨论即可.
【详解】
(1)令 ,则 时, ,
则 ,
故当 时, 有最小值为 ,当 或1时, 有最大值为0,
∴该函数的值域为 ;
(2)由(1)可知 ,
, ,
当 ,即 时,函数 在 单调递减,
解析：
【解析】
【分析】
由题意先确定函数 在 上是增函数，再将不等式转化为 即可求得 的取值范围.
【详解】
函数 是定义在 上的偶函数，且 在区间 上是减函数，
函数 在区间 上是增函数
或
解集为
故答案为：
【点睛】
本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型.
20．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
因为函数 若 ,所以 或 ，解得 或 ，即实数的 取值范围是 故选C.
8．A
浙江省宁波市2020~2021学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
C.必要而不充分条件D.充分而不必要条件
7.若正数x, y满足，+4孙一4 = 0 ,则x+y的最小值是
A.JJ B.生在侧面
44£8内.若BMLCP,则点〃的轨迹为
A.线段B.圆弧
C.抛物线一部分D.椭圆一部分
（II）若尸。的中点恰好在抛物线C上，且|力邳=»|尸0],求直线48的斜率.
22.（本题满分15分）已知函数/（x） = eX,g（x） = lnx.
（I ）若函数〃（x） = /（x） + aga）存在极小值，求实数々的取值范围；
（II）若加＞0,且加2工2/0一]）一（工+1应（同一加rNO对任意式＞0恒成立，求实数m的取值范围.
台体的体积公式：隔+§2)方，其中S，S2分别表示台体的上、下底面枳"表
示台体的高：
球的表面积公式：S = 4成2,球的体积公式：其中火表示球的半径；
3
如果事件力,8互斥，那么p(/+b)=?a)+?①)：
如果事件A, B相互独立，那么P(A'B)=P(AyP(B)；
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么〃次独立重复试验中事件A恰好发生k次
18 .解：（I）由正弦定理得2EsinZcosZ = K
有sin24 = 174分
又2/e（O,2乃），故2/=],A = ^.6分
（II）由题得sin4 =拽，故2=吧0=告，8分
3asin71 3
0
1
2
P
4
a
b
14.函数/（x） = cosx +及sinx的最大值为_4_，记函数取到最大值时的x =8 ,则
浙江省宁波市2020届高三上学期期末考试数学试题Word版含解析
浙江省宁波市2020届高三上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 已知，则条件“”是条件“”的（）条件.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3. 若函数为偶函数，则实数的值为（）A. 1B.C. 1或D. 04. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（）A. 3B.C. 5D.5. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（）A. 1B. 2C. 4D. 86. 已知，为的导函数，则的图像是（）A. B. C. D.7. 一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（）A. B. C. D.9. 若函数在上的最大值为，最小值为，则（）A. B. 2 C. D.10. 已知向量，，满足，，，为内一点（包括边界），，若，则以下结论一定成立的是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知，则__________．12. 设为虚数单位，则复数的虚部为__________，模为__________．13. 对给定的正整数，定义，其中，，则__________；当时，__________．14. 在锐角中，已知，则角的取值范围是__________，又若分别为角的对边，则的取值范围是__________．15. 已知双曲线的渐近线方程是，右焦点，则双曲线的方程为_________，又若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为__________．16. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有__________种（请用数字作答）．17. 如图，在平面四边形中，，，，点为中点，分别在线段上，则的最小值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值.19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为中点，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知函数.（Ⅰ）若方程只有一解，求实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，若对任意正实数，恒成立，求实数的取值范围.21. 已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.（Ⅰ）求证：直线过定点；（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.22. 已知数列满足，.（Ⅰ）若，求证：对任意正整数均有；（Ⅱ）若，求证：对任意恒成立.浙江省宁波市2020届高三上学期期末考试数学试题参考答案第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故选A.2. 已知，则条件“”是条件“”的（）条件.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当时，不成立，所以充分性不成立，当时，成立，也成立，所以必要性成立，所以“”是条件“”的必要不充分条件，故选B.【方法点睛】本题通过不等式的基本性质主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3. 若函数为偶函数，则实数的值为（）A. 1B.C. 1或D. 0【答案】C【解析】时，不是偶函数，时，二次函数的对称轴为，若为偶函数，则，得或，故选C.4. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（）A. 3B.C. 5D.【答案】D【解析】是焦点在轴上的椭圆，，离心率，得，故选D.5. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴，解得r=2，本题选择B选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．视频6. 已知，为的导函数，则的图像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，为奇函数，图象关于原点对称，排除，又，可排除，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7. 一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题意，，，，故选B.8. 《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为（其中）；则由，得所以，最小的1分为．故选A．考点：等差数列的性质9. 若函数在上的最大值为，最小值为，则（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】，又，且时，等号成立，故只需求的最大值，由于，故，故选C.10. 已知向量，，满足，，，为内一点（包括边界），，若，则以下结论一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为原点，以所在直线轴建立坐标系，设，则有，，得，又点在内，满足的关系式为，取不满足，，排除选项，取，不满足，排除选项，又，正确，故选B.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积以及平面向量基本定理、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.第Ⅱ卷（非选择部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知，则__________．【答案】2【解析】，，，故答案为.12. 设为虚数单位，则复数的虚部为__________，模为__________．【答案】 (1). -2 (2).【解析】，的虚部为，故答案为（1）；（2）. 13. 对给定的正整数，定义，其中，，则__________；当时，__________．【答案】 (1). 64 (2).【解析】，时，，故答案为（1）；（2）.14. 在锐角中，已知，则角的取值范围是__________，又若分别为角的对边，则的取值范围是__________．【答案】 (1). (2).【解析】锐角中，，，由，可得，，故答案为（1）；（2）.15. 已知双曲线的渐近线方程是，右焦点，则双曲线的方程为_________，又若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为__________．【答案】 (1). (2).【解析】双曲线的渐近线方程是，右焦点，双曲线方程为，设右焦点，由双曲线定义可得，的周长为，故答案为（1）；（2）.16. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有__________种（请用数字作答）．【答案】52【解析】因为，对于上述四种情形掷这四个骰子，分别有种情形，综上共有种情形，故答案为.17. 如图，在平面四边形中，，，，点为中点，分别在线段上，则的最小值为__________．【答案】1..................故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值，最小值为.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式化简，根据周期公式可得结果；（Ⅱ由，可得，结合正弦函数的图象可得时，取得最大值，时，的最小值为.试题解析：（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为，所以.当，即时，取得最大值；当，即时，.即的最小值为.19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为中点，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）设与的交点为，连结，则为的中点，由为中点，利用三角形中位线定理可得，从而根据线面平行的判定定理可得平面；（Ⅱ）由勾股定理可得，根据线面垂直的性质定理得平面，故，再根据线面垂直的判定定理可得平面，故就是直线与平面所成的角，在直角中可得.试题解析：（Ⅰ）设与的交点为，连结.因为为矩形，所以为的中点.在中，由已知为中点，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）在中，，，所以，即.因为平面平面，平面平面，，所以平面，故.又因为，平面，所以平面，故就是直线与平面所成的角.在直角中，，所以.即直线与平面所成角的正弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20. 已知函数.（Ⅰ）若方程只有一解，求实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，若对任意正实数，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性，可得函数在上单调递减，函数在区间上单调递增，根据单调性可得时，，时，,且，结合函数图象可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意正实数，恒成立，等价于，先排除，当时，利用导数可得，所以.试题解析：（Ⅰ）由已知.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在区间上单调递增.故.又当时，.且（对足够小的）.又当时，.即所求的取值范围是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.所以对任意正实数，恒成立，等价于.∵.（1）当时，，与式矛盾，故不合题意.（2）当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在区间上单调递减.，所以.综合（1）（2）知实数的取值范围为.21. 已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.（Ⅰ）求证：直线过定点；（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线的方程为，设，，由消去得，根据韦达定理，结合导数的结合意义可得这两条切线的斜率分别为，.由这两切线垂直得，从而可得结论；（Ⅱ）设，则，，，，，利用导数求出的最小值即可.试题解析：（Ⅰ）设直线的方程为，设，以为切点的切线方程分别为，.由消去得.则，.这两条切线的斜率分别为，.由这两切线垂直得，得.所以直线恒过定点.（Ⅱ）设，则，，当时，则，可得，当时，则，，，同样可得.所以.由.所以.令，..所以在上为减函数，在上为增函数.所以.（或当时取等号.）【方法点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题. 属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.22. 已知数列满足，.（Ⅰ）若，求证：对任意正整数均有；（Ⅱ）若，求证：对任意恒成立.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，根据和在均为增函数，可得，当时，由在上为减函数，得.当时，可得恒成立，从而可得结论；（Ⅱ）由第（Ⅰ）题知，令，则，可证明为递减数列，.从而.又由可得.所以.试题解析：（Ⅰ）当时，根据和在均为增函数.从而当时，必有或.当时，由在上为减函数，得.当时，，从而恒成立.综上所述，对所有满足的正整数均成立.（Ⅱ）一方面，由第（Ⅰ）题知.又.所以.另一方面，，且，令，则，即，且，.∴.由，且知为递减数列，且.所以.从而.又由.所以.所以.。
2020-2021宁波市高三数学下期末试卷(带答案)
B．162 D．324
8．在 ABC 中， A 为锐角， lg b lg(1) lg sin A lg 2 ，则 ABC 为（ ） c
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
9．已知 a, b 是非零向量且满足 (a 2b ) a ， (b 2a ) b ，则 a 与 b 的夹角是（ ）
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 f x 有最大值，且最大值大于 2a 2 时，求 a 的取值范围.
22．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点为 F
，右顶点为 A ，离心率为
1 2
.已知
A 是抛
物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 1 . 2
2
2
6
3
4
2
6
3
6
162
.
故选 B.
.
【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体 积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有 二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
2
2
3
________．
19．已知函数 f (x) x(ln x ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是__________．
20．能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增 函数”为假命题的一个函数是__________．
三、解答题
21．已知 f x ln x a 1 x .
2020-2021学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题
绝密★启用前2020-2021学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．集合{}{}{}123451452,3,4U S T ===,,,,,,,,，则()U S T ⋂=（） A ．{}1,5 B ．{}1 C ．{}1,4,5 D ．{}1,2,3,4,5答案：A利用集合的补集和交集定义求解即可． 解：{}1,5UT =，(){}1,5U S T ∴⋂=故选：A2．“0a >”是“关于x 的函数(0)y ax b a =+≠单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C利用充分条件和必要条件的定义判断.解：当0a >时，由一次函数的性质得，函数(0)y ax b a =+≠单调递增，故充分； 若函数(0)y ax b a =+≠单调递增，则0a >，故必要；所以“0a >”是“关于x 的函数(0)y ax b a =+≠单调递增”的充要条件， 故选：C3．已知某扇形的弧长为23π，圆心角为3π，则该扇形的面积为（） A ．23πB ．πC ．43π D ．83π 答案：A 由弧长公式求出2r，再由扇形的面积公式求出答案.解：扇形的半径2323l r ππθ===，所以2r ，则扇形的面积112222233S lr ππ==⨯⨯=.故选：A.4．已知非零实数,a b 满足a b >，则（） A ．11a b a b+>+ B ．11<a bC ．2<2a b --D ．()()ln ln a b >答案：C根据不等式的性质，结合特殊值法，逐项判断，即可得出结果. 解：已知非零实数,a b 满足a b >，A 选项，若1a =，12b =，则满足a b >，但此时111222a b a b +=<+=+，故A 错；B 选项，若1a =，1b =-，则满足a b >，但不满足11a b<，故B 错；C 选项，由a b >可得a b -<-，所以2<2a b --，即C 正确；D 选项，若1a =，b e =-，则满足a b >，但此时()()ln 0ln 1a b =<=，故D 错. 故选：C.5．已知函数()2,0lg ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则110f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．1-C ．1100D ．1答案：D 先求110f ⎛⎫⎪⎝⎭，进而可得110f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值． 解：11lg 11010f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()11110f f f ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D 6．函数()ln x xxf x e e -=-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．答案：C结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 解：由题可知，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()ln ln x x x xx xf x f x e e e e----==-=---， 所以函数()f x 为奇函数，所以排除选项BD ；又()10f =，所以排除选项A. 故选:C.点评：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．已知函数2()441,(1,1),()0f x ax x x f x ∀=+-∈-<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．34a ≤-B ．1a <-C ．314a -<≤ D ．1a ≤-答案：B将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a 的取值范围． 解：2()4410f x ax x =+-<，即2441ax x <-+ 当0x =时，不等式恒成立，a R ∈； 当0x ≠时，20x >，则2min 414a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭ 令()()1,11,t x=∈-∞-⋃+∞，则()[)224244,y t t t =-+=--∈-+∞ 即44a <-，解得1a <- 故选：B8．已知函数()()()1log ,21a x f x x r a x -=∈++)的值域为1,，则（）A．22r a ==-,B．22r a ==,C．11r a ==, D．11r a ==,答案：D 令()11x h x x -=+求出其值域，再分类讨论a 的值，确定函数()f x 的单调性，根据()f x 的值域，列出方程组，求解得出答案. 解：令()12111x h x x x -==-++，因为函数()h x 在(),2r a +上单调性递增，所以()221,113h x r a ⎛⎫∈-- ⎪++⎝⎭，当1a >时，函数()f x 在(),2r a +上单调性递增，此时值域不可能为1,，当01a <<时，函数()f x 在(),2r a +上单调性递减，要使得值域为1,，则2130112r a a ⎧=⎪⎪⎨=-+-+⎪⎪⎩，解得11r a ==,. 故选：D点评：关键点睛：解决本题的关键在于讨论复合函数函数()f x 的单调性，再由其值域得出,r a 的值.9．根据已给数据：在精确度为0.1的要求下，方程34x x =+的一个近似解可以为（） A ．1- B ．1.5 C ．1.562 D ．1.7答案：C令()34xf x x =--，根据零点存在性定理即可求解.解：解：34x x =+， 即340x x --=，令()34xf x x =--，则() 1.51.53 1.54 5.196 1.540.3040f =--≈--≈-<，() 1.531251.531253 1.531254 5.378 1.5312540.153250f =--≈--≈-<， () 1.56251.56253 1.56254 5.565 1.562540.00250f =--≈--≈>， () 1.6251.6253 1.6254 5.961 1.62540.3360f =--≈--≈>， () 1.751.753 1.754 6.839 1.754 1.0890f =--≈--≈>，根据零点存在性定理可知：()0 1.53125,1.5625x ∃∈，使()00f x =， 又1.53125 1.56250.031250.1-=<，故34x x =+的一个近似解可以为：1.562. 故选：C. 二、多选题10．下列选项不正确的是（）A ．既是奇函数又是偶函数的函数一定是()()0f x x R =∈B ．函数1y x=在定义域内是减函数 C ．所有的周期函数一定有最小正周期 D ．函数()ln xf x e =和函数()g x=有相同的定义域与值域 答案：ABCA.既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是0f x，但定义域不一定是R ；B.不是整个定义域上的减函数，两个区间必须分开写；C.狄利克雷函数函数是周期函数，没有最小正周期；D.求两个函数定义域和值域即可.解：A.既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是0f x，但定义域不一定是R ，也可以是[]1,1-这种.B.函数1y x=在,0和0,上为减函数C.狄利克雷函数()1,0,x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩是周期函数，但是没有最小正周期.D.()ln xf x e=的定义域为0,，值域为0,()g xx=定义域为0,，值域为0,故选：ABC11．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积()2m y 与时间t(月)的关系为：ty a =.有以下几个判断，正确的是（）A ．2a =B ．浮萍从25m 蔓延到215m 只需要经过1.5个月C ．在第6个月，浮萍面积超过230mD ．若浮萍蔓延到2222m 4m 8m ，，所经过的时间分别为123,,t t t ，则123t t t += 答案：ACD由图象经过点可得解析式可判断A ；分别令25t =、215m =求出m 、t 做差可判断B ；计算(6)f 可判断C ；分别计算123t t t 、、可判断D.解：因为函数图象经过(1,2)点，所以2a =，所以2ty =，故A 正确；当()25tf t ==，得2log 5t =，当()215m f m ==，得2log 15m =，所以 1.52222log 15log 5log 3log 21.5m t -=-=≠=，所以B 错误；当6(6)26430f ==>，所以C 正确； 当11()22tf t ==，得11t =，当22()24t f t ==，得22t =，当33()28t f t ==，得33t =，所以123t t t +=，所以D 正确.故选：ACD.点评：本题考查了求解析式并求函数值及比较大小的问题，关键点是由图象求出函数的解析式，注意指对互化的问题，考查了学生的计算能力.12．己知222()sin sin ()sin ()f x x x x αβ=++++，其中,αβ为参数，若对()x R f x ∀∈，恒为定值，则下列结论中正确的是（） A ．()32f x =B ．()2f x =C ．αβπ+=D ．满足题意的一组,αβ可以是2,33ππαβ==答案：AD利用二倍角公式和两角和的余弦公式对()f x 化简，要使()x R f x ∀∈，恒为定值，根据()f x 结构形式可得方程组化简可得答案. 解：()()()1cos 221cos 221cos 2222x x x f x αβ-+-+-=++()31cos 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 222x x x x x ααββ=-+-+- ()()()31cos 21cos 2cos 2sin 2sin 2sin 222x x αββα=-⋅++-⋅+ 若对()x R f x ∀∈，恒为定值，则cos 2cos 21sin 2sin 20αββα+=-⎧⎨+=⎩，两式平方相加得；()1cos 222αβ-=-所以()32,22223f x k παβπ=-=+或2222,3k k Z παβπ-=-+∈， 即3k παβπ-=+或,3k k Z παβπ-=-+∈.故选：AD.点评：本题考查了三角函数的性质，关键点是利用二倍角公式、两角和与差的余弦公式进行化简，对于某些恒成立的问题可以根据结构特征得到答案，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 三、填空题13．已知35sin ,cos ,0,,,51322ππαβαβπ⎛⎫⎛⎫==-∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________. 答案：3365利用两角和与差的正弦公式求解即可． 解：30,,sin 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则4cos 5α= 5,,cos 213πβπβ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则12sin 13β=()3541233sin sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：336514．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,<2A πωϕ>>)，其部分图象如图所示，则()f x =________.答案：2sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭根据图象的最大值和最小值得到A ，根据图象得到周期从而求出ω，再代入点()3,0得到ϕ的值可得答案.解：由图象可得函数的最大值为2，最小值为2-，故2A =根据图象可知7342T=-=， 28,4T T ππω∴===，()2sin 4x f x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，将()3,0代入，得3sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以32,4k k Z πϕππ+=+∈， 3||,24ππϕϕπ<∴+=，解得4πϕ=，()2sin 44x f x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.故答案为：2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭. 点评：本题考查根据正弦型函数的图象求函数的解析式，关键点是根据图象的最大值和最小值得到A ，根据图象得到周期，从而求出ω，再代入图象过的特殊点得到ϕ的值，考查了学生识图的能力及对基础知识的掌握情况.15．已知,a b 都是正数，若3a b ab ++=，则+a b 的最小值为________. 答案：2利用基本不等式()24a b ab +≤代入原式，解不等式可得+a b 的最小值．解：由基本不等式可得：()()234a b ab a b +=-+≤，化简得()()21240b a a b +-+≥+即()()620a b a b +++-≥，又,a b 都是正数，则2a b +≥，即+a b 的最小值为2 故答案为：216．已知14a <<，函数()[][]129,1,,,4f x x x a x a x=+∃∈∈，使得()()1280f x f x ≥，则a 的取值范围________.答案：(1,4-由已知得出函数的单调性，再得出()()4f a f =时，a 的值，从而分91,4a <≤9<<44a 两种情况，分别由()()12max max 80f x f x ≥解得可得a 的取值范围.解：因为()9f x x x =+，所以函数()9f x x x=+在(]0，3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增， 当()()99444f a a f a =+==+时，解得94a =（4a =舍去），（1）当()()()()12max max 991,110804a f x f x f f a a a ⎛⎫<≤==+≥ ⎪⎝⎭，解得(1,4a ∈；（2）当()()()()12max max 99<<4,141048044a f x f x f f ⎛⎫==⨯+≥ ⎪⎝⎭，不符题意.故答案为：(1,4.点评：方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <.四、解答题17．（1）求值：若3log 21x =，求22x x -+的值；（2）化简：()cos 3cos 2sin 2παπαα⎛⎫-- ⎪⎝⎭.答案：（1）103；（2）12-. （1）由题意，3log 21x=，得23x =，代入可得值；（2）运用诱导公式，可化简求值.解：解：（1）由题意，3log 21x =，得23x =，得11022333x x-+=+=； （2）()cos 3cos cos sin 12sin 22sin cos 2παπαααααα⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==-.18．已知集合{}{}222|340450A x x x B x x mx m =--<=+-<，，其中m R ∈. （1）若{}51B x x =-<<，求实数m 的值；（2）已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，且0m >，求实数m 的取值范围. 答案：（1）1m =；（2）4m ≥.（1）由题意知，方程22450x mx m +-=的两根分别为5-和1，然后利用韦达定理可求出实数m 的值；（2）求出集合A 和集合B ，结合题中条件得出A B ⊆，可列出关于实数m 的不等式组，解出即可. 解：（1）由题意，51-，是方程22450x mx m +-=的两根， 由韦达定理得：24455m m -=-⎧⎨-=-⎩，解得1m =，经检验符合条件.（2）由题意，{}{}2|34014|A x x x x x =--<-<<=， 因为0m >，则{}{}224505B x x mx m x m x m =+-<=-<<， 由已知A B ⊆得，514m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得4m ≥. 点评：本题考查一元二次不等式解集与方程之间的关系，关键点是利用充分条件关系得出A B ⊆，求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，属于中等题.19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线2(0)y x x =≥上.（1）求cos2α的值：（2）若角β满足tan(2)1αβ-=，求tan()αβ-的值.答案：（1）35；（2）13-. （1）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．（2）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．解：解：（1）因为角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线2(0)y x x =≥上，所以tan 2α=， 所以，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++． （2）由题意，tan 2α=，tan(2)1αβ-=，则()()tan tan 2αβαβα-=--⎡⎤⎣⎦()()tan 2tan 1211tan 2tan 1123αβααβα---===-+-+⨯ 20．已知函数2()sin cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期，并写出函数()f x 的单调递增区间；（2）若将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求满足()1g x ≥的实数x 的集合.答案：（1）最小正周期π，单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,8242k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（1）先将函数解析式整理，得到()1242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，即可求出最小正周期，以及单调递增区间；（2）先根据三角函数的图象变换，得到()14242gx x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，解不等式，即可求出结果.解：（1）由题意，()1cos 211sin 2222242x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ== 令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以，函数()f x 的单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由题意，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，所以()14242g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()1sin 442g x x π⎛⎫≥⇔-≥ ⎪⎝⎭，得3242,444k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得满足条件的x 的集合为：,8242k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如下图所示，在药物释放的过程中，y 与x 成正比：药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为116x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式.（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教空？答案：（1）0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）0.6h （1）利用函数图象经过点()0.1,1，分段讨论即可得出结论；（2）利用指数函数的单调性解不等式0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭．解：解：（1）依题意，当00.1x ≤≤时，可设y kx =，且10.1k =，解得10k = 又由0.11116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =， 所以0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）令0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即20.21144a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，得20.21a ->，解得0.6x >， 即至少需要经过0.6h 后，学生才能回到教室．点评：本题主要考查分段函数的应用，考查指数不等式的解法，属于中档题．22．已知函数()()21f x x x x a =+-- （1）若1a =，解不等式()1f x ≤；（2）若函数()f x 在[22]-，上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）记函数()f x 在[22]-，上最大值为()g a ，求()g a 的最小值. 答案：（1）{}|1x x ≤；（2）13a ≥或9a ≤-；（3）4. （1）由1a =，先化简函数解析式，再讨论1≥x 和1x <两种情况，分别解所求不等式，即可得出结果；（2）先将函数解析式，写出分段函数的形式，分别讨论14a a +=，14a a +<，14a a +>三种情况，根据函数单调性，即可求出结果；（3）讨论13a ≥或9a ≤-，92a -<≤-，21a -<<-，113a -≤<四种情况，结合函数单调性，即可得出最大值()g a ，进而可求出()g a 最小值.解：（1）1a =时，()2221,121,1x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩， 当1≥x 时，()1f x ≤可化为22211x x -+≤，解得1x =：当1x <时，()1f x ≤可化为211x -≤，解得1x <，综上，不等式的解集为{}|1x x ≤.（2）()()()221,1,x a x a x a f x a x a x a⎧-++≥⎪=⎨+-<⎪⎩，因为()()221f x x a x a =-++是开口向上，对称轴为14a x +=的二次函数， 当14a a +=，即13a =时，()f x 在R 上显然单调递增，满足题意； 当14a a +<，即13a >时，()f x 在R 上为增函数，满足题意； 当14a a +>，即13a <时，为使函数()f x 在[22]-，上单调递增，需满足：124a +≤-，解得9a ≤-； 综上，13a ≥或9a ≤-； （3）由（2）知：当13a ≥或9a ≤-，则()f x 在[]2.2-上单调递增，所以()()242g a f a ==+-； 当92a -<≤-，则()()221f x x a x a =-++，对称轴104a x +=<，所以()()242g a f a ==+-；当21a -<<-时，()()(){}{}max 2,2max 432,4242g a f f a a a =-=-++-=+-； 当113a -≤<时，()()(){}{}2max ,2max ,42g a f a f a a ==+-， 因()()()2242632<0a a a a a a -+-=+-=+-，所以()()242g a f a ==+-. 综上，()()242g a f a ==+-，当2a =时，()min 4g a =.点评：方法点睛：求解含参二次函数在给定区间的最值问题时，通常需要利用分类讨论的的方法进行求解，考虑对称轴在给定区间左侧、右侧或位于区间内的情况，结合函数单调性，即可求解.。
浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末数学试题(含答案解析)
浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}216A x x =≤，[)3,B =+∞，则A B =（ ）A ．[)4,-+∞B ．[]4,3-C ．[]3,4D ．(][),43,-∞-+∞2．已知双曲线()2210y x m m -=>的离心率为2，则双曲线221y x m -=的离心率是（ ） A ．2BCD3．若实数x ，y 满足条件0,,260,x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数3z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．8C ．10D ．184．在()6212x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．10- B ．10 C ．25 D ．25-5．函数1cos x y x e =+-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理.原理的意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等.设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等；:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要而不充分条件D ．充分而不必要条件7．若正数x ，y 满足2440x xy +-=，则x y +的最小值是（ ） ABC ．2 D8．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，12AP PA =，点M 在侧面11AA B B 内.若1D M CP ⊥，则点M 的轨迹为（ ）A ．线段B ．圆弧C ．抛物线一部分D ．椭圆一部分9．数列{}n a 中，11a =，113,3,3n n n n a N a n a N *+*-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，使2021na <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为（ ） A ．1008B ．2016C ．2018D ．202010．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A．1BC．1D ．2二、双空题11．若复数z 满足()1210i z -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为________，z =_________ 12．某几何体的三视图是直角边长为lm 的三个等腰直角三角形（如图），则该几何体的体积为_________m 3，其外接球的表面积为___________m 2.13．已知随机变量ξ的分布列如下表，且满足1E ξ=，则a =________：又31ηξ=-，则D η=________.14．函数()cos f x x x =的最大值为_______，记函数取到最大值时的x θ=，，则cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______.三、填空题15．已知向量a ，b 满足22a b a b a +=-==，则()()2a b a b -⋅+=_________. 16．如图，对“田”字型的四个格子进行染色.每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种，每个格子只染一种颜色，且相邻的格子不能都染红色，则满足要求的染色方法有_________种.17．已知a ，b R ∈，满足22xx x be e a e+≥-对任意x ∈R 恒成立，当2a b +取到最小值时，2a b +=______.四、解答题18．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC 外接圆的半径. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若1b a -=，tan B =ABC 的面积.19．在三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，1AA AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 是1BC 的中点.（1）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ； （2）求直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值.20．已知正项等比数列{}n a ，24a =， 1232a a a +=；数列{}n b 的前n 项和n S 满足n n S na =.（Ⅰ）求n a ，n b ； （Ⅱ）证明：312412233412n n n b b b ba a a a a a a a ++++++<. 21．抛物线2:4C x y =上任取两点()11,A x y ，()22,B x y .已知AB 的垂直平分线l 分别交x轴、y 轴于点P ，Q .（Ⅰ）若AB 的中点坐标为()1,2，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）若PQ 的中点恰好在抛物线C 上，且AB =，求直线AB 的斜率. 22．已知函数()xf x e =，()lng x x =.（Ⅰ）若函数()()()h x f x ag x =+存在极小值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0m >，且()()()22110mx f x x g x mx --+-≥对任意0x >恒成立，求实数m 的取值范围.（参考数据：ln 20.69≈， 2.718e ≈）参考答案1．C 【分析】解一元二次不等式求出集合A ，再与集合B 进行交集运算即可求解. 【详解】因为{}{}21644A x x x x =≤=-≤≤，[)3,B =+∞，所以[]3,4A B ⋂=， 故选：C 2．B 【分析】先由221y x m -=求出m ，再代入221y x m-=可得答案. 【详解】因为双曲线()2210y x m m-=>的离心率为2，所以离心率12e =，所以3m =，所以双曲线221y x m -=的离心率为2e =. 故选：B. 3．B 【分析】利用约束条件画出可行域，然后将目标函数的最大值转化为求直线133zy x =-+的纵截距的最大值即可. 【详解】根据题意，画出可行域如阴影部分所示，目标函数3z x y =+变形为133zy x =-+，作出直线13y x =-，将直线平移至点A 处，z 取最大值，则260y x x y =⎧⎨+-=⎩，得点(2,2)A ，所以max 2328z =+⨯=. 故选：B.4．B 【分析】先写出61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项6216k kk T C x -+=，再讨论第一个括号选2则令2k =，第一个括号选2x -，则令3k =，两者相加即可求解. 【详解】61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为662166k k k k kk T C x x C x ---+==， 所以含2x 的项为()262223623222662302010C xx C x x x x -⨯-⨯⨯+-=-=，所以含2x 的项的系数是10， 故选：B. 5．A 【分析】根据函数奇偶性、单调性、特殊点依次判断即可. 【详解】函数1cos xy x e =+-为偶函数，只考虑0x ≥时，此时1cos x y x e =+-；1sin x y x e '=--，当1x >时，0y '<，函数单调减，故BC 错； 又当1x =时，0y <，故D 错； 故选:A 6．D【分析】可根据逆否命题的等价性进行转化判断. 【详解】:p A ⌝，B 的体积相等:q A ⌝，B 在等高处的截面积恒相等若:q A ⌝，B 在等高处的截面积恒相等，则由祖暅原理可知，A ，B 的体积相等 若:p A ⌝，B 的体积相等，则不一定满足截面积恒相等 故q p ⌝⇒⌝，p ⌝推不出q ⌝ 故p q ⇒， q 推不出p 故p 是q 的充分而不必要条件 故选：D 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 7．A 【分析】首先条件变形为2404x y x -=>，代入x y +后利用基本不等式求最小值. 【详解】0,0x y >>，22444004x x xy y x-+-=⇒=>，解得：02x <<243144x x x y x x x -∴+=+=+≥当314x x =，即x =即x y +故选：A 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 8．A 【分析】首先建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求点M 的轨迹. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设棱长为3，()3,0,2P ，()0,3,0C ，()10,0,3D ，()3,,M y z ，()13,,3D M y z =-，()3,3,2CP =-，()193230D M CP y z ⋅=-+-=，整理为：3230y z --=，点M 的轨迹方程是关于,y z 的二元一次方程，所以轨迹是平面11ABB A 平面内，直线3230y z --=内的一段线段.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何中的轨迹问题，本题的关键是解题方法，建立空间直角坐标系后，转化为坐标运算，根据方程形式判断轨迹. 9．C 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于2021，即可得答案. 【详解】由已知可得，数列{}n a ：1,4,7,4,7,10,7,10,13,，可得规律为1,4,7，4,7,10，7,10,13……此时将原数列分为三个等差数列：1,4,7,n a n =，{}31,n n n m m N ∈=+∈；4,7,10,2n a n =+，{}32,n n n m m N ∈=+∈； 7,10,13,4n a n =+，{}33,n n n m m N ∈=+∈，当673m =时，312020n m =+=，即2020202120222020,2023,2026a a a ===. 而672m =时，312017n m =+=，即2017201820192017,2020,2023a a a ===， 所以满足2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为2018．故选：C. 【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项. 10．D 【分析】设1x α=，1y α，[)0,2απ∈，则2121x x y y -+-()22221222x y x y αααα=-+=-+再放缩可得其大于等于()22122x y αα-+结合已知条件，利用辅助角公式化简即可求最值. 【详解】设1x α=，1y α，[)0,2απ∈则有212122x x y y x y αα-+-=-+()221222x y αα=-+ ()22122x y αα≥-+ ()22122x y αα≥-+ 18sin )2αα=-+184sin 224πα⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭当且仅当2sin 140x παα⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎩时取最小值，即4πα=，此时()2,1P ，()2,3Q ，2121x x y y -+-的最小值是2，故选：D. 【点睛】本题解题的关键点是将椭圆上的点()11,P x y 用参数表示，代入所求的表达式，再利用不等式放缩配成222x y +这个整体，即可转化为三角函数求最值. 11．4【分析】首先等式变形为1012z i=-，利用除法法则化简复数，再求虚部和模. 【详解】()()()()1012101210241212125i i z i i i i ++====+--+， 所以复数z 的虚部是4，z ==, 故答案为：4；12．163π【分析】依题意知，画出该几何体直观图可得答案． 【详解】∵该几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，∴该几何体为如图所示的三棱锥1D DAC -， 1D D ⊥平面DAC ，DA AC ⊥， 且11D D DA AC ===，可将其补成一个边长为1的正方体， 则该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球，∵补成的正方体的对角线长l =d ， ∴几何体的体积111113326ADCV SDD ==⨯=，∴外接球的表面积224432d S πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：①16；②3π．【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 13．12 92【分析】根据均值的计算公式以及概率和为1列式，联立求解得11,24a b ==，再根据1E ξ=求出D ξ，然后代入公式计算D η. 【详解】21E a b ξ=+=，又114P a b =++=，可得11,24a b ==； ()()22111D 0121442ξ=-⨯+-⨯=，所以()9D 3192D D ηξξ=-==.故答案为：12；9214 【分析】根据辅助角公式可化为())f x x ϕ+求最值，并求出此时对应x ，利用两角差的余弦公式求cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】()cos ),cos f x x x x ϕϕϕ==+==max ()f x ∴此时，2,2x k k Z πϕπ+=+∈，即2,2x k k Z ππϕ=+-∈， 2,2k k Z πθπϕ∴=+-∈，cos sin θϕ∴==，sin cos θϕ==，1cos cos cos sin sin 6662πππθθθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：辅助角公式22sin cos sin()a x b x ab x，其中cos ϕ=sin ϕ的应用是解决本题的关键.15．-5 【分析】根据a b a b +=-可得0a b ⋅=，再由2a b +=平方可得3b =，即可求出. 【详解】a b a b +=-，22a b a b +=-∴，即0a b ⋅=，22a =，即1a =，2222214a a b b a b b +⋅+=+=+=，3b ∴=， ()()222210235a b a b a a b b ∴-⋅+=-⋅-=--⨯=-.故答案为：5-. 16．56 【分析】按“没有一格染红色”、“恰有一格染红色”、“恰有两格染红色”分类即可. 【详解】若4个格子中没有一格染红色，每格都染黄或蓝，有4216= 种不同染法：若4个格子中恰有一格染红色，4格中选一格染红，其余3格染黄或蓝，有34232⋅=种不同染法；若4个格子中恰有两格染红色，有2种情况，其余2格染黄或蓝，有2228⋅=种不同所以不同染法. 共有56种. 故答案为:56 17．24 【分析】令x t e =，即2320t t at b ++≥-，令32()2f t t t at b =++-()0t >，且()0f t ≥，又(2)20f a b =+≥得20a b +=，再利用(2)3480f a '=⨯+=-，得4a =-，从而8b =可得答案. 【详解】令x t e =，则0t >，所以22bt t a t+≥-，即2320t t at b ++≥-对于0t >恒成立， 令32()2f t t t at b =++-()0t >， 因为(2)8822f a b a b ++-==+， 因为对于0t >时()0f t ≥恒成立， 所以20a b +≥，当2a b +取最小值时，即20a b +=， 此时在2t =时()f t 有最小值，因为函数()f t 的定义域为(0,)+∞，()202t ∈+∞=，，不是区间端点值， 又在(2)f 处取得最小值，所以(2)f 也是函数的一个极小值， 且2()34f t t t a '-=+，所以(2)3480f a '=⨯+=-，得4a =-，从而8b = 故224a b +=.故答案为：24. 【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的问题，关键点是构造函数利用导数的极值求参数，考查了学生分析问题、解决问题的能力.18．（Ⅰ）4A π=；（Ⅱ）4【分析】（Ⅰ）首先利用正弦定理，边角互化表示2sin a R A =，代入条件求解；（Ⅱ）因为sin sin B bA a=，根据条件求,a b ，再求()sin sin C A B =+，最后求三角形的面积. 【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos R A A R =有sin 21A =， 又()20,2A π∈，故22A π=，4A π=.（Ⅱ）由题得sin B =sin 4sin 3b B a A ==， 又1b a -=，则4b =，3a =.1sin sin 43C B π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭1sin 42ABC S ab C ==△【点睛】关键点点睛：本题关键的变形是利用正弦定理边角互化，用到的公式包含2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，以及sin :sin :sin ::B A Cb ac =.19．（1）证明见解析；（2【分析】（1）由1AB B C ⊥，AB AC ⊥，得AB ⊥平面1ABC ，AB 平面11ABB A ，可得答案.（2）以C 为原点，CA 为x 轴，1CB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出直线AE 的方向向量与平面11AAC C 的法向量由数量积公式可得答案. 【详解】（1）由1B C ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，得1AB B C ⊥，又AB AC ⊥，1CB AC C =，故AB ⊥平面1ABC ，AB平面11ABB A ，故平面11ABB A ⊥平面1ABC .（2）以C 为原点，CA 为x 轴，1CB 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()1,1,0B又BC11BB AA ==故11CB =，()10,0,1B ，10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0CA =()111,1,1AA BB ==--，11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =，则100n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =， ()0,1,1n =， 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ，故1sin 2n AE n AEθ⋅===即直线AE 与平面11AAC C【点睛】本题考查了面面垂直的判定、线面角的求法，证明线面垂直可以证明面面垂直，也可以用直线的方向向量与平面的法向量共线证明，用向量法求线面角只需找到直线的方向向量和平面的法向量再利用数量积公式可求得答案，本题考查了学生的空间想象力和计算能力.20．（Ⅰ）2n n a =；()112n n b n -=+⋅；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题设求出数列{}n a 的基本量，即可确定n a ；再由1n n n b S S -=-确定n b ； （2）用错位相减法整理不等式左侧即可证明. 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由1232a a a +=，得22q q += 解得2q或1q =-（舍）又242nn a a =⇒=由n n S na =，得12b =2n ≥时，()()11121212n n n n n n b S S n n n ---=-=⋅--⋅=+⋅ 则()112n n b n -=+⋅（2）()()11112212222n n n n n n n n b n a a +++++⎛⎫==+ ⎪⋅⎝⎭设31241223341n n n n b b b bT a a a a a a a a ++=++++则()2341111134522222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()341211111341222222n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2341211111131112222222n n n T n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()2111422n n T n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭得()112422n n T n +⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：当数列{}n c 满足n n n c a b =，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列时，数列{}n c 的前n 项求和可用错位相减法.21．（Ⅰ）12；（Ⅱ）±1，【分析】（Ⅰ）设直线:AB y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，与抛物线方程联立后消去y 得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可得1242x x k +==，求出k 的值即可；（Ⅱ）易得AB 中点坐标为()22,2k k b +，则()21:22PQ y x k k b k=--++， 进而可得PQ 中点坐标为()222222,22k k b k b ⎛⎫++++⎪ ⎪⎝⎭，由中点在抛物线上可得22822k b k++=，由弦长公式可得AB =，)222PQ k b =++，再由AB =可得)22822k b k ++=，经过计算得出k 的即可. 【详解】（Ⅰ）设直线:AB y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 代入24x y =得2440x kx b --=，1242x x k ∴+==， 则直线AB 的斜率12k =； （Ⅱ）由（Ⅰ）得2440x kx b --=，AB 中点坐标为()22,2k k b +，显然0k ≠，则()21:22PQ y x k k b k=--++， 从而()()222,0P k k b ++，()20,22Q k b ++，PQ 中点坐标为()222222,22k k b k b ⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭， 因为PQ 的中点在抛物线C 上， 所以有()22222222442k k b k b ++++=⨯，又2220k b ++≠，故228220k b k++=>而12AB x =-=)222PQ k b =++故)22822k b k ++=，设2m k = 28225m m m m ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，322850m m m +-+=，()()21350m m m -+-=，又0m >，得1m =或m =又820m b m m +=-->，42m -<<，故1m =或m =即1k =±，.【点睛】关键点点睛：本题第二问的解题关键是由PQ 的中点在抛物线C 上，得到22822k b k ++=，再由AB PQ 得出)22822k b k ++=，进而求出k 的值. 22．（Ⅰ）m 1≥.；（Ⅱ）m 1≥. 【分析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，再对参数a 分类讨论，即可得解；（Ⅱ）依题意可得()2211ln 0x m x e x x mx --+-≥首先，令1x =，得m 1≥；再证明当m 1≥时符合要求，令()()2211ln x t m m x e x x mx -=-+-.再对112x xe -≥与112x xe -<分类讨论，利用导数研究函数的单调性与极值即可； 【详解】解：（Ⅰ）由题得()ln xh x e a x =+，()x xa xe a h x e x x='+=+ 又()xx xe ϕ=在()0,∞+上为单调递增函数，()00ϕ=，故当0a ≥时，()h x 无极值.当0a <时，存在00x >，()h x 在()00,x 上单调递增，()0,x +∞上单调递增，存在极小值故0a <.（Ⅱ）由()()()22110m x f x x g x mx --+-≥即()2211ln 0x m x e x x mx --+-≥首先，令1x =，得m 1≥； 下面证明当m 1≥时符合要求：令()()2211ln x t m m x e x x mx -=-+-.（1）若2111122x x x x exe --=≤，即112x xe -≥时， ()()()2111ln x t m t x e x x x -≥=-+-.令()()211ln x k x x e x x x -=-+-.得()()2112ln 2x k x x x e x x ---'=+-.()()()2142221111114242222x x k x x x e x x x x x x x x -=+++-≥++⋅+-=+'+'. 显然当0x >时，()00k '>，从而()k x '递增，又()10k '= 则01x <<时，()0k x '<，()k x 在()0,1上单调递减， 1x >时，()0k x '>，()k x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 10k x k ==得证； （2）若2111122x x x x e xe --=>，即112x xe -<时，()()11141ln 1124x x x e x x t m t xe e ---++⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭.下面，只要证()()141ln 10x n x e x x -=++≤，其中112x xe -<. 由112x xe-<，且1x y xe -=在()0,∞+上单调递增，记01012x x e -=，得()00,x x ∈ 又()()1ln 2111ln 22e ---<，所以01ln 2x >- 又()()()121114111441241x x x x n x ex x x e e x e ----≤+-+=-+<-+.令()1241x p x x e-=-+，则()124x p x e -=-'.所以当()00,x x ∈时，()p x 在()0,1ln 2-上单调递增，()01ln 2,x -上单调递减，()()1ln212ln20p x p ≤-=-<，得证.故所求实数m 的取值范围为m 1≥. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2020-2021宁波市高三数学上期末第一次模拟试题附答案
仅有劳动力 300 个，煤 360t ，并且供电局只能供电 200kW h ，则企业生产 A 、 B 两种产
品各多少吨，才能获得最大利润？
26．已知数列an的前 n
项和为
Sn
，且 Sn
4 3
an
1 3
.
（1）求 an 的通项公式；
（2）若 bn n 1，求数列 anbn 的前 n 项和 Tn .
③ bsin B C a sin B 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 2
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， b c 6， a 2 6 ， . 求 ABC 的面积.
22．设 an 是等差数列，公差为 d ，前 n 项和为 Sn .
（1）设 a1 40 ， a6 38 ，求 Sn 的最大值.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理求出 c ，
【详解】
A 是三角形内角， tan A 1 ，∴ sin A 10 ，
3
10
由正弦定理
a sin
A
c sin C
得c
a sin C sin A
1 sin 150 10
10 2，
10
又 c2 a2 b2 2abcosC ，即 5 1 b2 2b cos150 b2 1 3b ， 2
∴2a＋b＋c≥2 4－2 3 ＝2( 3 －1)＝2 3 －2.
故选：D 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不 等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
10．C
解析：C 【解析】
浙江省宁波市镇海中学2024学年数学高三第一学期期末质量检测模拟试题含解析
浙江省宁波市镇海中学2024学年数学高三第一学期期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 2．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6133．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）AB C D4．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+5．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．2536．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-7．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．988．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．329．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若集合}{}{2,33A x y x B x x ==-=-≤≤，则A B =（ ）A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤ C ．()2,3 D ．{}32x x -≤< 11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题
镇海中学2023学年第一学期期末考试高三数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A =x x 2-5x +6≤0 ，B =x -1≤x <3 ，则A ∩B =A.x -1≤x <3B.x -1≤x ≤3C.x 2≤x <3D.x 2≤x ≤32.函数f x =2x +x 3-9的零点所在区间为A.0,1 B.1,2C.2,3D.3,43.设函数f x =a -1a x -1+b (a >0，a ≠1)，则函数f x 的单调性A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 无关，且与b 有关C.与a 有关，且与b 无关D.与a 无关，且与b 无关4.已知等差数列a n ，则k =2是a 1+a 11=a k +a 10成立的()条件A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要5.已知直线a ，m ，n ，l ，且m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，则下列说法中正确的是A.l ∥αB.l ⊥βC.若α∩β=a ，则a ∥lD.α⊥β6.已知e 1 ，e 2 是单位向量，且它们的夹角是60°．若a =e 1 +2e 2 ，b =λe 1 -e 2 ，且a =b ，则λ=A.2 B.-2C.2或-3D.3或-27.函数f x =5sin xex+x cos x 在-2π,2π 上的图象大致为AB C D8.设实数x ，y 满足x >32，y >3，不等式k 2x -3 y -3 ≤8x 3+y 3-12x 2-3y 2恒成立，则实数k 的最大值为A.12B.24C.23D.43二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省宁波市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
宁波市2020届高三上学期期末考试数学试卷一、选择题1.已知会合，（）.则A. B. C. D.【答案】B【分析】【剖析】解出绝对值不等式获得会合，利用并集定义直接求解．【详解】∵会合，，B．∴，应选【点睛】此题主要考察并集的求法，考察并集定义、不等式性质等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．2.已知平面，直线知足，则“”是“”的（）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充足必需条件D.既不充足也不用要条件【答案】A【分析】【剖析】依据线面平行的定义和性质以及充足条件和必需条件的定义进行判断即可．【详解】∵，，∴当时，成立，即充足性成立，当时，不必定成立，即必需性不可立，则“”是“”的充足不用要条件，应选：A．【点睛】此题主要考察充足条件和必需条件的判断，依据线面平行的定义和性质是解决此题的重点，是基础题．3.已知存在导函数，若既是周期函数又是奇函数，则其导函数（）既是周期函数又是奇函数A.既是周期函数又是偶函数不是周期函数可是奇函数不是周期函数可是偶函数【答案】B【分析】【剖析】利用导数的定义及周期函数的定义能够证明周期函数的导数还是周期函数，利用奇函数的观点及简单的复合函数求导证明奇函数的导数是偶函数．【详解】若是周期函数，设其周期为，．则所以周期函数的导数还是周期函数；若是奇函数，则，所以，即，所以奇函数的导数是偶函数，应选B．【点睛】此题主要考察了导数的基本观点，考察了函数的周期性与函数的奇偶性，是基础的观点题.4.设，则（）.A.-4B.-8C.-12D.-16【答案】C【分析】【剖析】依据，是睁开式中的系数，利用二项睁开式的通项公式，求得结果．的系数，【详解】，是睁开式中C．∴，应选【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项睁开式的通项公式，属于中档题．5.对于的不等式组表示的平面地区内存在点，知足，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】【剖析】作出不等式组对应的平面地区如图，要使平面地区内存在点，知足，则只要点在直线的下方即可．【详解】作出不等式组对应的平面地区如图：若平面地区内存在点，知足，则说明直线与地区有交点，即点位于直线的下方即可，则点在地区，即，得，即实数的取值范围是，应选C．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用数形联合判断出点在直线的下方是解决此题的重点，属于中档题.6.某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】【剖析】依据已知可得几何体是一个四分之一，与三棱柱的合体，分求出它的体，相加可得答案．【解】依据已知可得几何体是一个四分之一，与三棱柱的合体，四分之一的底面半径1，高1，故体：，三棱柱的底面是两直角分1和2的直角三角形，高1，故体：，故合体的体，故D．【点睛】本考的知点是由三求体和表面，依据三判断出几何体的形状是解答的关，属于中档.7.数列足，数列的前2020和（）.A.B.C.D.【答案】A【分析】【剖析】算数列的前几，合数列的乞降方法：裂相消乞降，即可获得所乞降．【解】数列足，，可得，，⋯，A．可得数列的前2020和，故【点睛】本考数列的乞降方法：裂相消乞降，考运算能力，属于中档．8.已知是失散型随机量，以下的是()A.B.C. D.【答案】D【分析】【剖析】利用概率、数学希望、方差的性质直接求解．【详解】在A中，，故A正确；在B中，由数学希望的性质得在C中，由方差的性质得在D中，，故B正确；，故C正确；，故D错误．应选D.【点睛】此题考察命题真假的判断，考察概率、数学希望、方差的性质等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．9.已知椭圆为坐标原点且的离心率的取值范围为，则椭圆长轴长的取值范围是（，直线）交椭圆于点A. B. C. D.【答案】C【分析】【剖析】依据题意，联立直线与椭圆的方程，依据韦达定理和斜率的数目积得率公式可得，化简变形即可得答案．【详解】联立方程得设，，则，由，得，∴，化简得，∴，化简得，∵，∴，，，再依据离心∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即椭圆的长轴长的取值范围为，应选C．【点睛】此题考察椭圆的几何性质，波及直线与椭圆的地点关系，注意充足利用根与系数的关系进行剖析，属于中档题10.在空间直角坐标系中，为坐标原点，知足，则以下结论中不正确的选项是（）A.的最小值为-6B.的最大值为10C.最大值为D.最小值为1【答案】B【分析】【剖析】依据题意可设，依据数目积的定义可得，可判断A，B；通过化简，联合三角函数的有界性可得最大值，可得最小值，综合得选项.【详解】依据题意可设；则；当时，；当时，.另一方面，当时能够取到最大值，进一步变形上式，令，则，当时取等号，即最小值为1，综上可得，选B.【点睛】此题考察命题真假的判断，考察向量的数目积、向量的模、三角函数的性质等基础知识，考察运算求解能力，考察化归与转变思想，利用三角换元以及三角函数的有界性是解题的重点，有必定难度．二、填空题11.设为虚数单位，给定复数，则的虚部为___；模为___【答案】(1).-1 (2).【分析】【剖析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，则的虚部为，模为，故答案为.【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的基本观点，考察了复数模的求法，是基础题．12.已知实数且若，则____；若，则实数的取值范围是___【答案】(1).(2).【分析】【剖析】由实数且，，求出，由此能求出的值；由，当时，；当时，无解，由此能求出的取值范围．【详解】∵实数且，，∴，∴，∴，∵，∴当时，；当时，无解，综上的取值范围是．故答案为，．【点睛】此题考察代数式化简求值，考察实数的取值范围的求法，考察对数性质、运算法例等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．13.将函数的图像的每一个点横坐标缩短为本来的一半，再向左平移个单位长度获得的图像，则_____；若函数在区间上单一递加，则实数的取值范围是___【答案】(1).(2).【分析】【剖析】利用函数的图象变换规律求得的分析式，再利用正弦函数的单一性求得实数的取值范围．【详解】将函数的图象的每一个点横坐标缩短为本来的一半，可得的图象；再向左平移个单位长度获得的图象．若函数在区间上单一递加，则，求得，则实数的取值范围是，故答案为，．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的单一性，属于中档题，平移过程中需注意先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（）个单位，原由是相位变换和周期变换都是针对x而言的．14.在中，为边中点，经过中点的直线交线段于点，若，则_____；该直线将原三角形分红的两部分，即三角形与四边形面积之比的最小值是___【答案】(1).4 (2).【分析】【剖析】由向量共线定理可知，而后依据，可分别用，表示，，依据与共线，联合向量共线定理可求，由，联合及基本不等式可求的最大值，从而可求三角形与四边形面积之比的最小值．【详解】∵ABC中，D为BC边的中点，E为AD的中点，∴，∵，∴，∴，同理∵与共线，∴存在实数，使（），即，∴，解得，，∴；∵，∵，∴，当且仅当时取等号，此时有最小值，则有M，N分别为AB，AC的中点，获得最小值，故答案为4，．【点睛】此题考察了向量三角形法例、平面向量基本定理、三角形法例、方程思想，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．15.设等差数列的前14项和，已知均为正整数，则公差____.【答案】-1【分析】【剖析】由已知可求出公差，从而，由，均为正整数，，得，由此推导出，，从而能求出公差．【详解】等差数列的前14项和，∴，∴，∴，∵，∵均为正整数，，∴，逐个代入，得，，由，解得.故答案为．【点睛】此题主要考察等差数列的公差的求法，考察等差数列的性质等基础知识，考察运算求解能力，属于中档题．阴历戊戌年马上结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张愿望卡，设计了一个与此愿望卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将愿望卡放入，则事件“起码有两张愿望卡放入对应的漂流瓶”的概率为___【答案】【分析】【剖析】基本领件总数，事件“起码有两张愿望卡放入对应的漂流瓶”包括的基本领件个数，由此能求失事件“起码有两张愿望卡放入对应的漂流瓶”的概率．【详解】为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张愿望卡，设计了一个与此愿望卡对应的漂流瓶．现每人随机的选择一个漂流瓶将愿望卡放入，基本领件总数，事件“起码有两张愿望卡放入对应的漂流瓶”包括的基本领件个数，∴事件“起码有两张愿望卡放入对应的漂流瓶”的概率为，故答案为．【点睛】此题考察概率的求法，考察古典概型等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．17.已知不等式对随意正整数均成立，则实数的取值范围___【答案】【分析】【剖析】第一利用变换思想把分式不等式变换为整式不等式，进一步利用赋值法和会合法求出实数的范围．【详解】由，得：，记.则或；或；或；或；当时，或.所求范围为.【点睛】此题考察的知识重点：分式不等式的解法及应用，数列的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转变能力，属于中档题．三、解答题。
浙江省宁波市2020届高三上学期期末考试数学试题(含答案解析)
浙江省宁波市2020届高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习浙江省宁波市2020届高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）1 已知集合，，那么（）A. {1,2,3,4}B. {1,2,3,4,5}C. {2,3}D.{2,3,4}【答案解析】 C【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合.【详解】，因此，，故选C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2 双曲线的渐近线方程是 ( )A. B.C. D.【答案解析】 B由双曲线标准方程可知，，且焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.3 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 C【分析】利用等差数列的定义以及前项和公式，结合充要条件的定义即可得到结论.【详解】由，得，即，所以“”是“”的充分条件，由，，，所以，，所以“”是“”的必要条件，综上，“”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题.4 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】由三视图可得几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，用三棱柱体积减去三棱锥体积即为该几何体的体积.【详解】由已知三视图得到几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，所以几何体的体积为.故选：D.【点睛】本题考查了几何体的三视图，属于基础题.5 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】利用函数为奇函数，且，即可得到结论.【详解】由于是奇函数，故排除A，B；又，则，即函数有唯一零点，再排除选C.故选：D.【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性，利用排除法是解决本题的关键，属于基础题.6 已知随机变量X的分布列是X123P若，则的值是（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】根据分布列的性质得，再由，解得，，进而求得的值.【详解】由，得①.由②，得，联立①②，得，.所以.故选：A.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差，属于基础题.7 已知关于x的二项式( + )n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )A. 1B. ＋1C. 2D. ±2【答案解析】 C由题意知2n＝32，n＝5，Tr＋1＝()5－rar·＝ar，令，得，∴a3＝80，解得a＝2.故选C.8 已知，为椭圆：的左右焦点，在椭圆E上存在点P，满足且到直线的距离等于，则椭圆E的离心率为（）A. B. C. D.【答案解析】 B【分析】过做直线的垂线，交于点，根据题意以及椭圆的定义，利用等腰三角形三线合一，得关于，，的方程，进而可求得离心率的值.【详解】由已知得，根据椭圆的定义可得，又到直线的距离等于，即，由等腰三角形三线合一的性质可得：，可列方程：，故选：B.【点睛】本题考查椭圆的方程及其简单几何性质，考查等腰三角形性质及勾股定理的应用，椭圆的离心率的取值，考查数形结合思想，属于中档题.9 已知函数，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】利用分段函数的单调性讨论的范围即可得到答案.【详解】由，当时，函数在上单调递增，不满足条件；当时，显然不满足条件；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，∵，且恰有两个零点，则或或，解得或.故选：B.【点睛】本题考查了利用函数有零点求参数的范围，分段函数单调性，属于中档题.10 已知平面四边形ABCD中，，，，现将沿对角线翻折得到三棱锥，在此过程中，二面角、的大小分别为，，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】利用定量分析结合最大角原理即可得到结论.【详解】如图，因为，所以点在上的投影点靠近点，由翻折的性质，知点在底面的投影点在所在的直线上，如图设为点，则，，，，由最大角原理知：，，当且仅当与重合时，取到等号；而，，如图易得，，所以，即；又，，由图易得，，所以；综上可得：.故选：B.【点睛】本题考查二面角，线面角，利用平面四边形中，，构造圆面解决问题是关键，属于中档题.11 若复数，（i为虚数单位），则______；若为纯虚数，则a的值为______.【答案解析】；1【分析】利用复数的模，复数的乘除运算化简，在令实部为0，即可得到答案.【详解】；若为纯虚数，则.故答案为：；1.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．12 中国古代数学专著《九章算术》有问题：“五只雀，六只燕，共重一斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，则雀重______两，燕重______两.【答案解析】；【分析】分别设出雀与燕的重量，互换一只后，列出方程，解得即可.【详解】设雀重两，燕重两，由题意得：互换后有，解得：，，故答案为：；.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于基础题.13 已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为______，若目标函数的最小值为-1，则实数m等于______.【答案解析】；【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.【详解】作出可行域如图，则要为三角形需满足在直线下方，即，；目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点时，此时，直线：，与：的交点为，该点也在直线：上，故，故答案为：；.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.14 在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，则C=______；又，，则______.【答案解析】；【分析】利用正弦定理或余弦定理将边化为角或角化为边，在结合三角形的面积公式，整理化简即可得到结论.【详解】解析1：（边化角）∵，∴，∴，∵，∴；∵，∴，又∵（可消元求出边、）∴，∴.解析2：（任意三角形射影定理）∵下同.故答案为：，.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.15 已知，均为正实数，则的最小值为______.【答案解析】【分析】利用基本不等式即可得到结论.【详解】，当且仅当，时取等号.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，构造基本不等式是解题的关键，属于基础题.16 从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为，，，，，则使为奇数的不同排列方法有______种.【答案解析】 180【分析】分类讨论，先选后排，最后相加即可.【详解】若为奇数为偶数时，有种；若为偶数为奇数时，有种；共180种.故答案为：180.【点睛】本题考查计数原理，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类，属于基础题．17 已知，，若存在实数及单位向量，使得不等式成立，则实数的最大值为______.【答案解析】【分析】利用三点共线，将不等式转化为求最值的距离问题，或利用绝对值不等式，解得即可.【详解】解析：原题等价于解析1：几何法（三点共线+将军饮马）如图，（为单位圆上的，，，，为上一点，为中点），由将军饮马模型，作关于对称点，则，所以，.解析2：代数法（建系坐标运算+将军饮马）设，，，，则，由将军饮马可得，所以.解析3：绝对值不等式+将军饮马因为，所以，由解析2可得.解析4：绝对值不等式，+对称转化因为，，则，则，因为，，则，则，则，所以.故答案为：.【点睛】本题考查不等式成立问题，构造不等式解不等式是关键，“将军饮马”模型的使用，对称问题，两点之间，线段最短，点到直线的距离，垂线段最短，属于难题.18 已知函数图象上相邻两个最高点的距离为.（1）若的图象过，且部分图象如图所示，求函数的解析式；（2）若函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最大值与最小值.【答案解析】（1）（2），. 【分析】（1）由题意得，再由，进而可得解析式；（2）由是偶函数，得，从而，经过平移得，再表示出，利用余弦型函数即可得最值.【详解】解析：由题意得，，所以，.（1）由于，则，又，则或（舍去），故.（2）由于是偶函数，则，又，所以，，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，故.因为，，所以，.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，图象的平移问题，余弦型函数求最值，属于基础题.19 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，平面，且，设E，F分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案解析】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用线面平行的性质定理即可得到结论；（2）方法一：利用几何法求线面角，一作，二证，三求解；方法二：利用空间直角坐标系，线面角的向量关系即可得到结论.【详解】（1）解析：因为底面为平行四边形，是中点，所以是中点，所以，平面，平面，所以平面. （2）解析1：（几何法）因为平面，平面平面，所以直线与平面的交点即为与的交点，设为，，所以为等边三角形，取中点，则，因为平面，所以平面平面，平面平面，，所以平面，所以是直线与平面所成角，因为，分别为，的中点，所以是的重心，在中，，所以，在平行四边形中，，在中，，在中，，所以，所以，又因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为. 解析2：（向量法）取中点，则，因为平面，所以平面，因为，所以为等边三角形，所以，此时，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，，，在中，，所以，由，得，所以，平面的法向量为，所以，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行，线面角，应用几何法求线面角，向量法求线面角，属于基础题.20 已知等差数列{an}满足，，为等比数列{bn}的前n项和，.（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2）设，证明：.【答案解析】（1），（2）证明见解析【分析】（1）由基本量思想的等差数列的通项公式，由与的关系即可得到结论；（2）利用放缩法和数列求和即可得到不等式.【详解】（1）由题意得，解得：，∴，即数列的通项公式为，由，得，两式相减整理得：，∴，，∴，即数列的通项公式为（2）解析1：（应用放缩和错位相减求和证明不等式）解：，，，两式相减整理得，又因为，∴.所以，∴.（2）解析2：（应用放缩和裂项求和证明不等式）令，化简整理得：，∴，，，所以，∴.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查数列求和，考查放缩法，属于中档题.21 已知抛物线E：过点，F为其焦点，过F且不垂直于轴的直线交抛物线E于A、B两点，动点P满足的垂心为原点O.（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.【答案解析】（1）（2）证明见解析,的最小值为【分析】（1）直接将代入抛物线方程即可得到答案；（2）设直线方程为，联立方程，表示出，运用基本不等式即可得到结论. 【详解】（1）由题意，将点代入，即，解得，所以，抛物线的方程为.（2）解析1：（巧设直线）证明：设：，，，联立，可得，则有，可设：，即，同理：，解得，即动点在定直线：上.，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线的距离.（2）解析2：（利用向量以及同构式）证明：设：，，，联立，可得，则有.，，又为的垂心，从而，代入化简得：，同理：，从而可知，，是方程的两根，所以，所以动点在定直线：上.，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线的距离.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题.22 已知函数，其中.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）使不等式对任意，恒成立时最大的记为，求当时，的取值范围.【答案解析】（1）在上单调递增，在单调递减（2）（3）【分析】（1）求出函数的导函数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）分离变量得不等式，由恒成立把，放缩程一个新不等式，再构造一个新函数，讨论出的范围，即可得到结论.【详解】（1）因的定义域为，，当时，，∴在上单调递减；当时，在上单调递减，，∴在上单调递增，在单调递减；（2）. ∵，，∴，令，由（1）在上递增；（1）当，即时，，∴在上递增；∴.（2）当，即时，，∴在上递减；∴.（3）当时，在上递增；存在唯一实数，使得，则当时.当时. ∴.∴.此时.令在上递增，，∴.综上所述，.【点睛】本题考查函数的单调区间，考查不等式的恒成立转化为求函数的最值问题，运用不等式放缩、分类讨论思想是解题的关键，属于难题.。
2021-2022年高三上学期期末考试数学(文)试题 含答案(III)
2021-2022年高三上学期期末考试数学（文）试题 含答案(III)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分 注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
一、选择题1．已知（1+i ）•z=﹣i ，那么复数对应的点位于复平面内的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、A a x a x xA ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为（ ）A B [-1,1] C D (-1,1]3、抛物线的准线方程是 ( )A B C D4、若,使得-成立是假命题，则实数的取值范围是( )A B C D {3}5．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．16．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an ，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．268．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A． B． C． D．9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A B C D10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]11 ．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）第Ⅱ卷二、填空题.（20分）13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___14．已知直线L 经过点P （﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L 的方程是 ．15．若直线ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x ＜2）的对称中心，则+的最小值为 ．16．定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间[a ，b]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足，则称函数y=f （x ）是[a ，b]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y=x 2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f （x ）=x 3+mx 是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b •c 的最大值及θ的取值范围； （Ⅱ）求函数的最值．18．（12分）如图，在Rt △AOB 中，，斜边AB=4，D 是AB 中点，现将Rt △AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值；19.（12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；20．（12分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；的取值范围；（2）求点M的纵坐标yM（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．四、选做题（10分）请考生从给出的2道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
2020-2021学年浙江省宁波市浒山中学高三数学文上学期期末试题含解析
2020-2021学年浙江省宁波市浒山中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为( )A．πB．C．D．π参考答案：C考点：截面及其作法．专题：空间位置关系与距离．分析：根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积解答：解：根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．故选：C点评：本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. 3π C. D.6π参考答案：B根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以．故应选B．3. 已知f(x)是定义域为(－∞,+∞)的奇函数，满足, 若，则( )A. －2018B. 2C. 0D.50参考答案：B4. 设ΔABC的三边长分别为，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝（）A．B．C． D．参考答案：B5. 动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】根据向量的数量积公式将条件进行化简，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：：∵λ||==，∴λ=||cos＜＞，作出不等式组对应的平面区域如图，则OQ，OA的夹角最小，由，解得，即A（3，1），则=（3，1），又，则cos＜＞===，∴λ的最大值是||cos＜＞=．故选：D．6. 若实数x、 y满足不等式组则z=| x |+2 y的最大值是（）A．1 0 B．1 1 C．1 3 D．1 4参考答案：7. 已知是圆：上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（）A.-1B.0 C. D.参考答案：c略8. 若规定E=的子集为E的第k个子集，其中，则是E的第个子集；E的第211个子集是.参考答案：5，9. （2009广东卷理）设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，A. 8B. 6C. 4D. 2参考答案：C解析：，则最小正整数为4，选C.10. 已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，m＜﹣2，若?x1∈[m，﹣2），?x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2D．﹣3参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数先求出函数g（x）的最小值，再根据函数f（x）的图象和性质，即可求出m的最小值【解答】解：∵g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，∴g′（x）=6x2+6x﹣12=6（x+2）（x﹣1），则当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，∴g（x）min=g（1）=2，∵f（x）=﹣x2﹣6x﹣3=﹣（x+3）2+6≤6，作函数y=f（x）的图象，如图所示，当f（x）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1，则m的最小值为﹣5，故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数x，y满足，则x＋2y的值域为＿＿＿＿参考答案：可行域如图.设则.易知点为最优解.∴.12. 已知x，y满足条件(k为常数)，若z＝x＋3y的最大值为8，则k＝_____________.参考答案：-6略13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程.零件数x（个）1020304050．参考答案：68略14. 设函数，若f(x)为奇函数，则过点(0,－16)且与曲线相切的直线方程为________.参考答案：【分析】根据函数是奇函数，构造求出值.再另设切点，求出切线方程，将代入切线方程，即可求出切点横坐标，切线方程可求.【详解】∵函数为奇函数，∴，∴.解得，∴，∴.设切点为，则.设切线方程为.∵，∴.∵该直线过点，∴，解得，∴，，∴所求直线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用以及导数的几何意义，属于中档题.15. 已知是函数图象上的任意一点，是该图象的两个端点，点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有“性质”.现有函数：①; ②；③；④.则在区间上具有“性质”的函数为 .参考答案：①②③④16. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．17. 已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为y=x 点P（）在该双曲线上，则=___________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。