第一讲 速算与巧算综合(教师版)
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第一讲速算与巧算(综合)
计算是数学的基础,小学生要学好数学,必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧,也是一种思维训练,既能提高计算效率、节省计算时间,更可以锻炼记忆力,提高分析、判断能力,促进思维和智力的发展。
一、凑整:
在整数加法减运算中,通常利用运算律把几个能够凑成整十、整百、整千…的数先相加减,再与题中剩下的数相加减。
例1:简便计算:
(1)9998+3+99+998+3+9 (2)1234+5678+8766+4322
(3)1759-998-103 (4)857-289+189
解:(2)9998+3+99+998+3+9 =9998+2+1+99+998+2+1+9
=(9998+2)+(1+99)+(998+2)+(1+9) =10000+100+1000+10=11110 (2)1234+5678+8766+4322
=(1234+8766)+(55678+4322) =10000+10000=20000
(3)1759-998-103 =1759-1000+2-100-3
=1759-1000-100+2-3 =659+2-3=658
(4)857-289+189 =857-(289-189)=857-100=757
二、乘除法中的巧算
.两数的乘积是整十、整百、整千的,要先乘.为此,要牢记下面这三个特殊的等式:5×2=10,25×4=100,125×8=1000
例2计算(1)123×4×25 (2)56×125
解:(1)123×4×25=123×(4×25)=123×100=12300
(2)56×125=7×8×125=7×(8×125)=7×1000=7000
例3(1)67×12+67×35+67×52+67 (2)123×99
解:(1)67×12+67×35+67×52+6=67×(12+35+52+1)=67×100=6700 (2)123×99=123×(100-1)=12300-123=12177
例4计算(1)44000÷125 ((2)864×27÷54 (3)5600÷(28÷6)
解:(1)44000÷125=(44000×8)÷(125×8)=352000÷1000=352
(2)864×27÷54=864÷54×27=864÷(54÷27 )=864÷2=432
(3)5600÷(28÷6)=5600÷28×6=200×6=1200
三、特殊的两位数相乘
1.一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”。
如22×11=242, 45×11=495, 78×11=858,
2.求一位数的平方,在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知,如7×7=49(七七四十九)。对于两位数的平方,大多数同学只是背熟了10~20的平方,而21~99的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门,能够迅速算出两位数的平方呢?这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。所谓凑整补零法,就是用所求数与最接近的整十数的差,通过移多补少,将所求数转化成一个整十数乘以另一数,再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。
例5 求292和822的值。
解:292=29×29
=(29+1)×(29-1)+12=30×28+1=840+1=841。
822=82×82
=(82-2)×(82+2)+22=80×84+4=6720+4=6724。
由上例看出,因为29比30少1,所以给29“补”1,这叫“补少”;因为82比80多2,所以从82中“移走”2,这叫“移多”。因为是两个相同数相乘,所以对其中一个数“移多补少”后,还需要在另一个数上“找齐”。本例中,给一个29补1,就要给另一个29减1;给一个82减了2,就要给另一个82加上2。最后,还要加上“移多补少”的数的平方。
3.下面,我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。
请看下面的算式:66×46,73×88,19×44。
这几道算式具有一个共同特点,两个因数都是两位数,一个因数的十位数与个位数相同,另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法。
例6 88×64=?
分析与解:由乘法分配律和结合律,得到
88×64
=(80+8)×(60+4)
=(80+8)×60+(80+8)×4
=80×60+8×60+80×4+8×4
=80×60+80×6+80×4+8×4
=80×(60+6+4)+8×4
=80×(60+10)+8×4
=8×(6+1)×100+8×4。
于是,我们得到下面的速算式:
由上式看出,积的末两位数是两个因数的个位数之积,本例为8×4;积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积,本例为8×(6+1)。
4.下面继续讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。
两个数之和等于10,则称这两个数互补。在整数乘法运算中,常会遇到像72×78,26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补,或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补,这类式子我们称为“头相同、尾互补”型;26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同,这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目,有非常简捷的速算方法,分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例7 (1)76×74=?(2)31×39=?
分析与解:本例两题都是“头相同、尾互补”类型。
(1)由乘法分配律和结合律,得到
76×74=(7+6)×(70+4)
=(70+6)×70+(7+6)×4=70×70+6×70+70×4+6×4
=70×(70+6+4)+6×4
=70×(70+10)+6×4
=7×(7+1)×100+6×4。
于是,我们得到下面的速算式:
(2)与(1)类似可得到下面的速算式: