边缘概率分布
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概率论-第三章-3.2 边缘分布
缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究.
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
概率论与数理统计32边缘分布解析
y)
lim [
y
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y )]
2
1
2
(arctan
x
)
2
1
arctan
x
1, 2
- x
FY
(
y)
1
arctan
y
1 2
,
- y
设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,).
则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义：
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x,
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
布。
解： （I）有放回摸球
X1
X2 0 1
0
33 55
32 55
1
23 22
5 55 5
PX2 ( y)
3 5
2 5
PX1 ( x)
概率论-2-6边缘分布
PY
yj
PX
xi ,Y
yj
pij,
j 1,2,
i 1
i 1
即 离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律 定义1 设(X,Y) 的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,
则(X,Y)关于X的边缘分布律为
P{ Xxຫໍສະໝຸດ }P{X xi ,
y }
pij pi i 1, 2,3,
§2.6 边缘分布
二维联合分布全面地反映了二维随机变量
(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律
设(X,Y) 的分布律 及边缘分布律 为
XY x1 x2 … xi …
3 0
2 x
24 13
xdy,
1x3
2
2
0,
其他
即
24 13
x,
0 x1 2
fX (x)
24 13
x(3 2
x),
1x3
2
2
0,
其他
解
fY ( y) f ( x, y)dx
03
2
y
24 13
xdx
12 (3 13 2
y)2,
0 y1
0,
其他
正确答案：D
正确答案：C
注意 由（X,Y）的联合分布律就能确定（X,Y） 关于X，关于Y的边缘分布律；同样，由（X,Y）的 联合概率密度就能确定（X,Y）关于X，关于Y的边 缘密度。由此可见，边缘分布由联合分布唯一确定， 反之不成立。即一般来说，单由X，Y各自的分布 是不能确定（X,Y）的联合分布的.
边缘概率分布
例3. 设(X,Y) 均匀分布在由直线
x
y 2
1，x
轴
和y 轴所围成的区域 D上.
求: (X,Y) 的联合概率密度与边缘概率密度.
解:
(1). 因为( X ,Y ) 服从均匀分布 所以其概率密度为：f ( x, y)
1 A
(x, y) D
0 其 它
11
由题意可知 D 域图为: y
2
D
A 1 12 1
2
1 8
3
1 12
4
1 16
p 25 . j 48
234
0
0
0
1 8 1 12 1 16
13 48
0
0
1 12 1 16
7 48
0
1 16
3 48
pi .
1 4 1 4 1 4 1 4
10
(2) ( X ,Y ) 边缘分布律
X 1234
1111 Pk 4 4 4 4
Y 1234
25 13 7 3 Pk 48 48 48 48
[ f ( x, y)dy] dx
边缘概率密度:
fX (x)
f ( x, y) dy
边缘分布函数：
y
FY ( y) F (, y)
[ f ( x, y)dx] dy
边缘概率密度: fY ( y) f ( x, y) dx
4
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X 为三次抛掷中 正面出现的次数，Y为正面出现次数与反面出现 次数之差的绝对值
)2
2
t 2
令：t
1
e 2 dt 2
( y 2 x 1 ) 则有：
1 2 2
概率论第三章-边缘分布
则 ( X , Y ) 关于 X 的边缘分布律为
P{ X xi } P{ X xi , (Y y j )}
P{ X xi , Y y j }
j 1
j 1
,i 1 , 2 ,
记做 pi
同理 P{Y y j }
p
i 1
ij
, j 1 , 2 , 记做 p j
o
1
x
注：联合分布 书69页：例5，6
维正态分布； ② 边缘分布与ρ无关，说明了由边缘分布不能确 定联合分布。
0 1/4 0 1/4 1/2
1 0 1/2 0 1/2
1/4
三、连续型随机变量的边缘概率密度
若 是二维连续型随机变量, 其概率密度为
f ( x , y ) , 则:
FX ( x) F ( x , ) f X (x)
同理
x
f (u , v) dv du
0 1/2
1 1/2
pi · 1/4
且P{XY=0}=1，求(X,Y)的分布律 解、 P{XY≠0}=0= P{X≠0, Y≠0} Y X =P{X=-1, Y=1}+ P{X=1, Y=1} 从而P{X=-1, Y=1}=P{X=1, Y=1}=0 -1 0 1 pi · p· j 1/4 1/2
y
解:
的概率密度为
0 1
y=x x
当0 x 1 当 x other
f X (x) f ( x , y )dy 0 2 dy 2 x
f X ( x) 0
x
f X ( x)
例2. 上服从均匀分布, 密度 和 的概率密度为
P{ X xi } P{ X xi , (Y y j )}
P{ X xi , Y y j }
j 1
j 1
,i 1 , 2 ,
记做 pi
同理 P{Y y j }
p
i 1
ij
, j 1 , 2 , 记做 p j
o
1
x
注：联合分布 书69页：例5，6
维正态分布； ② 边缘分布与ρ无关，说明了由边缘分布不能确 定联合分布。
0 1/4 0 1/4 1/2
1 0 1/2 0 1/2
1/4
三、连续型随机变量的边缘概率密度
若 是二维连续型随机变量, 其概率密度为
f ( x , y ) , 则:
FX ( x) F ( x , ) f X (x)
同理
x
f (u , v) dv du
0 1/2
1 1/2
pi · 1/4
且P{XY=0}=1，求(X,Y)的分布律 解、 P{XY≠0}=0= P{X≠0, Y≠0} Y X =P{X=-1, Y=1}+ P{X=1, Y=1} 从而P{X=-1, Y=1}=P{X=1, Y=1}=0 -1 0 1 pi · p· j 1/4 1/2
y
解:
的概率密度为
0 1
y=x x
当0 x 1 当 x other
f X (x) f ( x , y )dy 0 2 dy 2 x
f X ( x) 0
x
f X ( x)
例2. 上服从均匀分布, 密度 和 的概率密度为
《概率论》第3章§2边缘分布解析
(关X ,于Y ) 的 第三Y章 多边维缘随密机变度量(及函其数分)布
例 设随机变量 X 和Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其他.
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
解
fX (x)
f (x, y)d y
y
(1,1)
当 0 x 1时,
y x
p11 p21 pi1
p12 p22 pi 2
p1 j
p2 j pij
P{ X xi } pij , i 1,2,; P{Y y j } pij , j 1,2,.
j 1
i 1
2020年11月24日星期二
§2 边缘分布
6/29
设 从r.v X 四1个, 2数,3,中4 等可能取值,又设
2020年11月24日星期二
例 设( X ,Y ) 的联合密度为
f
(x,
y)
kxy,
0,
0 x y,0 y 1, 其他
其中k 为常数. 求
(1)常数 k ;
(2) P ( X + Y 1) , P ( X < 0.5); (3) 联合分布函数 F (x,y); (4) 边缘密度与边缘分布函数
1
0.5
y
dy 1 y
8xydx
5
/
6.
y
1
y=x
yy 11
0.5 00
y y==x x xx
0
0.5
2020年11月24日星期二
P( X 0.5)
x
0.5
1
0 dxx8xydy 7 /16.
的分段区域 y
x0
概率统计3.2 边缘分布
1 1 arctan x , x .
2
2
FY ( y) F (, y)
1 1 arctan y , y .
2
2
(3) P(X 2) 1 P(X 2) 1 FX (2)
1
1 2
1
arctan
2 2
1/ 4.
二维离散型随机变量的边缘分布
记作
P(X xi ) pij pi•, i 1,2,
x
FX (x) f (u,v)dvdu
y
FY ( y) f (u,v)dudv
fX (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx
已知联合密度可以求得边缘密度
例 设随机变量X， Y 服从区域D 上的均匀分布．
其中D {(x, y) | x 0, y 0, x y 1}， 2
j1
记作
P(Y y j ) pij p•j , j 1,2,
i1
由联合分布律可确定边缘分布律
联合分布律 及边缘分布律
Y X x1 xi p• j
y1
p11 pi1
p•1
yj
p1 j pij
p•
j
pi•
p1•
pi
1
•
例(P55.1) 设随机变量 X 在 1,2,3三个数中等可能地取 值，另一个随机变量 Y 在1~X 中等可能地取一整数 值，试求 X, Y 的边缘分布律。
二维随机变量的边缘分布函数
由联合分布函数 边缘分布函数, 逆不真.
FX (x) PX x
y
PX x,Y
F(x,)
xx
FY (y) PY y
y y
PX ,Y y
概率论与数理统计--- 边缘分布
即 X 服从参数λ=0.5 的指数分布.
7
二、二维离散型随机变量的边缘分布 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律 的分布律 二维离散型随机变量 为: P{X=xi,Y=yj}=pij (i, j=1,2,…) ∞ 则: P{X=xi}=P{X=xi,Y<+∞}
= ∑ P{ X = xi , Y = y j }
x2 a2
x2 + y2 ≤ 1 上的均匀分布, 设(X,Y)服从椭圆域 a 2 ) 上的均匀分布,求 b2
∫−∞
同理可得 2 y2 y ≤ b; − π fY ( y) = b 1 b2 ,
0, y >b.
a
x2 a2
0,
| x| >a，
X 与Y 不服从 均匀分布
a− x
x x 关于X 的边缘概率密度为 则(X,Y = ∫−∞ [∫+(t)dtu y)dy]du 为 )关于 X ∞ f边缘概率密度 F (x) = −∞ f −∞ ( , X
fX (x) = ∫
∞ + f (x, y)dy −∞
(X,Y) 关于 的边缘分布函数为 关于Y
F ( y) = ∫ Y
+ ∞ [ f (x,v)dx]dv −∞ −∞ y
e = 2π
∫
+∞
−∞
1 e 2 1− ρ
( y − ρ x )2 − 2 ( 1− ρ 2 )
dy
y−ρ x = t ,得: 得 令 2 x2 − 1− ρ e 2 f X ( x) = 2π
∫
+∞
−∞
e
t2 − 2
dt
e =
x2 − 2
概率论第三章ch3_2
例题：已知二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为
求关于X，Y 的边缘概率密度 fX(x), fY ( y ) .
解：
对称区间上的 奇函数！
仅由概率密度 函数无法确定 联合概率密度 函数！但是如 果还有它们之 间联系的条件 则可能！
例题：已知二维随机变量( X , Y )的边缘分布律为
并且P{XY=0}=1，求关于X，Y 的联合分布律。 解：
所以 X服从正态分布即
同理可得Y的分布密度：
二元正态分布的边缘分布是一元正态分布并且与 参数ρ无关。
例题：已知二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为
求关于Y 的边缘概率密度 fY ( y ) . 解：
当0<y<1与y>1 时被积函数非0 区域不同!
二维随机变量( X , Y )的联合概率密度图
解：X=1,2，3,4，而 Y=1，。。。，X
故所求的边缘分布律与联合分布律为：
边缘密度函数的求法
若已知连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y), 则也可求出它的边缘概率密度函数。事实上：
例4：设区域D是由曲线y=x2与直线y=x围成，并且随机向量 (X，Y)服从D上的均匀分布，求联合概率密度与边缘概率 密度函数。
二维随机变量( X , Y )的联合概率密度图
function bbb
[x,y]=meshgrid(0:0.1:4);
z=f(x,y); mesh(x,y,z);
function z=f(x,y) z=zeros(size(x));
l=(x>=1&y>1./x&y<=x);
z(l)=1./(2*x(l).^2.*y(l));
《概率论》第3章§2边缘分布-精选文档
(如图)
f ( x ) f( xyd , )y X
y x
2
y
1
y x
x 6dy ,0 x 1 x 2 其它 0, 6x(1 x),0 x 1 其它 0,
y
f ( y ) f( xyd , )x Y
x
1
1
12
2
Y) 则称 ( X , 服从参数为 记为
2 2 ( , , )的二维正态分布 1 2 1, 2,
2 2 ( X , Y ) ~( N , , , , 0 , 0 , | |1 1 2 1 2
X 故 r.v 的密度函数为
同理 Y 的分布函数为
Y 的密度函数为
f ( x ) fx ( ,) y d y( x ) X
F () y f (, x v ) d x v d Y
y
f ( y ) fx ( ,) y d x( y ) Y
§2
边缘分布
5/9
Y) 设 ( X , 的分布函数和密度函数分别为
X 则 r.v 的分布函数为
F (x ,y ) , f (x ,y )
f( uyd , )y u d
x
F ( x ) P { X x } P { X x , Y } X
x) 称 f X (为 y) 称 f Y (为
( 关于 X ,Y ) 的 ( 关于 X ,Y ) 的
边缘密度(函数) X 边缘密度 ( 函数 ) Y 第三章 多维随机变量及其分布
§2
边缘分布
概率论边缘分布
维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. 边缘分布实际上是高维随机变量的某个 (某些)低维分量的分布。
例1.已知(X,Y)的分布函数为
1 e x xe y F ( x, y ) 1 e y ye y 0
求FX(x)与FY(y)。
1 e x 解：FX(x)=F(x,)= 0 1 e y ye y FY(y)=F(,y)= 0 x0 x0 y0 y0
概率与统计
边缘分布与独立性
2.5.边缘分布与独立性
一、边缘分布函数 FX(x)＝F (x, +)＝ ylim F( x , y ) ＝P{Xx} 称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数； FY(y)＝F (+, y)＝
x
lim F( x , y ) ＝P{Yy} 称为二
为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。
易知N(1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N(1,
12)的密度函数，而fY(y)是N(2, 22)的密度函数，故
二维正态分布的边缘分布也是正态分布。
例3.设(X,Y)的概率密度为
c x 2 y x f ( x, y ) others 0
＝pk , …
(X,Y)
pij Z=g(X,Y)
(x1,y1)
p11
(x1,y2)
p12
…
(xi,yj)
pij g(xi,yj)
g(x1,y1) g(x1,y2)
EX 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分 布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
《概率论》第3章§2边缘分布
F (x,y) =
2x2–x4 , 0 x <1, y 1 y4 , x 1, 0 y < 1 1, x 1, y 1
2013年8月5日星期一
(4)
0, 2x2–x4 , 1, 0,
x < 0， 0 x < 1, x1 y<0
FX ( x) F ( x,) =
FY ( y ) F (, y ) =
y4 ,
1,
0 y < 1,
y1
2013年8月5日星期一
4 x 4 x , 0 x 1 f X ( x) 其他 0,
3
4 y , 0 y 1 fY ( y ) 其他 0,
3
2013年8月5日星期一
当然也可直接由联合密度求边缘密度，例 如
6/29
§2
故 X , Y的联合分布律为
Y X
P{X i, Y j} P{Y j | X i} P{X i} 1 1 (1 j i) i 4
1 1/ 4 0 0 0
1 4
1 2 3 4
pi
2 1/ 8 1/ 8 0 0
1 4
3 1/12 1/12 1/12 0
y
故 r.v X的密度函数为 同理 Y的分布函数为
Y的密度函数为
( x )
FY ( y ) f ( x, v)dxdv
fY ( y ) f ( x, y )dx
( y )
称 f X ( x)为 ( X , Y )关于 X的边缘密度(函数) 称 f Y ( y) 为 ( X , Y )关于 Y 的边缘密度(函数) 第三章 多维随机变量及其分布
概率论-边缘分布、条件分布
解: (1) 所求概率分布律为 P{ i | 2} i 0,1,2,3 于是 P{ 0 | 2} P{ 0, 2} 10 100 1
P{ 2} 210 210 10 同理 P{ 1 | 2} 60 100 3
210 210 5
(1) 已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.
(2) 已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.
0 1 2 3 p j
0
1
2
3
0
0 10/210 20/210
0 15/210 60/210 30/210
3/210 30/210 30/210 0
2/210 5/210 0
0
5/210 50/210 100/210 50/210
4
pi
则随机变量 的边缘概率分布律为
P{ xi } pij pi i 1,2,, n, j1
同理随机变量 的边缘概率分布律为
P{ y j } pij p j j 1,2,, m,
i
3、边缘分布函数
若二随机变量( , )的联合分布函数为F ( x, y) ，则称 随机变量 或 的分布函数 F ( x) 或F ( y) 为F ( x, y) 的 边缘分布函数。
类似地，当 pi 0时，在 xi 条件下 的条件分布律为
P(
yj
|
xi )
P( xi , y j ) P( xi )
pij pi
j 1,2,
续例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现
从这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 及二等品件 数 的联合分布列. 求随机变量 (或 )的分布列.
0
边缘概率分布
边缘概率分布
边缘概率分布是指在一组数据中，研究不同变量的不同取值之间概率
的变化状况。
它是通过计算每个变量可能取值的频率来表示的，因此也被
认为是非相关变量的关联分布。
边缘概率分布可以帮助我们了解一个变量
的取值以及它的变化趋势，此外，它还可以用于研究不同变量之间的关系，进而帮助我们分析数据的分布情况。
例如，如果两个变量有着相同的边缘
概率分布，则说明这两个变量之间有较强的关联性，反之亦然。
因此，边
缘概率分布是研究数据分布、了解对象之间关系以及进行数据建模等应用
中一种有用的工具。
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11
由题意可知 D 域图为: y D 2 x
1 A 1 2 1 2
0
1 ( x , y ) D 其联合密度 f ( x , y ) 其它 0
1
(2). 因为边缘概率密度为:
f X ( x)
f ( x, y )dy
12
x 0 或 x 1 时 f ( x, y ) 0 f X ( x ) 0
i 1
j 1, 2
注:
pi . 表示是由 pi j关于 j 求和得到的； p. j 表示是 由 pi j 关于 i 求和得到的.
三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量 已知连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度 f ( x , y ) 及联合分布函数 F ( x , y )
3
边缘分布函数: 则X的
边缘概率密度:
fY ( y )
f ( x, y ) dx
4
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X 为三次抛掷中 正面出现的次数，Y为正面出现次数与反面出现 次数之差的绝对值
求：(X,Y)的联合概率分布及边缘概率分布 解： （ X, Y）可取值：(0,3), (1,1), (2,1), (3,3)
P(Y=1)= P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1） =3/8+3/8=6/8, P(Y=3)= P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3）=1/8+1/8=2/8.
6
如下表所示
注意： 1. 习惯上常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词. 2. 由联合分布律可以确定边缘分布律，但由边缘分 布律一般不能确定联合分布律.
( 1 )3 1 P(X=0, Y=3） 2 8 P(X=1, Y=1） 3( 1 )3 3 2
列表如下
8
P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=3, Y=3)=1/8
5
问：二维联合分布律全面地反映了二维随机变量(X,Y) 的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有 注意这两个分布正好是 自己的概率分布. 那么此例中二者之间的关系怎么 表中的行和与列和. 体现呢？ 从表中不难求得: P(X=0)=1/8, P(X=2)=3/8, P(X=1)=3/8 P(X=3)=1/8,
0 x1 时
f X ( x ) 1 dy
则得: 同理可得:
2(1 x )
0
dy 2(1 x )
2(1 x ) 0 x 1 f X ( x) 其它 0
1 1 y 0 y 2 fY ( y ) 2 其它 0
7
例2. 设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地
取值；另一随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数 求: 二维随机变量 (X,Y) 的边缘分布律 pi . 与 p. j
解: 由边缘分布律的定义，可知先得求出 (X,Y) 的联合分布律
(1) X的取值 1, 2, 3,4 Y 的取值也是 1, 2, 3,4
j 1
边缘分布律 pi . P ( X xi ) pi j i 1, 2
xi x j 1
p
ij
2
则Y
边缘分布函数 FY ( y ) F ( , y )
y j y i 1
p
ij
边缘分布律
p. j P (Y y j ) pi j
9
( X , Y ) 的联合分布律为：
X Y
1
1 4 1 8 1 12 1 16
2
0 1 8 1 12 1 16
3
0 0 1 12 1 16
4
0 0 0 1 16
pi .
1 4 1 4 1 4 1 4
1 2 3 4 p. j
25 48
13 48
7 48
3 48
10
(2) ( X , Y ) 边缘分布律
]
于是:
f X ( x)
令： t
1 2 1 2 1 2
1 1 2 (
e
( x 1 )2 2 12
e
1 2(1 )
2
(
y 2
2
x 1
1
)2
dy
y 2
2
x 1
1
) 则有：
e
t2 2
dt 2
f X ( x)
1 2 1
( x 1 )2 2 1
2
e
e
t2 2
dt
( y 2 )2 2 22
1 2 1
e
( x 1 )2 2 12
同理有： fY ( y )
1 2 2
e
x
y
15
结论
二维正态分布的两个边缘分布均是一维正态 分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对于给 定的 1 , 2 , 1 , 2 ，不同的 对应不同的 二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一 样的。
x=1时，y只有 一个值，故对y 来说是必然事 件， 其概率为1
1 1 P11 P ( X 1, Y 1) 1 4 4
8
1 P12 P ( X 1, Y 2) 0 0 4
P13 P( X 1,Y 3) 0
P14 P( X 1, Y 4) 0
1 1 1 P21 P ( X 2, Y 1) 4 2 8
x=1时, y 的值取不到2, 故对y 来说是不可能事件, 其概率为0
1 1 1 P22 , P23 0, P24 0 4 2 8 1 1 1 1 P31 , P32 P33 , P34 0 4 3 12 12 1 1 1 1 P41 , P42 P43 P44 4 4 16 16
边缘概率分布
1
一. 边缘分布的定义
设 F ( x , y ) 为 X,Y 的联合分布函数，
则 FX ( x) F ( x, ) ,
FY ( y) F (, y)
分别称为二维随机变量 (X,Y)关于 X 和关于 Y 的 边缘分布函数.
二. 当 (X,Y) 为离散型随机变量 已知 P( X xi ,Y y j ) pi j 为 ( X , Y )的联合分布律 则X 边缘分布函数 FX ( x ) F ( x, )
y ,
求: 二维正态随机变量(X, Y)的边缘概率密度 解: 由于:
[ ( y 2 )2
14
1 2 2 ( y 2 ) ( x 1 ) 2 ( x ) 1 2 [ ] [ ] 2 2 1 2 1 2
2
2
( x 1 )( x 2 )
13
例4. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为：
f ( x, y) 1 2 1 2 1 2 e
1 2(1 )
2
[
( x 1 )2
12
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 ] 2
1 2
2
x ,
从而可得出：由 X 和 Y 的边缘分布一般是不 能 确定 X 和 Y 的联合分布的.
16
FX ( x ) F ( x, ) [
x
f ( x, y )dy] dx
边缘概率密度: 边缘分布函数： 则Y的
f X ( x)
y
f ( x, y ) dy
FY ( y ) F (, y ) [
f ( x, y )dx] dy
X
Pk
1
1 4
2
1 4
3
1 4
4
1 4
Y
Pk
1
25 48
2
13 48
3
7 48
43 Biblioteka 8y 例3. 设(X,Y) 均匀分布在由直线 x 1，x 轴 2 和y 轴所围成的区域 D上.
求: (X,Y) 的联合概率密度与边缘概率密度. 解: (1). 因为 ( X , Y ) 服从均匀分布
1 ( x, y) D f ( x , y ) 所以其概率密度为： A 其它 0