边缘概率分布
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边缘概率分布
1
一. 边缘分布的定义
设 F ( x , y ) 为 X,Y 的联合分布函数，
则 FX ( x) F ( x, ) ,
FY ( y) F (, y)
分别称为二维随机变量 (X,Y)关于 X 和关于 Y 的 边缘分布函数.
二. 当 (X,Y) 为离散型随机变量 已知 P( X xi ,Y y j ) pi j 为 ( X , Y )的联合分布律 则X 边缘分布函数 FX ( x ) F ( x, )
j 1
边缘分布律 pi . P ( X xi ) pi j i 1, 2
xi x j 1
p
ij
2
则Y
边缘分布函数 FY ( y ) F ( , y )
y j y i 1
p
ij
边缘分布律
p. j P (Y y j ) pi j
]
于是:
f X ( x)
令： t
1 2 1 2 1 2
1 1 2 (
e
( x 1 )2Βιβλιοθήκη Baidu 2 12
e
1 2(1 )
2
(
y 2
2
x 1
1
)2
dy
y 2
2
x 1
1
) 则有：
e
t2 2
dt 2
11
由题意可知 D 域图为: y D 2 x
1 A 1 2 1 2
0
1 ( x , y ) D 其联合密度 f ( x , y ) 其它 0
1
(2). 因为边缘概率密度为:
f X ( x)
f ( x, y )dy
12
x 0 或 x 1 时 f ( x, y ) 0 f X ( x ) 0
从而可得出：由 X 和 Y 的边缘分布一般是不 能 确定 X 和 Y 的联合分布的.
16
y ,
求: 二维正态随机变量(X, Y)的边缘概率密度 解: 由于:
[ ( y 2 )2
14
1 2 2 ( y 2 ) ( x 1 ) 2 ( x ) 1 2 [ ] [ ] 2 2 1 2 1 2
2
2
( x 1 )( x 2 )
i 1
j 1, 2
注:
pi . 表示是由 pi j关于 j 求和得到的； p. j 表示是 由 pi j 关于 i 求和得到的.
三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量 已知连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度 f ( x , y ) 及联合分布函数 F ( x , y )
3
边缘分布函数: 则X的
FX ( x ) F ( x, ) [
x
f ( x, y )dy] dx
边缘概率密度: 边缘分布函数： 则Y的
f X ( x)
y
f ( x, y ) dy
FY ( y ) F (, y ) [
f ( x, y )dx] dy
f X ( x)
1 2 1
( x 1 )2 2 1
2
e
e
t2 2
dt
( y 2 )2 2 22
1 2 1
e
( x 1 )2 2 12
同理有： fY ( y )
1 2 2
e
x
y
15
结论
二维正态分布的两个边缘分布均是一维正态 分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对于给 定的 1 , 2 , 1 , 2 ，不同的 对应不同的 二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一 样的。
P(Y=1)= P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1） =3/8+3/8=6/8, P(Y=3)= P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3）=1/8+1/8=2/8.
6
如下表所示
注意： 1. 习惯上常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词. 2. 由联合分布律可以确定边缘分布律，但由边缘分 布律一般不能确定联合分布律.
边缘概率密度:
fY ( y )
f ( x, y ) dx
4
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X 为三次抛掷中 正面出现的次数，Y为正面出现次数与反面出现 次数之差的绝对值
求：(X,Y)的联合概率分布及边缘概率分布 解： （ X, Y）可取值：(0,3), (1,1), (2,1), (3,3)
13
例4. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为：
f ( x, y) 1 2 1 2 1 2 e
1 2(1 )
2
[
( x 1 )2
12
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 ] 2
1 2
2
x ,
0 x1 时
f X ( x ) 1 dy
则得: 同理可得:
2(1 x )
0
dy 2(1 x )
2(1 x ) 0 x 1 f X ( x) 其它 0
1 1 y 0 y 2 fY ( y ) 2 其它 0
X
Pk
1
1 4
2
1 4
3
1 4
4
1 4
Y
Pk
1
25 48
2
13 48
3
7 48
4
3 48
y 例3. 设(X,Y) 均匀分布在由直线 x 1，x 轴 2 和y 轴所围成的区域 D上.
求: (X,Y) 的联合概率密度与边缘概率密度. 解: (1). 因为 ( X , Y ) 服从均匀分布
1 ( x, y) D f ( x , y ) 所以其概率密度为： A 其它 0
9
( X , Y ) 的联合分布律为：
X Y
1
1 4 1 8 1 12 1 16
2
0 1 8 1 12 1 16
3
0 0 1 12 1 16
4
0 0 0 1 16
pi .
1 4 1 4 1 4 1 4
1 2 3 4 p. j
25 48
13 48
7 48
3 48
10
(2) ( X , Y ) 边缘分布律
7
例2. 设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地
取值；另一随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数 求: 二维随机变量 (X,Y) 的边缘分布律 pi . 与 p. j
解: 由边缘分布律的定义，可知先得求出 (X,Y) 的联合分布律
(1) X的取值 1, 2, 3,4 Y 的取值也是 1, 2, 3,4
1 1 1 P21 P ( X 2, Y 1) 4 2 8
x=1时, y 的值取不到2, 故对y 来说是不可能事件, 其概率为0
1 1 1 P22 , P23 0, P24 0 4 2 8 1 1 1 1 P31 , P32 P33 , P34 0 4 3 12 12 1 1 1 1 P41 , P42 P43 P44 4 4 16 16
x=1时，y只有 一个值，故对y 来说是必然事 件， 其概率为1
1 1 P11 P ( X 1, Y 1) 1 4 4
8
1 P12 P ( X 1, Y 2) 0 0 4
P13 P( X 1,Y 3) 0
P14 P( X 1, Y 4) 0
( 1 )3 1 P(X=0, Y=3） 2 8 P(X=1, Y=1） 3( 1 )3 3 2
列表如下
8
P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=3, Y=3)=1/8
5
问：二维联合分布律全面地反映了二维随机变量(X,Y) 的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有 注意这两个分布正好是 自己的概率分布. 那么此例中二者之间的关系怎么 表中的行和与列和. 体现呢？ 从表中不难求得: P(X=0)=1/8, P(X=2)=3/8, P(X=1)=3/8 P(X=3)=1/8,
1
一. 边缘分布的定义
设 F ( x , y ) 为 X,Y 的联合分布函数，
则 FX ( x) F ( x, ) ,
FY ( y) F (, y)
分别称为二维随机变量 (X,Y)关于 X 和关于 Y 的 边缘分布函数.
二. 当 (X,Y) 为离散型随机变量 已知 P( X xi ,Y y j ) pi j 为 ( X , Y )的联合分布律 则X 边缘分布函数 FX ( x ) F ( x, )
j 1
边缘分布律 pi . P ( X xi ) pi j i 1, 2
xi x j 1
p
ij
2
则Y
边缘分布函数 FY ( y ) F ( , y )
y j y i 1
p
ij
边缘分布律
p. j P (Y y j ) pi j
]
于是:
f X ( x)
令： t
1 2 1 2 1 2
1 1 2 (
e
( x 1 )2Βιβλιοθήκη Baidu 2 12
e
1 2(1 )
2
(
y 2
2
x 1
1
)2
dy
y 2
2
x 1
1
) 则有：
e
t2 2
dt 2
11
由题意可知 D 域图为: y D 2 x
1 A 1 2 1 2
0
1 ( x , y ) D 其联合密度 f ( x , y ) 其它 0
1
(2). 因为边缘概率密度为:
f X ( x)
f ( x, y )dy
12
x 0 或 x 1 时 f ( x, y ) 0 f X ( x ) 0
从而可得出：由 X 和 Y 的边缘分布一般是不 能 确定 X 和 Y 的联合分布的.
16
y ,
求: 二维正态随机变量(X, Y)的边缘概率密度 解: 由于:
[ ( y 2 )2
14
1 2 2 ( y 2 ) ( x 1 ) 2 ( x ) 1 2 [ ] [ ] 2 2 1 2 1 2
2
2
( x 1 )( x 2 )
i 1
j 1, 2
注:
pi . 表示是由 pi j关于 j 求和得到的； p. j 表示是 由 pi j 关于 i 求和得到的.
三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量 已知连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度 f ( x , y ) 及联合分布函数 F ( x , y )
3
边缘分布函数: 则X的
FX ( x ) F ( x, ) [
x
f ( x, y )dy] dx
边缘概率密度: 边缘分布函数： 则Y的
f X ( x)
y
f ( x, y ) dy
FY ( y ) F (, y ) [
f ( x, y )dx] dy
f X ( x)
1 2 1
( x 1 )2 2 1
2
e
e
t2 2
dt
( y 2 )2 2 22
1 2 1
e
( x 1 )2 2 12
同理有： fY ( y )
1 2 2
e
x
y
15
结论
二维正态分布的两个边缘分布均是一维正态 分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对于给 定的 1 , 2 , 1 , 2 ，不同的 对应不同的 二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一 样的。
P(Y=1)= P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1） =3/8+3/8=6/8, P(Y=3)= P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3）=1/8+1/8=2/8.
6
如下表所示
注意： 1. 习惯上常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词. 2. 由联合分布律可以确定边缘分布律，但由边缘分 布律一般不能确定联合分布律.
边缘概率密度:
fY ( y )
f ( x, y ) dx
4
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X 为三次抛掷中 正面出现的次数，Y为正面出现次数与反面出现 次数之差的绝对值
求：(X,Y)的联合概率分布及边缘概率分布 解： （ X, Y）可取值：(0,3), (1,1), (2,1), (3,3)
13
例4. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为：
f ( x, y) 1 2 1 2 1 2 e
1 2(1 )
2
[
( x 1 )2
12
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 ] 2
1 2
2
x ,
0 x1 时
f X ( x ) 1 dy
则得: 同理可得:
2(1 x )
0
dy 2(1 x )
2(1 x ) 0 x 1 f X ( x) 其它 0
1 1 y 0 y 2 fY ( y ) 2 其它 0
X
Pk
1
1 4
2
1 4
3
1 4
4
1 4
Y
Pk
1
25 48
2
13 48
3
7 48
4
3 48
y 例3. 设(X,Y) 均匀分布在由直线 x 1，x 轴 2 和y 轴所围成的区域 D上.
求: (X,Y) 的联合概率密度与边缘概率密度. 解: (1). 因为 ( X , Y ) 服从均匀分布
1 ( x, y) D f ( x , y ) 所以其概率密度为： A 其它 0
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( X , Y ) 的联合分布律为：
X Y
1
1 4 1 8 1 12 1 16
2
0 1 8 1 12 1 16
3
0 0 1 12 1 16
4
0 0 0 1 16
pi .
1 4 1 4 1 4 1 4
1 2 3 4 p. j
25 48
13 48
7 48
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(2) ( X , Y ) 边缘分布律
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例2. 设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地
取值；另一随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数 求: 二维随机变量 (X,Y) 的边缘分布律 pi . 与 p. j
解: 由边缘分布律的定义，可知先得求出 (X,Y) 的联合分布律
(1) X的取值 1, 2, 3,4 Y 的取值也是 1, 2, 3,4
1 1 1 P21 P ( X 2, Y 1) 4 2 8
x=1时, y 的值取不到2, 故对y 来说是不可能事件, 其概率为0
1 1 1 P22 , P23 0, P24 0 4 2 8 1 1 1 1 P31 , P32 P33 , P34 0 4 3 12 12 1 1 1 1 P41 , P42 P43 P44 4 4 16 16
x=1时，y只有 一个值，故对y 来说是必然事 件， 其概率为1
1 1 P11 P ( X 1, Y 1) 1 4 4
8
1 P12 P ( X 1, Y 2) 0 0 4
P13 P( X 1,Y 3) 0
P14 P( X 1, Y 4) 0
( 1 )3 1 P(X=0, Y=3） 2 8 P(X=1, Y=1） 3( 1 )3 3 2
列表如下
8
P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=3, Y=3)=1/8
5
问：二维联合分布律全面地反映了二维随机变量(X,Y) 的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有 注意这两个分布正好是 自己的概率分布. 那么此例中二者之间的关系怎么 表中的行和与列和. 体现呢？ 从表中不难求得: P(X=0)=1/8, P(X=2)=3/8, P(X=1)=3/8 P(X=3)=1/8,