因式分解——十字相乘法、双十字相乘法
(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
初中化学十字相乘法因式分解是化学学科中的一种常用的化学
式化简方法。
该方法适用于由多个化合物组成的复杂化合物的化学
式化简。
十字相乘法因式分解的基本原理是根据化学式中的原子元素的
数量和化合价，寻找可相乘的因子，从而达到分解化学式的目的。
下面将以化合物C6H12O6为例，详细介绍十字相乘法因式分
解的步骤：
1. 首先，找到化合物中各个原子元素的化合价。
在C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2。
2. 根据化合物元素的化合价，找到可相乘的因子。
在
C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2，可以得到因子4、1和2。
3. 将化合物中各个原子元素的数量进行配平，使得因子的乘积
等于化合物中各个原子元素的数量。
在C6H12O6中，碳的原子数
量为6，氢的原子数量为12，氧的原子数量为6。
可得到化合物的
化学式化简为(CH2O)6。
以上就是初中化学十字相乘法因式分解的基本步骤和操作方法。
通过这种方法，可以将复杂化合物的化学式简化为更为简洁和清晰
的形式，便于研究和理解。
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法,
【例12】分解因式：
【例13】分解因式：
【例14】分解因式
【例15】分解因式：
【例16】分解因式：
【例17】分解因式：
【例18】分解因式：
【例19】分解因式：
【例20】分解因式：
【例21】分解因式：
【例22】分解因式：
模块二：拆项与添项
【例21】分解因式：
【例22】分解因式：
【例23】分解因式：
板块二：选主元
【例1】分解因式：
【例2】分解因式：
【例3】分解因式：
【例4】Байду номын сангаас解因式：
【例5】分解因式：
【例6】分解因式：
【例7】分解因式：
板块三：双十字相乘
双十字相乘法：对于某些二元二次六项式 ，可以看作先将关于 的二次三项式
的“常数项” 用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于 的二次三项式分解。
【例35】分解因式：
【例36】分解因式：
【例37】分解因式： =__________.
【例38】分解因式：
由于这种方法两次使用了十字相乘法，故称之为双十字相乘法.
【例8】分解因式：
【例9】分解因式：
【例10】分解因式：
【例11】分解因式：
【例12】分解因式：
【例13】分解因式：
【例14】分解因式：
【例15】分解因式：
【例16】分解因式：
【例17】已知： 、 、 为三角形的三条边，且 ，求证：
【例18】分解因式：
【例19】分解因式：
【例20】分解因式：
板块一：换元法
【例1】分解因式：
【例2】分解因式：
【例3】分解因式：
初二上册因式分解双十字相乘法练习100道及答案
初二上册因式分解双十字相乘法练习100道及答案(1) 222631631620a b c ab bc ac --++-(2) 2229188573022x y z xy yz xz +++++ (3) 2212369x xy y x y -----(4) 2236512134228x xy y x y +-+++(5) 222153312104x y z xy yz xz ----+ (6) 22153621506435x xy y x y -++-+ (7) 22251224103x y z xy yz xz --+-+(8) 2261812171314x xy y x y -+-+- (9) 2215174301715a ab b a b +-+++(10) 2101472112x xy x y +++-(11) 2224528161256a b c ab bc ac -+---(12) 22357035171730a ab b a b ++++-(13) 22121921391730x xy y x y ---++(14) 222214165x y z xy yz xz +--++(15) 2236306431135a ab b a b ++---(16) 2223671559387x y z xy yz xz -----(17) 22101216271218x xy y x y +---+(18) 2221276251322x y z xy yz xz +++++ (19) 22235122103x y z xy yz xz ---+- (20) 22542742337735m mn n m n -----(21) 22305928423812x xy y x y ++--+ (22) 22218203695418x y z xy yz xz --+-+ (23) 224264212415x xy y x y +++++ (24) 2210211912x xy y x y ++---(25) 2321271a ab a b ++--(26) 222301547726a b c ab bc ac -+---(27) 222225125352x y z xy yz xz -----(28) 226371202112x xy y x y ++++(29) 222764111029x y z xy yz xz -++-+(30) 22220101233222x y z xy yz xz +-+++(31) 221220716203x xy y x y ++++-(32) 2224030823842x y z xy yz xz -+---(33) 2227276392014m mn n m n +++++(34) 2242718305436x xy y x y ++--+(35) 2224101212x xy y x y ++---(36) 22125028224310m mn n m n -++-+ (37) 221293011355x xy y x y ---+- (38) 221468561x xy y x y +-+-- (39) 222491812211549a b c ab bc ac -+--+(40) 225414212557m mn n m n ++--+(41) 2222176142315x y z xy yz xz ----+ (42) 22215142031185a b c ab bc ac +-+++(43) 2227278713050x y z xy yz xz ++--+(44) 224282131a ab b a b --+-+(45) 22302132284a ab b a b ++--+(46) 2221265381132x y z xy yz xz +++++(47) 22224496144932x y z xy yz xz --+-+(48) 222282812654037x y z xy yz xz +++++(49) 2261728335418x xy y x y -----(50) 222722415221867x y z xy yz xz -++--(51) 22641635802224p pq q p q +-+++(52) 222158314144a b c ab bc ac ----+(53) 22214426x xy y x y +--+ (54) 2210231254a ab b a b -++-(55) 22245014334730x xy y x y +-+-- (56) 2245843640245x xy y x y ++++-(57) 22183135622224x xy y x y +--++ (58) 2242182425143a ab b a b +---+ (59) 2239610113x xy y x y +++++ (60) 2274942265115x xy y x y ++--+(61) 222121030263739x y z xy yz xz +++--(62) 224521513132x xy y x y +-+--(63) 221225714124x xy y x y --+-+(64) 2226415167x xy y x y -+-++(65) 2222430635a b c ab bc ac +--++(66) 2223231820360x y z xy yz xz -+-+-(67) 2245441244407m mn n m n +---+(68) 22282512353520x y z xy yz xz ---++(69) 222813623104m mn n m n --+-+(70) 222123630159p pq q p q ++--+(71) 22293518685733x y z xy yz xz +++++ (72) 22249615353314x y z xy yz xz --+++ (73) 2263036255414x xy y x y ++--+ (74) 2256341213203x xy y x y +---- (75) 222120445146a ab b a b ++--+(76) 2296827614x xy y x y +--++(77) 224012459521a ab b a b +---+ (78) 2225775649x xy y x y +-++-(79) 229312053346p pq q p q +--+-(80) 222224216145x y z xy yz xz +++++(81) 2235223602025x xy y x y -+-++(82) 22215612191727x y z xy yz xz ++--+(83) 222421*********x y z xy yz xz +++--(84) 222272830152269x y z xy yz xz -+-++(85) 2263136671714a ab b a b +-+++(86) 2252025261024a ab b a b +-+++(87) 222958296a ab b a b +-+++(88) 2224106162514m mn n m n --+--(89) 22161652835a ab b a b +-++ (90) 22101731136m mn n m n -+++-(91) 222027928188a ab b a b +++++(92) 222356323322x y z xy yz xz -+--+ (93) 2215442113132m mn n m n -+-++(94) 22263301219955a b c ab bc ac -++++ (95) 22211721994m mn n m n ++--+(96) 2236254421412x xy y x y -++-+(97) 22242321575x y z xy yz xz --+++(98) 2214328333018x xy y x y +++++(99) 22405366104x xy y x y ++-+-(100) 226448732125a ab b a b +-+--初二上册因式分解双十字相乘法练习100道答案(1)(634)(4)a b c a b c-++-(2)(62)(934)x y z x y z++++ (3)(33)(43)x y x y--++(4)(934)(472)x y x y-+++ (5)(53)(33)x y z x y z++--(6)(575)(337)x y x y-+-+ (7)(2)(562)x y z x y z++--(8)(332)(247)x y x y-+--(9)(55)(343)a b a b-+++ (10)(23)(574)x x y++-(11)(544)(974)a b c a b c--+-(12)(556)(775)a b a b+++-(13)(435)(376)x y x y+---(14)(7)(22)x y z x y z-+--(15)(935)(427)a b a b+++-(16)(473)(95)x y z x y z--++ (17)(243)(546)x y x y+---(18)(3)(476)x y z x y z++++ (19)(742)(53)x y z x y z+--+ (20)(965)(677)m n m n++--(21)(542)(676)x y x y+-+-(22)(346)(656)x y z x y z++--(23)(271)(265)x y x y++++ (24)(73)(34)x y x y+++-(25)(31)(71)a a b-++(26)(654)(53)a b c a b c--+-(27)(254)(53)x y z x y z++--(28)(74)(953)x y x y+++ (29)(73)(24)x y z x y z-+++ (30)(456)(522)x y z x y z+++-(31)(23)(671)x y x y+++-(32)(852)(564)x y z x y z+---(33)(322)(937)m n m n++++ (34)(436)(66)x y x y+-+-(35)(63)(44)x y x y+++-(36)(645)(272)m n m n-+-+ (37)(361)(455)x y x y-++-(38)(741)(221)x y x y--++(39)(734)(763)a b c a b c++-+ (40)(567)(71)m n m n+-+-(41)(33)(772)x y z x y z++--(42)(324)(575)a b c a b c+++-(43)(872)(94)x y z x y z-+-+(44)(71)(621)a b a b++-+(45)(52)(632)a b a b+-+-(46)(6)(265)x y z x y z++++ (47)(476)(67)x y z x y z++--(48)(744)(473)x y z x y z++++ (49)(673)(46)x y x y++--(50)(863)(945)x y z x y z+---(51)(856)(874)p q p q-+++(52)(523)(34)a b c a b c++--(53)(7)(36)x y x y-+-(54)(231)(54)a b a b-+-(55)(825)(376)x y x y--++ (56)(961)(565)x y x y+-++ (57)(256)(974)x y x y+---(58)(661)(743)a b a b+---(59)(331)(23)x y x y++++ (60)(63)(775)x y x y+-+-(61)(356)(425)x y z x y z+-+-(62)(532)(951)x y x y++--(63)(372)(42)x y x y-+++ (64)(27)(221)x y x y----(65)(36)(85)a b c a b c-+--(66)(436)(83)x y z x y z--+-(67)(561)(927)m n m n+---(68)(854)(53)x y z x y z+--+ (69)(431)(724)m n m n-+++ (70)(733)(323)p q p q+-+-(71)(956)(73)x y z x y z++++ (72)(763)(75)x y z x y z+--+ (73)(362)(267)x y x y+-+-(74)(823)(761)x y x y--++(75)(326)(721)a b a b+-+-(76)(322)(347)x y x y--+-(77)(53)(847)a b a b--+-(78)(277)(7)x y x y+--+ (79)(951)(46)p q p q-++-(80)(62)(24)x y z x y z++++ (81)(55)(735)x y x y----(82)(534)(323)x y z x y z-+-+(83)(724)(675)x y z x y z+-+-(84)(346)(975)x y z x y z-+++(85)(732)(927)a b a b++-+(86)(556)(54)a b a b-+++(87)(26)(51)a b a b-+++ (88)(627)(432)m n m n++--(89)(45)(47)a b a b+-+(90)(233)(52)m n m n-+--(91)(532)(434)a b a b++++(92)(5)(763)x y z x y z++-+ (93)(372)(531)m n m n----(94)(763)(954)a b c a b c++-+ (95)(321)(74)m n m n+-+-(96)(42)(946)x y x y-+-+ (97)(72)(63)x y z x y z-++-(98)(243)(726)x y x y++++ (99)(82)(562)x y x y+++-(100)(81)(875)a b a b--++。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
因式分解之十字相乘法几大类型
因式分解之十字相乘法几大类型 一. 基本十字相乘法1、分解因式：2421x x --.2、分解因式：2712x x -+.3、分解因式：21118x x ++.4、分解因式：2421a a --+.5、分解因式：2522+-x x .6、分解因式：2321a a --.7、分解因式：23145b b +-.8、分解因式： 2592a a -+.二. 两个字母的十字相乘法.9、分解因式：xy y x 2514422-+.10、分解因式：22152y ay a --. 11、分解因式：2210116y xy x ++-. 12、分解因式：()()220x y x y +++-. 13、分解因式：2278a x ax +-. 14、分解因式：222256x y x y x -+. 15、分解因式：3)()(22-+++n m n m . 16、 分解因式：3)()(22----b a b a . . 三. 双十字相乘法17、分解因式：233222+++-+y x y xy x . 18、分解因式：2023265622-++--y x y xy x . 19、 分解因式：y x y xy x 422322++++.作业1. 分解因式：20122-+-x x .2. 分解因式：276x x -+.3. 分解因式：2328b b --.4. 分解因式：3522--x x5. 分解因式：2257x x +-.6. 分解因式：61362+-x x7. 分解因式：226420x y xy ++-8. 分解因式：2232x xy y -+9. 分解因式：3168)2(42++--y x y x .10. 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y .11. 分解因式：)()()(b a ab a c ca c b bc +--++.12. k 为何值时，k y x y x +-+-7322可以分解成两个一次因式的乘积？13. 分解因式：1)1()2+-+ab b a （. 14. 已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且027334222=+--++b bc ab c ac a ，求证：c a b +=2.。
初中数学竞赛辅导：《双十字相乘法》分解因式总结
初中数学竞赛辅导：《双十字相乘法》分解因式总结初中数学竞赛专题培训因式分解1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax+bxy+cy+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3．我们将上2222(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求22222式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看做是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图归并在一同，可得到下列图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；第1页第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数算作来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．申明(4)中有三个字母，解法仍与前面的相似．2．求根法我们把形如anx+an-1x+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x-3x+2，g(x)=x+x+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)透露表现．如对上面的多项式f(x)f(1)=1-3×1+2=0；f(-2)=(-2)-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x) 的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常常使用下面的定理来判定它是不是有有理根．定理222252nn-1=x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x-2x+2)．解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，22所以原式=(x-2)(x-2x+2)．申明在上述解法中，出格要留意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3分解因式：9x-3x+7x-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±4322为：的根，则必有p是a的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式举行因式分化．例2分化因式：x-4x+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=2-4×2+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4)32223232所以，原式有因式9x-3x-2．解9x-3x+7x-3x-2=9x-3x-2x+9x-3x-2=x(9x-3x-2)+9x-3x-2=(9x-3x-2)(x+1)=(3x+1)(3x-2)(x+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式22223243224322可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解过程．第2页总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，如许，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种紧张的解题方法，使用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分化成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未肯定，这时候能够用一些字母来透露表现待定的系数．因为该多项式等于这几个因式的乘积，按照多项式恒等的性子，双方对应项系数应该相等，或取多项式华夏有字母的几个非凡值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分化的方法叫作待定系数法．例4分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3．分析由于(x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y)，若原式能够分化因式，那末它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使题目获得解决．解设x+3xy+2y+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有22222222在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x+ax+b)(x+cx+d)的形式．解设原式=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd，所以有4322222由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x-7x+1)(x+5x+7)．22说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等能够不加以斟酌．此题如果b=1，d=7代入方程组后，无法肯定a，c的值，就必需将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分化中也有效武之地．操演1．用双十字相乘法分化因式：解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．申明此题也可用双十字相乘法，请同学们本人解一下．例5分化因式：x-2x-27x-44x+7．阐发此题所给的是一元整系数多项式，按照前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检修，它们都不是原式的根，所以，432(1)x-8xy+15y+2x-4y-3；(2)x-xy+2x+y-3；(3)3x-11xy+6y-xz-4yz-2z．222222第3页2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：。
双项十字相乘法
双项十字相乘法：
双项十字相乘法是一种分解形如ax²+bx+c的二次三项式的方法。
根据这种方法，如果可以找到两个数a、b，使得常数项为两者的积，同时一次项系数为两者的和，即a1x+b1=b，a2x+b2=c，那么原式=（a1x+b1）（a2x+b2）=a1a2x²+（a1b2+a2b1）
x+b1b2=ax²+bx+c。
解析
分解形如ax²+bx+c的二次六项式在草稿纸上，将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则。
也叫长十字相乘法。
拓展资料
整式乘除和因式分解
因式分解
特殊分解方法、分组分解——四项式、分组分解——五项式
分组分解——六项式、换元法、主元法、双十字相乘法
立方和、差法、添拆项法
因式定理：
对称多项式、轮换对称多项式、特殊值法、待定系数法。
因式分解——十字相乘法、双十字相乘法
一、概念：a ．十字相乘法十字相乘法能把某些二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)分解因式。
这种方法的关键是把二次项的系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1c 2，并使a 1c 1＋a 2c 1正好是一次项系数b ，那么可直接写成结果： ax 2＋bx ＋c ＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察、尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
b ．双十字相乘法形如22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F 的二元二次多项式的因式分解双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法。
其理论依据：若22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F 可分解为()()＋＋＋＋ax by c dx ey f ，则当c ＝f ＝0时，22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F二、具体练习例1：24146－＋x x例2：22276＋－－＋－x xy y x y例3：2231092－－＋＋－x xy y x y因式分解-十字相乘法、双十字相乘法拓展1满足0－＋＝x y z ，210－－＋＝x y z 的任何x ，y ，z 的值也同时满足221＋＋＝ax by cz ，求常数a ，b ，c 的值。
复习：求解ax ＝b ，当a ＝0且b ＝0时，x 为任意值拓展2已知0127，，，…a a a a 使7767610(31)－＝＋＋…＋x a x a x a x a 成立求1357＋＋＋a a a a 的值拓展3请多项式32321111()()＋＋＋＋＋＋ax bx cx d a x b x c x d 中x 3系数x 3来源如下： 前一个因式 后一个因式 ax 2d 1 bx 2c 1x cxb 1x 2 da 1x 3故x 的系数为三、作业 1．22267372－－－＋－x xy y xz yz z2．222311642－＋－－－x xy y xz yz z3．222064－＋x xy y。
3_十字相乘法(含答案)
因式分解之“十字相乘法”【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax 2+bx+c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax 2+bx+c 即()a a x a c a c x c c 122122112+++ 可以分解为()()a x c a x c 1122++。
这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
【思考】10~20以内的平方数心算办法。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x 2－11x +24>0，求x 的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
例1解： ∵x 2－11x +24>0 ∴(x －3)(x －8)>0 分解为⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-08030803x x x x 或 ∴ x >8 或 x <3例2. 如果x 4－x 3+mx 2－2mx －2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x 4分成x 2·x 2，而对于常数项－2，可能分解成(－1)×2，或者分解成(－2)×1，由此分为两种情况进行讨论。
例2解：（1）待定系数法，设原式分解为(x 2+ax －1)(x 2+bx +2)，其中a 、b 为整数，去括号，得： x 4+(a +b )x 3+x 2+(2a －b )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： a +b =－1, m =1, 2a －b =－2m解得：a =－1，b =0，m =1 此时，原式=(x 2+2)(x 2－x －1)（2）设原式分解为(x 2+cx －2)(x 2+dx +1)，其中c 、d 为整数，去括号，得：x 4+(c +d )x 3－x 2+(c －2d )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： c +d =－1, m =－1, c －2d =－2m解得：c =0, d =－1, m =－1 此时，原式=(x 2－2)(x 2－x +1)2. 在几何学中的应用例3. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x －y －x 2+2xy －y 2+2=0，求长方形的面积。
初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解
初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解因式分解方法步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
”分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．5ax+5bx+3ay+3by解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2．x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。
这种方法有两种情况。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3因为-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
初中数学竞赛——因式分解之十字相乘法
第4讲 因式分解之十字相乘法知识总结归纳一. 常用因式分解公式 （1）))((22b a b a b a -+=- （2）))((2233b ab a b a b a +-+=+ （3）))((2233b ab a b a b a ++-=- （4）222)(2b a b ab a +=++ （5）222)(2b a b ab a -=+-（6）33223)(33b a b ab b a a +=+++ （7）33223)(33b a b ab b a a -=-+-（8）2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++ （9）2222)(222c b a ca bc ab c b a -+=--+++（10）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 二．十字相乘法几大类型： （1）形如c bx ax ++2 （2）形如22cy bxy ax ++（3）形如f ey dx cy bxy ax +++++22 （4）形如222fz eyz dxz cy bxy ax +++++ 三．十字相乘法注意事项：（1）要掌握十字相乘，首先要熟悉整数的因数分解，熟悉有理数的加减法，反复练习，熟能生巧；（2）形如c bx ax ++2，如果0=++c b a ，则))(1(2c ax x c bx ax --=++典型例题一. 基本十字相乘法例题1 计算：（1）()()23x x ++= _____________; （2）()()23x x +-= _____________; （3）()()23x x -+= _____________; （4）()()23x x --= _____________.例题2 计算：))((q x p x ++.例题3 分解因式：862++x x .例题4 分解因式：862+-x x .例题5 分解因式：2421x x --.例题6分解因式：2215--.x x例题7分解因式：298x x++. 例题8分解因式：2712-+.x x例题9分解因式：21118++.x x例题10分解因式：2421--+.a a例题11 分解因式：22526a a -+.二. 二次项系数不为1的情形例题12 计算：（1）()()2133x x --=_____________; （2）()()213x x +-=_____________; （3）()()213x x -+=_____________.例题13 计算：))((2211b x a b x a ++.例题14 分解因式：2522+-x x .例题15分解因式：2--.321a a例题16分解因式：151962+x.+x例题17分解因式：23145+-.b b例题18分解因式：27254-x.-x例题19分解因式：2a-+.952a三. 两个字母的情形例题20 分解因式：22276y xy x +-.例题21 分解因式：22730a ab b --.例题22 分解因式：xy y x 2514422-+.例题23 分解因式：22166z yz y --.例题24 分解因式：22152y ay a --.例题25 分解因式：2210116y xy x ++-.例题26 分解因式：32576x y x y xy --.例题27 分解因式：()()220x y x y +++-.例题28 分解因式：2278a x ax +-.例题29 分解因式：222256x y x y x -+.例题30 分解因式：3)()(22-+++n m n m .例题31 分解因式：3)()(22----b a b a .例题32 分解因式：3)2(8)2(42++-+y x y x .例题33 分解因式：6)2(5)2(2++++b a b a .四. 双十字相乘法例题34 分解因式：233222+++-+y x y xy x .例题35 分解因式：2023265622-++--y x y xy x .例题36 分解因式：y x y xy x 422322++++.例题37 分解因式：81023222-++--y x y xy x .例题38 分解因式：43522+++-y x y x .例题39 分解因式：222615596z yz xz y xy x ++-+-.例题40 分解因式：yz xz xy z y x 142283222+++--.例题41 分解因式： yz xz xy z y x 77362222++-+-思维飞跃例题42 分解因式：22222)3()(c x b a c x b a -++-.例题43 分解因式：2223103)(2b ab a x b a x -+-++例题44 分解因式：)12)(1()21(22--+--b a a b a a .例题45 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---.例题46 已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且027334222=+--++b bc ab c ac a ，求证：c a b +=2.例题47 m 为什么数时，24518722-+--+my x y xy x 可以分解为两个一次因式的积？作业1. 分解因式：20122-+-x x .2. 分解因式：276x x -+.3. 分解因式：2328b b --.4. 分解因式：3522--x x .5. 分解因式：223x x --.6. 分解因式：2257x x +-.7. 分解因式：61362+-x x .8. 分解因式：226420x y xy ++-.9. 分解因式：22914a ab b -+.10. 分解因式：2232x xy y -+.11. 分解因式：3168)2(42++--y x y x .12. 分解因式：202322613622+-++-y x y xy x .13. 分解因式：yz xz xy z y x 124649222-+-++.14. 分解因式： 27614422-+-+-y x y xy x .15. 分解因式： ab ca bc c b a 221033222--+--.16. 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y .17. k 为何值时，k y x y x +-+-7322可以分解成两个一次因式的乘积？。
因式分解之十字相乘法
待定系数法 二次六项式
学习心得
• 1.十字相乘法的两种模型： =(x+p)(x+q) acx2+(ad+bc)x+bd=
x2+(p+q)x+pq (ax+b)(cx+d)
.
猜想 合并同类项
• 2.双十字相乘法： (ax+by+c)(dx+ey+f)=(a+d)x2+(bd+ae)xy+bey2+(af+cd)x+(bf+ce)y+cf
• (x-7)(x-4)=x2-7x-4x+(-7)×(-4) =x2-11x+28 x • =x2+3x-8x+3×(-8) =x2-5x-24 x -7 +3 -4 -7x-4x ∴x2-11x+28=(x-7)(x-4) ∴x2-5x-24= . (x-8)
x
x
-8
(x+3) +3x-8x (x+3)(x-8)
2x
3x
-2y 4xy-10xy
• 2.3x2+11x+10=(3x )( x 3x x
)
• 4.7x2-19x-6=( x x
)( x
)
5 2 1 6x+5x
x
7
2
7×(-3)x+2x
模型小结
• 1.6x2+7x+2=(2x-1)(3x ) • 2.3x2+11x+10=(3x )( x ) • 3.5x2-6xy-8y2=( x )( x ) • 4.7x2-19x-6=( x )( x ) 的
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法。
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法。
例1】将$x^2+4x+8$看作一个整体，设为$y$，则原式变为$y^2+3xy+2x^2$。
将$y$代入可得$(x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2$。
最终结果为$(x^2+3x+4)^2-x+16$。
例2】设$x^2+5x+2=a$，$x^2+5x+3=b$，则原式变为$ab-12$。
将$a+b$代入可得$(x^2+5x+2)+(x^2+5x+3)=2x^2+10x+5$，最终结果为$(2x^2+10x+5)^2-169$。
例3】将$x+1$看作一个整体，设为$a$，则原式变为$(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+15$。
将$a+5$代入可得$(x+6)(x+4)(x+2)(x+10)+15$。
例4】将$a-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$。
将$x+2$代入可得$(a-2+2)(a-2+3)(a-2+4)(a-2+5)-24$，最终结果为$(a^2-5a+10)^2-24$。
例5】设$x^2+x+1=a$，$x^2+x+2=b$，则原式变为$ab-12$。
将$a+b$代入可得$(x^2+x+1)+(x^2+x+2)=2x^2+2x+3$，最终结果为$(2x^2+2x+3)^2-49$。
板块二：选主元例1】将$1+a+b+c$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x-1)^2+(a+1)(b+1)(c+1)$。
展开可得$x^2-2x+1+ab+ac+bc+2a+2b+2c+1$，最终结果为$(a+b+c+1)^2$。
例2】将$a(6a+11b+4)+b(3b-1)-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x-2$。
展开可得$6a^2+11ab+4a+3b^2-b-2$，最终结果为$(3a+b+1)^2$。
例3】将$2a^2-b^2-ab+bc+2ac$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x$。
因式分解的14种方法
因式分解的14种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
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一、概念：
a ．十字相乘法
十字相乘法能把某些二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)分解因式。
这种方法的关键是把二次项的系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1c 2，并使a 1c 1＋a 2c 1正好是一次项系数b ，那么可直接写成结果： ax 2＋bx ＋c ＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察、尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
b ．双十字相乘法
形如22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F 的二元二次多项式的因式分解
双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法。
其理论依据：若22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F 可分解为()()＋＋＋＋ax by c dx ey f ，则当c ＝f ＝0时，22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F
二、具体练习
例1：24146－＋x x
例2：22276＋－－＋－x xy y x y
例3：2231092－－
＋＋－x xy y x y
因式分解-十字相乘法、
双十字相乘法
拓展1
满足0－＋＝x y z ，210－－＋＝x y z 的任何x ，y ，z 的值也同时满足221＋＋＝
ax by cz ，求常数a ，b ，c 的值。
复习：求解ax ＝b ，当a ＝0且b ＝0时，x 为任意值
拓展2
已知0127，，，…a a a a 使7767610(31)－
＝＋＋…＋x a x a x a x a 成立求1357＋＋＋a a a a 的值
拓展3
请多项式32321111()()＋＋＋＋＋＋ax bx cx d a x b x c x d 中x 3系数x 3来源如下： 前一个因式
后一个因式 ax 2
d 1 bx 2
c 1x cx
b 1x 2 d
a 1x 3
故x 3的系数为
三、作业
1．22267372－－－＋－x xy y xz yz z
2．222311642－＋－－－x xy y xz yz z
3．222064－＋x xy y。