第八章 图论8.3
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第八章 图与网络分析
Ｖ4
16
赋权图 网络
赋权图：设图G＝(V,E）,对G的每一条边(vi,vj)相应赋 予数量指标 wij ， wij 称为边 (vi,vj) 的权 , 赋予权的图 G 称 为赋权图。赋权图中的权可以代表距离、费用、通 过能力(容量)等等。 网络：若G＝(V,E）为一赋权图,并在其顶点集合V中 指定了起点和终点，其余的点为中间点，这样的赋 权图称为网络图（简称网络）。
v2 9 v1 20
10
v3
15 7 v4 14 6 19 25
v5
v6
子图，支撑子图
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}，如果有
V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 ，则称G1是G2的一个 支撑子图。 v2
v1 e4 e3 v3 e6 e8 e6 e2
第8章 图与网络优化
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A C B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？
A
D
C
B 欧拉证明了上述图形一笔画 是不可能的，因为图中每一个 点都只和奇数条线相关联． 他的结论是：图形能一笔画 的充要条件是图形的奇顶点 （连接奇数条线的顶点）的个 数为零
图的基本性质：
定理1 图G=（V,E），顶点次数之和等于所有边数的2 倍。
证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每 条边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
16
赋权图 网络
赋权图：设图G＝(V,E）,对G的每一条边(vi,vj)相应赋 予数量指标 wij ， wij 称为边 (vi,vj) 的权 , 赋予权的图 G 称 为赋权图。赋权图中的权可以代表距离、费用、通 过能力(容量)等等。 网络：若G＝(V,E）为一赋权图,并在其顶点集合V中 指定了起点和终点，其余的点为中间点，这样的赋 权图称为网络图（简称网络）。
v2 9 v1 20
10
v3
15 7 v4 14 6 19 25
v5
v6
子图，支撑子图
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}，如果有
V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 ，则称G1是G2的一个 支撑子图。 v2
v1 e4 e3 v3 e6 e8 e6 e2
第8章 图与网络优化
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A C B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？
A
D
C
B 欧拉证明了上述图形一笔画 是不可能的，因为图中每一个 点都只和奇数条线相关联． 他的结论是：图形能一笔画 的充要条件是图形的奇顶点 （连接奇数条线的顶点）的个 数为零
图的基本性质：
定理1 图G=（V,E），顶点次数之和等于所有边数的2 倍。
证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每 条边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
(优选)离散数学图论版
(3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。 其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉,
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
E={e1,e2}={(v1,v2),(ห้องสมุดไป่ตู้2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的 边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为 结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。 次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
孤立结点的次数为零。
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
E={e1,e2}={(v1,v2),(ห้องสมุดไป่ตู้2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的 边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为 结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。 次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
孤立结点的次数为零。
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。
离散数学教学课件-第8章 图论
解：以a,b,c,d,e,f,g作为顶点，能讲同一语言作一边
b
d
f
连通
a
g
c
e
§8.5 图的矩阵表示
复习：
R
传递闭包 R R R2 Rn
8.5.1 图的矩阵表示
G V , E V {v1, v2 , v3 ,, vn }
E {e1, e2 , e3 ,, em }
邻接矩阵
A (aij ) nn
起点
P v0 , v1,, vq
回
终点
路
P e1, e2 ,, eq
长度
8.2.1通路与回路
1
4
2 (1,2),(2,3) 1,2,3 (1,4),(4,3) 1,4,3
3
(1,2),(2,4),(4,1)
回路
8.2.1通路与回路
1
2 P:1,2,4,1,4,3
4
3 Q:1,2,4,3 复杂通路
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
0 1 0 0 0
2
4
1 0 1 0 0
A 0 1 0 0 0
图1
5
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 2 0
0
0
A2 1 0 1 0 0
0 0 0
1
0
0 0 0 0 1
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
1 0 1 0 0
2
4
0 2 0
cij 表示从 vi 到 v j 长度为 l 的通路数目
8.5.1 图的矩阵表示
定理 设邻接矩阵为A的无向简单图，则 Ak (k 1,2,....) 的元素
第八章图论
有向图是一个有序二元组(V，A)，记为 D＝(V，A)，其中 V＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点 的集合，A＝{a1，a2，……aq}是 q 条弧的集合，并且 ai 是一个有序二元组，记为 aij=(vi,vj)≠ (vj,vi)，vi,vj∈V，并称 aij 是以 vi 为始点，vj 为终点的弧， i, j 的顺序不能颠倒，图中弧的方 向用箭头标识。
27
Dijkstra标号法原理
方法的每一步是去修改 T 标号，并且把某一个具有 T 标号的点改变 为具有 P 标号的点，从而使 D 中具有标号的顶点数为多一个.这样至多
树与最小树问题
某企业的组织机构如下所示
生产计划科
行政办公室技术科工 设艺 计组 组
供销科Βιβλιοθήκη 财务科厂长 行政科
车间铸 锻造 压车 车间 间
生产办公室
二车间 三车间 四车间
18
树的概念和性质
树的定义
定义 无圈的连通图，称为树，记作 T=(V，ET)。
树的性质
v1
v3 7 v5
24
矩阵法举例
例 8.2 下面是一个求最小树的问题。用矩阵法求解
V3
7
V6
1
4
1
2
9
V1
3
3
V4
10
V7 3
V9
7
V2
4
8
6
5
V5
2
V8
25
最短路问题
最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两 点之间距离最短的一条路
最短路问题在实际中具有广泛的应用，如管道铺设、线路选择 等问题，还有些如设备更新、投资等问题也可以归结为求最短 路问题
27
Dijkstra标号法原理
方法的每一步是去修改 T 标号，并且把某一个具有 T 标号的点改变 为具有 P 标号的点，从而使 D 中具有标号的顶点数为多一个.这样至多
树与最小树问题
某企业的组织机构如下所示
生产计划科
行政办公室技术科工 设艺 计组 组
供销科Βιβλιοθήκη 财务科厂长 行政科
车间铸 锻造 压车 车间 间
生产办公室
二车间 三车间 四车间
18
树的概念和性质
树的定义
定义 无圈的连通图，称为树，记作 T=(V，ET)。
树的性质
v1
v3 7 v5
24
矩阵法举例
例 8.2 下面是一个求最小树的问题。用矩阵法求解
V3
7
V6
1
4
1
2
9
V1
3
3
V4
10
V7 3
V9
7
V2
4
8
6
5
V5
2
V8
25
最短路问题
最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两 点之间距离最短的一条路
最短路问题在实际中具有广泛的应用，如管道铺设、线路选择 等问题，还有些如设备更新、投资等问题也可以归结为求最短 路问题
离散数学第8章 图论及其应用
重要课题。
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
第八章 图论
e1 e4 e3
(b)
v3
(a)
v3
图(a)中v1和v2邻接，v1和v4邻接，v2和v4不邻 (a)中 邻接， 邻接， 和其它结点都不邻接； 两两邻接. 接，v3和其它结点都不邻接；e1,e2和e3两两邻接. 图(b)中v1邻接到v2，v2邻接到v3， v1邻接到v3； (b)中 邻接到v 邻接到v 邻接到v 分别是邻接的， e1和e2，e2和e3, e1和e4分别是邻接的，而e2和e4, 分别是不邻接的. e3和e4分别是不邻接的.
v1到v2的简单通路: (v1, v2, v3, v4, v2)
v1 v3 v1 v3 v2 v4 v2 v4
v1到v2的初级通路: (v1, v3, v4, v2)
通路及各种特殊通路的关系 通路 各边不同简单通路 各结点不同初级通路
∪起点=终点 ∪起点=终点
∪起点=终点
回路 各边不同 简单回路各结点不同 初级回路
二、连通图
定义8-4 定义 若无向图G是平凡图或 是平凡图或G中任何两个结点之 若无向图 是平凡图或 中任何两个结点之 间都有一条通路，则称G为连通图， 间都有一条通路，则称 为连通图，否则称 G是非连通图或分离图。 是非连通图或 是非连通图 分离图。 对非连通图，可以把该图分块， 对非连通图，可以把该图分块，使得每一 块都分别是连通图且块与块之间无公共结 这些块称为非连通图的连通分支 连通分支. 点，这些块称为非连通图的连通分支 说明：完全图都是连通图； 说明：完全图都是连通图； 零图都是分离图. 零图都是分离图
v1 v2
v4 v3
(b)有向图 b)有向图
无向图G <V,E>， 例 (1) 无向图G＝<V,E>，其中 V＝{v1,v2,v3,v4,v5}， E={(v1,v2),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5)}. 有向图D=<V,E> D=<V,E>， {a,b,c,d}， (2) 有向图D=<V,E>，其中 V＝{a,b,c,d}， E＝{<a,b>,<a,d>,<c,d>,<d,c>,<c,b>}. 画出图形. 画出图形.
离散数学 第八章 图论
C
A
B
D 图2
此图实际上是反 映了客观事物 之间的相互关系
10
离散数学
本世纪40年代，一个数学游戏也使用类似的方法得到 了解决：某人挑一担菜、并带一只狗、一只羊，要从河 的北岸到南岸。由于船小，只允许带狗、羊、菜三者中 的一种过河；而由于明显的原因，当人不在场时狗与羊、 羊与菜不能呆在一起。问此人应采取怎样的办法才能将 这三样东西安全地带过河去？ 方法一：不对称状态空间法 将人(person)、狗(dog)、羊(sheep)、菜(cabbage)中任意 几种在一起的情况看作是一种状态，则北岸可能出现的 状态共有十六种，其中 安全状态有下面十种： (人，狗，羊，菜)，(空)； (P,D,S,C) ，() ； (人，狗，羊)， (菜)； (P,D,S,) ，(C) ； (人，狗，菜)，(羊)； (P,D,C) ，(S) ；
7
离散数学
但当地的居民和游人做了不少的尝试，却都没有取得成 功。于是，有好事者便向当时居住在该城的大数学家欧 拉请教。 1736年，瑞士的数学家L.Euler解决了这个问题。他将 四块陆地表示成四个结点，凡陆地间有桥相连的，便在 两点间连一条线，这样图1就转化为图2了。此时，哥尼 斯堡七桥问题归结为：在图2 所示的图中，从 A, B, C, D 任一点出发，通过每条边一次且仅一次而返回出发点 的回路是否存在？后人称如此的问题为Euler环游。 欧拉断言这样的回路是不存在的。理由是：从图2中 的任一结点出发，为了要回到原来的出发点，要求与每 个结点相关联的边数均为偶数。这样才能保证从一条边 进入某结点后，可从另一条边出去，而不经过已走过的
v3
1 2
v1
1 1 1
v4 v2
2 1
图论的基本概念性术语和一些特殊图： 图3 (1)(n,m)图: |V| = n,|E| = m，即有n个结点和m条边的图称 为 ( n, m ) 图。 (2)无向边：(undirected edges简edges)在定义3下，若边 (u, , v)与边(v, ,u)表示同一条边，则称此边为无 向边。 22
A
B
D 图2
此图实际上是反 映了客观事物 之间的相互关系
10
离散数学
本世纪40年代，一个数学游戏也使用类似的方法得到 了解决：某人挑一担菜、并带一只狗、一只羊，要从河 的北岸到南岸。由于船小，只允许带狗、羊、菜三者中 的一种过河；而由于明显的原因，当人不在场时狗与羊、 羊与菜不能呆在一起。问此人应采取怎样的办法才能将 这三样东西安全地带过河去？ 方法一：不对称状态空间法 将人(person)、狗(dog)、羊(sheep)、菜(cabbage)中任意 几种在一起的情况看作是一种状态，则北岸可能出现的 状态共有十六种，其中 安全状态有下面十种： (人，狗，羊，菜)，(空)； (P,D,S,C) ，() ； (人，狗，羊)， (菜)； (P,D,S,) ，(C) ； (人，狗，菜)，(羊)； (P,D,C) ，(S) ；
7
离散数学
但当地的居民和游人做了不少的尝试，却都没有取得成 功。于是，有好事者便向当时居住在该城的大数学家欧 拉请教。 1736年，瑞士的数学家L.Euler解决了这个问题。他将 四块陆地表示成四个结点，凡陆地间有桥相连的，便在 两点间连一条线，这样图1就转化为图2了。此时，哥尼 斯堡七桥问题归结为：在图2 所示的图中，从 A, B, C, D 任一点出发，通过每条边一次且仅一次而返回出发点 的回路是否存在？后人称如此的问题为Euler环游。 欧拉断言这样的回路是不存在的。理由是：从图2中 的任一结点出发，为了要回到原来的出发点，要求与每 个结点相关联的边数均为偶数。这样才能保证从一条边 进入某结点后，可从另一条边出去，而不经过已走过的
v3
1 2
v1
1 1 1
v4 v2
2 1
图论的基本概念性术语和一些特殊图： 图3 (1)(n,m)图: |V| = n,|E| = m，即有n个结点和m条边的图称 为 ( n, m ) 图。 (2)无向边：(undirected edges简edges)在定义3下，若边 (u, , v)与边(v, ,u)表示同一条边，则称此边为无 向边。 22
运筹学8图与网络分析
（8）考察V8点，只有一个T标号，T(V8)=15，令P(V8)=15)，记录路 径（V7，V8），计算结束。
反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。
计算步骤：
（1）给Vs以P标号，P（Vs）=0，其余各点给T标号， T（Vi）=+∞；
且仅得一个圈。
4）图中边数为：p-1（p为顶点数）
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
（2）若Vi点为刚得到P标号的点，考虑点Vj: (Vi,Vj) 属于E，且Vj为T标号。则修改T(Vj)
T(Vj)=min[T(Vj),P(Vi)+lij]；
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，即： P（Vi）=min[T(Vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。
8.2 最短路问题
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
有向图：
由点和弧组成。表示为：D=（V，A）
V--点集合 A--弧集合
始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的
终点。
链（道路）：
点弧交错序列。
圈（回路）：
如一条链中起点和终点重合。
初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。
（3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14
反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。
计算步骤：
（1）给Vs以P标号，P（Vs）=0，其余各点给T标号， T（Vi）=+∞；
且仅得一个圈。
4）图中边数为：p-1（p为顶点数）
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
（2）若Vi点为刚得到P标号的点，考虑点Vj: (Vi,Vj) 属于E，且Vj为T标号。则修改T(Vj)
T(Vj)=min[T(Vj),P(Vi)+lij]；
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，即： P（Vi）=min[T(Vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。
8.2 最短路问题
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
有向图：
由点和弧组成。表示为：D=（V，A）
V--点集合 A--弧集合
始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的
终点。
链（道路）：
点弧交错序列。
圈（回路）：
如一条链中起点和终点重合。
初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。
（3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14
第8章离散数学
35
例8.6 在图8.4中，（b）是（a）的子图，生 成子图.
a
a e
b
e
b d
c
d
c
36
8.1.4完全图、补图、正则图、带权图
定义8.6 (完全图) （1）设 G=(V,E)是无向简单图，且 |V|=n，若简单图G中任意两个不同的 顶点都是邻接的，则称图G是无向完全图。 N个顶点的无向完全图记作Kn 。 注：若完全图的V中有n个顶点，则边数 为n(n-1)/2条边。
14
例8.2 判断图8.2中哪些是简单图：
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
15
解： 根据定义，只有图（a）和图（e）是简单图。 现在我们已经知道了什么图，那如果给定一个图，我们怎 么来表示它呢？归结起来，可以有三种方法来表示一个图： 1. 定义描述法： 即用点的集合和边的集合来表示一个图。 这种方法表示一个图比较有点是精确、但是太抽象不易理 解。 2. 图形表示法：即用小圆圈表示顶点，用线段或弧线表示 边。这种表示方法的优点是形象直观，但当图中的顶点和 边的数目较大时，图形表示法是不方便的，甚至是不可能 的。 3. 矩阵表示法：即用二进制的数 {0,1}来表示图形中点与 点、点与边的关系，这种方法的优点是计算机处理方便， 可充分利用矩阵代数的运算定理，但图的许多性质用矩阵 表示时会遇到困难，我们会在后面来详细讨论这个方法。
证 只需考虑无向图。以|V1|和|V2|和分别表 示图G中度为奇数和偶数的顶点集合。由 于
d (v) d (v) d (v) 2m ： 为偶数, 而 v V
vV2
2
例8.6 在图8.4中，（b）是（a）的子图，生 成子图.
a
a e
b
e
b d
c
d
c
36
8.1.4完全图、补图、正则图、带权图
定义8.6 (完全图) （1）设 G=(V,E)是无向简单图，且 |V|=n，若简单图G中任意两个不同的 顶点都是邻接的，则称图G是无向完全图。 N个顶点的无向完全图记作Kn 。 注：若完全图的V中有n个顶点，则边数 为n(n-1)/2条边。
14
例8.2 判断图8.2中哪些是简单图：
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
15
解： 根据定义，只有图（a）和图（e）是简单图。 现在我们已经知道了什么图，那如果给定一个图，我们怎 么来表示它呢？归结起来，可以有三种方法来表示一个图： 1. 定义描述法： 即用点的集合和边的集合来表示一个图。 这种方法表示一个图比较有点是精确、但是太抽象不易理 解。 2. 图形表示法：即用小圆圈表示顶点，用线段或弧线表示 边。这种表示方法的优点是形象直观，但当图中的顶点和 边的数目较大时，图形表示法是不方便的，甚至是不可能 的。 3. 矩阵表示法：即用二进制的数 {0,1}来表示图形中点与 点、点与边的关系，这种方法的优点是计算机处理方便， 可充分利用矩阵代数的运算定理，但图的许多性质用矩阵 表示时会遇到困难，我们会在后面来详细讨论这个方法。
证 只需考虑无向图。以|V1|和|V2|和分别表 示图G中度为奇数和偶数的顶点集合。由 于
d (v) d (v) d (v) 2m ： 为偶数, 而 v V
vV2
2
第八章图论
3. 图的结点与边之间的关系 定义 如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。 没有与边关联的结点称为孤立点。 关联于同一结点的相异边称为邻接的。 不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重 图。 最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义 图G中关联于结点vi的边的总数称为 结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数 的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图 的非连通图。 结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了 图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通 的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义 定义 设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中 若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条 不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集 定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图， 则称S是G的一个边割集。 注：割边是边割集的一个特例。
第八章 匹配理论
和点。 如果没有，那么肯定是最大匹配了，如果 有，从图中的任一选定的非饱和点出发，用标号 法寻找增广链。如果找到增广链，则就可以得到 增广；否则从图中另一个非饱和点出发，继续寻
找增广链。重复这个过程直到G中不存在增广链
结束，此时的匹配就是G的最大匹配。这个算法 通常称为匈牙利算法.
匈牙利算法
基本思想:设G是具有二部划分(V1,V2)的二部图,从图G的 任意匹配M开始.若M饱和V1,则M是G的匹配.若M不能饱和 V1,则在V1中选择一个非M饱和点x,若G中存在以x为起点 的M可增广路P,则M’=MP就是比M更大的匹配,利用M’ 代替M,并重复这个过程.若G中不存在以x为起点的M可增 广路,则令H是根在x的M交错子图的顶点集,并令 S=HV1,T=HV2, 由定理1,T=NG(S),且G中不存在以x为 起点的M可增广路,此时称x为检验过的非M饱和点.对V1中 其它未检验过的非M饱和点重复该过程,直到V1中的所有 非M饱和点全部检验过为止.当整个过程结束时,由于G中
• 最简单的情况是G是一条单通路。显然
• ①G的边应交错地属于M(M不能有邻接的边)。
• ② G的第一条边和最后一条边中至少应有一条 边属于M (否则M不是最大匹配)。如下图所示：
• 定义4：若M是图G的一个匹配，若从G中 一个顶点到另一个顶点存在一条道路，此 路径由属于M和不属于M的边交替出现组成
§8.3
Hall定理
设有m个人，n项工作，每个人会做其中的若
干项工作，能不能适当安排，使得每个人都有工
作做？
w1
w2
w3
w4
w5
m1
m2
m3
m4
当m>n时，肯定是不可能的，即使是 m≤n也不一定。但如果每个人能做的工作 越多，越容易实现。
找增广链。重复这个过程直到G中不存在增广链
结束，此时的匹配就是G的最大匹配。这个算法 通常称为匈牙利算法.
匈牙利算法
基本思想:设G是具有二部划分(V1,V2)的二部图,从图G的 任意匹配M开始.若M饱和V1,则M是G的匹配.若M不能饱和 V1,则在V1中选择一个非M饱和点x,若G中存在以x为起点 的M可增广路P,则M’=MP就是比M更大的匹配,利用M’ 代替M,并重复这个过程.若G中不存在以x为起点的M可增 广路,则令H是根在x的M交错子图的顶点集,并令 S=HV1,T=HV2, 由定理1,T=NG(S),且G中不存在以x为 起点的M可增广路,此时称x为检验过的非M饱和点.对V1中 其它未检验过的非M饱和点重复该过程,直到V1中的所有 非M饱和点全部检验过为止.当整个过程结束时,由于G中
• 最简单的情况是G是一条单通路。显然
• ①G的边应交错地属于M(M不能有邻接的边)。
• ② G的第一条边和最后一条边中至少应有一条 边属于M (否则M不是最大匹配)。如下图所示：
• 定义4：若M是图G的一个匹配，若从G中 一个顶点到另一个顶点存在一条道路，此 路径由属于M和不属于M的边交替出现组成
§8.3
Hall定理
设有m个人，n项工作，每个人会做其中的若
干项工作，能不能适当安排，使得每个人都有工
作做？
w1
w2
w3
w4
w5
m1
m2
m3
m4
当m>n时，肯定是不可能的，即使是 m≤n也不一定。但如果每个人能做的工作 越多，越容易实现。
第八章图论原理
第八章图论原理
图论
• 图论是用图的方法研究客观世界的一门科 学.
• 用“结点”表示事物, 用“边”表示事物 之间联系, 而由结点与边所构成的图表示 所研究的客观对象.
• 图论研究图的逻辑结构与性质，是研究图 的抽象性质的一种数学.
图论
• 图论在语言学、逻辑学、物理学、化学、 电气工程、计算机网络、计算机科学及数 学的其他分支中有广泛应用.
8.1.2 图的基本概念
• 有序结点对所对应的边称为有向边，无序结点对 所对应的边称为无向边
• 有向图：图中的所有边均为有向边 • 无向图：图中的所有边均为无向边
8.1.2 图的基本概念
• 有向边lk={vi,vj}中, vi称为lk的起点, vj称为lk的终点 • 不管lk是有向还是无向, 均称lk与vi和vj相关联, 而vi
• 如果有V’⊂V, E⊂E’, 则称G’是G的真子图. • 如果有V’=V, E⊆E’, 则称G’是G的生成子图.
8.1.2 图的基本概念
• (n,m)图: 一个具有n个结点、m条边所组成的图
• 零图: 由一些孤立点组成的图, 即(n,0)图
• 平凡图: 由一个孤立结点组成的图, 即(1,0)图
• 解： 其资源分配图：
8.2.1 通路与回路
• 例8.4 用有向图刻画过程间的调用关系，来判断某过 程是否是递归的. 一个过程集合P={P1,P2,P3,P4,P5} 调用关系： P1调用P2； P2调用P4； P3调用P1； P4调用P5； P5调用P2；
• 某过程是递归的充分必要条件是包括此过程在内的结 点构成一个回路.
• 定义8.6
一个有向图, 如果忽略其边的方向后得到的无向 图是连通的, 则称此有向图为连通图; 否则, 称为 非连通图.
图论
• 图论是用图的方法研究客观世界的一门科 学.
• 用“结点”表示事物, 用“边”表示事物 之间联系, 而由结点与边所构成的图表示 所研究的客观对象.
• 图论研究图的逻辑结构与性质，是研究图 的抽象性质的一种数学.
图论
• 图论在语言学、逻辑学、物理学、化学、 电气工程、计算机网络、计算机科学及数 学的其他分支中有广泛应用.
8.1.2 图的基本概念
• 有序结点对所对应的边称为有向边，无序结点对 所对应的边称为无向边
• 有向图：图中的所有边均为有向边 • 无向图：图中的所有边均为无向边
8.1.2 图的基本概念
• 有向边lk={vi,vj}中, vi称为lk的起点, vj称为lk的终点 • 不管lk是有向还是无向, 均称lk与vi和vj相关联, 而vi
• 如果有V’⊂V, E⊂E’, 则称G’是G的真子图. • 如果有V’=V, E⊆E’, 则称G’是G的生成子图.
8.1.2 图的基本概念
• (n,m)图: 一个具有n个结点、m条边所组成的图
• 零图: 由一些孤立点组成的图, 即(n,0)图
• 平凡图: 由一个孤立结点组成的图, 即(1,0)图
• 解： 其资源分配图：
8.2.1 通路与回路
• 例8.4 用有向图刻画过程间的调用关系，来判断某过 程是否是递归的. 一个过程集合P={P1,P2,P3,P4,P5} 调用关系： P1调用P2； P2调用P4； P3调用P1； P4调用P5； P5调用P2；
• 某过程是递归的充分必要条件是包括此过程在内的结 点构成一个回路.
• 定义8.6
一个有向图, 如果忽略其边的方向后得到的无向 图是连通的, 则称此有向图为连通图; 否则, 称为 非连通图.
离散数学及其应用课件第8章特殊图
例8.1.2 在下图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边 的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如 果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称 它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
Dijkstra算法
8.2.3 中国邮路问题
– 一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每 个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过 他负责范围内的每一条街道，如何选择投递路线，邮递员可 以走尽可能少的路程？这个问题是由我国数学家管梅谷先生 （山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在 国际上称之为中国邮路问题．
中国邮路问题
首先注意到，若图G有奇数度结点，则G的奇数度结点必是偶数个． 把奇数度结点配为若干对，每对结点之间在G中有相应的最短路，将这 些最短路画在一起构成一个附加的边子集E1．令G1 =G+E1，即把附加边子 集E1 叠加在原图G上形成一个多重图G1，这时G1中没有奇度数结点．显然 G1是一个欧拉图，因而可以求出G1的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图 G中每条边，同时还通过E1 中的每条边，且均仅一次． 邮递员问题的难点在于当G的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方 法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E1 的权数W(E1)为最小。
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一 条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路， 称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路， 称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边 的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如 果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称 它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
Dijkstra算法
8.2.3 中国邮路问题
– 一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每 个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过 他负责范围内的每一条街道，如何选择投递路线，邮递员可 以走尽可能少的路程？这个问题是由我国数学家管梅谷先生 （山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在 国际上称之为中国邮路问题．
中国邮路问题
首先注意到，若图G有奇数度结点，则G的奇数度结点必是偶数个． 把奇数度结点配为若干对，每对结点之间在G中有相应的最短路，将这 些最短路画在一起构成一个附加的边子集E1．令G1 =G+E1，即把附加边子 集E1 叠加在原图G上形成一个多重图G1，这时G1中没有奇度数结点．显然 G1是一个欧拉图，因而可以求出G1的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图 G中每条边，同时还通过E1 中的每条边，且均仅一次． 邮递员问题的难点在于当G的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方 法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E1 的权数W(E1)为最小。
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一 条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路， 称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路， 称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。
图论引导笔记第八章匹配与分解
图论引导笔记第⼋章匹配与分解8.1 匹配定义：1、（边的集合）独⽴的：G.E的⼀个⼦集，且该集合中的任意两条边不相邻接。
称边独⽴集。
2、匹配（matching）：图G的⼀个独⽴集。
3、匹配（match）：⼆部图的两个部集的点集之间的⼀种映射关系，该映射关系满⾜于所连接的边是⼀个匹配（matching）*以下考虑的是⼆部图G，他的两个集部是U和W，且|U|≤|W|，X是U的⾮空⼦集4、（⾮空点集的）邻域：集合中所有顶点邻域的并。
设集合为X，记作N（X）5、（集部是）友好的：对于集部U，他的任意⾮空⼦集X，都有|N(X)|≥|X|。
（翻译⼀下就是说，在这个部⾥任意取⼀部分点都能形成匹配）6、互异代表元系：有⼀串⾮空有限集合{S1,S2,…,Sn}，存在n个不同的元素{x1,x2,…,xn}使得xi∈Si,则这串{xi}称为互异代表元系。
（⽽不是指；仅仅这个集合有别的集合没有。
显然，|∪{Si}|≥n）7、（⼆分图）交错路：⼀条属于匹配的边和⼀条不属于匹配的边交错构成的路。
8、（任意分图）最⼤匹配：具有最⼤基数的匹配, 对于n阶⼆分图，最⼤匹配数不会超过floor(n/2)9、完美匹配：（此处讨论⼆分图）G的阶数为偶数，匹配基数等于n/2，G中任意顶点均能通过M匹配到G中另⼀个顶点。
完美匹配也必定是最⼤匹配。
使⽤：完美匹配要求图的⼀个集部是友好的和边有关的加<'>,和点有关的不加。
11、边独⽴数：G 中边独⽴集的最⼤基数。
记作β'(G)。
阶为n的图存在完美匹配当且仅当n为偶数且β'(G)=n/2.12、覆盖：顶点与其关联边，互为彼此的覆盖。
13、边覆盖：覆盖G所有点的边的集合，称为是G的⼀个边覆盖。
14、边覆盖数：G中所有边覆盖最⼩的基数，记作α'(G)，当且仅当G不包含孤⽴点的时候有定义。
15、最⼩边覆盖：具有最⼩边覆盖基数的边覆盖。
边覆盖/独⽴有关的⼀些性质：对于整数n≥3，1≤r≤s，边覆盖数有：α'(Cn)=α'(Kn)=ceiling(n/2); α'(K_r,s)=s边独⽴数有：β'(Cn)=β'(Kn)=floor(n/2); β'(K_r,s)=r所以：α'(Cn)+β'(Cn)= α'(Kn)+β'(Kn)=n; α'(K_r,s)+ β'(K_r,s)=r =s+r以上性质很显然可以看出来。
离散数学 第8章 图的基本概念 课件
素数目等于结点vj的引入次数。即
deg(vi)=
和deg(vj)=
。
5.由给定简单图G的邻接矩阵A可计算出矩阵A的l次幂，
即Al。则第i行第j列上的元素alij便是G中从
结点vi到结点vj长度为l的通路的数目。
给出下面Байду номын сангаас理
定理 设A为简单图G的邻接矩阵，则Al中的i行j列元 素alij等于G中联结vi到vj的长度为l的通路的数目。
0 0 0 1 1 0 C 0 0 1 0 0 0 1 1 0 BC 1 1 0
例2
v5
v1 v2
v3
v4
0 0 A 1 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 P 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
多重图、无向图及权图
则该有向图的邻接距阵为：
则该无向图的邻接距阵为：
已知加权的简单图G=<V,E>，定义一个矩阵
A=(aij)，其中：
aij=
{
ω, ω是边（vi,vj） 的权
0， vi与vj没有边相连
则称A为图G的权矩阵
例: 权图
a
5
b
4
w(ab)=5 w(aa)=0 w(ac)=12 w(bd)= ∞ w(ad)=8
8
12
20
d
c
0 5 12 8 5 0 4 A 12 4 0 20 8 20 0
08 离散数学 第八章 图论
第8章 图论
定义 8.1―3赋权图G是一个三重
组 〈V,E,g〉或四重组〈V,E,f,g〉,其中V是 结点集合, E是边的集合,f是定义在V上的 函数,g是定义在E上的函数。 图8.1―4给出一个赋权图。 V={v1,v2,v3} E={e1,e2}={(v1,v2),(v2,v3)} f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11 g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
第8章 图论
除以上4种运算外,还有以下两种
操作:
(1) 删去图G的一条边e; (2)删去图G的一个结点v。它的实 际意义是删去结点v和与v关联的所有边。 为了帮助理解,在图8.1―9中给出以上4种 运算和两种操作的图示。
第8章 图论
图 8.1―9
第8章 图论
8.1.5 子图与补图 定义8.1―8设G=〈V,E〉和G′= 〈V′,E′〉是两个图。 (1) 如果V′ V和E′ E,则称G′是G 的子图。如果V′ V和E′ E,则称G′ G的 真子图。(注意:“G′是图”已隐含着“E′ 中的边仅关联V′中的结点”的意义。) (2) 如果V′=V和E′ E,则称G′为G 的生成子图。 (3) 若子图G′中没有孤立结点,G′ 由E′唯一确定,则称G′为由边集E′导出的 子图。
第8章 图论
图 8.1―8
第8章 图论
8.1.4 图的运算 图的常见运算有并、交、差、环和等, 现分别定义于下: 定义8.1―7设图G1=〈V1,E1〉和图 G2=〈V2,E2〉。 (1)G1与G2的并,定义为图G3＝ 〈V3,E3〉, 其中V3=V1∪V2,E3=E1∪E2,记为 G3=G1∪G2。 (2)G1与G2的交,定义为图G3＝ 〈V3,E3〉, 其中V3=V1∩V2,E3=E1∩E2,记为
《应用数学基础》(陈冲)教学课件 第八章 图 论
应用数学基础
第八章 图 论
目录
ONTENTS
1 图的基本概念 2 图的矩阵表示 3 图的连通性
01 图的基本 概念
1.1 图的定义
在某计算机网络中，两台计算机之间通过网络线连接起来，如图 8-1 所示．顶点表示每台计 算机的位置，边表示网络连线．这类图在绘制时，可用圆圈（或实心点）来表示顶点，对图的 所有顶点标以名称：v1 ，v2 ，v3 ，v4 ；用直线或曲线来表示边，同时对图的所有边标以名称：e1 ， e2 ， e3 ， e4 ， e5 ，如图 8-2 所示．
该定理之所以称为握手定理，因为它有非常直观而形象的解释：假定有若干个人握手，每握
一次手，需要 2 只手来完成．此时有人用自己的右手握自己的左手，也算一次握手．参加握手的 手的总数目（包含重复的）恰好等于握手次数的 2 倍．这里用到了图论模型解决实际问题：把每 个人看成一个顶点，某两人握一次手，则在相应顶点之间连上一条边；如果某人与自己握手，则
设 G (V ，E) 是有向图， v V ，称以 v 为终点的边数为 v 的入度，记为 d (v) ；称以 v 为起 点的边数为 v 的出度，记为 d (v) ．
若 d(v) 是奇数，就称 v 为奇点；若 d(v) 是偶数，就称 v 为偶点．度为 1 的点称为悬和是边数的 2 倍，这是图的一般性质．下面给出的定理是 Euler 在 1936 年提出 的，常称为握手定理，是图论中的基本定理．
定理 1（握手定理） 设 G (V ，E) 是图，G 中所有顶点度数之和 d (v) 等于 G 中边数 m 的 vV
两倍，即
d(v) 2m ．
vV
1.2 顶点的度
在图 8-3 中，由于 e3 (v2 ，v3 ) ，则点 v2 与点 v3 邻接，点 v2 与边 e3 关联，点 v3 与边 e3 关联； 由于边 e1 和边 e3 有共同的顶点 v2 ，则边 e1 和边 e3 邻接； v5 为孤立点．
第八章 图 论
目录
ONTENTS
1 图的基本概念 2 图的矩阵表示 3 图的连通性
01 图的基本 概念
1.1 图的定义
在某计算机网络中，两台计算机之间通过网络线连接起来，如图 8-1 所示．顶点表示每台计 算机的位置，边表示网络连线．这类图在绘制时，可用圆圈（或实心点）来表示顶点，对图的 所有顶点标以名称：v1 ，v2 ，v3 ，v4 ；用直线或曲线来表示边，同时对图的所有边标以名称：e1 ， e2 ， e3 ， e4 ， e5 ，如图 8-2 所示．
该定理之所以称为握手定理，因为它有非常直观而形象的解释：假定有若干个人握手，每握
一次手，需要 2 只手来完成．此时有人用自己的右手握自己的左手，也算一次握手．参加握手的 手的总数目（包含重复的）恰好等于握手次数的 2 倍．这里用到了图论模型解决实际问题：把每 个人看成一个顶点，某两人握一次手，则在相应顶点之间连上一条边；如果某人与自己握手，则
设 G (V ，E) 是有向图， v V ，称以 v 为终点的边数为 v 的入度，记为 d (v) ；称以 v 为起 点的边数为 v 的出度，记为 d (v) ．
若 d(v) 是奇数，就称 v 为奇点；若 d(v) 是偶数，就称 v 为偶点．度为 1 的点称为悬和是边数的 2 倍，这是图的一般性质．下面给出的定理是 Euler 在 1936 年提出 的，常称为握手定理，是图论中的基本定理．
定理 1（握手定理） 设 G (V ，E) 是图，G 中所有顶点度数之和 d (v) 等于 G 中边数 m 的 vV
两倍，即
d(v) 2m ．
vV
1.2 顶点的度
在图 8-3 中，由于 e3 (v2 ，v3 ) ，则点 v2 与点 v3 邻接，点 v2 与边 e3 关联，点 v3 与边 e3 关联； 由于边 e1 和边 e3 有共同的顶点 v2 ，则边 e1 和边 e3 邻接； v5 为孤立点．
管理运筹学第八章
度为零的点称为弧立点，度为1 的点称为悬挂点。悬挂点的边称为 悬挂边。度为奇数的点称为奇点， 度为偶数的点称为偶点。
16
1.图的基本概念与基本定理
端点的度 d(v)：点 v 作为边端点
的个数；
奇点：d(v)=奇数； 偶点：d(v)=偶数； 悬挂点：d(v)=1；
悬挂边：与悬挂点连接的边；
孤立点：d(v)=0；
(v4,v6),(v,v3),(v5,v4),
(v5,v6),(v6,v7)}
v3
v5
v7
v1 v2
v6
v4
图8.5
14
1.图的基本概念与基本定理
下面介绍一些常用的名词：
一个图G或有向图D中的点数,记作P(G)或 P(D),简记作 P,边数或者弧数, 记作q(G)或者 q(D),简记作q。
如果边[vi,vj] E,那么称vi,vj是边的端点， 或者vi,vj是相邻的。如果一个图G中，一条边
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
[v3,v3]} v1
v2
v4
图8.4
v3
13
1.图的基本概念与基本定理
图8.5是一个有向图D=（V，A）
其中V={v1,Hale Waihona Puke 2,v3,v4,v5,v6,v7}
A={(v1,v2),(v,v3),(v3,v2),
(v3,v4),(v2,v4),(v4,v5),
证明: 必要性显然；
充分性: 设图G是连通的，若G不含圈， 则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一 个支撑树。若G含圈，则任取G的一个圈，从 该圈中任意去掉一条边，得到图G的一支撑 子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个支撑树。 若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈 中任意去掉一条边，得到图G的一支撑子图 G2。依此类推，可以得到图G的一个支撑子 图GK，且不含圈，从而GK是一个支撑树。
16
1.图的基本概念与基本定理
端点的度 d(v)：点 v 作为边端点
的个数；
奇点：d(v)=奇数； 偶点：d(v)=偶数； 悬挂点：d(v)=1；
悬挂边：与悬挂点连接的边；
孤立点：d(v)=0；
(v4,v6),(v,v3),(v5,v4),
(v5,v6),(v6,v7)}
v3
v5
v7
v1 v2
v6
v4
图8.5
14
1.图的基本概念与基本定理
下面介绍一些常用的名词：
一个图G或有向图D中的点数,记作P(G)或 P(D),简记作 P,边数或者弧数, 记作q(G)或者 q(D),简记作q。
如果边[vi,vj] E,那么称vi,vj是边的端点， 或者vi,vj是相邻的。如果一个图G中，一条边
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
[v3,v3]} v1
v2
v4
图8.4
v3
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1.图的基本概念与基本定理
图8.5是一个有向图D=（V，A）
其中V={v1,Hale Waihona Puke 2,v3,v4,v5,v6,v7}
A={(v1,v2),(v,v3),(v3,v2),
(v3,v4),(v2,v4),(v4,v5),
证明: 必要性显然；
充分性: 设图G是连通的，若G不含圈， 则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一 个支撑树。若G含圈，则任取G的一个圈，从 该圈中任意去掉一条边，得到图G的一支撑 子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个支撑树。 若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈 中任意去掉一条边，得到图G的一支撑子图 G2。依此类推，可以得到图G的一个支撑子 图GK，且不含圈，从而GK是一个支撑树。
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(1) 若G中存在一条通路，经过中每条边一次且仅一
次，则称该通路是欧拉通路.
(2) 若G中存在一条回路，经过中每条边一次且仅一
次，则称该回路是欧拉回路.
(3) 存在欧拉回路的图称为欧拉图.
1 2 1 2 1 2
4 欧拉图
3
3
非欧拉图 有欧拉迹
4
3
4
非欧拉图 无欧拉迹
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Euler图的判别定理
C
∵图中任意结点的度均为偶数，∴有如下所示：
C
C
与假设矛盾， ∴C是Euler回路。
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推论：如果连通图G只有两个度为奇数的顶 点，则存在以这两个顶点为两端点，且包含 G所有边的Euler道路。
补充：连通有向图存在Euler回路的充要条 件是：每个顶点的入度＝出度。
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v1
u1 v4
u2
v2 u4 v3 G2 u3
v1
u1
u2
v4
v3
v2 u4 u3
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
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4、有向图的连通
强连通 单向连通 弱连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通 单向连通—— G 中任一对顶点至少一 向可达
判别定理4：无向图G是欧拉图当且仅当G是 连通图，且G中没有奇度顶点。 (充要条件) 证明（反证法）： 设C=(e1=(v0,v1),e2=(v1,v2),…,em=(vm-1 ,v0))是图中最大的回路。 假设C不是Euler回路。则图G如下图所示 ：
C
或
C
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∵ 图是连通的，则顶点不可能出现下面的情况：
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说明: 表示方法 ① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图 中, 所有圈的长度2. 一条基本通路一定是简单通路，反正不成立. 通路、回路是图的子图.
（ 1） （2） 图（1）存在经过每个顶点的回路，所以是强连通图 图（2）存在经过每个顶点的通路，所以是单向连通图
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短线程，距离
短程线——连通或可达的两点间长度最短的
d (vi , v j )
记
无向图 有向图
d vi , v j
若 vi , v j 之间无路(或不可达)，规定
v2 v1 v3 v6 v7 v8
v5
v4
v9
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解：首先看图中是否有Euler回路，即看每个 顶点的度是否都是偶数。 d(V1)=2， d(V2)=4， d(V3)=2， d(V4)=4， d(V5)=4， d(V6)=4， d(V7)=2， d(V8)=2， d(V9)=4。 所以存在Euler回路。 可以任意一个顶点为起点，这里以v2为起 v2 v7 点:
(3) deg( vi )
vi V1
1
e d c
b 2
3 4
5
显然，f双射且（a,b)与(f(a),f(b))=(1,3)重数相等,…
vi V2
等。 deg(v ), 且度数相同的顶点数相
i
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5
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通路和回路的性质（选学）
定理1 设G=<V,E>,|V|=n,u,vV,若存在从u到v的通路， 则存在一条从u到v的长度不超过n-1的通路。 证明: 设v0e1v1e2…emvm为顶点u到顶点v的通路(v0=u,vm=v),长度为m, 若m≤n-1,则v0 e1 v1 e2…emvm为长度不超过n-1的从u到v的通路； 若m>n-1,则m+1>n,v0e1v1e2…emvm中至少有一个顶点出现两次以上， 不妨设vi=vj(0≤ij≤m),从上述通路中删去vi到ej这段循环，
弱连通 ——略去G 中有向边的方向后 得到的无向图连通
强连通
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单向连通
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例4 指出下图的连通性
（ 1）
（ 2） （1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图
（ 3）
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强连通图和单向连通图的判别定理 定理 2 有向图 D 是强连通图当且仅当 D 中存在经过 每个顶点至少一次的回路。 定理3 有向图D是单向连通图当且仅当D中存在经 过每个顶点至少一次的通路。
则存在一条从u到u的长度不超过n的回路。
推论3 设G=<V, E>, |V|=n, uV, 若存在从u到u的回路， 则存在一条从u到u的长度不超过n的基本回路。
设G=<V,E>,|V|=n,则
(1)任何基本通路的长度均不大于n-1。 (2)任何基本回路的长度均不大于n。
对简单通路(回路)是否也成立,为什么?
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8.3.2 欧拉通路与哈密顿通路
哥尼斯堡城(位于德国北部), 在欧拉的生活与图论历 史中扮演着非常重要角色。因为它，产生了著名的欧 拉图定理，因为它，产生了图论。
转化
Euler
1736年
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欧拉图
定义 8.3.4 ：给定图G=<V,E>是连通无向图
d (vi , v j ) d vi , v j
距离d vi , v j 满足：
vi v j 时，等号成立。 (1) d vi , v j 0 ，
(2) d vi , v j d v j , vk d vi , vk
d (vi , v j ) d (v j , vi ) 。 若是无向图，还具有对称性，
解：a 是连通的
b不是连通的 c 强连通 d单向连通 e 是弱连通的
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无向图的连通性
G 为连通图—— G 是平凡图，或 G 中任两点都是连通的。 G 为非连通图—— G 中至少有两点不连通。
u1 v4
v1
u2
v2
G1
u4
G2
v3
u3
G3
这里G1 是连通图，G 2 是非连通图，仅有一个顶点的图 G3 我们也 把它看成是连通图。
汉密尔顿图(H图) (Hamilton图)
Hamilton是英国数学家,在1959年,他提出Hamilton回路. H图起源于一种游戏,这个游戏就是所谓周游世界问题. 例如,某个城市的街道如图所示: 该城市的所有交叉路口都有形象各 异的精美的雕塑,吸引着许多游客, 人人都想找到这样的路径:游遍各
v8
v9
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的 边，则此顶点亦可去。 b、去某边后不能造成图形的不连通。
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v2 4 v1 5 v3 3 1 2 v5 6 v4 v6 7 8
v7 v8
v9
这时，如果去掉(v6,v5)将导致图不连通
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的 边，则此顶点亦可去。 b、去某边后不能造成图形的不连通。
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图的同构（选学）
使得u,vV1,[u,v]E1
指(u,v) 或<u,v>
定义：图同构：设G1=<V1,E1>,G2=<V2,E2>,若存在双射函数f:V1→V2, 如果 [f(u),f(v)]E2,且[u,v]与[f(u),f(v)] 的重数相等，则称G1与G2同构，记作G1G2. a 例2：下列两个图同构： ∵ 有f:{a,b,c,d,e}→{1,2,3,4,5}, f(a)=1,f(b)=3,f(c)=5,f(d)=2,f(e)=4 同构的必要条件： (1)|V1|=|V2|; (2)|E1|=|E2|;
(3)接着去掉(v3,v2)
v2 v7 v6 v8
v1
v3
3 1 2 v4 v5
v9
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的 边，则此顶点亦可去。 b、去某边后不能造成图形的不连通。
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……
v2 v7 v6
v1
v3
3 1 2 v4 v5
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v2
4 v1 v3
v7 14 12 13 v6 7 9 v8 8 10 v9 11
3
1
v5 6 v4
5
2
Euler回路： V2-v4-v3-v2-v1-v4-v5-v9-v6-v8-v9-v7-v6-v5-v2
从上例可知， Euler回路不唯一。
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例1、研究右图的路
图中，从 v1 到 v6 的通路有： 1 v1e1v2e5v5e7v6
初级通路 简单通路
2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6 …………
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复杂通路