第八章 图论8.3

则v0e1v1e2…viej+1…emvm是长度为m-(j-i)的从u到v的通路, 重复上述过程可得到 长度不超过n-1的u到v的通路。
vi+1 v0 e1 v1 …
如图 …
e2
… ei vi vj-1 ej+1 vj ej
结束
6
…
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推论1 设G=<V,E>,|V|=n,u,vV,若存在从u到v的通路， 则存在一条从u到v的长度不超过n-1的基本通路。 定理2 设G=<V, E>, |V|=n, uV, 若存在从u到u的回路，
v1
u1 v4
u2
v2 u4 v3 G2 u3
v1
u1
u2
v4
v3
v2 u4 u3
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
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4、有向图的连通
强连通 单向连通 弱连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通 单向连通—— G 中任一对顶点至少一 向可达
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结点之间的连通性是结点集V上的等价关系，对应该等价关系， 必可将作出一个划分，把V分成非空子集V1, V2, …, Vm,使得两个结点 vj和vk是连通的，当且仅当它们属于同一个Vi 。把子图G(V1) , G(V2) , …, G(Vm)称为图G的连通分支（connected components）,图G 的连通分支数记为W(G) 。如上例中图 的连通分支个数就是2

则存在一条从u到u的长度不超过n的回路。

推论3 设G=<V, E>, |V|=n, uV, 若存在从u到u的回路， 则存在一条从u到u的长度不超过n的基本回路。
设G=<V,E>,|V|=n,则
(1)任何基本通路的长度均不大于n-1。 (2)任何基本回路的长度均不大于n。
对简单通路(回路)是否也成立,为什么?
d (vi , v j ) d vi , v j
距离d vi , v j 满足：


vi v j 时，等号成立。 (1) d vi , v j 0 ，
(2) d vi , v j d v j , vk d vi , vk
d (vi , v j ) d (v j , vi ) 。 若是无向图，还具有对称性，
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3
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例1、研究右图的路
图中，从 v1 到 v6 的通路有： 1 v1e1v2e5v5e7v6
初级通路 简单通路
2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6 …………
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复杂通路
弱连通 ——略去G 中有向边的方向后 得到的无向图连通
强连通
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单向连通
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例4 指出下图的连通性
（ 1）
（ 2） （1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图
（ 3）
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强连通图和单向连通图的判别定理 定理 2 有向图 D 是强连通图当且仅当 D 中存在经过 每个顶点至少一次的回路。 定理3 有向图D是单向连通图当且仅当D中存在经 过每个顶点至少一次的通路。
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8.3.2 欧拉通路与哈密顿通路
哥尼斯堡城(位于德国北部), 在欧拉的生活与图论历 史中扮演着非常重要角色。因为它，产生了著名的欧 拉图定理，因为它，产生了图论。
转化
Euler
1736年
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欧拉图
定义 8.3.4 ：给定图G=<V,E>是连通无向图
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v2
4 v1 v3
v7 14 12 13 v6 7 9 v8 8 10 v9 11
3
1
v5 6 v4
5
2
Euler回路： V2-v4-v3-v2-v1-v4-v5-v9-v6-v8-v9-v7-v6-v5-v2
从上例可知， Euler回路不唯一。
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(3)接着去掉(v3,v2)
v2 v7 v6 v8
v1
v3
3 1 2 v4 v5
v9
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的 边，则此顶点亦可去。 b、去某边后不能造成图形的不连通。
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……
v2 v7 v6
v1
v3
3 1 2 v4 v5
C
∵图中任意结点的度均为偶数，∴有如下所示：
C
C
与假设矛盾， ∴C是Euler回路。
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推论：如果连通图G只有两个度为奇数的顶 点，则存在以这两个顶点为两端点，且包含 G所有边的Euler道路。
补充：连通有向图存在Euler回路的充要条 件是：每个顶点的入度＝出度。
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8.3 通路、回路与图的连通性
8.3.1 通路与回路
8.3.2 图的连通性 8.3.3 欧拉通路与汉密尔顿通路
8.3.4 赋权图与最短路问题
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8.3.1通路与回路
定义8.3.1 给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与边 的交替序列=v0e1v1e2…elvl， (1) 若i(1il), vi1, vi是ei的端点(对于有向图, 要求vi1是始点, vi是终点), 则称 为通路,即每条边的终点总是下一条边的 起点.v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又 若v0=vl，则称为回路. (2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈. (3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路). 简单通路称为迹，简单回路称为闭迹 2
v1 v3 v5 v4 v9 v6 v8
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(2)接着去掉(v4,v3)
v2 v1 v3 2 v4 v9 v6 v7 v8
1
v5
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的 边，则此顶点亦可去。 b、去某边后不能造成图形的不连通。
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(1) 若G中存在一条通路，经过中每条边一次且仅一
次，则称该通路是欧拉通路.
(2) 若G中存在一条回路，经过中每条边一次且仅一
次，则称该回路是欧拉回路.
(3) 存在欧拉回路的图称为欧拉图.
1 2 1 2 1 2
4 欧拉图
3
3
非欧拉图 有欧拉迹
4
3
4
非欧拉图 无欧拉迹
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Euler图的判别定理
（ 1） （2） 图（1）存在经过每个顶点的回路，所以是强连通图 图（2）存在经过每个顶点的通路，所以是单向连通图
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短线程，距离
短程线——连通或可达的两点间长度最短的
d (vi , v j )
记
无向图 有向图
d vi , v j
若 vi , v j 之间无路(或不可达)，规定
判别定理4：无向图G是欧拉图当且仅当G是 连通图，且G中没有奇度顶点。 (充要条件) 证明（反证法）： 设C=(e1=(v0,v1),e2=(v1,v2),…,em=(vm-1 ,v0))是图中最大的回路。 假设C不是Euler回路。则图G如下图所示 ：
C
或
C
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∵ 图是连通的，则顶点不可能出现下面的情况：
汉密尔顿图(H图) (Hamilton图)
Hamilton是英国数学家,在1959年,他提出Hamilton回路. H图起源于一种游戏,这个游戏就是所谓周游世界问题. 例如,某个城市的街道如图所示: 该城市的所有交叉路口都有形象各 异的精美的雕塑,吸引着许多游客, 人人都想找到这样的路径:游遍各

(1) u和v相互可达，则称G是强连通图； (2) u和v至少有一个可达另一个，则称G是单向连通图； (3) G的底图（不考虑方向）是连通的，则称G是弱连通图。

有向图的极大强(单向、弱)连通子图，称为强(单向、弱)连通分图.
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例3：指出下图的连通性
（a)
(c)
（b)
(d)
(e)
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图的同构（选学）
使得u,vV1,[u,v]E1
指(u,v) 或<u,v>
定义：图同构：设G1=<V1,E1>,G2=<V2,E2>,若存在双射函数f:V1→V2, 如果 [f(u),f(v)]E2,且[u,v]与[f(u),f(v)] 的重数相等，则称G1与G2同构，记作G1G2. a 例2：下列两个图同构： ∵ 有f:{a,b,c,d,e}→{1,2,3,4,5}, f(a)=1,f(b)=3,f(c)=5,f(d)=2,f(e)=4 同构的必要条件： (1)|V1|=|V2|; (2)|E1|=|E2|;
v8
v9
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的 边，则此顶点亦可去。 b、去某边后不能造成图形的不连通。
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v2 4 v1 5 v3 3 1 2 v5 6 v4 v6 7 8
v7 v8
v9
这时，如果去掉(v6,v5)将导致图不连通
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的 边，则此顶点亦可去。 b、去某边后不能造成图形的不连通。
解：a 是连通的
b不是连通的 c 强连通 d单向连通 e 是弱连通的
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无向图的连通性
G 为连通图—— G 是平凡图，或 G 中任两点都是连通的。 G 为非连通图—— G 中至少有两点不连通。
u1 v4
v1
u2
v2
G1
u4
G2
v3
u3
G3
这里G1 是连通图，G 2 是非连通图，仅有一个顶点的图 G3 我们也 把它看成是连通图。
(3) deg( vi )
vi V1
1
e d c
b 2
3 4
5
显然，f双射且（a,b)与(f(a),f(b))=(1,3)重数相等,…

vi V2
等。 deg(v ), 且度数相同的顶点数相
i
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通路和回路的性质（选学）
定理1 设G=<V,E>,|V|=n,u,vV,若存在从u到v的通路， 则存在一条从u到v的长度不超过n-1的通路。 证明: 设v0e1v1e2…emvm为顶点u到顶点v的通路(v0=u,vm=v),长度为m, 若m≤n-1,则v0 e1 v1 e2…emvm为长度不超过n-1的从u到v的通路； 若m>n-1,则m+1>n,v0e1v1e2…emvm中至少有一个顶点出现两次以上， 不妨设vi=vj(0≤ij≤m),从上述通路中删去vi到ej这段循环，
v2 v1 v3 v6 v7 v8
v5
v4
v9
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解：首先看图中是否有Euler回路，即看每个 顶点的度是否都是偶数。 d(V1)=2， d(V2)=4， d(V3)=2， d(V4)=4， d(V5)=4， d(V6)=4， d(V7)=2， d(V8)=2， d(V9)=4。 所以存在Euler回路。 可以任意一个顶点为起点，这里以v2为起 v2 v7 点:
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说明: 表示方法 ① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图 中, 所有圈的长度2. 一条基本通路一定是简单通路，反正不成立. 通路、回路是图的子图.
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欧拉回路求解方法- Fleury‘s algorithm (选学)
(1)可从任一点出发去掉连接此点的一边。 (2)依序去掉相连的边但必须注意下列两条： a、如果某边去掉后会导致某点无连通的 边，则此顶点亦可去。 b、去某边后不能造成图形的不连通。
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例：如果可能求出下图的一条Euler回路。
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-吴扬扬制-
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7
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8.3.2 图的连通性

定义8.3.2： 设G=<V,E>,|V|=n, u,v V,若存在u到v的通路，则称u到v是可达的。
如果u可达v，从u到v最短通路的长度称为u到v的距离，记作d(u，v)。

设G=<V,E>为无向图，若G的任何两个顶点是可达的，则称G是连通图。 设G=<V,E>为有向图，若u,vV，