第四章 弹塑性体的本构理论
《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)共42页文档
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用
柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。
17.04.2020
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
A V fiu id V s F iu id S U VW d V
SF i uidSS(ij ui)njdS V(jiui),j dV
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.2 具有一个弹性对称面的材料
若物体内各点都有这样一 x3 个平面，对此平面对称方
向其弹性性质相同，则称
此平面为弹性对称面，垂
直弹性对称面的方向称为
弹性主轴。
x1
弹性主轴
x2
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§4-2 线弹性体的本构关系
如取弹性对称面为x1 —x2
{}=[c]{}
T 11 22 33 23 31 12
T 11 22 33 23 31 12
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
{}=[c]{}
C11 C12
C C21 C22
C61 C62
C16
C26
C66
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
外力做实功 A： A=U 物体的应变能U
U VWdV
W：应变能密度——单位体积的应变能。
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
1.2 应变能密度W与材料的i
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
弹塑性力学-弹塑性本构关系ppt课件
为非负，即有 0
功，即 0
（应变硬化和理想塑性材料）
（应变软化材料）
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。
Ñ W
0 ij
ij
0 ij
d ij 0
Ñ 由于弹性应变εije在应力循环
中是可逆的，因而
( ij
0 ij
)
d
e
ij
0
0 ij
于是有：
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
p
ij
0
0 ij
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有一
塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势函
数，记为：
g I1, J2, J3, H 0
或
g ij , H 0
式中， H 为硬化参数。
塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达
式来表示，即：
d
p ij
d
g
ij
工程弹塑性力学·塑性位势理论
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值， 则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
第四章 弹塑性体的本构理论
第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。
常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。
因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。
对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。
因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。
只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
弹塑性力学本构关系1资料.
在
平面上任取一点，坐标为 (1, 2 , 3 )
它代表一个应力状态，对应的应力张量分量为 ij
相应的平均应力为 m 易见有
m
1 2
3
3
0
将应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，即
ij m ij sij sij
上式表明，与此应力状态相应的应力球张量为零，应力张量
等于应力偏张量。 平面上每一点对应的应力张量是应力偏张量。
• Drucker把它引伸到复杂应力 情况,这就是Drucker公设.
0 d p 0
ij
0 ij
d
p ij
0
d d p 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
d
ij
d
p ij
0
Drucker公设在塑性力学中有
重要意义.
屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性
•我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积.
在应力空间中代表一曲面，此曲面称为屈服曲面。
屈服曲面内的点满足不等式
f (1, 2,3) c 时，代表弹性状态。 屈服曲面上及屈服曲面外的点满足 f (1, 2,3) c
时，代表塑性状态。因此，屈服曲面是弹、塑性状态的分界面。
4．2．3 等倾线与 平面
1.等倾线 在应力空间中，过坐标原点与三个坐标轴成相同倾角的直线 叫等倾线。
PR线上每一点都代表一个应力状态。 PR线上的点有相同的应力偏张量和不同的应力球张量。
因为应力球张量不影响屈服，所以如果P点在屈服曲面上， 那么PR线上所有点都应该在屈服面上。因此屈服曲面实际上 是一个柱面，并且柱面的母线平行于等倾线OL
P
第4章 弹塑性本构方程
典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应 变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。
弹塑性力学本构关系
—— Green公式
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x , y , z , xy , yz , zx x y z xy yz zx
由
同理
x U 0 c12 y x c31 c14 c41
横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会 产生切应力，切应变也会产生正应力 工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹 性体。
二. 正交各向异性材料
z
具有三个相互垂直弹性对 称面的材料称为正交各向异性 材料。 设三个弹性对称面分别为 Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。
对 称
1 c22 c33 , c44 c66 , c55 c22 c23 2
0 0 0 0 1 c11 c12 2
x y z 0 xy yz 0 zx 1 c11 c12 2 0 0 0
c12 c21 c15 c51
c56 c65
即
cmn cnm
x c11 c12 c22 y z xy 对 yz zx
c13 c23 c33
称
m、n ij、kl 1 11 2 22 3 33 4 12 5 23 6 31
如，c22 c2222 ， c56 c2331 广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导， ij f ij 有势， 其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
弹塑性本构关系
F p d kk 3d S；deijp d ij e p p d d G K kk ij 2G eij kk mn 2 mn Sij k
(2) Druker-Prager 模型
Druker-Prager模型采用广义的 Mises屈服函数，其表达式为：
m
3K
ij
弹性变形 + 塑性变形 又可写成：
ij Sij m ij K kk ij 2G eij d d d d e d e
K kk d kk ij 2G eij eijp p d d d F F K kk ij 2G eij d 3K ij 2G d d kk Sij
F σ ij J 2 I1 k 0 +
由
F kk
F Sij 2 Sij J2
得 d ij dSij d m ij d F 2G 3K
F ij Sij kk
Sij m Sij d d d ij 2G 3K ij 2 J2
2G
m为对应于 m体应变
拉梅常数 E (1 )(1 2 )
xy
2
x 3 m 2G x y 3 m 2G y z 3 m 2G z xy 2G xy G xy
yz zx
2 2
2G
G
E 2(1 )
2G
基本方程 yz 2G yz G yz zx 2G zx G zx
张量形式
张量形式
ij ij
弹塑性力学第四章 弹性本构关系
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
第4章 塑性本构关系
m
1 ij 2G
1 2 m E
广义虎克定律的张量表达式：
1 1 2 ij ij m ij 2G E
广义虎克定律其他形式 1、比例形式：
xy yz 1 xz yz xz 2G x y z xy x y z
x x
2 xy 2 yz 2 2 xy 2 2 yz 2 2 6 xz 4G 2 xz ×6
y
2
4G 4G
2
y
2
等式左边为：
x
2 2 2 y y z z x 6 xy yz xz 2 2 2
等式左边与右边关系为： σ=Eε 结论：材料弹性变形范围内，应力强度与应变强度成 正比，比例系数为E
弹性变形应力应变关系
应力应变完全成线性关系，应力主轴与应 变主轴重合。 弹性变形可逆，应力应变之间为单值关系， 加载与卸载规律相同。 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化，泊松比ν<0.5。
x y y z z x xy yz xz x y y z z x xy yz xz
上式两边平方后整理后得：
d
2
d
2 y
x
y
z
2 2 2
x
y
y
z
2
6d
2
2 xy 2 yz 2 xz
6 6 6
2 xy 2 yz 2 xz
2
6d
2
d
2 z
x
第4章 弹塑性本构方程
屈服曲线在 平面内有以下性质： （1）是一条封闭的曲线，并且坐标 原点被包围在内。 （2）与任一从坐标原点出发的向径 必相交一次，且只有一次。 （3）对三个坐标轴的正负方向均为 对称。 （4）对坐标原点为外凸曲线，屈服面 为外凸曲面。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
弹塑性力学
蒋建平
2011年6月
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
下面介绍几种特殊的应力状态在主 应力空间中的轨迹。 （1）球应力状态或静水应力状态 关于球应力状态，应力偏量为0， 即S1 S2 S3 0，且 1 = 2 = 3 m。 显然在主应力空间中，它的轨迹 是经过坐标原点并与 1、 2、 3三 坐标轴夹角相同的等倾斜直线On。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
§4-4
屈服条件、屈服面
判断材料是处于弹性状态还是已经 进入塑性状态所依据的准则，就称 为屈服条件，又称为塑性条件。当 材料处于单向拉伸（或压缩）应力 状态时，我们通过简单的试验，就 可使这一问题得到解决。
当应力小于屈服极限 s时，材料处于 弹性状态，当达到屈服极限 s时，便 认为材料已进入塑性状态。即便对那 些应力应变曲线上弹塑性分界不明显 的材料，通常将对应于塑性应变为
第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程ppt课件
弹塑性力学
z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx
§4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续2）
◆ 广义虎克定律张量表达式：
c
无关？ 系是什么？
ij ijkl kl
§4-3 弹性本构方程、弹性应变能函数（续6）
（4—12）
（4—13）
则弹性体由零应变状态加载至某一应变状态 ij 的过程中， 弹性体整个体积的内力功为：
A
A U d V U d V U （4—13） U d 0 ij ij
ij ij
弹塑性力学
§4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续5）
⑷ 塑性力学附加假设:为研究塑性力学需要，对材料提出
如下附加假设： ① 球应力引起了全部体变（即体积改变量），而不包含畸变 （即形状改变量），体变是弹性的。因此，球应力不影响 屈服条件； ② 偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性变形仅是 由应力偏量引起的。因此，在塑性变形过程中材料具有不 可压缩性（即体积应变为零）； ③ 不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料是非粘性 的。
弹塑性力学
§4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续1）
◆ 大量实验证 实，固体受力
变形时，应力
与应变间的关
系是相辅相成
的。
◆ 固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自
弹塑性力学
有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的 变形的客观特性。
§4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续2）
② 模型的数学表达式应足够简单。
塑性力学 第四章 塑性本构关系.
s
s
3G
, s
s , s ， s s 1 s
G 3G 3G
10
分别代入（4）得到
s s s 3G 3 3G
s
2
0.707 s
故
9
（二）对于理想塑性材料： i s 将（2）、（3）代入式（1），得到
2 1 2 i 3
（2） （3）
s
2 1 2 3
,
s
2 1 2 3 3
（4）
（三）在简单加载的条件下，材料进入塑性状态时各应变分 量同时达到屈服，即 又
1
§4-1
建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变全量之间的关系 即全量理论；另一类理论认为在塑性状态下是塑性应变增量 （或应变率）和应力及应力增量（应力率）之间的关系即增 量理论或流动理论。 为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要素： 1、初始屈服条件； 2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一流动法则。即要 有一个应力和应变（或它们的增量）间的关系，此关系包括 方向关系和分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的强化条件，即加 载函数。有了这个条件才能确定应力、应变或它们的增量之 间的定量关系。
3 2 Sij Sij , i eijeij ） 2 3
ii
i i
1 2 ii E 3 eij i S ij 2 i
6
二、依留申小弹塑性形变理论 1943年，依留申考虑了与弹性变形同量级的塑性变形，给 出了微小弹塑性变形下的应力—应变关系 在弹性阶段：
弹塑性力学-第4章_本构方程
第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。
但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。
对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。
因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。
通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。
塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。
以上构成塑性本构关系。
4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。
该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。
这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。
如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。
然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。
1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。
这个条件是弹性的另一种定义。
换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。
4塑性增量本构理论
ij
∂Φ ∂Φ dε = h dσ mn ∂σ ij ∂σ mn
p ij
(5)
式中， 为硬化模量或硬化函数 为硬化模量或硬化函数， 式中 ， h为硬化模量或硬化函数， 取决于 σ ij 、 ε ij 在加载 无关。 面φ上的位置，而与dσij无关。 上的位置，而与 的线性相关。 （5）式说明 ε p 与dσij的线性相关。 ）式说明d
dw = (ε ij + adε ij − ε )dσ ≥ 0
p 0 ij p ij
同德鲁克公设类似，有： 同德鲁克公设类似，
0 (ε ij − ε ij )dσ ijp ≥ 0
dε ij dσ ijp ≥ 0
dσ ijp = d λ ∂ψ ∂ε ij
§4.4 流动法则
与弹性理论不同， 与弹性理论不同，塑性应变增量方向一般与应力增量方 向不一致。因此， 向不一致。因此，塑性增量理论的一个重要内容就是如何确 定塑性应变增量方向或塑性流动方向。 定塑性应变增量方向或塑性流动方向。 由前述可知， 的方向为φ的梯度方向 的梯度方向， 由前述可知， d ε ijp的方向为 的梯度方向，但这不是唯一 方向的。 确定 d ε ijp 方向的。
0 (σ ij − σ ij )d ε ijp ≥ 0
0 当 σ ij = σ ij 时，有：
(2)
dσ ij dε ijp ≥ 0
（3） ）
二、Drucker公设的推论 公设的推论
1. 屈服面处处外凸 参见左图， 参见左图，式(2)可写成 AB d ε ijp ≥ 0 ，由于 d ε ijp 永远 可写成 切线的垂直方向， 点必须在T的另一侧 在T切线的垂直方向，要使该式成立，A点必须在 的另一侧， 切线的垂直方向 要使该式成立， 点必须在 的另一侧， 因为该式要求AB和 因为该式要求 和
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第二部分弹塑性问题的有限元法
第四章弹塑性体的本构理论
第五章弹塑性体的有限元法
第四章弹塑性体的本构理论
4-1塑性力学的基本内容和地位
塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定
材料性质的假定
1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；
2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；
3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。
常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：
硬化弹塑性材料
理想弹塑性材料
弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)
应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。
因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为
()00=σf
(1)
2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。
对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。
因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。
只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
软化弹塑性材料
刚塑性材料
3) 刻画加载面变化规律的方程叫做硬化规律(或者强化规律)。
强化规律实际上定义了加载面方程中的诸强度参数关于塑性变形史参数h 的方程。
塑性变形史参数h 可取为塑性功
⎰=p p dw w ,
p T p d dw εσ=
(2)
此时称材料为工作强化材料，也可取为等效塑性应变
⎰=p
p
d εε, ()[
]2
1p T
p p
d d d ε
ε
ε=
(3)
此时称材料为工作强化材料。
两个常用的强化规律是等向强化和随动强化。
等向强化认为，随着塑性变形
的发展加载面的中心轴保持不便而加载面不断扩大，它适用于第一主应力的方向在整个过程中不发生反向；随动强化认为随着塑性变形的发展屈服面的尺寸保持不变，但屈服面的中心轴不断变化，它适用于第一主应力的符号在整个变形过程中不断发生改变。
在岩土工程中我们更常用的是等向强化规律，此时可将加载面写成
()0=h ,f σ
(4)
h 是塑性变形史参数。
4)
当应力点位于某一加载面时，如果应力增量矢量σd 指向加载面内部，则应力点将向加载面内移动，不产生塑性变形，应力增量与应变增量之间的关系是线性的，将这一过程称之为卸载；否则，若σd 指向加载面外部，将会产生新的塑性变形，从而将使得应力点向另一加载面转移，我们将这一过程称为加载；还有一种情况是σd 是加载面的切线方向，即应力将在当前加载面上变化，将这一过程称为中性变载。
因为加载面保持不变，所以塑性史参数h 也将保持不动，从而也不会产生新的塑性变形。
因此我们可以得到硬化材料的加卸载准则
等向强化
随动强化
0=f 且
⎪⎩
⎪⎨⎧<=>=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=卸载
，中性变载，加载000,d f l T
σσ (5)
应力点也始终位于屈服面上，
即应力增量矢量σd 只能位于屈服面的切线方向。
因此我们可以得到理想弹塑性材料的加卸载准则
0=f 且
⎩
⎨
⎧<==⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=卸载，加载，00σσd f l T
(6)
5)
当应力点位于某一加载面且处于加载状态时，将会产生新的塑性变形，流动法则就是用于描述塑性应变增量的变化规律的。
流动法则认为当应力位于某一加载面且满足加载准则时，塑性应变增量p d ε的方向与过该点的塑性势的梯度方向一致，即
σ
ε
∂∂=g
d d p
λ
(7)
其中()h ,g σ称为塑性势函数，是已知的，0≥λd 是塑性流动因子，是待定的。
()h ,g σ与加载面函数()h ,f σ通常有相同的形式，例如，将Mohr-Coulomb 准则中的摩擦角φ取为剪涨角ψ就得到相应的塑性势函数。
特别地，如果将()h ,g σ取为()h ,f σ，就称为关联流动，否则为非关联流动。
注意关联流动法则可以由Drucker 公设推导出来。
6)
总的应变增量εd 可以分为弹性应变增量e d ε和塑性应变增量p d ε
p e d d d εεε+=
(8)
加载
应力增量σd 与弹性应变增量e d ε成正比
e d d εD σ=
(9)
D 为弹性矩阵，它在整个变形过程中保持不变，这又称为弹塑性互不耦合。
以上就构成了塑性本构理论的基本内容，它最终要回答εd 和σd 的关系问题。
今假设σ、ε和h 均已知，给定εd 求σd 。
i)
若应力点位于加载面内，即()0<h ,f σ，或应力点位于加载面上但却不在加载状态，则σd 和εd 之间的关系是弹性的
εD σd d =
(10)
ii) 应力点位于加载面上且处于加载状态，有(9) 、(10)和(7)得
(
)p
d d d ε
εD σ-=⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂-=σ
εD g d d λ
(11)
因为应力点始终位于加载面上，所以
0=∂∂+⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂=dh h f d f df T
σσ
(12)
注意到dh 是塑性变形史参数，而它通常是塑性应变增量p d ε的一次齐次式，由流动法则(7)可知dh 应是d λ的一次齐次式，因此可将其写成
λλ
d h
dh ∂∂=
(13)
例如对于工作强化材料，有
λd g d dw dh T
p
T p σ
σε
σ∂∂=== (13.1) σ
σ∂∂=∂∂=∂∂g w h T p λλ
(13.2)
对于应变强化材料
(
)[]λε
ε
εd g
d d d dh p T
p p
2
2
1
∇=== (13.3) g h p
∇=∂∂=∂∂λ
ελ
(13.4)
为了确定d λ，今将(11)和(13)代入(12)式，
0=∂∂∂∂+
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂λλλd h h f g d d f T
σεD σ 由此得，
σD
σεD σ∂∂⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂=g f A d f d T
T
λ (14)
其中
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∇∂∂-∂∂∂∂-=∂∂∂∂-=SH WH ,g f
,g
w f h h f A p T p
ε
λσσ
(15)
可以证明对于硬化材料0>A ，理想弹塑性材料0=A ，对于软化材料0<A 。
由于在位移型有限元法中，通常是已知εd 求σd ，因此在加卸载准则中利用σd 并不方便，由于d λ的分母对于零，所以可以在加卸载准则中用εD σd f ∂∂来代替σσ
d f
∂∂，具体而言就是
0=f 且
⎪⎩
⎪⎨⎧<=>=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=卸载
，中性变载，加载
000,d f l T
εD σε
(5-1)
这个加载准则对于硬化、理想弹塑性和软化都适用。
将(14)代入(11)式，可得当应力点位于加载面上且处于加载状态时的应力增量
εD σd d ep =
(16)
这里ep D 为弹塑性矩阵
p ep D D D -=,
σD
σD σσD D ∂∂⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=g f A f g T
T
p (17)
对于关联流动法则，ep D 为正定(硬化)或半正定(理想弹塑性)对称矩阵。