第六章超静定结构内力计算
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朱慈勉结构力学力法
6.46 EA
kN
(
)
2 5 m 1 15
2 5 m 1 15
C2E 4.A 23kNm
θD
6.46kN EA
1 m 1 1 m 1 35 35
例6-12 求图示组合结构C点的竖向位移ΔC和AD与BD杆间的相对转角
ΔθD。忽略受弯杆的轴向变形。 已知AD和BD杆：EA EI m2
2次超静定
9
选取基本结构为切断竖杆:
X 1h
t0
1 EA
1 kl
§6-7超静定结构的位移计算
F E N F N d A s k 0 F G Q F Q d A s M E M d I s F R c
1)载作用下的位移计算
F N F Nd P s EA
k 0F G Q F Qd P A s
M M P ds EI
求超静定结构因温度改变、支座移动产生的位移时， 若选原结构建立虚拟力状态，计算将会更简单。
EI, l,t0 ,Δt
①
M、Q、N
EMIht、ENAt0、G kQA
P=1
②
T 2 1 1 R *c W 21
c M * E M I h t d s N * E N A t0 d s Q * G kd Q
2次超静定
9
解：⑴ 确定超静定次数;
⑵ 用力法求解, 并作M图和FN图; ⑶ 选取基本结构为铰结体系求位移;
⑷ 求AD杆与BD间的相对转角:
⑸ 施加单位荷载并求各杆轴力:
D
FN1FN l EA
1 m 1
35m 25m 1 1 .8 9 k N 1 .3 4 k N 3 5
E A 1 5
1 m 1 35
b h
力法——非荷载因素作用时超静定结构计算
B 2a
L
L
x1
基本结构,基本未知量
基本体系?
? 基本方程: 1 11x1 1c
x1
C a
基本结构,基本未知量
基本体系?
? 基本方程: 1 11x1 1c
例3：求图示连续梁由于支座沉降产 A 生的内力。各杆EI等于常数。
B 2a
C a
L
L
支座移动引起的内力与各杆 的绝对刚度 EI 有关
基本结构 基本未知量
1
1c
2 2c
h
b
L
x2
例5：建立图示结构的力法方程，并求系数。 （支座位移等于未知力情况。）
基本方程:
1 11x1 12x2 1c
h
2 21x1 22x2 2c
b
(2)基本结构中全部保留支座位移
L
基本结构 基本未知量
x2
1
2
x1
1c
2c
例5：建立图示结构的力法方程，并求系数。 （支座位移等于未知力情况。）
ΔiC——基本结构上,由于其它支座位移引起的未知力 Xi方向上的位移；
Δi——实际结构上,未知力Xi方向上的位移。
例5（思考题）建立图示结构的力法方程，并求系数。 （支座位移等于未知力情况。）
基本方程:
1 11x1 12x2 1c 2 21x1 22x2 2c
(1)基本结构中不保留支座位移
①温度改变时,超静定结构中引起内力,且内力与刚 度绝对值成正比；
②增加截面刚度不能提高结构抵抗温度变化的能力； ③抗应力出现在(超静定结构中)温度较低一侧； ④计算自由项Δt时,不能忽略轴向变形影响；
⑤内力全部由多余未知力产生： M M i Xi
超静定结构两类解法
第六章位移法超静定结构两类解法：力法：思路及步骤，适用于所有静定结构计算。
结合位移法例题中需要用到的例子。
有时太繁，例。
别的角度：内力和位移之间的关系随外因的确定而确定。
→位移法，E，超静定梁和刚架。
于是，开始有人讨论：有没有别的方法来求解或换一个角度来分析…，what？我们知道，当结构所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定⇒内力一定⇒变形一定⇒位移一定，也就是结构的内力和位移之间有确定的关系（这也可以从位移的公式反映出来）。
力法：内力⇒位移，以多余力为基本未知量…，能否反过来，也就是先求位移⇒内力，即以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力。
这就出现了位移法。
目前通用的位移法有两种：英国的、俄罗斯的，两者的实质是相同的。
以结构的某些结点位移作为基本未知量，由静力平衡条件先求出他们，再据以求出结构的内力和其它位移。
这种方法可以用于求解一些超静定梁和刚架，十分方便。
例：上面的例子，用位移法求解，只有结点转角一个未知量。
下面，我们通过一个简单的例子来说明位移法的解题思路和步骤：一个两跨连续梁，一次超静定，等截面EI=常数，右跨作用有均布荷载q，（当然可以用力法求解），在荷载q作用下，结构会发生变形，无N，无轴向变形，B点无竖向位移，只有转角ϕB。
且B点是一个刚结点传递M；变形时各杆端不能发生相对转动和移动，刚结点所连接的杆件之间角度受力以后不变。
也就是AB、BC杆在结点B处的转角是相同的。
原结构的受力和变形情况和b是等价的。
B当作固定端又产生转角ϕB。
a（原结构）AB：BC：b如果把转角ϕB 当作支座位移这一外因看，则原结构的计算就可以变成两个单跨超静定梁来计算。
显然，只要知道ϕB ，两个单跨静定梁的计算可以用力法求解出全部反力和内力，现在的未知量是ϕB （位移法的基本未知量）。
关键：如何求ϕB ？求出ϕB 后又如何求梁的内力？又如何把a ⇒b 来计算？ 我们采用了这样的方法：假定在刚结点B 附加一刚臂（▼），限制B 点转角，B ⇒固定端（无线位移，无转动）（略轴向变形）原结构就变成了AB 、BC 两个单跨超静定梁的组合体：AB ： ，BC ：但现在和原结构的变形不符，ϕB ，所以为保持和原结构等效，人为使B 结点发生与实际情况相同的转角ϕB （以Z 1表示，统一）。
结构力学 力法计算超静定结构
项目三 超静定结构的内力计算
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
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② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
最新《高等工程力学》1 超静定结构内力计算
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
§1.2位移法
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式 位移法以结点的位移（角位移和线位移）作为基本来知数，根据求出的位移计
算各杆的内力。因此，必须首先建立各杆件的杆端位移与杆端的内力之间的关系。 这就是转角位移方程。
设一结构中某杆AB。结构受荷载作用的变形如图1-2所示。
《高等工程力学》1 超静定 结构内力计算
1 超静定结构内力计算
1.1力法
§1.1.1力法的基本原理
力法是计算超静定结构的一种基本方法。 基本原理是： 首先将超静定结构中的多余联系去掉，代之以多余未知力；相应于每一个多余 联系，就有一个多余未知力。去掉多余联系后，超静定结构就变成在荷载和多余 未知力共同作用下的静定结构。 力法的基本体系：从超静定结构中去掉多余联系而代之以未知力，这样获得的 静定的几何不变体系。 基本未知数：多余未知力。 基本体系的选择：拟定出去掉多余联系的各种可能方案，选择其中一个作为基 本体系。基本体系应该是几何不变的。选择基本体系的原则应使计算尽可能简单 和方便。
令 i ，E称I 为杆的线刚度，则 l
MAB 2i2A B l MAB
MBA
2iA
2B
l
MBA
(1-8)
这就是两端固定等截面直杆的转角位移方程。
1 超静定结构内力计算
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续2）
同理可以求出一端固定一端铰支等截面直杆（图1-3a）的转角位移方程。设B 端为铰，则MBA＝0
解方程求出转角后再代回各杆端的转角位移方程中，就可以求出各杆端的内力。
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续1）
结构力学第六章力法
弯矩图可按悬臂梁画出
M X1 M 1 M P
§6-4 力法计算超静定桁架和组合结构
一 超静定桁架
F Ni l ii EA F N i F N jl ij EA F N i FN P l iP EA
2
桁架各杆只产生轴力,系数
典型方程: 11 X 1 1P 0
9 17 FP , X 2 FP 80 40
叠加原理求弯矩： M X 1 M 1 X 2 M 2 M P
3FPL/40 3FPL/40
FP 9FP/80
23FP/40 FNDC
FQDC 3FPL/80 FQBD
FQCD FNDA
FQBD=-9FP/80
FNBD=-23FP/40
FQDC=3FP/40+FP/2=23FP/40
2 P 3P 0
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 0 X X 0 33 3 32 2
11 X 1 1P 0 X 2 X 3 0
反对称荷载作用下, 沿对称轴截面上正对称内力为0 例: FP FP/2 FP/2 FP/2
1）一般任意荷载作用下
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 33 3 3P 31 1 32 2
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X 0 33 3 3P 32 2
M FN
超静定结构的内力分布与梁式杆和二力杆的相对刚度有关。 链杆EA大，M图接近与连续梁，链杆EA小，M图接近与简支梁。 例: 中间支杆的刚度系数为k,求结点B的竖向位移？EI=C
结构力学第六章
第二部分
超静定结构
Analysis of Statically Indeterminate Structures
概述
一.超静定结构的静力特征和几何特征
几何特征:有多余约束的几何不变体系。 静力特征:仅由静力平衡方程不能求出 所有内力和反力。
超静定问题的求解要同时考虑结构的“变形、本构、 平衡”三大关系。
3
X1 1
M 1 m
6
6
1P
M 1M P 702 dx EI EI
2 P
M 2M P 520 dx EI EI
X2 1
M 2 m
4)、 解方程
135X 1 144 X 2 520 0.......... ....2
207 X 1 135X 2 702 0.......... .....1
X 1 2.67k N X 2 1.11k N
5)、内力
M M1 X1 M 2 X 2 M P
4.33 1.33 5.66 3.56
M kN m
2 2.67
1.11
3.33 3.33
3.33
1.9
1.11
1.9
2.67
FQ k N
FN k N
2. 排架
X2
X1
X2
X1
比较法: 与相近的静定结构 相比, 比静定结构 多几个约束即为几 次超静定结构。
多余约束的位置不固定
去掉几个约束后成 为静定结构,则为 几次超静定 X1 X2 X3 X3 去掉一个链杆或 切断一个链杆相 当于去掉一个约 束
X1
X2
X1
X2
X3
X1
X2
超静定结构
Analysis of Statically Indeterminate Structures
概述
一.超静定结构的静力特征和几何特征
几何特征:有多余约束的几何不变体系。 静力特征:仅由静力平衡方程不能求出 所有内力和反力。
超静定问题的求解要同时考虑结构的“变形、本构、 平衡”三大关系。
3
X1 1
M 1 m
6
6
1P
M 1M P 702 dx EI EI
2 P
M 2M P 520 dx EI EI
X2 1
M 2 m
4)、 解方程
135X 1 144 X 2 520 0.......... ....2
207 X 1 135X 2 702 0.......... .....1
X 1 2.67k N X 2 1.11k N
5)、内力
M M1 X1 M 2 X 2 M P
4.33 1.33 5.66 3.56
M kN m
2 2.67
1.11
3.33 3.33
3.33
1.9
1.11
1.9
2.67
FQ k N
FN k N
2. 排架
X2
X1
X2
X1
比较法: 与相近的静定结构 相比, 比静定结构 多几个约束即为几 次超静定结构。
多余约束的位置不固定
去掉几个约束后成 为静定结构,则为 几次超静定 X1 X2 X3 X3 去掉一个链杆或 切断一个链杆相 当于去掉一个约 束
X1
X2
X1
X2
X3
X1
X2
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(中册)-第六章【圣才出品】
3．力法典型方程
从一次超静定结构的力法分析到二次超静定结构的力法分析，可以发现一定的规律，那
么具有 n 次超静定结构的力法典型方程归纳如下：
11X1 12 X 2 1n X n 1P 0
21 X1
22 X 2 2n X n
2P
0
n1X1 n2 X 2 nn X n nP 0
表 6-1-5 力法解超静定桁架和组合结构
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五、力法解对称结构（表 6-1-6） 表 6-1-6 力法解对称结构
七、超静定结构位移的计算（见表 6-1-8） 表 6-1-8 超静定结构位移的计算
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八、超静定结构计算的校核（表 6-1-9）
表 6-1-9 超静定结构计算的校核
6.2 课后习题详解 6-1 试确定下列图 6-2-1 所示结构的超静定次数。
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图 6-2-2 6-2 试用力法计算下列图 6-2-3 所示结构，作 M、FQ 图。除图 6-2-3（b）为变截面 外，其余各图 EI＝常数。
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图 6-2-1 解：（a）如图 6-2-2（a）所示，铰结点左右两段分别去掉 1 根单链杆，超静定次数为 2； （b）如图 6-2-2（b）所示，每个正方形内去掉 1 根斜杆，两个单链支座任意去掉其 中 1 个，共计 7 根单链杆，超静定次数为 7； （c）如图 6-2-2（c）所示，去掉 1 根链杆和 1 个铰支，超静定次数为 3； （d）如图 6-2-2（d）所示，去掉 3 根链杆，超静定次数为 3； （e）如图 6-2-2（e）所示，去掉 2 个铰支，超静定次数为 4； （f）如图 6-2-2（f）所示，去掉 2 根链杆，超静定次数为 2； （g）如图 6-2-2（g）所示，去掉 2 个铰支和切断 1 根杆，超静定次数为 7； （h）如图 6-2-2（h）所示，去掉 4 个链杆和切断位于中间区间的 2 根杆，超静定次 数为 10；
超静定结构内力计算
六超静定结构內力计算1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。
从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。
若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。
也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。
对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。
2．什么是超静定结构的超静定次数？答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。
3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。
4．如何确定超静定结构的超静定次数？答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。
5．撤除多余约束的方法有哪几种？答：撤除多余约束常用方法如下：（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。
（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。
（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。
6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。
7．什么是力法的基本结构和基本未知量？答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。
力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。
8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。
答：（1）n次超静定结构的力法方程对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。
超静定结构-力法位移计算
M
3. 支座位移：
MMC EI
ds
FRCR
综合:
MM EI
ds
t0 SFN
t h
S M
FRCR
其中M为超静定结构在各种因素作用下产生的弯矩
详见教学视频“6.16荷载作用下超静定结构位移计算”
例1：求梁中点竖向位移ΔCV，EI为常数
q
ql2 12
第 六 章 力法
§6-8* 超静定结构位移计算
可取任意静定结构做为基本结构来计算超静定结构位移
施加单位荷载，计算单位荷载作用下的内力图 (M , FQ , FN )
1. 荷载作用：
MM EI
F
ds
2. 温度改变：
MMt EI
ds
t0SFN
t h
S
A
C
B
A
l/2
l/2
原结构
ql2 12
B
ql2 24
M图
CV
ql 4 384EI
()
例2：求图示刚架D结点水平位移ΔDH，各杆EI如图示。
C
D
/m
2EI
2EI 6m
31.5
A
B
6m
57.6
30.6
M图(kN m)
基本结构1
基本结构2
基本结构3
基本结构4
单位荷载施加在哪个基本结构更加简单？
EI l
线刚度
A
i
qA
B
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数（表7-1）
A
B
A
BA
材料力学第五版课件 主编 刘鸿文 第六章 简单的超静定问题
例题： 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定， 则为几次超静定？
B
DE
A
C
FP
(a)静定。 未知内力数：3 平衡方程数：3
B
D
A
C
F
P
(b)超静定。 未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2
(c)静不定。
未知内力数：3
平衡方程数：2
FP
静不定次数=1
静不定问题的解法： （1）建立静力平衡方程； （2）由变形协调条件建立变形协调方程； （3）应用物理关系，代入变形协调方程，得到补充方程；
基本静定基的选取：
(1)解除B支座的约束,以约束反力
代替，即选择一端固定一端自由
的悬臂梁作为基本静定基。
(2)解除A端阻止转动的约束，以 约束反力代替，即选择两端简支 的梁作为基本静定基。
基本静定基选取可遵循的原则：
(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统； (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条
E3 A3
F FN3 = 1+ 2E1 A1 cos3 a
E3 A3
(拉力) (拉力)
温度应力和装配应力
一、温度应力
在超静定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束的限制， 因此在杆内将产生内力和应力，称为温度应力和热应力。
杆件的变形 ——
由温度变化引起的变形 温度内力引起的弹性变形
例：阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固 定,上下两段的面积为
=-
[13EI
32(1+
24
I Al
2
)
]
M
M
A
C
B D
l
《建筑力学》 李前程 第六章 静定结构的内力计算
F sB Lqa, M B Lmqa22
BC 段
qa2 F sB RqaF3qa, M B R2 F sC LF sC=3qa
M Cqa2qa1.5a2qaa2.5qa2
M图 qa2
F= 2qa q
B
C
a
a
qa 3qa
2.5qa 2
0.5qa2
23
第二节 内力方程·内力图
2qa2
[例题 7] 用简便法绘制梁的剪力图和弯矩图。
Ax
B D
x
x q2x
2m
M (x) qx
(0x2 m )
22
AD段
6
F s ( x ) F A q 1 x .5 4 3 x ( 2 m x 6 m )
M (x ) F A x q x 2 x 1.5 x 4 q 2 2x (2 m x 6 m )
-
4m
2m
M(kN.m)图
DB段 F s(x ) F B 3 .5(0 x 2 m )
《建筑力学》 李前程 第六章 静定 结构的内力计算
第六章 静定结构的内力计算
第一节 杆件的内力·截面法 第二节 内力方程·内力图 第三节 用叠加法作剪力图和弯矩图 第四节 静定平面刚架 第五节 静定多跨梁 第六节 三拱桥 第七节 静定平面桁架 第八节 各种结构形式及悬索的受力特点
2
第六章 静定结构的内力计算
+
4
M (x ) F B x(0 x 2 m )
6.04
7
x=4.83m
18
第二节 内力方程·内力图
四、作梁内力图的简便方法
不列剪力和弯矩方程，简便法画出剪力图和弯矩图的基本步骤： 1.正确计算出约束力，将梁分段； 2.按照梁段上外力情况,判断各段内力图的大致形状； 3.计算剪力、弯矩在各段的极值(控制截面)； 4.用光滑曲线连接，标注大小,正负。
BC 段
qa2 F sB RqaF3qa, M B R2 F sC LF sC=3qa
M Cqa2qa1.5a2qaa2.5qa2
M图 qa2
F= 2qa q
B
C
a
a
qa 3qa
2.5qa 2
0.5qa2
23
第二节 内力方程·内力图
2qa2
[例题 7] 用简便法绘制梁的剪力图和弯矩图。
Ax
B D
x
x q2x
2m
M (x) qx
(0x2 m )
22
AD段
6
F s ( x ) F A q 1 x .5 4 3 x ( 2 m x 6 m )
M (x ) F A x q x 2 x 1.5 x 4 q 2 2x (2 m x 6 m )
-
4m
2m
M(kN.m)图
DB段 F s(x ) F B 3 .5(0 x 2 m )
《建筑力学》 李前程 第六章 静定 结构的内力计算
第六章 静定结构的内力计算
第一节 杆件的内力·截面法 第二节 内力方程·内力图 第三节 用叠加法作剪力图和弯矩图 第四节 静定平面刚架 第五节 静定多跨梁 第六节 三拱桥 第七节 静定平面桁架 第八节 各种结构形式及悬索的受力特点
2
第六章 静定结构的内力计算
+
4
M (x ) F B x(0 x 2 m )
6.04
7
x=4.83m
18
第二节 内力方程·内力图
四、作梁内力图的简便方法
不列剪力和弯矩方程，简便法画出剪力图和弯矩图的基本步骤： 1.正确计算出约束力，将梁分段； 2.按照梁段上外力情况,判断各段内力图的大致形状； 3.计算剪力、弯矩在各段的极值(控制截面)； 4.用光滑曲线连接，标注大小,正负。
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2、适用范围的比较 凡多余约束数多而结点位移少的结构，宜采用位移法；反之 宜采用力法。 当两种方法的未知量数目差不多时，宜选用位移法。 力矩分配法计算较为简便，但单纯用力矩分配法只能计算无 结点线位移的结构。
一、力法基本未知量的确定 结构中多余约束的数目即结构的超静定次数为力法基 本未知量数目。判断超静定次数的方法是去掉多余约束 使原结构变成静定结构。
所以该刚架有三个基本未知量。
*三.用力矩分配法计算超静定结构
力矩分配法是以位移法为基础的渐近解法， 在计算过程中采用逐步修正的步骤，最后收 敛于真实状态即求得每段杆两端的弯矩；再 运用迭加法画各段杆弯矩图。 力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。
正负号规定：杆端弯矩以顺时针为正及转动 约束中的约束力矩也均以顺时针为正。
由于A、D为铰支座，已知弯 矩为零，不取为基本未知量； B、C为刚结点，所以图示连 续梁 有两个结点角位移。
所以，结点角位移的数目 等于该结构的刚结点数！
2、独立结点线位移 在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形 前后保持不变，即杆长保持不变。
C C' D D'
A
B
由于杆AC、BD两端的距离假设 不变故C、D结点都没有竖向位移； C、D结点虽然有水平位移，但由 于CD杆的长度不变，因此结点C 和D的水平位移相等。所以只有一 个独立结点线位移。
超静定结构概述
一、超静定结构的概念
有多余约束的几何不变体系，结构的支座反力和内 力仅用静力平衡条件不能确定或不能全部确定。
B P A C B A
有一个多余约束，称为 一次超静定。
有两个多余约束，称为 二次超静定。
多余约束中产生的约束力称为“多余未知力”。
二、超静定次数的确定 结构中多余约束的数目称为结构的超静定次数。判 断超静定次数的方法是去掉多余约束使原结构变成静 定结构。 常见的去掉多余约束方式有以下几种： 1、去掉支座处的一根支杆(可动铰支座)，相当于去 掉一个约束。 2、去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束。 3、将固定端支座改成铰支座，相当于去掉一个约 束。 4、去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。
m
远端支承情况 固 定 铰 支 滑 动
转动刚度 4i 3i i
传递系数 0.5 0 －1
单结点连续梁或刚架跨间有荷载作用时
例： 20kN/m
A EI 6m B 32kN EI 3m 3m C A 20kN/m
MB
32kN C
MB
MFBC
A
B
解：1、先在B点加 上阻止转动的约束力 B 矩MB，这时B点相当 MFBA 于固端，查表6-1求 得各固端弯矩。 MFAB = －qL2/12 = －60kNm MFBA = qL2/12 = 60kNm MFBC = －3PL/16 = －36kNm MFCB = 0 所以：MB= 60－36 = 24kNm
＋
MB
B C
2、放松结点B，这相当于在结点 B上加一个外力偶（－ MB ），按 分配系数分配于两杆的B端，并使 两杆的远端产生传递弯矩。具体 计算如下： 设 i = EI/6
SBA= 4i
SBC= 3i
A
20kN/m EI 6m B
32kN EI 3m 3m
μBA= 4/7= 0.571 分配系数： μBC= 3/7 = 0.429
力矩分配法的基本概念 一、力矩分配法的基本参数 1、转动刚度 SAB : 使AB杆的A端（也称近端）产 生单位转角时所需施加的力矩。
θ =1 θ =1
A
SAB = 4 i
θ =1
B
A
SAB = i
θ =1
B
B
当θ ≠ 1时:
A
B
SAB = 3 i
=
MAB = SAB θ
A
转动刚度的大小不仅与该梁的线刚度i 有关 （i = EI/L），而且与远端的支承情况有关。
力法、位移法
概述
力法和位移法是计算超静定 结构的两种基本方法。 在力法中，通过综合考虑平衡条件、物理条件及几何条件 先求出多余约束力，进而求出内力和位移； 而位移法则是先求结点位移，再计算内力。 在力法和位移法计算中都要建立求解基本未知量的典型方 程。
1、计算途径的比较 力法以多余未知力为基本未知量，位移法以结点位移为基 本未知量。 从典型方程建立的过程看，力法的基本方程是位移协调方程； 位移法的基本方程是与附加约束相连的原结构的某一结点或一 部分的平衡方程。
C
C
分配弯矩： A μ MBA= 0.571×(－24) = －13.7kNm －60 －6.85 μ MBC= 0.429×(－24) = －10.3kNm －66.85 c 传递弯矩： MCB =0 66.85 c MAB= 0.5×(－13.7) = －6.85kNm
最后杆端弯矩： MCB= 0 MAB= MFAB＋ MCAB = －66.85kNm MBA= MFBA＋ MμBA = 46.3kNm MBC= MFBC＋ Mμ
转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。转动刚度越 大，表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。
2、分配系数
令：μAk = SAk ∑ SA
A
μAk称为分配系数
汇交于同一结点各杆的分配系数之和 等于1，即：
3、传递系数 C
∑ μ = μAB ＋ μAC＋μAD = 1
A
表示当杆件近端有转角时，杆件远端弯矩与近端 弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。
位移法基本未知量的确定 位移法的基本未知量为结点位移。结点位移分为结 点角位移和结点线位移两类。 P D 1、结点角位移 A C
A B P Cห้องสมุดไป่ตู้
D
B 由于A、B、C为固定端支 座，所以其位移均已知为零， 不需作为未知量；而同一刚 结点处各杆的杆端转角相等， 所以每个刚结点处只有一个 独立的结点转角未知量。故 上图刚架只有一个结点转角 未知量。
远端固定：C = 0.5 远端 铰支： C = 0
远端定向 支座：C = －1
把上述问题归纳如下： θA A C B θA 当结点A作用有力偶荷载 m θA 时，结点A上各杆近端得到 按各杆的分配系数乘以 m 的 D 近端弯矩，也称分配弯矩。 各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩（或分配弯 矩）的远端弯矩，也称传递弯矩。 以上是用力矩的分配和传递的概念解决结点力偶荷 载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。