二次曲线的配极原理

因为|aij|≠0, 故(2)对于(p1,p2,p3)有唯一解, 即u的极点P唯一存在. (2)表示直线u与它的极点P之间的关系, 称为极点方程组.
配极变换 根据推论6′, 可以对偶地给出下列定义： 定义8 相互通过对方极点的直线称为关于Γ的共轭直线. 注. 利用Maclaurin定理及对偶原则有: 两直线u[ui], v[vi]关于 Γ: S=0共轭Tuv=0
证明 只要证后半. 设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u关于Γ的 极点.设P(pi)为其一个极点, 由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0, 从 而u与Sp=0为同一直线, 由此可以推知
u1 a11 u2 a12 u a 3 13 a12 a22 a23 a13 p1 a23 p2 . a33 p3 (2)
注1. 任一非退化二阶曲线Γ都决定了平面上的一个配极变 换. 注2. 配极变换是异素变换. 定理14(配极原则) 点P关于Γ的极线p通过点Q点Q关于Γ 的极线q通过点P. (对偶：直线p关于Γ的极点P在直线q上直线q 关于Γ的极点Q在直线p上.) 注. 本定理给出了配极变换的最基本的几何性质.
配极变换
配极变换 配极在二次曲线理论中十分重要, 二次曲线的大部分重要性 质均与配极有关. 只讨论二阶曲线, 总假定：非退化.
设 :
S aij xi x j 0
i , j 1 3
aij a ji , | aij | 0.
(1)
配极变换
一、极点与极线
1. 引入 定义6 两点P, Q关于Γ共轭 (如图)，如 果(PQ,M1M2) = -1.
注. 方程(2)是一个非奇异线性变换, 是由Γ: S=0通过关于它 的极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个一一变换.
配极变换
二、配极变换
1. 配极变换的概念 定义 称由
ui aij x j
j 1 3
i 1, 2,3, aij a ji ,| aij | 0.
(4)
决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线Γ: S=0 的配极变换.
配极变换
推论5 两点P, Q关于Γ共轭Spq=0. 注1. P在Γ上, 则Spp=0。我们规定 Γ上的点关于Γ自共轭. 注2. 验证两点P, Q关于Γ共轭, 只要验证
a11 ( p1 , p2 , p3 ) a12 a 13 a12 a22 a23 a13 q1 a23 q2 0. a33 q3
综上： 非退化二阶曲线Γ 二维异素射影变换 从而 配极变换 二维异素射影变换

对偶变换
配极原则

特殊的对偶原则
配极变换 2. 自极三点形 定义10 若一个三点形关于Γ每个顶点是其对边的极点(则每 边是其对顶的极线), 则称此三点形为关于Γ的一个自极三点形.
定理15 内接于非退化二阶曲线Γ的完全四点形的对边三点 形是关于Γ的一个自极三点形.
定理13 点P关于Γ的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.
证明 设P(pi), Q(qi). 则PQ与Γ: S=0的交点M(pi+λqi)满足
Sqq2 2S pq S pp 0. 设其两根为λ1, λ2. 则交点为Mj( pi+λjqi), (j=1,2).
于是 (PQ, M1M2) = –1 λ1/λ2 = –1 λ1+λ2 = 0 S pq 2 0 S pq 0. Sqq 将qi改为流动坐标xi, 得P关于Γ的共轭点的轨迹为直线Sp=0.
注1. 注2. 注3. 轭。 例1.
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Γ的自极三点形的任一顶点必不在Γ上. Γ的自极三点形恰有一个顶点在Γ的“内部”. Γ的自极三点形任意两顶点相互共轭; 任意两边相互共 给定不在Γ上的一点P(pi), 任求Γ的一个自极三点形PQR.
解. (i) 求P(pi)的极线p： Sp=0. (ii) 在p上任取不属于Γ的一点Q(qi), 求Q的极线q： Sq=0.
配极变换
2. 极点与极线 共轭点轨迹p P 定义7 对于点P, 若 则称P关于Γ的 切线p 为 P P关于Γ的极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于Γ的极点. 由推论5, 我们给出共轭点的一个等价定义： 定义6′ 相互在对方极线上的两点称为关于Γ的共轭点.
配极变换 推论6 平面上任一点P关于Γ的极线存在唯一, 其方程为Sp=0. 反之, 平面上任一直线u关于Γ的极点存在唯一.
(iii) 求p与q的交点R(ri), 则PQR必为Γ的一个自极三点形.
配极变换 3. 配极变换的基本应用 (1). 几何证明题 灵活运用配极原则以及自极三点形等概念
(2). 极点极线作图 例2. 已知非退化二阶曲线Γ及不在Γ 上一点P, 求作P关于Γ的极线p. 例3. 已知非退化二阶曲线Γ以及一直 线p, 求作p关于Γ的极点P. 作法. 在p上任取不在Γ上两相异点 Q,R, 利用上例, 作Q,R关于Γ的极线q,r. 则 q×r=P. 例4. 已知非退化二阶曲线Γ及Γ外一 点P, 过P求作Γ的两切线. 作法一. 利用例2, 设p交于E,F, 连PE, PF即可. 作法二. 如图. 过P任作三割线, 可得切线.
推论7 两点连线的极点为此二点极线的交点； 两直线交点的极线为此二直线极点的连线. 推论8 共线点的极线必共点；共点线的极 点必共线. 推论9 关于非退化二阶曲线Γ的配极变换使得点列对应于线 束, 线束对应于点列；图形对应于其对偶图形.
推论10 关于非退化二阶曲线Γ的配极变换使得共线四点的 交比等于其对应共点四直线的交比. 因此, 配极变换规定了一个点 列与其对应线束之间的一个射影对应.
A11 (u1 , u2 , u3 ) A12 A 13 A12 A22 A23 A13 v1 A23 v2 0. A33 v3 (3)
3. 极点与极线的计算 (1). 已知P(pi), 求极线, 直接求Sp=0. (2). 已知u(ui), 求极点, 将[ui]代入(2), 解出(pi). (注：在实际 计算时, 可取ρ=1.)