§ 3.5 刚体的复合运动
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y y’ B
a e r 求导得 即得 角速度合成关系
A
O’ e
r
x’
a e r a e r
(3.24) (3.25)
a
O
x
对（3.25）式求导： d a d e d r
而
d a a , dt
y
y’
A O
rBA
B x’ x
若选择一个特殊的动系—— 动系原点O’与刚体上的一点 A铰接，动系以点A的运动规 律作平动，则有
刚体的绝对运动——平面运动 e 0,e 0 动系的牵连运动——与点A相同规律的平动 刚体的相对运动——绕A轴的定轴转动 根据刚体角速度、角加速度合成关系有 a r ,a r
(3) 定系中AB两点加速度关系 n aB a A aBA aBA a A a rBA a ( a rBA ) (4) 同样，两式完全相同。
A O
rBA
3.一种刚体平面运动的特殊形式——可分解为两个 定轴转动的合成 若平面图形S的运动满足：
例题
例 题 11
Байду номын сангаас
§3 复合运动
例题6 的另一种解法
O
曲柄连杆滑块机构，连杆
AB相对于曲柄OA以匀角
例题
例 题 10
§3 复合运动
行星齿轮减速机构如图所
A
ω4 ω1 O
Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ
示，作定轴转动的齿轮Ⅰ，同 啮合于固定内齿轮Ⅲ的行星齿
ω1 ω4
轮Ⅱ，带动系杆Ⅳ(OA)转动。 已知各齿轮的齿数分别是 z1 ，
z2 和 z3 。假定齿轮Ⅰ角速度的
大小是ω1 ，转向沿逆钟向，试
求系杆Ⅳ即OA的角速度ω4 。
例题
例 题 10
§3 复合运动
A
ω4 ω1 O
Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ
ω1
ω4
例题
例 题 10
§3 复合运动
解：把动系固连于系杆OA上，则牵连角速度ωe就是 待求的角速度ω4 （设为），即ωe = ω4 （ ）。 ω 3r= ω4 已 知 齿 轮 Ⅰ 的 绝 对 角 速 度 ω1
A
ω4
Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ
工程力学（C）
(9)
北京理工大学理学院力学系
韩斌
§ 3.5 刚体的复合运动
讨论同一刚体在不同参考系（定系和动系）中的运动 学量（角速度、角加速度）之间的关系。 设刚体的绝对运动为平面运动，所选择的动系牵连运 动也为平面运动，则刚体的相对运动也为平面运动。 1. 刚体的角速度、角加速度合成关系 刚体在不同参考系中方位角的定义 任意时刻方位角之间有 a (t ) e (t ) r (t ) (3.23)
0 动点B加速度合成关系 aBa aBe aBr aBc
y y’ B x’ x
考虑到 a r ，故两式完全相同。
vB vA vBA vA a rBA
（ 2）
n aA aBr aBr aA r rBA r (r rBA )
y x’ A
S
S上一点A距定系中某固定 点O距离始终不变（即A 点绝对运动轨迹为圆），
x
y’
O
可取动系固连于OA连线（动系绕O轴定轴转动）， 则S的相对运动为绕A轴的定轴转动。 由于O轴//A轴，故分解为绕两平行轴转动的合成。
其中特例：若
e r
则根据角速度合成关系有
a e r 0
刚体此种特殊的运动称为转动偶。
利用刚体的复合运动解题的注意事项
1.刚体的复合运动给出的是刚体的整体运动学量—— 刚体的角速度、角加速度的合成关系。 2.常见的各种轮系机构、行星传动机构可利用刚体的 复合运动观点进行求解。 3.在某一参考系中作定轴转动的定轴轮系机构的传动， 两相互接触的齿轮或带轮角速度之间满足关系： 1 z2 R2 其中，zi为齿数，Ri为轮子半径。 2 z1 R1 4.求解过程中，常同时利用点的复合运动关系式（如 动点的速度合成关系、加速度合成关系）。
若选取刚体上的点B 为动点，则由速度合成关系
vBa vBe vBr vA r rBA
(1)
若选取刚体上的点B 为动点，则由速度合 成关系 v v v v r
Ba Be Br A r BA
(1)
又，在定系中，根据AB两点速度关系
() ，故如能求出它对于动系的
相对角速度 ω1r ，就可以求出牵
ω1 ω4 连角速度ω
ω1
O
。 轮系对于动系的相对运动是定
4
轴轮系传动，设内齿轮Ⅲ的 相对角速度ω 3r(),绝对角速度ω 3=0。由角速度合成关系 即有ω 3= ωe - ω3r= ω4 - ω3r= 0 ，故有ω3r= ω4 ()
dt dt dt
e // r 利用（3.1）式，并注意到 ~ d r d r 0 e r r dt dt
即 角加速度合成关系
d e e dt
a e r
(3.26)
2.刚体平面运动的分解——分解为平动+定轴转动 任选一个动系，则绝对运动为平面运动的刚体可分解为 绝对运动（平面运动）= 牵连运动 + 相对运动 其中牵连与相对运动各为何种运动，取决于动系的运动。
由此可得齿轮Ⅰ的相对角速度
ω1 ω4
ω1r
根据刚体角速度合成公式，
z3 求得齿轮Ⅰ的绝对角速度 1 e 1r 4 4 z1
( )
z3 z3 1r 3r 4 () z1 z1
故求得杆OA 的绝对角速度为
OA 4
z1 1 () z1 z3
例题
例 题 10
ω 3r= ω4 ω2r
ω4 ω1 A O
Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ
§3 复合运动
对相对运动应用定轴系传动比公式,设ω2r(),ω1r () ,有
1r z 2 R2 , 2 r z1 R1
2 r z3 R3 , 3r z 2 R2
其中zi为齿轮齿数，Ri为齿轮半径
a e r 求导得 即得 角速度合成关系
A
O’ e
r
x’
a e r a e r
(3.24) (3.25)
a
O
x
对（3.25）式求导： d a d e d r
而
d a a , dt
y
y’
A O
rBA
B x’ x
若选择一个特殊的动系—— 动系原点O’与刚体上的一点 A铰接，动系以点A的运动规 律作平动，则有
刚体的绝对运动——平面运动 e 0,e 0 动系的牵连运动——与点A相同规律的平动 刚体的相对运动——绕A轴的定轴转动 根据刚体角速度、角加速度合成关系有 a r ,a r
(3) 定系中AB两点加速度关系 n aB a A aBA aBA a A a rBA a ( a rBA ) (4) 同样，两式完全相同。
A O
rBA
3.一种刚体平面运动的特殊形式——可分解为两个 定轴转动的合成 若平面图形S的运动满足：
例题
例 题 11
Байду номын сангаас
§3 复合运动
例题6 的另一种解法
O
曲柄连杆滑块机构，连杆
AB相对于曲柄OA以匀角
例题
例 题 10
§3 复合运动
行星齿轮减速机构如图所
A
ω4 ω1 O
Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ
示，作定轴转动的齿轮Ⅰ，同 啮合于固定内齿轮Ⅲ的行星齿
ω1 ω4
轮Ⅱ，带动系杆Ⅳ(OA)转动。 已知各齿轮的齿数分别是 z1 ，
z2 和 z3 。假定齿轮Ⅰ角速度的
大小是ω1 ，转向沿逆钟向，试
求系杆Ⅳ即OA的角速度ω4 。
例题
例 题 10
§3 复合运动
A
ω4 ω1 O
Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ
ω1
ω4
例题
例 题 10
§3 复合运动
解：把动系固连于系杆OA上，则牵连角速度ωe就是 待求的角速度ω4 （设为），即ωe = ω4 （ ）。 ω 3r= ω4 已 知 齿 轮 Ⅰ 的 绝 对 角 速 度 ω1
A
ω4
Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ
工程力学（C）
(9)
北京理工大学理学院力学系
韩斌
§ 3.5 刚体的复合运动
讨论同一刚体在不同参考系（定系和动系）中的运动 学量（角速度、角加速度）之间的关系。 设刚体的绝对运动为平面运动，所选择的动系牵连运 动也为平面运动，则刚体的相对运动也为平面运动。 1. 刚体的角速度、角加速度合成关系 刚体在不同参考系中方位角的定义 任意时刻方位角之间有 a (t ) e (t ) r (t ) (3.23)
0 动点B加速度合成关系 aBa aBe aBr aBc
y y’ B x’ x
考虑到 a r ，故两式完全相同。
vB vA vBA vA a rBA
（ 2）
n aA aBr aBr aA r rBA r (r rBA )
y x’ A
S
S上一点A距定系中某固定 点O距离始终不变（即A 点绝对运动轨迹为圆），
x
y’
O
可取动系固连于OA连线（动系绕O轴定轴转动）， 则S的相对运动为绕A轴的定轴转动。 由于O轴//A轴，故分解为绕两平行轴转动的合成。
其中特例：若
e r
则根据角速度合成关系有
a e r 0
刚体此种特殊的运动称为转动偶。
利用刚体的复合运动解题的注意事项
1.刚体的复合运动给出的是刚体的整体运动学量—— 刚体的角速度、角加速度的合成关系。 2.常见的各种轮系机构、行星传动机构可利用刚体的 复合运动观点进行求解。 3.在某一参考系中作定轴转动的定轴轮系机构的传动， 两相互接触的齿轮或带轮角速度之间满足关系： 1 z2 R2 其中，zi为齿数，Ri为轮子半径。 2 z1 R1 4.求解过程中，常同时利用点的复合运动关系式（如 动点的速度合成关系、加速度合成关系）。
若选取刚体上的点B 为动点，则由速度合成关系
vBa vBe vBr vA r rBA
(1)
若选取刚体上的点B 为动点，则由速度合 成关系 v v v v r
Ba Be Br A r BA
(1)
又，在定系中，根据AB两点速度关系
() ，故如能求出它对于动系的
相对角速度 ω1r ，就可以求出牵
ω1 ω4 连角速度ω
ω1
O
。 轮系对于动系的相对运动是定
4
轴轮系传动，设内齿轮Ⅲ的 相对角速度ω 3r(),绝对角速度ω 3=0。由角速度合成关系 即有ω 3= ωe - ω3r= ω4 - ω3r= 0 ，故有ω3r= ω4 ()
dt dt dt
e // r 利用（3.1）式，并注意到 ~ d r d r 0 e r r dt dt
即 角加速度合成关系
d e e dt
a e r
(3.26)
2.刚体平面运动的分解——分解为平动+定轴转动 任选一个动系，则绝对运动为平面运动的刚体可分解为 绝对运动（平面运动）= 牵连运动 + 相对运动 其中牵连与相对运动各为何种运动，取决于动系的运动。
由此可得齿轮Ⅰ的相对角速度
ω1 ω4
ω1r
根据刚体角速度合成公式，
z3 求得齿轮Ⅰ的绝对角速度 1 e 1r 4 4 z1
( )
z3 z3 1r 3r 4 () z1 z1
故求得杆OA 的绝对角速度为
OA 4
z1 1 () z1 z3
例题
例 题 10
ω 3r= ω4 ω2r
ω4 ω1 A O
Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ
§3 复合运动
对相对运动应用定轴系传动比公式,设ω2r(),ω1r () ,有
1r z 2 R2 , 2 r z1 R1
2 r z3 R3 , 3r z 2 R2
其中zi为齿轮齿数，Ri为齿轮半径